Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos 1 INE 7002 GABARITO LISTA DE EXERCÍCIOS MODELOS PROBABILÍSTICOS

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INE 7002 – GABARITO LISTA DE EXERCÍCIOS –MODELOS PROBABILÍSTICOS

35) a) Binomial: cada realização tem apenas 2 resultados possíveis, o número de realizações é conhecido, e a probabilidade de sucesso é suposta constante (pois não há nenhuma informação em contrário). n = 20 p = 0,05

b) P(X>0) = 1 – P(X = 0) = 1 – C20,0 × 0,050 × 0,9520

c) P(X = 2) = C20,2 × 0,052 × 0,9518

d) E(X) = n × p = 20 × 0,05 = 1 erro.

36) a) Binomial: ver motivos em 35 a). n = 5 p = 0,5

b) P(X  4) = P(X = 4) + P(X = 5) = C5,4 × 0,54 × 0,51 + C5,5 × 0,55 × 0,50

c) E(X) = n × p = 5 × 0,5 = 2,5 caras. Não, a variável não pode assumir este valor. 37) a) Binomial: ver motivos em 35 a). n = 10 p = 0,5

b) P(X  8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10)

= C10,8 × 0,58 × 0,52 + C10,9 × 0,59 × 0,51 + C10,10 × 0,510 × 0,50

b) P(X  1) = 1 – P(X < 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – C3,0 × 0,10 × 0,93

39) a) Binomial: ver motivos em 35 a). n = 11 p = 0,8 b) P(X = 11) = C11,11 × 0,811 × 0,20 = 0,085899

c) P(X = 0) = C11,0 × 0,80 × 0,211

d) P(X  6) = P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X =11)

= C11,6 × 0,86 × 0,25 + C11,7 × 0,87 × 0,24 + C11,8 × 0,88 × 0,23 + C11,9 × 0,89 × 0,22 +

C11,10 × 0,810 × 0,21 + C11,11 × 0,811 × 0,20 = 0,98834

Como P(X  6) > 0,75, a associação deve processar o fabricante. e) E(X) = n × p = 11 × 0,8 = 8,8 carros.

40) a) Binomial: ver motivos em 35 a). n = 5 p = 0,1 b) P(X = 3) = C5,3 × 0,13 × 0,92 = 0,0081

c) P(X  1) = P(X = 0) + P(X = 1) = C5,0 × 0,10 × 0,95 + C5,1 × 0,11 × 0,94 = 0,91854

d) Novo n = 10, novo p = 0,91854 => Sucesso: caixa aceita. P(X  8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X =10)

= C10,8 × 0,918548 × 0,081462 + C10,9 × 0,918549 × 0,081461 + C10,10 × 0,9185410 × 0,081460

41) Proposta 1 versus Proposta 2 Binomial: p = 0,03 Proposta 1 – n = 80 P(X  3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X =3) = C80,0 × 0,030 × 0,9780 + C80,1 × 0,031 × 0,9779 + C80,2 ×0,032 ×0,9778 + C80,3 ×0,033 ×0,9777 = 0,78066 Proposta 2 – n = 40 P(X = 0) = C40,0 ×0,030 ×0,9740 = 0,29571

Proposta Lote P(Aceitar) P(Rejeitar) Lucro

1 4000 0,78066 0,21934 60 se aceitar, 30 se não

2 4000 0,29571 0,70249 65 se aceitar, 20 se não

E(Lucro1) = (4000 × 60 × 0,78066) + (4000 × 30 × 0,21934) = 213679,20 E(Lucro2) = (4000 × 65 × 0,29571) + (4000 × 20 × 0,70249) = 133227,80 Escolhe-se a proposta 1 pois tem o maior lucro.

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42) a) Binomial, n = 18, p = 0,06 P(X = 0) = C18,0 ×0,060 ×0,9418 = 0,3283

b) Binomial, novo p = 0,3283, novo n = 8

P(X  1) = P(X = 0) + P(X = 1) = C8,0 ×0,32830 ×0,67178 + C8,1 ×0,32831 ×0,67177

b) P(X  2) = 1 – P(X < 2) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) = 1 – C12,0 ×0,250 ×0,7512 - C12,1 ×0,251 ×0,7511

c) P(X  4) = 1 – P(X< 4) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) – P(X = 2) – P(X = 3)

= 1 - C12,0 ×0,250 ×0,7512 - C12,1 ×0,251 ×0,7511 - C12,2 ×0,252 ×0,7510 - C12,3 ×0,253 ×0,759

d) P(X  1) = 1- P(X < 1) = 1- P(X = 0) = 1 - C12,0 ×0,250 ×0,7512

e) E(X) = n × p = 12 × 0,25 = 3 Desvio padrão  np(1p)  120,250,751,5

44) Binomial n = 9 p = 0,8

a) E(X) = n × p = 9 × 0,8 = 7,2 micros

b) P(X > 7) = P(X = 8) + P(X = 9) = C9,8 ×0,88 ×0,21 + C9,9 ×0,89 ×0,20 = 0,4362

c) Não, porque a probabilidade em b é menor do que 0,60 (60%). 45) Binomial n = 15 p = 0,95

a) P(X  10) = 1 – P(X > 10) = 1 – P(X = 11) – P(X = 12) – P(X = 13) – P(X = 14) – P(X = 15) = 1 - C15,11 ×0,9511 ×0,054 - C15,12 ×0,9512 ×0,053 - C15,13 ×0,9513 ×0,052 - C15,14 ×0,9514 ×0,051

- C15,15 ×0,9515 ×0,050 = 0,0006146

b) Não, a probabilidade é muito baixa. c) Novo n = 1200 p = 0,95

E(X) = n × p = 1200 × 0,95 = 1140 Desvio padrão  np(1p)  12000,950,057,55

46) Poisson  = 2,25 crianças/dia t = 1 dia  × t = 2,25 × 1 = 2,25 crianças P(X > 2) = 1 – P(X  2) = 1- P(X = 0) – P(X = 1) – P(X = 2) = _                           ! ) , ( e ! ) , ( e ! ) , ( e , , , 2 25 2 1 25 2 0 25 2 1 2 25 2 1 25 2 0 25 2 = 1 – 0,60933 = 0,39067 O hospital não deve ser instalado: P(X > 2) < 0,5.

47) Poisson  = 0,5 carros/dia t = 2 dias  × t = 0,5 × 2 = 1 carro a) P(pagar dívida) = P(X  3) = 1- P(X < 3) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) – P(X = 2) = _                           ! ) ( e ! ) ( e ! ) ( e 2 1 1 1 0 1 1 2 1 1 1 0 1

= 0,0803 Este valor é o correto, o indicado como resposta na lista está errado.

b) P(X = 0) = 03678 0 1 0 1 , ! ) ( e         

c) E(X) =  × t = 0,5 × 2 = 1 carro V(X) =  × t = 0,5 × 2 = 1 carro2 Desvio padrão  V(X)  1= 1 carro.

48) Poisson  = 4 chamadas/hora a) t = 0,5 horas  × t = 4 × 0,5 = 2 chamadas P(X > 3) = 1 – P(X ≤ 3) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) – P(X = 2) – P(X = 3) = _                                    ! 3 ) 2 ( e ! 2 ) 2 ( e ! 1 ) 2 ( e ! 0 ) 2 ( e 1 3 2 2 2 1 2 0 2 = 1 – 0,85712 = 0,14288 Há uma probabilidade relativamente pequena de que as 3 viaturas não seja suficientes. b) t = 1 hora  ×t = 4 ×1 = 4 chamadas

(3)

P(X = 0)= _        ! 0 ) 4 ( e 4 0 = 0,0183156 c) t = 2 horas  ×t = 4 × 2 = 8 chamadas P(X = 0) = _        ! 0 ) 8 ( e 8 0 = 0,000335462

A chance de não atender nenhuma chamada é muito pequena. 49) Poisson  = 0,20 chamadas/minuto a) t = 10 minutos  × t = 0,2 × 10 = 2 chamadas P(X = 3) = _        ! 3 ) 2 ( e 2 3 = 0,1804 b) t = 10 minutos  × t = 0,2 × 10 = 2 chamadas P(X ≥ 5) = 1 – P(X < 5) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) – P(X = 2) – P(X = 3) – P(X = 4) = _                                             ! 4 ) 2 ( e ! 3 ) 2 ( e ! 2 ) 2 ( e ! 1 ) 2 ( e ! 0 ) 2 ( e 1 4 2 3 2 2 2 1 2 0 2 = 0,0526 c) t = 60 minutos  × t = 0,2 × 60 = 12 chamadas P(X = 10) = _        ! 10 ) 12 ( e 12 10 = 0,1048 d) t = 360 minutos  × t = 0,2 × 360 = 72 chamadas P(X ≤ 5) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = _                                                     ! 5 ) 72 ( e ! 4 ) 72 ( e ! 3 ) 72 ( e ! 2 ) 72 ( e ! 1 ) 72 ( e ! 0 ) 72 ( e 72 0 72 1 72 2 72 3 72 4 72 5 _ 0 e) Meia hora t = 30 minutos E(X) =  × t = 0,2 × 30 = 6 chamadas.

