Aula 16

Racioc´ınio em Situa¸c˜

oes Incertas

Abordagens:

L´ogica Fuzzy e Redes Bayesianas

Fl´avio Vin´ıcius Cruzeiro Martins

Universidade Federal de Ouro Preto

9 de abril de 2010

Sum´

ario

Inteligˆ

encia Computacional

Parte I

L´

ogica Fuzzy

L´ogica Fuzzy

Duas suposi¸c˜oes essenciais para o uso da l´ogica formal tradicional:

Pertinˆencia a conjuntos.

Um elemento pertence a um determinado conjunto ou ao seu complemento.

a lei do meio exclu´ıdo.

Um elemento n˜ao pode pertencer a um conjunto e ao seu complemento.

L´ogica Fuzzy

Desta maneira ´e f´acil descrever conjuntos para: n´umeros pares;

cidades que s˜ao capitais; carros esportes;

n´umeros ´ımpares; ...

L´ogica Fuzzy

Problemas da L´

ogica Cl´

assica

Como descrever os conjuntos:

grandes cidades da Am´erica do Sul;

baixatemperatura;

altataxa de infla¸c˜ao;

pequeno erro de aproxima¸c˜ao; ...

L´ogica Fuzzy

Problemas da L´

ogica Cl´

assica

Problema da Dicotomia:

“Uma semente n˜ao constitui uma pilha, nem duas sementes, nem trˆes... por outro lado, se eu agregar 100 milh˜oes de sementes, elas constituir˜ao uma pilha. Qual ´e o n´umero que determina este limite para ser uma pilha? Posso ent˜ao dizer que 325.647 sementes n˜ao constituem uma pilha, mas 325.648

constituem?” [Borel, 1950]

L´ogica Fuzzy

L´

ogica Fuzzy

Quebra os paradigmas da l´ogica tradicional.

Imita¸c˜ao do pensamento humano que ´e nebuloso por natureza. Teoria formulada em 1965, por Lofti Zadeh.

Figura: Conjunto Fuzzy

L´ogica Fuzzy

A L´ogica Fuzzy permite v´arios graus de verdadeiro e falso. Pensem em um controle de ar condicionado...

L´ogica Fuzzy

L´

ogica Fuzzy - Defini¸c˜

oes

Grau de pertinˆencia:

Um elemento pertence a um conjunto em uma escala que varia entre zero e um. [0, 1]

Fun¸c˜ao de pertinˆencia:

Fun¸c˜ao que informa o grau de pertinˆencia de um elemento em rela¸c˜ao a um conjunto.

L´ogica Fuzzy

L´ogica Fuzzy

Vari´aveis lingu´ısticas:

Expressas em linguagem natural, por´em tratadas de forma num´erica. (temperatura, press˜ao, altura...)

Termos lingu´ısticos:

Caracterizam a vari´avel lingu´ıstica. (Muito alto, alto, m´edio, baixo, muito baixo)

L´ogica Fuzzy

L´ogica Fuzzy

Conjunto fuzzy:

Modelam o comportamento das vari´aveis linguisticas e seus respectivos termos lingu´ısticos.

Formatos: triangular, trapezoidal, gaussiano, rampa...

L´ogica Fuzzy

Exemplos - Conjunto Fuzzy

Representa¸c˜ao por conjuntos Fuzzy para “inteiros pequenos”.

L´ogica Fuzzy

Exemplos - Conjunto Fuzzy

Representa¸c˜ao por conjuntos Fuzzy para “alturas de homens”.

L´ogica Fuzzy

Opera¸c˜

oes B´

asicas

L´ogica Fuzzy

L´ogica Fuzzy

L´ogica Fuzzy

Processo B´

asico

L´ogica Fuzzy

Regras

se A ent˜ao B

A ´e chamado antecedente ou premissa. B ´e chamado consequente ou conclus˜ao.

Exemplos:

se Pedro e Tem muni¸c˜ao ent˜ao Atira se Longe ent˜ao Faz Nada

Diferente da l´ogica booleana, A ter´a valores no intervalo [0, 1]. As regras s˜ao disparadas com um certo grau!

Ap´os a aplica¸c˜ao de todas as regras, pode-se ter diferentes graus para as conclus˜oes.

L´ogica Fuzzy

Inferˆ

encia Nebulosa

Para cada regra:

Para cada Antecedente, calcular o seu grau. Calcular a Conclus˜ao.

