Equações Diferenciais de 2a Ordem

Departamento de Engenharia Mecânica - VEM Universidade Federal Fluminense - UFF

Prof. Dr. Ivaldo Leão Ferreira

Capítulo 3: Equações Diferenciais de

Segunda Ordem

)

,

,

(

2

2

dt

dy

y

t

f

dt

y

d



3.1 Eq. Homogêneas Coeficientes Constantes

 Definição: A equação acima é dita linear se a função f tem a forma:

) , , ( 2 2 dt dy y t f dt y d _

 Informação adicional: Na equação acima g, p e q, são funções somente da variável independente t. Neste caso, pode ser encontradas nas formas:

   

q

 

t y dt dy t p t g dt y d _{  } 2 2

 

t y q

 

t y g

 

t p y   ou, P

 

t y Q

 

t y R

 

t y  G

 

t Se,

 

 

 

t P t Q t p 

 

 

_{ }

t P t R t q 

 

 

 

t P t G t g  , e (1) (2) (3,4) (5)

Capítulo 3: Equações Diferenciais de Segunda Ordem

 Se a equação (1) não apresentar as formas (3) ou (4) ela é

dita não-linear e a sua solução está fora do escopo desta disciplina (métodos numéricos e geométricos).

 Observação: As condições iniciais para as equações de 2ª

ordem não indicam apenas um ponto em particular (t₀, y₀)

que pertençam ao gráfico solução, mas também, o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico naquele ponto.

 Um problema de valor inicial consiste de uma equação

diferencial juntamente com um par de condições iniciais

 

t₀ y₀ y  _e y

 

t₀  y₀

 

t y q

 

t y g

 

t p y   _, 0 y

 Uma equação diferencial de 2ª ordem é dita homogênea se o termo g(t) na eq. 3 ou G(t) na eq. 4 for igual a zero.

 Observação: Uma vez resolvida uma equação homogênea, sempre será possível resolver a equação não-homogênea

correspondente, eq. 3 ou eq. 4, ou pelo menos expressar a

solução em termos de uma integral.

3.1 Eq. Homogêneas Coeficientes Constantes

 

 

 

 0 

 p t y q t y

y P

 

t yQ

 

t y R

 

t y  0

 Os esforços neste momento serão concentrados em

equações de 2ª ordem com os coeficientes P, Q e R

constantes, pois podem ser facilmente resolvidas em

termos de funções elementares do cálculo.

0      by cy y a

Capítulo 3: Equações Diferenciais de Segunda Ordem

 Resolva a equação:

3.1 Eq. Homogêneas Coeficientes Constantes

0  

 y

y

Para este caso tem-se: a = 1, b = 0 e c = 1. Uma função com a propriedade que a sua derivada segunda seja igual a ela mesma no cálculo será:

t e y₁  _e y₂  et Da mesma forma: t e y₁  2 _e y₂  5et

De maneira que a solução mais geral possível seria:

que por sua vez satisfazem a equação diferencial. Também

qualquer soma das soluções também será uma solução e

portanto, t e c y c_{1 1}  _{1 e} c₂y₂  c₂et

 

_{t c y}

 

_{t c e}t _{c e} t y c y  _{1 1}  _{2 2}  ₁  ₂ 

 

0  2 y y

 

0  1

Aplicando as condições de contorno:

2.1 Eq. Homogêneas Coeficientes Constantes

 

0  2 y

 

0  1  y

 

0 0 2 2 0 1    _{c e c e} y   c₁  c₂  2  y

 

0  c₁e0 c₂e0  1  c₁  c₂  1 2 1 1  c e 2 3 2  c

Aplicando os valores das constantes na solução geral, obtém-se a solução da curva integral particular:

t t _e e y    2 3 2 1

Capítulo 3: Equações Diferenciais de Segunda Ordem

Retornando a equação mais geral de coeficientes constantes Esta apresenta coeficientes constantes e reais arbitrários.

2.1 Eq. Homogêneas Coeficientes Constantes

0      by cy y a

Suponha que é solução, onde r é uma parâmetro a ser

determinado . Sabendo que, e ,

substituindo na equação diferencial, obtém-se:

rt e y  rt re y  y  r2ert 0 2_ert _brert _{ ce}rt _ ar 



ar2 br  c



ert  0

Esta última equação é chamada de equação característica da

equação diferencial. O parâmetro r é raiz da equação

polinomial. Então, é solução da equação diferencial. Como esta equação polinomial é do 2º grau com coeficientes reais, suas raízes podem ser: reais e distintas, reais e iguais

e complexas conjugadas.

