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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ a CENTRO DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA PATRÍCIA RENATA PEREIRA REGIS

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Academic year: 2021

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(1)´ UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARA ˆ CENTRO DE CIENCIAS a ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICA ´ ˜ EM MATEMATICA ´ PROGRAMA DE POS-GRADUAC ¸ AO. PATR´ICIA RENATA PEREIRA REGIS. ´ TEORIA DE SCHAUDER VIA PRINC´IPIO DO MAXIMO, PELO ´ METODO DA COMPACIDADE E VIA POTENCIAL NEWTONIANO. FORTALEZA 2018.

(2) PATR´ICIA RENATA PEREIRA REGIS. ´ ´ TEORIA DE SCHAUDER VIA PRINC´IPIO DO MAXIMO, PELO METODO DA COMPACIDADE E VIA POTENCIAL NEWTONIANO. Disserta¸ca˜o apresentada ao Programa de P´os-gradua¸ca˜o em Matem´atica do Departamento de Matem´atica da Universidade Federal do Cear´a, como parte dos requisitos necess´arios para a obten¸ca˜o do t´ıtulo de Mes´ tre em Matem´atica. Area de concentra¸c˜ao: An´alise. Orientador: Prof. Dr. Jose Ederson Melo Braga. FORTALEZA 2018.

(3) Dados Internacionais de Catalogação na Publicação Universidade Federal do Ceará Biblioteca Universitária Gerada automaticamente pelo módulo Catalog, mediante os dados fornecidos pelo(a) autor(a). R265t. Regis, Patrícia Renata Pereira. Teoria de Schauder via princípio do máximo, pelo método da compacidade e via potencial newtoniano / Patrícia Renata Pereira Regis. – 2018. 74 f. Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Ceará, Centro de Ciências, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Fortaleza, 2018. Orientação: Prof. Dr. José Ederson Melo Braga. 1. Teoria de Schauder. 2. Equação de Poisson. 3. Continuidade Hölder. 4. Princípio do Máximo. 5. Potencial Newtoniano. I. Título. CDD 510.

(4) PATR´ICIA RENATA PEREIRA REGIS. ´ ´ TEORIA DE SCHAUDER VIA PRINC´IPIO DO MAXIMO, PELO METODO DA COMPACIDADE E VIA POTENCIAL NEWTONIANO. Disserta¸ca˜o apresentada ao Programa de P´osgradua¸ca˜o em Matem´atica do Departamento de Matem´atica da Universidade Federal do Cear´a, como parte dos requisitos necess´arios para a obten¸ca˜o do t´ıtulo de Mestre em Ma´ tem´atica. Area de concentra¸ca˜o: An´alise. Aprovoda em:. /. / 2018.. BANCA EXAMINADORA. ´ EDERSON MELO BRAGA (Orientador) Prof. Dr. JOSE Universidade Federal do Cear´a (UFC). Prof. Dr. DIEGO RIBEIRO MOREIRA Universidade Federal do Cear´a (UFC). Prof. Dr. RENAN DANTAS MEDRADO Universidade Federal do Cear´a - Campus Sobral (UFC).

(5) 1. Dedico este trabalho aos meus pais, Ivoneide e Roberto; as minhas irm˜as, Benedita e Bianca; a`s tias Silvia e Teresa; ao pequeno Arthur; e ao meu namorado, Denilson..

(6) AGRADECIMENTOS Agrade¸co acima de tudo, a` Deus. ` minha fam´ılia e namorado, por tanto incentivo, amor rec´ıproco e compreA ens˜ao nos momentos de ausˆencia. Aos professores que tive ao longo da vida, em especial ao meu professor e orientador de gradua¸ca˜o, Fl´avio Alexandre Falc˜ao Nascimento, por me mostrar qu˜ao bela ´e a Matem´atica e ter me conduzido a este caminho que, hoje tanto me orgulha em ter tra¸cado. Imensamente grata ao orientador de mestrado, Jose Ederson Melo Braga, pela disponibilidade, eficiˆencia e paciˆencia constante. Grata `as amizades conquistadas, e assim, aos momentos de alegrias e de dificuldades compartilhados. Agrade¸co ao amigo, companheiro de gradua¸ca˜o, Alexandre Gomes Sousa, pela enorme ajuda com a digita¸c˜ao. ` secret´aria da P´os-Gradua¸c˜ao, Andrea Costa Dantas, pelos in´ A umeros servi¸cos prestados, bem como os outros servidores do Departamento de Matem´atica. E a` todos que contribu´ıram de forma direta ou indireta para a realiza¸c˜ao deste trabalho e conclus˜ao desta jornada..

(7) 1. ”Foi o tempo que dedicaste a` tua rosa que a fez t˜ao importante.” (ANTOINE DE SAINTE-EXUPERY – O PEQUENO PR´INCIPE).

(8) RESUMO A continuidade do operador Laplaciano aplicado em uma fun¸ca˜o u : Ω ⊂ Rn −→ R n˜ao garante que a fun¸ca˜o seja de classe C 2 (Ω). Todavia, a teoria de regularidade de Schauder nos garantir´a que se ∆u for α-H¨older cont´ınuo, ent˜ao u ser´a localmente C 2,α (Ω), isto ´e, 2 0,α cada derivada parcial de segunda ordem ∂x∂ i uxj , 1 ≤ i, j ≤ n, ser´a Cloc . Nesta disserta¸c˜ao 2,α estabeleceremos a Teoria C de Schauder por trˆes m´etodos: via Princ´ıpio do M´aximo, pelo M´etodo da Compacidade e Potencial Newtoniano. Em cada m´etodo trabalhamos suas peculiaridades para obtermos as estimativas almejadas. Algumas t´ecnicas que abordaremos aqui podem ser estendidas para operadores mais gerais. No entanto, todas as dificuldades centrais j´a aparecem quando consideramos o operador Laplaciano (Equa¸ca˜o de Poisson). Por esta raz˜ao este ´e o operador que consideraremos em toda a extens˜ao do trabalho. Palavras-chave: Teoria de Schauder. Equa¸ca˜o de Poisson. Continuidade α-H¨older. Princ´ıpio do M´aximo. Potencial Newtoniano..

(9) ABSTRACT The continuity of the Laplacian operator of a function u : Ω ⊂ Rn −→ R does not guarantee that the function is of class C 2 (Ω). However, Schauder’s regularity theory will assure us that if ∆u is α-H¨older continuous, then u will be locally C 2,α (Ω), this is, each 2 0,α second-order partial derivative ∂x∂ i uxj , 1 ≤ i, j ≤ n, will be Cloc . In this dissertation, we 2,α will establish Schauder’s Theory C by three methods: by the Maximum Principle, by the Method of Newton’s Compassion and by Potential. In each method, we work on its peculiarities to obtain the desired estimates. Some techniques that we will cover here can be extended to more general operators. On the other hand, all the central difficulties already appear when we consider the Laplacian operator (Poisson equation). For this reason, this is the operator we will consider throughout the work. Keywords: Schauder’s Theory. Poisson’s equation. α-H¨older continuity. Maximum principle. Newtonian Potential..

