Experimento 2 Óptica geométrica Prismas

Experimento 2

Óptica geométrica

Goniômetro espectrômetro

Serão medido o ângulo de um dos vértices de um prisma, e o ângulo de desvio mínimo utilizando duas técnicas diferentes. Com esse valores, será calculado o índice de refração do vidro do prisma.

Introdução ao goniômetro

O goniômetro é um instrumento que se utiliza para medir ângulos. Quando complementado com alguns acessórios ópticos serve para poder determinar, por exemplo, o índice de refração de um vidro em função do comprimento de onda; ou para efetuar estudos espectroscópicos utilizando um prisma como elemento dispersivo.

O goniômetro consiste de: a) Uma platina que serve para apoiar um objeto, por exemplo, um prisma; b) Uma fenda (com a posição angular fixa) montada em um telescópio que permite colimar a luz e gerar um feixe de raios paralelos; c) Um ocular montado em um telescópio, que pode variar sua posição angular. O ocular é solidário a dois Verniers que permitem medir ângulos com precisão de

±

1’; d) Um disco graduado em graus, com mínima divisão de 30’’ (meio grau). A Fig. 1 mostra uma imagem com os detalhes das diferentes partes de um goniômetro.

Figura 1: Goniômetro espectrômetro. A: Ocular. B: Telescópio do ocular (móvel). C: Ajuste de foco. D: Ajuste da altura do telescópio do ocular. E: Parafuso de trava movimento lateral do tubo do ocular. F: Fenda. G: Tubo da fenda. H: Parafuso de ajuste largura da fenda. I: Parafuso de ajuste da posição longitudinal da fenda. J: Ajuste da altura do tubo do ocular. K: Parafuso de trava movimento lateral do tubo do ocular. L: Platina. M: Parafusos de ajuste da altura da platina. N: Base. O: Parafuso de trava do movimento do telescópio do ocular. P: Parafuso de ajuste fino do telescópio do ocular.

A

B

G

F

L

H

C

D

E

I

K

J

M

M

N

O

P

Na Fig. 2 podemos observar o detalhe de uma parte mais específica do goniômetro, formada pelo disco graduado e duas lupas, utilizadas para poder efetuar com precisão a medida dos ângulos. Também e apresentada uma figura com um exemplo de medida de ângulo. A medida, que utiliza o Vernier, é completamente análoga à medida que se efetua com um paquímetro. Primeiro deve-se visualizar o valor em graus, e depois observar se a medida dos minutos está entre 0 - 30’ ou entre 30’- 60’. Por último, se deve identificar a linha do Vernier que coincide com a divisão do disco graduado, para poder determinar os minutos exatos.

Q

Q

R

S

S

a)

Vernier

Disco graduado

b)

Figura 2: a) Detalhe do disco graduado, das lupas e do Vernier. Q) Lupas. R) Disco graduado. S) Verniers. b) Ampliação da escala do disco e do Vernier. c) Exemplo de medida de um ângulo. A medida angular do exemplo dá 123º 51’.

Ajuste do goniômetro

Antes de efetuar as medidas é necessário calibrar o ocular do goniômetro. Para isso, escolha um objeto colocado no “infinito” e focalize com o parafuso C até obter uma imagem nítida. A imagem vai aparecer invertida. Ademais, notar que o foco vai depender do observador.

Coloque a fonte de luz branca utilizando uma montagem em “V”, como mostrado na Fig. 3

Figura 3: Montagem da cabeça de saída de luz branca em uma montagem em “V”.

123

º

+ 30’ + 21’

c)

Ângulo = 123

º

51’

Fonte de luz branca

Saída da luz

Para poder trabalhar com luz monocromática, vamos colocar um filtro na saída de luz branca. O filtro (que pode ser verde ou azul) deve ser colado na frente da fenda do goniômetro, tal como mostrado na Fig. 4. Dessa forma a fenda será iluminada por luz verde ou azul.

Figura 4: Montagem do filtro “verde” entre a saída de luz branca e a entrada da fenda.

Logo de montado o filtro na entrada da fenda, o telescópio do ocular deve-se alinhar com o telescópio da fenda, tal que o sistema fique como mostrado na Fig. 5.

Figura 5: Alinhamento dos telescópios do goniômetro.

Com os telescópios alinhados observe pelo ocular. Deverá observar-se a fenda retangular iluminada pela luz verde. Como o telescópio já foi focalizado ao infinito, a fenda deve aparecer nítida. Notar que, ademais, deve observar-se uma cruz ou retícula, que está fixada em uma lente dentro do telescópio do ocular. Para focalizar a cruz com a imagem da fenda basta mexer a posição do ocular, que está livre para poder mover-se para a frente ou para trás, tal como indicado na Fig. 5. Com esses ajustes, a fenda deveria ver-se como no Fig. 6.

