Funções de Duas Variáveis - Parte 2 do Curso - Prof. Mateus

(1)

Capítulo 1

Funções de Duas Variáveis Reais a

Valores Reais

1.1 Introdução

Uma função de duas variáveis reais a valores reais é uma função f : A → R, em que A é um subconjunto de R2_{. Uma tal função associa, a cada par (x, y) ∈ A, um único número}

real f (x, y) ∈ R. O conjunto A é o domínio de f e será indicado por Df, ou simplesmente

por D, quando não houver possibilidade de confusão. O conjunto Im(f ) = {f (x, y) ∈ R / (x, y) ∈ Df}

é a imagem de f. As palavras aplicação e transformação são sinônimas de função.

Observação: Caso não seja especificado o domínio de f, ficará implícito que seu domínio será o ”maior” subconjunto de R2 para o qual faz sentido a regra de f.

(2)

CAPÍTULO 1. FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS REAIS A VALORES REAIS 2 Exemplo 1: Seja f a função de duas variáveis reais a valores reais dada por f (x, y) = x + y

x − y. O domínio de f é o conjunto de todos os pares (x, y) ∈ R

2_{, com x 6= y. Isto é,}

Df = {(x, y) ∈ R2 / x 6= y}.

Exemplo 2: Na função do exemplo 1, temos: f (2, 3) = 2 + 3

2 − 3 = −5.

Exemplo 3: Represente graficamente o domínio da função f dada por f (x, y) =√y − x +p1 − y.

Exemplo 4: Seja f a função dada por (x, y) 7→ z, em que z = 5x2_{y − 3x. O valor de}

f em (x, y) é f (x, y) = 5x2y − 3x. Na equação acima, x e y estão sendo vistas como variáveis independentes e z como variável dependente. Observe que o domínio de f é o R2.

Exemplo 5: Represente graficamente o domínio da função w = f (u, v), dada por u2+ v2+ w2 = 1, w ≥ 0.

Exemplo 6: Represente graficamente o domínio da função z = f (x, y), dada por z =py − x2_.

1.2 Gráfico e curvas de nível

Seja z = f (x, y), (x, y) ∈ Df, uma função real de duas variáveis reais. O conjunto

Gf = {(x, y, z) ∈ R3 / z = f (x, y), (x, y) ∈ Df}

denomina-se gráfico de f.

Munindo-se o espaço de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, o gráfico de f pode, então, ser pensado como o lugar geométrico descrito pelo ponto (x, y, f (x, y)) quando (x, y) percorre o domínio de f.

A representação geométrica do gráfico de uma função de duas varáveis não é tarefa fácil. Em vista disso, quando se pretende ter uma visão geométrica da função, lança-se

(3)

CAPÍTULO 1. FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS REAIS A VALORES REAIS 3

mão de curvas de nível, cuja representação geométrica é sempre mais fácil de ser obtida do que o gráfico da função.

Sejam z = f (x, y) uma função e c ∈ Im(f ). O conjunto de todos os pontos (x, y) de Df tais que f (x, y) = c denomina-se curva de nível de f correspondente ao nível z = c.

Assim, f é constante sobre cada curva de nível.

O gráfico de f é um subconjunto de R3. Uma curva de nível é um subconjunto do domínio de f, portanto, de R2_.

Exemplo 7: O gráfico da função constante f (x, y) = k é um plano paralelo ao plano xy.

Exemplo 8: O gráfico da função linear dada por z = 2x+y é um plano paralelo passando pela origem e normal ao vetor ~n = (2, 1, −1).

Tal plano é determinado pelas retas    x = 0 z = y e    y = 0 z = 2x

(4)

CAPÍTULO 1. FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS REAIS A VALORES REAIS 4

Exemplo 9: O gráfico da função afim dada por z = ax + by + c é um plano normal ao vetor ~n = (a, b, −1).

Tal plano é determinado pelas retas    x = 0 z = by + c e    y = 0 z = ax + c Exemplo 10: Desenhe as curvas de nível de f (x, y) = x2_{+ y}2_.

Exemplo 11: Esboce o gráfico de f (x, y) = x2+ y2. (Parabolóide de rotação) Exemplo 12: O gráfico da função dada por z = x

2

a2+

y2

b2 (a > 0 e b > 0) é uma superfície

denominada parabolóide elíptico. Se a = b, temos o parabolóide de rotação. Exemplo 13: Seja f a função dada por z = 1

x2_{+ y}2.

a) Determine o domínio e a imagem de f. b) Desenhe as curvas de nível.

(5)

Capítulo 2

Limite e continuidade de funções de

duas variáveis

2.1 Alguns conceitos básicos

Definição 1. Dados P0 = (x0, y0) ∈ R2 e um número positivo r, a bola aberta B(P0, r),

de centro P0 e raio r, é definida como o conjunto de todos os pontos P = (x, y) ∈ R2

cuja distância até a P0 é menor que r, isto é, pelos pontos P = (x, y) que satisfazem

kP − P0k < r.1

Podemos escrever

B(P0, r) = {(x, y) ∈ R2 / k(x, y) − (x0, y0)k < r}

= {(x, y) ∈ R2 / p(x − x0)2+ (y − y0)2 < r}

Geometricamente, B(P0, r) é o conjunto de todos os pontos internos à circunferência

de centro em P0 e raio r.

Definição 2. Seja A ⊂ R2. Um ponto P ∈ R2 é dito um ponto de acumulação de A se toda bola aberta de centro em P contiver uma infinidade de pontos de A.

Intuitivamente, podemos dizer que P0 é um ponto de acumulação de A quando exis-tirem pontos de A, diferentes de P0 que estejam tão próximos de P0 quanto desejarmos.

1_{Denotamos por k(x, y)k =}p x2_{+ y}2

a norma euclidiana em R2.

(6)

CAPÍTULO 2. LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 6

2.2 Limite

Definição 3. Sejam f : Df ⊂ R2 → R uma função, (x0, y0) um ponto de acumulação de

Df e L um número real. Definimos

lim (x,y)→(x0,y0) f (x, y) = L ⇔         

Para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que, para todo (x, y) ∈ Df,

0 < k(x, y) − (x0, y0)k < δ ⇒ |f (x, y) − L| < ε.

Observação: De agora em diante, sempre que falarmos que f tem limite em (x0, y0), fica

implícito que (x0, y0) é ponto de acumulação de Df.

Exemplo 1: Usando a definição de limite, mostrar que lim

(7)

CAPÍTULO 2. LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 7 Proposição 4. Sejam D1 e D2 dois subconjuntos de Df, ambos tendo (x0, y0) como ponto

de acumulação. Se f (x, y) tem limites diferentes quando (x, y) tende a (x0, y0) através de

pontos de D1 e de D2, respectivamente, então lim (x,y)→(x0,y0)

f (x, y) não existe. Demonstração: Vamos supor que existe um número real L tal que lim

(x,y)→(x0,y0)

f (x, y) = L. Então, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que, se (x, y) ∈ Df e 0 < k(x, y)−(x0, y0)k < δ,

então |f (x, y) − L| < ε.

Como D1 ⊂ Df, temos que, se se (x, y) ∈ D1 e 0 < k(x, y) − (x0, y0)k < δ, então

|f (x, y) − L| < ε. Da mesma forma, como D2 ⊂ Df, temos que, se se (x, y) ∈ D2 e

0 < k(x, y) − (x0, y0)k < δ, então |f (x, y) − L| < ε.

