Publicações do PESC Estudo Comparativo de Métodos de Minimax

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAGãO DOS PROGRAMAS DE

P6S-GRADUAÇm EM ENGENHARIA DA UNIVERSIDADDE FEDERAL DO R I O DE

I

JANEIRO COMO PARTE DOS R E Q U I S I T O S NECESSARPOS PARA A OBTENC;XO DO /C

GRXU DE MESTRE EM CIENCIAS EM ENGENHARIA DE SISTEMAS E

Aprovada par:

~ a & l o R c i b e r t o O l i v e i r a , B r . Ing

Sergio ~#arivi/l: le,

Ph. Dr.

I

I / / Susana e e i m b e r g - d e M a k l e r I).Sc. P i o d e Janeiro,

RI

-

B r a s i l . MAIO DE 1993

ULLOA R U B I 0 BERTHA <

ESTUDO COMPARATIVO DE M E T O W S DE MINIMAX C R i o d e Janeiro, 1 0 9 2 3 X I I , 109. p, 20.7 c m CCOPBEHUFRJ,

M.

Sc, E n g e n h a r i a de Sistemas e Computação, 1 9 9 2 3 .

T e s e - U n i v e r s i d a d e F e d e r a l d e E i o d e Janeiro, COFFE. 1 . O t i m i z a ç Z o e m Sistemas.

A Santiago Esteban e a nuestras hi jast

S i r l e y Asuncidn y C i n t i a Bertha. En

instituciones.

y

orgunizaciones que

d e

una u utra forma hicieron

A

todo e l cuerpg docente

& L

programa

de

Ingenieriu

d e

udrninistreLitm.

rl

mis cornpfieros

de

cursos

con

quienes ZLegu&

a tener

u m

buena anist ad

çue a crec

ido

cum

e

L

t

Zernpw,

a mt

s

mi

gt3.s

José

Ar i

c

a,

Juçtn Romsra

y

3andra

IsaõroL

a&

yuienes

siernpre recibl

solidarida&

y

estimulo.

.4

LU

CAPES

2

P

r

su

syudc finunciera

,hc?ru

t r i s t a 2 i e a r

este

truõaj'c.

R e s u m da Tese apreãenkads

B

YOPPEAJFRJ.

c o m

parte dos requisitos

necezr$rios para a obtenção do grau de Mestre em

Ci&ncias C#. Sc. 3

?

ESTUDO COMPAKATIVO

DE

METODOS

DE

HIMMAX

Bertha Ulloa

Rubia

Maio 19931

Orientador: Paulo Roberto Oliveira.

RESUMO

E f e i t a uma r e v i s â o d o s p r i n c i p a i s m&todos p a r a r e s o l u c S o

d o s pr

o B 1 e m a s d e ai n i max

f

i

rti

t o

por a1 gor

i

tmos

da

g r a g r

armr;Eo

s u a v e .

Prapomoo;

uma

c l

assi

f

i

caqão

e m

q u a t r o

f

ami

1

i

as

de

abor dagenc:

metodol

B g i

cas

:

as baseadas

nos m&tod~ci

s e q u e n c i a i

s

q u a d r g t i

tos,

nos m&todus

d e

pr-ojegso C g r a d i e n t e p r o j e t a d o

3 ,

na

s u a v i

zscão

d o s

p o n t o s

de

nSo-di

f

er e n c i a b i 1

i

dade,

r

na

r e g u l ar

i

z a ç ã o do proD1

= m a

d u a l

.

a i & m

de

a p r e s e n t a r

e

a n a l

i ãar

os

t r a b a l

hoâ

ref

e r e n c i ados

,

carnparSmo-1 os: e n t r e si

e real

i

zamos

a l g u n s

testes

Abstract of

Thesis

presente8 t o

COPPE

f

UFRJ

as

par

ti

a l

f u l f i l l m e n t e of

L h e

requirement f o r

the

degree

of

Mãster

of Skitince f M . S c . 3 .

Ckãirnaan: Paulo Koberto Oliveira

Lkipartmnt:

S i s t e m

Etrgineering.

ABSTRACT

A

r e v i â i o n i s

made

of t h e muin rnethodr, f o r z o l u t i o n of

f i n i

t e

m i

nmzx

pr úbl

e m

by

s m o t

h pr ugr

a m m i

ng

al

gor

i

t h m

.

Y

e

!

p r ú p o s e

a

cl

zsri

f i

c a t i o n

i

n f our

f

a m i 1

i

es

of

methudol ú g i c a l

a p p r o á t h s ; t k c s e based on Lhe s e q u e n t i a l q u a d r a t i c methods, on Lhe

p r o j e c t i a n methods C P r ó j e c t e d G r a d i e n t 2 ,

on Lhe zmoothi ng

of

n o n - d i f f c r e n t i z b i l i t y

p o i n t s

ãnd

on

Lhe

d u a l

problem

r e g u l a r

i

z a t i on.

B e s i d e s t h e p r e s e n t a t i on znd a n a l y s i

s

of' Lhe

principal

p a p e r r

,

w e a i so compare them and p r e s e n t some computati o n a l

tests.

IMDICE

1.1: C o n s i d e r a ç õ e s I n i c i a i s

I.

2: O b j e t . i v o s d o t r a b a l h o I . 3: ApresenLaqão d o s c a p í Lu1 os 11.1: I n t r o d u ç ã a 3 11.2: D e f i n i ç E e s e P r o p r i e d a d e s d a FunçZo MBxi m a 3

11.3: Condi cõer: N e c e s s á r i as d e O t i mal i d a d e 8

11.4: C o n d i q õ e s S u f i c i e n t e s p a r a um Mínima L o c a l 17

111.1 : I n t . r o d u ç ã o

111.3: W & t o d o d e C h a r a l a m b o u s e C a n n 111.. 4: M & t o d a d e Zang 111.5: W & t m d o d e G i g o l a e G b m e z R e s u l L a d o s N u m é r i cas : I m p l e m e n L a ç ã a do m é t . o d o d e G b m e z e C a i g o l a Bi b l i agr afi a

.

N e s t e t r a b a l h o a p r e s e n t a m o s a l g u n s m é t o d o s par a r e s o l v e r p r o b l e m a s do ti po m i n i m a x :

c o n t . i n u a m e n t e d i f erenci ávei s

Os p r o b l e m a s d e m i n i m a x t ê m s i d o o b j e t o d e e s t u d o d e

m u i t o s peãqui sadores q u e t ê m desenvolvi da d i versas t é c n i cas

m a t e m á t i c a s para r u a solução.

S u a car a c t e r í s t i ca não d i f e r e n r i A v e 1 É. t r a d i c i a n a l m e n t e

c o n t o r n a d a através do f o r m u l açães e q u i v a l e n t e s e d i f erenci ávei s.