Filtro

Saída

luz

branca

Fenda

Telescópios alinhados

Movimentação do ocular

para frente ou para

trás

Figura 6: Imagem da fenda e da cruz, observados pelo ocular.

Agora o sistema está quase ajustado para efetuar as medições, mas ainda falta nivelar a platina. Para fazer isso será utilizado um nível de bolha redondo.

A platina possui três parafusos para poder nivelá-la, indicados como M na Fig. 1. Ajuste os parafusos até conseguir que a bolha fique no centro marcado do nível.

Metodologia

Medida do ângulo do prisma

Para efetuar essa medida coloque o prisma segundo a Fig. 7. A idéia é observar a imagem da fenda por reflexão nas faces do prisma que formam o ângulo α. Para isso vamos enfrentar o vértice do prisma que corresponde a esse ângulo ao telescópio da fenda. O prisma não precisa estar centrado na platina, e pode ser colocado em uma posição mais atrás do centro da mesma. Mude a posição tantas vezes como seja necessário até obter uma imagem da fenda nas posições 1 e 2, indicadas na Fig. 8. Para facilitar a localização dessa imagem, procure a mesma primeiro a olho nu, e depois com o telescópio.

A imagem da fenda deve ser observada de tal forma que a linha vertical da cruz (retícula) esteja na metade da fenda. Para poder efetuar um ajuste fino da posição angular do telescópio do ocular ajuste o parafuso P, e mexa o parafuso O, que atua como parafuso micrométrico para o ajuste fino. Quando seja focalizada a imagem da fenda na posição 1, meça o ângulo na disco graduado. Chamamos a esse ângulo medido α1. Utilize a lupa para

Figura 7: Esquema da montagem experimental para medir o ângulo α do prisma.

O goniômetro permite obter o valor do ângulo 2α β γ= + , como a diferença α1−α2 . Tome cuidado em

como irá a fazer esse cálculo! O disco, que está graduado de 0 a 360º, pode estar em qualquer posição ao fazer a medida e, ademais, a posição do Vernier não é a mesma que a posição angular do telescópio. Porém, isso não é relevante porque o que importa é a diferença entre as medidas angulares obtidas. Consideremos, por exemplo, a seguinte situação:

Figura 9: Posição do Vernier quando o telescópio do ocular está nas posições 1 e 2.

γ

β

α

2α

Telescópio fenda Fenda Imagem fenda Imagem fenda Telescópio ocular (posição 1) Telescópio ocular (posição 2)

α

Telescópio fenda Fenda Telescópio ocular (posição 1) Medida 2 Vernier posição 2 246º 40’ Medida 1 Vernier posição 1 126º 31’ Telescópio ocular (posição 2)

As medidas angulares são efetuadas lendo a posição do Vernier na escala do disco graduado. Assim, quando o telescópio do ocular está nas posições 1 e 2, obtemos as medidas 1e 2, que no caso do exemplo são 126o

2α = 246 40' 126 31' 120 9'o − o = o ⇒2α =120 9'o

31’ e 246º 40’, respectivamente. Então, temos que:

Para obter um valor confiável do ângulo α, repita o procedimento para 10 posições diferentes do prisma, tal que sejam obtidos 10 pares de medidas de α1 e α2. Os valores devem ser anotados na Tabela 1. Não esqueça de

calcular os erros das medidas e calcular as propagações de erros quando corresponda.

• P1: Demonstrar que 2α β γ= + .

Medida do índice de refração do vidro do prisma

Para poder determinar o índice de refração do vidro, é necessário medir o ângulo de desvio mínimo do prisma. Quando um feixe de luz atravessa um prisma, a direção de propagação é modificada. O ângulo de desvio é aquele formado pela linha da direção original do feixe e a linha da direção do feixe depois de passar pelo prisma. Consideremos o esquema da Fig. 10. O feixe incidente bate na face esquerda do prisma com ângulo de incidênciaθi, é refratado no prisma com ângulo θt, depois bate na face direita com ângulo de incidência ϕi e

finalmente é refratado no ar com ângulo ϕt

δ β γ

=

+

. O ângulo δ é o ângulo de desvio do prisma, que segundo a Fig. 10, é dado por:

. (1)

Figura 10: Ângulo de desvio δ de um prisma.