Como , então, .ert  0 ar2 br  c  0

rt

e y 

Considerando, o caso que as raízes são reais e distintas, r₁ e

r₂ , onde . Então, e são duas soluções da equação diferencial , logo,

2.1 Eq. Homogêneas Coeficientes Constantes

2 1 r r  y

 

t er1t 1 

 

t r e t y 2 2  0      by cy y a

 

_{t c y}

 

_{t c e}r t _{c e}r t y c y 1 2 2 1 2 2 1 1     t r t r _{c r e} e r c y 1 2 2 2 1 1   

A fim de verificar a validade da solução, a solução será

diferenciada e substituída na equação diferencial original,

então, e _{y c r e}r₁t _{c r}2_er₂t 2 2 2 1 1   

Substituindo na equação diferencial, obtém-se,





1





2 0 2 2 2 2 1 2 1 1            _{by cy c ar br c e}r t _{c ar br c e}r t y a

Ao aplicar-se raízes nas equações polinomiais, estas se

anularão, pois 0 1 2 1 br  c  ar e 2 0 2 2 br c  ar

Capítulo 3: Equações Diferenciais de Segunda Ordem

Para encontrar-se o elemento particular da família de soluções , que satisfaça as condições iniciais

3.1 Eq. Homogêneas Coeficientes Constantes

 

_{t c e}r t _{c e}r t y 1 2 2 1  

 

t₀ y₀ y  _{e y}

 

_t0  _y0

Fazendo, t = t₀ e y = y₀ na solução geral, obtém-se:

 

t₀ c₁e 1 0 c₂e 2 0 y₀

y  r t  r t 

Semelhantemente, t = t₀ e y´ = y´₀ na solução geral, obtém-se:

 

t₀ c₁ r₁e 1 0 c₂ r₂e 2 0 y₀

y  r t  r t  

Resolvendo para c₁ e c₂, tem-se:

0 1 . 2 1 2 0 0 1 t r e r r r y y c      e . 2 0 2 1 0 1 0 2 t r e r r y r y c     

Válido . Desta forma, é sempre possível determinar c₁

e c₂ de modo que as condições sejam satisfeitas, somente existe uma escolha possível destas para um dado conjunto

de condições iniciais.

2 1 r

r 

2.1 Eq. Homogêneas Coeficientes Constantes

Ex₁ - Encontre a solução geral da equação abaixo:

0 6 5      y y y

Ex₂ - Encontre a solução para o problema de valor inicial

0 6 5     y y y _, y

 

0  2 _e y

 

0  3 0 2 4 6 0 1 2 3 y x y(t) = 9e-2t - 7e-3t

Capítulo 3: Equações Diferenciais de Segunda Ordem

2.1 Eq. Homogêneas Coeficientes Constantes

Ex₄ – Determine o ponto de máximo no gráfico do exemplo 2 Ex₃ - Encontre a solução para o problema de valor inicial

0 3 8 4y y y  , y

 

0  2 _e y

 

0  3 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 0 1 2 3 y x

 Observações: Para a equação de coeficientes arbitrários tem-se:

 Quando as raízes são diferentes, a solução geral é a soma de duas funções exponenciais;

 Quando t aumenta a solução em módulo ou tende a zero, quando os expoentes são negativos, ou cresce rapidamente, quando pelo menos um expoente é positivo;

 Existe um terceiro caso menos freqüente, a solução tende a uma constante se um dos expoentes for nulo e o outro

negativo;

 Posteriormente retomaremos para o caso de raízes reais e

iguais e conjugados complexos.

Capítulo 3: Equações Diferenciais de Segunda Ordem

3.2 Soluções de Eq. Lineares Homogêneas

 Voltemos ao caso das equações diferenciais com

coeficientes constantes a, b e c. 0      by cy y a

 No desenvolvimento da teoria das equações diferenciais

lineares é conveniente o uso de um operador diferencial

L[Φ]_{ Definição:}. _{Sejam p e q funções contínuas num intervalo}

aberto I, isto é, para contendo os intervalos de +∞ e -∞. Então, qualquer função diferenciável duas vezes em I, define-se operador diferencial por,

   t 

 

y,t 

 

  p

 

t  q

 

t  L   

 O valor de L[Φ] num ponto t será,

 

 

t

         

t p t t q t t L       

3.2 Soluções de Eq. Lineares Homogêneas

 Ex*: Qual a forma do operador L[Φ] para p(t) = t2, q(t) = 1+t

e Φ(t) = sen 3t.

 É comum encontrar a seguinte notação deste operador em

outras literaturas: q pD D L  2  

 

 

t

 

t p

       

t t q t t t t t



t



t L  _  _  _  _{ }9sen 3 _3 2 cos3 _ 1_ sen3

Capítulo 3: Equações Diferenciais de Segunda Ordem

3.2 Soluções de Eq. Lineares Homogêneas

 Aplicando a equação linear homogênea de segunda ordem,

 Reescrevendo em termos de y e t, obtém-se

 

 

t  0

L 

onde t₀ é um ponto qualquer do intervalo I, y₀ e y´₀ são números reais dados.