(10) ´ SUMARIO 1 2 3 3.1 3.2 3.3 4 4.1 4.2 5 5.1 5.2 6 6.1 6.2 7. ˜ INTRODUC ¸ AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ NOTAC ¸ AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . RESULTADOS PRELIMINARES . . . . . . . . . . . . . . . . . Fun¸co ˜es Harmˆ onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solu¸c˜ ao Fundamental para a Equa¸c˜ ao de Laplace . . . . . . . . An´ alise Real/ An´ alise Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ TEORIA DE SCHAUDER VIA PRINC´IPIO DO MAXIMO . Estimativas a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema principal via Princ´ıpio do M´ aximo . . . . . . . . . . . ´ TEORIA DE SCHAUDER VIA METODO DA COMPACIDADE Estimativas de aproxima¸c˜ ao e de Cacciopoli . . . . . . . . . . . Teorema principal via M´ etodo da Compacidade . . . . . . . . . TEORIA DE SCHAUDER VIA POTENCIAL NEWTONIANO O Potencial Newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema principal via Potencial Newtoniano . . . . . . . . . . . ˜ CONCLUSAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˆ REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10 12 13 13 21 24 26 26 30 42 42 46 56 56 66 72 73.

(11) 10 ˜ 1 INTRODUC ¸ AO Dentre os interesses no estudo de Equa¸co˜es Diferenciais Parciais (EDP), um dos mais importantes diz respeito `a investiga¸ca˜o da regularidade de solu¸co˜es de uma EDP, homogˆenea ou n˜ao. O presente trabalho tem esse objetivo, lidando com o operador linear Laplaciano e tratando portanto, com Equa¸co˜es de Poisson ∆u = f . ´ sabido que a continuidade do Laplaciano de uma fun¸ca˜o ∆u n˜ao implica E u ∈ C 2 , embora a rec´ıproca seja imediata. Um exemplo disto pode ser constru´ıdo tomando uma fun¸c˜ao η : R2 −→ R suave satisfazendo η ≡ 1 em B1 e η ≡ 0 em R2 \ B2 , e definindo P 1 i f (x, y) := ∞ e cont´ınua, mesmo n˜ao havendo i=1 i · ∆[η(x, y)xy](2 xy). Verifica-se que f ´ 2 solu¸ca˜o u ∈ C da equa¸ca˜o ∆u = f . Em contrapartida, existe uma outra esp´ecie de continuidade para o Laplaciano de u que implica regularidade de fun¸ca˜o u, a continuidade α-H¨older. Da´ı surge a Teoria da Regularidade de Schauder. Ela nos garante que se f for uma fun¸c˜ao α-H¨older cont´ınua, 2,α ent˜ao as solu¸c˜oes da equa¸ca˜o ∆u = f s˜ao de classe Cloc . Em outras palavras, basta que o tra¸co da matriz Hessiana de uma fun¸c˜ao u seja α-H¨older cont´ınua para que cada entrada dessa matriz seja uma fun¸ca˜o localmente α-H¨older cont´ınua. Veremos isto em trˆes situa¸co˜es diferentes: via Princ´ıpio do M´aximo, pelo M´etodo da Compacidade e Potencial Newtoniano. Nos dois primeiros estimaremos apenas em vizinhan¸cas da origem observando que o problema pode ser estendido a` outros pontos por meio de mudan¸cas de vari´aveis, e mostraremos ser suficiente considerar os casos especiais de problemas em que f (0) = 0, as semi-normas [f ]C α (0) , [f ]C α2 (0) e as normas L ||u||L∞ (B1 ) , ||u||L2 (B1 ) s˜ao razoavelmente pequenas. No m´etodo via Princ´ıpio do M´aximo obteremos, por argumento de barreira para subsolu¸co˜es e supersolu¸co˜es da equa¸ca˜o ∆u = f , a seguinte aproxima¸c˜ao da solu¸ca˜o 1 sup|f |, em que sup|f | ≤ [f ]C α (0) u por uma fun¸ca˜o harmˆonica h: ||u − h||L∞ (B1 ) ≤ 2n B1. B1. quando f (0) = 0. O Polinˆomio de Taylor da fun¸ca˜o h, de ordem 2 e em torno da origem, estar´a pr´oximo de u de tal modo que, recursivamente, construiremos uma sequˆencia de Cauchy de polinˆomios quadr´aticos e harmˆonicos. O polinˆomio limite dessa sequˆencia nos dar´a a regularidade C 2,α (0) de u. O desenvolvimento do segundo m´etodo se dar´a an´alogo ao primeiro com suas devidas adapta¸c˜oes. Ao se tratar de solu¸co˜es fracas e α-H¨older continuidade no sentido L2 , observaremos a estimativa de Cacciopoli, tamb´em conhecida como estimativa da energia, com a finalidade de obtermos limita¸c˜ao de sequˆencias no espa¸co reflexivo H 1 (B1 ), e consequentemente, convergˆencia (fraca). Isto aproximar´a (no sentido L2 ) a solu¸ca˜o u por polinˆomios quadr´aticos e harmˆonicos. Novamente de modo recursivo construiremos uma sequˆencia de polinˆomios quadr´aticos e tomaremos o limite como o indicador para a obten¸ca˜o do resultado desejado. α Por fim, mostraremos que para Ω ⊂ Rn aberto limitado e f ∈ Cloc (Ω)∩L∞ (Ω),.

(12) 11 o Potencial Newtoniano de f relativo ao dom´ınio Ω ´e solu¸c˜ao da Equa¸ca˜o de Poisson ∆u = f . Isto ser´a feito por meio de convolu¸co˜es, aplica¸c˜oes do Teorema da Deriva¸c˜ao Termo a Termo e estimativas para a Solu¸ca˜o Fundamental da Equa¸c˜ao de Laplace, a qual dedicaremos uma se¸c˜ao no cap´ıtulo de resultados preliminares. Como o Crit´erio da Compara¸ca˜o nos fornece a unicidade de solu¸c˜ao, fica provada a Teoria de Schauder 2,α mostrando que o Potencial Newtoniano de f ´e Cloc . Na verdade, esse mesmo resultado de regularidade ainda ´e v´alido para o operador L(u) := T r(A(x)D2 (x) quando A ´e cont´ınua e uniformemente el´ıptica, cujo caso particular ´e o Laplaciano ∆u, que ´e gerada fazendo A = I. Levando em considera¸ca˜o que todas as dificuldades centrais j´a aparecem quando consideramos esse operador, o consideraremos em toda a extens˜ao do trabalho..