Concluímos, assim, que o limite de f (x, y) é igual ao mesmo valor L quando (x, y) tende a (x0, y0) através de pontos pertencentes somente a D1 e também pertencentes

somente a D2. Isso contraria a hipótese de que f (x, y) tem limites diferentes quando

(x, y) se aproxima de (x0, y0) através de pontos de D1 e de D2. Logo, se f (x, y) tem

limites diferentes quando (x, y) tende a (x0, y0) através de conjuntos de pontos distintos

do domínio de f, então lim

(x,y)→(x0,y0)

f (x, y) não existe.

Usando essa proposição, podemos mostrar que certos limites de funções de duas va-riáveis não existem. Para isso, tomamos conjuntos particulares convenientes, dados, por exemplo, por pontos de curvas que passem em (x0, y0). Nesse caso, o limite se transforma

no limite de uma função de uma variável, como mostram as situações seguintes:

a) Se D1é o conjunto dos pontos do eixo dos x, o limite de f (x, y) quando (x, y) → (0, 0)

através de pontos de D1 é dado por

lim

x→0 y=0

f (x, y) = lim

x→0f (x, 0).

b) Se D2 é o conjunto dos pontos da reta y = 2x, o limite de f (x, y) quando (x, y)

tende a (0, 0) através de pontos de D2 é dado por

lim

x→0 y=2x

f (x, y) = lim

(8)

CAPÍTULO 2. LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 8 c) Se D3 é o conjunto dos pontos do eixo positivo dos y, o limite de f (x, y) quando

(x, y) tende a (0, 0) através de pontos de D3 é dado por

lim

y→0+

x=0

f (x, y) = lim

y→0+f (0, y).

Exemplo 2: Mostrar que lim

(x,y)→(0,0)

2xy

x2_{+ y}2 não existe.

Exemplo 3: Verificar se existe lim

(x,y)→(0,0)

xy2

x2_{+ y}4 não existe.

2.3 Propriedades do limite

Proposição 5. Seja f : R2 → R, definida por f(x, y) = ax + b, como a, b ∈ R. Então lim

(x,y)→(x0,y0)

f (x, y) = ax0+ b.

Demonstração: Para a = 0 a demonstração é trivial. Sejam a 6= 0 e ε > 0. Tome δ = ε

|a|. Assim, sempre que k(x, y) − (x0, y0)k < δ, temos:

|f (x, y) − (ax0+ b)| = |(ax + b) − (ax0+ b)|

= |a||(x − x0)| ≤ |a|k(x, y) − (x0, y0)k < |a|δ < ε. Proposição 6. Se lim (x,y)→(x0,y0) f (x, y) e lim (x,y)→(x0,y0) g(x, y) existem e c ∈ R, então: a) lim (x,y)→(x0,y0) [f (x, y) ± g(x, y)] = lim (x,y)→(x0,y0) f (x, y) ± lim (x,y)→(x0,y0) g(x, y); b) lim (x,y)→(x0,y0) c · f (x, y) = c · lim (x,y)→(x0,y0) f (x, y); c) lim (x,y)→(x0,y0) [f (x, y) · g(x, y)] = lim (x,y)→(x0,y0) f (x, y) · lim (x,y)→(x0,y0) g(x, y) ; d) lim (x,y)→(x0,y0) f (x, y) g(x, y) = lim (x,y)→(x0,y0) f (x, y) lim (x,y)→(x0,y0)

g(x, y), desde que (x,y)→(xlim0,y0)

(9)

CAPÍTULO 2. LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 9 e) lim (x,y)→(x0,y0) [f (x, y)]n= lim (x,y)→(x0,y0) f (x, y) n , para qualquer n ∈ N; f ) lim (x,y)→(x0,y0) n p f (x, y) = n r lim (x,y)→(x0,y0) f (x, y), se lim (x,y)→(x0,y0) f (x, y) ≥ 0 e n ∈ N ou se lim (x,y)→(x0,y0) f (x, y) ≤ 0 e n ∈ N é ímpar.

Demonstração: Demonstraremos o item (a) apenas. A demonstração dos outros itens é análoga.

Seja ε > 0. Suponhamos que lim

(x,y)→(x0,y0)

f (x, y) = L e lim

(x,y)→(x0,y0)

g(x, y) = M. Daí, existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que |f (x, y) − L| < ε/2, sempre que (x, y) ∈ Df

e 0 < k(x, y) − (x0, y0)k < δ1; e |g(x, y) − M | < ε/2, sempre que (x, y) ∈ Dg e 0 <

k(x, y) − (x0, y0)k < δ2.

Tome δ = min{δ1, δ2}. Assim, se (x, y) ∈ Df ∩ Dg e 0 < k(x, y) − (x0, y0)k < δ, temos

Exemplo 4: Calcular lim

(x,y)→(2,−1)(x

3_{y + x}2_y3_{− 2xy + 4).}

(x,y)→(0,2)

√ x + y. Exemplo 6: Calcular lim

(x,y)→(−1,1)

x3_{y + 4}

x + y − 2.

Proposição 7. Seja f : R → R contínua em um ponto a ∈ R. Se g : R2 _{→ R é uma}

função tal que lim

(x,y)→(x0,y0) g(x, y) = a, então lim (x,y)→(x0,y0) (f ◦ g)(x, y) = f lim (x,y)→(x0,y0) g(x, y) = f (a),

em que (f ◦ g)(x, y) é a função composta de f e g, isto é, (f ◦ g)(x, y) = f (g(x, y)). Demonstração: Seja ε > 0. Como f é contínua em a, existe δ1 > 0 tal que se (x, y) ∈ Df

(10)

CAPÍTULO 2. LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS10 Agora, como lim

(x,y)→(x0,y0)

g(x, y) = a, existe δ2 > 0 tal que, se (x, y) ∈ Dg e ) <

k(x, y) − (x0, y0)k < δ2, tem-se |g(x, y) − a| < δ1.

Assim, se (x, y) ∈ Dg e 0 < k(x, y) − (x0, y0)k < δ2, temos |f (g(x, y)) − f (a)| < ε.

(x,y)→(1,2)ln(x 2

+ xy − 1). Exemplo 8: Calcular lim

(x,y)→(0,π/2)sen(x + y).

Proposição 8. Se lim

(x,y)→(x0,y0)

f (x, y) = 0 e g(x, y) é uma função limitada em uma bola aberta centrada em (x0, y0), então

lim

(x,y)→(x0,y0)

f (x, y)g(x, y) = 0.

Demonstração: Primeiramente, note que, como g(x, y) é limitada em uma bola aberta de centro (x0, y0), existem constantes M > 0 e r > 0 tais que |g(x, y)| ≤ M, para todo

(x, y) ∈ B((x0, y0); r).

Seja ε > 0. Como lim

(x,y)→(x0,y0)

f (x, y) = 0, existe δ1 > 0 tal que, se (x, y) ∈ Df e

0 < k(x, y) − (x0, y0)k < δ1, temos |f (x, y)| < ε/M.

Tome δ = min{δ1, r}. Então, se (x, y) ∈ Df e 0 < k(x, y) − (x0, y0)k < δ, temos

|f (x, y) · g(x, y)| = |(f (x, y)| · |(g(x, y)| < ε M · M = ε. Logo, lim (x,y)→(x0,y0) f (x, y)g(x, y) = 0.