Turno completo t = 360 minutos E(X) =  × t = 0,2 × 360 = 72 chamadas.

50) Poisson Impurezas =>  = 0,005/cm3 Bolhas =>  = 0,15/cm3 t = 10 cm3. a) A peça é considerada defeituosa se apresentar 2 ou mais defeitos, sejam eles por impurezas ou bolhas isoladamente, ou qualquer combinação possível deles. Como os defeitos são independentes podemos somar suas taxas de ocorrência e obter a taxa combinada de defeitos:  =  impurezas +  bolhas = 0,005 + 0,15 = 0,155 defeitos/cm3. Como t = 10 cm3, então  × t = 0,155 × 10 = 1,55 defeitos.

P(peça defeituosa) = P(X ≥ 2) = 1 – P(X < 2) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) = _                  ! 1 ) 55 , 1 ( e ! 0 ) 55 , 1 ( e 1 1 55 , 1 0 55 , 1 =1 – 0,5411 = 0,4589 b) Binomial n = 3 p = 0,4589 P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = C3,0 ×0,45890 ×0,54113 + C3,1 ×0,45891 ×0,54112 = 0,5615

c) c.1 – P(Defeito) = 0,4589 => Lucro = -5 P(Sem defeito) = 0,5411 => Lucro = 10 – 5 = 5 E(Lucro) = (-5 × 0,4589) + (5 ×0,5411) = 0,411

c.2 – E(Lucro em 1500 peças) = 1500 × E(Lucro) = 1500 × 0,411 = 616,5 51) Poisson  = 4 carros/ 15 minutos = 16 carros/hora

a) t = 0,5 horas  × t = 16 × 0,5 = 8 carros P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + ... = 1 – P(X  2) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) – P(X = 2) = _                           ! ) ( e ! ) ( e ! ) ( e 2 8 1 8 0 8 1 2 8 1 8 0 8 = 0,9862 b) t = 1 hora  × t = 16 × 1 = 16 carros P(X  2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = _                          ! ) ( e ! ) ( e ! ) ( e 2 16 1 16 0 16 0 16 1 16 2 16 = 0,000016318

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c) Sim, porque a probabilidade de chegarem até 2 carros em uma hora é muito baixa. 52) Como p = 0,00001 é muito baixa, podemos usar Poisson como aproximação a binomial. a) n = 200 m = n × p = 200 × 0,00001 = 0,002 P(realizar negócio) = P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = _                 ! ) , ( e ! ) , ( e , , 1 002 0 0 002 0 0 0002 1 002 0  1. b) n = 2000 m = n × p = 2000 × 0,00001 = 0,2 P(realizar negócio) = P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = _                 ! ) , ( e ! ) , ( e , , 1 2 0 0 2 0 0 02 1 2 0 = 0,9824 c) n = 200000 m = n × p = 200000 × 0,00001 = 2 P(realizar negócio) = P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = _                 ! ) ( e ! ) ( e 1 2 0 2 0 2 1 2 = 0,4060

53) Poisson:  = 4 itens/6 horas t = 12 horas  × t = 8 itens

a) P(X > 4) = 1 – P(X  4) = 1 – P(X = 0) – P(X =1) – P(X =2) – P(X =3) – P(X=4) = _                                             ! ) ( e ! ) ( e ! ) ( e ! ) ( e ! ) ( e 4 8 3 8 2 8 1 8 0 8 1 4 8 3 8 2 8 1 8 0 8 = 1 – 0,0996 = 0,9004 b) P(X > 7) = 1 – P(X  7) = 1 – P(X = 0) – P(X=1) – P(X=2) – P(X=3) – P(X=4) – P(X=5) – P(X=6) – P(X=7) =1 – 0,996 - _                          ! ) ( e ! ) ( e ! ) ( e 7 8 6 8 5 8 5 8 6 8 7 8 = 1 – 0,4529 = 0,54707.

7 peças é um número suficiente. Há mais de 50% de probabilidade de requisitar mais de 7 peças. 54) a) No gráfico abaixo P(Z>1,0) b) No gráfico abaixo P(Z < 1,0) 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -4 -3 ,5 -3 -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 0 0 ,5 1 1 ,5 1 ,9 9 2 ,4 9 2 ,9 9 3 ,4 9 3 ,9 9 Z 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -4 -3 ,5 -3 -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 0 0 ,5 1 1 ,5 1 ,9 9 2 ,4 9 2 ,9 9 3 ,4 9 3 ,9 9 Z

A área sombreada corresponde a P(Z>1,0). Esta probabilidade pode ser obtida diretamente da tabela:

P(Z> 1,0) = 0,1587

A área sombreada corresponde a P(Z<1,0). Esta probabilidade NÃO pode ser obtida diretamente da tabela. Mas pelas propriedades de probabilidade sabemos que:

P(Z<1,0) = 1 – P(Z≥1,0). Esta última probabilidade pode ser obtida diretamente da tabela, e é igual à probabilidade encontrada no item a (P(Z>1,0)), pois Z é uma variável aleatória contínua. Então:

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c) No gráfico abaixo P(Z>-0,34) d) No gráfico abaixo P(0 < Z < 1,5) e) No gráfico abaixo P(-2,88 < Z < 0) f) No gráfico abaixo P(-0,56<Z<-0,2) 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -4 -3 ,5 -3 -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 0 0 ,5 1 1 ,5 1 ,9 9 2 ,4 9 2 ,9 9 3 ,4 9 3 ,9 9 Z 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -4 -3 ,5 -3 -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 0 _0,5 1 _1,5 1, 99 2, 49 2, 99 3, 49 3, 99 Z 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -4 -3 ,5 -3 -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 0 0 ,5 1 1 ,5 1 ,9 9 2 ,4 9 2 ,9 9 3 ,4 9 3 ,9 9 Z 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -4 -3 ,5 -3 -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 0 0, 5 1 1, 5 1, 99 2, 49 2, 99 3, 49 3, 99 Z

A área sombreada corresponde a P(Z>-0,34). Esta probabilidade NÃO pode ser obtida diretamente da tabela, pois o Z é negativo. Mas pelas propriedades de probabilidade sabemos que:

P(Z>-0,34) = 1 – P(Z<-0,34).

E devido à simetria da distribuição normal padrão em relação à média zero:

P(Z<-0,34) = P(Z>0,34), e esta última probabilidade pode ser obtida da tabela.

Então: P(Z>-0,34) = 1 – P(Z>0,34) = 1 – 0,3669 = 0,6331

Para obter a probabilidade de Z estar entre 0 e 1,5 basta obter a probabilidade de Z ser maior do que zero e subtrair a probabilidade de Z ser maior do que 1,5: o resultado será exatamente a probabilidade do intervalo procurado.

P(0 < Z < 1,5) = P(Z>0) – P(Z>1,5) = 0,5 – 0,0668 = 0,4332

Esta probabilidade foi facilmente obtida por que os valores de Z são ambos positivos.

Podemos usar um raciocínio semelhante ao da letra d): P(-2,88<Z<0) = P(Z<0) – P(Z<-2,88). A probabilidade P(Z<0) é igual a P(Z>0), mas P(Z<-2,88) não pode ser obtida diretamente da tabela. Contudo, devido à simetria da distribuição normal padrão em relação à média zero: P(Z<-2,88) = P(Z>2,88). Então:

P(-2,88<Z<0) = P(Z>0) – P(Z>2,88) = 0,5 – 0,0020 = 0,4980

O valor de Z -2,88 é “invisível” no gráfico ao lado devido à grande distância da média (2,88 desvios padrões).

