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fisica teoria e experimental i

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Academic year: 2021

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autores do original

LUCIANE MARTINS DE BARROS

ADRIANO SILVA BELISIO

FÍSICA TEÓRICA

EXPERIMENTAL I

(3)

Conselho editorial regiane burger, luiz gil guimarães, roberto paes, gladis linhares Autores do original luciane martins de barros; adriano silva belisio

Projeto editorial roberto paes

Coordenação de produção gladis linhares Projeto gráfico paulo vitor bastos

Diagramação bfs media Revisão linguística bfs media

Revisão de conteúdo robson florentino

Imagem de capa andrea danti | shutterstock.com

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por quaisquer meios (eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem permissão escrita da Editora. Copyright seses, 2016.

Diretoria de Ensino — Fábrica de Conhecimento Rua do Bispo, 83, bloco F, Campus João Uchôa Rio Comprido — Rio de Janeiro — rj — cep 20261-063

(4)

Sumário

Prefácio

9

1. Medição

11

1.1 Introdução 13

1.2 Medir e Comparar grandezas 14

1.3 O Sistema Internacional de Unidades (S.I.) 15

1.3.1 Padrão do Comprimento 17

1.3.2 Padrão do Tempo 17

1.3.3 Padrão de Massa 19

1.3.4 Notação Científica 21

1.3.5 Cálculos com potências na calculadora 22

1.4 Teoria dos Erros Simplificada 23

1.4.1 Erro sistemático 23

1.4.2 Erros acidentais ou aleatórios 24

1.4.3 Erros grosseiros 24

1.4.4 Algarismos Significativos (A.S.) 24

1.4.5 Incertezas 25

1.4.6 Critério de Arredondamento 26

1.4.7 Teoria dos erros aplicada a um conjunto

de medidas experimentais 28 1.4.8 Valor médio 28 1.4.9 Desvios 28 1.4.9.1 Desvio médio (δ) 29 1.4.10 Variância 29 1.4.11 Desvio padrão 29 1.5 Propagação de erros 30

1.5.1 Soma e subtração de grandezas afetadas por erros 30 1.5.2 Produto e Quociente de grandezas afetadas por erros 30 1.6 Propagação de erros em funções com

(5)

1.7 Atividade experimental I – Algarismos significativos,

a teoria dos erros e as incertezas 36

1.7.1 Objetivos gerais 36

1.7.2 Material necessário: 36

1.7.3 Procedimento experimental: 37

1.7.3.1 Utilizando uma folha de papel A4, determine

o comprimento (L) lateral e sua altura (H), 37

1.7.3.2 Expresse todas as medidas na mesma unidade, o metro. 37 1.7.3.3 Expresse todas as medidas na mesma unidade, o decímetro. 37 1.7.3.4 Expresse todas as medidas na mesma unidade, o centímetro. 37 1.7.3.5 Expresse todas as medidas na mesma unidade, o milímetro. 38

2. Instrumentos de Medidas e Gráficos

39

2.1 Instrumentos de medidas 41

2.1.1 Paquímetro 41

2.1.2 Descrição do Paquímetro 41

2.2 Micrômetro 44

2.2.1 Descrição das partes do micrômetro 44

2.2.2 Medições com o micrômetro 45

2.3 Gráficos 47

2.3.1 Representação gráfica de resultados experimentais 47 2.3.2 Função diretamente proporcional ou função linear 47

2.3.3 Como fazer um gráfico 50

2.3.4 Análise e interpretação de gráficos 52

2.4 Linearização da função exponencial 54

2.5 Linearização da função potência 56

2.6 Construção de gráficos utilizando o software Zgrapher 57 2.7 Atividade Experimental l – Incertezas em Medidas Experimentais 60

2.7.1 Objetivos gerais 60 2.7.2 Material necessário: 60 2.7.3 Procedimento experimental: 60 2.7.4 Objetivos gerais 62 2.7.5 Material necessário: 62 2.7.6 Procedimento experimental: 62

(6)

3. Cinemática Vetorial

65

3.1 Introdução 67

3.2 Conceitos de Sistema de Coordenadas e Posição 68

3.2.1 Ponto Material, Referencial e posição 69

3.2.2 Sistema de Coordenadas Cartesianas 70

3.3 Deslocamento, velocidade e aceleração vetoriais 75

3.3.1 Vetor-posição 75

3.3.2 Vetor – deslocamento 76

3.3.3 Velocidade Vetorial média 78

3.3.4 Velocidade Vetorial Instantânea 78

3.3.5 Aceleração vetorial média 80

3.3.6 Aceleração vetorial instantânea 80

3.4 Tipos de movimentos 81

3.4.1 Movimento Unidimensional 81

3.4.1.1 Gráficos e função horária do MU 82

3.4.1.2 Movimento Variado 86

3.4.1.3 Movimento Uniformemente Variado 86

3.4.1.4 Movimento de Queda Livre 91

3.4.2 Movimento em duas e três dimensões 95

3.4.2.1 Movimentos bidimensionais especiais 99

3.5 Atividade Experimental III – Movimento Retilíneo e Uniforme 108

3.5.1 Objetivos gerais 108

3.5.2 Material necessário: 108

3.5.3 Procedimento experimental: 108

3.5.4 Responda às questões seguintes: 109

3.6 Atividade experimental IV– Encontro de dois

móveis em movimento retilíneo uniforme (MRU) 110

3.6.1 Objetivos gerais 110

3.6.2 Material necessário: 110

3.6.3 Procedimento experimental: 110

3.6.4 Responda as questões seguintes: 111

3.7 Atividade experimenta lV – Aceleração da gravidade 112

3.7.1 Objetivos gerais 112

(7)

3.8 Atividade Experimental VI – Colchão de arlinear 114

3.8.1 Objetivos gerais 114

3.8.2 Material necessário: 114

3.8.3 Procedimento experimental: 115

3.9 Atividade Experimental VII – Queda Livre 116

3.9.1 Objetivos gerais 116

3.9.2 Material necessário: 116

3.9.3 Procedimento experimental: 116

4. Leis de Newton

119

4.1 Introdução 121

4.2 Conceitos de Massa e Força 123

4.2.1 Força e deformação 123

4.3 As Leis de Newton 125

4.3.1 Primeira Lei (Lei da Inércia) 125

4.3.2 Referenciais Inerciais 126

4.3.3 Segunda Lei (Princípio Fundamental da Dinâmica) (PFD) 126

4.4 Terceira Lei de Newton (Ação-Reação) 127

4.5 Algumas Forças Importantes 129

4.5.1 Força-Peso (W) → 129

4.5.2 Força Normal (N) → 130

4.5.3 Força de Tração de um Fio (→T) 130

4.5.4 Força de Atrito (F→at) 131

4.6 Estratégias para resolver problemas de

equilíbrio de corpos (Primeira Lei de Newton) 132

4.7 Estratégias para resolver problemas envolvendo

a Segunda Lei de Newton 134

5. Trabalho e Energia

139

5.1 Introdução 141

5.2 Energia 141

(8)

5.4 Trabalho e Energia Cinética 143

5.5 Teorema trabalho e energia cinética 144

5.6 Trabalho Realizado pela Força Gravitacional 144

5.7 Trabalho Realizado pela Força Elástica 145

5.8 Trabalho Realizado por uma Força Variável Genérica 146

5.8.1 Análise Unidimensional 146

5.8.2 Análise Tridimensional 148

5.9 Potência 149

5.9.1 Teorema do trabalho e Energia Cinética com uma Força Variável 149

5.10 Energia Potencial e Conservação da Energia 150

5.10.1 Conservação da Energia Mecânica 151

5.11 Conservação da Energia 153

5.12 Sistema Isolado 153

5.13 Potência 153

6. Momento Linear e Impulso

155

6.1 Introdução 157

6.2 Momento Linear 157

6.3 Definição de Momento 158

6.4 Momento de uma força 158

6.5 Momento e Energia Cinética 159

6.6 Impulso 159

6.7 Conservação do Momento Linear 160

6.8 Colisão Elástica Unidimensional 160

6.9 Colisão Perfeitamente Inelástica 161

(9)
(10)

Prefácio

Prezados(as) alunos(as),

A partir do momento que a humanidade passou a analisar os fenômenos da natureza a história da física tem seu início. Foram os indianos e os gregos antigos os primeiros a tentarem a explicar a física.

A Física é uma ciência em grande expansão, com muitos desafios intelec-tuais relacionados à pesquisa que vão do estudo das galáxias até o estudo de partículas subatômicas. Ela é aplicada em diversas áreas de engenharias e até mesmo áreas da saúde.

