Comparação de simulações por eventos discretos para modelos de fila

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE TECNOLOGIA

MESTRADO EM TECNOLOGIA

José Carlos Libardi Junior

Grupo de Óptica e Modelagem Numérica – GOMNI

COMPARAÇÃO DE SIMULAÇÕES POR EVENTOS

DISCRETOS PARA MODELOS DE FILA

LIMEIRA

2015

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iii

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE TECNOLOGIA

MESTRADO EM TECNOLOGIA

José Carlos Libardi Junior

Grupo de Óptica e Modelagem Numérica – GOMNI

COMPARAÇÃO DE SIMULAÇÕES POR EVENTOS

DISCRETOS PARA MODELOS DE FILA

Dissertação apresentada ao programa de Pós-Graduação da Faculdade de Tecnologia da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para obtenção do título de Mestre em Tecnologia, área de concentração em Tecnologia e Inovação.

Aluno: José Carlos Libardi Junior

Orientador: Prof. Dr. Varese Salvador Timóteo Co-Orientador: Prof. Dr. Edson Luiz Ursini

ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃO FINAL DA DISSERTAÇÃO DEFENDIDA PELO ALUNO JOSÉ CARLOS LIBARDI JUNIOR E ORIENTADA PELO PROF. DR. VARESE SALVADOR TIMÓTEO.

PROF. DR. VARESE SALVADOR TIMÓTEO

LIMEIRA

2015

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Resumo

A constante evolução do poder computacional aliada ao baixo custo de aquisição, faz com que os computadores sejam indispensáveis para construção de modelos de simulação. Atualmente, a simulação por computador é usada nas mais diversificadas áreas, como previsão meteorológica, dimensionamento de centrais telefônicas, e estudos aerodinâmicos.

A presente dissertação valida e comprova a eficácia de modelos de simulação construídos no software Mathematica 10 por meio do software Arena 14.50. Para isso, foi construído um modelo que, sem focar nas condições reais do sistema, simula de forma hipotética (levando em conta apenas o número de canais de comunicação disponíveis e o tempo de médio duração das chamadas) o tráfego oferecido por chamadas de áudio e vídeo em uma ERB (Estação Rádio-Base) CDMA (Code

Division Multiple Access) ou GSM (Global System for Mobile) que nesse trabalho, é representada

por um sistema de fila.

Diversos cenários de tráfego foram analisados utilizando diferentes parâmetros como a quantidade de chamadas ingressantes, tempo de duração da chamada e o número de canais disponíveis. Os resultados finais comprovaram que os modelos de simulação criados no Mathematica 10 são equivalentes aos modelos de simulação construídos no Arena 14.50.

Palavras-Chave: Simulação (Computadores), Modelos de tráfego, Teoria das filas.

Abstract

The constant evolution of power of computers together with their low cost of aquisition, make them indispensable in building of simulation models. Nowadays, computer simulation is used in a variety of areas such weather forecasting, sizing of telephone stations and in aerodynamic studies.

This essay validate and proves the effectiveness of these simulation models built on The

Mathematica 10 software with the Arena 14.50. In order to do that, a model was built and without

focusing on System s real condition, it simulates in a hypothetical way (considering only the number of communication channels available and average length of the calls) The traffic offered

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viii

by audio and vídeo calls through a RBS (Radio Base Station) CDMA (Code Division Multiple

Access) or GSM (Global System for Mobile) which herein is shown through a queue system.

Various traffic scenarios were analyzed using different setups, like quantity of incoming calls, length of calls and number of available channels. The final results confirmed that the simulation models built on Mathematica 10 are equivalents to The simulation models built on Arena 14.50.

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ix

Sumário

Resumo ... vii Abstract ... vii Dedicatória... xi Agradecimentos ... xiii Lista de Figuras ... xv

Lista de Tabelas ... xxi

Lista de Abreviaturas e Siglas ... xxiii

1. Introdução... 1 1.1. Objetivos ... 2 1.2. Justificativa ... 2 1.3. Organização ... 3 2. Modelos de Tráfego ... 4 2.1. Categorias de Tráfego ... 5 2.1.1. Tráfego de Bloco ... 5

2.1.2. Tráfego de Transição on/off ... 5

2.1.3. Tráfego Stream ... 6 2.2. Funções de Distribuição ... 7 2.2.1. Distribuição Normal ... 7 2.2.2. Distribuição Exponencial ... 8 2.2.3. Distribuição de Pareto ... 8 2.2.4. Distribuição de Poisson ... 8 2.2.5. Distribuição de Weibull ... 9 3. Teoria de Filas ... 10

3.1. Notação de um Sistema de Fila ... 11

3.2. Componentes de um Sistema de Fila ... 11

3.2.1. Processo de Chegada ... 11

3.2.2. Distribuição do Tempo de Serviço ... 11

3.2.3. Número de Servidores ... 11

3.2.4. Capacidade do Sistema ... 12

3.2.5. Disciplina de Atendimento ... 12

3.3. Medidas de Desempenho ... 12

(10)

x

3.4.1. Fila M/M/1 ... 13

3.4.2. Fila M/M/1/K ... 15

3.4.3. Fila M/M/C/K ... 16

3.4.4. Exemplo ... 18

4. Modelos de Simulação e Resultados ... 21

4.1. Modelos: Parâmetros e Metodologia ... 21

4.2. Resultados: Chamadas de Áudio ... 25

4.2.1. Cenário 1 ... 25

4.2.2. Cenário 2 ... 33

4.2.3. Cenário 3 ... 41

4.2.4. Cenário 4 ... 48

4.3. Resultados: Chamadas de Vídeo ... 54

4.3.1. Cenário 5 ... 54 4.3.2. Cenário 6 ... 60 4.3.3. Cenário 7 ... 66 4.3.4. Cenário 8 ... 72 5. Conclusões ... 76 5.1. Trabalhos Futuros ... 77 Referências Bibliográficas ... 78

Apêndice A: Código Fonte para Simulação no Mathematica 10 ... 82

Apêndice B: Modelo de Simulação no Arena 14.50 ... 84

(11)

xi

Dedicatória

Dedico a presente dissertação, especialmente, aos meus avós (Ladislau de Moraes e Maria Zacharias) por todos ensinamentos e pela total dedicação a minha família, e especialmente, por poderem compartilhar desse importante momento da minha vida.

(12)

(13)

xiii

Agradecimentos

Agradeço, especialmente, ao meu orientador Prof. Dr. Varese Salvador Timóteo, por toda sua contribuição e dedicação para a realização desse trabalho; ao Prof. Edson Luiz Ursini, pela paciência e atenção nos momentos em que eu precisei de sua ajuda; aos meus pais (José Carlos Libardi e Maria Elisabeth de Moraes Libardi) que nunca mediram esforços para que eu tivesse acesso ao ensino da melhor qualidade; a minha esposa, Mariana Guerreiro Tavares, pela compreensão nos momentos em que eu me ausentei, e também por me ajudar a superar os momentos difíceis vividos no ano de 2014.

