Olá pessoal!
Esta é a nossa última aula de Raciocínio Lógico.
Aula 5: Geometria plana: distâncias e ângulos, polígonos, circunferência, perímetro e área. Semelhança e relações métricas no triângulo retângulo. Medidas de comprimento área, volume, massa e tempo.
Como vocês bem sabem, estou ministrando também as aulas de Estatística. Aproveitem o período do curso para tirar TODAS as suas dúvidas no nosso fórum.
Vamos em frente!
01. (RIOPREVIDENCIA 2010/CEPERJ) Na figura abaixo, os ângulos de vértices B e C são retos, AB = 9m, BC = 11m e CD = 4m.
Então, entre as alternativas abaixo, a que mais se aproxima da distância entre os pontos A e D é: a) 15m b) 16m c) 17m d) 19m e) 21m Resolução
Já que o objetivo é calcular a distância entre os pontos A e D, o primeiro passo é traçar um segmento que ligue estes dois pontos.
Vamos também prolongar o segmento AB para a direita até o ponto E, de forma que BE = CD.
Vamos ligar o ponto D ao ponto E. Obviamente . Está formado o triângulo retângulo ADE.
O cateto AE mede 13, o cateto DE mede 11 e queremos calcular a hipotenusa AD.
Vamos aplicar o Teorema de Pitágoras que diz que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
O problema pede o valor mais próximo da medida de AD. Observe que , portanto:
Letra C
02. (RIOPREVIDENCIA 2010/CEPERJ) Um cubo de ouro maciço com 2 cm de aresta vale hoje R$ 9.120,00. O valor de um cubo de ouro maciço com 3 cm de aresta é: a) R$ 13.680,00 b) R$ 18.240,00 c) R$ 20.250,00 d) R$ 27.360,00 e) R$ 30.780,00 Resolução
O valor de um cubo de ouro é proporcional à sua massa. Como o cubo é maciço, podemos afirmar que o valor do cubo é proporcional ao seu volume (já que a densidade do ouro é constante).
4
9 4
E 11
O volume de um cubo é igual ao cubo da medida da sua aresta.
A aresta do cubo que vale R$ 9.120,00 é igual a 2 cm. Logo, seu volume é igual a:
Queremos calcular o valor de um cubo de aresta igual a 3 cm, cujo volume é igual a:
Volume (cm3) Preço (R$) 8 9.120 27
Quanto maior o volume do cubo, maior será o preço. As grandezas são diretamente proporcionais.
Letra E
03. (METRO 2010/FCC) As medidas das arestas de um cubo são reduzidas a 1/3 de seu valor. Relativamente ao novo cubo obtido, é verdade que
(A) a sua área total é igual a 1/6 da área total do cubo original. (B) o seu volume é igual a 1/9 do volume do cubo original. (C) a sua área total é igual a 1/12 da área total do cubo original. (D) o seu volume é igual a 1/27 do volume do cubo original. (E) a área total é igual a 1/18 da área total do cubo original. Resolução
Vamos considerar um cubo com arestas medindo . O seu volume é igual a:
Se as arestas são reduzidas a 1/3 de seu valor, então a nova aresta será igual a 1/3 de x.
O novo volume será igual a:
Como , então:
Letra D
04. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) O terreno de uma grande fazenda é muito plano. Certo dia, o fazendeiro saiu de casa com seu jipe e andou 11 km para o norte. Em seguida, andou 6 km para o leste, 3 km para o sul e 2 km para oeste. Neste ponto, a distância do fazendeiro à sua casa é de, aproximadamente:
a) 7 km b) 8 km c) 9 km d) 10 km e) 11 km Resolução
O trajeto feito pelo fazendeiro é o seguinte:
Para calcular a distância do fazendeiro até sua casa, devemos ligar o ponto inicial e o ponto final do trajeto. Podemos formar um triângulo retângulo como é feito na figura abaixo.
Devemos aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo vermelho.
Como , então:
Letra C
Observe a semelhança desta questão com a questão 1 desta aula!
05. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) O triângulo retângulo ABC da figura abaixo tem catetos AB = 8 e AC = 6. Pelo ponto M, médio da hipotenusa, traçou-se o segmento MN perpendicular a BC. O segmento AN mede:
a) 7/4 b) 2 c) 9/4 d) 5/2 e) 11/4 Resolução
Observe que os triângulos ABC e MNB são semelhantes: ambos são triângulos retângulos e têm um ângulo em comum B. Vamos chamar o ângulo B de . O outro ângulo agudo do triângulo ABC e o outro ângulo agudo do triângulo MNB serão chamados de .
Como o ponto M é o ponto médio da hipotenusa BC, então . Os triângulos ABC e MNB são semelhantes.
â â
â â
Queremos calcular o comprimento do segmento AN. Percebe-se pela figura que:
Letra A
06. (SEE-RJ 2007/CEPERJ) A figura abaixo mostra duas semicircunferências de diâmetros AB e AC.
Se AB = 2 e BC = 1, a razão R/S entre as áreas das regiões R e S mostradas na figura é: A) 0,5 B) 0,6 C) 0,8 D) 1 E) 1,2 Resolução
Vamos calcular a área da região R que é uma semicircunferência.
