6. CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA

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6. CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA

6.1 Força Electromotriz

6.2 Resistências em Série e em Paralelo. 6.3 As Regras de Kirchhoff

6.4 Circuitos RC

6.5 Instrumentos Eléctricos

• Análise de circuitos simples que incluem baterias, R e C, diversamente combinados.

• A análise é simplificada pelo uso das (duas) Regras de Kirchhoff.

• As regras são consequência das leis da conservação da energia e da conservação da carga.

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6.1 Força Electromotriz

• Uma fonte de força electromotriz (fem) é um dispositivo

qualquer (uma bateria ou um gerador) que aumenta a energia potencial das cargas que circulam num circuito.

• A fem, ε, duma fonte é medida pelo trabalho feito sobre uma carga unitária. A unidade SI de fem é o volt.

• Vamos admitir que os fios de ligação têm R desprezável.

• Se desprezássemos a resistência interna (r) da bateria ⇒ ∆V na bateria (a V entre os terminais) = à fem da bateria.

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• Uma bateria real tem sempre uma certa r, por isso V entre os terminais ≠ da fem da bateria.

• Uma carga (+) deslocando-se entre “a” e “b” ⇒ quando passa do terminal (–) para o terminal (+) da bateria, o seu V aumenta de ε; ao deslocar-se através de r, o seu V

diminui de Ir (I= corrente no circuito) - + r d c R I a ε b bateria V = V_b – V_a = ε - Ir ⇒ ← entre os terminais da bateria

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• ε é a voltagem em circuito aberto, a voltagem entre os terminais quando a corrente é nula.

• Variações de V quando o circuito for percorrido no sentido a, b, c, d. V _ε r R ε IR Ir a b c d

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• A voltagem, V, entre os terminais da bateria = à diferença de potencial na R, que é muitas vezes denominada a resistência de carga, V = IR

V = ε - Ir V = IR

! I depende de r e da R

! Quando R >> r ⇒ podemos desprezar r na análise.

A potência total debitada pela fonte de fem, Iε, converte-se em potência dissipada pelo efeito Joule na resistência de carga, I2_R,

mais a potência dissipada na resistência interna, I2r.

! Se R >> r ⇒ a maior parte da P da bateria transfere-se para a resistência de carga. ε = IR + Ir ,, r R I + =

ε

Iε = I2 _{R + I}2 _r

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6.2 Resistências em Série e em Paralelo

Resistências em Série

• A corrente é a mesma através de ambas as resistência, pois qualquer carga que passa por R₁ também passa por R₂

• Queda de potencial entre a e b = IR₁ Queda de potencial entre b e c = IR₂ ⇒ A queda de potencial de a para c:

I a R₁ b R₂ c V I +

-)

(

₁ ₂ 2 1

IR

I

R

IR

V

=

+

=

+

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• Podemos substituir os dois R em série por uma única resistência equivalente R_eq,

• R_eq é equivalente à combinação em série R₁ + R₂ porque I no circuito será a mesma se R_eq substituir R₁ + R₂

• Três ou mais resistências ligadas em série:

• A R_eq de resistências em série é sempre maior do que qualquer das resistências individuais.

2 1

R

_eq

=

+

...

+

=

R

₁

R

₂

R

₃

R

_eq

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Resistências em Paralelo.

• A diferença de potencial é a mesma em todas as resistências. • A corrente não é, em geral, a mesma en todas as resistências. • Quando I atinge “a” (um nó), divide-se em duas partes, I₁ pelo

ramo R₁, e I₂ pelo ramo R₂. Se R₁ > R₂⇒ I₁ < I₂. A carga tende a seguir a via de menor R.

• A carga dever ser conservada ⇒ I = I ₁ + I₂ (a corrente I que entra no nó “a” deve ser igual à corrente que sai deste nó, I₁ + I₂ ) I a R₁ + -R₂ I₂ I₁ b V

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• Uma vez que a queda de potencial em cada R é a mesma, a lei de Ohm dá:

• Para três ou mais resistências

• Cada nova R ligada em paralelo com uma ou mais resistências diminui a R_eq do conjunto. eq R V R R V R V R V I I I _⎟⎟ = ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = + = + = 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 R R R_eq = + ⇒ → 2 1 2 1 R R R R R_eq + = 3 2 1 1 1 1 1 R R R R_eq = + +

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6.3 As Regras de Kirchhoff

• Muitas vezes não é possível reduzir um circuito a uma

simples malha que possa ser analisada pela Lei de Ohm e as regras das ligações das R em série ou em paralelo.

• A análise de circuitos mais complicados pode simplificar-se pelo uso de duas regras simples, as regras de Kirchhoff:

1. A soma das correntes que entram num nó é igual à soma das correntes que saem desse nó. (Um nó é qualquer ponto do circuito onde é possível a divisão da corrente.)