Entender a física é entender o mundo ao nosso redor. É entender a nature-za. É entender a nós mesmos.

Procuramos, aqui, apresentar a Física de forma clara e prática. Não com o intuito de formar especialistas nessa área, mas sim de proporcionar a você, caro aluno, uma compreensão dos elementos básicos que compõem essa ciên-cia, visando à aplicação na sua área de atuação. Não tivemos a intenção de es-gotar o assunto, mas sim de apresentar os elementos necessários para que você realize uma leitura satisfatória da realidade que o cerca e das informações que têm a sua volta.

Muitos dos exemplos aqui apresentados são hipotéticos. São exemplos de situações que ocorrem de forma semelhante à realidade, mas os dados apre-sentados não são reais, foram criados apenas para ilustrar a aplicação do con-teúdo apresentado.

(11)
(12)

Medição

(13)

Bem vindos ao curso de Física Teórica e Experimental I. O seu livro didático está dividido em 06 capítulos que correspondem ao início da Mecânica Newto-niana. Neste livro, também foram incluídas como sugestões as práticas experi-mentais, como forma de melhorar a compreensão e o seu aprendizado sobre a física. Esperamos que este livro seja um convite a pensar, resolver problemas, a interagir com os colegas , ler as leituras propostas, se interessar pelo conheci-mento, pesquisar, trabalhar em equipe e argumentar.

Neste primeiro capítulo, destacamos a importância da física como uma ciência em evolução, definimos as grandezas escalares e vetoriais, apresenta-mos o Sistema Internacional de unidades, estudaapresenta-mos os tipos dos erros e a pro-pagação dos erros em medidas.

Vamos começar?

OBJETIVOS

•  Destacar a importância da Física como ciência.

•  Definir o que é medir e grandezas físicas escalares e vetoriais. •  Apresentar o Sistema Internacional de Unidades.

•  Apresentar Teoria dos Erros e sua propagação em medidas. •  Definir erro e tipos de erros.

(14)

1.1 Introdução

Você já se perguntou por que estudar Física? A resposta para esta pergunta de-pende de cada um de nós, pois temos aspirações e ideias diferentes, mas é certo que cada um de nós quer entender melhor o mundo que nos cerca, como por exemplo, poder prever catástrofes e evitar inúmeras mortes, planejar e cons-truir edifícios modernos e sustentáveis, esses certamente já seriam bons moti-vos para estudar Física.

A Física vai muito além, sua importância é central em todas as áreas do co-nhecimento, pois é uma ciência voltada ao estudo dos fenômenos naturais (da natureza), estabelecendo leis gerais (equações matemáticas) que permitem prever e analisar o comportamento desses fenômenos sem esquecer-se tam-bém da sua contribuição para o desenvolvimento das novas tecnologias.

De que maneira estudamos esses fenômenos naturais? A Física como todas as ciências necessitam de medições e comparações. Assim, precisamos esta-belecer um método confiável com o qual podemos medir grandezas, executar estes experimentos também é um dos objetivos da Física. O Método Científico é o mais utilizado, pois este método padroniza os procedimentos de medida da grandeza.

Você pode se perguntar: Método Científico? Eu nunca apliquei este método. Aí é que você pode estar enganado. Veja esta situação corriqueira que todos nós já passamos. Você chega em casa e vai aquecer seu jantar no forno de micro-on-das e percebe que o mesmo não liga.

Primeira hipótese: Será que está conectado à tomada? Você verifica se o mesmo está ligado à tomada, e constata que está. Então, a primeira hipótese foi refutada.

Segunda hipótese: Será que está faltando energia elétrica? Ao tentar li-gar o interruptor você descobre que a energia elétrica está funcionando per-feitamente, logo a segunda hipótese também está refutada. Neste exemplo, você não descobriu o porquê do micro-ondas não funcionar, mas aplicou o Método Científico.

O Método Científico constitui-se de etapas: 1ª etapa: Observação que levanta uma questão. 2ª etapa: Formulação de perguntas.

(15)

3ª etapa: Formulação das hipóteses, busca por possíveis respostas àque-la questão.

4ª etapa: Experiência controlada, onde a hipótese é testada. 5ª etapa: Análise das informações.

6ª etapa: Conclusão.

COMENTÁRIO

O surgimento do método científico remonta ao século XII, o período do Renascimento. Foi com Roger Bacon (1214-1292) e Francis Bacon (1561-1626) que a ideia de método cien-tífico foi começando a surgir, defendiam a experimentação como fonte de conhecimento. Porém, foi com a obra “Discurso do Método” de René Descartes (1596-1650) que, de fato, os fundamentos do método científico moderno foram conhecidos.

PERGUNTA

Como é caracterizado o processo de produção de conhecimento a partir do método experimental?

1.2 Medir e Comparar grandezas

O que é medir?

Em física temos basicamente duas categorias de grandezas, as escalares que são expressas por um número (escalar) e as vetoriais (vetor) que precisam de um número (valor), direção e sentido para sua completa descrição.

ATENÇÃO

O número (valor) das grandezas, em muitos livros, também é chamado de módulo, norma ou magnitude.

Podemos citar como exemplo de grandezas escalares o tempo, a temperatura, a pressão, o trabalho de uma força, a massa de um corpo e como grandezas vetoriais o descolamento,

(16)

a velocidade, a força, o campo elétrico entre outras. Porém, em física as grandezas (G) esca-lares e as vetoriais são expressas por:

Ex.: Grandeza Escalar = Número · Unidade Massa = 3 kg

m número quilograma (unidade

de massa Sistema Internacional)

COMENTÁRIO

Sistema Internacional de Unidades é o assunto da próxima seção!

O número é o valor que buscamos medir em laboratório utilizando para isso instrumentos de medidas próprios para a medição, por exemplo, se queremos medir o comprimento de peça e dependendo do seu tamanho podemos utilizar desde os mais conhecidos instrumen-tos de medida que são: a régua, a trena, o paquímetro e o micrômetro. Mas se quisermos medir o tempo de determinado corpo em queda ou do espaço percorrido, utilizamos o cronô-metro e para massa de um corpo, a balança.

Então, respondendo à pergunta inicial:

Medir é associar valores numéricos às grandezas físicas, através de instrumentos.

1.3 O Sistema Internacional de Unidades (S.I.)

A Física e a engenharia projetam equipamentos que possam medir grandezas cada vez mais precisas, assim precisamos de regras para estabelecer de que for-ma as grandezas devem ser medidas e comparadas, medimos cada grandeza física em unidades apropriadas e comparamos com um padrão. A unidade de massa é o quilograma e seu padrão é, como veremos, a massa de um corpo sóli-do armazenasóli-do em um museu na cidade de Paris.

(17)

CURIOSIDADE

O Birô Internacional de Pesos e Medidas luta para encontrar solução para a questão do padrão universal do quilograma, um cilindro de platina e irídio cuja massa paradoxalmente pa-rece variar. No artigo intitulado “Um quilo de problemas” Robert Matthews da New Scientist fala sobre o padrão de massa em comparação com o padrão de tempo e metro e do fato de não ter sido ainda definido com requintes high tech como os outros são. Vale a pena conferir a leitura.

LEITURA

http://www1.folha.uol.com.br/fsp/ciencia/fe3003200301.htm

O Sistema Internacional de Unidades (SI) baseia-se em sete grandezas fun-damentais que foram estabelecidas no ano de 1971, na 14ª Conferência Geral de Pesos e Medidas, sendo que massa, comprimento e tempo são, na maioria das vezes, a base para as outras. A tabela 1.1 mostra as unidades fundamentais das sete grandezas do SI.

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES

GRANDEZA NOME DA UNIDADE SÍMBOLO DA UNIDADE

Comprimento Metro m

Tempo Segundo s

Massa Quilograma kg

Corrente Elétrica Ampère A

Temperatura Termodinâmica Kelvin K

Quantidade De Matéria Mol Mol

Intensidade Luminosa Candela Cd

(18)

1.3.1 Padrão do Comprimento

O que é 1 metro? O padrão para o metro vem evoluindo desde a era antiga. No século XVIII, 1 metro era definido como um décimo milionésimo da distância entre o polo norte e o equador, este padrão foi abandonado por questões práti-cas. Em 1983, durante a 17ª Conferência Geral de Pesos e Medidas, buscando cada vez mais uma maior precisão, o metro foi definido como a distância per-corrida pela luz em um intervalo de tempo especificado, uma vez que as medi-das da velocidade da luz estavam extremamente precisas.

O metro é a distância percorrida pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1/299792458 de segundos.

CURIOSIDADE

Na tabela 1.2 mostramos alguns comprimentos aproximados.