 

y  y  p

 

t y  q

 

t y  0

L , y

 

t0  y0 e y

 

t0  y0

 O problema é saber: Se o problema de valor inicial sempre

tem solução; e se pode ter mais de uma solução. Também, se

é possível predizer alguma coisa sobre a forma e estrutura da

3.2 Soluções de Eq. Lineares Homogêneas

 Teorema II.I: Considere o seguinte problema:

onde p, q e g são contínuas em um intervalo aberto I. Então

existe exatamente uma solução deste problema, e a

solução existe em todo o intervalo I.

 

y y p

 

t y q

 

t y g

 

t

L     , y

 

t0  y0 e y

 

t0  y0

 

t

y 

Este teorema afirma que:

 Existe uma solução;

 O problema de valor inicial apresenta apenas uma solução;

 A solução de está definida em todo o intervalo I, onde

os coeficientes são contínuos, e onde é pelo menos duas

vezes diferenciável.

 

t

Capítulo 3: Equações Diferenciais de Segunda Ordem

3.2 Soluções de Eq. Lineares Homogêneas

Ex₁.: Encontre o maior intervalo no qual a solução de valor

inicial certamente existe.



_t2 _3_t



_y_{t y}_



_{t }3



_{y } 0 _{, y}

 

₁  _{2 e y}

 

₁ ₁

Ex₂.: Encontre a única solução do problema de valor inicial, onde p e q são contínuas no intervalo aberto I contendo t₀.

 



 

 0 

 p t y q t y

y , y

 

t0  0 e y t

 

0  0

Pela parte referente a unicidade do Teorema II.I, a única solução do problema que satisfaz as condições iniciais para todo t é .y  t

 

₀  0

3.2 Soluções de Eq. Lineares Homogêneas

 Suponha que y₁ e y₂ são duas soluções da equação abaixo:

0 ]

[y₁  y₁ py₁  qy₁ 

L e L[y₂]  y₂  py₂  qy₂  0

Assim, podem-se gerar outras soluções pela combinação

linear de y₁ e y₂ , então:

 Teorema II.II: Princípio da Superposição: Se y₁ e y₂ são

solução da equação diferencial abaixo,

então a combinação linear de também é uma

solução, quaisquer que sejam os valores de c₁ e c₂.

 

y  y p

 

t y q

 

t y  0 L 2 2 1 1y c y c 

Capítulo 3: Equações Diferenciais de Segunda Ordem

3.2 Soluções de Eq. Lineares Homogêneas

 Conclui-se do teorema que qualquer múltiplo da solução também é solução, inclusive a fundamental zero.

Para demonstrar o Teorema II.II basta substituir as soluções no operador L[y], logo

  

y  L c₁y₁  c₂y₂







c₁y₁  c₂y₂



  p



c₁y₁ c₂y₂



  q



c₁y₁  c₂y₂



 0

L

Manipulando algebricamente equação acima, obtém-se

  

y  L c₁y₁ c₂y₂



 c₁



y₁ py₁  qy₁



 c₂



y₂  py₂  qy₂



 0 L Então,

  

y  L c₁y₁ c₂y₂



 c₁L

 

y₁ c₂L

 

y₂  0 L Finalmente,



c₁y₁  yc_{2 2}



 0 L

3.2 Soluções de Eq. Lineares Homogêneas

 A próxima pergunta a respeito da solução, é se estão todas as possíveis soluções inclusas em ,ou, se

podem existir soluções com formas diferentes1 1 2 2?

y c y

c

y  

 Para responder a estes questionamentos, basta examinar as constantes c₁ e c₂ da solução acima, que podem ser

escolhidas de forma que a solução satisfaça as condições

iniciais.

 

t₀ y₀ y  _e y

 

t₀  y₀ , 2 2 1 1y c y c y   logo,

 

_{0 2 2}

 

_{0 0} 1 1y t c y t y c   _e c₁y₁

 

t₀ c₂y₂

 

t₀  y₀

Resolvendo as equações para c₁ e c₂, obtém-se

 

 

   

_{0 2 0 1}

   

_{0 2 0} 1 0 2 0 0 2 0 1 t y t y t y t y t y y t y y c        e

 

 

   

_{0 2 0 1}

   

_{0 2 0} 1 0 1 0 0 1 0 2 t y t y t y t y t y y t y y c        

Capítulo 3: Equações Diferenciais de Segunda Ordem

3.2 Soluções de Eq. Lineares Homogêneas

 Em termos de determinantes, tem-se

Com estes valores c₁ e c₂ satisfazem as condições iniciais bem como a equação diferencial. O determinante dividindo a

equação é chamado de Wronskiano das soluções, em

homenagem a Jósef Maria Höené-Wronski (1776-1853). e

 

 

 

 

 

_{0 2}

 

₀ 1 0 2 0 1 0 2 0 0 2 0 1 t y t y t y t y t y y t y y c     

 