Dedi c â m e - n o s a p e n a s aos m & t o d o s c l i f e r e n c i ávei c;.

I.

2s

OBJETIVOS

U m p r i m e i r o o b j e t i v a d e nosso t r a b a l h o & u m a a p r e s e n t a ~ ã o e m q u a t r o categari as d e t r a b a l hor; c o r r e s p o n d e n t e s aos m & t . o d o s d i f e r e n c i ávei s

.

E s t a apresentagSo é f e i t a , e m cada caso, a p a r t . i r d e u m t r a h a l ho q u e c o n s i d e r a m o n r e p r e s e n t a t i v o d e cada u m a s d e ã L a r f a m í l i a s .

D ç s e n v u l v e m o s a a n á l i s e e s s e n c i a l , ora c o m o a f e i t a p e l o s a u t o r e s , ora m a i s d e t a l h a d a ' o f i n a l m e n t e , por c a n s e c u L i vos e x e m p l o s e d e m o n s t r ar;õ~sr d i versas d a s d a s ar ti gos o r i g i n a i s .

Um r e s u m o dos f u n d a m e n t o s t e á r i cos necessár i o s &

,'I

r e t i r a d a d o c l á s s i c o t r a b a l h o d e D e m ' y a n o v C e m q u e a c r e s c e n t a m o s a l g u n s e x e m p l os.

Da t e o r i a básica a p r e s e n t ~ r - e m o s p r o p r i e d a d e s d e

r o n t i n u i d a d e d i f e r e n c i a b i l i dade e c o n d i çi-ies d e ti m a l i dade q u e serão o t e m a do c a p í t u l o 11. A d e t e r m i n a ç ã o da d i r e c g ã o d e descida

ger m i t e c1 assi f i car os m é t o d a s e m q u a t r o g r a n d e s g r u p o s p r i n c i pai s

,

a s e r e m derenvol v i do no capi t u 1 o I I I .

N o c a p í t u l o I V a p r e s e n t a m o s a1 g u n s r e s u l t a d o s

3

CAPITULO I 1

f

0

PROBLEMA DE MINIMAX

:

FUNDAMENTOS TEOWICOS

E n t r e os t r a b a l h o s r e l a t i v o s a minimax o d e V. F. k r n ' yanov C 1966-ã 9701 é o m a i s i m p o r t a n t e n o e s t a b e l e c i m e n t o d o s f u n d a m e n t o s t e á r i c o s . N e s t e c a p i t u 1 0 vamos e n f ocar a t e o r i a b á s i c a n e c e s s h - i a p a r a a s o l u ç ã o d e p r o b l e m a s d e PNL i r r e s t r i t o s d a forma. CI.11. M e s m o s e m s e r e m ref e r e n c i a d o s n o s c a p i t u l o s p o s t e r i o r e s , a1 g u n s r e s u l t a d o s s ã o a p r e s e n t a d o s p a r s u a i m p o r t â n c i a i n t r i n s e c a .

11.2:

DEFINISOES

E

PROPRIEDADES

DA

FUNÇÃO

MAXIMO

Usaremos a s e g u i n t e n o t a ~ ã o

O b s e r v e que p C x 2 nZo é n e c e s s a r i a m e n t e d i f er e n c i ável

.

11.2.1 PROPRIEDADES BASICAS

DE

P

Wl

a2 Se t o d a s as f x3,

i

=I,.

.

.

,

m são c o n t i n u a s e m x e n t ã o a p C x 3 é c o n t i n u a ;

n

b3 Se t o d a s as f

.

C x3, i =i, ,

. .

m são c o n t i n u a s s o b r e R e 1 se para a l g u m x c:

R n

u c u n j u n t a a x E

R"

/ pCx3 5 @xa3 é l i m i t a d o , e n t ã o e x i s t e um pont.0 x* no q u a l pCx3 a t i n g e o mf nimo;

c 3 Seja C2 c R" c o n j u n t o convexo e t o d a s as fiCx3,

i =i,.

. .

,

m c o n v e x a s e m C2. E n t ã o

6

>r3 tamb&m o é.

d3 Se a s f u n ã ã e s f x3, i 1

.

.

.

m são continua:, e m x

a

'

e n t z o p a r a c a d a p E IR"

,

IlpII =1 e x i s t e a 2 0 t a l q u e . zea E

C 0 5 0 i 0 3 temos

DEMONSTRACXO C V e r V.

F.

Dem' yanov e V. N. M a l ozemov C

I

9703

3

Nataqãa: A d e r i v a d a d i r e c i a n a l d e r p no p o n t o x n a d i r e q ã o p

,

é a'

çe existe o l i m i L e .

TEQREMA

2.1 S u p a n h a m o e que as f .Cx3, i

=

3

-

.

são

1

c ~ n t i n u a m e n t e d i f e r e n c i A v e i s e m u m a vizinhança

Sg

Cxa

d e xa

c o m 6

>

6 . E n t . ã o € 3 Q d i f e r e n c i % v e l e m qualquer d i r e ç ã o p ,

c I p I = 1 3

e ,

D e m o n s t r a @ o C ver, V. F Dem'

yanov

e V.

N

Mal azemov, 1 9 7 0 3

11.2.2.

- E x e m p l o C F i g . C 2 . 1 3 3

S e j a m

f

Cx3

=

S i n

x

,

f Z C x 3

=

Cos x

i

S i m i l a r m e n t e , para p = 1

Observe que pCx3 cresce e m x

=

n/4 e m a m b a r ; ar; d i r e q õ e s , i s t o é t r a t a - s e de u m ponto d e m í n i m o local c o m a c a r a c t e r í s t i c a dar;

der i vadar; d i r eci onai s s e r e m posi ti vãs. D e f a t a , t e m - s e a

11.2.3

PONTOS

EÇTACIONÁRIOS

E DIREÇÃO DE

MAXIMA

DESCIDA

8 & um p o n t o e s t . a c i o n á r i o d e p C x 3 s a b r e R ~ .

-

D E F I N I Ç ~ O 2.

-

O v e t o r

Ft,

11

_p*

11

₌

_{1 3} é chamado d i r e ç ã o d e m á x i m a

-

d e s c i d a d a f u n ç ã o p C x 3 e m x se Observação? A rniniinização d a d e r i v a d a d i r e c i o n a l 0, o c r i t é r i o b á s i c o p a r a a b t e n ç ã o d e d i r e ~ ã e n d e d e s c i d a n a P r o g r a m a ~ ã o N ã o L i n e a r . A d i f e r e n t e s normas C 11.