(13) 12 ˜ 2 NOTAC ¸ AO 1. Ω: Subconjunto aberto e conexo de Rn . Quando houver necessidade de alguma propriedade adicional, ela ser´a citada no enunciado do resultado; 2. Br (a) = {x ∈ Rn ; |x − a| < r} 3. Br = {x ∈ Rn ; |x| < r} ´ 4. |Ω| = Ω dx ´e o volume de Ω ⊂ Rn ; 5. α: Usaremos sempre 0 < α ≤ 1; P 2 6. Laplaciano: ∆u := ni=1 ∂∂xu2 ; i 7. Equa¸c˜ao de Laplace: ∆u = 0; 8. Equa¸c˜ao de Poisson: ∆u= f ;  ∂u ∂u 9. Gradiente: Du = ∇u = ∂x1 , ..., ∂xn ; h 2 i 10. Matriz Hessiano de u no ponto x: Hu(x) = ∂x∂ i uxj (x) . Quando n˜ao houver risco n×n. de confus˜ao usaremos apenas H ao inv´es de Hu(x); ´ ffl 1 u(x)dx; 11. Valor-m´edio: Ω u(x)dx = |Ω| Ω |f (x) − f (x0 )| ; |x − x0 |α x6=x0. 12. Semi-norma α-H¨older de f em x0 : [f ]C 0,α (x0 ) := sup x∈Ω. 13. Semi-norma α-H¨older: [f ]C α (Ω). |f (x) − f (y)| < +∞; := sup |x − y|α x6=y x,y∈Ω. 14. Semi-norma α-H¨older de f em x0 no sentido L2 :  21 1 ffl 2 [f ]C α (x0 ) := sup α Br |f (x) − f (x0 )| dx ; L2 0≤r≤1 r 15. Norma do supremo: ||f ||L∞ (Ω) = sup|f |; Ω. 16. L∞ (Ω) = {f : Ω −→ R; ||f ||L∞ (Ω) < ∞} 1 ´ 17. Norma L2 : ||f ||L2 (Ω) = Ω |f (y)|2 dy 2 ; 18. L2 (Ω) = {f : Ω −→ R; ||f ||L2 (Ω) < ∞} 19. C 0,α (x) = {f ; [f ]C α (x) < ∞}; 2 20. C 2,α (x) = {f ; ∂x∂ i fxj ∈ C 0,α (x), i, j = 1, .., n}; 21. C 0,α (Ω) = {f : Ω −→ R; [f ]C α (Ω) < ∞}; 2 22. C 2,α (Ω) = {f : Ω −→ R; ∂x∂ i fxj ∈ C 0,α (Ω), i, j = 1, .., n}; 23. C0k (Ω) = {f : Ω −→ R; f ∈ C k , suppf ´e compacto}; ∂u 24. H 1 (Ω) = W 1,2 (Ω) := {u : Ω −→ R; u, ∂x ∈ L2 (Ω), i = 1, ..., n}, onde i no sentido fraco; ´ 25. Convolu¸ca˜o f ∗ g : Ω −→ R: f ∗ g(x) = Ω f (x − y) · g(y)dy.. ∂u ∂xi. ´e derivada.

(14) 13 3 RESULTADOS PRELIMINARES Neste cap´ıtulo estabeleceremos tudo aquilo que entendemos como pr´e-requisito para os cap´ıtulos seguintes. Tais como fun¸co˜es harmˆonicas, inclusive estimativas para a Solu¸ca˜o Fundamental da Equa¸ca˜o de Laplace, o M´etodo de Perron, etc. 3.1 Fun¸ c˜ oes Harmˆ onicas Defini¸c˜ ao 3.1 Uma fun¸c˜ao u : Ω −→ R, u ∈ C 2 (Ω), ´e dita harmˆonica (respectivamente, subharmˆonica/ superharmˆonica) no sentido cl´assico quando ∆u = 0 (respectivamente, ∆u ≥ 0 / ∆u ≤ 0) em Ω. Quando temos uma solu¸ca˜o u ∈ C 2 (Ω) para a equa¸ca˜o ∆u = f diremos que u ´e uma solu¸ca˜o cl´assica da Equa¸ca˜o de Poisson. Chamaremos u de subsolu¸c˜ao (respectivamente, supersolu¸c˜ao) da Equa¸ca˜o de Poisson ∆u = f quando ∆u ≥ 0 (respectivamente, ∆u ≤ 0) em Ω. Observa¸c˜ ao:(Sobre solu¸co ˜es fracas - sentido das distribui¸co ˜es) Observando que nem toda fun¸ca˜o possui derivada no sentido cl´assico, surge a ideia de derivada fraca, que ´e uma fun¸ca˜o que se comporta de modo semelhante `a derivada cl´assica, caso ela existisse. Defini¸c˜ ao 3.2 Sejam u, v ∈ L1loc (Ω) e β um multi-ind´ıce. Dizemos que v ´e derivada parcial fraca de u com multi-ind´ıce β, e escrevemos Dβ u = v, quando ˆ. ˆ β. u(x) · D φ(x)dx = (−1). |β|. v(x) · φ(x)dx. Ω. Ω. para toda fun¸c˜ao teste φ ∈ C0∞ (Ω). Tal defini¸ca˜o ´e motivada pelo Teorema da Divergˆencia que diz, no caso de 1 u ∈ C (Ω), que para qualquer fun¸ca˜o φ ∈ C0∞ (Ω) tem-se ˆ. ˆ u(x) · φxi (x)dx = −. Ω. ˆΩ. =−. ˆ uxi (x) · φ(x)dx +. uφ(x) · vi (x)dS(x) ∂Ω. uxi (x) · φ(x)dx. Ω. Aplicando esse a t´ecnica k vezes, ter´ıamos para u ∈ C k (Ω) e φ ∈ C0∞ (Ω), ˆ. ˆ β. u(x) · D φ(x)dx = (−1) Ω. |β|. Dβ u(x) · φ(x)dx Ω. sempre que |β| ≤ k. Quando n˜ao existe Dβ u no sentido cl´assico mas existe fun¸c˜ao v.

