Mestrado Integrado em Engenharia Civil. Disciplina: TRANSPORTES Prof. Responsável: José Manuel Viegas

(1)

Sess ão Prá tica 12 : Modelo s de dist ribuição e afectação de tráfeg o

Mestrado Integrado em Engenharia Civil

Disciplina: TRANSPORTES

Prof. Responsável: José Manuel Viegas

Sessão Prática 12 :

Modelos de distribuição e

afectação de tráfego

(2)

O MODELO DE 4 PASSOS

Passo

Objectivo do modelo

Decisão

Representação

1 – Geração / Atracção

Estimar o nº de viagens iniciadas

ou terminadas em cada zona Vou ou não vou ?

Estimar a bordadura da matriz O/D (1 ou 2 lados)

2 – Distribuição

Para as viagens iniciadas em cada zona, estimar a fracção que se destina a cada zona

Para onde ? Estimar o miolo da matriz O/D

3 – Repartição Modal

Das viagens entre cada par de zonas, estimar a fracção que se realiza em cada modo

Com que modo de transporte ?

“Fatiar” a matriz em O/D em tantas matrizes quantos os modos

4 – Afectação de Tráfego

Estimar escolhas de caminhos nas viagens de cada modo, e por

acumulação estimar as cargas de tráfego em cada arco da sua rede

Por que caminho ?

“Projectar” as viagens representadas em cada matriz O/D sobre as redes do modo correspondente

(3)

Distribuição: Conceitos básicos

A estimação indirecta de matrizes O/D pode ser feita com base em

dois modelos relativamente simples:



Um modelo de geração, que estima o número de viagens com origem

ou destino em cada zona, a partir da sua carga de usos do solo (que

motivam essas viagens)



Com este modelo ficamos a conhecer uma ou ambas as bordaduras da

matriz O/D



Um modelo de distribuição, que estima para onde se dirigem as

viagens iniciadas em cada zona, e / ou onde tiveram origem as viagens

que se sabe terminarem numa zona

(4)

Modelo de distribuição



No fim do 1º passo conhece-se uma ou ambas as bordaduras da matriz O/D, e

aqui o que se pretende é estimar o miolo a partir dessa bordadura completa ou

parcial



No caso mais simples, conhece-se apenas uma bordadura, por exemplo a das

atracções (bordadura horizontal: D

_j

).



Este modelo é habitualmente chamado de modelo gravitacional a uma restrição

(aqui, o somatório das viagens por coluna é constrangido a tomar o valor obtido

no 1º passo).



Nesse caso, a pergunta é: do total de viagens que chegam à zona j, quantas

tiveram origem em cada uma das zonas i ? Essa pergunta pode ser formulada

em termos probabilísticos: para cada uma das viagens terminadas em j, qual a

probabilidade que tenha sido iniciada em i?



Se conhecermos estas probabilidades p(i |j), o fluxo T

_ij

será obtido por

)

( j

i

p

D

T

_ij



_j



: total de viagens com destino a j

(5)

Modelo Gravitacional (I)



A expressão actualmente mais utilizada é :

com o parâmetro β obtido por calibração



A expressão do denominador é formalmente igual à do numerador e é

independente da zona i cuja probabilidade de emissão se pretende estimar.



De facto, esse valor do denominador depende apenas de j, e da sua distância ao

conjunto das outras zonas. Pode por isso designar-se A

_j



Se se considerar o caso em que se conhecem as duas bordaduras, ou seja o

modelo gravitacional a duas restrições, a abordagem ingénua levaria a resolver

sucessivamente o modelo a uma restrição para o lado da atracção e para o lado

da geração, mas isso conduz a resultados bastante diferentes nos dois casos











   





k C k C i kj ij

e

M

e

M

j

i

p

_ 

)

|

(

ij

C

j

i

A

e

M

j

i

p

(

|

)











(6)

Modelo Gravitacional (II)



A formulação que permite resolver simultaneamente as restrições nos dois sentidos

deve ainda preservar o “espírito” gravitacional, isto é, a proporcionalidade ao produto

das massas e a degradação com o aumento da distância ou custo de deslocação entre

as zonas em causa.