Podemos usar um raciocínio semelhante ao da letra e, tendo em mente que os dois valores que definem o intervalo são negativos, e que há simetria da distribuição normal padrão em relação à média zero:

P(-0,56<Z<-0,2) = P(Z>0,2) – P(Z>0,56) = 0,4207 – 0,2877 = 0,133

(6)

g) No gráfico abaixo P(-0,49 < Z < 0,49) h) No gráfico abaixo P(2,5 <Z < 2,8) i) No gráfico abaixo P(Z<-0,2) j) No gráfico abaixo P(Z>-0,2) 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -4 -3 ,5 -3 -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 0 ₀,5 1 ₁,5 1 ,9 9 2 ,4 9 2 ,9 9 3 ,4 9 3 ,9 9 Z 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -4 -3 ,5 -3 -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 0 ₀,5 1 ₁,5 1 ,9 9 2 ,4 9 2 ,9 9 3 ,4 9 3 ,9 9 Z 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -4 -3 ,5 -3 -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 0 0, 5 1 1, 5 1, 99 2, 49 2, 99 3, 49 3, 99 Z 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -4 -3 ,5 -3 -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 0 ₀,5 1 ₁,5 1 ,9 9 2 ,4 9 2 ,9 9 3 ,4 9 3 ,9 9 Z

Usemos um raciocínio semelhante ao das letras d e e, mas agora os valores que definem o intervalo têm sinais diferentes, mas são iguais em módulo, isto é estão à mesma distância da média (zero). Sendo assim, P(Z>0,49) = P(Z<-0,49), devido à simetria da distribuição normal padrão em relação à média. Recordando que a probabilidade de ocorrência de um evento é igual a 1 menos a probabilidade do seu complementar, então:

P(-0,49<Z<0,49) = 1- 2 × P(Z>0,49) = 1 – 2 × 0,3121 = 0,3758

Usando um raciocínio semelhante ao da letra d, basta obter a probabilidade de Z ser maior do que 2,5 e subtrair a probabilidade de Z ser maior do que 2,8: o resultado será exatamente a probabilidade do intervalo procurado.

P(2,5< Z < 2,8) = P(Z>2,5) – P(Z>2,8) = 0,0062 – 0,0026 = 0,0036 Esta probabilidade foi facilmente obtida por que os valores de Z são ambos positivos. O valor obtido é pequeno, pois o intervalo está a mais de 2 desvios padrões da média.

A probabilidade procurada não pode ser obtida diretamente da tabela: esta define as probabilidades de Z ser MAIOR do que um certo valor. Entretanto, devido à simetria da distribuição normal padrão em relação à média zero:

P(Z<-0,2) = P(Z>0,2) = 0,4207

A probabilidade procurada não pode ser obtida diretamente da tabela, pois Z aqui é negativo. Entretanto, devido à simetria da distribuição normal padrão em relação à média zero, e usando a propriedade do evento complementar: P(Z>-0,2) = 1-P(Z>0,2) = 1-0,4207 = 0,5793

(7)

k) No gráfico abaixo P(-0,2<Z<0)

l) No gráfico abaixo P(-0,2<Z<0,4)

55) Neste exercício devemos procurar pelas probabilidades informadas na tabela e então encontrar os valores de Z correspondentes. Se não for possível encontrar o valor de Z exatamente correspondente à probabilidade procurada, pode-se obter o mais próximo possível.

a) No gráfico abaixo P(Z>Z1) = 0,0505 b) No gráfico abaixo P(Z>Z1) = 0,0228. 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -4 -3 ,5 -3 -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 0 _0,5 1 _1,5 1, 99 2, 49 2, 99 3, 49 3, 99 Z 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -4 -3 ,5 -3 -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 0 0, 5 1 1, 5 1, 99 2, 49 2, 99 3, 49 3, 99 Z 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -4 -3 ,5 -3 -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 0 0, 5 1 1, 5 1, 99 2, 49 2, 99 3, 49 3, 99 Z 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -4 -3 ,5 -3 -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 0 _0,5 1 _1,5 1, 99 2, 49 2, 99 3, 49 3, 99 Z

Podemos usar o raciocínio da letra e. A probabilidade P(Z<0) é igual a P(Z>0), mas P(Z<-0,2) não pode ser obtida diretamente da tabela. Contudo, devido à simetria da distribuição normal padrão em relação à média zero: P(Z<-0,2) = P(Z>0,2). Então:

P(-0,2<Z<0) = P(Z>0) – P(Z>0,2) = 0,5 – 0,4207 = 0,0793

Usemos um raciocínio semelhante ao da letra g, mas os valores que definem o intervalo têm sinais e valores diferentes. Mas, devido à simetria da distribuição normal padrão em relação à média: P(Z<-0,2) = P(Z>0,2). Recordando que a probabilidade de ocorrência de um evento é igual a 1 menos a probabilidade do seu complementar, então:

P(-0,2<Z<0,4) = 1- P(Z>0,2) - P(Z>0,4) = 1 – 0,4207 – 0,3446 = 0,2347

Procura-se o valor de Z1 tal que a probabilidade

de Z ser MAIOR do que ele seja igual a 0,0505.

Desta forma podemos procurar esta

probabilidade diretamente na tabela. Na coluna da extrema esquerda identificamos a linha 1,6. E na primeira linha encontramos a segunda decimal 0,04, resultando em Z1 = 1,64.

Procura-se o valor de Z1 tal que a probabilidade

de Z ser MAIOR do que ele seja igual a 0,0228.

Desta forma podemos procurar esta

probabilidade diretamente na tabela. Na coluna da extrema esquerda identificamos a linha 2,0. E na primeira linha encontramos a segunda decimal 0,00, resultando em Z1 = 2,00.

(8)

c) No gráfico abaixo P(Z<Z1) = 0,0228

d) No gráfico abaixo P(0<Z<Z1) = 0,4772

e) No gráfico abaixo P(-Z1<Z<Z1) = 0,95 Esta probabilidade está INCORRETA na lista.

0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -4 -3 ,5 -3 -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 0 0 ,5 1 1 ,5 1 ,9 9 2 ,4 9 2 ,9 9 3 ,4 9 3 ,9 9 Z 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -4 -3 ,5 -3 -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 0 0 ,5 1 1 ,5 1 ,9 9 2 ,4 9 2 ,9 9 3 ,4 9 3 ,9 9 Z 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -4 -3 ,5 -3 -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 0 0 ,5 1 1 ,5 1 ,9 9 2 ,4 9 2 ,9 9 3 ,4 9 3 ,9 9 Z

Procura-se o valor de Z1 tal que a

probabilidade de Z ser MENOR do que ele seja igual a 0,0228. Desta forma NÃO podemos procurar esta probabilidade diretamente na tabela. Entretanto, devido à simetria da distribuição normal padrão à média zero, sabemos que:

P(Z<Z1) = 0,0228 = P(Z>-Z1) = 0,0228

De acordo com a letra b –Z1 = 2,00, então Z1

= -2,00.

Observe a coerência do resultado: como a área é limitada por um valor ABAIXO de zero, obviamente Z1 teria que ser negativo.

probabilidade de Z estar entre 0 e ele seja igual a 0,4772. Percebe-se que Z1 será

POSITIVO.

P(0<Z<Z1) = 0,4772 = P(Z>0) – P(Z>Z1)

P(Z>Z1) = 0,5 – 0,4772 = 0,0228.

Observe que se trata do mesmo problema da letra b, então Z1 = 2.

probabilidade de Z estar entre –Z1 e +Z1 seja

igual a 0,95. Como os dois valores estão à mesma distância de zero

P(Z<-Z1) = P(Z>Z1) = (1-0,95)/2 = 0,025

P(Z>Z1) = 0,025.

probabilidade de Z ser MAIOR do que ele seja igual a 0,025. Desta forma podemos procurar esta probabilidade diretamente na tabela. Na coluna da extrema esquerda identificamos a linha 1,9. E na primeira linha encontramos a segunda decimal 0,06, resultando em Z1 =

(9)

f) No gráfico abaixo P(Z<Z1) = 0,0110

g) No gráfico abaixo P(Z<Z1) = 0,0505

h) P(Z<Z1) = 0,5. Como a distribuição normal padrão é simétrica em relação à sua média zero, então Z1

= 0, pois há 50% de chance dos valores serem menores do que zero. i) No gráfico abaixo P(-Z1<Z<Z1) = 0,6825 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -4 -3 ,5 -3 -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 0 0 ,5 1 1 ,5 1 ,9 9 2 ,4 9 2 ,9 9 3 ,4 9 3 ,9 9 Z 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -4 -3 ,5 -3 -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 0 0 ,5 1 1 ,5 1 ,9 9 2 ,4 9 2 ,9 9 3 ,4 9 3 ,9 9 Z 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -4 -3 ,5 -3 -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 0 0 ,5 1 1 ,5 1 ,9 9 2 ,4 9 2 ,9 9 3 ,4 9 3 ,9 9 Z

probabilidade de Z ser MENOR do que ele seja igual a 0,0110. Este valor não pode ser identificado diretamente na tabela, mas devido à simetria da distribuição normal à média zero: P(Z<Z1) = 0,0110 = P(Z>-Z1)

Procura-se o valor de -Z1 tal que a

probabilidade de Z ser MAIOR do que ele seja igual a 0,0110. Desta forma podemos procurar esta probabilidade diretamente na tabela. Na coluna da extrema esquerda identificamos a linha 2,2. E na primeira linha encontramos a segunda decimal 0,09, resultando em -Z1 =

2,29. Logo Z1 = -2,29 (observe a coerência

com o gráfico, pois Z1 é menor do que zero).

probabilidade de Z ser MENOR do que ele seja igual a 0,0505. Este valor não pode ser identificado diretamente na tabela, mas devido à simetria da distribuição normal à média zero: P(Z<Z1) = 0,0505 = P(Z>-Z1)

Procura-se o valor de -Z1 tal que a

probabilidade de Z ser MAIOR do que ele seja igual a 0,0505. Desta forma podemos procurar esta probabilidade diretamente na tabela. Na coluna da extrema esquerda identificamos a linha 1,6. E na primeira linha encontramos a segunda decimal 0,04, resultando em -Z1 =

1,64. Logo Z1 = -1,64 (observe a coerência

com o gráfico, pois Z1 é menor do que zero).

