Aula06

Aula 6 – Análise de Erros em Regime Permanente

Introdução

Requisitos de um Sistema de Controle

Tipos de Sinais de Referência

Erro de Regime Permanente

Introdução

O controle automático de processos ocupa atualmente um papel fundamental em vários segmentos da sociedade, podendo-se citar exemplos que vão desde controladores de temperatura implementados por simples termostatos até o controle completo de veículos espaciais baseados em sofisticados sistemas computacionais. Vários outros exemplos podem ainda ser citados: o controle de velocidade e posicionamento de elevadores em edifícios comerciais ou residenciais, o controle de posição em manipuladores robóticos e o controle de velocidade de cruzeiro de automóveis são alguns destes exemplos. Independente do exemplo a ser citado, a estrutura básica de um sistema de controle automático segue a configuração apresentada no diagrama de blocos Figura 6.1.

Fig. 6.1: Diagrama de blocos de um sistema de controle com realimentação.

Na Figura 6.1 observa-se o diagrama esquemático de um sistema de controle realimentado composto por uma única variável de entrada e uma única variável de saída (Single Input Single Output – SISO), onde o objetivo principal é fazer com que o comportamento da variável de saída assemelhe-se tanto quanto possível àquele estabelecido pela variável de referência. Neste sentido, o desafio apresentado aos engenheiros de controle esta em conceber e projetar o bloco relativo ao controlador de forma que a variável de saída do sistema atenda aos requisitos de desempenho previamente estabelecidos e considerados satisfatórios.

Requisitos de um Sistema de Controle

No projeto de um sistema de controle é normal encontrar-se especificações de desempenho relacionadas as respostas transitória e em regime permanente da variável de saída do sistema.

Distúrbio Controlador Processo Sensor Ruído Variável de Saída Variável de Referência + _

As especificações de resposta transitória comumente utilizadas em um projeto de sistema de controle são relacionadas a sinais de referência constante por partes, conforme apresentado na Figura 6.2. Nesta figura observa-se o sinal de referência do tipo degrau de amplitude unitária, especificado juntamente com uma curva típica de resposta de um sistema subamortecido, onde são relacionados pontos relevantes da resposta temporal da variável de saída do sistema.

Fig. 6.2: Resposta ao degrau de um sistema de controle subamortecido.

Independente da natureza do processo sob controle, pode-se utilizar como requisitos de desempenho desejados para o sistema alguns dos pontos da curva de resposta destacados na Figura 6.2, e definidos a seguir: • • ttrr((rriisseettiimmee))--TTeemmppooddeessuubbiiddaa::tteemmppoonneecceessssáárriiooppaarraaqquueeaavvaarriiáávveellddeessaaííddaaddoossiisstteemmaappaasssseeddee 0 0aa110000%%ddoosseeuuvvaalloorrffiinnaall;; • • ttpp((ppeeaakkttiimmee))––TTeemmppooddeeppiiccoo::tteemmppoonneecceessssáárriiooppaarraaqquueeaavvaarriiáávveellddeessaaííddaaaallccaanncceesseeuuvvaalloorr m mááxxiimmoo;; • • MMpp((mmaaxxiimmuummppeeaakk))––PPiiccoommááxxiimmoo::vvaalloorrmmááxxiimmooqquueeaavvaarriiáávveellddeessaaííddaaddoossiisstteemmaaaallccaannççaa;; • • ttss((sseettttlliinnggttiimmee))––TTeemmppoo ddeeeessttaabbeelleecciimmeennttoo::tteemmppoo nneecceessssáárriioo ppaarraaqquueeaavvaarriiáávveellddeessaaííddaaddoo s siisstteemmaa aallccaannccee ee ppeerrmmaanneeççaa ddeennttrroo ddee uummaa ffaaiixxaa pprróóxxiimmaa ddee sseeuu vvaalloorr ffiinnaall.. EEssttaa ffaaiixxaa n noorrmmaallmmeenntteeééeessppeecciiffiiccaaddaaccoommvvaalloorreessppeerrcceennttuuaaiissaabbssoolluuttooss((uussuuaallmmeennttee22%%oouu55%%))..

Outro requisito comum em sistemas de controle está relacionado com a diferença resultante entre as variáveis de referência e de saída do sistema após a etapa transitória, conhecida como erro de regime permanente do sistema. Para avaliação do sinal de erro em regime permanente de um sistema de controle operando em malha-fechada, considera-se inicialmente o caso em que a realimentação é unitária apresentado na Figura 6.3.