Exemplo 9: Mostre que lim

(x,y)→(0,0)

x2y

x2_{+ y}2 = 0.

Proposição 9 (Teorema do Confronto). Se f (x, y) ≤ g(x, y) ≤ h(x, y) em uma bola aberta de centro (x0, y0) e se lim (x,y)→(x0,y0) f (x, y) = lim (x,y)→(x0,y0) h(x, y) = L, então lim (x,y)→(x0,y0) g(x, y) = L.

(11)

CAPÍTULO 2. LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS11 Proposição 10. lim (x,y)→(x0,y0) f (x, y) = 0 ⇔ lim (x,y)→(x0,y0) |f (x, y)| = 0.

A demonstração das Proposições 9 e 10 são similares às demonstrações dos respectivos teoremas para funções de uma variável, utilizando-se o raciocínio das demonstrações dos outros teoremas dessa seção.

2.4 Cálculo de limites envolvendo algumas

indetermi-nações

Sejam f e g funções tais que lim

(x,y)→(x0,y0)

f (x, y) = lim

(x,y)→(x0,y0)

g(x, y) = 0. Nada pode-mos afirmar sobre o limite do quociente f

g, quando (x, y) → (x0, y0). Vamos ver alguns exemplos.

(x,y)→(2,1)

x3_{+ x}2_{y − 2xy − 2x}2_{− 2x + 4}

xy + x − 2y − 2 . Exemplo 11: Calcular lim

x→0+ y→1− x + y − 1 √ x −√1 − y.

2.5 Continuidade

Definição 11. Sejam f : Df ⊂ R2 → R e (x0, y0) ∈ Df um ponto de acumulação de Df.

Dizemos que f é contínua em (x0, y0) se

lim

(x,y)→(x0,y0)

f (x, y) = f (x0, y0).

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 12: Verificar se f (x, y) =      2xy px2_{+ y}2, (x, y) 6= (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0) é contínua em (0, 0). Exemplo 13: Verificar se f (x, y) =      2xy x2_{+ y}2, (x, y) 6= (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0) é contínua em (0, 0). Exemplo 14: Discutir a continuidade da função

f (x, y) =    x2_{+ y}2_{+ 1, se x}2_{+ y}2 _{≤ 4,} 0, se x2+ y2 > 4.

(12)

CAPÍTULO 2. LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS12 Exemplo 15: Verificar se f (x, y) =      2xy p2x2_{+ 2y}2, (x, y) 6= (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0) é contínua na origem.

Proposição 12. Sejam f, g : D ⊂ R2 → R duas funções contínuas em (x0, y0) ∈ D.

Então

a) f ± g é contínua em (x0, y0);

b) f · g é contínua em (x0, y0);

c) f

g é contínua em (x0, y0), desde que g(x0, y0) 6= 0.

Proposição 13. Sejam y = f (u) e z = g(x, y). Suponha que g é contínua em (x0, y0) e

que f é contínua em g(x0, y0). Então, a função composta f ◦ g é contínua em (x0, y0).

As demonstrações das proposições acima seguem direto da definição de continuidade. Exemplo 16: A função h(x, y) = ln(x2+ y2+ 4) é a composta das funções f (u) = ln u e g(x, y) = x2_y2_{+ 4.}

A função g é contínua em R2_{, pois é uma função polinomial. A função f é contínua em}

R+. Como g(x, y) > 0, ∀(x, y) ∈ R2, temos que, para qualquer (x0, y0) ∈ R2, g é contínua

(13)

Capítulo 3

Derivadas Parciais

3.1 Introdução e exemplos

Seja z = f (x, y) uma função real de duas variáveis reais e seja (x0, y0) ∈ Df. Fixado

y0, podemos considerar a função g de uma variável dada por

g(x) = f (x, y0).

A derivada dessa função no ponto x = x0 (caso exista) denomina-se derivada parcial

de f em relação a x, no ponto (x0, y0) e indica-se com uma das notações:

∂f ∂x(x0, y0) ou ∂z ∂x x=x0 y=y0 ou fx(x0, y0). Assim, ∂f ∂x(x0, y0) = g 0_(x

0). De acordo com a definição de derivada, temos:

∂f ∂x(x0, y0) = g 0 (x0) = lim x→x0 g(x) − g(x0) x − x0 = lim x→x0 f (x, y0) − f (x0, y0) x − x0 , ou ainda, ∂f ∂x(x0, y0) = limh→0 f (x0+ h, y0) − f (x0, y0) h .

Definição 14. Seja A o subconjunto de Df formado por todos os pontos (x, y) tais que

∂f

∂x(x, y) existe; fica assim definida uma nova função, indicada por ∂f

∂x e definida em A, que a cada (x, y) ∈ A, associa o número ∂f

∂x(x, y), em que ∂f ∂x(x0, y0) = limh→0 f (x0+ h, y0) − f (x0, y0) h . 13

(14)

CAPÍTULO 3. DERIVADAS PARCIAIS 14 Tal função denomina-se função derivada parcial de 1a _{ordem da função f, em relação a}

x.

De modo análogo, fixado x0, define-se derivada parcial de f, em relação a y, no ponto

(x0, y0) que se indica por

∂f ∂y(x0, y0) ou ∂z ∂y x=x0 y=y0 ou fy(x0, y0) : ∂f

∂y(x0, y0) = limy→y0

f (x0, y) − f (x0, y0) y − y0 , ou ∂f ∂y(x0, y0) = limh→0 f (x0, y0+ h) − f (x0, y0) h .

Exemplo 1: Seja f (x, y) = 2xy − 4y. Calcule: a) ∂f ∂x(x, y) b) ∂f ∂y(x, y) c) ∂f ∂x(1, 1) d) ∂f ∂y(−1, 1).

Exemplo 2: Considere a função z = f (x, y) dada por z = arctg(x2_{+ y}2_{). Calcule:}

a) ∂z ∂x b) ∂z ∂y c) ∂z ∂x x=1 y=1 d) ∂z ∂y x=0 y=0

Exemplo 3: Sendo z = f (x, y) dada implicitamente por x2+ y2_{+ z}2 _{= 1, z > 0, calcule:}

a) ∂z ∂x b) ∂z ∂y Exemplo 4: Seja f (x, y) =      x3_{− y}2 x2_{+ y}2, (x, y) 6= (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0) . Determine: a) ∂z ∂x b) ∂z ∂y

3.2 Interpretação geométrica

Seja f : Df ⊂ R2 → R, z = f(x, y), uma função que admite derivadas parciais em

(x0, y0) ∈ Df. Para y = y0, temos que f (x, y0) é uma função de uma variável cujo gráfico

é uma curva C1, resultante da interseção da superfície z = f (x, y) com o plano y = y0.

A inclinação ou coeficiente angular da reta tangente à curva C1 no ponto P = (x0, y0)

é dada por

tgα = ∂f

∂x(x0, y0), onde α pode ser visualizado na figura acima.

(15)

CAPÍTULO 3. DERIVADAS PARCIAIS 15

De maneira análoga, temos que a inclinação da reta tangente à curva C2, resultante

da interseção de z = f (x, y) com o plano x = x0 é

tgβ = ∂f

∂y(x0, y0).

Exemplo 5: Seja z = 6 − x2 − y2_{. Encontrar a inclinação da reta tangente à curva C} 2,

resultante da interseção de z = f (x, y) com x = 2, no ponto (2, 1, 1).

