EM aula2

Elementos de Matemática

Cleide Martins

DMat - UFPE - 2018.1

Objetivos

1 Estudar formas sistemáticas de demonstrações

Faremos aqui alguns exercícios envolvendo resultados bem conhecidos acerca de números e conjuntos.

Números Racionais

Assumindo que conhecemos bem o conjunto dos números inteiros Z, apresentamos uma denição para um número racional.

Denição

Dizemos que um número r é racional se existem inteiros a e b com b 6= 0 tais que rb = a. Escrevemos

r = a

Observações

Antes de prosseguir, façamos algumas observações

os números a e b da denição não são únicos. Por exemplo para r = 1

3 temos a = 1 e

b = 3mas temos também

−1.1 3 = −3; 6. 1 3 = 2; 18. 1 3 = 6; etc de fato, se r = a b e m 6= 0 então r = ma mb Dizemos que r = a

b está na forma irredutível se b > 0 e os únicos divisores que a e b têm

em comum são 1 e −1. Isso equivale a dizer que b é o menor inteiro positivo tal que r = a b.

Observações

Antes de prosseguir, façamos algumas observações

os números a e b da denição não são únicos. Por exemplo para r = 1

3 temos a = 1 e

b = 3mas temos também

−1.1 3 = −3; 6. 1 3 = 2; 18. 1 3 = 6; etc de fato, se r = a b e m 6= 0 então r = ma mb Dizemos que r = a

b está na forma irredutível se b > 0 e os únicos divisores que a e b têm

em comum são 1 e −1. Isso equivale a dizer que b é o menor inteiro positivo tal que r = a b.

Observações

Antes de prosseguir, façamos algumas observações

os números a e b da denição não são únicos. Por exemplo para r = 1

3 temos a = 1 e

b = 3mas temos também

−1.1 3 = −3; 6. 1 3 = 2; 18. 1 3 = 6; etc de fato, se r = a b e m 6= 0 então r = ma mb Dizemos que r = a

b está na forma irredutível se b > 0 e os únicos divisores que a e b têm

em comum são 1 e −1. Isso equivale a dizer que b é o menor inteiro positivo tal que r = a b.

Exercícios

Escreva a forma irredutível dos seguintes racionais

1 _{0, 4} 2 1, 5 3 4 2 4 5 −3 5 −6 18

Demonstração por Redução ao Absurdo

Um dos pilares fundamentais da Lógica é o fato

Uma armação ou é verdadeira ou é falsa, não existe meio termo

Para explicar como funciona a técnica de demonstração por redução ao absurdo (ou por contradição) vamos utilisar o símbolo ∼ A para indicar a negação da armação A. Consideremos então duas armações (Matemáticas) A e B. Queremos mostrar, usando redução ao absurdo, que "se A é verdadeira então B também é."

Matematicamente

A ⇒ B

por redução ao absurdo

Quando armamos "se A é verdade então..."

partimos do pressuposto que a armação A é verdadeira.

Na demonstração de A ⇒ B por redução ao absurdo, supomos que a armação B é falsa e montamos uma cadeia de consequências lógicas dessa hipótese até concluir que a armação A é falsa. Como A e ∼ A não podem ser verdadeiras simultaneamente, temos uma contradição que só pode ter sido consequência de assumirmos que B é falsa, logo B tem que ser verdadeira. Esquematicamente

A ⇒ B Prova: Suponha ∼ B

∼ B ⇒ P1⇒ P2⇒ · · · ⇒ Pn⇒∼ A

Absurdo!

Exemplo

√

2é irracional

Primeiro vamos escrever esse teorema na forma A ⇒ B considerando as armações A: Todo número racional tem uma forma irredutível a

b

B: √2é irracional

Prova: Suponha ∼ B: √2 é racional. Então P1:

√

2 = a_b com b > 0 e os únicos divisores que a e b têm em comum são 1 e −1. Então

P2: 2 = a 2 b2. Então P3: a2 = 2b2 (a2 é par). Então P4: a é par (a = 2k). Então P5: a2 = 4k2. Então P6: 4k2= 2b2. Então

Exemplo

√

2é irracional

Primeiro vamos escrever esse teorema na forma A ⇒ B considerando as armações A: Todo número racional tem uma forma irredutível a

b

B: √2é irracional

Prova: Suponha ∼ B: √2 é racional. Então P1:

√

2 = a_b com b > 0 e os únicos divisores que a e b têm em comum são 1 e −1. Então P2: 2 = a 2 b2. Então P3: a2 = 2b2 (a2 é par). Então P4: a é par (a = 2k). Então P5: a2 = 4k2. Então P6: 4k2= 2b2. Então