Como neste caso conhecemos a quantidade de viagens gerada O

_i

e atraída D

_j

por cada

zona i [são estes os resultados do 1º passo], é natural que se usem estas variáveis

como massas das zonas



Teríamos então uma fórmula do tipo



sendo f tal que se verifiquem as seguintes restrições



C

ij



j

i

ij

f

O

D

e

T











j i ij i j ij

D

T

O

T





(7)

Modelo Gravitacional (III)



A forma de resolver este problema é através da criação de duas novas variáveis,

agora designadas A

_i

e B

_j

em que a satisfação duma daquelas restrições de soma impõe que seja

e a satisfação da outra



Verifica-se que as expressões da A

_i

e de B

_j

se invocam uma à outra, o que

levanta alguns problemas para a calibração do parâmetro

ij C j j i i ij

O

A

D

B

e

T









_

 



j C j j i _ij

e

B

D

A

1

_



 





i C i i j _ij

e

A

O

B

1

_

(8)

Modelo Gravitacional (IV)



A forma mais simples de fazer a calibração do modelo a duas

restrições é:



Começar por arbitrar valores para o parâmetro β e para a variável A

(por exemplo A

_i

= 1 , para todas as zonas i),



Substituir esses valores nas expressões de B

_j

,



Calibrar de seguida o valor óptimo de β e da variável A



Com esse valor de β e da variável A, calculam-se os novos valores de

B

_j

que deles decorrem, passando a uma nova iteração de calibração

simples de β.

(9)

Falibilidade dos processos de

estimação de matrizes por modelos analíticos



Os modelos de geração / atracção e de distribuição produzem

frequentemente resultados de qualidade relativamente baixa



Porque correspondem a escolhas em que intervêm factores mais

difíceis de medir e representar adequadamente por modelos lineares

baseados em variáveis contemporâneas



entre esses factores sobressaem as economias de aglomeração, os

hábitos dos cidadãos, e mesmo o “estar na moda”



Admite-se por isso que poderão ser menores os erros de estimação

de situações futuras se se adoptar em sua substituição uma

abordagem diferencial, pela qual se projecta a matriz O/D presente

para uma futura



esta abordagem implica parcimónia nos horizontes de projecção



que aliás a própria evolução dos padrões de actividades já implicaria

(10)

Exercício 12.1 - Enunciado

A função de impedância é do tipo exp(β*c(ij)).

A matriz de custos generalizados é a seguinte:

O/D 1 2 3 4 Oi 1 120 86 90 155 451 2 97 92 51 134 374 3 47 42 29 62 180 4 142 126 125 205 598 Dj 406 346 295 556 O/D 1 2 3 4 Oi 1 451 2 374 3 180 4 598 Dj 406 346 295 556

Estime os fluxos F

_ij

da matriz O/D usando o modelo gravitacional (a duas

restrições) conhecendo as bordaduras O

_i

e D

_j

apresentadas de seguida:

1 2 3 4

1 3.0 4.5 6.2 9.0

2 4.5 2.0 5.1 7.4

3 6.2 5.1 1.0 2.5

4 9.0 7.4 2.5 4.0

(11)

Exercício 12.1 – Resolução (I)

Expressões necessárias para a resolução do problema



   m k j m c m A m O j B k i c k B k D i A j i c j B j D i A i O j i F ))] , ( ( * exp( * ) ( * ) ( [ 1 ) ( ))] , ( ( * exp( * ) ( * ) ( [ 1 ) ( )) , ( * exp( * ) ( * ) ( * ) ( * ) ( ) , (



1ª iteração (arbitrar A e Beta, calcular B e fluxos, calibrar A e Beta)

Os valores arbitrados inicialmente para A e beta são os seguintes:

A beta 1 0.5 2 0.5 3 0.5 4 0.5 -0.3

(12)

Exercício 12.1– Resolução (II)

Calcular a matriz exp(β*c(ij)) com os valores iniciais arbitrados para beta

1 2 3 4

1 0.4066 0.2592 0.1557 0.0672 2 0.2592 0.5488 0.2165 0.1086 3 0.1557 0.2165 0.7408 0.4724 4 0.0672 0.1086 0.4724 0.3012

Para estes valores calcular B e estimar os fluxos, assim como os erros quadráticos entre as

previsões e os valores observados. Os valores iniciais de B são os seguintes

1 2 3 4

B(dep. de

A) 0.005738408 0.004693761 0.003527242 0.00595115

(13)

Exercício 12.1 – Resolução (III)

As estimativas dos fluxos são

A soma dos erros quadráticos é 64753, e o coeficiente de correlação entre os valores

observados e os valores estimados é de 0,516

Em seguida utilizar o solver do Excel para se estimar os novos beta, A e B (resolvendo o

problema em ordem a A e B, de modo a minimizar a soma dos erros quadráticos)

1 2 3 4 Total 1 213.6 94.9 36.5 50.1 395.2 2 112.9 166.7 42.1 67.2 389.0 3 32.6 31.6 69.4 140.7 274.3 4 46.8 52.7 147.0 298.0 544.5 Total 406 346 295 556

(14)

(15)