11

3 c o r r e s p o n d e r ã o d i f e r e n t e s métodos C " s t e e p e s t d e s c e n t " p a r a a norma Eucl i d i a n a 3 . O v e t o r

6

₁₁

_E,

_11=1, & chamado d i r e g ã o d e m A x i m a s u b i d a iP

IL3: CONDIÇ&S

NECESSARIAS

DE OTIMALIDADE

Previ

ãmente a p r e s e n t a m o s a l gumas pr o p r i e d a d e ç adi c i o n a i s

d a f u n ç ã o p C x3.

i Suponhamos q u e f iCx3, i=1,.

. .

,

m são c o n t i n u a m e n t e

n

d i f e r e n c i b v e i s s a b r e

R

e q u e p a r a algum x E R~ o c o n j u n t o

íI l i m i t a d a ; n e s t e c a ç o , a funq3'o máximo pCx3 t B m d e r i v a d a s e m

n

t o d a s as d i r e q õ e s p a r a t o d o x E R e a t i n g e O v a l o r minimo s o b r e

R".

i i 3 Fixemos x E

R ~ .

Consideremos o c o n j u n t o

Denotando

LC

x3 somo a e n v o l t á r i a convexa d e

H€

x3

,

notamos q u e LCx3 é l i m i t a d o , f e c h a d o e convexo. Qb~ervaçãa: Sob a p e r s p e c t i v a d o c A l c u l o s u b d i f e r e n c i a l ,

LCx3

é o s u b - d i f e r e n c i a l drpCx3, c o n j u n t o d e t o d o s os s u b g r a d i e n t e s d e p e m X. n

Das p r o p r i e d a d e s gerais da f u n ç ã o m A x i m a o b t e m o s q u e # C p 3 & c o n t i n u a e convexa C d e f a t o . p o s i t i v a m e n t e h o m o g ê n e a , v e j a l e m a 2 . 2 n e s t e n b m e r o 3 sobre R*. O E s t a m o s i n t e r e s s a d o s no c o m p o r t a m e n t o d e # C p 3 para p s S

,

o n d e S*

=

C p E _/

IIPII

₌

_{1 3 .} Como sO B l i m i t a d o e f e c h a d o q5Cp3 a t i n g e o m í n i m o sobre

sa.

i v 3 F ? e e s s r o v a m o s a d e f i n i ç ã o 2 d e direçzo d e m á x i m a d e s c i d a u t i l i z a n d o o t e o r e m a 2 . 1 :

V a m o s especi f i car as condi ç E e s de a t i m a l i dade

associadas ao p r o b l e m a d e P r o g r a m a ç S o N ã o L i n e a r

CII.

1 1 .

A

condi$ão n a t u r a l d e q u e p deve crescer a p a r t i r d e u m ponto d e

mí n i m o local e m q u a l q u e r direção se expressa p e l o

X

TEOREMA

2.2: Para que x s e j a o m í n i m o d e 6 x 3 sobre B

n e c e s s á r i o C se pCx3 & convexo, t a m b e m é s u f i c i e n t e 3 q u e s e j a

BEMONSTRAÇXO C

a

3

S r r p o n h a m c s s q u e x* é um pont-o d e mi n i m o d e pCx3 tal que

n

Então existe u n v e t ~ r p E R

,

IIpi ll=l i tal que

1 1 e m b r e - s e que

a@

x"3

=

f i m =& C a-'

{

p

cx

+

api3

-

p ~x 3 P1 a - 4 0

*

1

dai pode-se a f i r m a r que

Considere a

>

O s u f i c i e n t e m e n t e pequeno t a l que

i

O C p 1 , q 3

<

11

oCp ,a 3

11

d a& oi

.

1 1

A p a r t i r desta d e s i g u a l dade teremos

e n t ã o

w w a

g C x + a p 3 5 ( p C x 3 - a cri

+

_-

CX

1 I 1 I

W

o que s o n t r a d i z o f a t o d e que x B um mínima d e pCx2.

c

d

3C d p c x 3

i

nf 3-0

-

w

n

Queremos mostrar q u e

x é

mínimo d e pCx3 s o b r e

R.

Suponhamos o conLr&rim. E n t a " ~ exiske u m x tal que O

c o m a 6 x 3 .& convexa

, t e m o s para

X

G C 0.9 3 ,

Criamos o vetar unitário

X - X

*

-

O

p1

-

e calculamos

temos a s s ~ a v ~ q õ e ã 1 . A c o n d i ç ã o C I I . 1 3 3 se particulariza e m n o casa d i f e r e n c i á v e l C quando m

=

í

,

pCx3

=

f %Cx3 3 . x 2.

A

e a n v e x i d a d e l o c a l e m uma vi z i n h a n g a Ccanvexa2 d e x 15 s u f i c i e n t e p a r a a s e g u n d a p a r t e d o t e o r e m a . TEOREMA 2-23? A d e s i q u a l d a d e I 1 1 . 6 1 & e q u i v a l e n t e a

*

O s

LCw

3; C P I . 103 se 9 B ClacaEmente2 c o n v e x a a c o n d i ç ã o 8 também s u f i c i e n t e .

P a r a a prova v e r

,

V. F. Dem' yanav C 19883.

O r e s u l t a d o & c o n s e q u 4 n c i a i m e d i a t a d a s c o n d i ç õ e s d e o t i m a l i d a d e d e C I. 1 1 r e e s c r i t o na f o r m a e q u i v a l e n t e

min S Cx, 6 3 & n+l

k a c i a m o s a

CII.I%I

a função lagrangeana,

A s condigBes d e K .

K.

ã são

o que a c a r r e t a I E I . 1 0 1 .

o s s s ~ v a ~ ~ i l o

CII.103 &i também a a p l i c a ç ã o d i r e t a da condic;ão d e

36

A r e l a ç ã o d a d e r i v a d a d i r e c i o n a l com os g r a d i e n t e s d e

f iCx3, m a i s p r e c i s a m e n t e com o s u b - d i f e r e n c i a1 LCx3 é d a d a pelo,

LEMA 2.2~

A s e g u i n t e equação B v á l i d a : o n d e LCx3 é o c o n j u n t a d e f i n i d a e m C i i 2 . O B ~ E R V A Ç ~ ~ E 4 0 caro d i f e r e n c i Ave1 l i n ~ a r i d a d e e m p + C @ = CVpCx3,p3. C gCx3=f 1Cx33, t e m - s e a

LEMA

S.3t SE- *x*3 1 O

,

x* é C D e f i n i ç ã o 1 3 3

*

*

E n t ã o yCx 3

=

r€>: 3 , o n d e r C x 3 u m p o n t o e s t a c i o n á r i o d e pCx3 O o r a i o d a m a i o r e s f e r a com

*

c e n t r o na o r i g e m q u e pode ser i n s c r i t a e m

LC

x 3

.

f ig. Câ. 2 3

Os r e s u l Lados a segui

r

e s t e b e l @ c e m c o n d i qãa para

1 7 Se x E c o m 7y

<

0 , x não & p o n t a e s t a c i a n á r i o e o teorema 2.3 g a r a n t e q u e o

e

LCx3. LEMA 2.4: Se y C x3 < O então a n d e a* é o p o n t o m a i s p r b x i m o d e LCx3 e m r e l a c g ã o a o r i g e m .