Combinar os resultados para determinar o conjunto Fuzzy. (Fuzzy Association Matrix - FAM)

Desejada uma sa´ıda (num´erica) fazer a defuzzifica¸c˜ao.

L´ogica Fuzzy

Exemplo

Temos um lan¸cador de granadas, e queremos saber quando ele ´

e ´util, de forma a escolhˆe-lo e us´a-lo na hora certa. Vari´aveis:

Antecedentes:

Distˆancia para o alvo. Quantidade de muni¸c˜ao.

Conclus˜ao:

Utilidade.

L´ogica Fuzzy

L´ogica Fuzzy

Exemplo (cont.) - Regras:

Lan¸cador de granadas ´e mais ´util a m´edia distˆancia. Perto pode me matar.

se longe e carregada ent˜ao serve se longe e ok ent˜ao inutil se longe e baixa ent˜ao inutil se medio e carregada ent˜ao util se medio e ok ent˜ao util se medio e baixa ent˜ao serve se perto e carregada ent˜ao inutil se perto e ok ent˜ao inutil se perto e baixa ent˜ao inutil

L´ogica Fuzzy

Exemplo (cont.) - Inferˆ

encia:

200 pixels de distˆancia com 8 granadas... Uso o lan¸cador de granadas?

Inferˆencia:

Regra 1: se longe e carregada ent˜ao serve

longe = 0.33, carregada = 0 : (0.33 AND 0) = 0 Portanto, serve = 0

Regra 2: se longe e ok ent˜ao inutil

longe = 0.33, ok = 0.78 : (0.33 AND 0.78) = 0.33 Portanto, inutil = 0.33

...

L´ogica Fuzzy

FAM - Fuzzy Association Matrix

L´ogica Fuzzy

Considera-se apenas as regras “disparadas”.

O valor obtido pode ser considerado como um n´ıvel de confidˆencia daquele resultado

´

Util = 0.67 Serve = 0.2 In´util = 0.33

Max das duas que disparam. Pode usar m´ınimo, a soma ou alguma m´edia.

L´ogica Fuzzy

Exemplo (cont.) - Resultados Graficamente

L´ogica Fuzzy

Exemplo (cont.) - Combinando Conclus˜

oes

L´ogica Fuzzy

Exemplo (cont.) - Defuzzifica¸c˜

ao

Processo de obter um resultado “num´erico” partir do conjunto Fuzzy.

V´arios M´etodos:

MOM (Meam of Maximum) - M´edia dos M´aximos. Centr´oide.

MaxAv - Mediana. Centro das somas. Etc...

L´ogica Fuzzy

Exemplo (cont.) - Defuzzifica¸c˜

ao

Centr´oide

O m´etodo mais preciso mas tamb´em o mais complexo de calcular.

Computa-se o centr´oide (centro de massa) do conjunto.

Parte II

Redes Bayesianas

Introdu¸c˜

ao

Conhecimento com incerteza:

Exemplo: sistema de diagn´ostico odontol´ogico. Regra de diagn´ostico:

∀p sintoma (p,dor de dente) ⇒ doen¸ca (p,c´arie) A doen¸ca (causa do sintoma) pode ser outra.

Regra causal:

∀p doen¸ca (p,c´arie) ⇒ sintoma (p,dor de dente)

H´a circunstˆancias em que a doen¸ca n˜ao provoca o sintoma.

Teoria da Probabilidade

Associa `as senten¸cas um grau de cren¸ca num´erico entre 0 e 1

Contudo, cada senten¸ca ou ´e verdadeira ou ´e falsa.

Grau de cren¸ca(probabilidade):

a priori(incondicional): calculado antes do agente receber percep¸c˜oes

Ex. P(c´arie = true) = P(c´arie) = 0.5

condicional: calculado de acordo com as evidˆencias dispon´ıveis

evidˆencias: percep¸c˜oes que o agente recebeu at´e agora Ex: P(c´arie|dor de dente)= 0.8 P(c´arie|¬dor de dente)= 0.3

Probabilidade Condicional

Probabilidade condicional (a posteriori) de A dado que B ocorreu ´e definida por:

P(A|B) = P(A ∧ B) P(B) para P(B) > 0

Probabilidade condicional:

possibilita inferˆencia sobre uma proposi¸c˜ao desconhecida A dada a evidˆencia B.

