Análise da estabilidade de métodos de integração passo a passo

(1)

PASSO A PASSO

Suely da Silva Guimarães

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA OBTEN-ÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM C I BNC IAS (M. Se.)

Aprovada por.

Prof. A ustin---Perrante

/ fj

YV.

Z . .. ...

J.1-.,

ô o' Q ' \ e Ir

Prof. Humberto Lima Soriano

---

-

---"----·

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

(2)

(3)

AGRADECIMENTOS

Ao Prof. Luiz Bevilacqua pelo exemplo, ensinamentos e orientação;

A Augusto Cezar Galeão e Abimael Loula pelas valiosas discussões e contribuições dadas;

A João Lima Rocha pela constante ajuda;

Ao GRADCON, grupo de estudos no qual muito aprendi du rante suas reuniões;

A Anselmo Góis de Andrade, pelo cuidado com que execu tou os desenhos;

A Maria de Lourdes de Almeida pela datilografia do texto;

A Roberto pelo incentivo, apoio e discussões constan-tes durante a confecção da constan-tese;

Ao CNPq, COPPE e Fundação Escola Politécnica da Ba-hia pelo suporte financeiro;

A todos aqueles que contribuiram para a realização desse trabalho.

(4)

SUMÁRIO

Neste trabalho sao estudados os métodos de integração passo a passo Galerkin e Newmark.

Utilizando-se o teorema da equivalência de Lauax e Richtmyer sao estabelecidos critérios de convergência para esses algoritmos de integração numérica.

Finalmente é feito um estudo comparativo dos dois me-todos quando aplicados a um sistema de um grau de liberdade.

(5)

ABSTRACT

ln this work the Galerkin's and Newmark's step-by-step integration methods are studied.

Using the Equivalence Theorem, dueto Lax and Richt-myer, convergence criteria are establi~hêdd to this algorith~.

Finally a comparison between these two methods, when applied to a single degree of freedom system, is done.

(6)

!NDICE

CAPITULO I Solução das equaçoes do Movimento -Instituição dos Métodos de Galerkin

e Newmark . . . • . . . • . . .

I.1 - Considerações Gerais ...•... I.2 - Método de Galerkin ...•. I.3 - Newmark - Método das Acelerações

Generalizadas . . . . I. 4 - Comentários . . . . CAPÍTULO II - Análise da Convergência e

Estabili-dade - Problema sem Amortecimento .. II.1 - Introdução

II.2 - Teorema da Equivalência ...•• II.3 - Problema bem Posto . . . . II.4 - Convergência

II.S - Estabilidade

II.6 - Condição de Consistência ... . II.7 - Verificação da Consistência ... . II.7.1 - Método de Galerkin ... . II.7.2 - Método de Newmark ... . II.8 - Influência das Cargas Externas. II.9 - Análise da Estabilidade ... .

pg. 1 1 3 8 12 14 14 16 16 17 18 18 20 20 22 24 25

(7)

11;10 - Estabilidade do Método de Galerkin ...•.... II.11 - Estabilidade do Método de

Newmark ...•.•... II.12 - Método das Acelerações Li-neares - Método de Wilson II.13 - Erro nas Amplitudes ... . II.14 - Erro no Período ...• CAP!TULO III - Problema com Amortecimento .. .

III. l - Introdução . . . . III. 2 - Newmark . . . . III.3 - Galerkin ....•... CONCLUSÕES

...

BIBLIOGRAFIA ; ...•...••..•... , .. pg. 29 35 40 44 46 48 48 49 54 60 63

(8)

INTRODUÇÃO

Os métodos de integração passo a passo sao largamente usados em dinâmica de estruturas, para a integração numérica das equações diferenciais, por não imporem restrições aos parâmetros físicos - massa, rigidez, amortecimento.

Entre outros, existem os métodos instituídos por Newmark (195 2) [10], Wilson (1968) [13], Gurtin (1964) [14], Argy -ris (1969, 1972) [11, 12], Geradin (1973) [8] e o obtido com a aplicação do princípio de Galerkin no tempo.

Foram feitos vários estudos de estabilidade de méto -dos de integração passo a passo

[2] , [6] , [7] , [8].

Neste traba lho os métodos de Galerkin e Newmark sao comparados, sendo a anã lise da estabilidade feita de acordo com o trabalho de

Richtmyer [1].

Lax e

O estudo desses processos, entretanto, ainda nao está completo, nao existindo um algoritmo ideal que forneça boa apro-ximação, seja incondicionalmente estável, não introduza amorteci mente fictícios ou erros nas frequências, em problemas oscilató-rios.

(9)

CAPITULO I

SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DO MOVIMENTO. INSTITUIÇÃO DOS MIÕTODOS DE GALERKIN .E NEWMARK

I.l - Considerações Gerais

Na análise dinâmica de estruturas necessitamos conhe-cer o campo de deslocamentos

rC:,

t), função da variável espacial r e do tempo t. Admitindo que se possa fazer a separação de va-riãveis

(I. 1)

e,fazendo a discretização espacial quando os sistemas forem con-tínuos (método dos elementos finitos, Ritz ou outro método numéri co), chega-se, aplicando o princípio de Hamilton, ao seguinte pr~ blema de valor inicial:

•

M

x

(t) + e x (t) +

K

x (t) = ~Ct) x_(O) = x -o ~(O) =

Ío

( I. 2 a) ( I. Zb)

(10)

~

~. C e~ sao as matrizes de massa, amortecimento e rigidez, F e o vetor das forças equivalentes e ~(t), iCt), ~(t) os vetores dos deslocamentos, velocidades e acelerações generalizados.

O sistema (I.2) pode ser resolvido por vários métodos numéricos: analise modal, transformada de Laplace, métodos dei~

tegração passo a passo, sendo os Últimos o objeto de nosso estudo nesse trabalho. Corno a variável tempo não é limitada, nos

méto-dos a serem estudaméto-dos a integração direta de (I.2) é feita passo a passo, em intervalos de tempo, por urna relação de recorrência onde os parâmetros no fim de cada intervalo são considerados como valores iniciais para o intervalo subsequente.

Os métodos de integração passo a passo podem ser agr~ pados de acordo com o tipo de aproximação usado:

1) métodos aproximados por diferenças finitas. Entre estes estão os de Newmark, Wilson, acelerações lineares;

2) métodos aproximados por um princípio variacional: Galerkin, Gurtin.

Dentre estes analisaremos detalhadamente os de Newrnark e Galerkin, representativos de cada grupo.

métodos

Com exceçao do método de Gurtin, os métodos de inte-graçao passo a passo não impõem restrições quanto

à

dependência

(11)

das matrizes~.~ e ; com relação ao tempo. Esta é a grande van-tagem desses processos em relação aos outros métodos de solução.