(15) 14 satisfazendo a igualdade ˆ. ˆ |β|. β. u(x) · D φ(x)dx = (−1) Ω. v(x) · φ(x)dx Ω. para toda fun¸ca˜o φ ∈ C0∞ (Ω), observamos que ela se comporta do modo em que a derivada de u se comportaria, motivado pelo fato de se ˆ. ˆ ω · φ, ∀φ ∈ C0∞ =⇒ v = φ q.t.p.,. v·φ=. definimos Dβ u := v e a chamamos de derivada fraca. Deste modo, diremos que u ´e solu¸c˜ao fraca da Equa¸c˜ao de Poisson ∆u = f em Ω quando u ∈ H 1 (Ω) e satisfaz ˆ. ˆ ∇u(x) · ∇φ(x)dx = −. Ω. f (x) · φ(x)dx, B1. para toda φ ∈ C0∞ (Ω). Se a fun¸c˜ao f for minimamente regular, digamos f ∈ L2 (Ω) podemos usar a partir de densidade de C0∞ em H01 que as identidades acima s˜ao verdadeiras para toda φ ∈ H01 (Ω). Por fim, diremos que h ´e harmˆonica em Ω quando ˆ ∇h(x) · ∇φ(x)dx = 0, Ω. para toda φ ∈ C0∞ (Ω), ou ainda, φ ∈ H01 (Ω) Teorema 3.1 (Propriedade do valor m´ edio) Seja u : Ω −→ R, u ∈ C 2 (Ω), uma fun¸c˜ao harmˆonica. Ent˜ao u satisfaz a propriedade da m´edia, isto ´e, dado Br (x) ⊂ Ω temos, u(y)dy.. u(y)dSy =. u(x) = ∂Br (x). Br (x). Prova. Fixado x ∈ Ω defina φ : (0, δ) −→ R, onde δ = sup{r > 0; Br (x) ⊂ Ω}, por φ(r) =. u(y)dy e perceba que φ ´e constante. Br (x). Temos por mudan¸ca de vari´aveis, ˆ 1 φ(r) = u(y)dy |∂Br (x)| ∂Br (x) ˆ 1 = · u(x + rω)rn−1 dSω |∂B1 |rn−1 ∂B1 ˆ 1 = u(x + rω)dSω. |∂B1 | ∂B1 Usando regra da cadeia, mudan¸ca de vari´aveis novamente, e teorema da di-.

(16) 15 vergˆencia para o campo Du, obtemos 0. φ (r) = = = =. ˆ 1 hDu(x + rω), ωidSω |∂B1 | ∂B1 ˆ 1 y−x 1 hDu(y), i n−1 dSy |∂Br (x)| ∂B1 r r ˆ 1 ∂u (y)dSy |∂Br (x)| ∂Br (x) ∂v ˆ 1 ∆u(y)dy = 0. |∂Br (x)| Br (x). Logo, φ ≡ c. Por outro lado, φ(r) = lim φ(r) = lim r→0. r→0. u(y)dSy, ∀r ∈ (0, δ).. u(x) = φ(r) = lim. r→0. u(y) = u(x). Logo, Br (x). Br (x). Al´em disso, com respeito a` m´edia sob o disco, note que u(y)dSy = Br (x). = = = = =. ˆ 1 u(y)dy |Br (x)| Br (x) ˆ rˆ 1 u(y)dydt |Br (x)| 0 ∂Bt (x) ˆ r 1 u(y)dydt |∂Bt | |Br (x)| 0 ∂Br (x) ˆ r 1 |∂B1 (0)|tn−1 u(x)dt |B1 (0)|rn 0 ˆ r u(x) |∂B1 (0)|tn−1 dt 1 n |∂B (0)|r 1 0 n r n · u(x) tn  u(x) n  · = r = u(x).  rn n 0 rn. Corol´ ario 3.1 (da demonstra¸c˜ ao) Seja u ∈ C 2 (Ω) fun¸c˜ao subharmˆonica, isto ´e, ∆u ≥ 0. Ent˜ao para todo ∂Br (x) ⊂ Ω vale u(x) ≤. u(y)dy. ∂Br (x). Prova. Vimos que fixado x ∈ Ω e definido φ como na demonstra¸c˜ao do teorema acima, ˆ 1 0 vale φ (r) = ∆u(y)dSy ≥ 0. O que implica φ n˜ao-decrescente. |∂Br (x)| Br (x).

(17) 16 Da´ı, pelo Teorema da Diferencia¸ca˜o de Lesbeque, u(y)dSy = lim φ(t) = inf φ ≤ φ(r) =. u(x) = lim t→0. t→0. ∂Bt (x). u(y)dy, ∂Br (x). para qualquer r > 0. Analogamente, se u ∈ C 2 (Ω) ´e uma fun¸ca˜o superharmˆonica, ou seja, ∆u ≤ 0, ent˜ao u(x) ≥ u(y)dy ∂Br (x). sempre que Br (x) ⊂ Ω. Teorema 3.2 (Princ´ıpio do M´ aximo Fraco/Forte) Seja, Ω ⊂ Rn dom´ınio limitado e u : Ω −→ R, u ∈ C 2 (Ω) ∪ C(Ω), uma fun¸c˜ao harmˆonica. Ent˜ao, 1. max u = max u ∂Ω. Ω. 2. Se existe x0 ∈ Ω tal que u(x0 ) = max u, ent˜ao u ´e constante. Ω. ´ suficiente provar o segundo item. Prova. E Suponha que exista x0 ∈ Ω tal que u(x0 ) = M := maxu. Ω. Pelo Teorema 3.1 e por Br (x0 ) ⊂ Ω para algum r > 0, u(y)dy ⇒. M = u(x0 ) = Br (x0 ). [M − u(y)]dy = 0. Br (x0 ). Mas para que isso ocorra ´e necess´ario que u|Br (x0 ) ≡ M , pois M − u ≥ 0 e cont´ınua. Isto significa que X = {x ∈ Ω; u(x) = M } ´e aberto, fechado em Ω. Por conexidade, X = Ω ou X = ∅. Observa¸c˜ ao: (a) Observe que vale o Princ´ıpio do M´ınimo para fun¸co˜es harmˆonicas. Precisamente: (10 )min u = min u; (20 ) Se existe x0 ∈ Ω tal que u(x0 ) = minu, ent˜ao u ´e constante. Ω. ∂Ω. Ω. Isto ´e consequˆencia imediata do Princ´ıpio do M´aximo para a fun¸ca˜o harmˆonica −u. (b) Para fun¸c˜oes subharmˆonicas tamb´em vale o Princ´ıpio do M´aximo. ´ fechado A conexidade de X = {x ∈ Ω; u(x) = M } ´e mostrada da mesma forma. E pela continuidade de u, e se x0 ∈ Ω ´e tal que M = u(x0 ), ent˜ao M = u(x0 ) ≤. u(y)dy ⇒ ∂Br (x0 ). [M − u(y)]dy ≤ 0. ∂Br (x0 ). Mas M − u ≥ 0. Ent˜ao M − u ≡ 0 em ∂Br (x0 ). E como teremos isto para qualquer 0 < t < r, vem M − u ≡ 0 em Br (x0 ). Indicando que X ´e aberto em Ω..