-

TEOREMA 2.4: Se ylCG3

<

O

,

e n t ê i o pCx3 t e m e m x u m a ú n i c a d i reqão d e d e s c i da m á x i m a p~

xl),

llpC x3 113 1 dada por

onde z8 í. o p o n t o m a i s pt-bxi m o d e LCx3 e m r e l a c g 3 0 à o r i g e m .

8

TEOREWA

2.3: Sk x* & p a n t a e s t a c i o n á r i o e yCx 3

=

r

>

O e n t ã o x

*

& u m m í n i m o local e s t r i t o de p C x 3 C v e j a e x e m p l o e m EII.2.213.

TEOREMA

2.6: Seja x* u m p o n t o e s t a c i & n á r i o d e pCx3 sobre

R"

n o

*

q u a l y C x 3

=

O

.

Supanha t a m b é m q u e f . C x 3 , i = l B . . = , r n sãa 1

*

duas vezes c o n t i n u a m e n t e d i f e r e n c i á v e i s e m u m a v i z i n h a n q a S Cx 3 , S &>O d e xB.

Se para a l g u m y > O

o n d e

e n t ã o

x*

um

minimo

local

e s t r i t o .

P

o n d e m

_i

>

O s X o i n d e p e n d e n t e s d e v. 2. O t e o r e m a 2 . B Q t r i v i a l m e n t e verdadeiro c o m

III.121

substitui do por 3. Se apenas onde n não se g a r a n t e que x s e j a u m m i n i m o l o c a l de pCx3, c o n f o r m e se ver i f i c2 p e l o c o n t r a - e x e m p l o abaixo: 11.6.1s C o n t r a - E x e m p l o : S e j a m e m

R

2

x

Consideremos o p a n t a x = C 8 , 0 3 e m que f e f s"za a t i v a s

2

c

IC

x%

= c

1 , z > 3 ts t e m o s 4=

LCx

3 = ca

H

C x +?I 3 - 8

w

Camo O E LCx 3, para a =3/4, x é p a n t o e s t a c i o n b r i o d e tpCx3, e 1

*

7yCx 3

=

min

m x

4=

Cz,

p3

=

O,

11

p

11

=

1 z E L C x 3 cujo argumento é p=CO, +13.

Consi der e as v e t a r e n

W l a g o y Cx

a =

O para a =O e b

=

1. T e m o s

a

X 2

=

[

::

023

r. d x2

=

[o"

2 )

Logo

'

O b t e m o s : q u e é C P I . 1 3 3 .

M o s t r a r e m o s agora que x

*

não é u m m í n i m o local de p C x 3 .

-

Q e;

cn

- -

c o m o

O

<

s

<

1 ,

t e m - s e

s

2 +,c2+

rãsZc -2+s23

-

_{2 2} C 0

=

@ x % * V O < i < i .

C 2 i G 3

84

CAPITULO I11

P R I N C I P A I S F O R M U L A G d E S

A L G O R Í T M I C A S

1x1:

INTRODUÇXO.

N e s t e capi t u 1 o , a p r e s e n t a r e m o s u m r e v i s C i o p a r c i a l d e a l g u n s m & t o d o s para resolver o p r o b l e m a d e m i n i m a x s e m

r e s t r i ç õ e s .

0 s artigos q u e , e s c o l h e m o s s Z o os s e g u i n t e s cor respondendo ao q u e propor i a m o s c o m o r epr e s e n t a n t e s de

d i sti

n t a x

f a m d 1 i as de abordagens ao probl e m a de m i n i m a x .

I ! '

-

HAM;'

f a773

,

adapta a m e k o d a f a g i a sequençi a1 q u a d r b L b c a da

PNL;

a p r e s e n t a m o s s u c i n t a m e n t e , c o m p a r a n d o c o m H a n , os d e O s b o r n e , W a t s o n CáQâ83 e M u r r a y , O y e r t o n C19803.

-CHARALAMBOUS E CONN, C 19783

,

u s a m u m a m o d i f i c a ç ã o do m e t o d a do g r a d i e n t e p r o j e t a d o ; a c r e s c e n t a m o s u m a c o m p a r a ç ã o deste a1 g o r i t m o

E- u m a ver,são " p u r a " drl, g r a d i e n L e projetado.

-

ZANG,

C

1

SEKX

,

u t i 1 i za a p r o x i m a ç õ e s s u a v e s externas n o s p o n t o s não d i f e r e n c i C l v e i s ; a m e s m a i d & i a f o i u t i l i z a d o par B e r t s e k a s

C 1 Q 7 5 3 , p o r é m c o m f u n ~ ã e s r e g u l a r i z a n t e s d i v e r s a s .

-GIGOLA E GOMEZ, C 1 Q Q 1 3

,

desenvol VE- u m m & t s d o d e r e g u l ar i zação baseado n u m a

f

o r m u l a ~ ã o d u a l do pr obl e m a

m i

n i

m a x .

O m & t o d o d e H a n p a r t o da c l á s s i c a f o r m r r l ação e q u i v a l e n t e ao m i n i m a x , s o b a perspectiva da P N L já v i s t a e m C I I . 1 1 1 . De C I . l l e C I I . 2 1 ' f o r m u l a m o s o p r o b l e m a c o m o s u j e i t o a f.Cx3 I 6 , i=á,. ..,m 1 Para m

=

n

=

2

,

t e m o s a s e g u i n t e reprerentaqão: X

*

F i g . C 3 . 1 3 C o n f o r m e j A vi s t o a f unqão d e L a g r a n g e é d e f i n i d a por

K

Siupanha u m m&todo i t e r a t i v o e m que se o b t e v e x

.

?L

i3esej.a-se uma d i r e ç ã o p d e d e s c i d a para f

,

t z 1 q u e e m x

+

p r;=

t e n h a tambhm

Evidentemente e n t e p r s b l ema & e q u i v a l enLe a o r i g i n a l 1 2 1 , e , por i s t a , deverá s e r d e algum modo aproximada. A s c o n d i ~ õ e s d e n t i m a l i d a d e d e

IIII.2.21r

a p a r t i r da f u n ç S o Lagrangeana,

27

M

Uma a p r o x i m a 5 3 0 d e Tay1 or d e 1s ordem e m Lorno d e x c o m

v a r i á v e l p , d e

IIII.2.31,

f o r n e c e V e r i f i c a - s e q u e e ã L a ã são a s q u a d r a t i c o - l i n e a r ccrtndi q 8 e s de

K. K. T

d o problema s u j e i t o a c o m

B

r e p r e s e n t a n d o a h e x s i a n a d a f u n g ã o l a g r a n g e a n a d o K

28

T a m b B m a p a r t i r d a e q r r a q S o Cb3 d e E I I I . 2 . 4 1 d e t e r m i n a m o s a

di reção

O s u b - p r o b l e m a d e P r o g r a m a r g ã o Q u a d r i t i c a C I I P . 2 . ! 3 3 t e m

K K K

c a m a sal ução C p ,6 3 ; o n-vetar p 8 u m a d i r e r g ã o d e busca a p a r t i r

K

de K

.