I.2 - Método de Galerkin

A solução ~(t) de (I.2) é expandida em termos de fun-çoes de interpolação e parâmetros nodais:

m x (t) ~

l

Ni(t) i=l e -X. = X -1 N. - funções de interpolação 1 x~ - parâmetros nodais. -1 (I. 3)

Ao substituirmos

x

em (I.2a) introduzimos um erro E.

O sistema (I.Za) com a aproximação x fica:

..

M x +

e

X • + K

-

X _~(t) = E. (I. 4)

Admite-se que as condições (I.Zb) sejam satisfeitas. O critério de aproximação é dado pelo teorema de Galerkin, que es tabelece ser ·O erro mínimo se o mesmo for ortogonal às funções de

in terpolaçãci:

(12)

Na escolha das funções N. temos que garantir a conti

- l

nui dade dos deslocamentos e velocidades, pois a aceleração, segu!!_ da variável no tempo, é a derivada de maior ordem que aparece no funcional obtido de (I.S). Os polinômios cúbicos de Hermite ga-rantem essa continuidade.

~ (ti

e

r.

6) X X. ~n+l

~.

tn ât tnn Figura 1

A equaçao

e

r.

6) pode ser escrita na forma matricial:

~(t)

=

NT W

e

r.

1) onde NT

₌

_{Nl _Nz _N3 _N4} WT _{::n • ~n+l}

=

X X -n -n+l

Substituindo (I.7) e suas derivadas em (I.4), temos: (I.7a)

(13)

Como os valores dos deslocamentos e velocidades no i nício de cada intervalo já são conhecidos, obtidos no passo

an-terior, impomos a ortogonalidade do erro somente em relação as

N { 3} _E _dt ₌ _Ü _{' ou} N 4 {N 3}{MN1

w

+

CN

1

w

+ KN1W - F} dt = O N4

e

1. s)

Desenvolvendo (I.8) ficamos com o sistema de 2N equ~ ções, N o número de graus de liberdade: _.,

~ 11

'

~21

~12

j

~n+l l+ 1:11

~

2 2

l

~n + 1

J

l:

21

que em forma condensada fica:

E22

Su + Ru

--n+l --n =

z

~ :ln+l

ª-1 [-.~

- - - !!::ln

1

(I. 9)

(14)

~11 = Jbt N3~1 dt

o

~21 = jbt D N4~1 dt !:11 =

r

O N3~3dt !:21 =

r

o

N4~3dt onde: • ~l = MN _{- 3}+ SN3 ~2 = ~N4 + SN4 ~3 = ~N1 + SN1 + + + e ~12 = Jbt O N3~2 dt ~22 =

r

O N4~z dt !:12 =

r

N3~4dt

o

!:22 =

r

N4~4dt

o

!N3 !N4 !N1 =

Jbt

~2

o

( I. 11) (I.12) (I.13)

(15)

As matrizes Se R sao de ordem 2N x 2N, sendo N o nu ~ mero de deslocamentos generalizados na discretização espacial.

Para o caso em que~. ~ e ! nao variam com o tempo,as integrais (1.11) e (1.12) são calculadas exatamente e chegamos às matrizes:

s

= R =

J;._

M _ bt C _ llbt2 K lu - Tõ - 210 6 1

_e

9bt K Sbt ~

I

+ 70 -1 il t

_e

13b t 2 Tõ ~ + Tõ

-

420 Quando~.~ e~ K .!l_ M + bt C _ llbt 2 K 10 - 10 - 210 Zbt M + bt3 K 15 - 10 5 -1 _.Q.!

_e

- M - + 10 - 10 -bt M + bt2

_e

60 30 .e 13bt2 K 420 il t 3

-

₁₄₀ _~ (1.14) (1.15)

sao funções do tempo (1.11) e (I.12) podem ser integrados numericamente, para cada intervalo de tempo,

Usando a aproximação (I.6) vimos então que o numero de equaçoes do sistema é dobrado em razão da ortogonalidade do erro em relação às funções N3 e N4. Podese usar uma aproxima -ção de maior ordem para _t(t) recorrendo a graus de liberdade adi cionais. Entretanto, ao utilizarmos esse . ,recurso do método de

(16)

Galerkin, aumentamos ainda mais o numero de equaçoes do sistema em virtude de se ter um maior número de funções de interpolação ortogonais ao erro. Isso acarreta um aumento no tempo de comp~ tação que não compensa a melhor aproximação obtida.

I.3 - Newmark. Método das Acelerações Generalizadas

No método de Newmark os deslocamentos e velocidades sao desenvolvidos em série de Taylor:

n f(k)(a2 f (x)

=

kto

k!

(x-a) k + Rn (x) (I. 16) Rn (x)

=

_nT

1

J:

(x-t)n f(n+l) (t) dt

onde o resto e calculado aproximadamente em função de parâmetros livres que sao fixados posteriormente de modo a garantir a esta-bilidade do método. Por (1.16) temos: +

f

ollt ~n + 1 = ~n + ll t ~n • X -n+l • Jllt .. X + X(,)d, -n

o

(1.17) (1.18)

(17)

X (t)

-X _-n t n ,l. t fn,.1 t Figura 2

Fazendo a quadratura das integrais de (1.17) e (I.18)· chega-se as equaçoes:

e

1. 191 • •

..

_{yllt(;;; +l_;;;)} X - X + llt~n + (1.20) -n+l -n _n _n ou agrupando: • 1 B)llt2~ Bllt2:in+l X

=

₅₁

+ tit~n + Cz - + -n+l

e

1. 211 • _(1-y)llt _(1.22) X

=

_~+ _~n + yllt ~n+l -n+l

(18)

Com a variação dos parâmetros y e S obtemos urna farni lia de métodos· de integração passo a passo, ou método das acele-raçoes generalizadas. O que cornurnente se denomina método de New rnark é o método das acelerações médias com S

=}

e y

=

i·

Os deslocamentos e velocidades assim aproximados de-vem satisfazer a equação do movimento (I.2) para o instante tn+l:

M x

+

e

x

+

K x

-n+l -n+l -n+l (I.23)

As equaçoes (I.21), (I.22) e (I.23) formam um siste-ma do tipo: B _-O u _-n+l onde K B = O -O 1

e

1

o

= ~l

1!n

+ ~2 M -y /ot -Stot ~l =

o

1

o

1 (I. 24)

o

/ot(l.:.y) 1ot 1ot2

c}-s)

(I. 25)

~0 • ~l e

Jz

dados para um sistema de um grau de li herdade.