Seu diâmetro AB mede 2, portanto seu raio mede 1. A área de uma semicircunferência é a metade da área de uma circunferência.
Vamos calcular o raio da semicircunferência maior. Seu diâmetro é igual a:
Como o raio é a metade do diâmetro, então o raio da semicircunferência maior é igual a 3/2.
A área da região S é igual à área da semicircunferência maior menos a área da região R.
A razão R/S entre as áreas das regiões R e S mostradas na figura é:
Letra C
07. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) A figura abaixo mostra dois pentágonos regulares colados.
O valor do ângulo ABC é: A) 18o B) 20o C) 22o D) 24o E) 26o Resolução
Para calcular a soma dos ângulos internos de um polígono com lados utilizamos a fórmula:
Como os pentágonos do problema são regulares, então os pentágonos são eqüiângulos (têm todos os ângulos com as mesmas medidas).
Para calcular a medida de cada ângulo dos pentágonos, devemos dividir por .
Vamos calcular a medida do ângulo :
A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º.
Como o triângulo ABC é isósceles, então os ângulos B e C são congruentes. Vamos chamar os ângulos B e C de .
08. (LIQUIGÁS 2008/CETRO) A figura abaixo é formada por um quadrado de lado 6m “cortado” por um arco de circunferência.
Considerando =3,14, a área da região pintada de preto é de (A) 7,74m² (B) 7,98m² (C) 8,42m² (D) 8,86m² (E) 9,12m² Resolução
A área de um quadrado de lado é igual a . A área de uma circunferência de raio é igual a .
Observe que a região branca é um quarto de círculo. Portanto, a área da região pintada de preto é igual à área do quadrado menos a área branca. Lembrando que a área branca é igual à área do círculo dividida por 4.
í
Letra A
09. (Agente de Trânsito – Pref. de Mairinque 2006/CETRO) Um pedreiro construiu um muro ao redor de um terreno retangular que tinha um perímetro de 96 metros. O comprimento desse terreno equivale ao triplo de sua largura. As dimensões desse terreno valem
(A) 12 m por 36 m. (B) 25 m por 50 m. (C) 1 km por 12 km. (D) 15 m por 32 m. (E) 18 m por 36 m. Resolução
O perímetro é igual a 96m. Assim,
Assim, a largura é 12m e o comprimento 3 x 12 = 36m. Letra A
10. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) Para construir um jardim, um jardineiro recebeu as seguintes recomendações da dona da casa: o jardim tem que ocupar uma área de 36m2, perímetro de 26m e formato retangular. As dimensões desse jardim são de:
(A) 2m e 18m (B) 20m e 6m (C) 4m e 9m (D) 3m e 12m (E) 10m e 16m Resolução
A área é o produto do comprimento da base pelo comprimento da altura. Assim, temos que
Como o perímetro é igual a 26m, então
Devemos pensar em dois números cuja soma é 13 e o produto é 36. Podemos testar as alternativas ou resolver o sistema. Rapidamente verificamos que a alternativa C satisfaz as condições do problema.
Substituindo essa expressão na equação (I):
Assim,
Ou .
Logo, as dimensões são 4m e 9m. Letra C
11. (Assistente de Informática – Pref. de Itapeva 2006/CETRO) A soma das áreas de dois quadrados é de 25 m2 e a soma dos seus perímetros é igual a 28m. Portanto, as medidas dos lados x e y desses quadrados são, respectivamente:
(A) 3m e 4m (B) 3,5m e 3,5m (C) 5m e 2m (D) 7m e 7m (E) 20m e 8m Resolução
A área de um quadrado é igual ao quadrado do seu lado. Assim, um quadrado de lado tem área .
A soma das áreas é igual a 25 m2. Podemos escrever que
Os quatro lados de um quadrado têm a mesma medida. Assim, o perímetro do primeiro quadrado é 4x e o perímetro do segundo quadrado é 4y. Como a soma dos perímetros é 28m, temos que
Dividindo ambos os membros por 4, temos
Neste ponto, podemos testar as alternativas e marcar a letra A. Isolando o y:
Devemos agora substituir na primeira equação para encontrarmos os valores das incógnitas:
Assim, Ou
Assim, as dimensões são 3m e 4m. Letra A
12. (Prefeitura Municipal de São José – FEPESE/2007) Tales de Mileto foi um grande matemático grego que conseguia calcular a altura de pirâmides. O famoso Teorema de Tales poderá ajudar você a encontrar as medidas indicadas na figura, sendo que as retas r, s e t são paralelas e a distância entre os pontos A e B é igual a 21.
Assinale a alternativa que represente o produto dos valores x e y. a) 36. b) 42. c) 49. d) 96. e) 98. Resolução
O Teorema de Tales diz que se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra.
Observe que o segmento de comprimento 10 na reta da esquerda corresponde ao segmento de comprimento y na reta da direita. O segmento de comprimento
30 (10+20) na reta da esquerda corresponde ao segmento AB de comprimento 21 (este valor encontra-se no enunciado). Assim,
Em toda proporção, o produto dos meios (30 e y) é igual ao produto dos extremos (10 e 21).