(18) 17 (c) Analogamente, se u ´e superharmˆonica, vale o Princ´ıpio do M´ınimo. Uma forte consequˆencia desses fatos ´e o Crit´erio da Compara¸ca˜o: Corol´ ario 3.2 (Crit´ erio da Compara¸c˜ ao) Sejam Ω ⊂ Rn dom´ınio limitado e u, v ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) tais que  ∆u ≥ ∆v, em Ω u ≤ v, em ∂Ω.. (1). Ent˜ao, u ≤ v, em Ω. Prova. De fato, aplicamos o Princ´ıpio do M´aximo a fun¸ca˜o subharmˆonica ω := u − v e obtemos ω ≤ 0, em Ω. Observa¸c˜ ao: Em particular, o seguinte problema de Dirichlet,  ∆u = f, em Ω u = g, em ∂Ω,. (2). Tem u ´nica solu¸c˜ao em C 2 (Ω) ∩ C(Ω). Teorema 3.3 Se u ∈ C(Ω) satisfaz a propriedade do valor-m´edio para cada Br (x) ⊂ Ω, ent˜ao u ∈ C ∞ (Ω). Prova. Seja η ∈ C ∞ (Rn ) definida por. η(x) :=.   C exp. 1 |x|2 −1. . , se |x| < 1. 0, se |x| ≥ 1, ˆ η(x)dx = 1.  1 Dado ε > 0 definimos ηε (x) = n · η xε . Veja que ηε ∈ C ∞ (Rn ) e satisfaz ε ˆ ηε (x)dx = 1, supp(ηε ) ⊂ B(0, ε).. onde C = C(n) > 0 ´e a constante tal que. Rn. Rn. Para uε = ηε ∗ u em Ωε = {x ∈ Ω; d(x, ∂Ω) > ε} tem-se uε ∈ C ∞ (Ωε )..

(19) 18 Mostremos que u ´e suave verificando que u|Ωε = uε . De fato, ˆ.  ˆ  1 |x − y| ηε (x − y)u(y)dy = n u (x) = u(y)dy η ε Ω ε Ω   ˆ ˆ ˆ 1 1 ε |x − y| r = n u(y)dy = n η η( )u(y)dydr ε Bε (x) ε ε 0 Bε (x) ε ˆ  ˆ ε ˆ r 1 ε r 1 η( ) u(y)dy dr = n η( ) · u(x)|∂Br (x)|dr = n ε 0 ε ε 0 ε Bε (x)  ˆ ˆ ε ˆ ε u(x) r dy dr ηε (r) = n η( ) · |∂B(0, r)|dr = u(x) ε ε ∂B(0,r) 0 0 ˆ ˆ εˆ ηε (r)dydr = u(x) ηε (x − y)dy = u(x). = u(x) ε. 0. ∂B(0,r). B(0,ε). E finalizamos fazendo ε → 0. Em particular, u ∈ C 2 (Ω) ´e uma fun¸ca˜o harmˆonica, ent˜ao u ∈ C ∞ (Ω). Assim, faz sentido considerarmos de Dα u(x0 ) para todo x0 ∈ Ω e todo α ∈ Nn multi-´ındice. Teorema 3.4 (Estimativa das derivadas) Se u ´e harmˆonica em Ω ent˜ao 1 ||u||L1 (Br (x0 )) ; |Br | 1 (2n+1 nk)k · n+k · ||u||L1 (Br (x0 )) |Dα u(x0 )| ≤ |B1 | r n+1 k (2 nk) · ||u||L1 (Br (x0 )) = |Br | · rk |u(x0 )| ≤. para toda bola Br (x0 ) ⊂ Ω e cada multi-´ındice α de ordem |α| := α1 + ... + αn = k. 1 Prova. A desigualdade |u(x0 )| ≤ ||u||L1 (Br (x0 )) vem da propriedade do valor m´edio e |Br | desigualdade triangular para integrais. Para as derivadas, perceba que uxi ´e harmˆonica para cada i = 1, . . . , n: ∆uxi =. n X. (uxi )xj xj =. j=1. X. (uxj xj )xi = (∆u)xi = 0.. j=1. Assim, pelo Teorema 3.1,

(20)

(21) ˆ

(22)

(23) 2n 1

(24)

(25)  u (y)dy = |uxi (x)| =

(26)

(27) x n i

(28) |B1 |rn

(29) |B1 | 2r B r (x) 2.

(30) ˆ

(31)

(32)

(33)

(34)

(35) ·

(36) uvi (y)dy

(37)

(38) ∂B r (x)

(39) 2.

(40) 19. 2n |uxi (x)| ≤ |B1 |rn. ˆ. 2n |u(y)|dy ≤ |B1 |rn ∂B r (x) 2. ˆ dy · ||u||L∞ (∂B r (x)) ∂B r (x). 2. 2. 2n r · n|B1 | · ( )n−1 · ||u||L∞ (∂B r (x)) n 2 |B1 |r 2 2n = · ||u||L∞ (∂B r (x)) , 2 r =. mas para y ∈ ∂B r2 (x) tem-se B r2 (y) ⊂ Br (x). Ent˜ao,

(41) ˆ

(42) ˆ

(43)

(44) 1 1

(45)

(46) n

(47)  |u(y)| = u(z)dz

(48) ≤ |u(z)|dz

(49) |B1 | 2r n B r (y) |B1 | 2r

(50) B r (y) 2 2 ˆ 2n 2n ≤ |u(z)|dz = · ||u||L1 (Br (x)) . |B1 |rn Br (x) |B1 |rn Logo,. |uxi (x)| ≤. 2n 2n 2n+1 n 2n 1 · ||u||L∞ (∂B r (x)) ≤ · ||u|| = ||u||L1 (Br (x)) . L (Br (x)) 2 r r |B1 |rn |B1 |rn+1. Segue da´ı, a estimativa de |Dα u(x)| para |α| = 1. Suponha v´alido para |Dβ u| com |β| = k − 1. Para algum i = 1, . . . , n, fa¸ca Dα u = (Dβ u)xi e tenha

(51)

(52)

(53) ˆ

(54) ˆ

(55)

(56)

(57)

(58) 1 1

(59)

(60)

(61)

(62) Dβ (u)xi (y)dy

(63) = Dβ uvi (y)dy

(64) |Dα u(x)| =

(65)

(66)

(67) |B kr |

(68) ∂B r (x)

(69) |B kr |

(70) B r (x) k ˆ k 1 1 ≤ |Dβ u(y)|dy ≤ |∂B kr | · ||Dβ u||L∞ (∂B r (x)) k |B kr | ∂B r (x) |B r2 | k. ≤. n|B | k · ||Dβ u||L∞ (∂B r (x)) . k |B r2 | r r 2. Por outro lado, se y ∈ ∂B kr (x) ent˜ao B k−1 r (y) ⊂ Br (x0 ) e pela hip´otese de k estimativa para |Dβ u| obtemos |Dβ u(y)| ≤. (2n+1 n(k − 1))k−1 (2n+1 n(k − 1))k−1 · ||u|| ≤ ||u||L1 (Br (x0 )) . k−1 1 L (B(y, k r)) |B1 |( k−1 r)n+k−1 |B1 |( k−1 r)n+k−1 k k. Logo, |Dα u(x)| ≤. nk nk (2n+1 n(k − 1))k−1 ||Dβ u||L∞ (∂B r (x)) ≤ · |u||L1 (Br (x0 )) n+k−1 k r r |B1 |( k−1 r) k.