FORMULAÇÃO

DUAL

I I I I . 2 . 5 1 pode ser r e s o l v i d a através d e seu

d u a l

,

q u e , canf o r m e v e r e m o s , Ef! c c l m p u t a c i o n a l m e n t e m a i s si m p l es

.

M a n t e n d o a n o t a ~ ã o

u

para os m u l t i p l i c a d s r e ç , t e m a s a i

f u n ç ã o d u a l

ande

& a funt;ão Lagrangeana associada a C 111.2. S I .

Par def i n i

são,

o d u a l Lagrangeano d e

E

III.S.51 é a p r o b l e m a

m

A

f u n ~ ã o dual

Gu3

p o d e r facilmente explicitada a t r a v & s d a s c o n d i @ e s d e o t i m a l i d a d e I I I I . 2 , 4 1 :

C o m a notaçsci V f

=

J

CJacobiana d e f 3 , chegamos ZL e x p r e s s ã o do dual C na f o r m a d e m i n i m i z a ~ ã o 3 ,

O b s e r v e q u e o d u a l , u m f u n c i o n a l quadrático s o b r e o s i m p l e x

u n i t á r i o , é e x L r e m a m e n t e m a i s s i m p l e s do q u e

CIII.

2.51, q u e

corresponde a u m a f o r m u l a ç ã o do t i p o geração d e r e s t r i ç õ e s

C v e r n u s g e r a ~ ã o d e c o l u n a s d e

CIII,2.1013.

V e j a L a m b k m q u e ,

c o n h e c i d o u

,

p é dado por

CIII.

2-71

A s e g u i r a p r e s e n t a m o s a a l g o r i t m o d e H a n . Trata-se d e u m a l g o r i t m o d e busca l i n e a r . E s t a s e r A d e t a l h a d a p o s t e r i o r m e n t e . Sáo dados

xa

e B a = P , m a t r i z i d e n t i d a d e

n x n .

Para

K

1 0: P A S S O . I: k C a l c u l a r o v e t a r u

,

r a l u q 8 o d e : T M i n

-

'

u T J

H J

u - u T f ~ x K 3 2 K K K Sujeita i9

m

=

1 i -1

onde i 3 Determinar o v e t a r k k i i 3 S e p

=

Q p x .& ponto e z t a c i o n d r i o ; e n t ã o 1. k B k = pCx3= max C f . C x 3 , i = l p . ..,m) : Parar. L i Se # 0, i para a p a s s o 2.

PASSO. 2: Busca Linear

M

+

1

Seja x u v e t a -

K + I K K

X = x + a p *

K

onde a é o Lamanho do passa, Lal que

" p

decrexcp

W

suf i ci entemente".

P A S S O . 3:

Atualizar

B

por

EFGS

usando a mat.riz

E

que e s t i m a a

92

P A S S O . 4:

I n c r e m e n t a r K- K+% e r e t o r n a r ao passo 1.

III.2.2.at BUSCA

LINEAR

A busca l i n e a r é r e a l i z a d a sobre a f u n ~ ã o o r i g i n a l p a s e r m i n i m i z a d a . I s t o se j u s t i f i c a d u p l a m e n t e ; s o b a p e r s p e c t i v a da

P r o g r a m a h ã o N S o L i n e a r I r r e s t r i t a , p z f u n ç ã o que se quer

m i n i m i z a r , logo c5 a escolha n a t u r a l . . DO p o n t o v i s t a d a f o r m u l a g ã c r

E111.2.1 I , u m a p o s s i v e l f u n ç Z a m c 5 r i t . o é a f u n ç ã o p e n a l i d a d e

exata dada por

A p r m p o s t a a s e g u i r é u m a b u s c a a p r o x i m a d a , e m q u e o t a m a n h o d e passo a é t o m a d o c o m o o p r i m e i r o n i í m e r o da ã e q ü & n c i a gerada por :

rc

o n d e

F T K

h. = - C p 3 B K p , O < w < i i Z

A desigualdade

CIII,2.121

O consequência da comparação e n t r e a r-edugZo r e a l

e a estimada pelo modelo 1-oca1 em E

III.2.51,

dado por,

Vejamos como se gera a seqG3ncia

CIII-2.131.

Para

si m y l i f i car a notação, omitiremos o i n d i c e k da i t e r a ç ã o

c o r r e n t e .

Iniciafizamas com I)

=

1

O

Quando

'j nSo s a t i s f a z

I

-

2

1

,

c o n s t r ó i - s e uma

função quadrática 8 . € I ) 3 , a qual interpela p:

3

e

a.

CWJ =

X K

J

Csegundo

CIII-2.121, h K

pode s e r v i s t o como uma aproximacão da

derivada na direçzo p?,

Quando (3j+l> O.

i

Pj,

então I) & a c e i t o como o

valor

j +-I

q u e minimiza 8 .Cp3 ;

34

' .

j ++i é c a l c u l a d a usando-se a s e g u i n t e f é r m u l a d e Powell C 221

Há

v d r i a s p r o p o s t a s . A mais s i m p l e s & u s a r a m a t r i z

i d e n t i d a d e ; uma o u t r a é u s a r uma m a t r i z 'E( q u e e s t i m e a

K h e ã s i a n a Cansi d e r a - s e

.

p a r a g a r a n t i a d e c o n v e r g & n c i a, a s m a t r i z e s CB 3 q u e s a t i s f a z e m a condiçãci, d e u n i f o r m e d e f i n i @ o K p o s i t i v a ; p a r a p e 3 p o s i t i v o s E

ti'

x E

W~

e p a r a c a d a K. E x i

n t e

uma g r a n d e v a r i e d a d e d e a l g o r i t m o s para a a t u a l i z a ç ã o d e p o n t a 2 d a m a t r i z

B

não cabendo a q u i d e t a l h a r o k

e s t u d o dessas f brmul a r . Maiores i nf o r r n a ~ B e s podem s e r

Denni s e MorQ C 1 9 7 7 1 , por exemplo. Uma d a s f b r m u l a s d e a t u a l i z a ç ã o m a i s a c e i t a s 4 a d e Broyden, F l e t c h e r , G o l d f a r b e Shanno C 1 S Y í X

,

a b r e v i a d a BFGS, d a d a por : F B S S B X M K M onde: n h F S = y , S, y = [ R s Z a n ã o n u l o s .