Como o segmento AB mede 21 e y=7, então o segmento de comprimento 2x+2 mede 14.
O produto dos valores x e y é 6 x 7 = 42. Letra B
13. (Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Em um terreno plano, a sombra de um prédio, em determinada hora do dia, mede 15m. Próximo ao prédio, e no mesmo instante, um poste de 5m. de altura, produz uma sombra que mede 3m. A altura do prédio, em metros, é: (A) 75 (B) 45 (C) 30 (D) 29 (E) 25 Resolução
Os dois triângulos acima são semelhantes, assim:
Letra E
14. (Prefeitura Municipal de Mairinque 2009/CETRO) Uma criança está ao lado de um poste. Sabe-se que ela mede 80cm e que a medida da sombra do poste é de 5,4 metros. Se a sombra da criança mede 60cm, então, a altura do poste é de (A) 6,2 metros. (B) 6,6 metros. (C) 6,8 metros. (D) 7,0 metros. (E) 7,2 metros. Resolução
Letra E
15. (ENAP 2006/ESAF) A razão de semelhança entre dois triângulos, T1, e T2,
é igual a 8. Sabe-se que a área do triângulo T1 é igual a 128 m2. Assim, a área
do triângulo T2 é igual a a) 4 m2. b) 16 m2. c) 32 m2. d) 64 m2. e) 2 m2. Resolução
Relembremos uma propriedade importantíssima:
A razão entre as áreas de duas superfícies semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança.
Assim,
Letra E
Essa propriedade é MUITO importante. Por exemplo, se triplicamos o raio de um círculo (multiplicamos o raio por 3), então a área será multiplicada por 32=9. Se a diagonal de um quadrado é quadruplicada (multiplicada por 4), então a área do quadrado é multiplicada por 42=16.
16. (Assistente Administrativo CRP 4ª 2006/CETRO) A distância entre dois pontos é de 34 m. Num desenho, essa distância está expressa por 68 cm. A escala usada para fazer esse desenho foi de:
(A) 1 : 50 (B) 1 : 40 (C) 1 : 30
(D) 1 : 20 (E) 1 : 10 Resolução
A escala em um mapa ou um desenho é a razão entre a medida do desenho e a medida real (expressas na mesma unidade)
Letra A
17. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) Um mapa está desenhado na escala de 1 para 20.000. Qual o valor correto de uma distância indicada no mapa por um segmento de reta de 9 cm?
(A) 180 metros (B) 180 centímetros (C) 18 quilômetros (D) 1,8 quilômetros (E) 18 centímetros Resolução
Vimos na questão passada que
Letra D
18. (Prefeitura Municipal de São José – FEPESE/2007) Se dois ângulos são suplementares e a medida do maior é 35º inferior ao quádruplo do menor, assinale a alternativa que indica a medida do menor desses dois ângulos: a) 25º b) 36º c) 43º d) 65º e) 137º Resolução
Dois ângulos são suplementares se a soma de suas medidas é 180º. Em tempo, dois ângulos são complementares se a soma de suas medidas é 90º e dois ângulos são replementares se a soma de suas medidas é 360º.
Se um ângulo mede xº, o seu suplemento é denotado por sup , o seu complemento é denotado por e o seu replemento é denotado por
Assim, tem-se as seguintes relações: sup comp
rep
Voltemos ao enunciado: Dois ângulos são suplementares. Digamos que o maior meça x graus. Assim, o menor medirá (180 – x) graus.
A medida do maior é 35º inferior ao quádruplo do menor.
Atenção!!! A resposta não é a letra E!!! O problema pede o menor dos ângulos. Como os ângulos são suplementares, o menor ângulo será . Letra C
19. (Agente de Trânsito – Pref. de Mairinque 2006/CETRO) Na figura abaixo, as duas aberturas angulares apresentadas são suplementares. Qual o valor da medida do ângulo X? (A) 100º 45’ (B) 106º 37’ (C) 98º 99’ (D) 360º (E) 111º 11’ Resolução
Vimos na questão passada que dois ângulos são suplementares se a soma de suas medidas é 180º.
Se um ângulo mede xº, o seu suplemento é denotado por sup e sup
sup
Lembremos que 1º é o mesmo que 60’ (60 minutos). Assim, 180º = 179º60’ e 72º83’=73º23’
sup sup Letra B
20. (Prefeitura de Ituporanga 2009/FEPESE) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas.
Se o ângulo a mede 44°30’ e o ângulo q mede 55°30’, então a medida do ângulo b é: a) 100°. b) 55°30’. c) 60°. d) 44°30”. e) 80°. Resolução
Tracemos uma reta paralela às retas “r” e “s” pelo ponto de interseção dos segmentos inclinados. O ângulo que fica acima da reta vermelha é igual a e o ângulo que fica abaixo da reta vermelha é igual a . Isso é verdade pois quando temos duas retas paralelas cortadas por uma transversal, os ângulos alternos internos são congruentes.