Fig. 6.3: Sistema de controle em malha-fechada. onde • R(s) sinal de referência; Y(s) G(s) R(s) + _ E(s)

• Y(s) sinal de saída;

• E(s) é o sinal de erro gerado pela diferença entre os sinais de referência e do sinal de realimentação da variável de saída do sistema.

Note que neste caso o sinal E(s) é gerado diretamente pela diferença entre as variáveis de referência e de saída do sistema apresentado na Figura 6.3. Naturalmente, o comportamento do erro em regime dependerá do tipo de sinal de referência aplicado ao sistema e de fatores relacionados as características do processo e do controlador, representados na Fig. 6.3 pelo bloco com função de transferência G(s), como pode-se observar na equação (6.1).

G(s) 1 R(s) ) s ( G ) s ( E R(s) ) s ( Y ) s ( R ) s ( E + = − = − = (6.1)

Uma vez que se pretende analisar o comportamento em regime permanente da variável de erro, toda esta análise é realizada empregando-se o teorema do valor final, apresentado a seguir:

• Teorema do Valor Final

O teorema do valor final poderá ser empregado a uma função temporal f(t), se

dt t df t

f()e () forem funções transformáveis por Laplace e se lim f(t)

t→∞

existir. Nestes casos, a igualdade estabelecida na equação (6.2) é válida, i.e. ) ( lim ) ( lim 0sF s t f s t→∞ → = (6.2) Aplicando-se o teorema do valor final a variável de erro do sistema, admitindo-se que

dt ) t ( de ) t (

e e sejam funções transformáveis por Laplace e que e(t)

tlim→∞

existe, conclui-se que

G(s) 1 R(s) s lim sE(s) lim ) t ( e lim 0 s 0 s t + = = → → ∞ → (6.3)

Serão analisadas as características de G(s) para três diferentes sinais de entradas dos tipos degrau, rampa e parábola, cujas representações nos domínios do tempo e da freqüência são apresentadas na Tabela 6.1. f(t) para t≥0 F(s) ) (t δ 1 u(t) s 1 t 2 1 s 2 2 1 t 1₃ s

Tipos de Sinais de Referência

• Sinal de Referência do Tipo Degrau

Neste caso, conforme apresentado na Tabela 6.1, R(s)=1/s que, substituindo em (6.3) implica

G(0) 1 1 G(s) 1 R(s) s lim sE(s) lim ) ( e 0 s 0 s = + = + = ∞ → → (6.4)

Da expressão (6.4) é fácil de concluir que o erro em regime permanente para o sistema de controle em malha-fechada apresentado na Figura 6.3, sujeitos a sinais de entrada do tipo degrau, somente será nulo se G(s) apresentar no mínimo um pólo na origem fazendo com que G(0) assuma valor infinito. Da mesma forma conclui-se que se o erro em regime permanente apresentar um valor constante para um sinal de referência do tipo degrau, G(s) não apresenta nenhum pólo na origem.

• Sinal de Referência do Tipo Rampa

Para este caso, conforme a Tabela 6.1, o sinal de entrada de referência será R(s)=1/s2 que, substituído em (6.3) resulta em

(

)

sG(0) 1 ) s ( sG 1 lim G(s) 1 1 s 1 lim G(s) 1 R(s) s lim sE(s) lim ) ( e 0 s 0 s 0 s 0 s = = + = + = = ∞ → → → → (6.5)

Neste caso observa-se que se a função de transferência G(s) não possuir nenhum pólo na origem do plano s, o erro em regime permanente, de acordo com (6.5) será infinito. Se G(s) possuir um pólo na origem do plano s, o sistema apresentará erro de regime permanente constante. Se G(s) possuir pelo menos dois pólos na origem do plano s, o sistema apresentará erro de regime permanente nulo.

• Sinal de Referência do Tipo Parábola

De forma semelhante aos casos anteriores, considera-se agora R(s)=1/s3. Substituindo-se R(s) na expressão (6.3) obtêm-se

(

)

s G(0) 1 ) s ( G s 1 lim G(s) 1 1 s 1 lim G(s) 1 R(s) s lim sE(s) lim ) ( e 2 2 0 s 2 0 s 0 s 0 s = = + = + = = ∞ → → → → (6.6)

Pela análise de (6.6) é imediato concluir-se que se G(s) não possuir pelo menos dois pólos na origem do plano s, o erro em regime permanente será infinito. Se G(s) possuir dois pólos na origem do plano s o erro em regime permanente será uma constante e, caso G(s) apresente mais de dois pólos na origem do plano s o erro em regime permanente será nulo.