EIII.2.143

Sendo B s i m B t r i e a d e f i n i d a p s s i t i v a , pode-se u s a r a

decomposição d e Chol e s k y , com a t u a l i zac$Xo d o f a t o r :

B

=

L L ~ ,

LV=

y e

L ~ S

=

v, onde

L é uma m a t r i z t r i a n g u l a r n ã o s i n g u l a r e

A a p r o x i m ã r ; ã o i n i c i a l

B

da h e ç s i a n a & t o m a d a s o m o O

B =I.

u I s t o s i g n i f i c a i n i c i a r o a l g o r i t m o c o m a direção d e m á x i m a d e s c i d a C g r a d i e n t e 3 T a m b é m p o d e m o s cal c u l ar c o m

E m r e s u m o , pode-se d i z e r q u e o p r o c e d i m e n t o para escolha

do t a m a n h o d e passo pode g a r a n t i r a convergência g l o b a l .

O m & t o d o p e r m i t e d e t e r m i n a r u m p o n t o e s t a c i o n á r i o do

p r o b l e m a

CIII-2.13,

onde xt s a t i s f a z a s c o n d i g E 5 e s d e KKT para

k

1.

-

SE. pk= O

,

então

rS

=

pCx 3 e xk á u m ponto e s t a c i o n á r i o do

k

k

problema C I I . 2 . 1 3 , com o vetor u como o multiplicador asociado.

D e f a t o a s candiqães de K , K . T aplicadas a CfIP.2.!33

fornecem Cderivada nula da f ungão Lagrange em r e l a ç ã o a p3

Quando p K = O obtemos

A l é m d i s t o ' a derivada nula da Lagrangeana aãsaciadz a

CIII.2.51 relativamente

a

6

fornece C , sendo C i i i l

ver dadoi r o por constr ugira.

Por outro lado,

as

condiçEeã de complementaridade se

escrevem

k

u Cf. Cxk3

+

v

fi~xk3pk-&k3

=

0. i. 1

35 k Quando p = O, obtemos u k C f . C r 3 -6 3

=

O i 1 k e, p o r t a n t o , b- k

6 = f . C x 3 para u (1. k x i s t e ao menos uni t a l i,j á que

k a i P o r t a n t o . xk é p o n t o e s t a c i o n á r i o .

I

Demonr t r a ç ã o K Notemor

?

= { i

r

u

>

O

).

E n t ã o . d e 1111.2.171, o b t ~ m o s

i

que somado e m i

,

f o r n e s e

usando a d e f i n i ç ã a d e p n e s t a r e l a ç ã o obtemos

d e v i d o a que i =i

k

Por o u t r o l a d o , a iaxpressãa d e p dada por I I I I , 2 . 1 6 1 f o r n e c e , k

a p ó s m u l t i p l i c a ~ ã o por p :

que, j u n t o com I

III.

2 . 2 1 1 l e v a h d e s i g u a l d a d e

k T

3.-

~'cX)~S

5 - C p 3

40 Se c o n s i d e r a m o s (3 C O, 1 I e n t ã o H a n m o s t r a q u e o n d e K E s t a af i r m a g ã o é i m p o r t a n t e porque m o s t r a q u e o vetor p é q u a l i f i c a d o c o m o u m a d i r e g ã o d e busca no p o n t o x. d e s d e q u e B k s e j a u m a m a t r i z d e f i n i d a p o s i t i v a .

4

.

-

Se a p o n t o xk é s o l usão 1 oca1 do p r o b l e m a C 11-1 I éa a m a k r i z

B

é d e f i n i d a p o s i t i v a e n t % o

~J'=o.

C veja [ I I P . B . 7 1 . k 0 3 seguintes r e s u l t a d o s j u s t i f i c a m o p r o c e d i m e n t o d e t a m a n h o d e passo. 9

. -

Se pKf O e a r n a t r i z

B

é d e f i n i d a p o s i ti va, e n t r o o t a m a n h o k

de passo a t e m u m valor p o s i t i v o e a = (3: para algum j

k k f i n i t o , C v e j a C P I I . X . 1 2 1 e 3, a c i m a 3 . 6

.

Se e x i s t e m n u m a r o s p o s i t i v o s M e q t a i s q u e Ca3ãup

11

f f f C x 3 f l 5 M para q u a l q u e r i = l , .

. .

, m ;

i

n % S E R

T

C b3 X ~ B x 2 7 7 ~ x para q u a l q u e r K=#, 1

,

. . .

,

e q u a l q u e r x E

IRn,

k

e n t . ã o p a r a L o d o k , ol Z m i n € 0 . 1 q/M, 0 . 1 3.

k

E s t e r e s u l - L a d o ser para obter a s e g u i n t e p r o p r i e d a d e de

conver g ê n c i a.

7

.

C o n s i d e r a n d o C 6 3 e t a m b é m a f r r n q ã a p l i m i t a d a , t e m - s e q u e a

K

s e q ü ê n c i a C x 3 gerada p e l o m é t o d o t e r m i n a n u m p o n t o e s t a r i o n d r i a

cio problema CII-11, ou

SE K

I s t o p e r m i t e m o s t r a r q u e o p o n t o x c u j a direção p

t e n h a n o r m a p e q u e n s l eva, aproxi m a c i a m e n t e , às c o n d i ~ E e s

necesrári a s

ITII-2.151;

d e f a t o i s t o pode ser t o m a d o m a i s

preciso:

8

.

S r r p a n h a q u e e x i s t e m n ú m e r o s n ã o negativos;

M

e M t a i s q u e as

% t

g r a d i e n t e s V f

.

C x 3

,

i =i E

. . .

,

m são 1 i m i t a d o s por M sobre Q

1 1

c o n j u n t o

e as m a t r i z e s C B 3 sã= l i m i t a d a s por

M

.

E n t ã o :

9.

-

Suponha q u e as h i p b t e s e s n a s propri edadex C 7 3 e C 8 3 sSo

v e r i f i c a d a s . Então para q u a l q u e r t o l e r % n c i a c > O , o mktodo

-

-

produz, e m umnfimero f i n i t o d e i t e r a ç õ e s , x e u s a t i s f a z e n d o :

1 . - Suponhamos quo a f u n ç ã o p Q convexa s o b r e o c o n j u n t o

: qXx1 5 p í x

,

s u p o s t o l i m i t a d o para algum i ;

e n t ã o

k

qualquer p o n t o d e acumul aqão d e C x 3 & uma s o l u q ã a d e E 11, i I e m

2.