Assim,
Letra A
21. (METRO 2010/FCC) Duas retas r e s, paralelas entre si, determinam com uma reta transversal ângulos alternos internos expressos em graus por e
. A medida de um desses ângulos é (A) 48°. (B) 40°. (C) 35°. (D) 28°. (E) 25°. Resolução
Ângulos alternos internos determinados por uma reta transversal à duas retas r e s paralelas entre si sempre são congruentes.
Observe que esta não é a resposta da questão. O problema pede a medida dos ângulos e não o valor de x.
Já que os ângulos são congruentes, podemos utilizar qualquer uma das expressões acima.
Letra C
22. (Prefeitura de São José 2009/FEPESE) O menor ângulo que os ponteiros das horas e dos minutos formam às 10 horas e 40 minutos é:
a) 60° b) 40° c) 20° d) 75° e) 80° Resolução
Existe uma fórmula que não aparece nos livros de Geometria, mas que já foi comentada na Revista do Professor de Matemática que fornece o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio. Denotando por H (horas) e M (minutos), o ângulo (em graus) formado nos ponteiros do relógio é dado por
Letra E
23. (CGU 2003-2004/ESAF) Os ângulos de um triângulo encontram-se na razão 2:3:4. O ângulo maior do triângulo, portanto, é igual a:
a) 40° b) 70° c) 75° d) 80°
e) 90° Resolução
Se os ângulos do triângulo encontram-se na razão 2:3:4, podemos chamá-los de 2x, 3x e 4x. Lembremos da Lei Angular de Tales: a soma dos ângulos de um triângulo qualquer é sempre 180º.
Assim,
O maior ângulo é Letra D
24. (SUSEP 2010/ESAF) A soma S1 dos ângulos internos de um polígono
convexo de n lados, com n ≥ 3, é dada por Si=(n-2).1800. O número de lados
de três polígonos convexos, P1 , P2 , e P3, são representados, respectivamente,
por (x-3), x e (x+3). Sabendo-se que a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos é igual a 32400, então o número de lados do polígono P2 e o
total de diagonais do polígono P3 são, respectivamente, iguais a:
a) 5 e 5 b) 5 e 44 c) 11 e 44 d) 5 e 11 e) 11 e 5 Resolução
O enunciado foi muito generoso já fornecendo a fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono. O primeiro polígono tem (x – 3) lados. Assim, na fórmula devemos substituir o “n” por “x – 3” obtendo
. O segundo polígono tem “x” lados, e, portanto, devemos substituir o “n” por “x” obtendo . Por fim, o terceiro polígono tem (x+3) lados e a soma dos seus ângulos internos será . Já que a soma de todos os ângulos internos é 3240º, temos a seguinte equação:
Portanto, o número de lados de P2 é 8.
O primeiro polígono P1 possui 8 – 3 = 5 lados.
O polígono P3 possui 8+3 = 11 lados. O número de diagonais de um polígono de n lados é dado por
Assim, o número de diagonais de P3 é
Questão anulada.
25. (AFT 2006/ESAF) Em um polígono de n lados, o número de diagonais determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono. Desse modo, n é igual a:
a) 11 b) 12 c) 10 d) 15 e) 18 Resolução
Na questão passada mostrei a fórmula que fornece o número de diagonais de um polígono convexo.
De cada vértice partem (n – 3) diagonais. Isso porque não podemos traçar diagonais para o próprio vértice nem para os vértices adjacentes.
Um hexágono possui
Assim, se o polígono possui n lados, de cada vértice partem n – 3 diagonais. Dessa forma,
Letra B
26. (Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Um joalheiro recebe uma encomenda para uma jóia poligonal. O comprador exige que o número de lados seja igual ao número de diagonais. Sendo assim, o joalheiro deve produzir uma jóia
(A) triangular. (B) quadrangular. (C) pentagonal. (D) hexagonal. (E) decagonal. Resolução
O número de diagonais é igual ao número de lados.
Como n > 0, podemos “cortar n em ambos os membros”.
Trata-se, portanto, de um pentágono. O pentágono possui 5 diagonais.
27. (Analista de Sistemas – UDESC – FEPESE/2010) Seja ABCD o paralelogramo abaixo, e seja E um ponto no segmento AD, conforme descrito na figura abaixo:
Sabendo que AB = 5, AE = 3 e AD = 8, a área do paralelogramo ABCD é: a) 15. b) 24. c) 30. d) 32. e) 40. Resolução
A área de um paralelogramo é o produto do comprimento da base pelo comprimento da altura. O comprimento da base AD já foi fornecido: 8.
Precisamos calcular o comprimento da altura do paralelogramo. A altura é a distância entre as bases: o segmento BE.
Para calcularmos o comprimento de BE, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo ABE.
Os valores 5 e 3 foram fornecidos no enunciado. O Teorema de Pitágoras diz que um triângulo é retângulo se e somente se a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
Assim, a área do paralelogramo é dada por
Á
Letra D
28. (Pref. Municipal de Arujá 2006/CETRO) Em um trapézio, os lados paralelos medem 16m e 44m, e os lados não paralelos, 17m e 25m. A área do trapézio, em m2, é: (A) 600. (B) 550. (C) 500. (D) 450. (E) 400 Resolução
Um quadrilátero plano convexo é um trapézio se e somente se possui dois lados paralelos.