DESCRIÇÃO COMPRIMENTO EM METROS

Raio da Terra 6 x106

Altura do Monte Everest 9x103

Comprimento de um vírus típico 1x10-8

Raio do átomo do hidrogênio 5 x10-11

Raio do próton 1x10-15

Tabela 1.2 – Alguns Comprimentos.

1.3.2 Padrão do Tempo

No mês de fevereiro de 2015, durante a Campus Party, evento em ciência e tec-nologia realizado em São Paulo SP, o físico Daniel Quaresma, do Observatório Nacional, órgão que fornece a hora legal brasileira, explicou porque iria ser

(19)

acrescentado um segundo ao Tempo Universal Coordenado (UTC), correção necessária para ajustar o horário ao Tempo Atômico Internacional (TAI).

O ajuste foi necessário por causa da velocidade de rotação do planeta Terra, que registra variações, enquanto os relógios atômicos figura 1.1, que geram e mantêm a hora legal, possuem uma precisão que chega a um segundo em milhões de anos. A correção foi feita no dia 30 de junho, quando o relógio ofi-cial registrou a sequência 23h59min59s - 23h59min60s, para só então passar a 1º de julho (0h00min00s). Como essa correção foi feita no horário de Greenwich, no Brasil ocorreu três horas antes – 21h, no horário de Brasília. O acréscimo pode parecer pequeno, mas afeta diretamente alguns sistemas de computado-res e pode deixá-los lentos ou provocar erros.

(20)

Encontrar um padrão para o tempo também não foi simples; o tempo já foi medido observando-se a posição relativa do Sol. Atualmente, o segundo é defi-nido com base nas variações do estado do átomo de césio, hoje este padrão está baseado no relógio atômico. O relógio atômico é extremamente preciso e po-demos medir e comparar intervalos de tempo. A importância dessa exatidão é que faz com que o Sistema de Posicionamento Global (GPS – Global Positioning System) utilizado no mundo inteiro, seja possível.

O padrão para o tempo foi estabelecido em 1967 na 13ª Conferência Geral de Pesos e Medidas:

Um segundo é o intervalo de tempo que corresponde a 9.192.631.770 oscilações da luz (de um comprimento de onda especificado) emitida por um átomo de Césio 133.

Na tabela 1.3 colocamos alguns intervalos de tempo aproximados curiosos.

DESCRIÇÃO INTERVALO DE TEMPO EM SEGUNDOS

Idade do universo 5 x1017

Expectativa de vida de um ser humano 2 x109

Intervalo entre duas batidas de um coração humano 8 x 10-1

Tabela 1.3 – Alguns Intervalos de tempo aproximados.

1.3.3 Padrão de Massa

O padrão de massa do SI, foi construído em 1879, é conhecido como “Le Grand K”, é um cilindro com 3,9 cm de altura e 3,9 cm de diâmetro, feito de uma liga de platina e irídio que fica em um museu na França. Réplicas desse padrão primário foram feitas e espalhadas nos laboratórios de padronização de todo o mundo, são mantidos sob condições especiais de armazenamento e mesmo assim esse padrão de tempos em tempos é questionado.

Os cientistas perceberam que com o passar do tempo o quilograma está ficando mais leve, pois acredita-se que esteja perdendo metal, isso é um pro-blema porque a massa não pode variar. A figura 1.2 mostra o quilograma-pa-drão internacional de massa que está guardado no cofre do National Institute of Standards and Technology (NIST), Colorado EUA, esta replica desde 1889, já

(21)

Figura 1.2 – O quilograma-padrão internacional de massa. (Cortesia do Bureau Internacio-nal de Pesos e Medidas, França).

Para o físico do NIST, Richard Steiner sobre a inexatidão do quilograma-padrão:

Isto significa que se o quilograma não for preciso, o joule e a candela também não, o que pode acabar causando problemas em uma série de indústrias, particularmente na área de tecnologia. À medida que microchips processam mais informação a veloci-dades cada vez maiores, mesmo pequenos desvios levam a catástrofes. A falta de confiabilidade no Le Grand K ‘começará a se tornar perceptível na próxima década ou na seguinte na indústria de eletrônicos’, avisa o físico do NIST Richard Steiner.

Enquanto não temos uma definição de quilo em termos de processos mo-dernos confiáveis como foi para o metro e o segundo, ficamos com o padrão imperfeito de quilo. Na tabela 1.4 listamos algumas massas aproximadas:

DESCRIÇÃO MASSA EM QUILOGRAMAS

Sol 2x1030

Lua 7x1022

Grão de poeira 7x10-10

(22)

ATIVIDADES

01. A Terra tem a forma aproximada de uma esfera com 6,37x106 m de raio. Determine:

a) o comprimento da circunferência da Terra em quilômetros; b) a área superficial em quilômetros quadrados;

c) o volume da Terra em quilômetros cúbicos. 02. Pesquise sobre o relógio atômico.

03. Uma pessoa que está de dieta pode perder 2,3 kg por semana. Expresse a taxa de perda de massa em miligramas (1 mg = 10-3 g) por segundo, como se a pessoa pudesse sentir a

perda segundo a segundo.

1.3.4 Notação Científica

Ao observamos as medidas das grandezas nas Tabelas 1.2, 1.3 e 1.4, percebe-mos que quando são muito grandes ou muito pequenas, para expressá-las uti-lizamos a notação científica.

Na notação científica, a velocidade da luz (c = 299.792.458 m/s) fica escrita como:

c = 2,99 792458 x 108 m/s.

•  Na notação científica, o tempo medido (t= 0,000054 s) fica escrito como t= 5,4 x10–5 s.

A Notação Científica nos ajuda a escrever números muito grandes ou muito pequenos através de potências de 10.

EXEMPLO

100 =1

103 =1000

10–6 =0,000001

Assim, o número 1750000 pode ser escrito da seguinte forma: 1,75 x106.

(23)

ATENÇÃO

Se o número que está à esquerda da vírgula estiver entre 1 e 9, o número está em notação científica, caso contrário não.

1,75 x106 está em notação científica 17,5 x105 não está em notação científica

↓ ↓

1 até 9 é maior que 9

ATIVIDADE

04. Coloque os números em notação científica: a) 0,00035

b) 0,04506 c) 0,1204 d) 1300001 e) 104678

1.3.5 Cálculos com potências na calculadora

Abaixo, na figura 1.3(a) e 1.3(b), temos a foto de duas calculadoras científicas mais comuns dos alunos das engenharias; as teclas em destaque são a que uti-lizamos para os cálculos com potência:

a b

Figura 1.3 – Calculadoras Científicas

Na calculadora (b) a tecla EXP já entende o “x10” não é necessário digitar “x10”. Ex.: 3 x104 = 3 EXP 4

(24)

1.4 Teoria dos Erros Simplificada

A Teoria dos erros é aplicada a um conjunto de medidas experimentais com a finalidade de expressar matematicamente o valor mais próximo do real. Des-creveremos aqui de forma sucinta.

Quando grandezas físicas são medidas experimentalmente, essas têm uma incerteza que está associada ao equipamento utilizado e ao operador, mesmo medindo repetidas vezes uma grandeza utilizando o mesmo equipamento, os resultados não são idênticos.

Como confiar em uma medida? Qual seu valor verdadeiro?

Para termos confiança em uma medida precisamos expressar a incerteza de modo que as pessoas entendam de uma maneira universal o grau de con-fiabilidade daquele valor medido. A teoria dos erros é um método estatístico adequado de se obter e manipular os dados experimentais e tem a finalidade de conseguir estimar com maior exatidão possível o valor da medida e o seu erro. Logo, o valor verdadeiro será sempre uma estimativa.

O erro de uma medida é definido como sendo a diferença entre o valor me-dido e o valor real. Mas sabemos que existem flutuações nos valores obtidos que acompanham todas as medidas e que são as causas que limitam o objetivo de se atingir o valor verdadeiro da grandeza. E estas flutuações ou erros são de origem sistemáticas, acidentais ou aleatórias.

1.4.1 Erro sistemático

Quando o erro é sistemático, dizemos que a flutuação nas medidas ocorreu por falhas nos equipamentos ou do operador, por exemplo:

•  equipamento com calibração errada; •  cronômetro que sempre atrasa;

•  leitura do operador sempre adiantada em relação ao ponto correto de observação.

(25)

1.4.2 Erros acidentais ou aleatórios

Como o próprio nome diz os erros acidentais ou aleatórios estão relacionados a ações atípicas e variáveis diversas, mesmo que se meça repetidas vezes as me-didas apresentam flutuações e acontecem por:

•  Imperícia do operador; •  Cansaço;

•  Erro de paralaxe na leitura de uma escala.