Exemplo 6: Seja z = 2x2_{+ 5y}2_{− 12x. Encontrar a inclinação da reta tangente à curva}

(16)

Capítulo 4

Funções Diferenciáveis

4.1 Função Diferenciável: Definição

Nessa seção, vamos estender o conceito de diferenciabilidade de funções de uma variável para funções de duas variáveis.

Sabemos que o gráfico de uma função derivável de uma variável constitui uma curva que não possui pontos angulosos, isto é, é uma curva suave. Em cada ponto do gráfico temos uma reta tangente única.

Similarmente, queremos caracterizar uma função diferenciável de duas variáveis f (x, y), pela suavidade de seu gráfico. Em cada ponto (x0, y0, f (x0, y0)) do gráfico de f , deverá

existir um único plano tangente, que represente uma ”boa aproximação” para a função f perto de (x0, y0).

Para entendermos o que significa um ”boa aproximação” para a função f perto de (x0, y0), vamos trabalhar inicialmente com uma função derivável f : R → R. Sabemos

que, se f é derivável no ponto x0 sua derivada f0(x0) é dada por

lim

x→x0

f (x) − f (x0)

x − x0

= f0(x0). (4.1)

Podemos reescrever a equação (4.1) como lim

x→x0

f (x) − [f (x0) + f0(x0)(x − x0)]

x − x0

= 0. (4.2)

A expressão (4.2) nos diz que a função

y = f (x0) + f0(x0)(x − x0),

(17)

CAPÍTULO 4. FUNÇÕES DIFERENCIÁVEIS 17 que é a reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0, f (x0)), é uma ”boa aproximação” de

f perto de x0. Em outras palavras, quando x se aproxima de x0, a diferença entre f (x) e

y se aproxima de zero de uma forma mais rápida. A figura abaixo ilustra essa situação.

Assim como a derivada de uma função de uma variável está ligada à reta tangente ao gráfico da função, as derivadas parciais estão relacionadas com o plano tangente ao gráfico de uma uma função de duas variáveis. No entanto, nesse último caso, devemos fazer uma análise bem mais cuidadosa, pois somente a existência das derivadas parciais não garante que existirá um plano tangente, como veremos mais adiante. Por enquanto, vamos raciocinar mais intuitivamente, dispensando um pouco o formalismo.

Como já vimos, a derivada parcial de∂f

∂x(x0, y0) é o coeficiente angular da reta tangente à curva de interseção do plano y = y0 com a superfície z = f (x, y), no ponto (x0, y0). Da

mesma forma, ∂f

∂y(x0, y0) é o coeficiente angular da reta tangente à curva de interseção do plano x = x0 com a superfície z = f (x, y), no ponto (x0, y0).

Intuitivamente, percebemos que essas retas tangentes devem estar contidas no plano tangente à superfície, se esse plano existir.

(18)

CAPÍTULO 4. FUNÇÕES DIFERENCIÁVEIS 18 Assim, se o plano tangente a z = f (x, y), no ponto (x0, y0, f (x0, y0)), fosse dado pela

equação

h(x, y) = ax + by + c, (4.3) teríamos que :

a) sua inclinação na direção do eixo dos x seria a = ∂f

∂x(x0, y0); (4.4) b) sua inclinação na direção do eixo dos y seria

b = ∂f

∂y(x0, y0); (4.5) c) o ponto (x0, y0, f (x0, y0)) satisfaria a equação (4.3), ou seja,

h(x0, y0) = f (x0, y0). (4.6) Substituindo (4.4) e (4.5) em (4.3), obteríamos h(x, y) = ∂f ∂x(x0, y0)x + ∂f ∂y(x0, y0)y + c. (4.7) Substituindo (4.6) em (4.7), teríamos f (x0, y0) = ∂f ∂x(x0, y0)x0+ ∂f ∂y(x0, y0)y0+ c ou c = f (x0, y0) − ∂f ∂x(x0, y0)x0− ∂f ∂y(x0, y0)y0 (4.8) Finalmente, substituindo (4.8) em (4.7), obteríamos

h(x, y) = f (x0, y0) +

∂f

∂x(x0, y0)[x − x0] + ∂f

∂y(x0, y0)[y − y0]. (4.9) Assim, na situação em que existir o plano tangente ao gráfico de z = f (x, y) no ponto (x0, y0, f (x0, y0)), esse plano será dado pela equação (4.9).

Podemos, agora, introduzir o conceito de função diferenciável. De uma maneira infor-mal, dizemos que f (x, y) é diferenciável em (x0, y0) se o plano dado pela equação (4.9) nos

fornece uma boa ”aproximação” para f (x, y) perto de (x0, y0). Ou seja, quando (x, y) se

aproxima de (x0, y0), a diferença entre f (x, y) e z = h(x, y) se aproxima mais rapidamente

(19)

CAPÍTULO 4. FUNÇÕES DIFERENCIÁVEIS 19 Definição 15. Dizemos que a função f (x, y) é diferenciável no ponto (x0, y0) se as

deri-vadas parciais ∂f ∂x(x0, y0) e ∂f ∂y(x0, y0) existem e se lim (x,y)→(x0,y0) f (x, y) − f (x0, y0) + ∂f ∂x(x0, y0)[x − x0] + ∂f ∂y(x0, y0)[y − y0] k(x, y) − (x0, y0)k = 0. (4.10) Dizemos que f é diferenciável em um conjunto A ⊂ Df, se for diferenciável em todos

os pontos de A. É importante ressaltarmos os seguintes pontos sobre a definição anterior: • Para provar que uma função é diferenciável em (x0, y0) usando a definição, devemos

mostrar que as derivadas parciais existem em (x0, y0) e, além disso, que o limite da

equação (4.10) é zero.

• Se uma das derivadas parciais não existe no ponto (x0, y0), f não é diferenciável

nesse ponto.

• Se o limite da equação (4.10) for diferente de zero ou não existir, f não será dife-renciável no ponto (x0, y0), mesmo se existirem as derivadas parciais nesse ponto.

Proposição 16. Se f (x, y) é diferenciável no ponto (x0, y0), então f é contínua nesse

ponto.

Demonstração: Devemos mostrar que lim

(x,y)→(x0,y0)

f (x, y) = f (x0, y0).

Como f é diferenciável em (x0, y0), temos que

lim (x,y)→(x0,y0) f (x, y) − f (x0, y0) − ∂f ∂x(x0, y0)[x − x0] − ∂f ∂y(x0, y0)[y − y0] p(x − x0)2+ (y − y0)2 = 0. Como lim (x,y)→(x0,y0) p (x − x0)2+ (y − y0)2 = 0, podemos escrever lim (x,y)→(x0,y0) f (x, y) − f (x0, y0) − ∂f ∂x(x0, y0)[x − x0] − ∂f ∂y(x0, y0)[y − y0] p(x − x0)2+ (y − y0)2 ·p(x − x0)2+ (y − y0)2= 0. ou lim (x,y)→(x0,y0) f (x, y) − f (x0, y0) − ∂f ∂x(x0, y0)[x − x0] − ∂f ∂y(x0, y0)[y − y0] = 0.