(14)

(15)

xv

Lista de Figuras

Figura 1. Representação do tráfego de bloco (adaptado de [24]). ... 5

Figura 2. Representação do tráfego de transição on/off (adaptado de [24]). ... 6

Figura 3. Representação do tráfego stream (adaptado de [24])... 6

Figura 4. Diagrama de fila M/M/1 (gerado a partir do software Mathematica 10 [29]). ... 14

Figura 5. Diagrama de fila M/M/1/45 (gerado a partir do software Mathematica 10 [29]). ... 15

Figura 8. Diagrama de fila M/M/3 (gerado a partir do software Mathematica 10 [29]). ... 18

Figura 9. Resultado da simulação por eventos discretos realizada no software Mathematica 10 (linha azul) e no software Arena 14.50 (linha laranja). ... 19

Figura 10. Tempo entre as chegadas exponencialmente distribuído para uma taxa média de chegada de 2.000 chamadas a cada hora. ... 22

Figura 11. Tempo de duração das chamadas exponencialmente distribuído para uma taxa média de serviço de 20 atendimentos/hora (duração média de 3 minutos). ... 23

Figura 12. Diagrama de fila M/M/150/2100 (MHT = 3 minutos). ... 25

Figura 13. Chamadas alocadas ao sistema de comunicação por um período de 24 horas para uma taxa de chegada (BHCA) de 2.000 chamadas/hora e tempo médio de duração (MHT) de 3 minutos (simulação por eventos discretos). ... 26

Figura 14. Chamadas alocadas ao sistema de comunicação entre a terceira e quarta hora da simulação para uma taxa de chegada (BHCA) de 2.000 chamadas/hora e tempo médio de duração (MHT) de 3 minutos (simulação por eventos discretos). ... 27

Figura 17. Chamadas alocadas ao sistema de comunicação entre a terceira e quarta hora da simulação para uma taxa de chegada (BHCA) de 2.000 chamadas/hora e tempo médio de duração (MHT) de 4 minutos (simulação por eventos discretos). ... 29

(16)

xvi

Figura 19. Chamadas alocadas ao sistema de comunicação por um período de 24 horas para uma

taxa de chegada (BHCA) de 2.000 chamadas/hora e tempo médio de duração (MHT) de 6 minutos (simulação por eventos discretos). ... 30

taxa de chegada (BHCA) de 2.000 chamadas/hora e tempo médio de duração (MHT) de 6 minutos (250 canais de comunicação disponíveis). ... 32

Figura 21. Diagrama de fila M/M/450/2100 (MHT = 3 minutos). ... 34 Figura 22. Chamadas alocadas ao sistema de comunicação por um período de 24 horas para uma

Figura 23. Chamadas alocadas ao sistema de comunicação entre a vigésima primeira e vigésima

segunda hora da simulação para uma taxa de chegada (BHCA) de 4.000 chamadas/hora e tempo médio de duração (MHT) de 3 minutos (simulação por eventos discretos). ... 35

Figura 28. Chamadas alocadas ao sistema de comunicação entre a terceira e quarta hora da

simulação para uma taxa de chegada (BHCA) de 4.000 chamadas/hora e tempo médio de duração (MHT) de 6 minutos (simulação por eventos discretos). ... 39

Figura 29. Número médio de chamadas alocadas ao sistema (Cenário 2) em relação ao tempo total

da simulação por eventos discretos para uma taxa média de serviço (MHT) de 3, 4 e 6 minutos. 40

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xvii

Figura 32. Número médio de chamadas alocadas ao sistema de comunicação por um período de

24 horas para uma taxa média de serviço (MHT) de 3 minutos e taxa média de chegada (BHCA) de 6.000 e 4.000 chamadas/hora (simulação por eventos discretos). ... 42

Figura 35. Número médio de chamadas alocadas ao sistema de comunicação por um período de

24 horas para uma taxa média de serviço (MHT) de 4 minutos e taxa média de chegada (BHCA) de 6.000 e 4.000 chamadas/hora (simulação por eventos discretos). ... 44

taxa de chegada (BHCA) de 6.000 chamadas/hora e tempo médio de duração (MHT) de 6 minutos. ... 45

Figura 38. BHCA = 6.000 chamadas/hora, MHT = 6 minutos (650 canais e comunicação). ... 47 Figura 39. Diagrama de fila M/M/850/2100 (MHT = 3 minutos). ... 49 Figura 40. Chamadas alocadas ao sistema de comunicação por um período de 24 horas para uma

Figura 41. Diagrama de Fila M/M/850/2100 (MHT = 4 minutos). ... 50 Figura 42. Chamadas alocadas ao sistema de comunicação por um período de 24 horas para uma

da simulação para uma taxa média de serviço (MHT) de 3, 4 e 6 minutos (simulação por eventos discretos). ... 54

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xviii

Figura 48. Diagrama de Fila M/M/850/2100 (MHT = 12 minutos). ... 56 Figura 49. Chamadas alocadas ao sistema de comunicação por um período de 24 horas para uma

taxa de chegada (BHCA) de 2.000 chamadas/hora e tempo médio de duração (MHT) de 15 minutos (simulação de eventos discretos). ... 58

(19)

xix

taxa de chegada (BHCA) de 6.000 chamadas/hora e tempo médio de duração (MHT) de 10 minutos

(simulação por eventos discretos). ... 67

Figura 65. BHCA = Chamadas alocadas ao sistema de comunicação por um período de 24 horas para uma taxa de chegada (BHCA) de 6.000 chamadas/hora e tempo médio de duração (MHT) de 15 minutos (simulação por eventos discretos). ... 70

Figura 68. Diagrama de fila M/M/1400.2100 (MHT = 12 Minutos) ... 73

Figura 70. Chamadas alocadas ao sistema de comunicação por um período de 24 horas para uma taxa de chegada (BHCA) de 8.000 chamadas/hora e tempo médio de duração (MHT) de 12 minutos e 15 minutos (simulação por eventos discretos). ... 74

Figura 71. Resultado do comando QueueProperties. ... 83

Figura 72. Modelo de simulação desenvolvido no Arena 14.50. ... 84

Figura 73. Configurações do bloco Arrive. ... 85

Figura 74. Atributo para armazenar a taxa média de serviço. ... 85

Figura 75. Definição da distribuição e tempo médio de duração das chamadas. ... 85

Figura 76. Bloco Enter. ... 86

Figura 77. Bloco Process. ... 86

Figura 78. Número de posições disponíveis na fila de espera. ... 87

Figura 79. Bloco Depart. ... 87

Figura 80. Bloco Simulate. ... 88

(20)

xx

Figura 82. Time-Persistent. ... 89

Figura 83.Marcador para a taxa média de utilização. ... 90

Figura 84. Marcador para o tempo médio de espera na fila. ... 90

Figura 85. Marcador para o número médio de chamadas na fila. ... 91

Figura 86. Marcador para o número meio de chamadas no sistema. ... 91

Figura 87. Marcador para o tempo médio de permanência no sistema. ... 92

Figura 88. Exportar dados a partir do Arena 14.50. ... 93

(21)

xxi

Lista de Tabelas

Tabela 1. Desempenho geral do sistema de atendimento. Os valores dispostos na última coluna

(Arena 14.50) são apresentados por meio de um intervalo de confiança de 95%. ... 20

Tabela 2. Taxa média de chegada (BHCA). ... 21 Tabela 3. Tempo médio de duração e número médio de chamadas efetuadas a cada hora para

chamadas de áudio e vídeo. ... 22

Tabela 4. Disponibilidade de canais e tempo médio de duração das chamadas para construção dos

modelos de simulação (áudio e vídeo). ... 24

Tabela 5. Desempenho geral do sistema (Cenário 1). Os valores dispostos na última coluna (Arena

14.50) são apresentados por meio de um intervalo de confiança de 95%. ... 31

Tabela 6. Desempenho geral do sistema para chamadas que duraram em média 6 minutos e

dispõem de 250 canais de comunicação. Os valores dispostos na última coluna (Arena 14.50) são apresentados por meio de um intervalo de confiança de 95%. ... 33

Tabela 9. Desempenho geral do sistema para chamadas que duraram em média 6 minutos e

dispõem de 650 canais de comunicação. Os valores dispostos na última coluna (Arena 14.50) são apresentados por meio de um intervalo de confiança de 95%. ... 48

Tabela 10. Desempenho geral do sistema (Cenário 4). Os valores dispostos na última coluna

(22)

(23)

xxiii

Lista de Abreviaturas e Siglas

ERB = Estação Rádio-Base.