Exercício 12.1– Resolução (V)

beta A -0.010711048 A*O 1 0.465707975 210.0343 2 0.468194915 175.1049 3 0.453814118 81.68654 4 0.459506805 274.7851 1 2 3 4 1 0.9684 0.9529 0.9357 0.9081 2 0.9529 0.9788 0.9468 0.9238 3 0.9357 0.9468 0.9893 0.9736 4 0.9081 0.9238 0.9736 0.9581 1 2 3 4 B(dep. de A) 0.00143631 0.001423013 0.00140711 0.00143826 B*D 0.583142051 0.492362407 0.415097566 0.79967446 1 2 3 4 Soma 1 118.6 98.5 81.6 152.5 451.3 2 97.3 84.4 68.8 129.4 379.9 3 44.6 38.1 33.5 63.6 179.8 4 145.5 125.0 111.0 210.5 592.1 Soma 406 346 295 556

Os novos valores de A e beta são A matriz exp(β*c(ij)) estimada para os novos valores de beta é

Os novos valores de B são

A matriz de fluxos resultante da 1ª iteração é

O valor da soma dos erros

quadráticos é 917, e o

coeficiente de correlação é

0,986

(16)

Exercício 12.1 – Resolução (VI)

2ª iteração

Calcular A a partir de B, calcular B e fluxos, calibrar beta

Os novos valores de A calculados a partir de B são

Em seguida calcula-se B e calibra-se beta de modo a reduzir a soma dos erros

quadráticos entre os fluxos observados e os fluxos estimados. Os resultados da

calibração de beta (após a utilização do solver) dão o seguinte valor: -0.010701077

A soma dos erros quadráticos é 934,86 e o coeficiente de correlação é 0,986

Estes parâmetros são piores que os da 1ª iteração, mas tal deve-se ao facto de

que acrescentámos mais uma restrição na 2ª iteração

A A*O

1 0.465439 209.913 2 0.460958 172.398 3 0.454322 81.778 4 0.46411 277.538

(17)

Exercício 12.1 – Resolução (VII)

A matriz exp(β*c(ij)) estimada para os novos valores de beta é

1 2 3 4

1 0.9684 0.9530 0.9358 0.9082

2 0.9530 0.9788 0.9469 0.9239

3 0.9358 0.9469 0.9894 0.9736

4 0.9082 0.9239 0.9736 0.9581

Os valores finais de B (após a calibração de beta) são

1 2 3 4

B 0.001436456 0.001423 0.001407 0.001438 B*D 0.583201226 0.492433 0.415026 0.799494 dif.rel.iter.ant. 0.00010147 0.000143 0.000172 0.000226

Calcula-se também a diferença relativa entre B e o B da iteração anterior, a qual serve de critério de paragem.

Os fluxos estimados são

1

2

3

4

1

118.6

98.5

81.5

152.4

2

95.8

83.1

67.7

127.3

3

44.6

38.1

33.6

63.7

4

147.0

126.3

112.1

212.6

(18)

Exercício 12.1 – Resolução (VIII)

3ª iteração

Os passos são semelhantes aos da iteração anterior.

Estimação inicial de A (com base nos B’s finais da iteração anterior)

Em seguida calcula-se B e calibra-se beta de modo a reduzir a soma dos erros

quadráticos entre os fluxos observados e os fluxos estimados

Os resultados da calibração de beta (após a utilização do solver) dão o seguinte valor:

-0.010963354

A soma dos erros quadráticos é 934.496 e o coeficiente de correlação é 0,986

A A*O

1 0.465435 209.911 2 0.460958 172.398 3 0.454331 81.780 4 0.46411 277.538

(19)

Exercício 12.1– Resolução (IX)

A matriz exp(β*c(ij)) estimada para os novos valores de beta é

Os valores finais de B (após a calibração de beta) são

A matriz resultante de fluxos é a seguinte:

1 2 3 4 1 0.9676 0.9519 0.9343 0.9060 2 0.9519 0.9783 0.9456 0.9221 3 0.9343 0.9456 0.9891 0.9730 4 0.9060 0.9221 0.9730 0.9571 1 2 3 4 B 0.001438672 0.001423 0.001407 0.001438 B*D 0.584101014 0.492433 0.415026 0.799494 dif.rel.iter.ant. 0.001541654 0 0 0

Os resultados das diferenças entre B e o B anterior são suficientemente pequenos para se considerar que o processo iterativo pode terminar nesta iteração. 1 2 3 4 1 118.6 98.4 81.4 152.1 2 95.9 83.1 67.7 127.1 3 44.6 38.1 33.6 63.6 4 146.9 126.0 112.1 212.4

Nota: Os resultados da calibração são melhores que o habitual com o

modelo gravitacional porque este exercício foi feito com poucos graus de liberdade (variáveis a estimar menos parâmetros calibrados).

(20)

O Modelo de afectação de tráfego



No passo de afectação de tráfego são já conhecidos os fluxos de viajantes

em cada um dos modos entre cada par de zonas, havendo agora que estimar

como se repartem esses viajantes pelos vários caminhos possíveis (para

cada modo e par de zonas).