 

 

 

 

_{0 2}

 

₀ 1 0 2 0 1 0 0 1 0 0 1 2 t y t y t y t y y t y y t y c     



 

 

_{ }

 

_{ }

₁

   

_{0 2 0 1}

   

_{0 2 0} 0 2 0 1 0 2 0 1 0 2 1, y t y t y t y t t y t y t y t y t y y W       

3.2 Soluções de Eq. Lineares Homogêneas



,

 

 

_{ }

 

_{ }

₁

   

_{0 2 0 1}

   

_{0 2 0} 0 0 2 0 1 0 2 0 1 0 2 1  _{ }  y t y t  y t y t  t y t y t y t y t y y W

 Teorema II.III: Suponha que y₁ e y₂ são duas soluções da

equação abaixo,

 

y  y p

 

t y q

 

t y  0

L

e que o wronskiano,

não se anula, no ponto t₀, onde são dadas as condições

iniciais,

 

t₀ y₀

y  _e y

 

t₀  y₀

Então, existe uma escolha das constantes c₁ e c₂ para as

quais satisfaz a equação diferencial e as

condições iniciais. 2 2 1 1y c y c y  

Capítulo 3: Equações Diferenciais de Segunda Ordem

3.2 Soluções de Eq. Lineares Homogêneas

Ex₃.: Encontre o wronskiano de y₁ e y₂. da equação diferencial a seguir, 0 6 5      y y y

A equação apresenta a seguinte solução,

 

_{t e} t

y₁  2 e y

 

t e 3t 2





Logo, o wronskiano será,



 

 

_{ }

 

_{ }

3 2 0 3 2 , _{2 3} 5 5 5 3 2 2 1 2 1 2 1                    t t t t t t t e e e e e e e t y t y t y t y t y y W

Portanto, para todos os valores de t, y₁ e y₂ podem ser usadas para construir soluções da equação diferencial dada para quaisquer condições iniciais prescritas.

3.2 Soluções de Eq. Lineares Homogêneas

 Teorema II.IV: Justificativa para a expressão “Solução

Geral” para a combinação linear de soluções, .

 

y  y  p

 

t y q

 

t y  0

L

Se y₁ e y₂ são soluções da equação diferencial abaixo,

 A prova deste teorema é bastante simples. Para encontrar

a solução geral ou o conjunto fundamental de soluções,

basta achar apenas duas soluções da equação dada, com o

wronskiano diferente de zero.

2 2 1 1y c y c y  

e se existe um ponto t₀ onde y₁ e y₂ são diferentes de zero,

então a família de soluções, com coeficientes

arbitrários c₁ e c₂ inclui todas as soluções da equação

diferencial. 2 2 1 1y c y c y  

Capítulo 3: Equações Diferenciais de Segunda Ordem

3.2 Soluções de Eq. Lineares Homogêneas

Ex₄.: Suponha que e são duas soluções da equação . Mostre que ela formam um conjunto fundamental de soluções se .

 

_{t e}r t y 1 1 

 

t r e t y 2 2  Calcula-se o wronskiano,



 

 

_{ }

 

_{ }





r r t t r t r t r t r e r r e r e r e e t y t y t y t y t y y W 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1,       

 

y  y  p

 

t y  q

 

t y  0 L 2 1 r r 

Como a função exponencial nunca se anula, e supõe-se que , o wronskiano é diferente de zero para todo t. Logo,

y₁ e y₂ formam um conjunto fundamental de soluções.

0

2 1  r 

3.2 Soluções de Eq. Lineares Homogêneas

Ex₅.: Mostre que e formam um conjunto fundamental de soluções da equação,

 

21 1 t t y  2

 

1   t t y Calcula-se o wronskiano,



 

 

_{ }

 

_{ }

2 3 2 3 2 3 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 1 ,                 t t t t t t t t y t y t y t y t y y W 0 3 2t2y  t y y  para t  0

Ao substituir-se as soluções y₁ e y₂ na equação diferencial, a

mesma deve zerar,

0 1 2 3 2 1 2 1 3 4 1 2 2 1 2 1 2 1 2 3 2 _{ }     _{  }                 t t t t t t e,

   

2 3



4 3 1



0 2t2 t3  t t2 t1    tt 

Capítulo 3: Equações Diferenciais de Segunda Ordem

3.2 Soluções de Eq. Lineares Homogêneas

Como o W ≠ 0, para todo t > 0, conclui-se que y₁ e y₂ formam

um conjunto fundamental de soluções.

Muitas vezes uma tarefa difícil e um questionamento natural, se uma equação diferencial da forma,

sempre apresenta uma conjunto fundamental de soluções. O

seguinte teorema responde a este questionamento.