(19)

F(tn+l) X J:n -n+J .

--• ~2 =

o

_' u -n+l = X -n+l e u -n =

F

o

X -n+l -n

Temos então uma relação de recorrência dos desloca-mentos, velocidades e acelerações em tn+l em função desses valo-res em tn:

~n+l =

~~

1 ~l :1n + ~2]

e

r.

26) Para a resoluçãÓ de (I.26) substituimos as equaçoes

(I.21) e (I.22) na (I.23) obtendo um sistema de N equações do ti

po: J _-1_-n+lX = ~2

x

_-n+1 = ~l -1 ~2 (I.27) (I.28) J = F -2 -n+l - K[x + llt

X

+

ci -

i3)llt2 X

J ,

- -n -n ~ -n

Voltando as equaçoes (I.21) e (I.22) temos os desloc~ mentos e velocidades no instante tn+l' Vemos então que no método de Newmark resolvemos um sistema de mesma ordem que o obtido na discretização espacial. Outra vantagem do método de Newmark ~ e

(20)

nao haver integração quando~. ~e~ sao funções do tempo; essas matrizes são simplesmente calculadas para o instante tn+l'

I.4 - Comentários

Nos dois métodos vistos chega-se a um mesmo de equaçoes algébricas: sis terna 60 u -n+l ; 61 -n u + X2

e

1. 26) ou ; A +

~.

A ; -1 B -1 u _~n ₆₀ ₆₁ e ; 60 X2 -n+l (I. 27)

As matrizes 60 , 61 ,

x

2 , A e B sao funções do in-tervalo de tempo ~te dos parâmetros físicos da estrutura-rigidez, amortecimento, massa - e os vetores

~n ; ~ -n no método de Newmark, 1 :

.,

_·i:X: (-n \..1 X -n ~n ;

{

no método de Galerkin. • X -n

(21)

A matriz A de (I.27), denominada operador de aproxi-maçao por Nickell em

[zJ,

define uma transformação linear que

associa os valores de deslocamentos, velocidades e acelerações no instante tn a esses valores em tn+l' sendo ~n considerado como e-lemento de um espaço de Hilbert H. O problema de valor inicial (I.2) é linear e supomos H também linear .

(22)

CAPfTULO II

ANÁLISE DA CONVERGtNCIA E ESTABILIDADE PROBLEMA SEM AMORTECIMENTO

II.l - Introdução

Como foi visto no capítulo anterior, os métodos de in tegração passo a passo permitem resolver numericamente um sistema de equações diferenciais por meio da relação de recorrência:

~n+l = A u -n +

B.

(L 27)

A variável tempo, t, assume valores discretos tü, t 1 ,

demos valores

~o·

~l , . . . '

e tn = n ~t) aos quais correspo~ u , ••• ' _-n onde u _.-n e uma aproximação de ~(tn)' isto é, uma aproximação dos deslocamentos, velocidades e, para o método de Newmark, das acelerações .. nodais no instante t. ·

n

A análise da convergência e feita para um t fixo qu~ do ~t + O. Tem-se então uma sequência de valores aproximados

que deverá convergir para a solução exata do problema de valor i-nicial (I.2), quando o intervalo de tempo tende a zero.

(23)

Consideraremos inicialmente o problema de vibrações livres cuja solução numérica é:

u = A u

-n+l - -n (II. 1)

e depois analisaremos a influência da,s cargas externas na estabi lidade.

Como as matrizes~. ~ e K ou sao constantes ou sao calculadas para cada intervalo de tempo, A= A (~ (ót), C (ót), !(ót), ót) = A (ót).

A solução por métodos de integração passo a passo recai numa equação de diferenças finitas no tempo (II.l), embora a instituição dos métodos possa ser bem diversa: no método de Galerkin não hâ discretização do operador diferencial e sim uma interpolação da solução x(t); jâ no de Newmark a equação do mo-vimento só é satisfeita para os valores discretos

... , tn'' .. da variável tempo, o que corresponde a uma discreti-zação do operador diferencial.

(24)

II.2 - Teorema da Equivalência

[1]

"Dado um problema de valor inicial bem posto e um o perador de diferenças finitas A(6t) que satisfaça a condição

de consistência, a aproximação dada por ~(6t) sera convergente se e só se o operador for estável".

Na avaliação da aproximação feita por A(6t) temos necessidade de uma medida entre dois elementos u e v _-n _-n do

espa-ço de Hilbert H. Definimos então a norma do elemento

w

= -n

= u - v denotada por

li

w

ti

-n -n' -n geralmente se considera a nor ma da energia, embora possa se tomar uma norma para cada aplica

çao.

II.3 - Problema Bem Posto

A solução do problema de valor inicial (I.2), para o caso de vibrações livres:

~ ~Ct)

+

Ç

;Ct)

+;

~Ct) =

o

~(O) = ~o

pode ser posta na forma: u -O ~(O) ₌ _~o• ( I. 2 a) (I.Zb) (II. 2) sendo ~

(25)

-x(t) e suas derivadas no instante t e u o vetor das condições i

--o niciais.

Para qualquer ~o ( H (*), um problema (I.2)

ê

bem posto se ~

0 (t) for uniformemente limitado: dada uma alteração

6 nas condições iniciais ~o' a alteração na solução ~(t)

ê

O(~). Isto

ê,

existe uma constante finita K tal que

ll{E

(t)} cS

li

~

KII

cS

li

-o - - O ~ t ~ T. (II.3)

II.4 - Convergência

Operando sucessivamente sobre ~o' obtemos do sistema (II. l) que

u = An u (II.4)

-n -o

Uma aproximação ~(bt) é convergente se, quando bt + O e nbt + t,

li.

{~n('t)} _'-' ~o _{- -o}

{E ( ) } li

_J: _~o + O

para qualquer u

E'

H.

-º

(II.S)

(*) Em geral u nao precisa pertencer a H, mas deve ter uma expre_s -o

são convergente nesse espaço. Para maiores detalhes ver

[1]

(26)

II.5 - Estabilidade

Para a verificação da estabilidade, analisa-se a in-fluência de uma perturbação na solução numérica em um passo so-bre a solução nos passos subsequentes. Consideremos o conjunto de equações

n,j = 0,1,2 .•. (II. 6)

onde u. e a condição inicial para o intervalo de tempo [tJ. ,

-)

t. + nót]. Dado um 1: > O, uma aproximação ~(ót) é estável se

J

os operadores

o

< t.t < "(

(II. 7)

O ~ nót ~ T

forem uniformemente limitados, ou seja: adicionando v. ao.s _-J da-dos iniciais u., existem constantes limitadas K tal que

-J n

li

{~(t.t) }n ::'.j

li

$ ~

li

::'.j

li ,

O $ nót ~ T.