CDMA = Code Division Multiple Access.

GSM = Global System for Mobile.

DARPA = Defense Advanced Research Projects Agency.

FTP = File Transfer Protocol.

TCP = Transmission Control Protocol.

UDP = User Datagram Protocol.

PDF = Probability Density Function.

DNA = Ácido Desoxirribonucleico.

FIFO = First In, First Out.

LIFO = Last In, First Out.

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1

1. Introdução

Sistemas de comunicação evoluem velozmente desde que foram originalmente desenvolvidos. Um bom exemplo dessa constante evolução é a telefonia, que no final do século XX já ultrapassava sua concepção original: permitir a comunicação a distância por meio da voz humana. Nos dias atuais, existem milhões de dispositivos móveis conectados às imensas redes de seus provedores, fazendo acesso aos mais diversificados serviços, como por exemplo, a Internet. Para atender a toda essa demanda, inúmeras redes de comunicação têm sido construídas, chegando aos pontos mais remotos do planeta utilizando-se das mais diversificadas tecnologias (fibras óticas, cabos submarinos, satélites e outros meios de comunicação). A fim de garantir a alta disponibilidade dos serviços oferecidos, bem como a segurança de seus respectivos usuários, simulações computacionais e estudos matemáticos são imprescindíveis para o correto dimensionamento e ajustes da rede [1]. A partir do uso da teoria de filas é possível otimizar o desempenho de qualquer sistema em que o atendimento imediato aos seus utilizadores acaba não ocorrendo devido à falta de servidores (postos de atendimento) disponíveis. No cotidiano, nota-se tais sistemas em supermercados, bancos e quaisquer outros estabelecimentos em que exista a possibilidade de se formar filas de espera. O uso da teoria de filas também pode estar presente no controle do trafego aéreo, transporte, sistemas de estocagem, sistema de comunicação e sistemas de processamento de informações fazem uso da teoria de filas a fim de analisar e prever determinadas situações [2]. Em [3, 4, 5, 6, 7, 8] é possível notar a importância do uso da teoria de filas nas mais diversificadas áreas do conhecimento. Em meados de 1950, a teoria de filas era essencialmente usada a fim de dimensionar centrais telefônicas, evitando assim o congestionamento das linhas [9]. Em 1966, um grupo de acadêmicos financiados pelo Departamento de Defesa dos Estados Unidos, DARPA, (do inglês, Defense

Advanced Research Projects Agency), deram início ao desenvolvimento de uma rede de

comunicação distribuída e tolerante a falhas (que no ano de 1983 deu origem a Internet conhecida atualmente), pois em plena Guerra Fria entre EUA e URSS, havia uma constante preocupação que um ataque aos meios de comunicação do país resultasse na indisponibilidade dos serviços, que até então eram de características centralizadas. Uma das etapas fundamentais para o desenvolvimento dessa rede distribuída, foi o uso da teoria de filas, permitindo determinar o número de servidores, bem como o tamanho dos pacotes de dados que seriam transmitidos pela rede [10].

(26)

2

Nesse contexto, ao se unificar simulações computacionais e teoria de filas, cria-se um mecanismo eficiente, capaz de dimensionar e prever falhas em redes de comunicação que atendem a uma grande e diversificada quantidade de usuários. Em [11, 12, 13, 14, 15, 16, 17] são apresentados estudos em que o principal objetivo é simular e classificar o tráfego oferecido por diferentes aplicações (áudio, vídeo, streaming em tempo real) em uma rede qualquer de comunicação.

1.1. Objetivos

Validar os resultados das simulações por eventos discretos construídas no software Mathematica

10 por meio do software Arena 14.50. Para isso, foi construído um modelo que, sem focar nas

condições reais do sistema, simula de forma hipotética (levando em conta apenas o número de canais de comunicação disponíveis e o tempo de médio duração das chamadas) o tráfego oferecido por chamadas de áudio e vídeo em uma ERB CDMA ou GSM, que nesse trabalho, é representada por um sistema de fila.

1.2. Justificativa

A constante evolução do poder computacional aliada ao baixo custo de aquisição, faz com que os computadores sejam indispensáveis para construção de modelos de simulação. Atualmente, a simulação por computador é usada nas mais diversificadas áreas, como previsão meteorológica, dimensionamento de centrais telefônicas, e estudos aerodinâmicos. Além disso, softwares de simulação são comuns no mercado atual. Isso tem permitido que simulações computacionais sejam realizadas mais rapidamente, necessitando por parte do analista apenas conhecimento sobre a plataforma de simulação.

Nesse contexto, é importante que as universidades conheçam e estejam preparadas para adicionar em suas grades de ensino, disciplinas focadas em métodos de simulação, a qual é útil não somente na área de telecomunicações, mas sim em diversas áreas do conhecimento geral. Diante disso, esse trabalho contribui para pesquisas futuras que abordarão tal assunto, além de proporcionar novas opções no processo de aprendizagem.

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1.3. Organização

Quanto a organização dessa dissertação, os conceitos básicos associados aos modelos de tráfego e funções de distribuição são descritos no Capítulo 2. Teoria de filas, componente chave desse projeto é detalhadamente descrito no Capítulo 3. Parâmetros, metodologia, modelos de simulação para chamadas de áudio e vídeo e resultados são apresentados no Capítulo 4. Por fim, uma conclusão quanto presente projeto de pesquisa é descrita no Capítulo 5.

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4

2. Modelos de Tráfego

Com a expressiva evolução das tecnologias de comunicação, tráfegos de dados antes considerados previsíveis, na maioria das vezes originados a partir de simples aplicações, como por exemplo, navegadores (acesso à web), correio eletrônico e FTP (transferência de arquivos), passam a coexistir com modelos de tráfegos mais complexos (conforme descrito em [18, 19, 20]), oriundos de aplicações que utilizam recursos multimídia (voz, vídeo e transmissões em tempo real). A partir dessa premissa, é possível dividir o tráfego de dados em duas categorias distintas:

Tempo Não-Real (Tráfego Elástico):

No tráfego de dados em tempo não-real, a perda de pacotes durante a transferência de dados resulta diretamente em arquivos corrompidos. Assim, é importante que nenhum pacote seja perdido durante o processo de transmissão. Por outro lado, o atraso geralmente causado por fatores como

delay e jitter, é tolerável, pois não afeta diretamente na integridade dos dados [21]. Tais

características estão diretamente associadas ao modo de funcionamento do protocolo TCP (Transmission Control Protocol), o qual faz a checagem de cada um dos pacotes entregues e os envia novamente caso algum problema seja detectado. Aplicações que utilizam o TCP geram um tráfego elástico, ou seja, não existe exigências relativas ao tempo de entrega dos pacotes, porém exige confiabilidade em suas transmissões.