(71) 20 (2n+1 )k−1 nk (k − 1)k−1 k · k n+k−1 ||u||L1 (Br (x0 )) |B1 |(k − 1)n+k−1 rn+k   (2n+1 )k nk k n+k = · ||u||L1 (Br (x0 )) . |B1 |rn+k (k − 1)n · 2n+1. |Dα u(x)| =. Nos resta mostrar que k n+k knkk k ≤ k ⇔ ≤ 2n+1 k k ⇔ (k − 1)n 2n+1 (k − 1)n Observe que a sequˆencia ak =. . k k−1. . ≤ 2n+1 .. k ´e decrescente (ak )k≥2 , pois k−1. k(k − 2) = k 2 − 2k < k 2 − 2k + 1 = (k − 1)(k − 1) k k−1 ⇔ ak = < = ak−1 . k−1 k−2  n k Como a2 = 2, teremos ak ≤ 2 ⇒ = ank < 2n < 2n+1 . k−1 Da´ı, conclui-se o desejado: |Dα u(x)| =. (2n+1 nk)k · ||u||L1 (Br (x)) . |B1 | · rn+k. Observa¸c˜ ao: Essa estimativa da derivada nos fornece analiticidade para fun¸co˜es harmˆonicas. Defini¸c˜ ao 3.3 Diremos que Ω ⊂ Rn satisfaz a condi¸c˜ao da esfera exterior para todo os ponto da fronteira quando dado x ∈ ∂Ω existir uma esfera que tangencia ∂Ω em x. Teorema 3.5 (M´ etodo de Perron) Seja Ω dom´ınio limitado satisfazendo a condi¸c˜ ao da esfera exterior para todo ponto da fronteira. Ent˜ao para cada fun¸c˜ao g ∈ C(Ω), o problema de Dirichlet  ∆u = 0 em Ω u = g em ∂Ω admite uma solu¸c˜ao u ∈ C ∞ (Ω) ∩ C(Ω). Prova. Demonstra¸ca˜o pode ser consultada em: HAN, Qing. A basic course in partial differential equations . Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 2010.p´ag.132 Para mais informa¸co˜es sobre fun¸co˜es harmˆonicas, vide: 1. EVANS, Lawrence. Partial differential equations. 2 ed. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 2010..

(72) 21 2. HAN, Qing. A basic course in partial differential equations . Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 2010. 3. HAN, Qing; LIN, Fanghua. Elliptic partial differential equations. 2 ed. Providence, Rhode Island: Courant Institute of Mathematical Sciences, 2000.. 3.2 Solu¸c˜ ao Fundamental para a Equa¸c˜ ao de Laplace Recordamos que a Solu¸c˜ao Fundamental para a Equa¸ca˜o de Laplace ∆u = 0 ´e definida por γ : Rn \{0} −→ R,  1   log |x|, se n = 2 γ(x) = 2π 1 1  · n−2 , se n ≥ 3  n(2 − n)|B1 | |x| e que pela Representa¸ca˜o de Green, se u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) em Ω dom´ınio limitado C 1 , ent˜ao para cada x ∈ Ω tem-se ˆ. ˆ. . γ(x − y) · ∆u(y)dy −. u(x) =. ∂Ω. Ω.  ∂u ∂γ γ(x − y) · (y) − (x − y) · u(y) dS(y). ∂v ∂v. Em particular, tomada uma fun¸ca˜o teste u ∈ C0∞ (Rn ) tem-se ˆ γ(x − y)∆u(y)dy,. u(x) = Rn. e consequentemente, ˆ. ˆ γ(−y)∆u(y)dy =. u(0) =. γ(y)∆u(y)dy. Rn. Rn. Denotando ∆γ = δ0 , onde δ0 ´e a distribui¸c˜ao delta de Dirac, fica explicado a terminologia Solu¸ca˜o Fundamental para o operador laplaciano, pois δ0 ser´a o funcional satisfazendo δ0 [u] = u(0) em C0∞ . Para a finalidade deste trabalho com a necessidade de estimar o Potencial Newtoniano, iremos apresentar estimativas para a solu¸ca˜o fundamental. c˜ao

(73) da singularidade 0 da Solu¸c˜ao Fundamental, esti

(74) ˆ Para a t´ecnica ˆ de remo¸

(75) ∂γ

(76)

(77)

(78) memos |γ(y)|dy e

(79) ∂xi (y)

(80) dy, para  > 0 dado. Bε (0) Bε (0) ˆ. ˆ εˆ |γ(y)|dy =. Bε (0). ˆ εˆ |γ(y)|dydr =. 0. ˆ. ∂Br (0) ε. |γ(r)|dydr 0. ∂Br (0) ˆ ε. rn−1 |γ(r)|dr. |γ(r)| · |∂Br (0)|dr = n|B1 |. = 0. 0.

(81) 22  ˆ ε | log r|   ˆ r· dr, se n = 2 2π 2π 0 ˆ |γ(y)|dy = ε rn−1  Bε (0)  , se n ≥ 3 n|B1 | n−2 0 n(n − 2)|B1 |r  2  1 ε    | log ε| + , se n = 2 2 ≤ 2 1   · ε2 , se n ≥ 3.  2(n − 2) ˆ.

(82)

(83)

(84) ∂γ

(85)

(86)

(87) dy observemos primeiro as derivadas parciais. (y) Agora, para

(88)

(89) Bε (0) ∂xi Quando n = 2 temos 1 1 1 log |x| = log(x21 + x22 ) 2 ; 2π 2π ∂γ 1 1 1 1 x1 (x) = · · · x1 · = . ∂x1 2π |x| 2 |x| 2π|x|2. γ(x) =. Analogamente x2 ∂γ (x) = . ∂x2 2π|x|2 Isto ´e, xi xi ∂γ = · (x21 + x22 )−1 . (x) = 2 ∂xi 2π|x| 2π Ent˜ao,

(90)

(91)

(92) ∂γ

(93) |xi | 1 1

(94)

(95) (x)

(96) ∂xi

(97) = 2π|x|2 ≤ 2π|x| = n|B1 | · |x|n−1 . Para o caso n ≥ 3, 1 1 1 γ(x) = = n−2 n(2 − n)|B1 | |x| n(2 − n)|B1 | ∂γ 1 (x) = · ∂x1 n(2 − n)|B1 |. . 2−n 2.  · 2xi ·. n X. n X. ! −n 2 x2k. Deste modo, em qualquer caso com n ≥ 2 temos. Obtendo. x2k. ;. k=1. k=1.

(98)

(99)

(100) ∂γ

(101) 1

(102)

(103)

(104) ∂x1 (x)

(105) ≤ n|B1 | · |x|n−1 .. ! 2−n 2. =. xi 1 . n|Bi | |x|n.