II.6 - Condição de Consistência

Seja~ um opera.dor tal que<"'R' •·.

d

cIT ~(t). = ~ ~(t)

(II. 8)

(II.9a)

(27)

Assim como

u - u

-n+l -n t>t

é uma aproximação da derivada em relação ao tempo,

~(tit)

:1 -

u t, t

deve ser uma aproximação para G ú.

(II.10)

(II.11)

Um operador de diferenças finitas ~(tit) e uma aprox! maçao consistente para o problema de valor inicial (II.9) se

lim t>t+O A(tit)-I

li {-

_t,t

-uniformemente em t, O~ t ~ T. ~}:1Ct)

li

=

o

(II.12)

Isto ficará mais claro ao estudarmos a consistência dos diversos métodos isoladamente. Veremos que o método de New-mark, assim como outros métodos analisados por Nickell [2], nao satisfazem essa condição de consistência mas são estáveis e con-vergem para a solução desejada, o que sugere a existência de ou-tro teorema onde a verificação da consistência, no sentido de Lax, seja dispensável.

(28)

II.7 - Verificação da Consistência

Consideremos o sistema com um grau de liberdade x(t) +

w

2x(t) = Ü

X (O) = Xº •

X

(O)

w2 = k

m (II.13)

que representa as vibrações livres de um sistema massa-mola nao amortecido.

II.7.1 - M~todo de Galerkin

Fazendo x

=

v, de (II.13) obtemos

v

= -

w2

x ou

(II.14)

(II.14) e urna equaçao da forma (I I.9,à), sendo

O 1

G =

-w2 _O

Para o problema nao amortecido (II,13) o operador de aproximação

é:

(29)

1 - 97 i; + 1 i; 2 (1 9 1 2) 210 126

-

7Õ i;+ 6301; llt A = 1 1 + _{10 5}4 _i; + 1 i; 2 63 ( - i; + 2 i; 2) 1 1 97 i; + 13 i; 2

TI

llt

-

210 630 (11.15)

sendo i; = llt 2w2 . O operador~

é

obtido da operaçao matricial

-1

A

= -

S

R

(II.16)

-

-Se R dados por (I.14) e (I.15) com as matrizes M, C e K reduzi-das as constantes m, c, k, c = O. 1 1 2) 1 (- 21;- 1261; llt ( l - 7Õ 9 i; + 6 30 1 i; 2) 1 = 1 + 4 e + _l_c 2 105 e, 63<, (-/;+ l....1;2) 1 21 llt2 1 1 2) 1 ( - 2

s

+ 210

s

li t (II.17) I = matriz identidade

(30)

-A - I

lim = (II.18)

llt+O llt

e o operador de aproximação do método de Galerkin satisfaz a con-dição de consistência (II.12).

II.7.2 - Método de Newmark

No método de Newmark temos que comparar o operador de aproximação com um operador G

_-

que satisfaz uma equaçao diferenci-al de terceira ordem. Fazendo

• • X = V e V = a, (II.19)

.

_-w2 • _-w2 • d3_x a = X ~ v, a = dt3 e •

_o

₁

_o

X X • ·v =

o

1 V (II. 20)

.

_o

_-w2

_o

a a l l ou d G 1:Ct). (II.9a)

at

1: (t) =

-Por outro lado, 1:n+l = ~(llt) 1:n

(31)

A = 1 1 +flf; 1 -yf;/llt -f;/llt2 ll t l+f;(S-y) -f;/llt llt-~(t - fl)

tit [Cly) +e; Cfl

-1

-c;Cz - s)

para o problema (II,13), obtido da operaçao

A= B -l B

-O -1 ~o e ~l' dados em (1.25).

_g

₁ 1 llt llt ('Z" - fl) A-I 1 ; 1 +fl f;

1.L

É (1-y)+f;(fl- 1) ll t llt2 ll t 2 _ i;_ _i; _ -(1+ f)tit ll t 3 llt2

o

1

o

A-I lim

-

; -yw2 llt+O ll t

o

1-y -<X> -w2 -<X> A(llt)-I lim 11 {- -llt+O llt G} 1;:Ct) 1\ -/' O (II.21) ..._. --(II.22) (II.23) (II.24)

O método, portanto, nao é consistente, segundo a

(32)

Para a aplicação do método de Newmark, as acelerações, derivadas de segunda ordem em relação ao tempo, têm que ser dadas como condições iniciais em t

0 , o que está de acordo com o sistema

de terceira ordem (II.20).

II.8 - Influência das Cargas Externas

Sejam À e ~À os autovalores e autovetores do operador

de aproximação ~ (llt) respectivamente. Pela definição de es tabi li dade, dada na seçao II.5

li~

~À

li

~

K

_li

_~À

_li

(II. 25)

adicionando

~À

aos dados iniciais. Como

~

~À

= À ~À

(II. 26)

ll~~ÀII=

1

À

111 EÀ

li

~

Kl[EÀII

~ IÀI :".

K.

(II.27)

Donde concluimos que, se um operador~ é limitado,os módulos dos seus autovalores são limitados. Por ()}-ltro lado, não só ~(llt)deve ser limitado mas também todos os operadores do con-junto ~n(llt), ou:

=

...

(33)

(II. 29) n = O , l, 2 , ... , O ~ nll t ~ T. _/

sendo os~ constantes limitadas.

Em (II.29) podemos observar que com um operador está-vel nao se pode representar a solução de um problema tendendo

pa-ra infinito em um tempo finito T. Entretanto, se a solução tende para infinito quando t~oo, ~(llt) estável pode ser uma aproximação

do problema pois, no intervalo considerado O ~ nllt ~ T, (II. 29) sempre se verifica. Assim, se para uma carga externa o problema de valor inicial (I.2) for bem posto, uma solução numérica está -vel pode ser dada para esse problema e a matriz

B

da equação

(I.

27) não influirá na estabilidade do método.

II.9 - Analise da Estabilidade

Na integração passo a passo de (II.13) obtemos: u = A u -n+l - -n (II. 30) ou (II. 31) X

J

~n -n 1:1n =

l5n

ou

1:1n

= conforme o método

l~

l5n

(34)

~(ót) ou é de terceira ordem com três autovalores -New mark e maioria dos métodos de integração passo a passo - ou de segunda ordem, com dois autovalores, como é o caso do método de Galerkin.