1.4.3 Erros grosseiros

Acontecem quando o operador falha grosseiramente. Por exemplo, faz uma lei-tura errada, lê 100mA no lugar de 1mA.

ATENÇÃO

Se deseja obter melhores resultados nos seus experimentos no laboratório realize suas me-didas com o máximo de cuidado e paciência.

1.4.4 Algarismos Significativos (A.S.)

Ao medir o comprimento de uma peça com uma régua dividida em centímetros na figura abaixo, podemos escrever a medida da seguinte forma:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

l = 11,3 cm

Figura 1.4 – Régua graduada em Centímetros.

Essa medida apresenta três algarismos significativos (A.S.), sendo que o último é chamado algarismo duvidoso, pois não temos certeza e fazemos uma estimativa.

(26)

l = 11,3 cm duvidoso

Definimos então, algarismos significativos de uma medida como todos os algarismos que temos certeza (os exatos) e mais um duvidoso (sempre o algaris-mo duvidoso é o últialgaris-mo da direita).

EXEMPLO

•  7,39 cm: Temos 3 algarismos significativos (7 e 3 são exatos e o 9 é o duvidoso) •  8,65 x10–12 nm: Temos 3 algarismos significativos (8 e 6 são exatos e o 5 é o duvidoso)

•  5 N : Temos 1 algarismo significativo e ele próprio é o duvidoso.

•  21,00: Temos 4 algarismos significativos (2, 1 e 0 exatos e o último 0 é o duvidoso)

ATENÇÃO

Zeros à direita da vírgula são significativos e zeros à esquerda não são.

A quantidade de algarismos significativos de uma determinada medida não se altera quando fazemos uma transformação de unidades. Na medida l= 7,38 cm temos 3 A.S., se passarmos a medida para milímetros l= 73,8 mm teremos os mesmos 3 A.S.

1.4.5 Incertezas

Se 2 experimentadores fossem efetuar a medida da peça na figura 1.4, eles ano-tariam os 11 cm exatos, mas poderiam avaliar a fração do centímetro restante de formas diferentes, ou seja, para um experimentador o comprimento poderia ser de 11,3 cm mas para o outro 11,4 cm e nenhum estaria errado.

Então o comprimento da peça seria:

(27)

PERGUNTA

O que está errado, ou inapropriado para a medida?

Quando queremos avaliar milímetros não podemos utilizar uma régua graduada em cen-tímetros. Observe a mesma peça medida com uma régua graduada em milímetros, podemos ver que a medida é com certeza 113 mm e alguma coisa que não podemos enxergar mais:

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

Figura 1.5 – Régua graduada em milímetros.

ATENÇÃO

Costumamos fazer estimativas com aproximações até décimos da menor divisão da escala do instrumento. Para a régua milimetrada a menor divisão é o milílimetro, então nossas apro-ximações têm que ser até décimos de milímetro. Esta aproximação chamamos de incerteza.

Incerteza é a fração avaliada da menor divisão da escala, no algarismo duvidoso esta é a incerteza de uma medida.

Na medida efetuada com a régua em centímetros, por exemplo, um experimentador po-deria medir 11,3 cm, mas outro experimentador popo-deria dizer que a medida fosse 11,4 cm e outro 11,2 cm, desta forma o valor mais provável seria:

l = (11,3 ± 0,1) cm, onde 0,1 seria a amplitude da incerteza ou incerteza absoluta.

1.4.6 Critério de Arredondamento

No curso de física adotaremos o seguinte critério de arredondamento, primei-ro fixamos o númeprimei-ro de algarismos significativos que queremos. Na medida L = 1,264 m, queremos arredondar para somente 3 A.S, ou seja, duas casas após a vírgula:

(28)

L = 1,264 cm

Número que deverá ser arredondado

Observamos o dígito que vem em seguida daquele que vai ser arredondado, no caso é

L = 1,264 cm

Se este dígito for menor do que 5, o número que deverá ser arredondado permanece igual.

L = 1,26 cm

Se fosse maior do que cinco, como por exemplo, temos agora o número 7, então:

L = 1,267 cm

Somamos 1 ao dígito que deverá ser arredondado, então: L = 1,27 cm

(29)

1.4.7 Teoria dos erros aplicada a um conjunto de medidas

experimentais

Esta seção foi escrita tomando-se como base a referência bibliográfica apostila do laboratório de física departamento de Física UNESP - Universidade Estadual Paulista - Bauru. No laboratório obtemos em um mesmo equipamento e condi-ções uma série de valores para uma grandeza que não é igual. Qual seria então o valor mais provável dessa grandeza? A estatística tem por finalidade demons-trar matematicamente qual o valor mais provável. A Teoria dos erros é aplicada aos erros acidentais ou aleatórios.

1.4.8 Valor médio

Sejam X1, X2, X3, ..., Xn as n medidas realizadas de uma mesma grandeza física X. O valor médio desta grandeza denotado por X é definido pela média aritmética dos valores medidos, ou seja,

X X X X X n n X N i i n = + + + + = =

1 2 3 1 1 ...

Deste modo, x representa o valor mais provável da grandeza medida. Ao se realizarem várias medidas, os valores obtidos tendem a estar mais próximos deste valor. O valor médio é o que melhor representa o “valor real” da grandeza.

1.4.9 Desvios

Desvio é a diferença entre um valor medido e o valor adotado que mais se apro-xima do valor real (em geral o valor médio).

Se representarmos por “di” , o desvio de cada medida em relação ao valor médio, teremos: d1 = (X1− X) d2 = (X2− X) -di = (Xi − X)

(30)

É interessante saber quanto as medidas individuais Xi se afastam, em mé-dia, do valor médio, ou seja, de que maneira as medidas Xi se distribuem em torno do valor médio. A esse fato denominamos “dispersão”. Para medir a dis-persão são utilizadas algumas propriedades da série de medidas, tais como o Desvio médio, a Variância e o Desvio Padrão.

1.4.9.1 Desvio médio (δ)

Desvio médio é a soma dos módulos do desvio de cada medida em relação a média pelo número de medidas, ou seja,

δ = − =

1 1 ni Xi X n

1.4.10 Variância

A variância é definida como a média aritmética dos quadrados dos desvios de todos os valores da grandeza, em relação ao valor médio, ou seja,

σ2 2 1 1 =

(

)

=

ni Xi X n

1.4.11 Desvio padrão

O desvio padrão é simplesmente a raiz quadrada da variância e, portanto ex-presso na mesma unidade da grandeza medida:

σ =

(

)

=

1 2 1 ni Xi X n

Este valor representa uma estimativa da dispersão em torno do valor médio quando se tem poucos valores (uma amostra) de um universo maior de valo-res (população). Utilizaremos a tendência geral de indicar o desvio padrão com 2 algarismos significativos, além dos zeros à esquerda, apesar de em alguns ca-sos ser necessário utilizar 1 algarismo.

(31)

1.5 Propagação de erros

Muitas grandezas físicas não podem ser medidas diretamente e são obtidas por meio de operações com outras medidas. Se desejarmos medir a área média da face de um azulejo por meio de várias medidas do comprimento (C) e largura (L), utilizaremos,

A = C L

mas tanto C como A são afetadas de desvios e no produto C · A, tais desvios se combinarão e afetarão o valor da área média da face. Desta forma, quando se deseja relacionar grandezas que contém desvios tem-se a propagação de “er-ros” ou “desvios”.

Logo a área da face é escrita da forma: A = A ± σA

As equações listadas a seguir nos permite calcular o desvio padrão (σA) e são completamente demostradas pela estatística e cálculo diferencial integral e que não cabem fazê-las neste momento.

1.5.1 Soma e subtração de grandezas afetadas por erros

A análise estatística rigorosa mostra que ao somarmos ou subtrairmos gran-dezas estatisticamente independentes, o erro no resultado será dado pela raiz quadrada da soma dos quadrados dos erros de cada uma das grandezas.

S = S ± σX

onde S C L e= + σS= ± σ2CL2

1.5.2 Produto e Quociente de grandezas afetadas por erros

σP σC σL P = C L       +      2 2

(32)

EXEMPLO

Suponha que seu grupo de laboratório realizou 10 medições do comprimento (C) e da lar-gura (L) do azulejo abaixo, tendo como objetivo calcular a área da face. As medidas foram anotadas na tabela 1.5.

C

L

Figura 1.6 – Medidas Lineares do Comprimento (C) e da Largura (L).