Tempo Real (Tráfego Stream ou Inelástico):

No tráfego de dados em tempo real, a perda de pacotes durante a transferência de dados torna-se algo aceitável, pois quando alguns pacotes se perdem, a qualidade do serviço não é diretamente afetada. Porém, o atraso na entrega dos pacotes (causado geralmente por delay e jitter) deve sempre ser minimizado, favorecendo assim a qualidade do serviço [22, 23]. Tais características estão diretamente associadas ao modo de funcionamento do protocolo UDP (User Datagram Protocol), que diferente do TCP, não exige a retransmissão de pacotes que por algum motivo não foram entregues ou chegaram corrompidos ao seu destino final. Aplicações que utilizam UDP (geralmente para tráfego de voz, vídeo e informações em tempo real) geram um tráfego stream ou inelástico, ou seja, não existem exigências relativa a confiabilidade da entrega dos pacotes, porém exige que os mesmos sejam entregues em tempo hábil.

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5

2.1. Categorias de Tráfego

Uma aplicação pode enviar suas informações à rede utilizando diversos tipos de tráfego, sendo os mais comuns o tráfego de bloco (Seção 2.1.1), o tráfego de transição on/off (Seção 2.1.2) e o tráfego

stream (Seção 2.1.3). 2.1.1. Tráfego de Bloco

No tráfego de bloco, o transmissor envia quantidades especificas de dados por sessão ao seu destinatário. Tais dados possuem limitações relacionadas ao tamanho e ao tempo de envio [24]. Na Figura 1 é possível observar o comportamento para tal categoria de tráfego.

Figura 1. Representação do tráfego de bloco (adaptado de [24]).

A modelagem de fontes de tráfego baseadas em bloco consiste na definição dos seguintes parâmetros:

 Números de blocos por sessão;

 Tamanho de cada bloco;

 Intervalo de envio;

 Função de distribuição para efetivamente gerar tais dados.

2.1.2. Tráfego de Transição on/off

No modelo de transição on/off, o transmissor envia dados ao receptor de maneira alternada, ou seja, no estado on, rajadas de dados são constantemente enviadas, já no estado off, não ocorre nenhum tipo de transmissão [24]. Na Figura 2 observa-se o comportamento para tal modelo de tráfego:

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6

Figura 2. Representação do tráfego de transição on/off (adaptado de [24]).

A modelagem de fontes baseadas no tráfego de transição on/off consiste na definição dos seguintes parâmetros:

 Duração de sessão;

 Período de duração on;

 Período de duração off;

 Tamanho do pacote;

 Função de distribuição para efetivamente gerar tais dados.

2.1.3. Tráfego Stream

A principal característica do tráfego stream é previamente analisar a largura de banda da qual a rede dispõe, e assim então gerar rajadas de dados de tamanhos distintos [24]. Quanto maior a ociosidade da rede, maior será a rajada de dados. A partir do momento que outros tipos de tráfegos concorrem pelo uso da rede, as rajadas de tráfego stream são imediatamente reduzidas. Na Figura 3 observa-se o comportamento para tal modelo de tráfego:

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A modelagem de fontes de tráfego do tipo stream consiste na definição do seguinte parâmetro:

 Definição da taxa de dados que a ser enviada do receptor ao transmissor (fixa ou variável). Na Seção 2.2 são apresentadas funções de distribuição, que em modelos de simulação são usadas a fim de gerar dados aleatórios.

2.2. Funções de Distribuição

As funções de distribuição podem ser utilizadas a fim de refletir a forma com que dados aleatórios ingressam aos modelos de simulação, por exemplo, milhares de usuários realizam chamadas telefônicas que duram em média 10 minutos por um período de 24 horas. Com o auxílio de funções de distribuição especificas, é possível simular de forma realista o ingresso de tais chamadas e o tempo médio de duração de cada uma delas. Em geral, utiliza-se a função de distribuição normal ou a exponencial para tal tarefa, porém existem outras distribuições (Poisson, Pareto, Weibull, entre outras) que dependendo do caso, são utilizadas para o mesmo propósito.

2.2.1. Distribuição Normal

A distribuição normal [25], conhecida também como distribuição de Gauss ou distribuição gaussiana, é uma das mais importantes distribuições de probabilidade. Pode ser descrita diretamente a partir de seu parâmetro de média (μ) e desvio padrão (σ). Sua função densidade de probabilidade (PDF, do inglês, Probability Density Function) é representada por (1):

𝑓(𝑥; 𝜇, 𝜎2) = 1 𝜎√2𝜋 𝑒

−1₂(𝑥−𝜇_𝜎 )2

. (1)

Em relação à sua utilização, é frequentemente usada a fim de definir padrões, tais como: vida útil de equipamentos em geral, o nível de normalidade da pressão arterial, entre outros. A distribuição normal também serve de aproximação para cálculo de outras distribuições quando o número de observações para determinado experimento torna-se extenso.

(32)

8

2.2.2. Distribuição Exponencial

A distribuição exponencial é uma distribuição continua de probabilidade, representada por um parâmetro 𝜆. Utilizada geralmente a fim de determinar o tempo entre ocorrências de eventos aleatórios em um processo de Poisson. Uma de suas principais características é a falta de memória [25]. Sua função densidade de probabilidade (PDF) é representada por (2):

𝑓(𝑥; 𝜆) = {0 𝑥 < 0

𝜆𝑒−𝜆𝑥 𝑥 ≥ 0. (2)

É frequentemente usada a fim de determinar o intervalo de tempo em que ocorrem eventos aleatórios, tais como: número de chamadas telefônicas, quantidade de buscas realizadas a partir de um site de pesquisa, entre outros.

2.2.3. Distribuição de Pareto

A distribuição de Pareto [26] é uma distribuição de probabilidade usada para modelar fatos do campo social, cientifico e muitos outros tipos de fenômenos observáveis. Sua função densidade de probabilidade (PDF) é representada por (3):

𝑓(𝑥) = {𝛼 𝑥𝑚𝛼

𝑥𝛼+1 𝑥 ≥ 𝑥𝑚

0 𝑥 < 𝑥_𝑚. (3)

É frequentemente usada em modelos que demonstram o equilíbrio entre duas grandezas distintas e na estatística financeira geral. Em redes de dados, são usadas para modelar o tamanho dos pacotes que são transmitidos pela rede.

2.2.4. Distribuição de Poisson

A distribuição de Poisson [25] é uma das mais importantes dentre as distribuições discretas. É essencialmente utilizada a fim de modelar o número de ocorrências de um determinado evento em um intervalo fixo de tempo, área, distância ou volume. Sua função densidade de probabilidade (PDF) é representada por (4):

𝑃(𝑥, 𝑡) = (𝜆𝑡)𝑥 𝑥! 𝑒

(33)

9

É frequentemente usada a fim de determinar a quantidade de eventos aleatórios que ocorrem em um intervalo determinado de tempo, tais como: chegada de clientes ao supermercado por unidade de tempo, número de usuários que chegam a um sistema de telecomunicação por unidade de tempo, defeitos por unidade de área, número de mutações no DNA de uma célula após certa quantidade de radiação, entre outros.