Erro de Regime Permanente

Pode-se generalizar a determinação do erro em regime permanente para sistemas operando em malha-fechada representados conforme a Figura (6.3), sujeitos a sinais de referência do tipo R(s)=1/sk+1 como

(

1 G(s)

)

1 s 1 lim G(s) 1 R(s) s lim sE(s) lim ) ( e _k 0 s 0 s 0 s = + = + = ∞ → → → (6.7)

sendo comum na terminologia empregada em sistemas de controle, classificar os diversos processos a serem controlados pelos seus Tipos. Um processo físico representado matematicamente por uma função de transferência G(s) será do Tipo k se, para um sinal de entrada R(s)=1/sk+1, o erro em regime permanente do sistema operando em malha-fechada, conforme representado na Figura 6.3, apresentar um valor constante.

Para o sistema de controle representado pela Figura 6.3, sujeito a sinais de referência R(s)=1/sk+1, admitindo-se que dt ) t ( de ) t (

e e sejam funções transformáveis por Laplace e que e(t)

tlim→∞ exista,

determinar os tipos de cada um dos sistemas se: • R(s)=1/s e e(∞)≠0

• R(s)=1/s e e(∞)=0 • R(s)=1/s2 _{e e(∞)=∞}

Também é comum, por analogia aos sistemas mecânicos, associar as entradas do tipo degrau, rampa e parábola aos termos posição, velocidade e aceleração, respectivamente. Nestes casos denomina-se, independente da natureza do sistema a ser controlado, os erros de regime permanente às entradas degrau, rampa e parábola como erros de posição, velocidade e aceleração. Desta maneira, com base nas expressões (6.4), (6.5) e (6.6), são definidos os coeficientes de erro de posição, Kp, velocidade, Kv, e aceleração, Ka,

isto é: p 0 s p K 1 1 ) e( ) s ( G lim : K + = ∞ ⇒ = → (6.8) v 0 s v K 1 ) e( ) s ( sG lim : K = ⇒ ∞ = → (6.9) a 2 0 s a K 1 ) e( ) s ( G s lim K = ⇒ ∞ = → (6.10)

Com base no exposto, admitindo-se para o sistema de controle representado pela Figura 6.3 que

dt ) t ( de ) t (

e e sejam funções transformáveis por Laplace e que e(t)

tlim→∞ exista, preencha a Tabela 6.2

abaixo com as expressões de erros de regime permanente esperados em cada um dos casos:

Sinal de Referência

Degrau Rampa Parábola

Tipo 0 Tipo 1 Tipo 2

Considera-se agora, o caso de um sistema de controle operando em malha-fechada cuja realimentação não é unitária, conforme apresentado na Figura 6.4.

Fig. 6.4: Representação de um sistema de controle SISO com realimentação não unitária.

Neste caso, a relação entre as variáveis de saída e entrada do sistema é dada pela seguinte função de transferência: ) s ( H ) s ( G 1 ) s ( G ) s ( R ) s ( Y ) s ( T + = = (6.11) De forma a empregar todo o desenvolvimento apresentado para análise de erro em regime permanente de sistemas de controle com realimentação unitária, mantendo a relação (6.11), sob o ponto de vista matemático pode-se determinar uma função de transferência equivalente Geq(s) tal que

Fig. 6.5: Sistema de controle equivalente ao apresentado na Figura 6.4.

Comparando-se os sistemas em malha-fechada apresentados nas Figuras 6.4 e 6.5, admitindo-se por hipótese que a função de transferência em malha-fechada dos dois sistemas é a mesma, conclui-se que

) s ( H ) s ( G 1 ) s ( G ) s ( G 1 ) s ( G eq eq + = + (6.12) ou ainda ) s ( G ) s ( H ) s ( G 1 ) s ( G ) s ( Geq = _{+ −} (6.13)