Regra de Bayes

Equa¸c˜ao para o Teorema de Bayes:

P(A/B) = P(B/A)P(A) P(B)

Pode-se estender esta express˜ao para o caso em que a dependˆencia condicional est´a associada a mais de uma evidˆencia pr´evia:

P(A/B, E ) = P(B/A, E )P(A/E ) P(B/E )

Aplica¸c˜

ao da Regra de Bayes - Diagn´

ostico M´

edico

Seja M = doen¸ca meningite, S = rigidez no pesco¸co. Um Doutor sabe: P(S /M) = 0.5 P(M) = 1/50000 P(S ) = 1/20 P(M/S ) = P(S /M)P(M) P(S ) = 0.5(1/50000) 1/20 = 0.002 A probabilidade de uma pessoa ter meningite dado que ela est´a com rigidez no pesco¸co ´e 0,02% ou ainda 1 em 5000.

Representa¸c˜

ao do Conhecimento com Incerteza

Representa 3 tipos de conhecimento do dom´ınio:

Rela¸c˜oes de independˆencia entre vari´aveis aleat´orias. Probabilidades a priori de algumas vari´aveis.

Probabilidades condicionais entre vari´aveis dependentes.

Permite calcular eficientemente:

Probabilidades a posteriori de qualquer vari´avel aleat´oria (inferˆencia).

Conhecimento representado:

Pode ser aprendido a partir de exemplos.

Reutilizando parte dos mecanismos de racioc´ınio.

Estrutura das Redes Bayesianas

Uma Rede Bayesiana ´e um grafo ac´ıclico e dirigido onde:

Cada n´o da rede representa uma vari´avel aleat´oria

Um conjunto de liga¸c˜oes ou arcos dirigidos conectam pares de n´os

cada n´o recebe arcos dos n´os que tem influˆencia direta sobre ele (n´os pais).

Cada n´o possui uma tabela de probabilidade condicional associada que quantifica os efeitos que os pais tˆem sobre ele

Exemplo Alarme

Exemplo Alarme

Calcular a probabilidade do evento que o alarme toca mas n˜ao houve assalto nem terremoto e que Jo˜ao e Maria telefonaram.

P(J ∧ M ∧ A ∧ ¬R ∧ ¬T )

= P(J|A)P(M|A)P(A|¬R ∧ ¬T )P(¬R)P(¬T ) = 0.9x 0.7x 0.001x 0.999x 0.998

= 0.00062 ou 0.062%

Engenharia do conhecimento para Redes Bayesianas

Escolher um conjunto de vari´aveis relevantes que descrevam o dom´ınio.

Ordem de inclus˜ao dos n´os na rede:

causas como “ra´ızes” da rede vari´aveis que elas influenciam

folhas, que n˜ao influenciam diretamente nenhuma outra vari´avel.

Enquanto houver vari´aveis a representar:

escolher uma vari´avel Xi e adicionar um n´o para ela na rede estabelecer Pais(Xi) dentre os n´os que j´a est˜ao na rede, satisfazendo a propriedade de dependˆencia condicional definir a tabela de probabilidade condicional para Xi

Exemplo Alarme

Ordem: R T A J M

Tipos de Inferˆ

encia em Redes Bayesianas

Causal (da causa para o efeito)

P(JohnCalls/Roubo) = 0, 86

Diagn´ostico (do efeito para a causa)

P(Roubo/JohnCalls) = 0, 016

Tipos de Inferˆ

encia em Redes Bayesianas

Intercausal (entre causas com um efeito comum)

P(Roubo/Alarme) = 0, 376

P(Roubo/Alarme ∧ Terremoto) = 0, 373

Mista (combinando duas ou mais das de cima)

P(Alarme/JohnCalls ∧ ¬Terremoto) = 0, 03

Este ´e um uso simultˆaneo de inferˆencia causal e diagn´ostico.

Conclus˜

oes - Redes Bayesianas

Possibilidade de trabalhar com dom´ınios onde n˜ao h´a informa¸c˜ao suficiente.

Racioc´ınio probabil´ıstico trata o grau de incerteza associado `a maioria dos dom´ınios.

Combina conhecimento a priori com dados observados. O impacto do conhecimento a priori (quando correto) ´e a redu¸c˜ao da amostra de dados necess´arios.

Fim