A solução exata do sistema de diferenças finitas (II.31) e dada por:

.e

À. t ' :1 (tn) =

I

c. E e 1 n · (II. 32) 1 -À· i=l 1 sendo

.e

o ~ de autovalores

[s].

numero

De (II. 31) e (II. 32) temos que:

.e

À-t a) u(t + ót) = A

_I

c. E _e 1 n - n 1 -À. i=l 1

.e

À-t

I

A E 1 n = C· ₁ _-À. e i=l 1

.e

b) :1 (O) = ~o =

I.

c. 1 E -À· i=l 1

Por outro lado:

:1 (tn + ót) u = A n+l u -n+l -o

.e

_An+l u =

I

C· E -n+l 1 -À. i=l 1 mas

(35)

u = -n+l Fazendo c. E = l -À-l l

l

u = -TI i=l l

l

i=l a. - l a. - i À· l E -À· l n+l c. À. E l l -À. l n (II.28) (II. 33)

Comparemos agora a solução exata da equaçao diferen-cial (II.13)

x(t) = c ₁ eiwt + c ₂ e-iwt (II.34) com a solução da equaçao aproximada para l = 3:

(II. 35)

Para obtermos uma solução oscilatõria do tipo (II. 34) os autovalores À- devem satisfazer as condições:

l . ±i0 i) À 1 2

_•

= a ± 8 i = pe , P = isto ~ e, autovalores complexos; -1 8 = tg

a'

ii) o terceiro autovalor real, quando existir, deve ser nulo, À

(36)

cial.

Assim, para qualquer dos métodos estudados, a solução exata da equaçao de diferenças finitas

e ~n u -n u -O 'p n in0 n -in0 = ~l e + ~2 P e

p e·e sao funções de t:.t.

Podemos observar na equaçao (II.36) que:

(II. 36)

- se p > 1, u + 00 quando n ₊ 00 , isto

é

a solução fica

' -n

amplificada;

- se P < l, u + O quando n + 00 e a solução e amorteci

-n da;

- se p = 1, portanto, nao há introdução de erro nas

amplitudes na solução numérica.

Concluimos então que, se P ~ 1 - módulos dos autovalo res limitados - o operador de aproximação e estável, e garantimos a convergência pelo teorema de Lax. Assim, para obtermos a solu -ção oscilatória de (II.13) temos de ter autovalores complexos com p + 1 quando t:.t + O, nos métodos de integração passo a passo.

(37)

II.10 - Estabilidade do Método de Galerkin

Da equaçao característica

det [~ - À}] = O (II.37)

obtemos os autovalores do operador de aproximação (para o proble-ma (II.13))que, postos em forproble-ma de complexos conjugados, ficam:

1 - 97 s +

l.:..

s 2 ± iCs - 4 7 s2 + 61 s 3 19 1';4) 1/2 210 70 Tiõ 4410 - 99225 Àl 2 = • 1 + 4 s + 1 s2 1õs 63 (II. 38) para h (s) = _{s -} 47 s2 + 61 s3 19 s4 >

o.

210 4410

-

99225 (II.39)

(38)

h (~) Figura 3 Com as raízes: ç;l

=

o

>

llt

₌

o

ç;2

=

7,92

>

llt

₌

0,448 T ç; 3

=

12, 80

3>-

li t

₌

0,569 T ç; 4

=

51,52

;>

li t

₌

1,142 T ç;

₌

llt2 _w2. T

₌

período < 0,448 Te 0,569 T < llt < 1,142 T) garantimos a aproximação do problema oscilatório.

Os autovalores Àl 2 estão na forma

(39)

= a ± ib ·e

,,

[ a2 c+ 2 b2.J 1/2 IÀ1

21

= ' (II.40) Para que

I

Àl 2 \ = 1, a 2 + b 2 = c 2 ou g(O = a2 + b2 -'

c 2 = O, que

é

uma equação de quarto grau e.m i;:

g(!;) = -5!;4 - 12!;3 - 3151; 2 =

o'

(II.41)

com duas raízes nulas e duas complexas. A variação de g(!;) com !; é do tipo:

g ( !; )

(40)

'.

g(E;) ~ O para qualquer ~. se b > O.

g (E;) ~ O

=?

1 Àl

21 ~ 1, o que significa que os môdu

'

los dos autovalores complexos são limitados pela unidade para qUa_! quer~ e, consequentemente, para qualquer ~t. Por outro lado,por

(II. 38) podemos ver que lim

~t+O

Pelo que foi visto na seçao anterior, garantimos que o operador de àproximação do método de Galerkin é estável para

~ < 7,92 (~t < 0,448T) e introduz um amortecimento indesejável na

solução numérica, desde que

1,.

_{1 2}

1 =

1 sô para~ ou ~t

=

O.

. '

A fim de comprovarmos as deduções teóricas, compara-mos a solução exata para um sistema massa-mola não amortecido sub metido a uma força do tipo:

F I t l

Fo

o 1

(41)

com as soluções aproximadas para os diversos métodos de integra-çao passo a passo.

o

..

....

N

3

• /?. l z

..

"'

<

"

o

...

"

..

o ,FIG. ,_ S 10 TEMPO SOLUÇÃO EXATA - - - GALERKIN 4 t : 0,2 1 T / 31, 4

(42)

o

..

'

N

s

· x o

..

::: J.

"'

:l o .J "'

..

o o

..

'

N J ~ l z

..

"'

< u t 3 ' "'

...

_o 5 10 J.5 20 25 TE:MPO

FIG. -6

---

SOLUÇÃO EXATA

...._

__

GALERKIN

'"

• o.5

•

T / l.. 2.56

FIG. 7 - ' - ' " SOLUÇÃO EXATA

GALE RKIN 4 t .: l,0 ·i: T / 6.,28

(43)

-II.11 - Estabilidade do Método de Newmark

Resolvendo a equaçao característica para o sistema mas sa-mola nao amortecido encontramos os autovalores do operador de aproximação do método de Newmark:

Àl, 2 =

-a± ib

c

1 + S !;

Para que

]Ã

_{.. l, 2}J

=

_· 1, a2 + b2

=

c2 ou

Igualando os termos correspondentes obtemos: 1 + 2$ - (y +

j)

= 2$ ":> y = 'Z" 1 6 + 62 - S(y +

j)

= $2

==>

s

C2 -

1 y)

de onde concluímos, desde que b > O, que, se y sempre, independentemente do valor de$.

