DISCUSSÕES SOBRE O IMPOSTO DE RENDA: UMA EXPERIÊNCIA COM
MODELAGEM MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO INTEGRADO
Daminelli, E. – IFRS Osório – elisa.daminelli@osorio.ifrs.edu.br
Ribeiro, R.E.S. – FACOS – evaldt.rossano@gmail.com
RESUMO
Este trabalho relata uma experiência de ensino desenvolvida com estudantes do 2º ano do Ensino Médio Integrado do curso de Administração do IFRS Campus Osório. A atividade teve o objetivo de explorar o tema Imposto de Renda utilizando a Modelagem Matemática como estratégia de ensino. A proposta surgiu com a ideia de trabalhar o conceito de funções aliado a construção de modelos matemáticos para representar situações da realidade. A fundamentação teórica do trabalho apoiou-se nas concepções de Modelagem Matemática e na proposta de Cenários para Investigação. Observou-se o interesse e a participação efetiva das turmas nas tarefas propostas o que contribui para que a aprendizagem de matemática tenha significado e seja atrativa para os alunos. Além disso, as atividades proporcionaram discussões e reflexões sobre questões ligadas ao tema Imposto de Renda e que extrapolaram a Matemática, o que colabora com a formação sócio-crítica dos estudantes.
Palavras-chave: Modelagem Matemática; Funções; Modelos; Imposto de Renda. 1 INTRODUÇÃO
O presente artigo é um relato de uma atividade desenvolvida com alunos do 2º ano do Ensino Médio Integrado do curso de Administração do IFRS Campus Osório. A proposta surgiu da necessidade de dar continuidade ao estudo de funções, iniciado com os estudantes ainda no 1º ano, e teve como objetivo explorar o tema Imposto de Renda utilizando a Modelagem Matemática como metodologia de ensino.
Nesse contexto, a Modelagem Matemática mostrou-se uma estratégia de ensino adequada para a proposta a ser desenvolvida, possibilitando a construção de um Ambiente de Aprendizagem em que os estudantes pudessem coletar informações de situações reais e trabalhar na construção de hipóteses e modelos que pudessem representá-los.
Considerando que estes estudantes estão pouco adaptados ao trabalho com Modelagem Matemática, decidiu-se escolher o tema para o trabalho e indicar fontes de pesquisa para que os alunos coletassem mais informações. Neste caso, optou-se por realizar um trabalho sobre o Imposto de Renda, assunto frequente em reportagens na televisão, jornais e também na internet durante o início do ano letivo, que coincide com o período de declaração do Imposto de Renda.
Para orientar os estudantes na realização da atividade foram elaboradas algumas questões sobre Imposto de Renda. Além disso, foram utilizadas informações retiradas do site da Receita Federal, como as tabelas que indicam as faixas salariais e suas respectivas alíquotas para cálculo do Imposto de Renda e também o valor da parcela a deduzir.
A proposta buscou desenvolver conceitos de Matemática possibilitando a participação efetiva dos estudantes no processo de ensino e aprendizagem, desenvolvendo as atividades em Ambientes de Aprendizagem de Modelagem Matemática e Cenários para Investigação. Além disso, o trabalho buscou contribuir para a formação crítica dos estudantes, uma vez que proporcionou momentos de discussão sobre o tema.
2 AMBIENTES DE APRENDIZAGEM E MODELAGEM MATEMÁTICA
Os resultados de avaliações e pesquisas no Ensino de Matemática têm mostrado a necessidade de modificar as práticas de sala de aula para melhorar a qualidade do ensino. Aulas expositivas, listas de exercícios e o ensino pautado no ato de decorar conceitos e técnicas não são
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suficientes para garantir o conhecimento matemático necessário para lidar com questões do mundo atual. Há algum tempo, a educação preocupava-se com o saber fazer, a técnica, o que era suficiente para garantir um emprego. Atualmente, a tecnologia avança rapidamente e vivemos em uma sociedade em constante mudança, portanto, torna-se importante saber aprender e saber aplicar o conhecimento em diferentes situações.
No ensino médio, etapa final da escolaridade básica, a Matemática deve ser compreendida como uma parcela do conhecimento humano essencial para a formação de todos os jovens, que contribui para a construção de uma visão de mundo, para ler e interpretar a realidade e para desenvolver capacidades que deles serão exigidas ao longo da vida social e profissional. (BRASIL, 1999, p.108)
Aliado a isto, é preciso formar cidadãos capazes de atuar de forma crítica na sociedade. É preciso reconhecer que a Matemática é presença marcante na sociedade atual, o que torna indispensável a qualquer cidadão ter um bom conhecimento matemático.