2.2.5. Distribuição de Weibull

A distribuição de Weibull é uma distribuição estatística utilizada para modelar, originalmente, o tempo de falha devido a fadiga de metais [26]. Está diretamente relacionada com a distribuição exponencial (Seção 2.2.2) e com outras distribuições da estatística. Sua função densidade de probabilidade (PDF) é representada por (5):

𝑓(𝑥; 𝑘, 𝜆) =𝑘 𝜆( 𝑥 𝜆) 𝑘−1 𝑒−(𝑥/𝜆)𝑘. (5)

É frequentemente usada para estimar o tempo de vida de produtos industriais, tais como: resistência à fratura do vidro, falha em capacitores, falha em compostos de fibra de carbono, entre outros. Também apresenta modelagens bem-sucedidas em todas as áreas de ciência.

No Capítulo 3 são apresentados os conceitos sobre teoria de filas, pré-requisito para construção dos modelos de simulação abordados neste trabalho.

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10

3. Teoria de Filas

Teoria de filas estão presentes em qualquer situação onde seja necessário esperar por um serviço ou oportunidade (fila do banco, supermercado ou qualquer outro sistema de atendimento). O congestionamento de linhas telefônicas, foi uma das principais áreas da teoria de filas até meados de 1950, conforme descrito em [27, 28, 29]. Nos dias atuais, o controle do trafego aéreo, transporte, sistemas de estocagem, sistema de comunicação e sistemas de processamento de informações fazem uso da teoria de filas a fim de analisar e prever determinadas situações.

De uma forma simplista, um sistema de fila pode ser interpretado da seguinte maneira: clientes chegam em um determinado estabelecimento a fim de serem atendidos, devido à falta de servidores (atendentes) disponíveis, o tão desejado atendimento imediato acaba não acontecendo, o que acarreta na formação de filas de espera. Os “clientes” anteriormente referenciados podem ser pessoas aguardando na fila do supermercado para pagar suas compras, bem como ligações telefônicas aguardando por um canal de comunicação disponível até serem efetivamente completadas.

Observa-se que quanto maior a quantidade de servidores disponíveis, maior será o número de indivíduos que poderão ser atendidos de forma simultânea, diminuindo ou eliminando a formação de fila. Esse mesmo conceito aplica-se para uma ERB (Estação Rádio-Base) CDMA (Code Division Multiple Access) ou GSM (Global System for Mobile), em que um número suficiente de canais de comunicação faz com que serviços básicos de telefonia e internet estejam na maior parte do tempo disponíveis para seus assinantes.

Utilizando-se da teoria de filas é possível otimizar praticamente qualquer sistema, o que pode representar uma melhor utilização dos serviços oferecidos, um menor tempo de espera e maior rapidez no atendimento [2].

(35)

11

3.1. Notação de um Sistema de Fila

Conforme definido em [27], um sistema de fila é descrito na literatura, na maioria das vezes a partir da notação proposta por Kendall (1953). Considera-se a forma A/B/C/D, em que A representa a distribuição com que os clientes chegam no sistema, B representa a distribuição referente ao tempo de duração do serviço, C representa o número de servidores (canais e comunicação) disponíveis e

D, a capacidade total do sistema. Geralmente utiliza-se FIFO (First-in, First-out) a fim de dar vazão

a fila.

3.2. Componentes de um Sistema de Fila

Um sistema de filas consiste no processo de chegada, da distribuição do tempo de serviço, do número de servidores, da capacidade do sistema e da disciplina de atendimento.

3.2.1. Processo de Chegada

De acordo com [30], o processo de chegada indica a partir de qual padrão novos clientes ingressam ao sistema. O processo de chegada possui comportamento estocástico, ou seja, as chegadas ocorrem no tempo e no espaço de acordo com as leis da probabilidade; assim, é preciso conhecer qual a função de distribuição de probabilidade (Seção 2.2) que mais se assemelha com a real chegada dos clientes ao sistema de atendimento.

A distribuição mais comum para descrever o número de chegadas é a de Poisson [25], ou seja, os tempos entre as chegadas podem ser exponencialmente distribuídos. Outras distribuições também são utilizadas.

3.2.2. Distribuição do Tempo de Serviço

Assim como no processo de chegada, também é necessário conhecer a distribuição de probabilidade que se associa diretamente ao tempo de serviço [30].

3.2.3. Número de Servidores

Esse componente é também conhecido como número de canais de serviço. Indica a quantidade de canais de atendimento presentes no sistema, ou seja, reflete a quantidade de clientes que podem ser atendidos de forma simultânea [30].

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12

3.2.4. Capacidade do Sistema

A capacidade do sistema representa o número máximo de clientes que o sistema comporta, ou seja, o número de clientes que estão sendo atendidos no momento (por cada um dos servidores disponíveis) mais a quantidade de clientes aguardando na fila de espera [30]. A capacidade pode ser infinita, onde não existe limite para o número de clientes na fila (por exemplo, não é possível limitar quantas pessoas chegam ao hospital durante um dia qualquer) ou finita, onde a fila comporta um número máximo de clientes (por exemplo, número máximo de chamadas que podem ser alocadas em uma ERB CDMA/GSM).

3.2.5. Disciplina de Atendimento

A partir do momento que se forma uma fila de espera, uma política de atendimento deve ser implantada a fim de definir um padrão de seleção para os clientes. Em geral, o mais comum é atender por ordem de chegada, ou seja, quem chega primeiro é atendido primeiro. Essa política de atendimento é conhecida como FIFO. Existem outras políticas que a primeiro momento podem não fazer muito sentido para o atendimento de pessoas como Last-in, First-Out ou LIFO (pilha), mas que apresenta bons resultados em buscas de arquivos em um disco rígido. Sistemas de processamento de dados também costumam dar vazão às suas filas executando a tarefa com menor duração primeiro, essa política de atendimento é conhecida como SJF (Shortest Job First).

3.3. Medidas de Desempenho

Um dos grandes benefícios ao se avaliar um sistema utilizando-se da teoria de filas é a capacidade de se extrair informações relacionadas a desempenho do mesmo, permitindo assim prever e evitar determinadas situações. Métricas relacionadas ao desempenho são de extrema importância a fim de dimensionar corretamente um sistema de atendimento. São elas:

Número Médio de Clientes no Sistema (𝑳): Indica o número médio de clientes em todo o sistema, inclui os clientes que estão em atendimento e os que aguardam na fila de espera.

Número Médio de Clientes na Fila (𝑳_𝒒): Indica o número médio de clientes que aguardam na

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13

Tempo Médio de Permanência no Sistema (𝑾): Indica o tempo médio que cada cliente permanece no sistema, ou seja, o tempo de espera na fila mais o tempo necessário para concluir o atendimento.

Tempo de Espera na Fila (𝑾_𝒒): Indica o tempo médio que cada cliente permanece na fila de

espera antes de encontrar um servidor (canal de atendimento) disponível.

Taxa de Utilização (𝒑): Indica o tempo que cada um dos servidores (canais de atendimento) disponíveis no sistema permanecem ocupados a fim de atender toda a demanda de chegada.

Vazão: Indica se todos os clientes que deram entrada ao sistema foram efetivamente atendidos. Se

a demanda de chegada for maior que a capacidade total do sistema, tais clientes começam a ser dispensados, ou seja, o atendimento é negado.