P(Z<-Z1) = P(Z>Z1) = (1-0,6825)/2 = 0,1587

P(Z>Z1) = 0,1587.

(10)

j) No gráfico abaixo P(-Z1<Z<Z1) = 0,9544

56) A solução desta questão passa pela utilização da equação Z = (x -)/, sabendo-se que  = 25 e  = 2.

a) Z = (23-25)/2 = -1,0 b) Z = (23,5-25)/2 = -0,75 c) Z = (24-25)/2 = -0,5 d) Z = (25,2-25)/2 = 0,1 e) Z = (25,5 – 25)/2 = 0,25

57) Novamente devemos usar a equação Z = (x -)/, mas isolar o valor de x: x =  + Z×, sabendo que  = 40 e  = 3.

a) x = 40 + (0,1×3) = 40,3 b) x = 40 + (2×3) = 46 c) x = 40 + (0,75×3) = 42,25 d) x = 40 + (-2,53×3) = 32,41 e) x = 40 + (-3×3) = 31 f) x = 40 + (-3,2×3) = 30,4

58) X é uma variável aleatória contínua com distribuição normal, com  = 50 e  = 5. Para calcular as probabilidades pedidas é preciso encontrar os valores de Z correspondentes aos valores de x.

a) P(40<X<50) 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -4 -3 ,5 -3 -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 0 0 ,5 1 1 ,5 1 ,9 9 2 ,4 9 2 ,9 9 3 ,4 9 3 ,9 9 Z 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 30 3 2 ,5 ₃₅ 3 7 ,5 ₄₀ 4 2 ,5 ₄₅ 4 7 ,5 ₅₀ 5 2 ,5 ₅₅ 5 7 ,5 ₆₀ 6 2 ,5 ₆₅ 6 7 ,5 ₇₀ X 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -4 -3 ,5 -3 -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 0 0 ,5 1 1 ,5 1 ,9 9 2 ,4 9 2 ,9 9 3 ,4 9 3 ,9 9 Z

P(Z<-Z1) = P(Z>Z1) = (1-0,9544)/2 = 0,0228

P(Z>Z1) = 0,0228.

2,00.

Usando a equação Z = (x -)/ podemos encontrar os valores de Z correspondentes a 40 e 50:

Z1 = (40-50)/5 = -2 Z2 = (50-50)/5 = 0

Então: P(40<X<50) = P(-2<Z<0). Abaixo está o gráfico da variável Z

Podemos usar um raciocínio semelhante ao da letra d do Exercício 54: P(-2,0<Z<0) = P(Z<0) – P(Z<-2,0).

A probabilidade P(Z<0) é igual a P(Z>0), mas P(Z<-2,0) não pode ser obtida diretamente da tabela. Contudo, devido à simetria da distribuição normal padrão em relação à média zero: P(Z<-2,0) = P(Z>2,0). Então:

P(-2,0<Z<0) = P(Z>0) – P(Z>2,0) = 0,5 – 0,0228 = 0,4772

(11)

b) P(49<X<50) c)P(40<X<45) 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 30 3 2 ,5 ₃₅ 3 7 ,5 ₄₀ 4 2 ,5 ₄₅ 4 7 ,5 ₅₀ 5 2 ,5 ₅₅ 5 7 ,5 ₆₀ 6 2 ,5 ₆₅ 6 7 ,5 ₇₀ X 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -4 -3 ,5 -3 -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 0 0 ,5 1 1 ,5 1 ,9 9 2 ,4 9 2 ,9 9 3 ,4 9 3 ,9 9 Z 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 30 3 2 ,5 ₃₅ 3 7 ,5 ₄₀ 4 2 ,5 ₄₅ 4 7 ,5 ₅₀ 5 2 ,5 ₅₅ 5 7 ,5 ₆₀ 6 2 ,5 ₆₅ 6 7 ,5 ₇₀ X 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -4 -3 ,5 -3 -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 0 0 ,5 1 1 ,5 1 ,9 9 2 ,4 9 2 ,9 9 3 ,4 9 3 ,9 9 Z

Usando a equação Z = (x -)/ podemos encontrar os valores de Z correspondentes a 49 e 50:

Z1 = (49-50)/5 = -0,2 Z2 = (50-50)/5

= 0

Então: P(49<X<50) = P(-0,2<Z<0). Abaixo está o gráfico da variável Z

Podemos usar um raciocínio semelhante ao da letra i do Exercício 54: P(-0,2<Z<0) = P(Z<0) – P(Z<-0,2).

A probabilidade P(Z<0) é igual a P(Z>0), mas P(Z<-0,2) não pode ser obtida diretamente da tabela. Contudo, devido à simetria da distribuição normal padrão em relação à média zero: P(Z<-0,2) = P(Z>0,2). Então:

P(-0,2<Z<0) = P(Z>0) – P(Z>2,0) = 0,5 – 0,4207 = 0,0793

Z1 = (40-50)/5 = -2 Z2 = (45-50)/5 =-1

Então: P(40<X<45) = P(-2<Z<-1). Abaixo está o gráfico da variável Z

Podemos usar um raciocínio semelhante ao da letra f do Exercício 54: P(-2<Z<-1) = P(Z>1) – P(Z>2). Então: P(Z<-0,2) = P(Z>0,2). Então: P(-0,2<Z<0) = P(Z>0) – P(Z>2,0) = 0,5 – 0,4207 = 0,0793

(12)

d) P(56<X<60) e) P(40<X<65) f) P(45<X<55) 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 30 32 ,5 ₃₅ 37 ,5 ₄₀ 42 ,5 ₄₅ 47 ,5 ₅₀ 52 ,5 ₅₅ 57 ,5 ₆₀ 62 ,5 ₆₅ 67 ,5 ₇₀ X 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -4 -3 ,5 -3 -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 0 ₀,5 1 ₁,5 1 ,9 9 2 ,4 9 2 ,9 9 3 ,4 9 3 ,9 9 Z 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 30 3 2 ,5 ₃₅ 3 7 ,5 ₄₀ 4 2 ,5 ₄₅ 4 7 ,5 ₅₀ 5 2 ,5 ₅₅ 5 7 ,5 ₆₀ 6 2 ,5 ₆₅ 6 7 ,5 ₇₀ X 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 30 3 2 ,5 ₃₅ 3 7 ,5 ₄₀ 4 2 ,5 ₄₅ 4 7 ,5 ₅₀ 5 2 ,5 ₅₅ 5 7 ,5 ₆₀ 6 2 ,5 ₆₅ 6 7 ,5 ₇₀ X

Z1 = (56-50)/5 = 1,2 Z2 = (60-50)/5 =2

Então: P(56<X<60) = P(1,2<Z<2). Abaixo está o gráfico da variável Z

Podemos usar um raciocínio semelhante ao da letra h do Exercício 54:

P(1,2<Z<2) = P(Z>1,2) – P(Z>2). Então:

P(1,2<Z<2) = 0,1151 – 0,0228 = 0,0923

Z1 = (40-50)/5 = -2 Z2 = (65-50)/5 =3

Então: P(40<X<65) = P(-2<Z<3).

Podemos usar um raciocínio semelhante ao da letra g do Exercício 54 (embora os valores de Z não sejam iguais):

P(-2<Z<3) = 1- P(Z>2) – P(Z>3). Então:

P(-2<Z<3) = 1-0,0228 – 0,00135 = 0,97585

Z1 = (45-50)/5 = -1 Z2 = (55-50)/5 =1

Então: P(45<X<55) = P(-1<Z<1).

Podemos usar um raciocínio semelhante ao da letra g do Exercício 54:

P(-1<Z<1) = 1- 2×P(Z>1) Então:

(13)

59) Em ambos os casos é preciso encontrar os valores de Z correspondentes aos escores mínimos 575 e 540. Como 575 é maior do que 550, o valor de Z associado será positivo, e como 540 é menor do que 550, Z será negativo. Vamos apresentar os cálculos.

Usando a equação Z = (x -)/ podemos encontrar os valores de Z correspondentes a 575 e 540: Z1 = (575-550)/30 = 0,83 Z2 = (540-550)/30 = - 0,33.