COMPRIMENTO C CM LARGURA L CM 34,5 16,2 34,3 16,1 34,4 16,4 34,6 16,5 34,5 16,2 34,2 16,3 34,3 16,3 34,1 16,4 34,6 16,2 34,4 16,3 Tabela 1.5 –

Escrevemos a área como sendo:

A = A ± σA Onde A = C L e σA σC σL A = C L       +      2 2

Primeiro efetuamos a média aritmética do comprimento C e da Largura L, utilizando a equação: X X X X X n n X N i i n = + + + + = =

1 2 3 1 1 ...

(33)

Substituindo os valores temos: C =34 5 34 3 34 4 34 6 34 5 34 2 34 3 34 1 34 6 34 4+ + + + + + + + + = 10 34 3 , , , , , , , , , , , 99 16 2 16 1 16 4 16 5 16 2 16 3 16 3 16 4 16 2 16 3 10 L = , + , + , + , + , + , + , + , + , + , =116 29,

Em seguida calculamos o desvio padrão do comprimento e da largura

σC i i n n X X =

(

)

= =

1 0 16 2 1 , σL i i n n X X =

(

)

= =

1 2 0 11 1 ,

Podemos escrever as medidas como: C = C ± σC⇒ C= (34,39 ± 0,16) cm L = L ± σL⇒ L= (16,29 ± 0,11) cm Cálculo da área média

A = C · L = 34,39 x 16,29 = 560,21 cm2

Cálculo do desvio padrão da área em relação à média:

σ σ σ σ A C L A A = C L       +    = =   + 2 2 2 560 21 0 16 34 39 0 11 16 , , , , ,,29 4 59, 2 2     = cm

Forma correta de escrever a área: A = A ± σA = (560,2 ± 4,6) cm2

(34)

ATIVIDADES

05. No laboratório realizamos com a régua 05 medidas para o comprimento C, Largura L e Profundidade P de um bloco irregular e anotamos na tabela 1.6

Altura

Comprimento Profundidade

Figura 1.7 – Valores das grandezas lineares do comprimento, largura e altura para o sólido e cálculos auxiliares para determinação do desvio padrão de cada grandeza.

MEDIDAS C CM P CM A CM 1 2 3 4 5 5,4 5,3 5,5 5,3 5,5 4,4 4,3 4,5 4,3 4,4 6,6 6,3 6,4 6,4 6,3 Tabela 1.6 –

06. Calcule a média das 05 medidas, escreva abaixo: a) A =

b) P = c) C =

(35)

1.6 Propagação de erros em funções com

grandezas afetadas por erros

Uma situação bem comum nos experimentos em física é estimar o erro que afe-ta grandezas que são funções de outras. Usamos de uma forma geral para uma função com as variáveis x e y que seu valor médio é:

f = f (x, y)

e que o desvio padrão é dado em função das derivadas parciais da função em relação as varáveis que no caso chamamos de x e y.

ATENÇÃO

Podemos ter mais variáveis. Por exemplo, x, y e z a função seria f (x,y,z).

Através do cálculo diferencial, a expansão da função é feita e obtemos para o desvio:

σf f σx σy x f y = ∂ ∂     +∂      + 2 2 2 2 ...

ATENÇÃO

∂ ∂ ∂ ∂ f xe f

y são as derivadas parciais calculadas para o valor médio

EXEMPLO

No laboratório, com o objetivo de determinar a aceleração da gravidade média, através do experimento do Pêndulo Simples, medimos o período de oscilação (T) e o comprimento do fio (L), como o período do Pêndulo Simples é:

T L g g L T =2 =4 2 2 π então, π

(36)

Assim se conhecermos o período de oscilação (T) de um pêndulo simples e seu compri-mento (L) podemos determinar a aceleração da gravidade do local (g). Para pequenas oscila-ções (abertura não superior a 15°) podemos considerar o pêndulo simples com período apro-ximadamente constante. (oscilações isócronas). Portanto, g depende das variáveis T e de L. Através do cálculo do valor médio e do desvio padrão para T e L, pode-se obter os valores:

T T= ±σT eL L= ±σL Como podemos determinar g g= ± σ ?g

g L

T = 4 2

2 π

Para estimar o erro utilizamos a ajuda do cálculo diferencial que supõe que para erros pequenos, podemos escrever como sendo:

σg g σL σT L g T = ∂ ∂     +∂ 2 2 2 2

Em um experimento de queda livre foram anotados os tempos de queda de um corpo. O experimento foi repetido 10 vezes, para que fossem amenizados os erros aleatórios ou sistemáticos. Na tabela a seguir colocamos os resultados das medias para a altura e tempo com os respectivos desvios- padrão:

H ALTURA MÉDIA

(METROS) DESVIO PADRÃO σH

T TEMPO MÉDIO

(SEGUNDOS) DESVIO PADRÃO σT

0,20 0,05 0.202 0,05

Sabendo que h h= 0+v t0 +gt2

2 onde h0 e v0 são zeros, então a altura é:

h gt g h t = ⇒ = 2 2 2 2 Determine: g g g h t e g h g t mas g g h t = ± = = ∂ ∂     +∂ σ 22 σ σ σ 2 2 2 2 Calculando g h t m s =22 =9 80, / 2 e

(37)

σg σh σt t h t em t t e h h = + −    = = 2 4 2 2 2 2 Substituindo temos: σg=

(

)

+−   

(

)

= 2 0 202 0 05 4 0 20 0 202 0 05 0 40 2 2 2 2 , , . , , , , m/s2 Portanto, g = ( 9,80 ± 0,40 ) m/s2

1.7 Atividade experimental I – Algarismos

significativos, a teoria dos erros e as

incertezas

1.7.1 Objetivos gerais

Ao término desta atividade o aluno deverá ser capaz de: •  Conceituar medida;

•  Conceituar e diferenciar erro grosseiro, erro sistemático e erro acidental; •  Conceituar sensibilidade de um instrumento de medida;

•  Diferenciar erro de desvio.

1.7.2 Material necessário:

•  Conjunto de réguas (decimetrada, centimetrada e milimetrada); •  Folha de papel A4.

0 100 200 300 400 500

0 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9201 2 3 4 5 6 7 8 9301 2 3 4 5 6 7 8 9401 2 3 4 5 6 7 8 950

(38)

1.7.3 Procedimento experimental:

1.7.3.1 Utilizando uma folha de papel A4, determine o comprimento (L) lateral e sua altura (H),

RÉGUA DECIMETRADA (DM) RÉGUA CENTIMETRADA (CM) RÉGUA MILIMETRADA (MM) L

H

1.7.3.2 Expresse todas as medidas na mesma unidade, o metro.

RÉGUA DECIMETRADA (DM) RÉGUA CENTIMETRADA (CM) RÉGUA MILIMETRADA (MM) L

H

1.7.3.3 Expresse todas as medidas na mesma unidade, o decímetro.

RÉGUA DECIMETRADA (DM) RÉGUA CENTIMETRADA (CM) RÉGUA MILIMETRADA (MM) L

H

1.7.3.4 Expresse todas as medidas na mesma unidade, o centímetro.

RÉGUA DECIMETRADA (DM) RÉGUA CENTIMETRADA (CM) RÉGUA MILIMETRADA (MM) L

(39)

1.7.3.5 Expresse todas as medidas na mesma unidade, o milímetro.

RÉGUA DECIMETRADA (DM) RÉGUA CENTIMETRADA (CM) RÉGUA MILIMETRADA (MM) L

H

Apresente, em cada caso, o Valor Real (fornecido pelo fabricante), o resulta-do da medição (tabela 4.1) seguiresulta-do de seu erro percentual (Eq 01).

VALOR REAL (FORNECIDO PELO

FABRICANTE)

VALOR EXPERIMENTAL

(TABELA 4.1) ERRO PERCENTUAL(EQ. 01)

RÉGUA DECIMETRADA (DM) H RÉGUA DECIMETRADA (DM) L RÉGUA CENTIMETRADA (CM) H RÉGUA CENTIMETRADA (CM) L RÉGUA MILIMETRADA (MM) H RÉGUA MILIMETRADA (MM) L

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

GALIANO, O Método Científico - Teoria e Prática, São Paulo: Editora Harbra, 1979.

DESCARTES, René, Discurso do método, tradução Maria Ermantina Galvão, São Paulo: Martins Fontes, 1996.

MATTHEWS, R.; Um quilo de problemas. Disponível em :<http://www1.folha.uol.com.br/fsp/ ciencia/fe3003200301.htm>. Acesso em: 12 set. 2015..

HALLIDAY, D.; RESNICK, R. Fundamentos de Física, v. 1 Editora LTC. 9 ed. 2012. Steiner, R. Le Grand K. Disponível em: <http://hypescience.com>. Acesso em: 14 set. 2015.

