Fundamentos de Processamento Gráfico

(1)

Fundamentos de Processamento Gr ´afico

Helton H. B´ıscaro ; F ´atima Nunes

(2)

(3)

(4)

Introduc¸ ˜ao

Paradigma dos Quatro Universos

F´ısico: Cont ém objetos do mundo real que pretendemos estudar; Matem ático: Cont ém uma descriç ão abstrata dos objetos do universo

f´ısico;

Representaç ão: Cont ém representaç ões simb ólicas e finitas associadas

aos objetos do universo matem ´atico ;

Implementaç ão: Cont ém particularidades da linguagem de programaç ão

escolhida para a implementac¸ ˜ao do problema.

(5)

S´ıntese de imagem

(6)

Introduc¸ ˜ao

Geometria

Do grego :Geo - “terra ”+ metria - “medida ”.

“Ramo da matem ática preocupado com quest ões de forma, tamanho e posiç ão relativa de figuras e com as propriedades dos espaços... ”.

(7)

Geometria

Euclides:

Considerado o pai da geometria.

Grego, viveu em 300 AC, e acredita-se que esteve ativo em Alexandria (Egito) durante o reinado de Ptolomeu (323-283 AC).

Os Elementos é o livro mais bem sucedido da hist ória da Matem ática. ´

E um tratado geom ´etrico escrito em 13 volumes.

Compreende uma coleç ão de definiç ões, postulados (axiomas), proposiç ões (teoremas e construç ões), e provas matem áticas das proposiç ões.

O 13◦livro cobre a geometria Euclideana e uma vers ˜ao Grega antiga e elementar da teoria dos n ´umeros.

(8)

Introduc¸ ˜ao

Geometria

Os Elementos

Impresso pela primeira vez em Veneza em 1482.

Foi um dos primeiros trabalhos sobre matem ática a ser impresso ap ós a invenç ão da imprensa, perdendo apenas para a b´ıblia, quanto ao n úmero de ediç ões (mais de 1.000).

Foi usado como texto b ´asico de geometria no mundo Ocidental por cerca de 2.000 anos.

(9)

Geometria

Representaç ão eficiente de objetos (coordenadas); Transformaç ões necess árias à manipulaç ão dos mesmos;

Operaç ões de Posicionamento; Operaç ões de modelagem; Operaç ões de Visualizaç ão.

(10)

Introduc¸ ˜ao

Geometria

Operaç ões de Posicionamento: As transformaç ões Euclidianas s ão

operaç ões b ásicas de posicionamento e movimento de objetos geom étricos num cen ário 2D ou 3D;

Operac¸ ˜oes de Modelagem:

As transformaç ões afins s ão operaç ões b ásicas de modelagem de objetos geom étricos num cen ário 2D ou 3D;

Permitem a definiç ão de um objeto no seu pr óprio sistema de coordenadas locais (modeling coordinates)

Permite usar a definiç ão de um objeto v árias vezes numa cena com um sistema de coordenadas globais (world coordinates)

Operaç ões de Visualizaç ão: Permitem montar um cen ário que envolve

o observador, o plano de projeç ão e a cena (os v ários objetos da cena)

(11)

Projec¸ ˜oes

(12)

Introduc¸ ˜ao

Projec¸ ˜oes

Tipos de projec¸ ˜oes

(13)

Exemplo

C ˆamera Digital

(14)

Introduc¸ ˜ao

Geometrias n ˜ao Euclidianas

O quinto postulado

“Por um ponto exterior a uma reta dada, pode ser trac¸ada uma ´unica reta paralela...”

Durante s ´eculos se tentou deduzir este axioma, a partir dos outros axiomas.

Pergunta: pode-se construir uma geometria sem o quinto axioma?

V árias tentativas foram feitas, mas at é o meio do s éculo 19, o pensamento matem ático n ão estava maduro o suficiente.

Diferentes geometrias (n ão Euclideanas) foram criadas baseadas na negaç ão do quinto axioma:

Por exemplo: A geometria Hiperb ´olica admite uma infinidade de retas paralelas.

(15)

Geometrias n ˜ao Euclidianas

O quinto postulado

(16)

Introduc¸ ˜ao

Geometrias n ˜ao Euclidianas

O quinto postulado

(17)

Geometrias n ˜ao Euclidianas

O quinto postulado

Pergunta: pode-se construir uma geometria sem o quinto axioma? V árias tentativas foram feitas, mas at é o meio do s éculo 19, o pensamento matem ático n ão estava maduro o suficiente.