 

y  y  p

 

t y  q

 

t y  0

3.2 Soluções de Eq. Lineares Homogêneas

 Teorema II.V: Considere a equação diferencial,

cujos coeficientes p e q são contínuos em algum intervalo aberto I. Escolha algum ponto t₀ em I. Seja y₁ a solução da

equação diferencial que satisfaz as condições iniciais

e seja y₂ a solução da equação diferencial que satisfaz as

condições iniciais

Então, y₁ e y₂ forma um conjunto fundamental de soluções.

 

y  y  p

 

t y  q

 

t y  0 L

 

t₀ 1 y _e y t

 

₀  0

 

t₀  0 y _e y t

 

₀ 1

Capítulo 3: Equações Diferenciais de Segunda Ordem

3.2 Soluções de Eq. Lineares Homogêneas

A existências das funções y₁ e y₂ é garantida pelo Teorema

II.I. Para provar que formam um conjunto fundamental de

soluções basta calcular o wronskiano em t₀.



 

 

_{ }

 

_{ }

1 1 0 0 1 , 0 2 0 1 0 2 0 1 0 2 1  _{ }   t y t y t y t y t y y W

Como o W ≠ 0, em t₀, conclui-se que y₁ e y₂ de fato formam

3.2 Soluções de Eq. Lineares Homogêneas

Ex₆.: Encontre o conjunto fundamental de soluções para a equação, empregando o ponto inicial t = t₀.



 

 

_{ }

 

_{ }

cosh senh 1 cosh senh senh cosh , 2 2 4 3 4 3 4 3  _{ }   t  t  t t t t t y t y t y t y t y y W 0    y y t e y₁  _{y  e}t 2 e

A solução para a equação acima é,

t t _{c e} e c y  ₁  ₂   Para, e y

 

0 1 y

 

0  0  y et e t cosht 2 1 2 1 3     Para, e y

 

0  0 y

 

0 1  y et e t _senht 2 1 2 1 4     Calculando o wronskiano de y₃ e y₄,

Como o wronskiano de y₃ e y₄ é diferente de zero, estas

funções formam um conjunto fundamental de soluções

Capítulo 3: Equações Diferenciais de Segunda Ordem

3.2 Soluções de Eq. Lineares Homogêneas

t k

t k

y  ₁ cosh  ₂senh

Desta forma escreve-se o conjunto fundamental de soluções como,

3.3 Independência Linear e o Wronskiano

0 2 12 1 11x  a x  a

Relacionam-se as idéias de solução geral e um conjunto

fundamental de soluções ao conceito de independência

linear, que é objeto de estudo da álgebra linear. Em equações

diferenciais, torna-se importante para equações de ordem

maior e sistemas de equações diferenciais.

Considere, 0 2 22 1 21x  a x  a

Seja, o determinante da matriz dos coeficientes. Então, se x₁ = 0, x₂ = 0 for a única solução do sistema de equações, se e somente se, . Além disso, o sistema tem

soluções não-nulas se, e somente se, .

21 12 22 11a a a a    0   0  

Capítulo 3: Equações Diferenciais de Segunda Ordem

3.3 Independência Linear e o Wronskiano

 

₂

 

0

1 f t  k g t 

k

Duas soluções f e g são linearmente dependente num intervalo I se existem duas constantes k₁ e k₂ com uma delas

diferente de zero, de tal forma que,

para todo t em I. As funções f e g são linearmente

independente num intervalo I, se não forem linearmente

dependentes neste intervalo, ou seja, somente é válida para todo t em I, se k₁ = k₂ = 0.

3.3 Independência Linear e o Wronskiano

 Ex.₁: Determine se as funções e são linearmente dependentes ou independentes num intervalo arbitrário.

t

sen _cos



_{t  2}



As funções dadas são linearmente dependentes em qualquer intervalo uma vez que, para todo t, foram escolhidas as constantes k₁ = 1 e k₂ = -1. 0 2 cos sen ₂ 1          k t  t k 0 2 cos sen          t  t

Capítulo 3: Equações Diferenciais de Segunda Ordem

3.3 Independência Linear e o Wronskiano

 Ex.₂: Mostre que as funções e são linearmente

independentes em qualquer intervalo.

t

e e2t

Para demonstração suponha que,

0 e e 2 2 1   t t _k k

para todo t no intervalo I. Deve-se mostrar que k₁ = k₂ = 0, escolhendo dois pontos no intervalo I, t₀ e t₁, onde t₀ ≠ t₁.

0 e e 0 2 0 2 1   t t _k k 0 e e 1 2 1 2 1   t t _k k 





0 1 1 0 0 1 1 0 2t t 2t t t t t t _{e e e e e e e} e     

Como t₀ ≠ t₁, o determinante é não-nulo e portanto as respectivas funções são linearmente independentes, pois a única possibilidade determinante nulo seria, k₁ = k₂ = 0.