Apostila Laboratório de Física 1, Faculdade de Ciências Departamento de Física, Universidade Estadual Paulista- Bauru.

Cruz, B.H.C e Fragnito, H. L. Guia para Física Experimental. Disponível em: <http://www.ifi.unicamp. br/~brito/graferr.pdf>. Acesso em: 10 set.2015.

(40)

Instrumentos de

Medidas e Gráficos

(41)

Neste capítulo, vamos aprender a utilizar o paquímetro e o micrômetro dois im-portantes instrumentos de medidas. Vamos aprender também como construir gráficos em papel milimetrado e também através do software Zgrapher.

OBJETIVOS

•  Conhecer o paquímetro. •  Conhecer o micrômetro.

(42)

2.1 Instrumentos de medidas

2.1.1 Paquímetro

O paquímetro é um instrumento de medida muito parecido com uma régua, ou seja, é uma régua com maior exatidão para as medidas. Possui duas esca-las: uma é a escala principal fixa do instrumento graduada em milímetros e polegada e a outra, chamada de escala vernier ou nônio, é construída sobre um cursor que desliza ao longo da escala principal. Com um paquímetro podemos medir diversos objetos, tais como: parafusos, porcas, diâmetro in-terno de tubos, entre outros. Para realizar tal medição basta aproximar o objeto e deslizar o cursor até que a peça fique justa.

2.1.2 Descrição do Paquímetro

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 mm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C D G F E A H

Figura 2.1 – Partes detalhadas do paquímetro.

PARTE DENOMINAÇÃO FUNÇÃO

A B C D E F G H

Orelhas ou bocas internas Bicos ou bocas externas Nônio ou Vernier Impulsor Parafuso de fixação Cursor Escala principal Haste de profundidade

Com faces para medições lineares internas Com faces para medições lineares externas Medir frações da menor escala principal Deslocar o cursor ao se fazer uma medida Manter a medida ao se fazer uma leitura Parte móvel onde está localizado o nônio

Medir o comprimento de peças em milímetros internos Medir profundidade de furos ou chanfros

(43)

O Nônio é constituído por uma pequena régua dividida em um certo núme-ro de partes iguais que desliza em guias ao longo de uma régua que contém a escala principal do paquímetro. Suponha que desejamos construir um nônio que permita fazer leituras com precisão de 0,1 mm da menor divisão da escala principal. O Nônio, ou escala móvel, contém 10 divisões, cada uma delas equi-vale a 9/10 do comprimento da menor divisão da escala principal. Portanto, as 10 divisões da escala do nônio têm o mesmo comprimento que 9 divisões da escala principal.

De maneira geral, quando se vai utilizar um paquímetro, deve-se verificar a sua aproximação ou precisão. Para o cálculo da aproximação, A, de um paquí-metro basta fazer:

A =Medida da menor divisão da escala principal Número de diviisões do nônio

Na tabela abaixo apresentam-se as aproximações mais comuns utilizadas em paquímetros.

MENOR DIVISÃO DA ESCALA PRINCIPAL (MM) Nº DE DIVISÕES DO NÔNIO APROXIMAÇÃO (MM)

1 10 0,1

1 20 0,05

1 50 0,02

Descoberta a aproximação do paquímetro, para se realizar leitura (L) uma medida linear, é só aplicar a seguinte relação:

L = L

ep

+ n · A

onde, Lep é a leitura da medida na escala principal em milímetros

intei-ros; n é o número de divisões (ou traços ou marcas) do nônio contadas de 0 até o que coincide com um traço da escala principal e A é a aproximação do paquímetro.

(44)

EXEMPLO

Na figura 2.2, vemos que a aproximação do paquímetro é 0,05 mm, isto significa que o milímetro da escala principal foi dividido em 20 partes, logo A= 0,05 mm. Então a leitura da medida é feita assim:

L ep = 73 mm n=13 A = 0,05 mm

M = 73 + 13 · 0,05 = 73,65 mm

6 7 8 9 10 11 12 13

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Figura 2.2 – Parte de um paquímetro com aproximação (A) de 0,05 mm.

ATIVIDADE

01. Faça a leitura da medida linear dada na figura abaixo: a) Aproximação 0,05 mm

0L.e.p. 10 20 30 40 50

0 1 2 3 4 0 6 7 8 9 10 n = 3

(45)

b) Aproximação 0,1 mm 0 10L.e.p.20 30 40 50 n = 8 • 0,1 mm 0 10

2.2 Micrômetro

É um instrumento que permite medir por leitura direta as dimensões reais, com uma aproximação de 0,01 mm ou mesmo de 0,001 mm ou o equivalente em polegada. A sua utilização se faz necessária quando a exatidão requerida for su-perior à obtida com o paquímetro. Este é construído por um parafuso em hélice com uma espera móvel e outra fixa, na extremidade deste apresenta um tambor móvel dividido em partes iguais que gira ao logo de outra escala longitudinal.

2.2.1 Descrição das partes do micrômetro

0 5 10 15 20 302525 20 15

Ponta móvel

Ponta fixa Escala de 1 mm

Escala Centimetrada

Catraca

Tambor Escala de 0,5 mm

Parafuso de trava

Arco com plaqueta de isolamento Figura 2.3 – Micrômetro Convencional.

(46)

Os micrômetros, também conhecido como calibrador micrométrico ou pál-mer, são instrumentos de medida lineares que possuem um nônio circular (es-cala centesimal). São utilizados para medidas precisas de pequenas distâncias, tal como diâmetro de fios ou espessuras de lâminas delgadas. A ponta móvel está na extremidade de um parafuso de rosca micrométrica que passa por uma porca cilíndrica onde está a escala de 1 mm e 0,5 mm.

O objeto a ser medido é colocado entre as pontas fixa e móvel. Girando-se o tambor (que é a cabeça do parafuso), onde está gravado nônio circular, no sentido horário consegue-se avançar o parafuso até que a ponta móvel esteja bem próxima ao objeto. A partir daí utilizamos a catraca para movimentar o parafuso até a ponta móvel encostar no objeto.

Assim como no paquímetro, o micrômetro apresenta um parafuso de trava para facilitar o momento da leitura da dimensão do objeto.

2.2.2 Medições com o micrômetro

A leitura de uma medida, utilizando o micrômetro, é realizada observando-se duas referências, que vamos chamar de referência 1 e 2, respectivamente. Mas antes precisamos conhecer qual a aproximação (A) ou precisão do micrômetro.

A = passo do parafuso número de divisões do nônio

Por exemplo, se no laboratório, o micrômetro tem o passo de 0,5mm, ou seja, se 1 volta completa do tambôr tem 0,5mm e o número de divisões do nônio é 50.

Então

A = passo do parafuso número de divisões do nônio=

0,5 50 = 0,01mmm 0 52010353025 25 20 Referência 1 = 5,0 mm Referência 2 = 0,5 mm n. A = 28.0,01 mm

(47)

ATENÇÃO

0 5 45 40 35 30 25 36

Não aparece o traço indicando que devemos somar 0,5mm na leitura

Nesta leitura não temos a referência 2 na leitura, temos Leitura= 7+ 36 x 0,01=7,36 mm.

ATIVIDADE

02. Faça a leitura nos micrômetros com os micrômetros tendo aproximação de 0,01 mm.

0 5 45 40 35 30 25 Resultado A 0 5 3525 20 15 10 Resultado B 20 15 2 105 0 45 40 Resultado C 10 3530 25 20 15 Resultado D

(48)

2.3 Gráficos

2.3.1 Representação gráfica de resultados experimentais

O método gráfico é uma representação dos resultados experimentais, fornece informações importantes sobre a dependência das medidas e na determinação de parâmetros necessários na aplicação das leis que governam tal fenômeno físico. A relação mais comum em física, é aquela que relaciona as grandezas de maneira proporcional (gráfico linear), os dados experimentais são lançados e uma curva média é traçada.

2.3.2 Função diretamente proporcional ou função linear

Duas grandezas G1 e G2 são diretamente proporcionais quando o quociente dos valores assumidos por elas é contante

K G

G

= 1

2

, onde K é a constante de proporcionalidade.

Define-se uma função diretamente proporcional ou função linear a toda ex-pressão do tipo, y = K x, onde K é uma constante diferente de zero, y a variável dependente e x a variável independente.

A representação gráfica de y = K x é uma reta que passa pela origem.

25 20 15 10 5 y x y = K x

(49)

A equação reduzida da reta é:

y = ax + b a = Coeficiente angular da reta

b = Coeficiente linear da reta

A constante de proporcionalidade K é o coeficiente angular da reta e o coefi-ciente linear é zero, pois o gráfico passa pela origem.