3.4. Modelos Básicos de Fila

Nessa seção, são apresentados os modelos de fila que se comportam como processos Markovianos, ou seja, processos de “nascimento e morte”. O termo “nascimento”, refere-se a chegada de um novo cliente ao sistema. O termo “morte”, refere-se a um cliente que já foi atendido, ou seja, deixou o sistema.

3.4.1. Fila M/M/1

Uma fila M/M/1 é um dos modelos mais simples dentre os existentes em teoria de filas. No entanto é, em geral, um dos modelos mais estudados, pois diversas situações são modeladas por ele. Esse modelo se caracteriza pelo:

 Tempo entre as chegadas (𝜆) seguir um processo de Poisson;

 Tempo de atendimento (𝜇) seguir uma distribuição exponencial;

 Existência de um único servidor (canal de atendimento) e;

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14

Na Figura 4 é ilustrado um diagrama de uma fila M/M/1. O elemento 𝜆 representa a taxa média de chegada dos clientes ao sistema de comunicação, os blocos verticais indicam a existência de infinitas posições na fila de espera. Um único servidor (canal de comunicação) representado pelo círculo, da vazão à toda taxa de chegada, que possui um tempo médio 𝜇 de atendimento.

Figura 4. Diagrama de fila M/M/1 (gerado a partir do software Mathematica 10 [29]).

Em filas M/M/1 as métricas relacionadas ao desempenho do sistema de atendimento são calculadas a partir das seguintes equações [30]:

Número Médio de Clientes no Sistema (𝑳): 𝐿 = 𝜆

𝜇 − 𝜆 . (6)

Número Médio de Clientes na Fila (𝑳𝒒 ):

𝐿𝑞 = 𝜆2

𝜇(𝜇 − 𝜆) . (7)

Tempo Médio de Permanência no Sistema (𝑾): 𝑊 = 1

𝜇 − 𝜆 . (8)

Tempo de Espera na Fila (𝑾_𝒒):

𝑊_𝑞= 𝜆

𝜇(𝜇 − 𝜆) . (9)

Taxa de Utilização (𝒑):

ρ = 𝜆

(39)

15

3.4.2. Fila M/M/1/K

A fila M/M/1/K possui várias características da fila M/M/1. A única diferença está relacionada a adição de uma nova variável (𝐾), que limita a capacidade total do sistema para (𝐾) clientes, isto é, não existem mais infinitas posições na fila de espera.

Na Figura 5 é ilustrado um diagrama da fila M/M/1/45. O elemento 𝜆 representa a taxa média de chegada dos clientes. Os blocos verticais indicam a existência de 44 posições na fila de espera, o que limita o sistema a uma capacidade máxima de 45 ocupações, ou seja, enquanto 44 aguardam na fila, 1 é efetivamente atendido, tal limitação é imposta devido a presença de um único servidor no sistema. Se a taxa média de chegada (𝜆) for alta o suficiente para ocupar cada uma das 44 posições disponíveis na fila de espera, o atendimento é negado.

Figura 5. Diagrama de fila M/M/1/45 (gerado a partir do software Mathematica 10 [29]).

Na Figura 6 é ilustrado um exemplo em que a capacidade total do sistema é igual ao número máximo de servidores (M/M/1/1). Nesse caso, pode-se notar que o sistema não admite fila, ou seja, enquanto o único servidor estiver ocupado, novos clientes são impedidos de ingressar ao sistema.

Em filas M/M/1/K as métricas relacionadas ao desempenho do sistema de atendimento são calculadas a partir das seguintes equações [30]:

Número Médio de Clientes no Sistema (𝑳): 𝐿 = 𝐾 − 𝜆 + 𝜇 𝜆 + (1 − 𝑃0) + 𝜆 𝜇+ 𝜆 𝜇 . (11)

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16

Número Médio de Clientes na Fila (𝑳_𝒒):

𝐿_𝑞 = 𝐾 − 𝜆 + 𝜇

𝜆 + (1 − 𝑃0) + 𝜆

𝜇 . (12)

Tempo Médio de Permanência no Sistema (𝑾): 𝑊 = 𝐾 𝜆 − (𝜆 + 𝜇)𝑥(1 − 𝑃₀) 𝜆2 + 𝜆 𝜇 . (13)

𝑊𝑞= 𝐾 𝜆 − (𝜆 + 𝜇)𝑥(1 − 𝑃₀) 𝜆2 . (14) Taxa de Utilização (𝒑): ρ = 𝜆 𝜇 . (15) 3.4.3. Fila M/M/C/K

Diferente dos modelos M/M/1 (Seção 3.4.1) e M/M/1/K (Seção 3.4.2), a fila M/M/C/K utiliza 𝐶 servidores (canais de atendimento), o que possibilita que 𝐶 clientes sejam atendidos simultaneamente. O sistema é limitado a uma capacidade máxima de 𝐾 clientes.

Na Figura 7 é ilustrado um exemplo da fila M/M/C/K em que 𝐶 = 3 e 𝐾 = 50, ou seja, M/M/3/50. O elemento 𝜆 representa a taxa média de chegada dos clientes ao sistema de atendimento, os blocos verticais indicam a existência de no máximo 47 posições na fila de espera, o que limita o sistema a uma capacidade máxima de 50 ocupações, ou seja, enquanto 47 aguardam na fila, 3 podem ser atendidos simultaneamente. Isso é possível pois existem 3 servidores disponíveis. O valor definido em 𝜇 indica a taxa média de atendimento de cada cliente.

(41)

17

Em filas M/M/C/K as métricas relacionadas ao desempenho do sistema de atendimento são calculadas a partir das seguintes equações [30]:

Número Médio de Clientes no Sistema (𝑳):

𝐿 = 𝐿_𝑞+ 𝑐 + ∑(𝑛 − 𝑐)𝑃_𝑛 . 𝑐−1

𝑛=0

(16)

Número Médio de Clientes na Fila (𝑳𝒒 ):

𝐿_𝑞 = 𝐿 − 𝑐 + ∑(𝑛 − 𝑐)𝑃_𝑛 . 𝑐−1

𝑛=0

(17)

Tempo Médio de Permanência no Sistema (𝑾):

𝑊 = 𝐿

𝜆(𝐾 − 𝐿) . (18)

𝑊_𝑞 = 𝐿𝑞

(42)

18

Taxa de Utilização (𝒑):

ρ = 𝜆

𝜇 . (20)

3.4.4. Exemplo

A partir dos conceitos discutidos anteriormente, um simples cenário é apresentado a fim de demonstrar a importância da utilização de teoria de filas e simulação no mundo real. Para validar os resultados obtidos pelo software Mathematica 10 [29], o cenário será igualmente reproduzido no software Arena 14.50 [31].

Cenário

Pacientes dão entrada em uma clínica odontológica de acordo com uma distribuição Poisson, com uma média de 8 chegadas por hora. O tempo que cada paciente permanece em atendimento é exponencialmente distribuído, com uma duração média de 20 minutos. A capacidade do sistema deve ser infinita, ou seja, não existe limite para o tamanho da fila de espera. Ao se utilizar teoria de filas e simulação, torna-se possível obter dados relacionados ao desempenho do sistema bem como observar seu comportamento por um dado período de tempo.