2. A soma algébrica das variações de potencial em todos os elementos duma malha fechada do circuito é igual a zero.

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• A primeira regra é um enunciado da conservação da carga: qualquer q que chega a um dado ponto do circuito, deve

abandonar esse ponto, pois não pode haver acumulação de q em nenhum ponto.

• A segunda regra é consequência da conservação da energia: qualquer q que se desloque ao longo de qualquer malha

fechada num circuito (começa e termina o deslocamento no mesmo ponto) deve ganhar tanta energia como aquela que perder.

I₁ I₂

I₃

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• Aplicação da segunda regra de Kirchhoff Regras de cálculo:

1. Se uma R for atravessada na direcção da I, a variação do potencial (∆V) na R é -IR

2. Se R for atravessada numa direcção oposta à de I ⇒ a ∆V no R é +IR a _b I a _b I ∆V = V_b – V_a = -IR ∆V = V_b – V_a = +IR

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3. Se uma fonte de fem for atravessada na direcção da fem (do terminal (-) para o (+)), a ∆V é +ε

4. Se uma fonte de fem for atravessada na direcção oposta à da fem (do (+) para (-)), a ∆V é - ε

! A regra das nós pode ser utilizada tantas vezes quantos os nós no circuito. ∆V = V_b – V_a = +ε ∆V = V_b – V_a = - ε a _b - + ε a _b + -ε

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! A regra das malhas pode ser usada desde que em cada nova equação apareça um novo elemento do circuito (R ou

) ou uma nova I.

* Em geral o número de vezes que a regra dos nós deve ser usada é uma unidade menor que o número de nós no

circuito. +

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-• O número de equações independentes de que se precisa deve ser pelo menos igual ao número de incógnitas, para que um certo problema seja solúvel.

• Redes complicadas ⇒ grande número de eq. lineares

independentes e grande número de incógnitas ⇒ álgebra de matrizes (ou programas de computador)

• Admite-se que os circuitos estejam em estado estacionário, e as I nos diversos ramos sejam constantes.

! Se um C aparecer como componente dum ramo, esse C actua como um interruptor aberto no circuito, e a I no ramo onde estiver será nula.

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Estratégia e sugestões para a resolução de problemas:

1. Faça o diagrama do circuito e identifique, com nomes ou símbolos, todas as grandezas conhecidas e desconhecidas. Em cada parte do circuito, atribua uma direcção a I. (*) 2. Aplique a regra dos nós (fácil!)

3. Aplique a segunda regra. Tenha atenção aos sinais!!! 4. Resolva o sistema de equações.

* Não fique preocupado se fizer uma escolha incorrecta do sentido duma corrente: nesse caso, o resultado terá o sinal negativo, mas o seu valor estará correcto. Embora seja arbitrária a fixação inicial da direcção de I, a partir daí é

indispensável respeitá-la RIGOROSAMENTE ao aplicar as regras de Kirchhoff.

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6.4 Circuitos RC

! Até agora: circuitos com as correntes constantes, os circuitos em estado estacionário.

! Agora: circuitos com C, nos quais as correntes podem variar com o tempo.

Quando se aplica uma diferença de potencial a um C

descarregado, a velocidade de carga do C depende da sua capacidade e da resistência do circuito.

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Carregando um Condensador

• C inicialmente descarregado.

• Quando S estiver aberto ⇒ não há I no circuito.

• Se S for fechado (t=0) ⇒ estabelece-se uma I ⇒ principia a carga do C.

• Durante esse processo, as cargas não passam através do C.

• Há transferência de q duma para outra placa através de R, S e ε, até que o C adquira a plena carga.

• O valor da q_max depende da fem da bateria. • Uma vez atingida esta q_max → I no circuito é nula.

S ε R C t < 0 S ε R C t > 0 +q -q I

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Discussão Quantitativa:

Aplicamos a regra das malhas (Kirchhoff), ao circuito depois de S ter sido fechado ⇒

! q e I são valores instantâneos durante o processo de carga

do C.

Podemos usar para achar a I inicial no circuito e a q_max no condensador: 1 0 = − − C q IR ε 1 queda de potencial na R queda de potencial no C

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• Em t = 0, S é fechado ⇒ a carga no C é zero.

⇒ → a I inicial no circuito, I₀, é um máximo (I em t = 0)

! Nesse instante, a queda de potencial ocorre inteiramente na resistência.