= (II.42) (II.43) (II.44) O (II. 45) 1 7,

(44)

Analisemos agora a condição b > O ou

Substituindo y

=}

em (II.46), temos: f(é;) = (S - })i:;2 + é; > O

cujas raízes sao:

Se S

~

i•

1 1

s -

4 i:; 2 < O e f(é;) > O para é;> O: f (~) Figura 8 (II.46) (II.47)

Se y

=}

não há introdução de amortecimento artifici-al na solução numérica e, variando S, obtemos os métodos:

1

S = ₇ - Fox e Goodwin

(45)

B =}

~

método das acelerações médias (Newmark)

Os dois primeiros nao verificam a condição dos autova-lores serem sempre complexos, isto é, o problema oscilatório nao pode ser representado pela solução numérica para todos valores de ót. Para o método das acelerações lineares, por exemplo, substi-tuindo B =%na equação (II.47), temos:

f ( E;) = 1} E; 2 + E; >

o,

E; 1

=

o

e E;2

=

12 (II.48) - · · - ·

-

--

-

---

- ~ Figura 9 ' t =

~

T T -ü 21T ' - período.

para E;= 12, ót = 0,551 Te o método nao funciona para

(46)

x

ltl /3'

!

;.f __ .

1 1 t t

Figura 10 - Significado do parâmetro 8

....

3

• o ~·,1

..

"'

;j o .J "

..

Q 5 FIG. 10 1S - l l SOLUCÂO EXATA NEWMARK y,112, 20 2S TEMPO f!•l/4, 4t •0,2"' T/31.4

(47)

•

...

"3

• o 1-Z 1 "'

,.

..

u o

..,

"' "' e o

..

'

N J • g l z "'

,.

..

u o ..,

.,

_...

e 5 FIG. 12

I

/

5 FIG.-'lS \ \

\

\ 1

\

\ ₁

\

\ \ 10 15 20 TEMPO - - SOLUÇÃO EXATA - - - NEl'Í'MARK

r '

1 / 2 , /l • 1/4, 111 • 0,5

/

\ I

_\

I

\

_I

f

\

f

_'

\

f

I

\

I

I 1

I

\

I

\

_/

/

j 10 1S 20 TEMPO SOLUÇÃO EXATA - - - NEWMARK ~ ' i/2 /J • 1/4 ât = 1,0 • T/6,28

\

\ 25 \ .

\'

(48)

,· Wilson

Veremos a seguir, alguns aspectos do método de Wilson a fim de o compararmos com os métodos em estudo.

O método de Wilson é o método das acelerações linea -res modificado com a introdução de um parâmetro e, de modo que haja sempre estabilidade para qualquer ót.

~ tomada uma variação linear para a aceleração no interva lo de tempo ente as veloci-dades e deslocamentos sao ob

tidos por integração:

Figura 14 ~ (T)

=

_'.:n + C~n+e

x )

_-n

o

~ T ~ ent ' e >,, 1

X

(T)

=

X + )ê ... T+ (~n+e _n _n e -• 1 = X + X T + -z X T2 -n -n -n Para T = ót X ~nu X ... n+e ! •• X ~n

~·

t

..

t T ent' (II.49)

x )

_{_n} _20ót'T2 CI.I. 50) (II. 51)

(49)

= 06t: X -n+l

.

X -n+l X -n+l

=

X + _C~n+0 - ié ) /0 -n -n (II. 52)

.

(~n+0 ié ) 6t

=

X + 6t X +

-20 -n -n+l -n (II.53) 6 i tst2

e··

..

J

tst2 = X + t X + X + X X -n -n Z -n -n+0 - -n 60 (II. 54) A equaçao do movimento deve ser satisfeita para T

.

M X + C X + K X

-n+0 -n+0 -n+0 = ~n+0 · (II. 55)

Fazendo T = 06t nas equaçoes (II.50) e (II.51) ·cal-culamos os valores de ~n+ 0 e ~n+0 e, substituindo-os na (II. 55), obtemos o sistema de N equaçoes:

com S = 6 1 e J _{~1 -n+0}ié 1 y =

z

= ~2 -1 X _-n+0 = J_l J_2 (II. 56) (II. 57)

~l e ~ 2 foram colocadas numa forma geral a fim de que pudéssemos obter os métodos da família de Newmark (0 = 1) e o

me-1 1

todo de Wilson (S

=

(50)

de ~n+G nas equaçoes (II.52) e (II.54) determinamos os valores para o instante tn+l"

Não foi feita a análise da estabilidade desse método. Segundo [6], 8 > 1,37 para que os módulos dos autovalores sejam limitados pela unidade. Obtivemos resultados numéricos com os valores usuais de

e=

1,4 e 8

=

2 para o sistema massa-mola

submetido a uma carga step.

o

..

1

• 2 I:! l. z "'

"

~ _o

...

"' "' o FIG. -15 5 10 15 SOLUÇÃO EXA tA

--= ... WILSON ,& = .1,4 • /it :o,2

r

1 r

r

1 20 25 TEMPO '

(51)

o

..

'

"i

-::

-I:· ~ l

"

..

"

g "' '" e z 1 !I!

..

"

o ..J "' '" e 5 FIG. l.6 FI0.-17 \ \ \ 10

\

\ 1 1 \ \ \ - · - - SOLUCÃO - - - WILSON 10 15 1_EXATA & : 1,4 ,

/

. / 15 at • o.s /

/

l

,,-,

- - SOLUÇÃO 1EXATA - - - WILSON ,é- = 1,4 ât : l.,O \

\

20 T E;MPO T,E:MPO /

·,

1 _j

(52)

• o

..

~l 2

..

"

g "

..

o . \ \

\

5 \ \ \ \ \ F 18. 18 l.O

,,.-

....

/ \ \ \ 15 SOLUÇÃO EXATA WILSON .9:: 21). t,. t :.1 .• 0

-

---

--:--20 TEMPO

II.13 - Erro nas Amplitudes

Como foi visto na seçao II.9, os módulos dos autovalo res de A devem ser menores ou iguais à unidade. _Se I À 1 < 1, en tretanto, há introdução de um amortecimento artificial na solu -çao numérica e a amplitude do deslocamento decai com o tempo.

50 1

g

20

• ..

'º

o o CÍALERXIN / NEWMARK Q,6 01) ~ ,,.2 F18. 19 a PORCENTAGEM . DO 1ERRO NA& AMPLITUDES

.

'

25

(53)

l..5

5,

/

AC. LINFARES

I

/ /

<>"0,/3 •l/6.l'•l/21 / 1 /

I

11

,

I

NEWMARK I - í • J/2, ll•l/4 _ .l,0

t---===:::::'.'=::::--,---=:~---~t....L.:...._...:...::=.:..:c=..=."-1

0,5 1,0

-

...