Uma vez que a Figura 6.5 representa um sistema de controle em malha-fechada com realimentação unitária, observa-se que toda a análise de erro anteriormente exposta é perfeitamente válida, concluindo-se que p eq 0 s p K 1 1 ) e( ) s ( G lim : K + = ∞ ⇒ = → (6.14) v eq 0 s v K 1 ) e( ) s ( sG lim : K = ⇒ ∞ = → (6.15) a eq 2 0 s a K 1 ) e( ) s ( G s lim K = ⇒ ∞ = → (6.16) Y(s) G(s) R(s) + _ E(s) H(s) Y(s) Geq (s) R(s) + _ E(s)

Considere os sistemas de controle em malha-fechada apresentados nas Figuras 6.6 e 6.7 apresentadas a seguir:

Fig. 6.6: Sistema de controle com realimentação unitária.

Fig. 6.7: Sistema de controle com realimentação não unitária.

i. Determinar para ambos os casos os valores em regime permanente da variável de saída y(t), admitindo como sinal de entrada em degrau de amplitude unitária.

ii. Compare as Figura 6.1 e a Figura 6.7 e identifique cada um dos blocos da representação física do sistema (Figura 6.1) com a representação matemática do mesmo(Figura 6.7).

Obtenção das Constantes de Erro de Regime Permanente Utilizando o Diagrama de

Bode

O erro de regime permanente de um sistema com realimentação unitária e negativa, Fig. 6.8, pode ser obtido através da análise das constantes de erro Kp, Kv e Ka. Pela definição das constantes de erro é

necessário o conhecimento da função de transferência G(s) para a determinação do erro de regime. Porém é possível obter as constantes de erro, sem o conhecimento explicito da função de transferência G(s), através da análise da resposta em freqüência em malha aberta do processo G(s). As seguintes regras são válidas para a obtenção das constantes de erro de regime, analisando apenas resposta em freqüência do processo. 1. Em um sistema com realimentação unitária e negativa, Fig. 6.8, que não possuindo um pólo na origem,

a constante de erro de posição KP pode ser determinada graficamente no diagrama de Bode de malha

aberta verificando a curva de magnitude em baixas-freqüências (neste caso, necessariamente uma reta com declividade nula). Neste ponto, o valor da magnitude coincidirá numericamente com o valor de 20 log (Kp).

2. Em um sistema com realimentação unitária e negativa, Fig. 6.8, que possui um pólo na origem, a constante de erro de velocidade Kv pode ser determinada graficamente no diagrama de Bode de malha

aberta pela intersecção do prolongamento da curva de magnitude do sistema em baixas-freqüências (neste caso, necessariamente –20 dB/dec), com o ponto de magnitude 0dB. Neste ponto, a freqüência de 0dB coincidirá numericamente com o valor de Kv.

3. Em um sistema com realimentação unitária e negativa, Fig. 6.8, que possui dois pólos na origem, o Ka

pode ser determinado graficamente no diagrama de Bode de malha aberta pela intersecção do prolongamento da curva de magnitude do sistema em baixas-freqüências (neste caso, necessariamente –40 dB/dec), com o ponto de magnitude 0dB. Neste ponto, a freqüência de 0dB elevada ao quadrado coincidirá numericamente com o valor de Ka.

Y(s) ) 10 s ( s 100 + R(s) + _ E(s) Y(s) ) 10 s ( s 100 + R(s) + _ E(s) ) 5 s ( 1 +

Fig. 6.8: Sistema com realimentação unitária.

Demonstração das regras:

A constante de erro de posição Kp é definida por

) s ( G lim K 0 s p _→ ∆ = (6.17) Se o sistema com realimentação unitária, apresentado na Fig. 6.8 apresentar erro em regime permanente para um sinal de entrada do tipo degrau, então Kp≠ 0 e Kp≠ ∞ e a função de transferência G(s)

pode ser descrita por (6.18).

(

)

(

)

(

)

(

)

(

r c

) (

r c

)

r p j 1 j c p k 1 k 2 pk pk pk 2 j r z h 1 h c z i 1 i 2 ci ci zi 2 h p p z z com s 2 s p s s 2 s z s K ) s ( G + ≤ + ω + ω ξ + + ω + ω ξ + + =