(20)

CAPÍTULO 4. FUNÇÕES DIFERENCIÁVEIS 20 Como lim (x,y)→(x0,y0) (x − x0) = 0 e lim (x,y)→(x0,y0) (x − x0) = 0, concluímos que lim (x,y)→(x0,y0) (f (x, y) − f (x0, y0)) = 0, isto é, lim (x,y)→(x0,y0) f (x, y) = f (x0, y0).

Exemplo 1 Usando a definição, provar que a função f (x, y) = x2_{+ y}2 _{é diferenciável}

em R2.

Exemplo 2 Verifique se as funções dadas são diferenciáveis na origem. a) f (x, y) =px2_{+ y}2 b) f (x, y) =      x2 x2_{+ y}2, se (x, y) 6= (0, 0) 0, se (x, y) = (0, 0) c) f (x, y) =      2y3 x2_{+ y}2, se (x, y) 6= (0, 0) 0, se (x, y) = (0, 0)

4.2 Uma condição suficiente para diferenciabilidade

Proposição 17. Seja (x0, y0) um ponto do domínio da função f (x, y). Se f (x, y) possui

derivadas parciais ∂f ∂x e

∂f

∂y em um conjunto aberto A que contém (x0, y0) e se essas derivadas parciais são contínuas em (x0, y0), então f é diferenciável em (x0, y0).

Demonstração: Uma vez que as derivadas parciais ∂f

∂x(x0, y0) e ∂f

∂y(x0, y0) existem, devemos mostrar que

lim (x,y)→(x0,y0) f (x, y) − f (x0, y0) + ∂f ∂x(x0, y0)[x − x0] + ∂f ∂y(x0, y0)[y − y0] k(x, y) − (x0, y0)k = 0. (4.11) Como A é aberto e (x0, y0) ∈ A, existe uma bola aberta B = B(x0, y0; r) que está

contida em A. Seja (x, y) ∈ A. Fixando y e sabendo (por hipótese) que ∂f

∂x(x, y) existe para todo (x, y) ∈ B, pelo Teorema do Valor Médio, existe ¯x entre x0 e x tal que

f (x, y) − f (x0, y) =

∂f

(21)

CAPÍTULO 4. FUNÇÕES DIFERENCIÁVEIS 21 Da mesma forma, podemos dizer que existe um ponto ¯y entre y0 e y tal que

f (x0, y) − f (x0, y0) = ∂f ∂y(x0, ¯y)(y − y0). Daí, f (x, y) − f (x0, y0) = f (x, y) − f (x0, y) + f (x0, y) − f (x0, y0) = ∂f ∂x(¯x, y)(x − x0) + ∂f ∂y(x0, ¯y)(y − y0). Portanto, o quociente do limite dado na equação (4.11) pode ser escrito como

∂f ∂x(¯x, y)(x − x0) − ∂f ∂x(x0, y0)(x − x0) p(x − x0)2+ (y − y0)2 + ∂f ∂y(x0, ¯y)(x − x0) − ∂f ∂y(x0, y0)(x − x0) p(x − x0)2+ (y − y0)2

Agora, observe que x − x0 p(x − x0)2 + (y − y0)2 ≤ 1 e y − y0 p(x − x0)2+ (y − y0)2 ≤ 1.

Por outro lado, como ∂f ∂x e

∂f

∂y são contínuas em (x0, y0) e ¯x e ¯y estão entre x0 e x e y0 e y, respectivamente, temos lim (x,y)→(x0,y0) ∂f ∂x(¯x, y)(x − x0) − ∂f ∂x(x0, y0) = 0 e lim (x,y)→(x0,y0) ∂f ∂y(x0, ¯y)(x − x0) − ∂f ∂y(x0, y0) = 0. Logo, lim (x,y)→(x0,y0) f (x, y) − f (x0, y0) + ∂f ∂x(x0, y0)[x − x0] + ∂f ∂y(x0, y0)[y − y0] k(x, y) − (x0, y0)k = 0.

Exemplo 3 Verificar que as funções a seguir são diferenciáveis em R2 _:

a) f (x, y) = x2_{+ y}2

b) f (x, y) = 3xy2+ 4x2_{y + 2xy}

(22)

CAPÍTULO 4. FUNÇÕES DIFERENCIÁVEIS 22 Exemplo 4 Verificar que as funções dadas são diferenciáveis em todos os pontos de R2, exceto na origem:

a) f (x, y) = x x2_{+ y}2

b) f (x, y) =px2_{+ y}2

Definição 18. Seja f (x, y) uma função. Dizemos que f é de classe C1 _{no conjunto aberto}

A, se ∂f ∂x e

∂f

∂y forem contínuas em A.

Corolário 19. Seja f : A ⊂ R2, A aberto. Se f for de classe C1 em A, então f será diferenciável em A.

4.3 Plano tangente e reta normal

Definição 20. Seja z = f (x, y) uma função diferenciável no ponto (x0, y0). O plano de

equação z = T (x, y) = f (x0, y0) + ∂f ∂x(x0, y0)(x − x0) + ∂f ∂y(x0, y0)(y − y0) (4.12) é chamado plano tangente ao gráfico de f no ponto (x0, y0, f (x0, y0)).

A equação (4.12) pode ser escrita, em notação de produto escalar, da seguinte forma: ∂f ∂x(x0, y0), ∂f ∂y(x0, y0), −1 · (x − x0, y − y0, z − f (x0, y0)) = 0.

Segue daí que o plano tangente ao gráfico de f em (x0, y0, f (x0, y0)) é perpendicular à

direção do vetor N (x0, y0) = ∂f ∂x(x0, y0), ∂f ∂y(x0, y0), −1 .

A reta que passa por (x0, y0, f (x0, y0)) e é paralela ao vetor N (x0, y0) é chamada reta

normal ao gráfico da função f em (x0, y0, f (x0, y0)) e sua equação é dada por

(x, y, z) = (x0, y0, f (x0, y0)) + t ∂f ∂x(x0, y0), ∂f ∂y(x0, y0), −1 , t ∈ R.

Observação: Só definimos o plano tangente ao gráfico de uma função f no ponto (x0, y0, f (x0, y0)) no caso em que f é diferenciável em (x0, y0). Se f não é

diferenciá-vel em (x0, y0), mas admite derivadas parciais neste ponto, então o plano equação (4.12)

(23)

CAPÍTULO 4. FUNÇÕES DIFERENCIÁVEIS 23 Exemplo 5 Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico de f (x, y) = 2 −px2_{+ y}2 _{no ponto P}

0 = (3, 4, −3).

Exemplo 6 Seja f (x, y) = 3x2_{y − x. Determine as equações do plano tangente e da}

reta normal do ponto (1, 2, f (1, 2)).

4.4 Diferencial

Definição 21. Seja z = f (x, y) uma função diferenciável no ponto (x0, y0). A diferencial

de f em (x0, y0) é definida pela função ou transformação linear T : R2 → R, dada por

T (x − x0, y − y0) = ∂f ∂x(x0, y0)[x − x0] + ∂f ∂y(x0, y0)[y − y0] (4.13) ou T (h, k) = ∂f ∂x(x0, y0)h + ∂f ∂y(x0, y0)k, em que h = x − x0 e k = y − y0 Observamos que:

• Comparando a equação (4.13) com a equação do plano tangente à superfície z = f (x, y), podemos ver que a transformação linear T nos dá uma aproximação do acréscimo ∆z, sofrido por f quando passamos de (x0, y0) para (x, y) ou seja,

∆z = f (x, y) − f (x0, y0) ∼ = ∂f ∂x(x0, y0)[x − x0] + ∂f ∂y(x0, y0)[y − y0]. • É comum dizer que

∂f

∂x(x0, y0)[x − x0] + ∂f

∂y(x0, y0)[y − y0]

é a diferencial de f em (x0, y0) relativa aos acréscimos ∆x e ∆y, onde

∆x = x − x0 e ∆y = y − y0.