3.3 Independência Linear e o Wronskiano

 Teorema III.I: Independência e Dependência Linear do

Wronskiano. Se f e g são funções diferenciáveis num intervalo aberto I e se em algum ponto t₀ em I, então f e g são linearmente independentes em I. Além disso, se f e g são linearmente dependentes em I, então para todo t em I.

Para demonstrar o teorema III.I basta considerar uma combinação linear e sua derivada



f ,g

 

t₀  0 W



f ,g

 

t₀  0 W

 

_{0 2}

 

₀ 0 1 f t  k g t  k

 

_{0 2}

 

₀ 0 1 f  t  k g t  k

O determinante da matriz dos coeficientes é precisamente, que é diferente de zero por hipótese. Portanto, a única solução do sistema seria k₁ = k₂ = 0, para que f e g

fossem linearmente dependentes.



f ,g

 

t₀

Capítulo 3: Equações Diferenciais de Segunda Ordem

3.3 Independência Linear e o Wronskiano

A segunda parte do teorema é uma conseqüência imediata da primeira. Suponha que f e g são linearmente dependentes e que a conclusão é falsa, ou seja, que W(f,g) não é identicamente nulo em I. Então existe um ponto t₀ tal que W(f,

g) ≠ 0. Pela primeira parte do Teorema III.I implica que f e g

são linearmente independentes, uma contradição que

completa a demonstração.

Ex*.: Mostre que as funções e são linearmente independentes em qualquer intervalo.

t e _e2t



 

0 2 , 0 0 0 0 0 3 2 2 0    t t t t t e e e e e t g f W

Portanto, as funções acima são linearmente independentes em qualquer intervalo I.

3.3 Independência Linear e o Wronskiano

O teorema seguinte fornece uma fórmula explicita simples para o wronskiano de duas soluções quaisquer de tais soluções, mesmo que estas soluções não sejam conhecidas.

Teorema de Abel III.II : Se y₁ e y₂ são duas soluções da equação diferencial,



y y

 

t  ce p t dt W ₁, _{2 0}

onde p e q são funções contínuas num intervalo aberto I, então o wronskiano é dado por

 

y  y  p

 

t y  q

 

t y  0

L



y₁, y₂

 

t₀ W

onde c é uma constante determinada que depende de y₁ e y₂, mas não de t. Além disso, ou é zero para todo t

em I, se c = 0, ou nunca se anula em I, se c ≠ 0.



y₁, y₂

 

t₀

Capítulo 3: Equações Diferenciais de Segunda Ordem

3.3 Independência Linear e o Wronskiano

A demonstração do teorema de Abel, inicia-se pela observância das soluções y₁ e y₂ satisfazerem a equação diferencial.

Multiplicando a primeira equação por –y₂ e a segunda y₁ e somando as equações resultados, obtém-se,



y₁y₂  y₁y₂

   

 p t y₁y₂  y₁y₂



 0

Seja, e observe que então, W

 

t W



y₁, y₂

 

t

 

₂

 

₂ 0 2  p t y  q t y  y

 

₁

 

₁ 0 1 p t y  q t y  y

 

t y₁y₂ y₁y₂ W    

 



 

 0  _{t p t W} W

Equação linear de primeira ordem com solução,

 

_ p t dt

ce t

3.3 Independência Linear e o Wronskiano

 Ex.₃: Nos exemplos anteriores verificamos que y₁(t) = t 1/2 e

y₂(t) = t -1 são soluções da equação,

 

t  ce p t dt W

para t  0

Verifique se o wronskiano de y₁ e y₂ é dados pela equação abaixo,

0 3

Capítulo 3: Equações Diferenciais de Segunda Ordem

3.3 Independência Linear e o Wronskiano

 Uma outra possibilidade de apresentação do Teorema III.I, pode ser estabelecida se as duas funções envolvidas forem soluções de uma equação diferencial linear homogênea de

segunda ordem.

 

y  y  p

 

t y q

 

t y  0

L

 Teorema III.III – Seja y₁ e y₂ soluções da equação

onde p e q são contínuas num intervalo aberto I. Então, y₁ e

y₂ são linearmente dependentes em I se, e somente se, W(y₁,y₂)(t) for zero para todo t em I. De outro modo, y₁ e y₂

são linearmente independentes se, e somente se, W(y₁,y₂)(t)

3.3 Independência Linear e o Wronskiano

 Para provar o Teorema III.III, observe que ele já foi parcialmente provado no Teorema III.I. Falta somente provar a recíproca, ou seja, se y₁ e y₂ são linearmente dependentes se o W(y₁,y₂)(t) é zero para todo t em I, então do contrário y₁ e

y₂ são linearmente independentes.