' '

_'

-

---FIG. -19b VARIAÇÃO DOS MÓDULOS DOS AUTOVALORES

Da Figura 19 obtemos:

1) Somente o método de Newmark (8

₌

_if

1 _e _Y

_{= z)}

1 nao in troduz amortecimento indesejável pois

IÀ

1,2

i

= 1 para qualquer

ç.

2) O método de Galerkin fica instável para I; ~ 80

quando num ramo da curva os valores de

IÀI

são maiores que 1. O método e, portanto, condicionalmente estável.

3) O método de Wilson apesar de ser incondicionalmen-te estável, não representa a solução oscilatória para todos os valores de

ç.

(54)

e estável e representa a solução oscilatória contém os limites u-suais de Llt em aplicações práticas

~ .5 7,92

=?

Llt~ 0,448 T

Portanto, embora seja condicionalmente estável, o método de Ga-lerkin fornece boa aproximação numa faixa razoável do intervalo de tempo.

Convém ressaltar que a análise foi feita para um siste ma de um grau de liberdade.

II.14 - Erro no Período

Comparemos a solução exata da equaçao diferencial do sistema massa-mola (II.13),

( ) iwt + -iwt

x t = c 1 e c

2 e (II.34)

com a solução exata do sistema de integração passo a passo o mesmo problema:

u _-n = ~l Pn e in0 + ~2 P n e -in0 . (II. 36)

para

p = 1 ou P -,. 1 quando Llt -,. O·, portanto, n0 e comparável com

wt:

0

n0 = (nllt) Llt ~-,. wt,

_{e -}

- - _tg-1tim0,1,2fj _R(À ₎

1,2

(55)

Temos então a variação no período: 11T

T

l.S ;t - !

~1 ....

·1.01 0.5

=

1 1 'lj_ w 1 w 0.02 Fl8. - 20 w 1.

=

-\f 0,04 0,06 WILSON &:l,4

º·ºª

V.A·RIACÃO NO PERÍODO

Nas duas Últimas figuras, as curvas correspondentes ao método de Wilson foram tiradas da referência [8] (Geradin).

(56)

CAPfTULO III

PROBLEMA COM AMORTECIMENTO

III.l - Introdução

Quando um sistema dinâmico é amortecido, o movimento pode ser oscilatório ou nao. Os autovalores do operador de

xa-proxirnação serão complexos - para um amortecimento subcrítico, ou reais - para amortecimentos críticos e super-críticos.

Corno ilustração do que já foi analisado nos ~capítu~ los anteriores estudaremos o sistema massa-mola com arnortecimen to: k e m [4] : rnx(t) + cx(t) + kx(t) = f(t) (III. l) x(O) = x 0 ,

X

(O)

O grau de amortecimento e dado pela relação entre c,

amortecimento crítico amortecimento sub-crítico amortecimento super-crítico c 2 = 4km, c 2 _< 4km e c2 > 4km.

(57)

Obtivemos resultados numéricos com os três graus de amortecimento para o caso de vibrações livres (f(t) = O), com

deslocamento inicial.

III. 2 - Newmark

Para o problema (III.l) o operador de aproximação e autovalores do método de Newmark são:

A = 1 l+yn+Si; Se y = 1

_I

e J,+yn yl; li t - _/;_ llt2 llt[l+n (y-S)] l+i; (S-y) (11+/;) llt llt [Cl-y)+i; (S -[11(l-y)+1;(} - S)] À O ~ -- ' t 2 k 3 = · , e , Ll iii ' 11 = llt c rn

Os autovalores nao nulos estão na forma

À 1, 2 = B = 1 4' b = /;

-a±ilb c 1 _Tl₂ 4 = llt 2

ct

1 c 2

-

4 - ) . m _m₂ (III. 2) (III.4) (III. 5)

(58)

Assim, para

Vejamos agora as condições de b > O, b = O e b < O:

k

₌

m c2

₌

c2 > 1 c2 4 _m2 4km 4km

;>

4km = c 2. (b = o) (b < O) e

temos autovalores reais, o que confirma as soluções nao oscilató rias de amortecimento crítico e super-crítico. Se

c 2 < 4km (b > O),

os autovalores são complexos e obtemos a solução oscilatória pa-ra um amortecimento sub-crítico.

(59)

0,5

...

:! !! z d o

...

"' "' o _o

....

o

...

_z "'

"'

o o

...

"' "' .o -o.s

'

_'

/ i'

' '

1

1 "

/ / /

"

_"

'-' '-'

'-,--:.

'\--' -~ - - - - · / e= 0,3 < Ccrit.

FIG. -2l. -. SOLUCÃO EXATA

... "NEWMA~K - 't = .l/2 ,/3,1 ::J./4, 4t =1,0 E T/6,36

O método de Newrnark nao introduz erro nas amplitudes no movimento harmônico.

Já

no movimento oscilatório com amorte cimento, esse erro é apreciável devido

à

diferença no período.

Para um amortecimento sub-crítico a solução exata de (III.l) fica: X (t) = A e-z;wt sen(w 1t + <P ) , (III.6) c = 11-z; 2 k _{(III. 7)} z; = _c _' wl w e w = _m crit

(60)

1 resposta e w, a frequência natural.

X A A e•,;wt 21T Ti=-.-W1 Figura 22

No problema harmônico do capítulo anterior, o perío-do da resposta da solução numérica é alongaperío-do, e a frequência w é consequentemente reduzida. Isso acarreta o aparecimento deu-ma nova envoltÓria no probledeu-ma oscilatório amortecido,

-rw*t

· Ae " w* < w,

resultando num amortecimento na solução numérica menor que o real, daí o erro nas amplitudes visto na Figura 21. Nessa figu-ra vemos que a frequência do movimento amortecido

w

₁ também e re

.,...

(61)

w

1 = f(w). (Ver equaçao III.7) .

.J

..

§ z ú o .J .,

...

o 0.5

'

e

_z

...

:,; .l g

"

...

o ·C = Ccrit . o ,L __________

___:~::-:::;c;;;;:;.,..._ _____

_J o FIG. - 23 5 TEMPO SOLU~O EX'A TA - + - NEWMARK - llt = 1.,0 10

(62)

r ' .... e 2· ! ..; ~

..

Q

....

~ o.s z

..

li <

9 .. ..

Q C = 3,0

,,.c·c

crit. 0 0

L---+,---=='.:::::1~0======:!::::=:±==-==-~115

.f"EMP.O FI 8.. - 24 - - SOLUçÃo EXATA

-+- NEWMARK At• l,O

Quando o movimento nao é oscilatório - amortecimentos crítico e super-crítico-, o erro introduzido pelo método de Newmark e mínimo pois não há alteração no período, que neste ca-so é infinito, teoricamente.