Exemplo

√

2é irracional

Primeiro vamos escrever esse teorema na forma A ⇒ B considerando as armações A: Todo número racional tem uma forma irredutível a

b

B: √2é irracional

Prova: Suponha ∼ B: √2 é racional. Então P1:

√

2 = a_b com b > 0 e os únicos divisores que a e b têm em comum são 1 e −1. Então P2: 2 = a 2 b2. Então P3: a2 = 2b2 (a2 é par). Então P4: a é par (a = 2k). Então P5: a2 = 4k2. Então P6: 4k2= 2b2. Então

Exemplo

√

2é irracional

Primeiro vamos escrever esse teorema na forma A ⇒ B considerando as armações A: Todo número racional tem uma forma irredutível a

b

B: √2é irracional

Prova: Suponha ∼ B: √2 é racional. Então P1:

√

2 = a_b com b > 0 e os únicos divisores que a e b têm em comum são 1 e −1. Então P2: 2 = a 2 b2. Então P3: a2 = 2b2 (a2 é par). Então P4: a é par (a = 2k). Então P5: a2 = 4k2. Então P6: 4k2= 2b2. Então

Exemplo

√

2é irracional

Primeiro vamos escrever esse teorema na forma A ⇒ B considerando as armações A: Todo número racional tem uma forma irredutível a

b

B: √2é irracional

Prova: Suponha ∼ B: √2 é racional. Então P1:

√

2 = a_b com b > 0 e os únicos divisores que a e b têm em comum são 1 e −1. Então P2: 2 = a 2 b2. Então P3: a2 = 2b2 (a2 é par). Então P4: a é par (a = 2k). Então : a2 2_{. Então} P6: 4k2= 2b2. Então

Exemplo

√

2é irracional

Primeiro vamos escrever esse teorema na forma A ⇒ B considerando as armações A: Todo número racional tem uma forma irredutível a

b

B: √2é irracional

Prova: Suponha ∼ B: √2 é racional. Então P1:

√

2 = a_b com b > 0 e os únicos divisores que a e b têm em comum são 1 e −1. Então P2: 2 = a 2 b2. Então P3: a2 = 2b2 (a2 é par). Então P4: a é par (a = 2k). Então P5: a2 = 4k2. Então P6: 4k2= 2b2. Então

Demonstração do Teorema - Continuação

P7: b2 = 2k2 (b2 é par). Então

P8: b é par (b = 2h). Então

P9: a e b têm um divisor comum, 2, diferente de 1 e de −1. Então

∼ P1 (uma contradição).

Note: Em uma prova por redução ao absurdo da armação "se A então B" assume-se que A e ∼ B são verdades e conclui-se que ∼ A é verdade.

Demonstração do Teorema - Continuação

P7: b2 = 2k2 (b2 é par). Então

P8: b é par (b = 2h). Então

P9: a e b têm um divisor comum, 2, diferente de 1 e de −1. Então

∼ P1 (uma contradição).

Note: Em uma prova por redução ao absurdo da armação "se A então B" assume-se que A e ∼ B são verdades e conclui-se que ∼ A é verdade.

Demonstração do Teorema - Continuação

P7: b2 = 2k2 (b2 é par). Então

P8: b é par (b = 2h). Então

P9: a e b têm um divisor comum, 2, diferente de 1 e de −1. Então

∼ P1 (uma contradição).

Note: Em uma prova por redução ao absurdo da armação "se A então B" assume-se que A e ∼ B são verdades e conclui-se que ∼ A é verdade.

Demonstração do Teorema - Continuação

P7: b2 = 2k2 (b2 é par). Então

P8: b é par (b = 2h). Então

P9: a e b têm um divisor comum, 2, diferente de 1 e de −1. Então

∼ P1 (uma contradição).

Note: Em uma prova por redução ao absurdo da armação "se A então B" assume-se que A e ∼ B são verdades e conclui-se que ∼ A é verdade.

Demonstração do Teorema - Continuação

P7: b2 = 2k2 (b2 é par). Então

P8: b é par (b = 2h). Então

P9: a e b têm um divisor comum, 2, diferente de 1 e de −1. Então

∼ P1 (uma contradição).

Note: Em uma prova por redução ao absurdo da armação "se A então B" assume-se que A e ∼ B são verdades e conclui-se que ∼ A é verdade.

Exercícios

1 Prove que, para todo inteiro n, o resto da divisão de n2 por 4 é 0 ou 1. 2 Se n é um inteiro, quais são os restos possíveis na divisão de n2 por 8? 3 Prove que √3₅ é irracional.

4 Prove por redução ao absurdo a armação

P: a soma dos quadrados de três inteiros consecutivos não pode deixar resto −1 na divisão por

12

5 Prove por redução ao absurdo que o cubo do maior de três inteiros consecutivos não pode