• Em uma notação clássica, definimos a diferencial das variáveis independentes x e y como os acréscimos ∆x e ∆y, respectivamente, isto é,

(24)

CAPÍTULO 4. FUNÇÕES DIFERENCIÁVEIS 24 Nesse contexto, a diferencial de f em (x, y), relativa aos acréscimos ∆x e ∆y, é indicada por dz ou df, em que

dz = ∂f

∂x(x, y)dx + ∂f

∂y(x, y)dy.

Essa expressão também é denominada diferencial total de f (x, y). Exemplo 7 Calcular a diferencial de f (x, y) = x +√xy no ponto (1, 1). Exemplo 8 Dada a função z = x2_{+ y}2_{− xy}

a) Determinar uma boa aproximação para o acréscimo da variável dependente quando (x, y) passa de (1, 1) para (1, 001; 1, 02).

b) Calcular ∆z quando as varáveis independentes sofrem a variação dada em a). Exemplo 9 Calcular a diferencial das seguintes funções:

a) z = sen2_xy

b) z = ln(x + y2)

Exemplo 10 Dados um retângulo de lados 2cm e 4cm e um triângulo retângulo cujos catetos medem 2cm e 1cm, calcular um valor aproximado para a variação da área quando os lados são modificados de:

a) 4cm e 2cm para 4,01cm e 2,001cm, respectivamente, no caso do retângulo. b) 2cm para 2,01 cm, 1cm para 0,5cm, no caso do triângulo retângulo.

(25)

Capítulo 5

Regra da cadeia e vetor gradiente

5.1 Regra da cadeia

Teorema 22. Sejam z = f (x, y) uma função definida num conjunto aberto U ⊂ R2 _e

σ(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b], tal que σ([a, b]) ⊂ U. Se σ(t) é diferenciável em t0 ∈ [a, b]

e f (x, y) é diferenciável em σ(t0) = (x0, y0), então a função composta z(t) = f (σ(t)),

t ∈ [a, b], é diferenciável em t0 e dz dt = ∂f ∂x(x(t0), y(t0)) dx dt(t0) + ∂f ∂y(x(t0), y(t0)) dy dt(t0). (5.1) Demonstração: Seja t0 ∈ [a, b]. Usando a definição de derivada de função de uma

variável, podemos escrever

dz dt(t0) = limt→t0 z(t) − z(t0) t − t0 . O quociente z(t) − z(t0) t − t0

pode ser reescrito como z(t) − z(t0) t − t0 = f (x(t), y(t)) − f (x(t0), y(t0) t − t0 = f (x(t), y(t)) − f (x(t0), y(t) t − t0 + f (x(t0), y(t)) − f (x(t0), y(t0) t − t0 .

Pelo Teorema do Valor Médio para funções de uma variável, existe ¯x entre x0 = x(t0) e

x = x(t) tal que f (x, y) − f (x0, y) = ∂f ∂x(¯x, y) (x − x0). 25

(26)

CAPÍTULO 5. REGRA DA CADEIA E VETOR GRADIENTE 26 Analogamente, considerando f como uma função de y, existe ¯y entre y0 = y(t0) e

y = y(t) tal que

f (x, y) − f (x0, y) = ∂f ∂x(x, ¯y) (y − y0). Obtemos, assim, z(t) − z(t0) t − t0 = ∂f ∂x(¯x, y) x(t) − x(t0) t − t0 + ∂f ∂x(x, ¯y) y(t) − y(t0) t − t0 .

Passando ao limite quando t → t0 na equação acima e observando que ¯x → x0, ¯y → y0 e

que as derivadas parciais de f são contínuas em (x0, y0), obtemos

dz dt = ∂f ∂x(x(t0), y(t0)) dx dt(t0) + ∂f ∂y(x(t0), y(t0)) dy dt(t0), para todo t ∈ [a, b].

Exemplo 1 Sejam z = f (x, y) = x3y2, x(t) = e−t e y(t) = tsent. Calcule dz dt(t). Exemplo 2 Sejam z = x2_{y, x(t) = e}t2

e y(t) = 2t + 1. Calcule dz dt(t).

Exemplo 3 Seja z = f (t2_{, 3t + 1), em que f (x, y) é uma função de classe C}1 _{em R}2_.

a) Expresse dz

dt em termos das derivadas parciais de f. b) Verifique que dz dt t=1 = 2∂f ∂x(1, 4) + 3 ∂f ∂y(1, 4).

Exemplo 4 A temperatura de T (x, y) graus centígrados em cada ponto (x, y) de uma chapa de metal não caria com o tempo. Um besouro atravessando a chapa está em (x, y) = (t2 _{+ 1, 3t) no instante t. A temperatura tem as propriedades: T (5, 6) = 40,}

Tx(5, 6) = 4 e Ty(5, 6) = −2. Qual a taxa de variação desta temperatura em relação ao

tempo no instante t = 2?

5.2 Vetor gradiente

Definição 23. Seja f (x, y) uma função que possui derivadas parciais em (x0, y0). O vetor

gradiente de f em (x0, y0), denotado por ∇f (x0, y0), é o vetor

∇f (x0, y0) = ∂f ∂x(x0, y0), ∂f ∂y(x0, y0) . Outra notação para o gradiente de f em (x0, y0) é: gradf (x0, y0).

(27)

CAPÍTULO 5. REGRA DA CADEIA E VETOR GRADIENTE 27 Exemplo 5 Determinar o vetor gradiente das funções:

a) z = 5x2y + 1 xy 2 b) f (x, y) = x2+ 1 2y 2_{, no ponto (1, 3).}

Geometricamente, interpretamos ∇f (x0, y0), como um vetor aplicado no ponto (x0, y0).

Proposição 24. Seja f (x, y) uma função tal que pelo ponto P0 = (x0, y0), passa uma

curva de nível C de f. Se ∇f (x0, y0) for não nulo, então ele é perpendicular à curva C

em (x0, y0), isto é, ele é perpendicular à reta tangente à curva C no ponto (x0, y0).

A figura abaixo ilustra geometricamente esse resultado.

Exemplo 6 Encontrar a equação da reta perpendicular à curva x2_{+ y}2 _{= 4, no ponto}

P = (1,√3).

5.3 Derivação implícita

No estudo de funções de uma variável, é visto que uma função y = f (x) é definida implicitamente pela equação

F (x, y) = 0, (5.2)

se, ao substituirmos y por f (x) em (5.2), essa equação se transforma em uma identidade: F (x, f (x)) = 0.

Analogamente, dizemos que uma função z = f (x, y) é definida implicitamente pela equação

(28)

CAPÍTULO 5. REGRA DA CADEIA E VETOR GRADIENTE 28 se, ao substituirmos z por f (x, y) e, (5.3), essa equação se reduz a uma identidade.

Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 7 A função diferenciável y = y(x) é definida implicitamente pela equação y3_{+ xy + x}3 _{= 3. Expresse} dy

dx em termos de x e de y.