 Seja t₀ qualquer ponto em I, então por hipótese, W(y₁,y₂)(t) = 0. Como conseqüência, o sistema de equações

 

_{2 2}

 

0 1 1y t c y t  c

 

_{2 2}

 

0 1 1y t  c y t  c

para c₁ e c₂ tem uma solução não-trivial. Utilizando estes valores para as constantes c₁ e c₂, seja . Então φ é uma solução da equação diferencial e das

condições iniciais abaixo,

 

t  c₁y₁

 

t c₂y₂

 

t



 

y  y p

 

t y q

 

t y  0

Capítulo 3: Equações Diferenciais de Segunda Ordem

3.3 Independência Linear e o Wronskiano

e pelo sistema de equações apresentado, φ também satisfaz

as condições iniciais,

 

t₀  0

 _e  t

 

₀  0

Desta forma, pela parte referente a unicidade do Teorema II.I, isto fornece para todo t em I. Como a solução seguinte apresenta pelo menos uma das constantes c₁ e c₂ não-nulas, isto significa que y₁ e y₂ são

linearmente dependentes. A outra afirmação do teorema

segue imediatamente.

 

t  0



 

t  c₁y₁

 

t c₂y₂

 

t

3.3 Independência Linear e o Wronskiano

Para resumir os fatos sobre conjuntos fundamentais de

soluções, wronskianos e independência linear, podemos

sintetizar da seguinte forma,

Sejam y₁ e y₂ soluções da equação,

 

y  y  p

 

t y q

 

t y  0

L

onde p e q são contínuas num intervalo aberto I. Então as quatro afirmações a seguir são equivalentes:

i. As funções y₁ e y₂ formam um conjunto fundamental de soluções em I;

ii. As funções y₁ e y₂ são linearmente independentes; iii. W(y₁,y₂)(t₀) ≠ 0 para algum t₀ em I;

Capítulo 3: Equações Diferenciais de Segunda Ordem

3.3 Independência Linear e o Wronskiano

 Ex.₄: Determine se o par de funções dadas é linearmente dependente ou independente, a. b.

 

t t t f  2 5 e g

 

t  t2 5t

 

t e t

f  t cos e g

 

t  etsen  t para   0

 Ex.₅: Encontre o wronskiano de duas soluções da equação diferencial abaixo sem resolver as equações,

a. b. [Equação de Bessel]



2





2



0 2_y _{t t  y} _{ t  y } t



2 2



0 2_y _{ xy}_{ x v y } x

3.3 Independência Linear e o Wronskiano

 Ex.₄: Determine se o par de funções dadas é linearmente dependente ou independente, a. b.

 

t t t f  2 5 e g

 

t  t2 5t

 

t e t

f  t cos e g

 

t  etsen  t para   0

 Ex.₅: Encontre o wronskiano de duas soluções da equação diferencial abaixo sem resolver as equações,

a. b. [Equação de Bessel]



2





2



0 2_y _{t t  y} _{ t  y } t



2 2



0 2_y _{ xy}_{ x v y } x

Capítulo 3: Equações Diferenciais de Segunda Ordem

3.4 Raízes Complexas da Eq. Característica

 Dado a equação,

onde a, b e c são números reais dados. Utilizando-se, com solução então r tem que ser a raiz da equação

característica, como visto anteriormente, logo

0      by cy y a 0 2 _{br c } ar

Se as raízes r₁ e r₂ são reais e distintas, o que ocorre sempre que o da equação de Basca for positivo. Então, como visto a solução geral será,

 

_{t e}rt y  ac b2 4  

 

_{t c e} r t _{c e} r t y 1 2 2 1  

3.4 Raízes Complexas da Eq. Característica

Suponha agora que é negativo. Então as raízes da equação característica são agora números complexos

conjugados, escritos da seguinte forma,

ac b2 _4   e r₂   i   i r₁  

onde µ e λ são números reais. As expressões

correspondentes para y são as seguintes,

 

_{t e} i t

y₁    e y₂

 

t  eit

A primeira medida é analisar o significado destas expressões que envolvem o cálculo de uma função exponencial com

expoente complexo. Suponha que, λ = -1, µ = 2 e t = 3, então,

 

_{t e} i

y₁  36

O significado de elevar um número a uma potência complexa

Capítulo 3: Equações Diferenciais de Segunda Ordem

3.4 Raízes Complexas da Eq. Característica

 Fórmula de Euler: Baseando-se num método de séries

infinitas será definida a função exponencial de um número complexo.

Tomando por base o cálculo da série de Taylor para a função

et em torno de t = 0, tem-se



   0 ! n n t n t e ,   t  

Partindo do princípio que seja factível a substituição de t

pelo complexo it,

Considerando, i2 _{= -1, i}3 _{= -i e i}4 _{= i, e separando a parte}

imaginária da parte real,

 

 

 



 









              1 1 2 1 0 2 0 2 1! 1 ! 2 1 ! _n n n n n n n n it n t i n t n it e

3.4 Raízes Complexas da Eq. Característica

A expansão em Séries de Taylor do cos t e do sen t para t = 0 são,

, logo,

Está equação chama-se Fórmula de Euler e é uma relação matemática muito importante.