Nessa perspectiva Skovsmose (2008) descreve, a partir de suas observações, que as aulas de Matemática são, em geral, pautadas pelo paradigma do exercício, no qual o professor apresenta os conceitos e exemplos e, a seguir, os estudantes resolvem exercícios semelhantes aos exemplos. A partir disso, Skovsmose (2008) apresenta uma nova proposta para o ensino de Matemática, os Cenários para Investigação, no qual os estudantes são convidados a investigar situações por meio da Matemática. Segundo o autor as aulas podem ser desenvolvidas segundo três referências: à matemática pura, à semirrealidade e à realidade.
Segundo Skovsmose (2008) as três referências estão presentes tanto no paradigma do exercício quanto nos Cenários para Investigação, produzindo dessa forma seis Ambientes de Aprendizagem distintos conforme ilustra a figura a seguir:
Exercícios Cenário para a investigação
Referências à matemática pura (1) (2)
Referências à semi-realidade (3) (4)
Referências à realidade (5) (6)
Figura 1: Ambientes de Aprendizagem1
De forma sintética o que diferencia o paradigma do exercício dos Cenários para Investigação é, em grande parte, o modo como o professor conduz o processo e a metodologia de ensino utilizada. Um Ambiente de Aprendizagem caracteriza-se como Cenário para Investigação quando o estudante sente-se desafiado a investigar e buscar soluções para situações apresentadas, quanto maior o envolvimento e responsabilidade dos alunos pela atividade, mais distante do paradigma do exercício se encontra a proposta. De acordo com essa perspectiva, destacamos a Modelagem Matemática como uma estratégia de ensino que pode possibilitar o desenvolvimento de atividades em um Ambiente de Aprendizagem caracterizado como Cenário para Investigação.
Muitas pesquisas, em Educação Matemática, defendem o uso da Modelagem Matemática como estratégia de ensino de Matemática, pois ela pode criar uma nova perspectiva para o ensino, na qual os estudantes passam a ter maior responsabilidade e autonomia durante o processo de ensino e aprendizagem da Matemática. A Modelagem Matemática pode proporcionar a investigação e análise de situações da realidade fazendo uso de ferramentas matemáticas para sua compreensão. Segundo Barbosa (2001, p.6) “formulado de maneira sintética, assumimos que Modelagem é um Ambiente de Aprendizagem no qual os alunos são convidados a indagar e/ou investigar, por meio da matemática, situações oriundas de outras áreas da realidade”.
Desenvolver atividades na perspectiva da Modelagem Matemática pode proporcionar aos estudantes vislumbrarem aplicação para os conceitos matemáticos estudados, além de contribuir para uma reflexão e compreensão da realidade. O debate sobre a qualidade do ensino tem apontado
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a necessidade de reestruturar a sala de aula e as metodologias de ensino buscando formar cidadãos capazes de refletir,e agir de forma crítica e consciente na tomada de decisões. A sociedade atual, com o advento da tecnologia, se transforma rapidamente, sendo necessário que as pessoas se adaptem as mudanças. A formação dos estudantes deve garantir que estes desenvolvam habilidades e competências que permitam buscar o conhecimento e adaptar-se as novas descobertas e tecnologias do mundo moderno.
Acreditamos que as atividades de Modelagem Matemática levam os alunos a verem a Matemática como uma ferramenta para analisar, investigar e interpretar a realidade. Ao desenvolverem uma atividade desse tipo, utilizam vários conceitos matemáticos em problemas reais e se obrigam, inclusive, a conhecer melhor outras áreas do conhecimento. Logo, a Modelagem não só é uma alternativa para o ensino e a aprendizagem de conteúdos matemáticos, como também é uma alternativa para a formação crítica dos alunos, os quais vivem numa sociedade em constante mudança. (ALMEIDA; VERTUAN, 2009, p.14)
Segundo Barbosa (2003), existem três classificações quanto ao tipo de Modelagem Matemática que pode ser desenvolvido em sala de aula, e que variam conforme o grau de responsabilidade e interferência do professor durante o processo. Assim, apresentamos uma breve descrição da cada um dos casos citados por Barbosa (2003) e que fundamentaram este trabalho:
Caso (1): o professor apresenta o problema com todos os dados, os alunos farão a investigação e matematização da situação, mas não precisarão sair da sala de aula.