Lembremos a fórmula da área de um trapézio:
Onde B é a base maior, b é a base menor e h é a altura. Para calcularmos a altura, devemos projetar a base menor sobre a base maior.
A base maior ficou dividida em três segmentos. O da esquerda foi chamado de x. O do meio é igual à base menor: 16. Já que a base maior mede 44, então o segmento da esquerda mede 44 – x – 16 = 28 – x.
Apliquemos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo da esquerda:
Apliquemos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo da direita:
Sabemos por (I) que Assim,
Voltemos para (I).
A fórmula da área de um trapézio:
Letra D
29. (Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Durante um vendaval, um poste de iluminação de 18 metros de altura quebrou-se em um ponto a certa altura do solo. A parte do poste acima da fratura, inclinou-se, e sua extremidade superior encostou no solo a uma distância de 12 metros da base dele. Calcule a quantos metros de altura do solo quebrou-se o poste.
(A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3 (E) 2 Resolução
O poste quebrado está mais espesso no desenho. Se o segmento vertical mede x metros, então o segmento inclinado medirá 18 – x, já que a soma dos dois segmentos deve ser 18 m (altura do poste).
Apliquemos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo.
Letra B
30. (SUSEP 2010/ESAF) Um círculo está inscrito em um triângulo isósceles de base 6 e altura 4. Calcule o raio desse círculo.
a) 1,50 b) 1,25 c) 1,00 d) 1,75
e) 2,00 Resolução
Pelo Teorema de Pitágoras, os lados congruentes do triângulo isósceles medem 5.
Pois, se os lados congruentes medem x, então
A área do triângulo é igual à metade do produto da base pela altura. Assim,
A área do triângulo pode ser expressa como o produto do semiperímetro (p) pelo raio da circunferência inscrita ao triângulo.
Assim,
Letra A
31. (Secretaria de Administração – Balneário Camboriú – FEPESE/2007) Um terreno tem a forma triangular, e seus lados medem 40 m, 90 m e 110 m. A área desse terreno, em metros quadrados, é:
a) 1800 b) 2200
c) 1950 d) 1200 e) 240 Resolução
Existem diversas formas para calcular a área de um triângulo, a depender dos dados fornecidos. Já vimos duas: i) A metade do produto da base pela altura. ii) Produto do semiperímetro pelo raio da circunferência inscrita. Vejamos outra maneira: quando forem dados os três lados, calculamos a área utilizando a fórmula de Heron. Denotemos por “p” o semiperímetro. A área é dada por:
O semiperímetro é a semi-soma dos lados.
A área é igual a
Letra D
32. (Prefeitura de Ituporanga 2009/FEPESE) Se em um triângulo os lados medem 12 cm, 16 cm e 20 cm, então a altura relativa ao maior lado mede: a) 10,3 cm. b) 6,0 cm. c) 7,2 cm. d) 5,6 cm. e) 9,6 cm. Resolução
Sabemos que quando são dados os três lados de um triângulo, podemos calcular a área pela fórmula de Heron. Sabemos também que a área é a
metade do produto da base pela altura (qualquer lado pode ser a base, e utilizamos a altura relativa a esse lado).
O semiperímetro é dado por
A área é igual a
Como 24 = 12 x 2,
E 2 x 8 = 16,
A área é igual a 96 e pode ser calculada como a metade do produto da base pela altura. Como queremos calcular a altura relativa ao maior lado, tomaremos o lado de comprimento 20 como base.
Letra E
33. (ENAP 2006/ESAF) A base de um triângulo isósceles é 2 metros menor do que a altura relativa à base. Sabendo-se que o perímetro deste triângulo é igual a 36 metros, então a altura e a base medem, respectivamente
a) 8 m e 10 m. b) 12 m e 10 m. c) 6 m e 8 m. d) 14 m e 12 m. e) 16 m e 14 m.
Resolução
Todo triângulo isósceles possui dois lados congruentes. O lado não-congruente é chamado de base. A altura relativa à base divide-a em dois segmentos de mesmo comprimento: chamemo-los de x. Assim, a base mede 2x. Como a base de um triângulo isósceles é 2 metros menor do que a altura relativa à base, então essa altura mede 2x+2. Chamarei os lados congruentes de y.
O enunciado nos informou que o perímetro do triângulo é igual a 36. Assim,
Dividindo ambos os membros por 2, temos
Ao traçarmos a altura relativa a base, obtemos dois triângulos retângulos que podemos aplicar o Teorema de Pitágoras.
Como
Como x > 0, então
A base é 2x, logo a base é
Como a altura é 2x+2, então
Letra B
34. (TRT-SC 2005/FEPESE) Um círculo de área 16 está inscrito em um quadrado. O perímetro do quadrado é igual a:
a) 32 b) 28 c) 24 d) 20 e) 16 Resolução
A área de um círculo de raio r é igual a . Como a área é igual a , então
Observe que o lado do quadrado é igual ao dobro do raio do círculo (diâmetro). Assim,
O perímetro do quadrado é igual a
Letra A
35. (Prefeitura de Ituporanga 2009/FEPESE) Na circunferência abaixo:
Determine a medida x indicada. a) 3 b) 6 c) 7 d) 10 e) 12 Resolução
Vamos relembrar a relação entre cordas que existe em uma circunferência e a relação que existe entre os segmentos que cortam uma circunferência a partir de um ponto exterior.