À partida poderia apontar-se para usar também neste passo um modelo de

escolha discreta como o do passo anterior, em que agora cada alternativa

corresponde a um caminho.



Isso não deve ser feito quando se está perante redes congestionadas,

porque os atributos de cada caminho (nomeadamente o seu tempo de

viagem) dependem de quantos viajantes escolhem esse caminho.



Vários algoritmos têm sido propostos, com diferentes sofisticações e campos de

aplicação

Estocástico Equilíbrio

Sem auto-correcção de velocidades Com auto-correcção de velocidades

(21)

Exercício 12.2 – Enunciado

 Supondo que, no ano horizonte, entre duas zonas A e B venham a ser realizadas, em hora de ponta, 3000

viagens/hora/sentido em TI. Admitindo que todas essas viagens utilizem apenas a rede representada na figura seguinte:

 Determine o tráfego previsto em cada um dos arcos para o ano horizonte, considerando que 12,5 km do

caminho 2 está sujeito a portagem, um custo do tempo de 12,5 Cênt./min e um custo por quilómetro igual a 10 Cênt./km.:

a) Recorrendo a um modelo “Tudo-ou-Nada”.

b) Recorrendo a um modelo Estocástico, com utilização de uma expressão Multinomial LOGIT de parâmetro θ

= 0,01.

c) Recorrendo a um modelo incremental (com incrementos de 40%, 30%, 20% e 10%), admitindo que a

(22)

Exercício 12.2 - Resolução

Resolução: a) Custo generalizado = C =

Considerando: c_tempo = 12,5 Cênt./min e c_distância = 10 Cênt./km Obtemos:

C1 = 21,6x12,5 + 18x10 + 0 = 450 Cênt. C2 = 13,9x12,5 + 22x10 + 6x12,5 = 469 Cênt. C3 = 19x12,5 + 19x10 + 0 = 428 Cênt.

Resultando, de acordo com o Modelo “Tudo-ou-Nada”: Portagem c d c v d distância tempo    A B 0 veíc./h 3000 veíc./h 0 veíc./h

(23)

Exercício 12.2 - Resolução

b) Os custo são os mesmos da alínea anterior, restando calcular as probabilidades de serem escolhidos cada um dos caminhos:

A afectação à rede pretendida resulta então nos seguintes resultados:

% 4 . 32 428 01 , 0 469 01 , 0 450 01 , 0 450 01 , 0 1  _ _ _ _ _ _ _ _    e e e e P %% 9 , 26 428 01 , 0 469 01 , 0 450 01 , 0 469 01 , 0 2     _ _ _ _ _ _ e e e e P % 6 , 40 428 01 , 0 469 01 , 0 450 01 , 0 428 01 , 0 3     _ _ _ _ _ _ e e e e P A B 973 veíc./h 1219 veíc./h 808 veíc./h

(24)

Exercício 12.2 - Resolução

c) Procede-se, de acordo com o Modelo Incremental, à afectação gradual da procura, neste

caso realizada em 4 iterações:

1ª Iteração – Afectação de 40% da procura = 1200 veíc./h

O custo generalizado é calculado através da expressão:

C=

Cálculo da degradação de velocidade no arco 3 (único que sofreu alteração de fluxo nesta iteração):

Caminho

Velocidade Tempo percurso

Custo generalizado Fluxo (km/h) (min) (Cênt.) (veíc./h) 1 50 22 450 0 2 95 14 469 0 3 60 19 428 1200 Portagem c d c v d distância tempo   

(25)

Exercício 12.2 - Resolução

2ª Iteração – Afectação de 30% da procura = 900 veíc./h

Cálculo da degradação de velocidade no arco 1:

Caminho

Velocidade Tempo percurso Custo generalizado Fluxo (km/h) (min) (Cênt.) (veíc./h) 1 50 22 450 900 2 95 14 469 0 3 48 24 487 1200

(26)

Exercício 12.2 - Resolução

Cálculo da degradação de velocidade no arco 2:

Caminho Velocidade (km/h) Custo (Cênt.) Fluxo (veíc./h) 1 43,0 494 900 2 95,0 469 600 3 48,0 487 1200

(27)

27/27 Sess ão Prá tica 12 : Modelo s de dist ribuição e afectação de tráfeg o

Instituto Superior Técnico / Mestrado Integrado Engª Civil – Transportes – Aulas práticas

Exercício 12.2- Resolução

Da aplicação do Modelo Incremental resulta:

Nota: o método de afectação por equilíbrio conduz a resultados idênticos mas de forma mais elegante e mais eficiente (mas mais dificil de calcular manualmente).

A B

900 veíc./h

1200 veíc./h 900 veíc./h

Caminho

Velocidade Tempo percurso Custo generalizado Fluxo (km/h) (min) (Cênt.) (veíc./h) 1 43 25 494 900 2 95 14 469 600 3 48 24 487 1200