Então P(X>575) = P(Z>0,83) e P(X>540) = P(Z>-0,33). Os gráficos respectivos são mostrados a seguir:

P(Z>0,83) pode ser obtida diretamente da tabela: P(Z>0,83) = 0,2033. Como a distribuição normal padrão é simétrica em relação à média zero, e lembrando da propriedade da probabilidade do evento complementar: P(Z<-0,33)=1 - P(Z>0,33) = 1 – 0,3707 = 0,6293.

60) Suponha a variável X como sendo os ganhos mensais. Apenas será interessante mudar de emprego se X>3500, que são os ganhos atuais. Então, para escolher a melhor opção (letra b), ou para calcular a probabilidade de ganhar mais em cada emprego, é preciso obter P(X>3500).

a) No caso da indústria,  = 4000 e  = 500, P(X>3500) = P(Z>Z1): Z1= (3500 – 4000)/500 = -1,0.

Veja os gráficos a seguir:

Como a distribuição normal padrão é simétrica em relação à média zero, e lembrando da propriedade da probabilidade do evento complementar, a probabilidade de ganhar mais na indústria: P(X>3500) = P(Z>-1) = 1 – P(Z>1) = 1 – 0,1587 = 0,8413. 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 430 445 460 475 490 505 520 535 550 565 580 595 610 625 640 655 670 X 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -4 -3 ,5 -3 -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 0 0 ,5 1 1 ,5 1 ,9 9 2 ,4 9 2 ,9 9 3 ,4 9 3 ,9 9 Z 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 430 445 460 475 490 505 520 535 550 565 580 595 610 625 640 655 670 X 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -4 -3 ,5 -3 -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 0 0 ,5 1 1 ,5 1 ,9 9 2 ,4 9 2 ,9 9 3 ,4 9 3 ,9 9 Z 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 2 0 0 0 ,0 0 2 2 5 0 ,0 0 2 5 0 0 ,0 0 2 7 5 0 ,0 0 3 0 0 0 ,0 0 3 2 5 0 ,0 0 3 5 0 0 ,0 0 3 7 5 0 ,0 0 4 0 0 0 ,0 0 4 2 5 0 ,0 0 4 5 0 0 ,0 0 4 7 5 0 ,0 0 4 9 9 5 ,0 0 5 2 4 5 ,0 0 5 4 9 5 ,0 0 5 7 4 5 ,0 0 5 9 9 5 ,0 0 X 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -4 -3 ,5 -3 -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 0 0 ,5 1 1 ,5 1 ,9 9 2 ,4 9 2 ,9 9 3 ,4 9 3 ,9 9 Z

(14)

No caso do Vendedor,  = 3200 e  = 2600, P(X>3500) = P(Z>Z2): Z2= (3500 – 3200)/2600 = 0,11.

A probabilidade de ganhar mais como vendedor: P(X>3500) = P(Z>0,11) = 0,4562.

b) Obviamente, o emprego na indústria deve ser o escolhido, pois tem uma probabilidade bem maior de proporcionar ganhos superiores ao salário atual do que o de vendedor.

61)

a) P(X>3,05).  = 3,062 e  = 0,01 , P(X>3,05) = P(Z>Z1): Z1= (3,05 – 3,062)/0,01 = -1,2. Veja os

gráficos a seguir:

Como a distribuição normal padrão é simétrica em relação à média zero, e lembrando da propriedade da probabilidade do evento complementar, P(X>3,05) = P(Z>-1,2) = 1- P(Z>1,2) = 1-0,1151 = 0,8849. b) A solução é encontrar a probabilidade dos eixos estarem dentro dos padrões: P(3,04<X<3,08). Eixos dentro dos padrões resultarão em lucro de 5-1,2 = 3,8. Eixos fora dos padrões, cuja probabilidade de ocorrência será 1-P(3,04<X<3,08) – probabilidade do complementar – resultará em prejuízo de 1,2. Usando a equação Z = (x -)/ podemos encontrar os valores de Z correspondentes a 3,04 e 3,08: Z1 = (3,04-3,062)/0,01 = -2,2 Z2 = (3,08-3,062)/0,01 = 1,8

Então P(3,04<X<3,08) = P(-2,2<Z<1,8). Os gráficos respectivos são mostrados a seguir:

Podemos usar um raciocínio semelhante ao da letra g do Exercício 54 (embora os valores de Z não sejam iguais): 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -7 2 0 0 -5 9 0 0 -4 6 0 0 -3 3 0 0 -2 0 0 0 -7 0 0 600 1900 3200 4500 5800 7100 8374 9674 10974 12274 13574 X 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -4 -3 ,5 -3 -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 0 0 ,5 1 1 ,5 1 ,9 9 2 ,4 9 2 ,9 9 3 ,4 9 3 ,9 9 Z 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 3 ,0 2 2 0 3 ,0 2 7 0 3 ,0 3 2 0 3 ,0 3 7 0 3 ,0 4 2 0 3 ,0 4 7 0 3 ,0 5 2 0 3 ,0 5 7 0 3 ,0 6 2 0 3 ,0 6 7 0 3 ,0 7 2 0 3 ,0 7 7 0 3 ,0 8 1 9 3 ,0 8 6 9 3 ,0 9 1 9 3 ,0 9 6 9 3 ,1 0 1 9 X 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -4 -3 ,5 -3 -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 0 0 ,5 1 1 ,5 1 ,9 9 2 ,4 9 2 ,9 9 3 ,4 9 3 ,9 9 Z 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 3 ,0 2 2 0 3 ,0 2 7 0 3 ,0 3 2 0 3 ,0 3 7 0 3 ,0 4 2 0 3 ,0 4 7 0 3 ,0 5 2 0 3 ,0 5 7 0 3 ,0 6 2 0 3 ,0 6 7 0 3 ,0 7 2 0 3 ,0 7 7 0 3 ,0 8 1 9 3 ,0 8 6 9 3 ,0 9 1 9 3 ,0 9 6 9 3 ,1 0 1 9 X 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -4 -3 ,5 -3 -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 0 0 ,5 1 1 ,5 1 ,9 9 2 ,4 9 2 ,9 9 3 ,4 9 3 ,9 9 Z

(15)

P(-2,2<Z<1,8) = 1- P(Z>1,8) – P(Z>2,2). Então: P(-2,2<Z<1,8) = 1 - 0,0359 – 0,0139 = 0,9502. Conclui-se então que a probabilidade dos eixos estarem dentro dos padrões vale 0,9502, e de estarem fora dos padrões vale 1- 0,9502 = 0,0498. Podemos então criar uma nova variável aleatória Y, lucro individual, com a seguinte distribuição:

Y P(Y)

-1,2 0,0498 3,8 0,9502

O valor esperado de Y pode ser obtido através da expressão:



y p



1,2 0,0498 3,8 0,9502 3,551 ) Y ( E n 1 i yi i      





Este é o lucro esperado por em uma peça. Queremos encontrar o lucro esperado em 100. Podemos usar uma propriedade do valor esperado:

E(k×Y) = 100×E(Y) => O valor esperado do produto de uma constante (100 no caso deste problema) pelo valor esperado de uma variável aleatória é igual ao produto da constante pelo próprio valor esperado. Assim, para 100 peças: E(100×Y) = 100 × E(Y) = 100 × 3,551 = 355,1.

62)

a) Variável aleatória X = precipitação anual em cm, segue distribuição normal com  = 29,5 e  = 2,5. Precisamos encontrar o valor de X que delimita os 5% maiores valores de X: P(X>X1) = 0,05. Com base

na equivalência com a distribuição normal padrão: P(X>X1) = P(Z>Z1) = 0,05. Veja os gráficos a

seguir:

Podemos usar um raciocínio semelhante ao da letra a do Exercício 55. Procurar na tabela pela probabilidade 0,05. Esta probabilidade NÃO EXISTE na tabela, podemos encontrar os valores mais próximos. Na coluna da extrema esquerda vamos encontrar o valor 1,6, e na linha superior vamos encontrar a segunda decimal 0,04 e 0,05: P(Z>1,64) = 0,0505 e P(Z>1,645) = 0,0495. Como as probabilidades estão à mesma distância de 0,05 fazemos a média dos 2 valores de Z, então Z1 = 1,645.

Novamente devemos usar a equação Z = (x -)/, mas isolando o valor de x: x =  + Z×, sabendo que

 = 29,5,  = 2,5 e Z1 = 1,645: x1 = 29,5 + 1,645 ×2,5 = 33,6125 cm.

b) P(X>32).  = 29,5 e  = 2,5, P(X>32) = P(Z>Z2): Z2= (32 – 29,5)/2,5 = 1,0. Veja os gráficos a

seguir:

P(Z>1,0) = 0,1587. Como a probabilidade é menor do que 0,45 não é viável a instalação do sistema.