(18)

Introduc¸ ˜ao

Geometrias n ˜ao Euclidianas

O quinto postulado

(19)

Geometrias n ˜ao Euclidianas

O quinto postulado

(20)

Introduc¸ ˜ao

Projec¸ ˜ao Perspectiva

Do latimperspicere, ou “ver atrav és”, é uma representaç ão aproximada

de uma imagem, como percebida pelo olho, sobre uma superf´ıcie plana. Objetos s ão desenhados menores a medida que a dist ância aumenta. As dimens ões de um objeto ao longo da linha de vis ão s ão relativamente menores que as dimens ões perpendiculares à linha de vis ão.

(21)

Projec¸ ˜ao Perspectiva

Hist ´orico

Na idade M ´edia, arte era para ser lida como um grupo de s´ımbolos, ao inv ´es de ser vista como uma figura coerente.

O único m étodo de retratar dist âncias era por sobreposiç ão de personagens.

Sobreposiç ão é um m étodo ruim para retratar arquitetura.

Pinturas medievais de cidades s ão um amontoado de linhas em todas as direç ões.

(22)

Introduc¸ ˜ao

Exemplo

Aus ˆencia de perspectiva

Ilustrac¸ ˜ao de “A Batlha - Crusader Bible - 1240”

(23)

Projec¸ ˜ao Perspectiva

Hist ´orico

Em 1415,Filippo Brunelleschidemonstrou o m ´etodo geom ´etrico da

perspectiva, usado atualmente pelos artistas, pintando esboços de v ários pr édios Florentinos sobre um espelho

Logo ap ós, quase todo artista em Florença usava perspectiva geom étrica

nas suas pinturas, notadamenteDonatello, que comec¸ou a esculpir pisos

(24)

Introduc¸ ˜ao

Exemplo

Anunciac¸ ˜ao, de Botticelli (1489-1490)

(25)

Exemplo

(26)

Introduc¸ ˜ao

Exemplo

Perspectivas com 1, 2 e 3 pontos de fuga...

(27)

Moral da Hist ´oria...

Transformac¸ ˜oes Lineares preservam paralelismo.

Transformaç ão perspectivaN ÃO é linear

Vis ˜ao humana funciona com uma c ˆamera.

C ˆamera virtual precisa de um modelo de geometria distinto da Euclideana.

(28)

Introduc¸ ˜ao

Geometria Projetiva

O espaço projetivo real de dimens ão n, RPn é o conjunto de todas as retas em

R

n+1que passam pela origem, excluindo a origem.

Um ponto projetivo p

∈

RPn ´e uma classe de equival ˆencia.

p

= (λ

x1

, . . . , λ

xn

, λ

xn+1

), λ 6=

0

Ou Seja:

p

= (

x1

, . . . ,

xn

,

xn+1

) ≡ λ

p

(29)

Geometria Projetiva

Associa-se o espac¸o RPncom o espac¸o euclidiano

R

n+1

(30)

Introduc¸ ˜ao

Geometria Projetiva

O espac¸o projetivo pode ser decomposto em dois conjuntos: o hiperplano de

R

n+1onde xn+1

=

1 e o hiperplano em que xn+1

=

0. Em outras palavras:

RPn

= {(

x1

, . . . ,

xn

,

xn+1

),

xn+1

6=

0

} ∪ {(

x1

, . . . ,

xn

,

0

)}

(31)

Geometria Projetiva

Pontos Afins:

pa

= (

x1

, . . . ,

xn

,

1

),

xn+1

6=

0

, λ =

1

xn+1

(Coordenadas Homog ˆeneas) Pontos do Infinito , ou Pontos Ideais

pi

= (

x1

, . . . ,

xn

,

0

),

xn+1

=

0

, λ =

1

OBS: Uma reta no plano projetivo RP2 ´e o conjunto dos pontos

[

x

;

y

;

z

]

que

(32)

Introduc¸ ˜ao

Geometria Projetiva

Paralelismo no Espac¸o Projetivo

(33)

Transformac¸ ˜oes Projetivas em RP

3

Uma Transformaç ão Projetiva em RP3 é uma Transformaç ão Linear em

R

4

T

: R

4

:−→

T

: R

4

T pode ser representada por uma matriz M4×4e pode ser avaliada como

(34)

Introduc¸ ˜ao

Anatomia de uma Transformac¸ ˜ao Projetiva

Podemos dividir a Matriz M em quatro blocos distintos:

M

=

A T P S

A- Bloco Linear 3

×

3;

T - Bloco de Translac¸ ˜ao 3

×

1;

P- Bloco de Perspectiva 1

×

3;

S- Bloco de Escala 1

×

1;

(35)

Anatomia de uma Transformac¸ ˜ao Projetiva

Matriz de Translac¸ ˜ao







1 0 0

∆

x 0 1 0

∆

y 0 0 1

∆

z 0 0 0 1













x y z 1







=







x

+ ∆

x y

+ ∆

y z

+ ∆

z 1







(36)