α

δ

θ

_i

θ

_t

ϕ

i

ϕ

t

• P2: Demonstrar que α θ= t +ϕi , β θ θ= i − e t γ ϕ ϕ= t − i . • P3: Demonstrar que δ θ ϕ α= i + t −

Experimentalmente é possível observar que existe apenas um ângulo de incidência θi para o qual o ângulo δ é

mínimo (δmín

i t

θ =ϕ

). Para esse ângulo acontece que:

(2)

t i

θ =ϕ

₍₃₎

βi =γ

(4)

Para provar esses resultados, vamos a utilizar o princípio de reversibilidade. Esse princípio estabelece que para o caso de uma interface entre dois meios materiais, com índices n1 e n2, tal como representado na Fig. 11, um

feixe que incide desde o meio com índice n1, com qualquer ângulo de incidência ε1 na interface, será refratado

um ângulo ε2 no meio com índice n2

1 1 2 2

n sen

ε

=

n sen

ε

, tal que a relação de ângulos é dada pela Lei de Snell:

(5)

Se agora é invertida a direção de propagação do feixe, tal que agora o ângulo ε2 é o ângulo de incidência desde

o meio com índice n2

Figura 11: Esquema do princípio de reversibilidade.

, a relação entre os ângulos será a mesma, ou seja, a dada pela Eq. (5).

n

₁

n

₁

n

₂

n

₂

ε

₁

ε

₁

ε

₂

ε

₂

Voltando ao caso do prisma, suponha que θi ≠ϕt _{quando obtemos o desvio mínimo. Pelo princípio de} reversibilidade, haveria então dois ângulos de incidência que dariam esse desvio mínimo. Devido a que experimentalmente obtemos apenas um δmín, então deve ser θi =ϕt. Com esse resultado, é direto queθt =ϕi , e em consequência, β γ= .

Aplicando a Lei de Snell na face esquerda do prisma (Fig. 10), obtemos:

sen

θ

i

=

n sen

v

θ

t , (6)

onde foi considerado que nar = 1 e nv é o índice de refração do vidro do prisma. No caso de ter o δmín

2

mín i

α δ

θ

=

+

, através das relações das questões P1, P2 e das Eqs. (2)-(4), obtemos:

, (7) e:

2

t

α

θ

=

. (8)

Substituindo as Eqs. (7) e (8) na Eq. (6), e fazendo passagem de termo, obtemos:

(

)

2

2

mín v

sen

n

sen

α δ

α

+

=

. (9)

O ângulo de desvio mínimo δmín do prisma será obtido experimentalmente utilizando um laser. Para isso vamos

Figura 12: Montagem para a medida do δmín utilizando um laser.

Antes de colocar o prisma, marque a posição do feixe do laser na tela. Logo coloque o prisma. O feixe será desviado um certo ângulo. Para poder mover a posição angular do prisma, utilize uma plataforma que permita fazer isso (pode ser utilizada a mesma platina do goniômetro). Mudando devagar o ângulo de incidência do laser no prisma, observe a posição do laser na tela. Quando a separação em relação à posição original do feixe (sem o prisma) seja mínima temos a condição do desvio mínimo. Meça a separação entre as posições do laser e a distância desde o prisma até a tela. Utilizando trigonometria determine δmín. Não esqueça de colocar os erros

nas medidas de distância, porque serão necessários para calcular, por propagação de erros, o erro do δmín.

Repita o procedimento 10 vezes, tal que sejam obtidos 10 valores de δmín. Construa uma tabela para apresentar

todos os dados experimentais.

Determine o valor de nv utilizando os valores medidos de α, e δmín

Laser

Tela

Prisma

δ

Feixe laser sem

o prisma

com ambos os métodos.

Relatório

O relatório deve conter os seguintes itens:

1) Uma introdução (ou introdução teórica) do assunto que trata o experimento. Têm que aparecer as equações utilizadas, com as deduções consideradas pertinente pela equipe, até chegar na equação (ou equações) final(is).

2) Uma parte experimental com uma explicação clara de como foram efetuadas as medidas experimentais (seria equivalente à “Parte Experimental” no relatório padrão).

3) Uma parte de resultados, contendo todos resultados experimentais obtidos nas medidas, com Tabelas se for o caso, como as que seguem abaixo.

Medida

α₁± ∆α₁ α₂± ∆α₂ α1−α2 ± ∆(α1−α2) α ± ∆α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabela 1: Valores medidos para determinar o ângulo α do prisma.

Medida

d± ∆d a± ∆a δmín± ∆δmín 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabela 2: Valores medidos para determinar o ângulo de desvio mínimo δmín. a: separação entre as posições do laser, d: distância entre o prisma e a tela.

Se corresponde, também devem estar o/s gráfico/s com os pontos experimentais, e a/s curva/s de ajuste por mínimos quadrados.

Também devem aparecer os valores experimentais obtidos a partir de cálculos envolvendo as medições diretas. No caso do presente relatório, isso corresponderia aos valores finais dos ângulos do prisma e do índice de refração do vidro do prisma.

Não esqueça de calcular e apresentar as incertezas experimentais de cada magnitude medida.

4) No caso das incertezas provenientes de aplicar alguma equação de propagação (de incertezas), apresentar a equação explicita em um anexo ao final do relatório.

5) Respostas às perguntas apresentadas no roteiro (colocar em anexo ao final do relatório).