0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 1 9 ,5 0 2 0 ,7 5 2 2 ,0 0 2 3 ,2 5 2 4 ,5 0 2 5 ,7 5 2 7 ,0 0 2 8 ,2 5 2 9 ,5 0 3 0 ,7 5 3 2 ,0 0 3 3 ,2 5 3 4 ,4 8 3 5 ,7 3 3 6 ,9 8 3 8 ,2 3 3 9 ,4 8 X 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -4 -3 ,5 -3 -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 0 0 ,5 1 1 ,5 1 ,9 9 2 ,4 9 2 ,9 9 3 ,4 9 3 ,9 9 Z 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 1 9 ,5 0 2 0 ,7 5 2 2 ,0 0 2 3 ,2 5 2 4 ,5 0 2 5 ,7 5 2 7 ,0 0 2 8 ,2 5 2 9 ,5 0 3 0 ,7 5 3 2 ,0 0 3 3 ,2 5 3 4 ,4 8 3 5 ,7 3 3 6 ,9 8 3 8 ,2 3 3 9 ,4 8 X 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -4 -3 ,5 -3 -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 0 0 ,5 1 1 ,5 1 ,9 9 2 ,4 9 2 ,9 9 3 ,4 9 3 ,9 9 Z

(16)

63) Encontrar P(X<6) nos dois tipos de televisores. Aquele que apresentar menor valor deve ser o incentivado.

No televisor A, P(X<6).  = 9 e  = 2, P(X<6) = P(Z>Z1): Z1= (6 – 9)/2= -1,5. Veja os gráficos a

seguir:

No televisor B, P(X<6).  = 12 e  = 3, P(X<6) = P(Z>Z2): Z2= (6 – 12)/3= -2. Veja os gráficos a

seguir:

Incentivaria o televisor B, pois ele tem a menor probabilidade de reposição em 6 meses.

64) Primeiramente encontramos a percentagem que atende às especificações P(1,6<X<2,4). Usando a equação Z = (x -)/ podemos encontrar os valores de Z correspondentes a 1,6 e 2,4:

Z1 = (1,6-1,978)/0,172 = -2,2 Z2 = (2,4-1,978)/0,172 =2,45

Então: P(1,6<X<2,4) = P(-2,2<Z<2,45). Veja os gráficos a seguir:

Podemos usar um raciocínio semelhante ao da letra g do Exercício 54:

P(-2,2<Z<2,45) = 1- P(Z>2,2) – P(Z>2,45). Então: P(-2,2<Z<2,45) = 1-0,0139 – 0,0071 = 0,979. Assim, o percentual dos que NÃO atendem às especificações seria igual a 1 – 0,979 = 0,021. A esmagadora maioria dos eixos está dentro das especificações. Resta saber se 97,9% é aceitável ou não. 65) O problema é definir as faixas de percentuais, obter os valores de Z correspondentes e depois os valores das notas que definem os conceitos. Veja os gráficos abaixo.

0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 1 ,0 0 2 ,0 0 3 ,0 0 4 ,0 0 5 ,0 0 6 ,0 0 7 ,0 0 8 ,0 0 9 ,0 0 1 0 ,0 0 1 1 ,0 0 1 2 ,0 0 1 2 ,9 8 1 3 ,9 8 1 4 ,9 8 1 5 ,9 8 1 6 ,9 8 X 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -4 -3 ,5 -3 -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 0 0 ,5 1 1 ,5 1 ,9 9 2 ,4 9 2 ,9 9 3 ,4 9 3 ,9 9 Z 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 0 1 ,5 3 4 ,5 6 7 ,5 9 1 0 ,5 ₁₂ 1 3 ,5 ₁₅ 1 6 ,5 ₁₈ 1 9 ,5 ₂₁ 2 2 ,5 ₂₄ X 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -4 -3 ,5 -3 -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 0 0 ,5 1 1 ,5 1 ,9 9 2 ,4 9 2 ,9 9 3 ,4 9 3 ,9 9 Z 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 1 ,2 9 0 0 1 ,3 7 6 0 1 ,4 6 2 0 1 ,5 4 8 0 1 ,6 3 4 0 1 ,7 2 0 0 1 ,8 0 6 0 1 ,8 9 2 0 1 ,9 7 8 0 2 ,0 6 4 0 2 ,1 5 0 0 2 ,2 3 6 0 2 ,3 2 0 3 2 ,4 0 6 3 2 ,4 9 2 3 2 ,5 7 8 3 2 ,6 6 4 3 X 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -4 -3 ,5 -3 -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 0 0 ,5 1 1 ,5 1 ,9 9 2 ,4 9 2 ,9 9 3 ,4 9 3 ,9 9 Z P(X<6)=P(Z<-1,5) Devido à simetria da distribuição normal padrão à média zero: P(Z<-1,5)= (Z>1,5) =0,0668 P(X<6)=P(Z<-2) Devido à simetria da distribuição normal padrão à média zero: P(Z<-2)=P(Z>2) =0,0228

(17)

P(Z>Z4) = 0,1 P(Z>Z3) = 0,3 P(Z>Z2) = 0,7 P(Z>Z1) = 0,9

Procurando na tabela da distribuição normal padrão:

Z4 1,28, x4 = 50 + 1,28 ×10 = 62,8 Z3 0,53, x3 = 50 + 0,53 ×10 = 55,3

P(Z>Z2) = 0,7 , P(Z>- Z2) = 1 – 0,7 = 0,3 - Z2 0,53 Z2 -0,53, x2 = 50 -0,53 ×10 = 44,7

P(Z>Z1) = 0,9, P(Z>- Z1) = 1 – 0,9 = 0,1 - Z1 1,28 Z1 -1,28, x1 = 50 -1,28 ×10 = 37,2

As notas então serão 37,2, 44,7, 55,3 e 62,8.

66) a) P(X>260).  = 250 e  = 7 , P(X>260) = P(Z>Z1): Z1= (260 – 250)/7 = 1,43.

b) P(Z<Z2) = 0,05. Devido à simetria da distribuição normal padrão à média zero:

P(Z<Z2) = 0,05 = P(Z>-Z2). Lembrando da letra a do exercício 62, -Z2 = 1,645, então Z2 = -1,645.

Novamente devemos usar a equação Z = (x -)/, mas isolando o valor de x: x =  + Z×, sabendo que

 = 250,  = 7 e Z2 = -1,645: x2 = 250 - 1,645 ×7= 238,48h. Para repor apenas 5% da produção o

prazo máximo de garantia deveria ser de 238,48 h.

67) O índice de aprovação é obtido calculando a probabilidade de que as notas sejam MAIORES do que os pontos alcançados pelos candidatos. Caso seja menor do que a taxa vagas por candidatos o indivíduo está aprovado, caso contrário está reprovado. No curso de economia a probabilidade associada aos pontos alcançados não pode ser maior do que 0,370 e no de administração 0,412.

a) Economia  = 50,92,  = 9,09 P(X>50) = P(Z>Z1): Z1 = (50-50,92)/9,09 = -0,10. P(X>50) = P(Z>-0,10) = 1-P(Z>0,1) = 1-0,4602 = 0,5398 > 0,370 => candidato reprovado. P(X>60) = P(Z>Z2): Z2 = (60-50,92)/9,09 = 1,0. P(X>60) = P(Z>1) = 0,1587 < 0,370 => candidato aprovado. P(X>50) P(X>60) 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 1 0 ,0 0 1 5 ,0 0 2 0 ,0 0 2 5 ,0 0 3 0 ,0 0 3 5 ,0 0 4 0 ,0 0 4 5 ,0 0 5 0 ,0 0 5 5 ,0 0 6 0 ,0 0 6 5 ,0 0 6 9 ,9 0 7 4 ,9 0 7 9 ,9 0 8 4 ,9 0 8 9 ,9 0 X 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -4 ,0 0 -3 ,5 0 -3 ,0 0 -2 ,5 0 -2 ,0 0 -1 ,5 0 -1 ,0 0 -0 ,5 0 0 ,0 0 0 ,5 0 1 ,0 0 1 ,5 0 1 ,9 9 2 ,4 9 2 ,9 9 3 ,4 9 3 ,9 9 Z 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 2 2 2 ,0 0 2 2 5 ,5 0 2 2 9 ,0 0 2 3 2 ,5 0 2 3 6 ,0 0 2 3 9 ,4 3 2 4 2 ,9 3 2 4 6 ,4 3 2 4 9 ,9 3 2 5 3 ,4 3 2 5 6 ,9 3 2 6 0 ,4 3 2 6 3 ,8 6 2 6 7 ,3 6 2 7 0 ,8 6 2 7 4 ,3 6 2 7 7 ,8 6 X 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -4 -3 ,5 -3 -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 -0 0 ,4 9 0 ,9 9 1 ,4 9 1 ,9 8 2 ,4 8 2 ,9 8 3 ,4 8 3 ,9 8 Z 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 1 4 ,5 6 1 9 ,1 1 2 3 ,6 5 2 8 ,2 0 3 2 ,7 4 3 7 ,2 9 4 1 ,8 3 4 6 ,3 8 5 0 ,9 2 5 5 ,4 7 6 0 ,0 1 6 4 ,5 6 6 9 ,0 1 7 3 ,5 5 7 8 ,1 0 8 2 ,6 4 8 7 ,1 9 X 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 1 4 ,5 6 1 9 ,1 1 2 3 ,6 5 2 8 ,2 0 3 2 ,7 4 3 7 ,2 9 4 1 ,8 3 4 6 ,3 8 5 0 ,9 2 5 5 ,4 7 6 0 ,0 1 6 4 ,5 6 6 9 ,0 1 7 3 ,5 5 7 8 ,1 0 8 2 ,6 4 8 7 ,1 9 X P(X<260) =P(Z>1,43) = 0,0764 Z1 Z2 Z3 Z4 X1 X2 X3 X4