Introduc¸ ˜ao

Anatomia de uma Transformac¸ ˜ao Projetiva

Matriz de Transformac¸ ˜ao Linear







a b c 0 d e f 0 g h i 0 0 0 0 1













x y z 1







=







ax

+

by

+

cz dx

+

ey

+

fz gx

+

hy

+

iz 1







(37)

Anatomia de uma Transformac¸ ˜ao Projetiva

Matriz de Transformac¸ ˜ao Perspectiva







1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 p q r 1













x y z 1







=







x y z px

+

qy

+

rz

+

1







(38)

Introduc¸ ˜ao

Exemplo

Efeito da transformac¸ ˜ao perspectiva

(39)

Anatomia de uma Transformac¸ ˜ao Projetiva

Matriz de Escala







1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 s













x y z 1







=







x y z s







(40)

Introduc¸ ˜ao

Rotac¸ ˜oes em RP

3

Rotac¸ ˜ao em torno do eixo z

Rotac¸ ˜ao em torno do eixo y

Rotac¸ ˜ao em torno do eixo x

    x0 y0 z0 1     =     cos (θ) − sin (θ) 0 0 sin (θ) cos (θ) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1         x y z 1         x0 y0 z0 1     =     cos (θ) 0 sin (θ) 0 0 1 0 0 − sin (θ) 0 cos (θ) 0 0 0 0 1         x y z 1         x0 y0 z0 1     =     1 0 0 0 0 cos (θ) − sin (θ) 0 0 sin (θ) cos (θ) 0 0 0 0 1         x y z 1    

(41)

Modelo de C ˆamera Virtual

Um ponto de fuga

C ˆamera Digital

(42)

Introduc¸ ˜ao

Modelo de C ˆamera Virtual

Dados:

Um centro ´otico O.

um plano de projec¸ ˜ao

π

a uma dist ˆancia f de O.

Um sistema de coordenadas cuja origem esteja em O e que tenha os

eixos perpendiculares a

π

.

Figura:Determinaç ão da projeç ão perspectiva

(43)

Modelo de C ˆamera Virtual

Neste sistema, se P

= (

X

,

Y

,

Z

)

:

A reta passando por P ´e

α(

X

,

Y

,

Z

)

.

O ponto que est ´a em

π

tem ´ultima coordenada f , logo: .

α =

_Zf, x

=

fX_Z, y

=

fY_Z.

(44)

Introduc¸ ˜ao

Modelo de C ˆamera Virtual

Exemplo: retas paralelas ao eixo Z

−→ {(

X0

,

Y0

,

Z

)/

Z

∈ IR}

A projeç ão de um ponto gen érico

(

X0

,

Y0

,

Z0

)

dessas retas ´e dado por

(

fX0

Z0

,

fY0

Z0

)

.

A projec¸ ˜ao para o ponto

(

X0

,

Y0

,

0

)

n ˜ao est ´a definida .

O conjunto de todos esses pontos formam uma reta que passa por

(

0

,

0

)

,

com esse ponto exclu´ıdo.

O ponto

(

0

,

0

,

0

)

pode ser visto como “ponto no infinito”.

(45)

Transformaç ões de C âmera

Sistemas de Coordenadas

1 _{Sistemas de Coordenadas do Mundo (SCM)}

2 _{Sistemas de Coordenadas de C ˆamera (SCC)}

3 _{Sistemas de Coordenadas de Imagem (SCI)}

(46)

Introduc¸ ˜ao

Transformaç ões de C âmera

Sistemas de coordenadas

(47)

Transformaç ões de C âmera

Do SCM ao SCC, Mudanc¸a de referencial.

Dados

(

X

,

Y

,

Z

)

no SCM, devemos expressar essas coordenadas no SCC.

Seja T o vetor que fornece a origem O do mundo no SCC.

Seja R a matriz cujas colunas r1

,

r2e r3s ˜ao as coordenadas dos vetores i

,

j e

(48)

Introduc¸ ˜ao

Transformaç ões de C âmera

Do SCM ao SCC, Mudanc¸a de referencial.

( ˜

X

, ˜

Y

, ˜

Z

) =

T

+

Xr1

+

Yr2

+

Zr3; ou

˜

P

=

RP

+

T ;

Ou ainda em coordenadas homog ˆeneas:







e

X

e

Y

e

Z 1







=

R T 0 1







X Y Z 1







(49)

Transformaç ões de C âmera

Do SCM ao SCC, Mudanc¸a de referencial (forma de Rodriguez).

w

=





wx wy wz





representa a direç ão do eixo de rotaç ão e o ângulo de em torno

deste eixo (atrav és de sua norma) matriz de rotaç ão R associada a w é dada por: R

= cos (θ)

I

+

sen

(θ)

θ

[

w

]

x

+

(

1

− cos [θ])

θ

2 ww t (1) Onde

θ = k

w

k

e

[

w

]

_x

=





0

−

wz wy wz 0

−

wx wy wx 0





.