“Se duas cordas de uma mesma circunferência se interceptam, então o produto das medidas das duas partes de uma é igual ao produto das medidas das duas partes da outra”.
Em suma, .
“Se por um ponto (P) exterior a uma circunferência conduzimos dois “segmentos secantes” (PB e PD), então o produto da medida do primeiro (PB) pela de sua parte exterior (PA) é igual ao produto do segundo (PD) pela de sua parte exterior (PD).”
Em suma, .
Voltemos ao problema.
Letra D
36. (BADESC 2010/FGV) Uma circunferência de centro em O está inscrita em um quadrado de vértices A, B, C e D, como ilustrado. P, Q e R são pontos em que a circunferência toca o quadrado.
Com relação à figura, analise as afirmativas a seguir:
I. A área interior ao quadrado e exterior à circunferência é menor do que a metade da área total do quadrado.
II. A distância de A até O é menor do que a metade da medida do lado do quadrado.
III. O percurso PRQ, quando feito por cima da circunferência, é mais curto do que o feito por sobre os lados do quadrado. Assinale:
(A) se somente a afirmativa I estiver correta. (B) se somente a afirmativa II estiver correta. (C) se somente a afirmativa III estiver correta.
(D) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. (E) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. Resolução
Se o raio da circunferência for igual a , então o lado do quadrado é igual a Comprimento da circunferência: r
Área do círculo: Área do quadrado:
I. A área interior ao quadrado e exterior à circunferência é menor do que a metade da área total do quadrado.
Para calcular a área interior ao quadrado e exterior à circunferência, devemos calcular a diferença entre a área do quadrado e a área do círculo.
ã ã
Usando uma boa aproximação para o número : ã
Como á área do quadrado é , então a metade da área do quadrado é
Portanto, a área interior ao quadrado e exterior à circunferência é menor do que a metade da área total do quadrado.
O item é verdadeiro.
II. A distância de A até O é menor do que a metade da medida do lado do quadrado.
O triângulo em destaque na figura é retângulo de catetos iguais a . A distância AO pode ser calculada pelo Teorema de Pitágoras:
Portanto, a distância de A até O é maior do que a metade da medida do lado do quadrado. Isto porque a metade da medida do lado do quadrado é igual ao raio da circunferência e .
O item é falso.
III. O percurso PRQ, quando feito por cima da circunferência, é mais curto do que o feito por sobre os lados do quadrado.
O percurso PQR feito por cima da circunferência equivale a 3/4 do comprimento da circunferência.
O mesmo percurso feito pelos lados do quadrado:
Este comprimento é igual a .
Como o percurso PRQ, quando feito por cima da circunferência, é mais curto do que o feito por sobre os lados do quadrado. O item é verdadeiro. Letra D
Relação das questões comentadas nesta aula
01. (RIOPREVIDENCIA 2010/CEPERJ) Na figura abaixo, os ângulos de vértices B e C são retos, AB = 9m, BC = 11m e CD = 4m.
Então, entre as alternativas abaixo, a que mais se aproxima da distância entre os pontos A e D é: a) 15m b) 16m c) 17m d) 19m e) 21m
02. (RIOPREVIDENCIA 2010/CEPERJ) Um cubo de ouro maciço com 2 cm de aresta vale hoje R$ 9.120,00. O valor de um cubo de ouro maciço com 3 cm de aresta é: a) R$ 13.680,00 b) R$ 18.240,00 c) R$ 20.250,00 d) R$ 27.360,00 e) R$ 30.780,00
03. (METRO 2010/FCC) As medidas das arestas de um cubo são reduzidas a 1/3 de seu valor. Relativamente ao novo cubo obtido, é verdade que
(A) a sua área total é igual a 1/6 da área total do cubo original. (B) o seu volume é igual a 1/9 do volume do cubo original. (C) a sua área total é igual a 1/12 da área total do cubo original. (D) o seu volume é igual a 1/27 do volume do cubo original. (E) a área total é igual a 1/18 da área total do cubo original.
04. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) O terreno de uma grande fazenda é muito plano. Certo dia, o fazendeiro saiu de casa com seu jipe e andou 11 km para o norte. Em seguida, andou 6 km para o leste, 3 km para o sul e 2 km para oeste. Neste ponto, a distância do fazendeiro à sua casa é de, aproximadamente:
a) 7 km b) 8 km
c) 9 km d) 10 km e) 11 km
05. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) O triângulo retângulo ABC da figura abaixo tem catetos AB = 8 e AC = 6. Pelo ponto M, médio da hipotenusa, traçou-se o segmento MN perpendicular a BC. O segmento AN mede:
a) 7/4 b) 2 c) 9/4 d) 5/2 e) 11/4
06. (SEE-RJ 2007/CEPERJ) A figura abaixo mostra duas semicircunferências de diâmetros AB e AC.
Se AB = 2 e BC = 1, a razão R/S entre as áreas das regiões R e S mostradas na figura é: A) 0,5 B) 0,6 C) 0,8 D) 1 E) 1,2
07. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) A figura abaixo mostra dois pentágonos regulares colados.