(106) 23. ˆ.

(107)

(108) ˆ ˆ εˆ

(109) ∂γ

(110) 1 1

(111)

(112) dy = dydr

(113) ∂xi (y)

(114) dy ≤ n−1 n−1 Bε (0) Bε (0) n|B1 | · |y| 0 ∂Br (0) n|B1 | · |y| ˆ ε ˆ ε 1 dr = ε. · |∂Br (0)|dr = = n−1 0 0 n|B1 |r. Nas express˜oes com derivadas parciais de segunda ordem do Potencial Newtoiano surgir˜ao parciais de segunda e terceira ordem da Solu¸c˜ao Fundamental. Sendo assim, tamb´em fa¸camos estimativas para tais parciais. Quando n = 2, ∂ 2γ 2π|x|2 − 2xi · π · 2xi 1 (x) = = 2 2 4 ∂xi 2π |x| π|x|2 ∂ 2γ 0 − xi · π · 2xj 2 −2xi xj (x) = = . 2 4 ∂xi ∂xj 2π |x| π|x|4.   2x2i 1− 2 ; |x|. Da´ı,

(115)

(116) 2

(117)

(118)

(119) ∂ γ

(120)

(121) 1 2x2i

(122)

(123) 1

(124)

(125)

(126)

(127) ∂x2 (x)

(128) = π|x|2 ·

(129) 1 − |x|2

(130) ≤ π|x|2 ;

(131) 2 i

(132)

(133)

(134)

(135) ∂ γ

(136)

(137) 2x1 · x2

(138) 1 1

(139)

(140)

(141)

(142)

(143) ∂xi ∂xj (x)

(144) = π|x|2 ·

(145) x2 + x2

(146) ≤ π|x|2 . 1 2 Para n ≥ 3,.   ∂ 2γ 1 1 xi −n 1 (x) = + 2xi n+2 2 n ∂xi n|Bi | |x| n|Bi | 2 |x|   2 1 1 x = − i2 , n n|Bi | · |x| n |x| e com i 6= j, ∂ 2γ xi (x) = · 2 ∂xi n|Bi |. . −n 2.  · 2xj ·. 1 −xi · xj = . n+2 |x| |B1 | · |x|n+2. Potanto,

(147)

(148) 2

(149)

(150) ∂ γ 1 |xj xi | 1

(151)

(152)

(153) ∂xj ∂xi (x)

(154) = |Bi | · |x|n · |x|2 ≤ |B1 | · |x|n e.

(155) 2

(156)

(157)

(158)

(159) ∂ γ

(160)

(161) 1 x2i

(162)

(163) 1

(164)

(165)

(166)

(167) ∂x2 (x)

(168) =

(169) n − |x|2

(170) ≤ |B1 | · |x|n . i.

(171) 24 De todo modo,

(172) 2

(173)

(174) ∂ γ

(175) 1

(176)

(177)

(178) ∂x2 (x)

(179) ≤ |B1 | · |x|n . i Analogamente temos

(180)

(181)

(182)

(183) 1 ∂ 3γ

(184)

(185)

(186) ∂xi ∂xl ∂xk (x)

(187) ≤ (n + 5) |B1 | · |x|n+1 . 3.3 An´ alise Real/ An´ alise Funcional Teorema 3.6 (Teorema da Deriva¸c˜ ao Termo a Termo) Se a sequˆencia de aplica¸c˜ oes diferenci´aveis uk : Ω −→ Rm convergem em um ponto c ∈ Ω e a sequˆencia das derivadas u0k : Ω −→ L(Rn ; Rm ) converge de modo localmente uniforme para uma aplica¸c˜ ao g : Ω −→ L(Rn ; Rm ), ent˜ao uk converge de modo localmente uniforme para uma aplica¸c˜ ao m 0 u : Ω −→ R , a qual ´e diferenci´avel, com u = g. Prova. Demonstra¸ca˜o pode ser consultada em:LIMA, Elon Lages. Curso de an´alise. 11 ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2015. vol 2. Teorema 3.7 Sejam H um Espa¸co de Hilbert e {uk }k∈N uma sequˆencia limitada em H. Ent˜ao existe uma subsequˆencia {ukj }j∈N de {uk }k∈N que converge fracamente. Prova. Demonstra¸ca˜o pode ser consultada em: BOTELHO, G.; PELLEGRINO, D.; TEIXEIRA, E. Fundamentos da an´alise funcional. 2 ed. Rio de Janeiro: SBM, 2015. Defini¸c˜ ao 3.4 Dados X e Y espa¸cos de Banach, X ⊂ Y , dizemos que X est´a compactamente contido em Y , e escrevemos X ⊂⊂ Y , quando: (a) ||u||Y ≤ C · ||u||X , para todo u ∈ X e algum C > 0. (b) cada sequˆencia limitada de X ´e pr´e-compacta em Y , isto ´e, possui subsequˆencia convergente em Y . Teorema 3.8 Seja Ω ⊂ Rn um aberto limitado onde ∂Ω ´e C 1 . Suponha 1 ≤ p < n. Ent˜ao W 1,p (Ω) ⊂⊂ Lq (Ω) para cada 1 ≤ q < p∗ :=. np . n−p. Prova. Demonstra¸ca˜o pode ser consultada em: EVANS, Lawrence. Partial differential equations. 2 ed. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 2010. Observa¸c˜ ao: Pelo teorema acima, para n ≥ 3 tem-se H 1 (Ω) ⊂⊂ L2 (Ω). 3 Veja tamb´em, que se u ∈ H 1 (Ω) ent˜ao u ∈ W 1, 2 (Ω) ..

(188) 25 De fato, ˆ. ˆ. 3 2. |u(x)| dx = Ω. ˆ. 3 2. 1 · |u(x)| dx ≤ Ω.  1q ˆ  p1 3 ·p dx · |u(x)| 2 dx. Ω. Ω. 3. onde |u(x)| 2 ·p ∈ Lp (Ω) e p1 + 1q = 1. Como u ∈ L2 (Ω) fazemos ˆ. 3 2. · p = 2 ⇐⇒ p = 34 , e assim,. 3 2. 1 4. ˆ. |u(x)| dx ≤ |Ω| ·. 2. = 14 . Logo,.  34. |u(x)| dx. Ω. 1 q. < ∞.. Ω 3. 3. Similarmente, ∇u ∈ L 2 (Ω) e consequentemente, u ∈ W 1, 2 (Ω). Pelo teorema de compacidade, 3. W 1, 2 (Ω) ⊂⊂ Lq (Ω) quando 1 ≤. 3 2. <ne1≤q<.  3 ∗ . 2. Em particular, em Ω ⊂ R2 temos.  3 ∗ 2. =. 2· 32 2− 32. =6e. 3. H 1 (Ω) ⊂ W 1, 2 (Ω) ⊂⊂ L2 (Ω). Da´ı, para n ≥ 2, se {uk }k∈N ´e sequˆencia limitada em H 1 (Ω) ent˜ao existem j subsequˆencia {ukj }j∈N e fun¸ca˜o u ∈ L2 (Ω) tal que ukj → u em norma L2 (Ω)..