Caso (2): o professor apresenta um problema aos alunos, e estes devem coletar dados e informações relevantes para encontrar soluções. Nesse caso, os alunos assumem uma responsabilidade maior na realização das atividades.
Caso (3): caracterizado por projetos desenvolvidos, em sua maioria, por temas não matemáticos, escolhidos pelos alunos. O que caracteriza esse tipo de modelagem é que em toda a atividade, da formulação do problema à coleta de dados e à resolução, a responsabilidade é dividida entre os alunos e o professor.
As atividades de Modelagem são consideradas como oportunidades para explorar os papéis que a matemática desenvolve na sociedade contemporânea. Nem matemática nem Modelagem são “fins”, mas sim “meios” para questionar a realidade vivida. Isso não significa que os alunos possam desenvolver complexas análises sobre a matemática no mundo social, mas que Modelagem possui o potencial de gerar algum nível de crítica. (BARBOSA, 2001, p.4) Segundo Bisognin e Bisognin (2011, p.6) a Modelagem Matemática “é uma metodologia que envolve a investigação, a compreensão matemática de fatos oriundos do cotidiano e a interpretação das diferentes realidades, vivenciadas pelos alunos. Portanto, sob esta ótica, a Modelagem assume um caráter interdisciplinar”. Nessa perspectiva a Modelagem Matemática pode criar oportunidades para que a educação matemática desenvolva seu papel na formação crítica dos estudantes, oportunizando momentos de reflexão e discussão de temas da realidade.
Problemas que afetam a sociedade podem ser tratados em sala de aula por meio dessa metodologia, contemplando conteúdos matemáticos e, ao mesmo tempo, permite explorar conhecimentos correlatos ao tema, o que contribui para a formação de alunos críticos, capazes de refletir sobre os problemas que afetam suas vidas e a sociedade. (BISOGNIN, BISOGNIN, 2011, p.5)
Para Sant’Ana (2009) a Modelagem Matemática utilizada como metodologia de ensino consegue proporcionar aos estudantes um ambiente de debate, em que eles possam tratar de assuntos que despertem seus interesses e, dessa forma possam se tornar responsáveis pelo processo de aprendizagem. O professor tem papel importante neste processo, apontando caminhos, fazendo questionamentos, mas sem impor suas ideias.
O professor tem papel fundamental na Modelagem Matemática, que se torna mais importante na medida em que divide as tarefas com seus alunos. Ao ocorrer o compartilhamento das responsabilidades, o Professor assume os riscos, transformando-os em desafios. (SANT’ANA, 2009, p. 19)
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De forma geral, o trabalho com Modelagem Matemática aliado a um Ambiente de Aprendizagem de Cenários para Investigação apresenta potencial para que a Matemática possa ter significado para o aluno sendo utilizada para representar e explicar situações da realidade. Além disso, pode colaborar para o desenvolvimento de uma educação crítica, na qual os estudantes podem desenvolver a capacidade de analisar e utilizar o conhecimento para refletir e agir sobre a realidade. 3 RELATO DA PRÁTICA
Esta atividade foi desenvolvida com duas turmas, com vinte e quatro alunos em cada uma, do 2º ano do Ensino Médio Integrado do curso de Administração do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul (IFRS), no Campus Osório. Os alunos estudam no turno da manhã, e a carga horária do curso é dividida entre disciplinas básicas e técnicas. Em especial, no segundo ano, os estudantes possuem uma hora/aula semanal para Matemática, considerada disciplina básica, e duas horas/aula semanais para Matemática Financeira e Estatística, considerada disciplina técnica. Uma hora/aula tem duração de 55 minutos e as duas disciplinas são ministradas pelo mesmo professor. Este trabalho também teve o objetivo de desenvolver uma atividade integradora entre as duas disciplinas, visto que o tema abordado possibilitou a discussão de conceitos que são contemplados em ambas. As atividades foram elaboradas e analisadas pelos autores deste trabalho e foram aplicadas apenas no Ensino Médio Integrado pela primeira autora. Os estudantes foram divididos em quatro grupos com seis integrantes cada.