O valor do ângulo ABC é: A) 18o
B) 20o C) 22o D) 24o E) 26o
08. (LIQUIGÁS 2008/CETRO) A figura abaixo é formada por um quadrado de lado 6m “cortado” por um arco de circunferência.
Considerando =3,14, a área da região pintada de preto é de (A) 7,74m² (B) 7,98m² (C) 8,42m² (D) 8,86m² (E) 9,12m²
09. (Agente de Trânsito – Pref. de Mairinque 2006/CETRO) Um pedreiro construiu um muro ao redor de um terreno retangular que tinha um perímetro de 96 metros. O comprimento desse terreno equivale ao triplo de sua largura. As dimensões desse terreno valem
(A) 12 m por 36 m. (B) 25 m por 50 m. (C) 1 km por 12 km. (D) 15 m por 32 m. (E) 18 m por 36 m.
10. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) Para construir um jardim, um jardineiro recebeu as seguintes recomendações da dona da casa: o jardim tem que ocupar uma área de 36m2, perímetro de 26m e formato retangular. As dimensões desse jardim são de:
(A) 2m e 18m (B) 20m e 6m (C) 4m e 9m (D) 3m e 12m (E) 10m e 16m
11. (Assistente de Informática – Pref. de Itapeva 2006/CETRO) A soma das áreas de dois quadrados é de 25 m2 e a soma dos seus perímetros é igual a 28m. Portanto, as medidas dos lados x e y desses quadrados são, respectivamente:
Obs.:Figuras fora de escala. (A) 3m e 4m
(B) 3,5m e 3,5m (C) 5m e 2m (D) 7m e 7m (E) 20m e 8m
12. (Prefeitura Municipal de São José – FEPESE/2007) Tales de Mileto foi um grande matemático grego que conseguia calcular a altura de pirâmides. O famoso Teorema de Tales poderá ajudar você a encontrar as medidas indicadas na figura, sendo que as retas r, s e t são paralelas e a distância entre os pontos A e B é igual a 21.
a) 36. b) 42. c) 49. d) 96. e) 98.
13. (Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Em um terreno plano, a sombra de um prédio, em determinada hora do dia, mede 15m. Próximo ao prédio, e no mesmo instante, um poste de 5m. de altura, produz uma sombra que mede 3m. A altura do prédio, em metros, é: (A) 75 (B) 45 (C) 30 (D) 29 (E) 25
14. (Prefeitura Municipal de Mairinque 2009/CETRO) Uma criança está ao lado de um poste. Sabe-se que ela mede 80cm e que a medida da sombra do poste é de 5,4 metros. Se a sombra da criança mede 60cm, então, a altura do poste é de (A) 6,2 metros. (B) 6,6 metros. (C) 6,8 metros. (D) 7,0 metros. (E) 7,2 metros.
15. (ENAP 2006/ESAF) A razão de semelhança entre dois triângulos, T1, e T2,
é igual a 8. Sabe-se que a área do triângulo T1 é igual a 128 m2. Assim, a área
do triângulo T2 é igual a a) 4 m2. b) 16 m2. c) 32 m2. d) 64 m2. e) 2 m2.
16. (Assistente Administrativo CRP 4ª 2006/CETRO) A distância entre dois pontos é de 34 m. Num desenho, essa distância está expressa por 68 cm. A escala usada para fazer esse desenho foi de:
(A) 1 : 50 (B) 1 : 40 (C) 1 : 30 (D) 1 : 20 (E) 1 : 10
17. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) Um mapa está desenhado na escala de 1 para 20.000. Qual o valor correto de uma distância indicada no mapa por um segmento de reta de 9 cm?
(A) 180 metros (B) 180 centímetros
(C) 18 quilômetros (D) 1,8 quilômetros (E) 18 centímetros
18. (Prefeitura Municipal de São José – FEPESE/2007) Se dois ângulos são suplementares e a medida do maior é 35º inferior ao quádruplo do menor, assinale a alternativa que indica a medida do menor desses dois ângulos: a) 25º
b) 36º c) 43º d) 65º e) 137º
19. (Agente de Trânsito – Pref. de Mairinque 2006/CETRO) Na figura abaixo, as duas aberturas angulares apresentadas são suplementares. Qual o valor da medida do ângulo X? (A) 100º 45’ (B) 106º 37’ (C) 98º 99’ (D) 360º (E) 111º 11’
20. (Prefeitura de Ituporanga 2009/FEPESE) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas.
Se o ângulo a mede 44°30’ e o ângulo q mede 55°30’, então a medida do ângulo b é: a) 100°. b) 55°30’. c) 60°. d) 44°30”. e) 80°.
21. (METRO 2010/FCC) Duas retas r e s, paralelas entre si, determinam com uma reta transversal ângulos alternos internos expressos em graus por e
. A medida de um desses ângulos é (A) 48°.
(B) 40°. (C) 35°. (D) 28°. (E) 25°.