-

P a r a a f i r m a r a u n i c i d a d e da s o l u q ã o , u t i l i z a - s e o s e g u i n t e r r i t b r i o : Se p é e s t r i t a m e n t e c o n v e x a , e n t ã o a s e q ü b n c i a < x k 3

c o n v e r g e para uma Única s o l u ç 3 o d o problema

CII.11.

3.

-

O metodo t r a t a d a p o r Han p e r m i t i r á e n t e n d e r a s o l u ç S o a u m

problema r e s t r i t.o:

S u j e i t o a:

g . C x 3 I O

,

j = i

,...,

q. d

&ia f ungõec; r e a i s c o n t i nuamente d i f e r e n c i á v e i E;, c u j a sal u ~ Z c , é-

f e i t a p e l o p r o c e s s o j á e x p l i c a d o a n t e r i o r m e n t e , c o m ci

sub-problema C

III.2.61

s u b s t i t u i d o por :

a n d e B 4 a h r i s s i a n a d a f u n ç ã o L a g r a n g e a n a d o problema o r i g i n a l

e

PK

d i r e q ã o dada por:

A s e g u i r r e f e r i m o s srrci n t a m e n t e a t r a b a l h o s com abordagens si m i l a r e s ou próximas da d e Han.

1.

-

O s b c i r n e e Watãon C 19683

Descreve u m a l g o r i t m o que s o l u c i o n a o problema d e minimax i r r e s t r i t o d e módulos d e f u n ç õ e s .

T r a t a - s e d o s e g u i n t e problema;

1-3

min max Ib -f.Cx 3 1 , i=l,..., m , x E R +

i 1

que e q u i v a l e n t e a : min h

a u . j e i t a a:

RC: L L V ~ Y ~ ~ C ; :

zprcsentam

c

&-Y

-flui n t e .-.rocec;su

r

p a r a r e z a l v e r

f

III.2.231,

+

-

c

A -

Yrculker

Y,

ii.-

C a l c u l a r

d r

a

p a r t i r

d e

I I I I . 2 . 2 4 1 ,

este

sub-pr o b l

e ~ a &

sal

u c i =nado usando rnltudos d e p r ogr amac$h

l i

n e a r

,

supondo

que

o p o s t o

C Q

f3

=

n

.

k

Denota-se o v a l o r mínimo

d e h

por

2.

k

íii.- Busca

l i n e a r , c a l c u l a r

y

minizando,

k m a w

I

h i - f i € x

+

y'dk3

1,

i = l ,

...

.m;

iv.-

O

novo p o n t o

G

K k x " ' a x k i y d .

Comparaqâu

c o m

Han

E

i n t e r e s s a n t e comparar

u

a1

g a r i tmo

q u e

acabamos

d e

lb -f

I&i-fiCx3

Cou

o posto).

B a s t a ,

por exemplo, que

se

i

i i--

t e n h a , p a r a t o d o

i ,

f

Cx3

5 f Cn

3 I

bi,

i

f

o

p a r a algum

xo.

d i f

crentes

:

L e m o s aqui uma aproximação

d e

15

ardem

da função

lagrangeana

e m

t o r n o d e

xk,

dada por

enquanto Han

c o m

expansão de Taylor

a t é

2$

ordem.

2.-

Murray e Overtcn

C l G 8 O 2

D

mbtodo s a l u c i o n u

o

problema

$1.

i

3

e q u i v a l e n t e

u

~ d t : v -rii1

s u j e i

to

a:

T -T m

-

onde

x

=C

x

,

xnS1 3 .' Cx Ip....'x 3 . . x &"

n

A _f

por

c C x 3 ~ e R w C t

indica

nfimero

d e

r e s t r i ç õ e s a t i v a s ? .

h

Denutamas

a

a

jacobiana d a s r e s t r i @ e s ; a t i v a s par

Afx3

=

h

a

cCx3,

isto

€5 :

h h

Aí. x3

=V cC

x3

=

O

Lagrangeana

d e

LIII.2.253

&

dado

por:

Cem

ã

o b j e t o

d e

formar

o

sub-problema

quadrákico

CMSQJ,

Podemos agcr

r

defi

ni

r

o

sub-pr obl

e m a

ou, mais

símplernente

:

h

utilizando-se da descompasiqão de

(R*"

nos rspaqos nulo de

"T

A

r

h

iinzgem de

A,

de dimensões respectivas

nS1-t e

t.

Assim, com

w

definida positivo.

p é

calculado

como

p=pYpz,

onde

t

P~

e

[R e

e

R

n+l

-L

%

Cpara suas cxpressãee; ver Murray, Wright,l9813.

A

atualização da hessiana 4 feita usando Quase Newton,

garantindo-se que a dire~ão de busca

Cp3

seja

de descida para

a

f

un@o

obj

eti

vo

da mi

ni

mâx, obtendo-se ccmverg&nci a quadrgti

ca

1

oca1

.

Comparação entre Han e Mur

r

ay-CWer

t

on.

Arnbos, Han e Mtrrray

-

D~erton,

solucionam o problem de

mi

ni

mas, uianda rub-prabl

e m s s

sob

a

perspectiva

dos mgtodcs

sequesnci

a1 quzdr

Ali

cos

C

MSQ3

,

o primei

r

o sol

uci

únandú o probl

ema

dual

,

e

Mur

r

ãy-Civer

ton

atacando diretamente

o

primal,

I I L 3

METODO

DE CHARALAMBOUÇ E

CONN

111.3.1: INTRODUGXO

C o n s i der anda o probl o m a C 1. 1 3 e q u i val G n t e a

os a u t o r e s a p r e s e n t a m u m a1 g a r i t . m o para resol v & - l o ,

u t i 1 i zando o c r i t é r i o d e E-vi abi 1 i dade, d e t e r m i riando a direção

p e l o o m b t a d o d o Gradiente P r o j e t a d o .

O s p a n t a s básicos do a l g o r i t m o c o n s i s t e m no c á l c u l o d e d u a s d i r eçãec;

.

A pr i m e i r a d i r eqão hor i z o n t a l

,

ob j

=ti

va o d e c r & s c i m o d e f u n q ã o p

.

A s e g u n d a d i r e ç ã o & v e r k i c a l , e

procura o d e c r k s c i m o do erro d a s f u n ç õ e s q u e

estão

p r ó x i m a s à

f u n ç 3 o yl.

k

N e c e n r i t . a m o r e n c o n - L r a r a direção d e b u s c a no p o n t o x

,

a

q u a l é d e t e r m i n a d a L e n d o e m consideração a s fupiçi-iei; E-ativas do

Ic

k 2. -1

E

C x

,

~ 3 : c o n j u n t o d a s f u n q õ e s e r e s t r i ç õ e s n ã o E - k a t i v a s no p o n t a x 4. -3 G r a d i e n t e d o vetsir

z

S. -3 L a b e l : i d ~ n t i f ica d i r e ç ã a v e r t i c a l n a p a s s o cor r e s p o n d e n t e : se a d i r e q ã o v e r t i c a l & tomada 0 , caso c o n t . r á r i o .