A experiência de ensino ocorreu no mês de março de 2013 e dividiu-se em três etapas. Na primeira, em sala de aula, apresentamos algumas questões e informações, como as tabelas com faixas salariais e alíquotas para Imposto de Renda, e os estudantes discutiram sobre as informações apresentadas, explicaram e elaboraram um modelo matemático para o cálculo do Imposto de Renda. Na segunda, realizada extraclasse, cada grupo pesquisou mais informações e curiosidades sobre o tema, buscando responder as questões apresentadas em aula. Na última etapa, cada grupo organizou uma apresentação, na qual mostraram os resultados de seu trabalho, contendo os modelos matemáticos, gráficos e também as curiosidades e informações pesquisadas na segunda etapa. Para não tornar o texto repetitivo e cansativo para o leitor, optamos por relatar as atividades e trabalhos de uma das turmas, neste caso, escolhemos a turma que finalizou a atividade primeiro.
3.1 ATIVIDADE EM SALA DE AULA
A atividade em sala de aula ocorreu em três encontros, totalizando quatro horas/aula. No primeiro encontro, com duas horas/aula, dividimos a turma em quatro grupos, com seis integrantes em cada. Inicialmente apresentamos a proposta de trabalho, o tema escolhido, os objetivos e a forma de avaliação do trabalho. Apresentamos algumas questões sobre o cálculo do Imposto de Renda, conforme o quadro a seguir:
A seguir são apresentadas duas tabelas com informações sobre o cálculo do IR (anual e mensal) que foram retiradas do site da Receita Federal.
1) Explique os valores contidos em cada tabela e sua utilidade para o cálculo do IR.
2) O que significam e como se explica matematicamente a utilização dos valores da terceira coluna (parcela a deduzir do IR)?
3) Elabore um modelo matemático que represente o cálculo do IR para qualquer cidadão que queira calcular o IR devido (anual e mensal).
4) Discuta a validade de seu modelo. Faça alguns exemplos. Ele serve para qualquer faixa de renda? 5) Construa um gráfico que represente o(s) modelo(s) criado(s) pelo grupo.
6) Relacione o modelo matemático com conteúdos já estudados na disciplina de Matemática. Quais Conceitos matemáticos foram utilizados na elaboração do modelo?
Quadro 1: Questões apresentadas em aula aos alunos.
Além das questões, apresentamos aos estudantes as duas tabelas para cálculo do Imposto de Renda mensal e anual para o ano-calendário 2012, contendo as faixas salariais, as alíquotas e o valor da parcela a deduzir em cada faixa, conforme informações retiradas do site da Receita Federal.
Tabela 1: Informações sobre cálculo mensal do IR – Disponível no site da Receita Federal.
Tabela 2: Informações sobre o cálculo anual do IR – Disponível no site da Receita Federal
Inicialmente, questionamos os alunos sobre seu conhecimento acerca do Imposto de Renda, muitos reconheceram a expressão, mas não souberam dizer ao certo à que se referia. Perguntamos sobre o cálculo do Imposto de Renda e solicitamos que analisassem a tabela para o cálculo mensal, os estudantes avaliaram as informações na tabela e responderam, corretamente, que a alíquota se refere ao percentual para o cálculo do imposto, e que ela varia de acordo com renda. Mas não compreenderam os valores da terceira coluna, referente à parcela a deduzir. Para muitos, a terceira coluna representava o valor de imposto a ser pago.
Apresentamos um exemplo utilizando valores bem diferentes, mas dentro da mesma faixa salarial: para um salário de R$1638,00 e um de R$2453,00, de acordo com os estudantes o imposto pago seria o mesmo, R$122,78. Questionamos os alunos se era uma forma justa para calcular o imposto e se concordavam com ela. Eles argumentaram que não era justo cobrar o mesmo valor de imposto nos dois exemplos de salário que apresentamos.
Novamente questionamos como é calculado o imposto, e então os estudantes apontaram que o cálculo do imposto é feito a partir da alíquota ou percentual de cada faixa. Nos exemplos dados teria que calcular 7,5% de R$1638,00, que resulta em R$122,85, e também 7,5% de R$2453,00, que resulta em R$183,98. Os estudantes argumentaram que desta forma estaria justo, pois quem ganha mais paga um valor maior de imposto.
Apresentamos, então, um novo exemplo, agora com salários em faixas diferentes: para R$1635,00 e para R$1700,00 e perguntamos como ficaria o cálculo do imposto neste caso. Os alunos apresentaram a solução que para o salário de R$1635,00 não havia imposto, pois faz parte da faixa isenta, e para o salário de R$1700,00 o imposto era de 7,5% do salário, que resulta em R$127,50. Questionamos novamente se esta é uma forma justa de cobrar o imposto, e apontamos que no caso do salário de R$1700,00, quando descontamos o imposto, o salário líquido é de R$1572,50, ou seja, o salário se torna menor do que a valor limite para faixa isenta. Perguntamos se, neste caso, não seria melhor receber um salário de R$1635,00 do que um salário de R$1700,00.