Exemplo 8 A função diferenciável z = z(x, y) é dada implicitamente pela equação xyz + x3_{+ y}3 _{+ z}3 _{= 5. Expresse} dz

dx em termos de x, y e z.

Exemplo 9 Sejam y = y(x) e z = z(x), z > 0, diferenciáveis e dadas pelo sistema    x2+ y2+ z2 = 1 x + y = 1. Expresse dy dx e dz dx em termos de x, y e z.

(29)

Capítulo 6

Derivada Direcional

6.1 Derivada Direcional: Definição e exemplos

Nessa seção, generalizamos o conceito de derivada parcial para obter a taxa de variação de uma função numa determinada direção.

Sejam f (x, y) uma função de duas variáveis, P0 = (x0, y0) um ponto do domínio de f

e u um vetor não nulo no plano xy. O conjunto dos pontos P0+ tu, /t ∈ R, é a reta L que

contém P0 e é paralela ao vetor u.

A derivada direcional de f (x, y) em P0 na direção de u, denotada por

∂f

∂u(P0), é a taxa de variação de f (x, y) em P0 na direção de L. Geometricamente,

∂f

∂u(P0) representa a inclinação da reta tangente à curva C de equação z = f (P0+tu) no ponto (x0, y0, f (x0, y0)).

Vejamos a figura a seguir:

(30)

CAPÍTULO 6. DERIVADA DIRECIONAL 30 Mais precisamente, temos o seguinte:

Definição 25. A derivada direcional de uma função z = f (x, y) em P0 na direção do

vetor u é definida por

∂f

∂u(P0) = limt→0

f (P0+ tu) − f (P0)

tkuk , se este limite existir.

Segue da definição acima que as derivadas parciais de f (x, y) em relação a x e a y em P0 são as derivadas direcionais nas direções dos vetores u = (1, 0) e v = (0, 1),

respectivamente.

Teorema 26. Se z = f (x, y) é diferenciável em P0 = (x0, y0) então

∂f ∂u(P0) = ∇f (P0) · u kuk, onde ∇f (P0) · u

kuk é o produto escalar de ∇f (P0) pelo vetor unitário na direção e sentido do vetor u.

Exemplo 1 Determine a taxa de variação de f (x, y) = xy + e2x+y no ponto P0 =

(−1, 2) na direção do vetor u = (1, 1).

Teorema 27. Se f é uma função diferenciável em P0 tal que ∇f (P0) 6= 0, então o valor

máximo de ∂f

∂u(P0) ocorre quando u tem a direção e o sentido do vetor ∇f (P0) (quando u for o versor de ∇f (P0), isto é, u =

∇f (P0)

k∇f (P0)k

), sendo k∇f (P0)k o valor máximo.

Exemplo 2 Seja f (x, y) = x2_y.

a) Determine u de modo que ∂f

∂u(1, 1) seja máximo. b) Qual o valor máximo de ∂f

∂u(1, 1)?

c) Estando-se em (1, 1) que direção e sentido deve-se tomar para que f cresça mais rapidamente?

Exemplo 3 Admita que T (x, y) = x2+3y2_{represente uma distribuição de temperatura}

(31)

CAPÍTULO 6. DERIVADA DIRECIONAL 31 a) Estando-se em (2,1

2) qual a direção e sentido de maior crescimento da temperatura? Qual a taxa de crescimento nesta direção?

b) Estando-se em (2,1

2) qual a direção e sentido de maior decrescimento da tempera-tura? Qual a taxa de decrescimento nesta direção?

(32)

Capítulo 7

Derivadas parciais de ordem superior

7.1 Derivadas parciais de ordem superior: Introdução

Nessa seção, introduziremos as derivadas parciais de ordem superior de funções de duas variáveis. O bjetivo principal é apresentar o Teorema de Schwarz, que atesta a igualdade das "derivadas parciais mistas"para funções de duas varáveis.

Já vimos como definir as funções ∂f

∂x(x, y) e ∂f

∂y(x, y), sendo z = f (x, y) uma função de duas variáveis.

Da mesma forma, podemos, agora, definir as derivadas parciais das funções ∂f ∂x e ∂f

∂y, obtendo quatro novas funções que são chamadas derivadas parciais de segunda ordem de f , a saber: • fxx(x, y) = ∂2_f ∂x2(x, y) = ∂ ∂x ∂f ∂x (x, y) = lim h→0 ∂f ∂x(x + h, y) − ∂f ∂x(x, y) h , se este limite exisir. • fxy(x, y) = ∂2_f ∂y∂x(x, y) = ∂ ∂y ∂f ∂x (x, y) = lim h→0 ∂f ∂x(x, y + h) − ∂f ∂x(x, y) h , se este limite exisir. • fyx(x, y) = ∂2_f ∂x∂y(x, y) = ∂ ∂x ∂f ∂y (x, y) = lim h→0 ∂f ∂y(x + h, y) − ∂f ∂y(x, y) h , se este limite exisir. 32

(33)

CAPÍTULO 7. DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR 33 • fyy(x, y) = ∂2_f ∂y2(x, y) = ∂ ∂y ∂f ∂y (x, y) = lim h→0 ∂f ∂y(x, y + h) − ∂f ∂y(x, y) h , se este limite exisir.

Exemplo 1 Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem da função f (x, y) = xy − excos y.

Exemplo 2 Dada a função f (x, y) = sen(2x+y), determinar ∂

2_f

∂y∂x(x, y) e ∂2_f

∂x∂y(x, y). Notemos que nos exemplos acima, as derivadas parciais mistas ∂

2_f

∂x∂y(x, y) e ∂2_f

∂y∂x(x, y) coincidem. Este fato nem sempre se verifica. O teorema a seguir nos dá uma condição que garante a igualdade das derivadas parciais mistas.

Já vimos que uma função f é de classe C1quando suas derivadas parciais são contínuas. Se as derivadas parciais de segunda ordem de f são contínuas, dizemos que f é de classe C2.

Teorema 28. (de Schwarz) Se z = f (x, y) é de classe C2_{, então suas derivadas mistas}

são iguais, isto é,

∂2_f

∂x∂y(x, y) = ∂2_f

(34)

Capítulo 8

Máximos e Mínimos

8.1 Valores extremos de funções de duas variáveis

Definição 29. Consideremos a função real z = f (x, y) definida num conjunto D ⊂ R2

e (x0, y0) ∈ D. Dizemos que f (x0, y0) é um valor máximo relativo de f (resp. valor

mínimo relativo de f ) se existe uma bola aberta B = B((x0, y0); r) ⊂ D tal que

f (x, y) ≤ f (x0, y0) ( resp. f (x, y) ≥ f (x0, y0)),

para todo (x, y) pertencente a B. Um valor máximo ou mínimo relativo de f é chamado valor extremo relativo. O ponto (x0, y0) onde f assume um valor extremo relativo é

dito ponto extremo relativo.

(35)

CAPÍTULO 8. MÁXIMOS E MÍNIMOS 35 Definição 30. Dizemos que X ∈ Rn _{é um ponto interior a um subconjunto D ⊂ R}n

se existir r > 0 tal que a bola aberta B(X; r) está contida em D. O subconjunto formado pelos pontos interiores a D é chamado interior de D.