Na Figura 8, pode-se observar o diagrama de uma fila M/M/3, o qual retrata o cenário apresentado anteriormente. O valor definido em 𝜇 representa quantos atendimentos acontecem em média a cada hora. O valor definido em 𝜆 representa a taxa média de chegada dos pacientes. Considerando que cada consulta dura, em média, 20 minutos, é possível realizar 3 atendimentos por hora.

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19

NA Figura 9 é ilustrado o processo de evolução do total de pacientes atendidos/espera para 12 horas de simulação. A linha azul representa a simulação por eventos discretos realizada no software

Mathematica 10, a linha laranja a simulação por eventos discretos realizada no software Arena 14.50. Os dados apresentados no gráfico são originados a partir do parâmetro “Número Médio de

Clientes no Sistema (L)”, ou seja, número de pacientes em atendimento mais número de pacientes na fila de espera.

Figura 9. Resultado da simulação por eventos discretos realizada no software Mathematica 10 (linha azul) e no software Arena 14.50 (linha laranja).

Sabe-se que tanto o software Mathematica quanto o software Arena são capazes de realizar simulações por eventos discretos. Em relação aos resultados para o desempenho geral do sistema, o Mathematica também pode obter tais dados de forma analítica, isto é, de forma determinística. Por outro lado, os resultados apresentados pelo Arena, são sempre obtidos por meio do processo de simulação.

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20

Na Tabela 1 estão sintetizados os resultados de ambos os softwares para o desempenho geral do sistema de atendimento.

Tabela 1. Desempenho geral do sistema de atendimento. Os valores dispostos na última coluna (Arena 14.50) são apresentados por meio de um intervalo de confiança de 95%.

Medidas de Desempenho Mathematica

10 (Analítico)

Mathematica 10 (Eventos discretos)

Arena 14.50 (Eventos discretos) Número Médio de Clientes no Sistema 9,04 6,94 7,74 ± 1,84

Número Médio de Clientes na Fila 6,38 6,01 5,05 ± 1,75 Tempo Médio de Permanência no

Sistema (Min.) 67,85 49,89 58,14 ± 13,7

Tempo de Espera na Fila (Min.) 47,85 42,85 37,43 ± 12,85

Taxa de Utilização 88,88% 88,88% 85,59% ± 4,19

Com a chegada de 8 pacientes por hora e cada consulta durando em média 20 minutos, os pacientes aguardam em média 47,85 minutos antes de serem atendidos. Observa-se que o tempo médio de permanência no sistema é de 67,85 minutos, ou seja, o resultado da soma entre o tempo de espera na fila e o tempo de duração do atendimento. Durante as 12 horas de simulação, a média é de 9 pacientes presentes na clínica (enquanto 6 aguardam na fila 3 são atendidos). Os dentistas permanecem ocupados durante 88,88% do tempo.

(45)

21

4. Modelos de Simulação e Resultados

Neste capítulo são apresentados os parâmetros utilizados para construção dos modelos de simulação, a metodologia utilizada para validação e seus respectivos resultados.

4.1. Modelos: Parâmetros e Metodologia

A fim de simular o tráfego oferecido por chamadas de áudio e vídeo em um sistema de comunicação móvel, torna-se necessário definir o número médio de chamadas que darão entrada ao sistema a cada hora, bem como sua respectiva função de distribuição. Tal parâmetro é conhecido por

Busy-hour call attempts (BHCA) ou taxa de chegada por hora de maior ocupação, a função de

distribuição exponencial (Seção 2.2.2) foi adotada a fim de refletir a forma com que as chamadas ingressam ao sistema. Na Tabela 2 estão definidas as taxas de chegada utilizadas para construção dos modelos de simulação. Nota-se que tais valores são meramente ilustrativos e foram aleatoriamente escolhidos a fim de definir uma taxa média de chegada para as chamadas de áudio e vídeo.

Tabela 2. Taxa média de chegada (BHCA).

Taxa de Chegada (BHCA) Tempo Entre as Chegadas

2.000 1 chamada a cada 1,8 segundos 4.000 1 chamada a cada 0,9 segundos 6.000 1 chamada a cada 0,6 segundos 8.000 1 chamada a cada 0,45 segundos

A partir do BHCA é possível calcular o tempo entre as chegadas (número de chamadas que ingressam ao sistema de comunicação a cada segundo), definido por (21):

3600 (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠)

(𝐵𝐻𝐶𝐴) = [𝑇𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑎𝑠 𝑐ℎ𝑒𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠] (21)

Na Figura 10 é ilustrado o tempo entre as chegadas exponencialmente distribuído para uma taxa média de chegada de 2.000 chamadas/hora.

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22

Figura 10. Tempo entre as chegadas exponencialmente distribuído para uma taxa média de chegada de 2.000 chamadas a cada hora.

Nota-se que a taxa média de chegada não representa o número de chamadas que efetivamente serão completadas, ou seja, dependendo do tempo médio de duração das ligações, a quantidade de canais existentes e a capacidade do sistema podem não ser suficientes para dar vazão a todas as chamadas ingressantes.

Com as taxas de chegada (BHCA) definidas, é necessário também definir o tempo médio de duração de cada uma das chamadas, bem como sua respectiva função de distribuição. Tal parâmetro é conhecido por Mean Holding Time (MHT). A função de distribuição exponencial foi adotada a fim de refletir o tempo de duração de cada uma das chamadas. A Tabela 3 define as taxas de serviço utilizadas para simular o tráfego oferecido por chamadas de áudio e vídeo. Chamadas de vídeo tendem a ser mais longas, por isso possuem um tempo de duração maior em relação as chamadas de áudio. Nota-se que tais valores são meramente ilustrativos e foram escolhidos a fim de definir um tempo médio de duração para as chamadas que ingressam no sistema de comunicação.

Tabela 3. Tempo médio de duração e número médio de chamadas efetuadas a cada hora para chamadas de áudio e vídeo.

Chamadas de Áudio Chamadas de Vídeo

Duração Média da Chamada (Min.) Nº Médio de Chamadas Efetuadas (Hora) Duração Média da Chamada (Min.) Nº Médio de Chamadas Efetuadas (Hora) 3 20 10 6 4 15 12 5 6 10 15 4

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23

Em geral, a taxa de serviço é informada em horas, ou seja, número máximo de chamadas que podem ser efetuadas a cada hora. Para calcular o tempo de duração em minutos, conforme definido em (22):

60 (𝑀𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠)

(𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑆𝑒𝑟𝑣𝑖ç𝑜)= [𝐷𝑢𝑟𝑎çã𝑜 𝑒𝑚 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠] (22)

Na Figura 11 é ilustrado o tempo de duração das chamadas exponencialmente distribuído para uma taxa média de serviço de 20 atendimentos/hora.

Figura 11. Tempo de duração das chamadas exponencialmente distribuído para uma taxa média de serviço de 20 atendimentos/hora (duração média de 3 minutos).

Nesse contexto, os dados apresentados na Tabela 4 define o número de canais disponíveis para cada uma das taxas de chegada e suas respectivas taxas de serviço apresentadas na Tabela 2 e na Tabela 3. Nota-se que tais valores são meramente estimativos e foram escolhidos a fim de atribuir uma quantidade limitada de canais para cada um dos modelos de simulação.

(48)

24

Tabela 4. Disponibilidade de canais e tempo médio de duração das chamadas para construção dos modelos de simulação (áudio e vídeo).