∏

∏

∏

∏

= = = = = = = = _(6.18) onde h z − :: zzeerroossrreeaaiiss −p_j:: ppóólloossrreeaaiiss ci cie ξ ω ::ffrreeqqüüêênncciiaassnnaattuurraaiisseeffaattoorreess d deeaammoorrtteecciimmeennttooddoosszzeerrooss c coommpplleexxooss pk pk e ξ ω ::ffrreeqqüüêênncciiaassnnaattuurraaiisseeffaattoorreess d deeaammoorrtteecciimmeennttooddoossppóóllooss c coommpplleexxooss z zrr:: nnúúmmeerroottoottaallddeezzeerroossrreeaaiissddeeGG((ss)) pprr:: nnúúmmeerrooddeeppóólloossrreeaaiissddeeGG((ss)) z z_cc::nnúúmmeerroottoottaallddeezzeerroossccoommpplleexxoossddeeGG((ss)) ppcc:: nnúúmmeerrooddeezzeerroossccoommpplleexxoossddeeGG((ss))

O módulo de G(jω) para freqüências muito baixas, ou seja ω →0, é dado por

( )

( )

( )

( )

( )

∏

∏

∏

∏

= = = = = = = = → ω ω ω = ω r p j 0 j c p k 1 k 2 pk j r z h 1 h c z i 1 i 2 ci h 0 p z K j G (6.19)

Aplicando a definição (6.17) em (6.18), resulta em

)

s

(

G

R(s) + _ Y(s)

( )

( )

( )

( )

∏

∏

∏

∏

= = = = = = = = ω ω = r p j 0 j c p k 1 k 2 pk j r z h 1 h c z i 1 i 2 ci h p p z K K (6.20) Comparando (6.20) com (6.19)

( )

₀ p G j K = ω _ω→ (6.21) Como no diagrama de Bode o modulo de G(jω) é representado em decibéis tem-se,

( )

{

( )

}

        ω → ω ⇒ = ω = 20 dB ) j ( G p dB 0 p G j K 10 K log 20 (6.22) O mesmo procedimento é adotado para determinação da constante de erro de velocidade Kv,

definida por: ) s ( G s lim K 0 s v → ∆ = (6.23) Se o sistema com realimentação unitária, apresentado na Fig. 6.18 apresentar erro em regime constante para um sinal de entrada do tipo rampa então Kv≠ 0 e Kv≠ ∞ e a função de transferência G(s)

pode ser descrita por (6.24).

(

)

(

)

(

)

(

)

∏

∏

∏

∏

= = = = = = = = ω + ω ξ + + ω + ω ξ + + = r p j 0 j c p k 1 k 2 pk pk pk 2 j r z h 1 h c z i 1 i 2 ci ci zi 2 h s 2 s p s s s 2 s z s K ) s ( G (6.24)

O módulo de G(jω) para freqüências muito baixas, ou seja ω →0, é dado por

( )

( )

( )

( )

( )

∏

∏

∏

∏

= = = = = = = = → ω ω ω ω = ω r p j 0 j c p k 1 k 2 pk j r z h 1 h c z i 1 i 2 ci h 0 p z K j G (6.25)

Aplicando a definição (6.23) em (6.24), resulta em

( )

( )

( )

( )

∏

∏

∏

∏

= = = = = = = = ω ω = r p j 0 j c p k 1 k 2 pk j r z h 1 h c z i 1 i 2 ci h v p z K K (6.26) Comparando (6.26) com (6.25)

( )

₀ v j G K → ω ω = ω (6.27)

Admitindo-se então, um sistema de primeira ordem com pólo na origem, cuja função de transferência é dada por G*(s)=Kv/s, pode-se dizer que a resposta em freqüência deste sistema para freqüências muito

baixas é igual a resposta em freqüência do sistema (6.24). Então, quando o módulo de G*(jω) for unitário tem-se a seguinte igualdade:

dB 0 v v *_{(j )} K _{1 K} G = → =ω ω = ω (6.28) Outra maneira de identificar o Kv no diagrama de Bode seria empregar uma freqüência mínima

ωmin em (6.27), i.e.

( )

min j G K min v ω → ω ω = ω (6.29)

Como o modulo de G

( )

jω é normalmente representado em decibéis no diagrama de Bode, tem-se:

( )

min min v j G log * 20 K log * 20 _= ω _ω=ω      ω (6.30)

Demonstrar a validade da regra para determinar a constante de erro Ka em sistemas com

realimentação unitária conforme Fig. 6.18.

A resposta em freqüência de um sistema em malha aberta pode ser obtida de forma experimental Portanto é possível obter as constantes de erro e por conseqüência o erro de regime do sistema operando em malha fechada a partir da analise do Diagrama de Bode de malha aberta sem empregar a diretamente a função de transferência.