Os alunos refletiram um pouco, e alguns argumentaram que não era justo calcular dessa forma, então sugeriram que o imposto deveria ser cobrado apenas do valor que excede o limite de
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R$1637,12, para o qual há isenção do Imposto de Renda. Voltamos a questionar sobre os valores da terceira coluna da tabela, correspondente a parcela a deduzir. Os estudantes não conheciam a palavra “deduzir”, um aluno buscou um dicionário e leu os significados de deduzir, dentre alguns significados eles elegeram que, no caso do Imposto de Renda, deduzir é um valor a diminuir ou abater. No entanto, o significado de deduzir não foi suficiente para compreenderem e explicarem os valores da terceira coluna da tabela.
Questionamos como seria o cálculo do imposto para um salário de R$1700,00, e os estudantes apresentaram a seguinte solução:
72 , 4 075 , 0 88 , 62 075 , 0 ) 12 , 1637 00 , 1700 (
Mostramos aos alunos que poderíamos resolver a expressão de outra forma:
72 , 4 78 , 122 50 , 127 075 , 0 12 , 1637 075 , 0 1700 075 , 0 ) 12 , 1637 1700 (
Dessa forma, ficou explícito, no cálculo, o valor da parcela a deduzir para alíquota de 7,5% que corresponde a R$122,78. Questionados sobre o significado deste valor os alunos responderam que ele representava a porcentagem de 7,5% sobre a faixa isenta, e, portanto, sobre o valor que não deveria ser cobrado imposto, sendo neste caso um valor que deveria ser descontado, pois não deveria ser pago.
No segundo encontro, com duração de uma hora/aula, a partir das discussões iniciais feitas na aula anterior, cada grupo reuniu-se para elaborar um modelo matemático que representasse o cálculo do imposto de renda.
A seguir, apresentamos um dos modelos matemáticos elaborado por um dos grupos na aula:
Figura 2: Modelo matemático apresentado pelo grupo 1 para o cálculo do imposto referente à alíquota de 15% Na figura, o grupo apresentou o modelo matemático para o cálculo do Imposto de Renda correspondente à faixa salarial entre R$2453,50 e R$3271,38, e fez um exemplo para o salário de R$3000,00. No modelo, o grupo calculou, inicialmente, o imposto de renda referente à alíquota de 7,5%, que corresponde à faixa salarial entre R$1637,11 e R$2453,50, é calculada a diferença entre esses dois valores, que corresponde a R$816,39, e sobre qual valor incide a alíquota de 7,5%. Para o valor que excede R$2453,50 o grupo aplicou a alíquota de 15%. Embora apresente alguns erros no uso de notações, como a colocação de um traço que aparenta uma divisão, e que foi usado pelos estudantes para expressar o resultado da diferença entre os dois valores, verificou-se que o grupo entendeu a situação e calculou corretamente o valor do imposto, portanto, apresentou um modelo válido para representar o problema.
O grupo percebeu que para esta faixa salarial, acima de R$2453,50 o valor do imposto correspondente à alíquota de 7,5% é um valor fixo de R$61,23. E que para calcular o imposto devido é necessário calcular 15% do valor que excede R$2453,50, que é o limite máximo para alíquota de 7,5%, e depois adicionar o valor de R$61,23, que corresponde à faixa do salário com alíquota de 7,5%. Este grupo seguiu esta linha de raciocínio para elaborar os modelos para as outras alíquotas, optando por dividir o salário em faixas, conforme os limites estabelecidos na tabela, e calculando o imposto devido em cada caso. Não utilizaram ou mencionaram o valor a deduzir em nenhum momento.
Durante a elaboração dos modelos matemáticos surgiram dúvidas em relação à quantidade de equações necessárias. Alguns grupos entenderam que construir um modelo era sinônimo de obter
uma única equação que possibilitasse o cálculo do imposto para qualquer faixa salarial. Nesse sentido, um dos grupos criou, inicialmente, um único modelo com três variáveis e que utilizava a parcela a deduzir:
p i S I
100 , onde I é o imposto devido, S o valor do salário, i é a alíquota e p é a parcela a deduzir conforme a faixa salarial.