 

 



    0 2 ! 2 1 cos n n n n t t



 

_

_

      1 1 2 ! 1 2 1 sen n n n n t t t i t eit  cos  sen Algumas propriedades: t i t eit _{ cos  sen} t i t eit  cos  sen 

Capítulo 3: Equações Diferenciais de Segunda Ordem

3.4 Raízes Complexas da Eq. Característica

Desta forma, a exponencial de um número complexo se torna,

Aplicando os valores anteriores,

i ie

e

e36i _ 3 _cos6 3_{sen 6  0,478040,0139113}

  _e



_{t i t}



_{e t ie t}

3.4 Raízes Complexas da Eq. Característica

 Soluções Reais

As funções y₁(t) e y₂(t) dadas pela relações complexas seguintes e são soluções da equação quando as raízes da equação

característica são números complexos . As soluções

y₁(t) e y₂(t) são números complexos, ao passo que, preferem-se as soluções reais se possível, uma vez que a própria equação diferencial somente apresenta coeficientes reais. Tais soluções podem ser encontradas como conseqüência direta do Teorema II.II, que afirma que y₁(t) e y₂(t) são soluções da equação diferencial, então qualquer combinação

linear destas também é solução.

 

_{t e} i t y₁    y2

 

t  eit 0      by cy y a   i

Capítulo 3: Equações Diferenciais de Segunda Ordem

3.4 Raízes Complexas da Eq. Característica

Operando a soma e a diferença das soluções, obtém-se,

 

t y

 

t e



t i t



e



t i t



e t y₁  ₂  t cos  sen   t cos  sen   2 t cos

 

t y

 

t e



t i t



e



t i t



ie t y₁  ₂  t cos  sen   t cos  sen   2 tsen 

e,

Desprezando as constantes 2 e 2i, tem-se um par de soluções,

 

t e t

u  t cos  e v

 

t _et_sen  t

Sendo u e v as partes real e imaginária de y₁. O wronskiano

de W(u,v)(t) pode ser calculado facilmente,

  

_{u v t e} t

W ,   2

Portanto, o wronskiano não se anula para todo t, e por conseguinte u e v formam um conjunto fundamental de soluções.

3.4 Raízes Complexas da Eq. Característica

Outra conseqüência, se as raízes da equação característica

são números complexos , com , então a solução

geral da equação diferencial será,

onde c₁ e c₂ são constantes arbitrárias. Observe ainda que esta solução pode ser escrita tão logo se conheça os valores das constantes µ e λ .   i   0 0      by cy y a

 

t c e t c e t y t _cos t_sen  2 1  

Capítulo 3: Equações Diferenciais de Segunda Ordem

3.4 Raízes Complexas da Eq. Característica

 Ex.₁: Encontre a solução geral de .

A equação característica pode ser escrita da forma,

0      y y y 0 1 2 _{ r  } r

Suas raízes são,





2 3 2 1 2 3 1 1 . 2 1 . 1 . 4 1 1 i r           

Logo conclui-se que os parâmetros são,

2 1    e 2 3  

Aplicando na solução geral,

 

t c e



t



c e



t



y t _{cos 3 2} t 2_{sen 3 2} 2 2 1   _ 

3.4 Raízes Complexas da Eq. Característica

 Ex.₁: Encontre a solução geral de .y y  y  0

 

t c e



t



c e



t



y t _{cos 3 2} t 2_{sen 3 2} 2 2 1   _  0 2 4 6 8 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 y( t) t

Capítulo 3: Equações Diferenciais de Segunda Ordem

3.4 Raízes Complexas da Eq. Característica

 Ex.₂: Encontre a solução geral de .

A equação característica pode ser escrita da forma,

0 9    y y 0 9 2 _{ } r

Suas raízes são,

3

i r  

Logo conclui-se que as constantes são,

0 

 e   3

Aplicando na solução geral,

 

t c t c t y  ₁ cos3  ₂ sen3

3.4 Raízes Complexas da Eq. Característica

 Ex.₂: Encontre a solução geral de .y9y  0

 

t c t c t y  ₁ cos3  ₂ sen3 0 2 4 6 8 10 -3 -2 -1 0 1 2 3 f( t) t

Capítulo 3: Equações Diferenciais de Segunda Ordem

3.4 Raízes Complexas da Eq. Característica

 Ex.₃: Encontre a solução do problema de valor inicial

A equação característica pode ser escrita da forma,

0 145 8 16y y  y  0 145 8 16_r2 _{ r  }

Suas raízes são,

 





_i r 3 4 1 16 . 2 145 . 16 . 4 8 8 2       

Logo conclui-se que,

4 1 

 e   3

Aplicando na solução geral,

 

t c e t c e t y t _cos3 t 4_sen3 2 4 1  

 

0  2 y e y

 

0 1 ,