• Quando o C estiver com a sua q_max = Q ⇒ cessa o

movimento das q, I = 0 ⇒ ! A queda de potencial ocorre inteiramente no C

I = 0 + → Q = Cε (q máxima)

1 I0 = ε _R

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• Dependência temporal da q e da I: 1 ⎟ = 0 − 1 − = 0 ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ ₋ dt dI R dt dq C IR C q dt d ε 0 = ⇒ = dt d cte ε ε dt dq I = C I dt dI R = − dt RC I dI 1 =

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R e C são constantes ⇒ esta equação pode ser integrada, com a

condição inicial.

I = I₀ em t = 0

A fim de achar q no C, em função de t, podemos substituir na Eq e integrar: RC t I I dt RC I dI t I I ⎟⎟⎠ = − ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − =

∫

0 0 0 1 ln , RC t RC t e R e I t I ( ) = ₀ − =

ε

− ₂ dt dq I = 2

dt

e

R

dq

e

R

dt

dq

t_RC RC t − −

=

ε

,

ε

(23)

Usando q = 0 em t = 0 ⇒

:

,

usando

e

dx

e

vem

e

dt

e

R

dq

t x x q RC t α α

α

ε

−

₌

₋

−

=

∫

−

1

0 0 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − = _C _e −t RC _Q _e −t RC t q ( )

ε

1 1 3 q _max no C q t τ = RC I t Cε 0.63Cε I₀ 0.37 I₀ R E I₀ = τ τ 3 2

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! q = 0 em t = 0; q → q_max = Cε quando t → ∞

! I_max = I₀ = ε/R em t = 0 e decai exponencialmente até zero quando t → ∞

• A grandeza RC das Eqs. é a constante de tempo, τ, do circuito → O tempo necessário para I decrescer para o valor 1/e do seu valor inicial.

• No tempo τ, I = e-1 _I

0= 0.37 I0

No tempo 2τ I = e-2 _I

0= 0.135 I0

• Da mesma forma, no tempo τ a carga aumentará de zero até •

[

]

ε

e C C 1− −1 = 0.63

[ ] [ ]

[ ]

T T Q Q V Q I V RC _⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ × = = τ _← _{Dimensão de tempo}

(25)

• Trabalho feito pela bateria no processo de carga Qε = C ε2

C completamente carregado → energia no C: ½ Qε = ½Cε2 ₌

metade do W feito pela bateria.

→ A outra metade é dissipada como calor na R, por efeito de Joule.

(26)

Descarga de um Condensador

• Carga inicial no C → Q

• t < 0, interruptor (S) aberto ⇒ V = Q/C no C V = 0 na R (I = 0)

• t = 0, interruptor (S) fechado ⇒ o C principia a descarregar-se através da R.

• Num certo instante t ⇒ corrente = I, carga = q

• 2ª regra de Kirchhoff ⇒ IR = q/C → a queda de potencial na R = à diferença de potencial no C. R s C +Q_-Q t < 0 R I C +q -q t > 0

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A corrente no circuito é igual à taxa de diminuição da carga no C, I = -dq/dt

Integrando, com a condição inicial q = Q em t = 0

Derivando a Eq. em ordem ao tempo ⇒

Onde I₀ = Q/RC (corrente inicial)

A carga no C e a I no circuito decrescem exponencialmente a uma taxa caracterizada pela constante de tempo τ = RC

dt RC q dq C q dt dq R = = − 1 − , → → − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

∫

dt _Qq _RCt RC q dq t q Q 0 ,, ln 1

( )

t_RC

Qe

t

q

=

−

( )

_e tRC _I _e tRC RC Q dt dq t I = − = − = ₀ −

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• O Amperímetro → aparelho que mede corrente eléctrica

No caso ideal, um amperímetro deve ter resistência nula, de modo a não alterar a corrente a ser medida.

• O Voltímetro → dispositivo que mede diferenças de potencial.

Um voltímetro ideal tem resistência infinita, de modo que não haja passagem de corrente através dele.

! Ter sempre em conta a polaridade do instrumento.

6.5 Instrumentos Eléctricos

A

+

(29)

• O Galvanómetro → é o principal componente dos amperímetros e dos voltímetros.

• A operação do galvanómetro baseia-se no facto de haver um momento sobre uma espira de corrente na presença dum campo magnético.

• O momento sobre a bobina é proporcional à corrente na bobina: a deflexão angular da bobina é proporcional à corrente.

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Galvanómetro num Amperímetro

Exemplo: para medir uma I = 2A com um galvanómetro, R_G = 60 Ω ⇒ R_P ~ 0.03 Ω

Galvanómetro num Voltímetro

Exemplo: para medir uma V_max = 100V com um galvanómetro,, R_G = 60 Ω ⇒ R_S~ 105 Ω R_P 60 Ω R_S 60 Ω R_P – resistência shunt R_P << R_G R_S >> R_G