EXEMPLO

No laboratório estudou-se o movimento uniforme, para isso colocou-se óleo em uma pro-veta de 1L. Foram feitas marcações em distâncias fixas de 3,5 cm ao longo da propro-veta. Em seguida, pingou-se uma gota de corante (azul de metileno), e foram medidos os tempos em cada marcação com o auxílio do cronômetro. Foram feitas 5 séries de medidas e calculado o tempo médio os resultados foram colocados na tabela 2.1.

DESLOCAMENTO ( S) CM TEMPO MÉDIO (S)

3,5 5,4

7

10,5 10,5 16,2 14 21,7 17,5 27,1 21 32,4 24,5 38,1 Tabela 2.1 –

Com os resultados da tabela 2.1 construímos o gráfico deslocamento (S) em função do tempo médio t.

(50)

25 20 15 10 5 22,5 17,5 12,5 7,5 2,5 0 Deslocamento (cm) Tempo médio (s) 4 8 12 16 20 24 28 32 35 40

Como observamos, o gráfico não possui ligação entre os pontos, pois em um gráfico experimental não podemos interligar os pontos. Fazemos uma melhor reta entre os pontos ou uma regressão linear, reta tracejada no gráfico abaixo:

20 10 0 Deslocamento (cm) Tempo médio (s) 10 20 30 40

(51)

A regressão linear nos forneceu a equação da reta tracejada, para este experi-mento foi:

y = 0,64128 x

y = variável dependente = Deslocamento S (cm) x = variávelindependente = Tempo (s)

K = const. de proporcionalidade

= velocidade média da gota de corante = 0,64 cm/s

Pois no movimento uniforme o gráfico do deslocamento em função do tempo é uma reta ( X= X0 + V t ). No exemplo X0 = 0 para o tempo inicial zero

X y = = V 0,64 t x

2.3.3 Como fazer um gráfico

Para traçar um gráfico cartesiano como os acima, é preciso saber representar os valores de cada uma das grandezas físicas, em análise na experiência, so-bre uma escala. Escala é um trecho, marcado por pequenos traços que indicam valores ordenados de uma grandeza. Para escolher a escala devemos observar:

•  A variável independente será o eixo x, abscissa. •  A variável independente será o eixo y, ordenadas.

•  Escolher uma escala que seja facilmente subdividida 1,2,5 e 10 são as me-lhores, evite usar 3, 7 e 9.

•  O gráfico deve ocupar no mínimo 2/3 do papel.

•  Existem 3 tipos de papel: o milimetrado, o monolog e o dilog. Abaixo apre-sentamos os três papéis.

(52)
(53)

c) dilog

2.3.4 Análise e interpretação de gráficos

A forma do gráfico mostra imediatamente se a variável dependente aumenta ou diminui com o aumento da variável independente. A seguir mostramos grá-ficos de algumas funções mais utilizadas.

a) Função Linear

y = a x + b

a = Coeficiente angular da reta b = Coeficiente linear da reta

(54)

25 20 15 10 5 22,5 17,5 12,5 7,5 2,5 0 y x 4 8 12 16 20 24 28 32 35 40 Linear Figura 2.4 – Gráfico b) Função exponencial y = C1 eC X2 y = variável dependente

C1 e C2 = constantes positivas ou negativas

e = base dos logaritmos naturais ou neperianos = 2,718…

Os gráficos abaixo, mostram o crescimento exponencial (Constante C2 posi-tiva) e um decaimento exponencial (Constante C2 negativa).

y

1

0 x

(55)

y 1 0 x y = C1 e –C 2X Decaimento Exponencial c) Função Potência y = C xn

y = variável dependente x= variável independente

C = número real e n são constantes a serem determinadas

As equações na forma de função exponencial ou potência podemos fazer um processo de linearização, com a ajuda da sua função inversa que é o logaritmo.

2.4 Linearização da função exponencial

O processo de linearização da curva que representa este tipo de equação utiliza-mos o papel monolog, ou seja, o eixo das ordenadas (y) em escala logarítmica e o eixo das abscissas (x) em escala decimal (linear).

O processo de linearização da curva exponencial ocorre em razão da seguin-te transformação aplicando-se log em ambos os lados da equação (1):

y = C1 e C

2X (1)

log y = log C1 + (C2 log e) · x (2)

A equação (2) como você percebeu é a equação de uma reta, onde: log y= variável dependente

log C1= coeficiente linear

C2 log e = coeficiente angular x = variável independente

A variável y varia de forma logarítmica enquanto que a variável x va-ria linearmente.

(56)

ATENÇÃO

Quando trabalhamos com escala logarítmica não podemos iniciá-la com zero.

Outra coisa importante, é observar que a escala logarítmica é dividida em 10, por exem-plo se iniciar no ponto 0,01 a próxima divisão será 0,1, pois 0,01 · 10 = 0,1.

Para fazer o gráfico, podemos utilizar os papeis especiais milimetrados monolog e dilog Figura 3, que servem para linearizar as funções exponenciais e potências.

EXEMPLO

Em um laboratório mediu-se a variação da corrente elétrica (I) em função do tempo t, obtendo-se

I (mA) 1815 1090 690 400 310 143

T(S) 0,8 2,5 4,2 5,7 6,9 9,3

A equação que rege este fenômeno é dada por: I = I0 eC2t (4)

I0 e C2 são constantes a serem determinadas.

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 l (mA)y x t (s)

(57)

log I = log I0 + (C2 log e) · t LOG I (mA) 0,267 0,037 -0,161 -0,397 -0,509 -0.845 T(S) 0,8 2,5 4,2 5,7 6,9 9,3 –0.91 –0.78 –0.65 –0.52 –0.39 –0.26 –0.13 0 0.13 0.26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 log I (mA) y x t (min)

2.5 Linearização da função potência

Para o processo de linearização da curva y = C xn utilizamos o papel dilog, ou

seja, o eixo das ordenadas (y) e o eixo das abscissas (x) são escalas logarítmi-cas. O processo de linearização da curva potência ocorre em razão da seguinte transformação aplicando-se log em ambos os lados da equação:

y= C xn ⇒ log y = log C + n log x A equação 3 é uma reta

log y = variável dependente log C= coeficiente linear log x = variável independente n = coeficiente angular

(58)

2.6 Construção de gráficos utilizando o

software Zgrapher

Para utilizarmos o software Zgrapher primeiro devemos acessar o site www.so-matematica.com.br. Depois de feito o download será muito simples a utilização.

1º passo – Graphs - Add table graph;

2º passo – Coloque suas medidas experimentais, lembre-se que o Z grapher não aceita vírgula;

(59)

3º passo – Ok;

4º passo – Provavelmente você terá que mudar sua escala no eixo x e y;

5º passo – Mudando a escala,clique em graphs e em seguida docu-ments propeties;

(60)

7º passo – Melhor ajuste;

(61)

2.7 Atividade Experimental l – Incertezas em

Medidas Experimentais

2.7.1 Objetivos gerais

Ao término desta atividade o aluno deverá ser capaz de:

•  Usar o paquímetro para medir o comprimento de objetos; •  Usar uma balança para medir a massa de objetos;

•  Verificar que existe uma incerteza em toda medida experimental; •  Estimar a incerteza de uma medida.

2.7.2 Material necessário:

•  Esferas metálicas;

•  Paquímetro (detalhes na última página); •  Balança digital.

2.7.3 Procedimento experimental:

•  Usando o paquímetro meça o diâmetro da esfera e determine sua incerte-za. Anote os valores obtidos na tabela abaixo;

•  Usando a balança meça a massa da esfera e determine sua incerteza. Anote os valores obtidos na tabela abaixo;

•  Calcule o raio da esfera;

•  Usando seus conhecimentos de geometria espacial e a eq.1, calcule a den-sidade da esfera.

•  Anote o valor obtido na tabela abaixo;

•  Usando a eq. 2 calcule a incerteza da densidade e, finalmente, anote o va-lor obtido na tabela abaixo.

d = m/V (eq.1),

onde:

d = densidade de um objeto; m = massa do objeto; V = volume do objeto;

(62)

(eq. 2) σ σ σ σ σ f x y d m f x f x f m f v = ∂ ∂       +∂      + = ∂ ∂     + ∂ 2 2 2 2 2 2 ...     2 2 σv

Lembre-se: a incerteza do volume “v” será igual a 3 vezes a incerteza do paquímetro. 01 02 DIÂMETRO (CM) INCERTEZA DO DIÂMETRO (CM) MASSA (G) INCERTEZA DA MASSA (G) RAIO (CM) INCERTEZA DO RAIO (CM) VOLUME DA ESPERA (CM3) INCERTEZA DO VOLUME (CM3) DENSIDADE (G/CM3) INCERTEZA DA DENSIDADE (G/CM3)

(63)

2.7.4 Objetivos gerais

Ao término desta atividade o aluno deverá ser capaz de:

•  Construir gráficos para visualizar o comportamento das grandezas físicas envolvidas de uma maneira fácil e rápida;

•  Verificar como varia uma grandeza (por exemplo, espaço) em função de outra (por exemplo, tempo);

•  Construir e interpretar o gráfico espaço em função do tempo como exemplo.