Discutimos com o grupo o número de variáveis no modelo elaborado por eles, neste caso são quatro, mas o grupo argumentou, corretamente, que ao definir o salário, a alíquota e a parcela a deduzir estão definidas também, e, portanto, o modelo é válido.
Outro grupo apresentou modelos matemáticos semelhantes e também não utilizou a parcela a deduzir:
Figura 3: Modelos matemáticos apresentados pelo grupo 2 para o cálculo do imposto mensal
No último encontro em sala de aula, com duração de uma hora/aula, dando continuidade a tarefa, após a elaboração e validação dos modelos, cada grupo deveria construir um gráfico que representasse o modelo construído. E novamente surgiram dúvidas.
Os grupos que criaram mais de uma equação não sabiam se deveriam fazer um gráfico para cada uma ou um único gráfico com todas. Discutimos com os grupos como eles esperavam que fosse o gráfico, que tipo de comportamento teria, qual a forma. Inicialmente, os grupos apontaram que o gráfico seria uma curva crescente, pois as alíquotas aumentam. Questionamos, então, sobre o tipo de modelos elaborados, que características possuíam e sobre qual deve ser a característica do modelo para que o gráfico seja uma curva. Nesse momento, os estudantes observaram que os modelos eram de 1º grau e, portanto, o gráfico deveria ser uma reta. A figura a seguir mostra o esboço do gráfico idealizado por um grupo:
Figura 4: Esboço do gráfico idealizado pelo grupo 3 para a alíquota de 7,5%
Ao final desta aula, os grupos já tinham os modelos matemáticos elaborados e um esboço de como seria o gráfico para o modelo. A construção final dos gráficos e elaboração da apresentação ocorreram em horário extraclasse, no turno inverso.
8 3.2 ATIVIDADE EXTRACLASSE
Na atividade em turno inverso, marcamos horários para atendimento aos grupos. Como continuação do trabalho, os grupos deveriam construir o gráfico que representasse o modelo elaborado, e sugerimos que fosse utilizado algum aplicativo para sua construção, como Geogebra ou Graphmath. Os alunos optaram pelo geogebra, pois já conheciam e haviam utilizado o mesmo no ano anterior. E, para a segunda parte do trabalho, havíamos apresentado algumas questões sobre o Imposto de Renda, que serviram de orientação para a pesquisa dos estudantes e elaboração do texto para apresentação na turma.
Questões para orientação da pesquisa e elaboração do texto (que não deve ser cópia de textos da internet, caso hajam trechos copiados devem citar fonte):
1) Você sabe o que é Imposto de Renda (IR)? 2) O que é declaração de IR?
3) Como é calculado o IR? 4) Quem paga IR?
5) Qual o órgão responsável pelo IR? 6) Quem recebe o IR?
7) O que é restituição do IR? 8) O que é IR retido na fonte? 9) O que é declaração de IR?
10)Qual a arrecadação anual, aproximada, com IR? 11) Em que é usado o IR arrecadado?
12)Há quanto tempo existe IR? 13)Qual a origem do IR?
Quadro 2: Questões apresentadas em aula aos alunos.
De forma geral, os grupos não solicitaram auxílio para pesquisar informações e responder as questões propostas na segunda parte. Mas apresentaram dificuldades na construção do gráfico. Em especial, o grupo que elaborou um modelo único precisou repensar seu modelo e escrevê-lo de acordo com as alíquotas e faixas salariais, de forma que a equações tivessem apenas duas variáveis, o salário e o imposto. Dessa forma, tornava possível escrever a equação no Geogebra para apresentação do gráfico.
Outra dificuldade dos estudantes foi perceber que precisavam determinar o domínio de cada equação. Pois, não fazendo isso, o Geogebra mostrava várias retas com alguns pontos de intersecção. Em dois grupos, durante a construção do gráfico, isso ficou evidente. O quadro a seguir mostra o modelo matemático apresentado pelo grupo 2 para o cálculo do Imposto de Renda mensal:
X= Imposto de Renda Y= Salário Calculo mensal do imposto de renda:
Salário de 1637,12 até 2435,51: X= (y- 1637,12). 7,5 /100
Salário de 2435,51 até 3271,39: X= (y-2435,51) . 15 + 5987,93 / 100 Salário de 3271,39 até 4087,65 X= (y-3271,39) . 22,5 + 2375,23 / 100 Salário de 4087,65 pra cima X= (y-4087,65) . 27,5 +61526,93 / 100
No caso do modelo inicial, apresentado pelo grupo 2, verifica-se que os estudantes compreenderam a ideia matemática que determina o cálculo do imposto de renda, mas há alguns erros na formulação do modelo a partir da segunda faixa, o valor limite apresentado na tabela é de R$2453,50 e não R$2435,51. Além disso, os valores adicionados, referentes às diferentes alíquotas nas faixas salariais, com alíquotas acima de 15% estão incorretos.