22. (Prefeitura de São José 2009/FEPESE) O menor ângulo que os ponteiros das horas e dos minutos formam às 10 horas e 40 minutos é:
a) 60° b) 40° c) 20° d) 75° e) 80°
23. (CGU 2003-2004/ESAF) Os ângulos de um triângulo encontram-se na razão 2:3:4. O ângulo maior do triângulo, portanto, é igual a:
a) 40° b) 70° c) 75° d) 80° e) 90°
24. (SUSEP 2010/ESAF) A soma S1 dos ângulos internos de um polígono
convexo de n lados, com n ≥ 3, é dada por Si=(n-2).1800. O número de lados
de três polígonos convexos, P1 , P2 , e P3, são representados, respectivamente,
por (x-3), x e (x+3). Sabendo-se que a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos é igual a 32400, então o número de lados do polígono P2 e o
total de diagonais do polígono P3 são, respectivamente, iguais a:
a) 5 e 5 b) 5 e 44 c) 11 e 44 d) 5 e 11 e) 11 e 5
25. (AFT 2006/ESAF) Em um polígono de n lados, o número de diagonais determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono. Desse modo, n é igual a:
a) 11 b) 12 c) 10 d) 15 e) 18
26. (Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Um joalheiro recebe uma encomenda para uma jóia poligonal. O comprador exige que o número de lados seja igual ao número de diagonais. Sendo assim, o joalheiro deve produzir uma jóia
(A) triangular. (B) quadrangular. (C) pentagonal. (D) hexagonal. (E) decagonal.
27. (Analista de Sistemas – UDESC – FEPESE/2010) Seja ABCD o paralelogramo abaixo, e seja E um ponto no segmento AD, conforme descrito na figura abaixo:
Sabendo que AB = 5, AE = 3 e AD = 8, a área do paralelogramo ABCD é: a) 15. b) 24. c) 30. d) 32. e) 40.
28. (Pref. Municipal de Arujá 2006/CETRO) Em um trapézio, os lados paralelos medem 16m e 44m, e os lados não paralelos, 17m e 25m. A área do trapézio, em m2, é: (A) 600. (B) 550. (C) 500. (D) 450. (E) 400
29. (Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Durante um vendaval, um poste de iluminação de 18 metros de altura quebrou-se em um ponto a certa altura do solo. A parte do poste acima da fratura, inclinou-se, e sua extremidade superior encostou no solo a uma distância de 12 metros da base dele. Calcule a quantos metros de altura do solo quebrou-se o poste.
(A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3 (E) 2
30. (SUSEP 2010/ESAF) Um círculo está inscrito em um triângulo isósceles de base 6 e altura 4. Calcule o raio desse círculo.
a) 1,50 b) 1,25 c) 1,00 d) 1,75 e) 2,00
31. (Secretaria de Administração – Balneário Camboriú – FEPESE/2007) Um terreno tem a forma triangular, e seus lados medem 40 m, 90 m e 110 m. A área desse terreno, em metros quadrados, é:
a) 1800 b) 2200 c) 1950 d) 1200 e) 240
32. (Prefeitura de Ituporanga 2009/FEPESE) Se em um triângulo os lados medem 12 cm, 16 cm e 20 cm, então a altura relativa ao maior lado mede: a) 10,3 cm.
b) 6,0 cm. c) 7,2 cm. d) 5,6 cm. e) 9,6 cm.
33. (ENAP 2006/ESAF) A base de um triângulo isósceles é 2 metros menor do que a altura relativa à base. Sabendo-se que o perímetro deste triângulo é igual a 36 metros, então a altura e a base medem, respectivamente
a) 8 m e 10 m. b) 12 m e 10 m. c) 6 m e 8 m. d) 14 m e 12 m. e) 16 m e 14 m.
34. (TRT-SC 2005/FEPESE) Um círculo de área 16 está inscrito em um quadrado. O perímetro do quadrado é igual a:
a) 32 b) 28 c) 24 d) 20 e) 16
35. (Prefeitura de Ituporanga 2009/FEPESE) Na circunferência abaixo:
Determine a medida x indicada. a) 3
b) 6 c) 7 d) 10 e) 12
36. (BADESC 2010/FGV) Uma circunferência de centro em O está inscrita em um quadrado de vértices A, B, C e D, como ilustrado. P, Q e R são pontos em que a circunferência toca o quadrado.
Com relação à figura, analise as afirmativas a seguir:
I. A área interior ao quadrado e exterior à circunferência é menor do que a metade da área total do quadrado.
II. A distância de A até O é menor do que a metade da medida do lado do quadrado.
III. O percurso PRQ, quando feito por cima da circunferência, é mais curto do que o feito por sobre os lados do quadrado. Assinale:
(A) se somente a afirmativa I estiver correta. (B) se somente a afirmativa II estiver correta. (C) se somente a afirmativa III estiver correta.
(D) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. (E) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas.
Gabaritos 01. C 02. E 03. D 04. C 05. A 06. C 07. A 08. A 09. A 10. C 11. A 12. B 13. E 14. E 15. E 16. A 17. D 18. C 19. B 20. A 21. C 22. E 23. D 24. ANULADA 25. B 26. C 27. D 28. D 29. B 30. A 31. D 32. E 33. B 34. A 35. D 36. D