(18)

b) Economia  = 50,92,  = 9,09 P(X>55 = P(Z>Z1): Z1 = (5550,92)/9,09 = 0,44 P(X>50) = P(Z>0,44) = 0,3300 < 0,370 => candidato aprovado. Administração  = 55,11,  = 8,22 P(X>58) = P(Z>Z1): Z1 = (58-55,11)/8,22 = 0,35. P(X>58) = P(Z>0,35) = 0,3632 = < 0,370 => candidato aprovado. Economia: P(X>55) Administração: P(X>58

c) Basta encontrar x1 tal que P(X>x1) = 0,370 em economia e x2 tal que P(X>x2) = 0,412.

P(X>x1) = P(Z>Z1) = 0,370; Z1 0,33 P(X>x2) = P(Z>Z2) =0,412; Z2  0,22

Novamente devemos usar a equação Z = (x -)/, mas isolando o valor de x: x =  + Z×, sabendo que:

 = 50,92,  = 9,09 em economia e Z1 = 0,33: x1 = 50,92 +0,33 ×9,09= 54.  = 55,11,  = 8,22 em administração e Z2 = 0,22: x2 = 55,11 +0,22 ×8,22= 57.

68) a) Pela binomial: P(X8)C14,80,580,56 0,1833. Como n ×p e n×(1-p) são maiores do que 5

a aproximação pela normal é viável:  = n×p = 7;  = 1,87

Binomial: P(X = 8) => Normal: P(7,5<X<8,5) = P(Z1<Z<Z2) Z2=(8,5-7)/1,87 = 0,80 Z1=-Z2=-0,80 P(-0,80<Z<0,80) = 0,1833. Veja o gráfico abaixo:

Observe como a curva normal passa quase “por cima” das probabilidades binomiais, o que explica os bons resultados.

b) Pela binomial: P(X7)C₁₀_,₇0,470,63 0,0425

Como n ×p é menor do que 5 a aproximação pela normal não é boa, mas vamos realizá-la mesmo assim, a título de exemplo:  = n×p =4;  = 1,55 Binomial: P(X = 7) => Normal: P(7,5<X<8,5) = P(Z1<Z<Z2) Z2=(8,5-4)/1,55 =2,91; Z1= (7,5-4)/1,55 = 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 1 4 ,5 6 1 9 ,1 1 2 3 ,6 5 2 8 ,2 0 3 2 ,7 4 3 7 ,2 9 4 1 ,8 3 4 6 ,3 8 5 0 ,9 2 5 5 ,4 7 6 0 ,0 1 6 4 ,5 6 6 9 ,0 1 7 3 ,5 5 7 8 ,1 0 8 2 ,6 4 8 7 ,1 9 X 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 2 2 ,2 2 6 ,3 3 0 ,5 3 4 ,6 3 8 ,7 4 2 ,8 4 6 ,9 ₅₁ 5 5 ,1 5 9 ,2 6 3 ,3 6 7 ,4 7 1 ,5 7 5 ,6 7 9 ,7 8 3 ,8 8 7 ,9 X 0,0000000 0,0500000 0,1000000 0,1500000 0,2000000 0,2500000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Binomial Normal

(19)

P(2,26<Z<2,91) = 0,0413 (este valor está INCORRETO na lista). A aproximação não foi tão ruim assim, pois n × p = 4, bem próximo de 5. Veja o gráfico abaixo:

c) Pela binomial P(X8) = P(X = 8) + P(X=9) + P(X=10)+...+ P(X=15) = 0,9957.

Como n ×(1-p) é menor do que 5 a aproximação pela normal não é boa, mas vamos realizá-la mesmo assim, a título de exemplo:  = n×p =12;  = 1,55

Binomial: P(X 8) => Normal: P(X>7,5) = P(Z>Z1) Z1=(7,5- 12)/1,55 =-2,91

P(Z>-2,91) = 1-P(Z>2,91) = 0,9982. A aproximação parece não ter sido tão ruim, mas n ×(1- p) = 3, o que leva a problemas em outros valores. Veja o gráfico abaixo:

d) Pela binomial: P(X<9) = P(X=0) + P(X = 1) +...+ P(X = 8) = 0,5141. Como n ×p e n×(1-p) são maiores do que 5 a aproximação pela normal é viável:  = n×p = 8,4;  = 1,83

Binomial: P(X < 9) => Normal: P(X<8,5) = P(Z<Z1) Z1=(8,5-8,4)/1,83 = 0,05

P(Z<0,05) = 1-P(Z>0,05) = 1 – 0,4801 = 0,5191.

A aproximação apresentou diferença apenas na 3ª casa decimal. Veja o gráfico a seguir: 0,0000000 0,0500000 0,1000000 0,1500000 0,2000000 0,2500000 0,3000000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Binomial Normal 0,0000000 0,0500000 0,1000000 0,1500000 0,2000000 0,2500000 0,3000000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Binomial Normal As probabilidades de 10, 11, 13, 14 e 15 apresentam diferenças, e o próprio “formato” da distribuição binomial não é exatamente simétrico.

(20)

e) Pela binomial P(X 2) = P(X = 0) + P(X=1) + P(X=2) =0,2061.

Como n ×p é menor do que 5 a aproximação pela normal não é boa, mas vamos realizá-la mesmo assim, a título de exemplo:  = n×p =4;  = 1,79

Binomial: P(X  2) => Normal: P(X<2,5) = P(Z<Z1) Z1=(2,5- 4)/1,79 =-0,84

P(Z<-0,84) = P(Z>0,84) = 0,2005. A aproximação parece não ter sido tão ruim, mas n × p = 4, o que leva a problemas em outros valores. Veja o gráfico abaixo:

f) Pela binomial P(15 < X ≤ 18) = P(X = 16) + P(X = 17) + P(X = 18) = 0,0000499 (esta probabilidade está INCORRETA na lista). Como n ×p e n×(1-p) são maiores do que 5 a aproximação pela normal é viável:  = n×p = 7;  = 2,13

Binomial: P(15 < X ≤ 18) => Normal: P(15,5 < X< 18,5) = P(Z1 < Z< Z2)

Z1=(15,5-7)/2,13 = 3,99 Z2 = (18,5 – 7)/2,13 = 5,40

P(3,99 < Z < 5,40) = P(Z > 3,99) – P(Z > 5,40) = 0,00003304 – 0,00000003 = 0,00003301 (esta probabilidade está INCORRETA na lista). Observe que houve diferença, provavelmente por se tratar de valores muito elevados de Z. Mesmo assim, veja o gráfico a seguir:

0,0000000 0,0500000 0,1000000 0,1500000 0,2000000 0,2500000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Binomial Normal 0,0000000 0,0500000 0,1000000 0,1500000 0,2000000 0,2500000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Binomial Normal As probabilidades de 0, 2, 3, 5, e 6 apresentam diferenças, e o próprio “formato” da distribuição binomial não é exatamente simétrico.

(21)

69) Trata-se de um problema de binomial: apenas 2 resultados possíveis (usa ou não o produto), há 200 elementos pesquisados (número máximo de realizações é conhecido), e podemos considerar a probabilidade de sucesso (usar o produto) como constante, uma vez que não há nada indicando o contrário: n = 200; p = 0,20; 1 – p = 0,80.

Pela binomial: P(X > 30) = P(X = 31) + P(X = 32) + ... + P(X = 200). O procedimento seria tedioso, mas como n × p e n × (1 – p) são maiores do que 5 é possível aproximar por uma normal com

 = n × p = 200 × 0,20 = 40  np(1p)  2000,20,8= 5,66 Binomial: P(X > 30) => Normal: P(X > 30,5) = P(Z>Z1) Z1=(30,5-40)/5,66 = -1,68

Devido à simetria da distribuição normal padrão em relação à média zero e à propriedade da probabilidade do evento complementar: P(Z > - 1,68) = 1 – P(Z > 1,68) = 1 – 0,0465 = 0,9535 (a propósito o valor exato pela binomial é 0,9570, bastante próximo).