Para mostrar a aplicação direta destas regras para determinar as constantes de erro empregando diretamente o diagrama de Bode será apresentado um exemplo para cada caso ( Kp, Kv e Ka). Convém

lembrar que este método deve ser aplicado para sistemas com realimentação unitária e negativa conforme Fig. 6.18.

Exemplo: Constante de erro K

p

Seja a função de transferência de malha aberta do sistema de controle da Fig. 6.18, apresentado abaixo

) 10 )( 2 )( 1 ( 10 ) ( + + + = s s s s G (6.31)

pode-se calcular a constante de erro de posição através de

10 ) 10 )( 2 )( 1 ( 200 lim ) ( lim 0 0 = + + + = = → → G s s s s K s s p (6.32)

Uma outra maneira de obter-se a constante de erro é através da analise da resposta em freqüência da função de transferência de malha aberta G(s). Na Fig. 1.19 é apresentado o diagrama de Bode de (6.31). Observando a curva de magnitude em baixas-freqüências, Fig.1.19, determina-se que o valor da magnitude é de 20 dB. O valor de Kp é obtido através da transformação da escala em dB para a escala normal, i.e.,

10 10 20 20 = =      dB p K (6.33)

Fig. 1.19: Diagrama de Bode do processo definido em (6.31).

Exemplo: Constante de erro K

v

Seja a função de transferência de malha aberta do sistema de controle da Fig. 6.18, apresentado abaixo

) 10 )( 2 ( 40 ) ( + + = s s s s G (6.34)

Com a função de transferência definida em (1.35) pode-se calcular a constante de erro de velocidade através de (6.35), i.e.

2 ) 10 )( 2 ( 40 lim ) ( lim 0 0 = + + = = → → sG s ss s s K s s v (6.35)

Uma outra maneira de obter-se a constante de erro é através da analise da resposta em freqüência da função de transferência de malha aberta G(s). Na Fig. 6.20 é apresentado o diagrama de Bode de (6.34). A constante de erro de velocidade, Kv, pode ser determinada graficamente no diagrama de Bode de malha

aberta, apresentado na Fig. 6.20, pela intersecção do prolongamento da curva de magnitude do sistema em baixas-freqüências (neste caso, necessariamente –20 dB/dec), com o ponto onde a magnitude é 0dB. Neste ponto, a freqüência de 0dB é 2 rad/s coincidirá numericamente com o valor de Kv, portanto

2 = v

Fig. 6.20: Diagrama de Bode do processo definido em (1.35).

Exemplo: Constante de erro K

a

Seja a função de transferência de malha aberta do sistema de controle da Fig. 6.18, apresentado abaixo ) 10 s ( s ) 1 s ( 250 ) s ( G 2 ₊ + = (6.37) pode-se calcular a constante de erro de aceleração através de

25 ) 10 s ( s ) 1 s ( 250 s lim ) s ( G s lim K 2 2 0 s 0 s 2 a = + + = = → → (6.38)

Uma outra maneira de obter-se a constante de erro é através da analise da resposta em freqüência da função de transferência de malha aberta G(s). Na Fig. 6.21 é apresentado o diagrama de Bode de (6.37). A constante de erro de aceleração, Ka, pode ser determinada graficamente no diagrama de Bode de malha

aberta, apresentado na Fig. 6.21, pela intersecção do prolongamento da curva de magnitude do sistema em baixas-freqüências (neste caso, necessariamente –40 dB/dec), com o ponto onde a magnitude é 0dB. Neste ponto, a freqüência de 0dB é de 5 rad/s, portanto,

25 5

Fig. 6.21: Diagrama de Bode do processo definido em (6.37).

Leituras Adicionais Recomendadas

[1] Evans, W.R., “Graphical Analysis of Control Systems”, AIEE Transactions Part II, vol. 67, pp. 547-551, 1948.

[2] Levine S. William, The Control Handbook, CRA, pp. 192-198.

[3] Wolovich, W.A., Automatic Control Systems, Saunders College Publishing.

[4] Nise, N.S., Control System Engineering, Addison-Wesley Publishing Company, Second Edition. [5] Franklin, G.F., Powell, J.D. & Naeini, E., Feedback Control of Dynamics Systems, Addison-Wesley

Publishing Company.