Chamadas de Áudio Chamadas de Vídeo

Taxa Média de Chegada Duração Média da Chamada Nº de Chamadas Efetuadas Número de Canais Taxa Média de Chegada Duração Média da Chamada Nº de Chamadas Efetuadas Número de Canais

(Hora) (Minutos) (Hora) (Hora) (Minutos) (Hora)

2.000 3 4 6 20 15 10 150 2.000 10 12 15 6 5 4 850 4.000 3 4 6 20 15 10 450 4.000 10 12 15 6 5 4 1.010 6.000 3 4 6 20 15 10 450 6.000 10 12 15 6 5 4 1.250 8.000 3 4 6 20 15 10 850 8.000 10 12 15 6 5 4 1.400

Simulações com duração total de 24 horas foram realizadas utilizando diferentes taxas de chegada (BHCA) e taxas de serviço (MHT), conforme descrito na Tabela 2 e na Tabela 3. Diferentes números de canais foram avaliados (Tabela 4), com objetivo de averiguar o tráfego oferecido em um sistema de comunicação móvel (ERB).

A fim de validar os resultados obtidos pelo software Mathematica 10, em que as funções relacionadas à simulação foram disponibilizadas pela primeira vez na versão 9, os modelos propostos nos cenários apresentados na Seção 4.2 e 4.3 foram igualmente elaborados no software

Arena 14.50. Quanto ao processo de execução, foram realizadas 3 replicações. A replicação

consiste na execução do mesmo modelo de simulação, com mesmo tempo de duração e parâmetros idênticos, mas com uma nova semente, garantindo assim que os valores aleatórios exponencialmente distribuídos para taxa média de chegada (BHCA) e taxa média de serviço (MHT) sejam diferentes em cada uma das execuções [31]. A partir da média das replicações efetuadas no Arena (que realiza as simulações por meio de eventos discretos), compara-se os valores com os resultados analíticos obtidos pelo Mathematica.

(49)

25

Nota: Existe uma limitação no Mathematica 10 em que não é possível extrair os dados individuais

para as simulações por eventos discretos quando a fila possui uma capacidade limitada de atendimento, por esse motivo os resultados das simulações por eventos discretos do Arena 14.50 são comparados com os resultados analíticos calculados pelo Mathematica 10.

4.2. Resultados: Chamadas de Áudio

Nas Seções seguintes são apresentados e validados os modelos de simulação propostos para chamadas de áudio.

4.2.1. Cenário 1

Para uma taxa média de chegada de 2.000 chamadas/hora e 150 canais de comunicação disponíveis, foram testadas taxas médias de serviço de 20, 15 e 10 atendimentos/hora (duração média de 3, 4 e 6 minutos). Quanto à capacidade máxima o sistema, não foram admitidas mais que 2.100 chamadas alocadas ao mesmo.

O diagrama de fila proposto na Figura 12 associa-se a um sistema de comunicação no qual as chamadas detêm um tempo médio de duração de 3 minutos (ou taxa média de serviço de 20 atendimentos/hora). Nota-se que apesar de possuir capacidade máxima para 2.100 chamadas, somente 150 podem ser processadas simultaneamente (quantidade de canais existentes no sistema), resultado assim em uma fila de espera com 1.950 posições disponíveis.

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26

A Figura 13 ilustra o tráfego oferecido pelo sistema de comunicação proposto anteriormente (Figura 12) por um período de 24 horas consecutivas de simulação. Nota-se que em nenhum momento o número de chamadas alocadas ao sistema é maior que a quantidade de canais disponíveis, sendo assim é possível afirmar que 150 canais de comunicação são suficientes para atender a demanda exigida para uma taxa média de chegada de 2.000 chamadas/hora, quando em média cada chamada dura 3 minutos (20 entendimentos/hora) sem que se forme filas de espera. A linha horizontal indica o número médio de chamadas no sistema durante toda a simulação.

Figura 13. Chamadas alocadas ao sistema de comunicação por um período de 24 horas para uma taxa de chegada (BHCA) de 2.000 chamadas/hora e tempo médio de duração (MHT) de 3 minutos (simulação por eventos discretos).

A Figura 14 ilustra em modo macro, que ambos os softwares apresentam resultados distintos para o número de chamadas no sistema entre a terceira e quarta hora da simulação. Tal fato pode ser notado pois tanto no Mathematica quanto no Arena a taxa média de chegada e o tempo médio de duração da chamada (parâmetros que influenciam diretamente no número de chamadas no sistema) são obtidos aleatoriamente por meio de uma função de distribuição exponencial.

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Figura 14. Chamadas alocadas ao sistema de comunicação entre a terceira e quarta hora da simulação para uma taxa de chegada (BHCA) de 2.000 chamadas/hora e tempo médio de duração (MHT) de 3 minutos (simulação por

eventos discretos).

A Figura 15 ilustra o diagrama de fila proposto para chamadas que detêm um tempo médio de duração de 4 minutos (taxa média de serviço de 15 atendimentos/hora). Quanto à capacidade máxima do sistema, são validos os conceitos definidos anteriormente na Figura 12.

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A Figura 16 ilustra o tráfego oferecido pelo sistema de comunicação proposto anteriormente (Figura 15). A fim de dar vazão a toda taxa de chegada, quando cada chamada dura em média 4 minutos (15 atendimentos/hora), são alocadas aproximadamente 130 chamadas no sistema durante as 24 horas de simulação. Nota-se que em determinados instantes de tempo, o número de chamadas no sistema acaba sendo maior que a quantidade de canais de comunicação disponíveis, o que momentaneamente resulta em formação de fila. A partir dessas informações, pode-se concluir que tal sistema trabalha, durante boa parte do tempo, próximo de sua capacidade máxima de atendimento simultâneo, e que qualquer alteração na taxa de chegada e/ou taxa de serviço será suficiente para dar início a ocupação de cada uma das 1.950 posições disponíveis na fila de espera.

Nota-se na Figura 17 (modo macro) que devido a taxa média de chegada e o tempo médio de duração da chamada serem aleatoriamente dispostos por meio de uma função de distribuição exponencial, tanto o Mathematica quanto o Arena apresentam resultados distintos para o número de chamadas no sistema.

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Figura 17. Chamadas alocadas ao sistema de comunicação entre a terceira e quarta hora da simulação para uma taxa de chegada (BHCA) de 2.000 chamadas/hora e tempo médio de duração (MHT) de 4 minutos (simulação por

eventos discretos).

Por fim, a Figura 18 ilustra o diagrama de fila proposto para chamadas que detêm um tempo médio de duração de 6 minutos (taxa média de 10 atendimentos /hora). Quanto à capacidade máxima do sistema, são validos os conceitos definidos anteriormente na Figura 12.

Figura 18. Diagrama de fila M/M/150/2100 (MHT = 6 minutos).

Na Figura 19, observa-se que o sistema de comunicação proposto anteriormente (Figura 18) atinge sua capacidade máxima de processamento antes da quinta hora de simulação. Nota-se que enquanto 150 chamadas estão sendo processadas, as 1.950 posições disponíveis na fila de espera estão ocupadas, o que impede o sistema de atender novas solicitações de entrada.

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Na Tabela 5 estão dispostos os dados relacionados ao desempenho geral do sistema (calculados a partir do software Mathematica 10 e do software Arena 14.50) para a taxa média de chegada de 2.000 chamadas por hora, disponibilidade de 150 canais de comunicação e tempo médio de duração de chamada de 3, 4 e 6 minutos.