5 1

6. -3 VS : i n d i c a o tamanho do passo v e r t i c a l

.

d acort.ado,

v

=

se o passo não é a c e i t o

7 -3 EPSTOP : valor que d e f i n e o c r i t e r i o de parada.

denota o l i m i t e sugeri or do tamanho passo

admi ti do.

111.3.3 ALGORITMO

P A S S O U

0

L a b d =O, k =U

,

VS =O, x =x

dar a valor d e E e epstop, P A S S O I

Determinar I C X ~ ? ~3

P A S U I1

Calcular a matriz de projeção C e d e passo e f e t u a i t e r a ~ õ e s

i riternas3

C 1 3 Seja j

=

0 ,

pa=I

,

matriz i d e n t i dade de ardem C n+f 3 XC n + á 3

A

=

C3 Cconjunto vazio3

O

<j>

-

$j>

P

-

e

,

Cdireção de busca horizontal2

C 111.3.41

C 2 3 Quando j >O, determinar a matriz N~~~ c u j a s l i n h a s

C a l c u l a r a m a t r i z d e p r o j e ç ã o

-3

i

)

' [ i

]

$ j 3 =

I

-

,'f~) z

de ardem C n + l 3 X C 1-193 3,

Calcular a d i r e g ã o dada por

CIII.

3.41; b t e r m i nar

ande A =C i i

. . .

,

i 3, correspondenkes a o v a l o r d e j anLer i or j & P 2) j

n e s t e p a s s o

.

V e r i f i c a m a s :

T

k

s e , pcj3 V

$fiz,*

3

7

O

ir

para

C 3 3 ,

i&

~ + 1 *

s e n 3 o a t u a l i z a r

Se a c a r d i n a l i d a d e d e A . = n + l , i r para o p a s s o

VII;

caso

J

C j 3 e

d i r e ~ ã o , s o n t i nuando o processo.

C 33 Denotamos :

parar Cótimo Q atingido3

Caso c o n t r á r i o i r para o passo

I V

PASSO I V

Eusca l i near C hori zon.t.al3 :

k

-

k t e r m i n a r T 1 0 t a 1 qus ma= f . C x -T p I p i=lC...pm

1

Q minimizado

.

E

é obtido de p , atravks de s u a s

n

tIrltimas

componentes. PASSO V

Curldir,úes para determinar o passo v e r t i c a l : B n e c e s d r i o

que o número das restriçi+jesr E-ativas não mudem Gm t r S s

i t e r a ç ã e s consecutivas Cheuristica3 E!

lip

11

(1, ou L a b e l = 6

n e s t e caso, i r para o passo

VI,

caso contr Ar i o , f a z e r

e i r para o passa I,

Par ã determinar o passo ver t i c a l consideramos

k

S.-)Determinar a m a t r i z

N

c u j a s l i n h a s s ã o 05 g r a d i e n t e s das r e s t r i ç õ e s & - a t i v a s , ]r

-

3 s - 3 x = x + V , t e m p L.

onde

c

é o v e t a r dar n componentes p r i m a i s d e

vCx

,

s3

Se m a x f

.

C x 3 l. t e m p k s i - x - X t e m p L a b e l

=

O i r para o passo I , c a s a c o n t r á r i o k

-

k + l

ir

para a passo

I

P A S S O V I 1

Ctuancia

I

A j

1

=

n+1 fazer L a b e l = 6

63

E = s/10 valtar p a r a o p a s s o

VI

.

1.

-

Supbe-se p o s t o N

C

j2 compl e t o , d e mado q u e

,+i'

(

N<.j)) T é não s i n g u l a r . P a r a cal c u l ar e u t i l i z a a f ó r m u l a i t e r a t i v a d e R a n e n p a r a p r o b l e m a s não l i n e a r e s Cver f 1 5 1 3 o 2 - A m a t r i z

N

r e p r e s e n t a d a no p a s s o E I P 3 C 2 3 1 é uma matriz r u j a s l i n h a s s ã o os g r a d i e n t e s d e algumas ou t o d a s as restri@es c - a L i v a s . Assim, a m a t r i z N d o p a s s o

VI,C23

é a m a t r i z r u j a s l i n h a s são as g r a d i e n t e s d a s r e s t r i r ; õ e s E - a t i v a s a s q u a i s formam uma b a s e d o e s p a F o g e r a d o p e l o s g r a d i e n t e s d e t o d a s as r e s t r i ç õ e s a t i v a s . 3.- Quando I A j I = n

+

i podem a c o n t e c e r as s e g u i n t e s p o s ã i b i l i d a d e s

,

Cal O ó t i m o é a t i n g i d o e m uma v i z i n h a n ~ a . C b 3 O 4 t i m o não é a t i n g i d o e p o r t a n t o temos q u e c o n s i d e r a r r e s t r i ç õ e s q u e nSo e s t ã o i n t e r v i n d a na s o l u q ã o . E s t a s i t u a ç 3 o é t r a t a d a d e d u a s m a n e i r a s : P r i m e i r o , toma-se o c a n j u n t o d a s d i r e q ã e s v e r t i cai s C L a b e l - 6 9 ;

segundo, r e d u z - s e o v a l o r d e c , C E = ~ 4 0 3

I

PI1,â. 6: RESULTADOS TEOR1 COS

Apresentamos o e s s e n c i a l d a tecri a d e s e n v o l v i d a no

a r t i g o c i t a d o .

P r e v i a m e n t e n e c e s i tamos do algumas h i p b t e r e s a d i c i o n a i S .

h

a) H i p d t e s e 3 .

-

E s t r i t a complementaridade um p o n t o 6 t i m o x

n o

prclbl ema d e m i n i max cl c a r a c t e r i z a d o por s a t i s f a z e r as condbqires

d e Kuhn-Tucker a b a i x o :

h

Suporemos u

>

O , ~ E I C xI O ) . Si g n i f i c a não c o n s i d e r ar p r o b l ornas

i

h3 H i p b t e s e S.

-

Unicidade d e solução.

A s i t u a $ S o a sl-guir mostrada e m qráf i c o é impedida por

e s t a

h i p ó t e s e :

TEOREMA 1

-

,-

aej ain a s f unr;iães f i =l

,

. .

.

,

m,

convexas

e

continuamente

i

h

d i f e r e n c i Aveic; e m uma v i z i n h a n ~ a d e x . Além d i s s o , as h i p ó t e s e s 2 e 2 são v e r i f i c a d a s . E n t ã o , para rrm c o m p a c h W 2 uma condiqão n e c e s s A r i a e s u f i c i e n t e para que