Verificamos que os estudantes sabiam o que esperar do gráfico, por exemplo, acreditavam que apresentaria cinco retas, e que estas teriam um ponto de intersecção. Um dos grupos apontou, inclusive, quais seriam os pontos de intersecção, e afirmou que as retas ficariam cada vez mais inclinadas, pois as alíquotas aumentavam. No caso do grupo 3, que apresentou o modelo descrito no quadro 4, os pontos de intersecção ocorriam abaixo do eixo horizontal (x), o que fez o grupo concluir que alguma coisa estava incorreta, pois intuitivamente, sabiam onde seriam os pontos de intersecção. A solução encontrada pelo grupo foi refazer o modelo matemático, procurando possíveis erros cometidos na elaboração. E de fato, o grupo encontrou e corrigiu os erros, chegando a um modelo adequado que correspondia às expectativas sobre o gráfico.
A seguir apresentamos o gráfico elaborado no geogebra pelo grupo 1:
Figura 5: Gráfico do modelo matemático para IR mensal apresentado pelo grupo 1
Conforme já citamos, inicialmente os grupos tiveram alguma dificuldade na construção do gráfico, após algumas discussões com os estudantes e através da interação entre os grupos, todos construíram o gráfico utilizando o Geogebra.
3.3 APRESENTAÇÕES EM AULA
No último encontro, com duas horas/aula, cada grupo apresentou seu trabalho na turma. Os grupos optaram por apresentações em PowerPoint, no qual explicaram o que era Imposto de Renda, apresentaram algumas informações e curiosidades a respeito do tema, e mostraram os modelos matemáticos construídos pelo grupo. Um dos grupos optou pela elaboração de um vídeo, no qual dois integrantes do grupo representavam repórteres de um telejornal, que apresentava como assunto o Imposto de Renda, os outros integrantes apareciam entrevistando pessoas na rua ou respondendo dúvidas sobre o Imposto de Renda.
Observou-se que os grupos organizaram-se para a apresentação dividindo a tarefa em partes, e que, em alguns grupos, nem todos os integrantes tinham participado de forma ativa na elaboração do trabalho. Porém, em outros grupos, observou-se que todos os integrantes conheciam o trabalho por inteiro. Ao final de cada apresentação, foi solicitado que cada integrante do grupo fizesse uma autoavaliação de sua participação nas atividades, atribuindo uma nota de zero a dez e justificando-a. Este momento foi importante para a reflexão individual e do grupo sobre a participação e responsabilidade de cada estudante em sua aprendizagem.
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Durante a apresentação, os alunos fizeram comentários referentes à quantidade de impostos que já pagamos sobre produtos, serviços, etc. Um dos grupos pesquisou e apresentou no trabalho informações sobre a sonegação de impostos, e sobre a “malha fina” utilizada pela receita federal.
Quadro 4: Texto apresentado pelo grupo 2
Outro comentário fez referência aos profissionais autônomos, como médicos, dentistas, etc, que não possuem renda fixa ou renda comprovada, e que, alguns, cobram um valor maior se o cliente pedir recibo. Surgiram hipóteses dos alunos para justificar esta prática, entre elas, a maioria concordou que é uma forma de não pagar todo o imposto que deveria. A seguir apresentamos a conclusão de um dos grupos:
Quadro 5: Conclusão apresentada pelo grupo 2.
Como já citamos, optamos por relatar as atividades em apenas uma das turmas, pois a proposta foi a mesma e as atividades e discussões foram semelhantes, não havendo necessidade de descrever todos os momentos nas duas turmas.
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS
O trabalho com Modelagem Matemática pode colaborar para o enriquecimento da prática docente à medida que oportuniza espaços de discussões e reflexões em sala de aula, que abrangem tanto questões matemáticas como questões de outras áreas envolvendo situações reais, como no caso do Imposto de Renda. O ambiente de Modelagem pode proporcionar a participação mais efetiva na construção do conhecimento matemático e também contribuir para a formação crítica dos estudantes.