70) Trata-se de um problema de binomial: apenas 2 resultados possíveis (acertar ou errar a questão), há 80 questões das quais ele não sabe nada (número máximo de realizações é conhecido), e podemos considerar a probabilidade de sucesso (acertar questão) como constante, uma vez que não há nada indicando o contrário: n = 80; p = 0,25; 1 – p = 0,75.

Pela binomial: P(25 ≤ X ≤ 30) = P(X = 25) + P(X = 26) + ... + P(X = 30). O procedimento seria tedioso, mas como n × p e n × (1 – p) são maiores do que 5 é possível aproximar por uma normal com

 = n × p = 80 × 0,25 = 20  np(1p)  800,250,75= 3,87 Binomial: P(25 ≤ X ≤ 30) => Normal: P(24,5 < X < 30,5) = P(Z1 < Z < Z2)

Z1 = (24,5 – 20)/ 3,87 = 1,16 Z2 = (30,5 – 20)/ 3,87 = 2,71

Devido à simetria da distribuição normal padrão em relação à média zero e à propriedade da probabilidade do evento complementar: P(1,16 < Z < 2,71) = P(Z>1,16) – P(Z>2,71) = 0,1196

0,0000000 0,0200000 0,0400000 0,0600000 0,0800000 0,1000000 0,1200000 0,1400000 0,1600000 0,1800000 0,2000000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Binomial Normal 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 1 7 ,3 7 2 0 ,2 0 2 3 ,0 3 2 5 ,8 6 2 8 ,6 9 3 1 ,5 1 3 4 ,3 4 3 7 ,1 7 4 0 ,0 0 4 2 ,8 3 4 5 ,6 6 4 8 ,4 9 5 1 ,2 6 5 4 ,0 9 5 6 ,9 1 5 9 ,7 4 6 2 ,5 7 X 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -4 ,0 0 -3 ,5 0 -3 ,0 0 -2 ,5 0 -2 ,0 0 -1 ,5 0 -1 ,0 0 -0 ,5 0 0 ,0 0 0 ,5 0 1 ,0 0 1 ,5 0 1 ,9 9 2 ,4 9 2 ,9 9 3 ,4 9 3 ,9 9 Z As probabilidades de vários valores não coincidem exatamente, indicando que embora a condição mínima para aproximação tenha sido satisfeita ela apresenta algumas discrepâncias.

(22)

A propósito, o valor exato pela binomial é 0,1193 (bastante próximo).

71) Trata-se de um problema de binomial: apenas 2 resultados possíveis (face 2 ou não 2 na letra a, e face par ou ímpar na letra b), o dado é lançado 100 vezes (número máximo de realizações é conhecido), e se o dado é honesto a probabilidade de sucesso pode ser considerada constante:

a) n = 100; p = 1/6; 1 – p = 5/6. Pela binomial: P(X ≥ 18) = P(X = 18) + ... + P(X = 80). O processo de cálculo seria tedioso, mas como n × p e n × (1 – p) são maiores do que 5 é possível aproximar por uma normal com  = n × p = 100 × 1/6 = 16,67  np(1p)  1001/65/6= 3,73 Binomial: P(X ≥ 18) => Normal: P(X > 17,5) = P(Z > Z1) Z1 = (17,5 – 16,67)/ 3,73 = 0,22

P(Z > 0,22) = 0,4129. Veja os gráficos a seguir:

A propósito, o valor exato pela binomial é 0,400593.

72) Foi declarado textualmente que a variável tempo de chamadas segue uma distribuição uniforme entre 0,5 e 5 minutos: parâmetros a = 0,5 e b = 5. Seja X a variável aleatória duração de uma chamada, e seja Y a variável aleatória duração total das 104 chamadas.

Estamos procurando P(Y > 3,5h) = P(Y > 210 minutos). Se há 104 chamadas, a média por chamada é de 210/104 = 2,02 minutos. Então isso significa que procuramos P(X > 2,02), veja o gráfico:

0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 4 ,5 1 6 ,4 4 8 ,3 8 1 0 ,3 2 1 2 ,2 5 1 4 ,1 9 1 6 ,1 3 1 8 ,0 6 2 0 ,0 0 2 1 ,9 4 2 3 ,8 7 2 5 ,8 1 2 7 ,7 1 2 9 ,6 4 3 1 ,5 8 3 3 ,5 2 3 5 ,4 5 X 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -4 ,0 0 -3 ,5 0 -3 ,0 0 -2 ,5 0 -2 ,0 0 -1 ,5 0 -1 ,0 0 -0 ,5 0 0 ,0 0 0 ,5 0 1 ,0 0 1 ,5 0 1 ,9 9 2 ,4 9 2 ,9 9 3 ,4 9 3 ,9 9 Z 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 1 ,7 6 3 ,6 2 5 ,4 9 7 ,3 5 9 ,2 1 1 1 ,0 8 1 2 ,9 4 1 4 ,8 0 1 6 ,6 7 1 8 ,5 3 2 0 ,3 9 2 2 ,2 6 2 4 ,0 8 2 5 ,9 5 2 7 ,8 1 2 9 ,6 7 3 1 ,5 4 X 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 -4 -3 ,5 -3 -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 0 0 ,5 1 1 ,5 1 ,9 9 2 ,4 9 2 ,9 9 3 ,4 9 3 ,9 9 Z 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 0 ,5 0 1 ,0 0 1 ,5 0 2 ,0 0 2 ,5 0 3 ,0 0 3 ,5 0 4 ,0 0 4 ,5 0 5 ,0 0 X

P(X>2,02) é a área sombreada. Para calcular tal área na uniforme devemos usar a expressão: (b-x) × (1/(b-a)) = (5 – x)/(1/(5 – 0,5)).

(23)

73) Foi declarado textualmente que a variável diâmetro dos eixos segue uma distribuição uniforme entre 3,5 e 3,8 mm: parâmetros a = 3,5 e b = 3,8.

a) P(X > 3,7) = (3,8 – 3,7) × (1/(3,8 – 3,5)) = 0,3333 (33,33%).

b) Para distribuição uniforme E(X) = (a + b)/2 = (3,5 + 3,8)/2 = 3,65 mm

c) P(X < 3,72) = (3,72 – 3,7) × (1/(3,8 – 3,5)) = 0,7333 < 0,80. A exigência não está sendo satisfeita.

d) P(X < 3,75| X > 3,7) = P[(X < 3,75)  (X > 3,7)]/P(X > 3,7) = [(3,75 – 3,7)×1/(3,8 – 3,5)]/0,3333 = 0,5 (50%).

74) Trata-se de um problema de distribuição exponencial, mas o parâmetro  é desconhecido. Contudo, sabe-se que P(X > 1h) = 0,22313 = e-×1 = e-. Aplicando logaritmo natural (cuja base vale e):

ln 0,22313 = ln e- => -1,5  -  =>  1,5. Agora podemos calcular as probabilidades pedidas nas letras a e b.

a) P(X > 3h) = e-×3 = e-1,5×3 0,0111

b) P(X < 0,5 h) = 1 – e -×0,5 = 1 – e-1,5×0,5 = 1 – e-0,75 = 0,4723. Como esta probabilidade é obviamente diferente de 0,91 a afirmação não pode ser feita.

75) Trata-se de um problema de distribuição exponencial, onde novamente o valor de  é desconhecido. Mas, o valor esperado de uma distribuição exponencial é E(X) = 1/, e sabemos que E(X) = 120, logo  = 1/120.

a) P(X > 100) = e-×100 = e-(1/120)×100 = e-5/6 0,4346 b) Sabe-se que P(X< X1) = 0,05 => P(X > X1) = 0,95 = e

-×x)

. Veja o gráfico a seguir: 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 3 ,5 0 3 ,5 5 3 ,6 0 3 ,6 5 3 ,7 0 3 ,7 5 3 ,8 0 X 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 3 ,5 0 3 ,5 5 3 ,6 0 3 ,6 5 3 ,7 0 3 ,7 5 3 ,8 0 X 0,0000 0,0010 0,0020 0,0030 0,0040 0,0050 0,0060 0,0070 0,0080 0,0090 0 ,0 0 4 9 ,0 0 9 9 ,0 0 1 4 9 ,0 0 1 9 9 ,0 0 2 4 9 ,0 0 2 9 9 ,0 0 3 4 9 ,0 0 3 9 9 ,0 0 4 4 9 ,0 0 X 0,95 = e-(x1/120)

Aplicando logaritmo natural: ln 0,95 = ln e-(x1/120)

-0,051 = -x1/120 x1 = 6,15 meses

Então, a garantia máxima para repor até 5% da produção deve ser de 6,15 meses.