(50)

Introduc¸ ˜ao

Transformaç ões de C âmera

Do SCM ao SCC, Mudanc¸a de referencial . Outras formas de se obter a matriz R:

1 _{Angulos de Euler: ou seja dos ângulos sucessivos de rotaç ão em torno}ˆ

dos eixos.

2 _{Quaternions: generalizaç ão de n úmeros complexos para}

_R

3

(51)

Transformaç ões de C âmera

Do SCC ao SCI, Projec¸ ˜ao Perspectiva.





x y 1





≈





f 0 0 0 0 f 0 0 0 0 1 0











X Y Z 1







(52)

Introduc¸ ˜ao

Transformaç ões de C âmera

Do SCI ao SCP, Registro no Sensor.





u v 1





=





sx

τ

uc 0 sy vc 0 0 1









x y 1





sx e sy representam o n ´umero de pixels por unidade de comprimento, nas

direc¸ ˜oes horizontal;

uce vcfornecem a posiç ão, em pixels, da projeç ão ortogonal C da origem

sobre o plano de projeç ão; na maior parte das c âmeras, C est á no centro

da imagem e os valores de uc e vcs ˜ao idealmente iguais `a metade das

dimens ˜oes da imagem;

τ

´e a tangente do ˆangulo que as colunas de pixels formam com a

perpendicular `as linhas; (Idealmente 0)

(53)

Transformaç ões de C âmera

Compondo as Transformac¸ ˜oes.

[

p

] ≈





sx

τ

uc 0 sy vc 0 0 1









f 0 0 0 0 f 0 0 0 0 1 0





R T 0 1

[

P

]

; ou ainda

[

p

] ≈





fsx f

τ

uc 0 fsy vc 0 0 1





R T

[

P

]

(54)

Introduc¸ ˜ao

Transformaç ões de C âmera

Exerc´ıcios.

1 _{1) Continuar a implementac¸ ˜ao do programa de processamento de}

imagens da aula anterior: implementar o filtro passa-alta e mais dois m étodos de detecç ão de bordas (voc ê pode escolher). Devem ser entregues em um arquivo PDF: o programa fonte e um exemplo de imagem processada (incluir imagem original e imagem resultante) para cada um dos tr ês m étodos implementados

2 _{Encontre as transformaç ões de visualizaç ão de um sistema cuja c âmera}

est á posicionada na posiç ão

(

3

,

3

,

3

)

, o plano de projeç ão é definido pelo

ponto

(

1

,

1

,

1

)

e pelo vetor

(−

1

, −

1

, −

1

)

e o espac¸o de imagem ´e definido

por um quadrado de lado 20 centrado na origem do plano de projec¸ ˜ao.1

3 _{Considere este mesmo modelo de c ˆamera e ainda s}

x

=

sy

=

1, uc

=

600

e vc

=

400 e encontre as coordenadas da projec¸ ˜ao do ponto

(

0

,

0

.

5

,

0

.

5

) ∈ R

3

4 _{Descreva como fica a transformac¸ ˜ao projetiva com mais de um ponto de}

fuga.

1_{DICA: Use ângulos de Euler para determinar a matriz de rotaç ão R.}

(55)

Fundamentos de Processamento Gráfico

Fundamentos de Processamento Gr ´afico

Paradigma dos Quatro Universos

S´ıntese de imagem

Geometria

Geometria

Geometria

Geometria

Geometria

Projec¸ ˜oes

Projec¸ ˜oes

Exemplo

Geometrias n ˜ao Euclidianas

Geometrias n ˜ao Euclidianas

Geometrias n ˜ao Euclidianas

Geometrias n ˜ao Euclidianas

Geometrias n ˜ao Euclidianas

Geometrias n ˜ao Euclidianas

Projec¸ ˜ao Perspectiva

Projec¸ ˜ao Perspectiva

Exemplo

Projec¸ ˜ao Perspectiva

Exemplo

Exemplo

Exemplo

Moral da Hist ´oria...

Geometria Projetiva

R

∈

= (λ

, . . . , λ

, λ

), λ 6=

= (

, . . . ,

,

) ≡ λ

Geometria Projetiva

R

Geometria Projetiva

R

=

=

= {(

, . . . ,

,

),

6=

} ∪ {(

, . . . ,

,

)}

Geometria Projetiva

= (

, . . . ,

,

),

6=

, λ =

= (

, . . . ,

,

),

=

, λ =

[

;

;

]

Geometria Projetiva

Transformac¸ ˜oes Projetivas em RP

R

: R

:−→

: R

Anatomia de uma Transformac¸ ˜ao Projetiva

=





×