Verificou-se que as atividades desenvolvidas atingiram o objetivo proposto, que era explorar o tema Imposto de Renda utilizando a Modelagem Matemática como estratégia de ensino, e utilizar a Matemática aplicada às situações reais através da elaboração de modelos matemáticos. Observou-se que durante as atividades foram revisados vários conceitos matemáticos, em especial, sobre funções de 1º grau. O tema escolhido para o trabalho despertou o interesse dos estudantes pela atividade, o que colaborou para a configuração de um Ambiente de Aprendizagem de Modelagem Matemática aliado aos Cenários para Investigação.
O interesse pelo tema proporcionou discussões interessantes nas turmas, que ultrapassaram as questões matemáticas, como no que se refere à cobrança de impostos no Brasil e
em outros países, sobre a sonegação de impostos, sobre a utilização dos recursos arrecadados, entre outros, o que pode contribuir para o desenvolvimento de uma educação crítica.
A atividade oportunizou um contato inicial dos estudantes com a Modelagem Matemática, e, portanto, inicialmente, as atividades se enquadraram como caso (1) de Modelagem Matemática, e a seguir, conforme o trabalho avançou e houve a necessidade de buscar novas informações e dados sobre o tema, as atividades podem ser consideradas como caso (2) de Modelagem Matemática. Neste caso, o grau de responsabilidade e envolvimento dos estudantes foi crescendo gradualmente à medida que estavam mais familiarizados com o tema do trabalho e com a metodologia utilizada.
Destacamos a importância deste trabalho como uma experiência de Modelagem Matemática que contribuiu para aprendizagem dos estudantes, atribuindo significado para a Matemática estudada na escola básica, e que também oportunizou momentos de discussão e reflexão, que podem contribuir com a formação social e crítica dos alunos. Outro aspecto relevante, desta experiência de ensino, é a oportunidade de reflexão do professor sobre sua prática, o que pode contribuir para a modificação e qualificação da prática docente.
5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ALMEIDA, Lourdes Maria Werle de; VERTUAN, Rodolfo Eduardo. Discussões sobre “como fazer” Modelagem Matemática na sala de aula. In: ALMEIDA, Lourdes Maria Werle de; ARAÚJO, Jussara de Loiola; BISOGNIN, Eleni. (org). Práticas de Modelagem Matemática na Educação Matemática. Londrina: Eduel, 2011. p. 19 – 43.
BARBOSA, J. C. Modelagem na Educação Matemática: contribuições para o debate teórico. In: REUNIÃO ANUAL DA ANPED, 24, 2001, Caxambu. Anais... Caxambu: ANPED, 2001. 1 CDROM. BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática na sala de aula. Perspectiva, Erechim, v. 27, n. 98, p. 65-74, 2003.
BARBOSA, J. C. Uma perspectiva de Modelagem Matemática. In: CONFERÊNCIA NACIONAL SOBRE MODELAGEM E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 3, 2003, Piracicaba. Anais... Piracicaba: UNIMEP, 2003.
BISOGNIN, V; BISOGNIN, E. Experiências de Modelagem Matemática nos diferentes níveis de ensino. In: CONFERÊNCIA NACIONAL SOBRE MODELAGEM E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, VII, 2011, Belém do Pará. Anais... Belém do Pará: UNIMEP, 2011.
BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros curriculares nacionais: Ensino Médio:Ciências da Natureza, Matemática e suas tecnologias. Brasília: SEMT, 1999b. 114 p.
BRASIL. Receita Federal. Tabelas progressivas para cálculo do Imposto de Renda Anual. 2013. Disp. <http://www.receita.fazenda.gov.br/Aliquotas/TabProgressiva2012a2015.htm> Acesso:
Mar.2013.
BRASIL. Receita Federal. Tabelas para cálculo do Imposto de Renda Retido na Fonte. 2013. Disp. <http://www.receita.fazenda.gov.br/Aliquotas/ContribFont2012a2015.htm> Acesso: Mar.2013.
SANT’ANA, M. F. As Práticas de Modelagem Matemática em Sala de Aula: Reflexões a partir de quatro situações. In: VI CONFERÊNCIA NACIONAL SOBRE MODELAGEM NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 6, 2009, Londrina. Anais... Londrina: CNMEM, 2009. CDROM.
SKOVSMOSE, Ole. Desafios da Reflexão em Educação Matemática Crítica. Campinas: Papirus, 2008.
SKOVSMOSE, Ole. Educação Matemática Crítica: A Questão da Democracia. Campinas: Papirus. 5ª Ed. 2010.