III.3 - Galerkin

A consideração do amortecimento nao influencia apre-cisão do método de Galerkin, como era de se esperar, devido aos

(63)

critérios de aproximação usados na sua instituição. -' :'!

"

z ..; -' "'

...

Q

'

_~ z !il

~

"'

...

Q 5 FIG. - 25 /' TEMPO e = o,s < Ccrit SOLUÇÃO EXATA SOLUçÃO GALERKIN .t..t= J..0, '!: T / 6,S6

(64)

u o _{_,}

.,

..

"

'

g z

..

,.

"

o _{_,}

.,

..

_o C = Ccrit.

oL _ _ _ _ _ _

__::;::::~,,_-_..,___....J

O ,'5 .11iQ · TEMPÓ FIO. -26 SOLUÇÃO ,EXATA

(65)

.l,O . - - - : - - - , .J s !! ! u o .J

.. ..

o

'

_o_0.5

-..

z !!!

..

_...

3 "

..

o C = 3,0 > Ccrit.

º

L ____ ....,...

..=:::::::=:l~º==:::!==-=---~15

O 5 TEMPO

FIG, - 27 ~~ SOLUCÃO EXATA

-+-8ALERKIN 4f" 11_J.,O

Por ser pequena a alteração no período, o método de Galerkin não introduz grandes erros nas amplitudes, nos proble-mas oscilatórios.

O operador de aproximação e os autovalores para o sistema de um grau de liberdade (III.l), são:

(66)

1 ~11

ª1J

A

₌

_s

(III.8) ª21

ª

2 2 onde

s

₌

1 + 4 I; 1 I; 2 2 2 1 112 • 105 + 63 +

TI

1;11 + 3 11 + 5 1 97 I; 1 I; 2 1 2 +

.!.

112 ª11

=

-

210 + 126

-

I4

I; 11 + 3 11 5 (III.9) (1- 9 1 I; 2 4 _I;₁₁ 1 1 2) ª12

=

70

I; + 630 - 315 + 6 11 + 30 11 Llt ( I; + __l. I; 2 1 _I;_{11 )} 1

ª

21

=

21 6 Llt 1 97 I; + _ll_ I; 2 1 l;n - 1 11 + 1 112 ª2 2

=

- 210 630 105 3 30 e Àl,2

=

a ± § ilb (III.10) 1 97 I; +

--1.

I; 2 17 I; + 1 ₁₁ ₊ 7 ₁₁₂ a

=

- ₂₁₀ ₇₀ - _{4 20} 11 ₆

₇₀

(III.11) b

=

I;

-

47 I; 2 61 1;3 19 I; 4 1 210 + 4410 ₉₉₂₂₅ + 3 1;11 -11 _1;211 ₊ 143 _1;211 ₊ 29 _I;_{11 2} ₊ 3 _I;_{11 3} -252 132300 315 280 1 3 1 4 2747 2 2 1 112 (III.12)

- TI

11

-

₁₄₄ 11 - ₅₂₉₂₀₀ _I; 11 _- ₄

Quando o amortecimento é crítico, entretanto, os au-tovalores do operador de aproximação são complexos (b f O) e a solução numérica oscila,Como

c

2µ =

m'

(67)

ternos que

n = 2lltµ . (III.13)

Substituindo a expressao de~ e (III.13) em (III.12), b = (w 2-µ{)llt 2 • +

cI

w2µ

-

%

µ3)llt3 + (- 47 4 + 3 210 w + 116 -

W

\1

2

-

~ _{144 µ}4)llt4 + (- 11 w2µ + _l w2µ3)llts 126 315 35 61 6 2747 143 + (4410 w - w4µ2)llt6 + w6µllt4 -132300 66150 19 w8_llt8 99225 (III.14)

Se µ 2 = w2 ternos amortecimento crítico e b fica:

+ 143 w7_llt7 ~ 19 _w8_llt8

_F

_O.

66150 99225 (III.IS)

Nos resultados obtidos para a figura 26 há troca de sinal em um tempo muito grande, quando os deslocamentos já estão quase nulos.

(68)

CONCLUSÕES

Resumindo as características dos dois métodos estuda-dos, temos:

Galerkin: condicionalmente estável, dobra o numero de equaçoes do sistema, fornece melhor aproximação e menor erro no período;

Newmark: incondicionalmente estável, nao introduz a-mortecimento indesejável, causa maiores erros no períodos em comparação com o método de Galerkin.

A grande desvantagem do método de Galerkin e ser con-dicionalmente estável embora a faixa permissível para o interva-lo de tempo esteja dentro do~ limites usuais. f bom ressaltar que a análise desenvolvida nesse trabalho foi aplicada a um sis-tema massa-mola; podemos fazer uma extrapolação, para sistemas mais complexos desde que se mantenha fixo o número de graus de

liberdade.

f

preciso muito cuidado no uso de métodos condicional mente estáveis. Em sistemas com vários graus de liberdade os li mites fixados para o intervalo de tempo devem ser relativos ao período do Último modo. Como os Últimos períodos sao menores,um 6t escolhido baseado no período fundamental pode ser instável p~

(69)

ra os Últimos modos, causando assim a instabilidade da solução nu mérica.

O método de Newmark é incondicionalmente estável mas, devido aos grandes erros introduzidos no período - consequenteme~ te na frequência - acarreta erros apreciáveis nas amplitudes, em problemas oscilatórios amortecidos. Devido a isso, deve ser apli cada com restrições a problemas que ficam instáveis em determina-das faixas de frequências [16]; pode-se obter uma instabilidade nao real causada pelo método numérico.

Ainda no método de Newmark, no caso de sistemas com vários graus de liberdade, grandes erros podem ser introduzidos nos Últimos modos, dependendo da escolha do nt. Se for um proble ma de vibração livre, os Últimos modos não são preponderantes.se~ do irrelevante o erro introduzido. Se houver entretanto uma for-ça excitadora com período correspondente a um modo superior o er-ro já será grande.

Pelo que foi dito, vemos que o tipo de problema a ser analisado e que determina a escolha de um método de

passo a passo. As cargas e a estabilidade dinâmica do

integração sistema físico têm portanto grande importância na escolha do método, emb~ ra nao influam diretamente na estabilidade numérica, desde que o problema seja bem posto.

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Dentre os métodos da família das acelerações general! zadas - Newmark, Wilson, Acelerações Lineares - o método de New mark é superior não havendo vantagens, aparentemente, no uso dos outros métodos.

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