2.7.5 Material necessário:

•  Papel milimetrado;

•  Lápis (não se constrói gráficos à caneta); •  Régua milimetrada.

2.7.6 Procedimento experimental:

Para construir qualquer gráfico envolvendo grandezas físicas, devem-se ob-servar as seguintes regras:

•  Escolha a área do papel com tamanho adequado;

•  Colocar título e comentários - é conveniente que uma pessoa observando o gráfico,

•  possa entender do que se trata este gráfico, sem recorrer ao texto.; •  Escolha escalas adequadas para colocar os valores nos eixos. Os eixos de-vem ser desenhados claramente. A variável dependente geralmente estará no eixo vertical, eixo y, e a variável independente no eixo horizontal, eixo x;

•  Coloque, de forma clara, as grandezas a serem representadas nos eixos com as suas

(64)

•  Coloque os valores das grandezas apenas com os números necessários à leitura; não coloque valores especiais;

•  Marque nos eixos as escalas, escolhendo divisões que resultem em fácil leitura de valores intermediários (por exemplo, divida de 2 em 2 e

•  não de 7,7 em 7,7).

•  Se possível, cada um dos eixos deve começar em zero;

•  Procure traçar a melhor reta ou curva, devendo recorrer a métodos mate-máticos

quan-•  do os valores encontrados não estão adequados.

1. Construa o gráfico do Espaço em Função do Tempo de um corpo que segue seu movimento uniformemente variado segundo os dados coletados a seguir:

TEMPO(S)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

POSIÇÃO S (CM)

500 501 504 509 516 525 536 549 564 581 600

2. Observou-se o movimento de um bloco que desce deslizando um pla-no inclinado.

Obteve-se um conjunto de medidas da velocidade e do tempo, que foram anotados na tabela abaixo. Com base nisso, construa o gráfico da variação da velocidade em função do tempo.

V(10–3 M/S) 105,0 150,0 240,0 290,0 340,0 430,0 500,0

T(10–2 S) 1,00 2,50 6,00 8,00 10,00 13,50 16,00

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Apostila de laboratório de Física I. Universidade Estadual de São Paulo. Faculdade de Engenharia de Bauru

(65)
(66)

Cinemática

Vetorial

(67)

Enfim os movimentos! Neste capítulo, estudaremos os movimentos uni, bi e tridimensionais, para isso, necessitamos entender os conceitos de sistemas de coordenadas, ponto material, referencial e vetores. Nosso livro é um suporte ao seu estudo, consulte também a sua biblioteca virtual.

OBJETIVOS

•  Definir sistema de coordenadas e posição; •  Definir ponto material, referencial e posição; •  Definir vetor posição e vetor deslocamento;

•  Definir deslocamento, velocidade e aceleração vetoriais; •  Definir velocidade e aceleração vetoriais médias; •  Definir velocidade e aceleração instantâneas; •  Apresentar os movimentos unidimensionais;

•  Estudar o movimento uniforme e uniformemente variado; •  Estudar o movimento de queda livre;

•  Estudar os movimentos bidimensionais e tridimensional; •  Apresentar os movimentos bidimensionais: Projéteis e Circular;

(68)

3.1 Introdução

Enfim, o estudo dos movimentos! Sempre que falamos de movimento, logo sur-ge a ideia de carros e motos, pois estes fazem parte do nosso cotidiano, mas foi o movimento da Terra, do Sol e da Lua que exerceram forte domínio nos estu-diosos. Aristarco (310-230 a.C.), foi o primeiro a lançar a ideia de que a Terra gira ao redor do Sol, bem contrário a ideia de Aristóteles ( 384-322 a.C) que era de que a Terra ocupava o centro de tudo.

Galileu (1564-1642) é considerado um dos pioneiros da ciência moderna, e suas ideias prevaleceram de que o Sol é o centro do universo, apesar do forte domínio político que a igreja católica exercia a favor das ideias de Aristóteles. A Física que entendemos hoje, tem muito dos ensinamentos de Galileu.

MULTIMÍDIA

https://www.youtube.com/watchv=vKoHl92TLRY

Breve vídeo sobre a história do grande físico Galileu Galilei. Realizado a partir do docu-mentário Deus criou o universo? (Stephen Hawking)

(69)

A Cinemática é a parte da Física que estuda os movimentos sem se preocu-par com as suas causas. O termo Cinemática vem do grego Kinema que signi-fica movimento. Para descrever os movimentos, precisamos inicialmente nos dedicar a falar de uma ferramenta apropriada para este estudo, os vetores. A linguagem dos vetores é de muita importância na engenharia, em outras ciên-cias e até mesmo em nosso cotidiano. Os vetores servem para nos orientar e descrever situações que envolvem rotações e forças.

3.2 Conceitos de Sistema de Coordenadas e

Posição

Vamos imaginar um avião durante uma viagem. Que informações ele deve transmitir para os controladores em terra, a fim de descrever seu movimento?

Pólo Norte Pólo Sul Localização do avião: LAT N 45°, Long L 30° 90° 75° 75° 75° 60° 60° 60° 45° 45° 45° 45° 30° 30° 30° 30° 15° 15° 15° 15°0° Equador Meridiano de Gr een wich

O piloto informa a localização do avião, ou seja, sua latitude e longitude em tempos determinados, a partir desses valores da sua localização e tempo é pos-sível calcular tempo de viagem, a rapidez com que se desloca, o quanto falta para chegar ao destino, etc. Estes cálculos pertencem à Cinemática.

(70)

COMENTÁRIO

Os conceitos de Latitude e Longitude estão explicados nas seções seguintes.

CONCEITO

A Cinemática descreve os movimentos, relacionando a posição com o tempo.

Na Cinemática utilizam-se outras grandezas como velocidade e aceleração para des-crever o movimento.

3.2.1 Ponto Material, Referencial e posição

A importância dos conceitos de ponto material, referencial e posição para o entendimento da cinemática merece nossa atenção. Ponto Material e Corpo extenso são conceitos relacionados às dimensões destes em relação ao fenô-meno analisado.

Ex.: As dimensões do seu carro (largura, comprimento) em relação a sua vaga de garagem é um corpo extenso, mas em relação a uma estrada em uma viagem entre duas cidades essas dimensões são desprezíveis, podendo ser con-siderado um ponto material.

CONCEITO

Na análise de um fenômeno, um corpo é considerado um ponto material quando suas di-mensões são desprezíveis.

No estudo da Cinemática adotamos por simplificação que o corpo em movimento é um ponto material, mas não podemos esquecer que o conceito de ponto material é relativo. Um exemplo clássico são os movimentos da Terra em torno do Sol. No movimento de Translação a Terra pode ser considerada em ponto material, mas no movimento de rotação em torno de seu próprio eixo é um corpo extenso. Figura 2.

(71)

Terra Sol

Translação Rotação

Figura 3.2 – Movimentos de Translação e Rotação da Terra.

No estudo da Cinemática e nas outras partes da Física, a localização de um ponto ma-terial vai depender de um referencial, ou seja, um ponto de referência a partir do qual vão ser feitas as medidas. Em seguida, realizamos as medidas e determinamos a posição de um ponto a partir do referencial que chamamos de coordenadas do ponto.

RESUMO

A posição (coordenadas) de um ponto material é perfeitamente determinada em relação a um referencial.

3.2.2 Sistema de Coordenadas Cartesianas

O sistema de coordenadas mais utilizado na física é o sistema de coordenadas cartesianas que pode ser uma, duas ou três coordenadas.

A posição de uma casa fica perfeitamente determinada pelo seu número, na figura o número é 1 (única coordenada) e neste caso o referencial é o início da rua.

(72)

Figura 3.3 – Coordenadas e Referenciais unidimensionais.

Quando precisamos localizar um ponto no mapa, são necessárias duas coordenadas a latitude e a longitude. No exemplo a cidade de Campo Grande MS tem as coordenadas: latitude 20°26'34” Sul e longitude 54°38'47” Oeste.

Corumbá

Campo Grande Dourados Ponta Porã MATO GROSSO DO SUL

PARAGUAI

Referências

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