Teorema 31. (Condição necessária para a existência de extremos relativos) Sejam z = f (x, y) uma função definida num conjunto D ⊂ R2 _{cujo interior é não vazio e (x}

0, y0) um

ponto interior a D. Se ∂f

∂x(x0, y0) e ∂f

∂y(x0, y0) existem e f (x, y) tem um extremo relativo em (x0, y0), então

∂f

∂x(x0, y0) = 0 e ∂f

∂y(x0, y0) = 0.

Definição 32. Um ponto (x0, y0) interior ao domínio de uma função z = f (x, y) é

cha-mado ponto crítico de f se ∇f (x0, y0) não existe ou ∇f (x0, y0) = (0, 0).

Exemplo 1 Seja f (x, y) = 1 − x2_{− y}2_{. O único ponto crítico de f é (0, 0) e f (0, 0) = 1.}

Observando que f (x, y) = 1 − x2 − y2 _{≤ 1 = f (0, 0), para todos os valores de x e y,}

concluímos que f atinge o valor máximo 1 em (0, 0).

Exemplo 2 Seja f (x, y) = px2_{+ y}2_{. Se (x, y) 6= (0, 0), então} ∂f

∂x(x, y) = x px2_{+ y}2 e ∂f ∂y(x, y) = y

px2_{+ y}2; logo, ∇f (x, y) 6= (0, 0). Por outro lado,

∂f

∂x(0, 0) e ∂f

∂y(0, 0) não existem. (Verifique!) Portanto, (0, 0) é o único ponto crítico de f. Como f (0, 0) = 0 e f (x, y) ≥ 0 = f (0, 0) para todos os valores de x e y então f atinge o valor mínimo 0 em (0, 0).

(36)

CAPÍTULO 8. MÁXIMOS E MÍNIMOS 36

Exemplo 3 O único ponto crítico da função f (x, y) = y2_{− x}2 _{é (0, 0) e f (0, 0) = 0.}

No entanto, f não possui extremo relativo em (0, 0).

Observe na figura (iii) que algumas seções retas verticais do gráfico de f passando por (0, 0) têm concavidade voltada para cima e outras têm concavidade voltada para baixo. Neste caso, dizemos que a função f tem um ponto de sela no ponto crítico (0, 0).

Para analisar a natureza de um ponto crítico (x0, y0) de z = f (x, y) tal que

∇f (x0, y0) = (0, 0), usaremos o teste da derivada segunda, que será dado no próximo

(37)

CAPÍTULO 8. MÁXIMOS E MÍNIMOS 37 Teorema 33. (Teste da derivada segunda) Sejam z = f (x, y) uma função de classe C2

numa bola aberta B = B((x0, y0); r). Suponhamos que (x0, y0) é um ponto crítico de f (x, y)

tal que ∇f (x0, y0) = (0, 0). Denotemos por

A = ∂ 2_f ∂x2(x0, y0), B = ∂2_f ∂x∂y(x0, y0), e C = ∂2_f ∂y2(x0, y0). Se

i) B2− AC < 0 e A < 0, então f tem um valor máximo relativo em (x0, y0);

ii) B2_{− AC < 0 e A > 0, então f tem um valor mínimo relativo em (x} 0, y0);

iii) B2− AC > 0, então f tem um ponto de sela em (x0, y0).

Exemplo 4 Localize e classifique os pontos críticos da função f (x, y) = 2x3 + y3 − 3x2_{− 3y.}

Exemplo 5 O gráfico da função g(x, y) = 1

xy é uma superfície S no R

3_{. Encontre os}

pontos de S mais próximos da origem.

8.2 Máximos e mínimos sobre conjunto compacto

Definição 34. Sejam z = f (x, y) uma função real de duas variáveis definida num con-junto D ⊂ R2 _{e (x}

0, y0) ∈ D. Dizemos que f (x0, y0) é um valor máximo absoluto de f

(resp. valor mínimo absoluto de f ) se

f (x, y) ≤ f (x0, y0) ( resp. f (x, y) ≥ f (x0, y0)),

para todo (x, y) ∈ D.

Definição 35. _{Um conjunto D ⊂ R}n _{é dito limitado, se existe um número real r > 0}

e um ponto X0 ∈ Rn tal que D ⊂ B(X0; r).

Dizemos que X é um ponto da fronteira de D, denotada por ∂D, se para qualquer bola aberta B centrada em X tem-se B ∩ D 6= ∅ e B ∩ (Rn− D) 6= ∅.

Dizemos que D é fechado se D é a união do conjunto dos pontos interiores a D com os pontos da fronteira de D.

(38)

CAPÍTULO 8. MÁXIMOS E MÍNIMOS 38 Teorema 36. (de Weierstrass) Se z = f (x, y) é uma função definida num conjunto compacto D ⊂ R2, então f tem um valor máximo absoluto e um valor mínimo absoluto em D.

Note que esse teorema nos garante a existência de pontos de máximo e mínimo abso-lutos, mas não nos fornece um critério segundo o qual possamos localizá-los. Passemos, agora, a tratar desta questão.

Se (x0, y0) é um extremo absoluto de uma função f em D ⊂ R2 (compacto), então

(x0, y0) é um ponto interior a D ou pertence à fronteira de D. Portanto, para localizarmos

os extremos absolutos de f em D, encontramos os pontos críticos de f e comparamos os valores de f nestes pontos com os valores máximo e mínimo de f na fronteira de D.

Exemplo 6 Encontre o máximo e o mínimo da função f (x, y) = (x − 2)2y + y2y − y definida em

D = {(x, y) ∈ R2; x ≥ 0, y ≤ 0 e x + y ≤ 4}.

Exemplo 7 Uma placa metálica circular com um metro de raio está colocada com centro na origem do plano xy e é aquecida de modo que a temperatura num ponto (x, y) é dada por

T (x, y) = 64(3x2− 2xy + 3y2+ 2y + 5) graus,

onde x e y estão em metros. Encontre a maior e a menor temperatura na placa.

8.3 Método dos multiplicadores de Lagrange

O problema de se encontrarem os pontos extremos de uma função f (x, y) na fronteira de uma região D do plano xy consiste em procurar os extremos da função f (x, y), para (x, y) sobre uma curva no plano xy de equação g(x, y) = 0. A condição g(x, y) = 0 é chamada restrição, e o problema correspondente é chamado um problema de extremos condicionados.

Para resolver tal problema podemos, quando possível, reduzi-lo, usando a restrição, ao cálculo dos máximos e mínimos de uma função de uma variável (como nos exemplos 6

(39)

CAPÍTULO 8. MÁXIMOS E MÍNIMOS 39 e 7). Nem sempre tal procedimento é praticável e, frequentemente, o método a seguir é mais conveniente.

Teorema 37. Sejam f (x, y) e g(x, y) funções definidas e de classe C1 _{num subconjunto}

aberto U do plano xy que contém a curva C de equação g(x, y) = 0. Se f (x, y) tem um valor máximo ou mínimo em (x0, y0) ∈ C e ∇g(x0, y0) não é o vetor nulo, então existe

um número real λ tal que

∇f (x0, y0) + λ∇g(x0, y0) = 0.

O número λ é chamado multiplicador de Lagrange.

Exemplo 8 Encontre a menor distância da origem à hipérbole de equação x2+ 8xy + 7y2− 225 = 0.

Exemplo 9 Determine o maior e o menor valor de f (x, y) = ex2_+y2_+y

se (x, y) pertence ao segmento de reta de equação y + x − 1 = 0, 0 ≤ x ≤ 1.