(189) 26 ´ 4 TEORIA DE SCHAUDER VIA PRINC´IPIO DO MAXIMO Neste Cap´ıtulo desenvolvemos a Teoria de regularidade de Schauder come¸cando por estabelecer estimativas do tipo L∞ (B1 ) produzidas pelo Princ´ıpio da Compara¸ca˜o e pelo uso inteligente do parabol´oide |x|2 . Desde que o Princ´ıpio da Compara¸ca˜o e o Princ´ıpio do M´aximo s˜ao equivalentes para EDPs lineares, a t´ecnica ´e conhecida como m´etodo via o Princ´ıpio do M´aximo. 4.1 Estimativas a priori. Proposi¸c˜ ao 4.1 Seja u ∈ C 2 (B1 ) ∩ C(B1 ) tal que ∆u ≥ f em B1 . Ent˜ao para todo x ∈ B1 vale   1 u(x) ≤ sup u − · inf f (1 − ||x||2 ). 2n B1 ∂B1 Prova. A primeira coisa que podemos observar ´e que se usarmos o Princ´ıpio da Compara¸ca˜o para fun¸co˜es u e v (um variante de |x|2 ) encontramos uma estimativa superior para u em todo o dom´ınio. Essa t´ecnica ´e conhecida como argumento de barreira. Constru¸ca˜o da barreira v: Deseja-se que v ≥ u em ∂B1 e ∆v ≤ f ≤ ∆u em B1 . Se tomarmos v(x) = sup u + g(x), com g ≥ 0 em ∂B1 , ficar´a garantido que ∂B1. u ≤ v em ∂B1 . Por outro lado ∆v = ∆g ≤ f ´e obtido se tivermos ∆g ≡ inf f . ´ sabido que a fun¸ca˜o |x|2 tem laplaciano constante igual a 2n. Da´ı, para E inf f inf f · ||x||2 , obtemos ∆˜ g≡ · 2n = inf f . Deste modo, v˜(x) = sup u + g˜(x) g˜(x) = 2n 2n ∂B1 satisfaz ∆v ≤ f ≤ ∆u em B1 . Resta verificar se satisfaz v ≥ u em ∂B1 , que por sua vez, ´e garantido caso g˜ ≥ 0 em ∂B1 . Ora, o sinal de g˜ depende do sinal da constante inf f em B1 . Ent˜ao para obtermos essa n˜ao-negatividade, podemos usar o fato de g˜ ser radial e adicionarmos uma constante C (que n˜ao interfere no Laplaciano) de modo que a fun¸ca˜o g˜ se anule em ∂B1 . Isto ´e, definimos g(x) = g˜(x) + C, tal que g ≡ 0 em ∂B1 . O que equivale a, inf f . C = −˜ g (B1 ) = 2n inf f inf f Logo, obtemos v(x) = sup u + g(x) = sup u + · ||x||2 − . 2n 2n ∂B1 ∂B1 Observa¸c˜ ao: Com uma constru¸ca˜o totalmente an´aloga a` feita acima, estimamos inferiormente uma supersolu¸ca˜o da equa¸ca˜o Poisson ∆u = f , u ∈ C 2 (B1 ) ∩ C(B1 ), encontrando uma fun¸c˜ao barreira v que seja subsolu¸c˜ao, tal que u ≤ v em ∂B1 . Isto porque ∆v ≥ f ≥ ∆u em B1 e u ≥ v em ∂B1 implicar´a em u ≥ v em B1 . Perceba que.

(190) 27.  v(x) := inf u − ∂B1. 1 · sup f 2n B1. . (1 − ||x||2 ). satisfaz as condi¸c˜oes desejadas. Da´ı surge a vers˜ao para supersolu¸c˜oes: Proposi¸c˜ ao 4.2 Seja u ∈ C 2 (B1 ) ∩ C(B1 ) tal que ∆u ≤ f em B1 . Ent˜ao  u(x) ≥ inf u − ∂B1. 1 · sup f 2n B1. . (1 − ||x||2 ).. Corol´ ario 4.1 Seja u ∈ C 2 (B1 ) ∩ C(B1 ), e ∆u = f em B1 . Ent˜ao ||u||L∞ (B1 ) ≤ ||u||L∞ (∂B1 ) +. 1 ||f ||L∞ (B1 ) . 2n. Prova. Conhecendo as Proposi¸c˜oes 4.1 e 4.2, dado x ∈ B1 segue que .  1 u(x) ≤ supu − · inf f (1 − ||x||2 ) 2n B1 ∂B1 1 ≤ ||u||L∞ (∂B1 ) − · inf f 2n 1 · sup |f |. ≤ ||u||L∞ (∂B1 ) + 2n. (3). e .  1 u(x) ≥ inf u − · supf (1 − ||x||2 ) ∂B1 2n B1 1 ≥ −sup |u| − · supf 2n B1 ∂B1 1 · ||f ||L∞ (B1 ) . = −||u||L∞ (∂B1 ) − 2n. (4). 1 Logo, |u(x)| ≤ ||u||L∞ (∂B1 ) | + ||f ||L∞ (B1 ) , para todo x ∈ B1 . 2n Tomando o supremo obtemos a desigualdade desejada. Corol´ ario 4.2 Sejam u, v ∈ C 2 (B1 ) ∩ C(B1 ) satisfazendo ∆u = f e ∆v = 0 em B1 , tais que u = v em ∂B1 . Ent˜ao ||u − v||L∞ (B1 ) ≤. 1 ||f ||L∞ (B1 ) . 2n. Prova. Usando a linearidade do operador Laplaciano, fazendo w = u − v tem-se ∆w = f . Aplicando o corol´ario 4.1 para a solu¸ca˜o w da equa¸ca˜o ∆w = f obtemos ||u − v||L∞ (B1 ) ≤ ||u − v||L∞ (∂B1 ) +. 1 1 ||f ||L∞ (B1 ) = ||f ||L∞ (B1 ) . 2n 2n.

(191) 28. Agora apresentaremos os espa¸cos de fun¸co˜es que s˜ao tratados no teorema principal. Defini¸c˜ ao 4.1 Diremos que uma fun¸c˜ao f : Ω −→ R ´e α-H¨older (cont´ınua) em x0 ∈ Ω, e escreveremos f ∈ C 0,α (x0 ), se |f (x) − f (x0 )| < +∞. |x − x0 |α x6=x0. [f ]C 0,α (x0 ) := sup x∈Ω. Quando f ´e α-H¨older cont´ınua em todo x ∈ Ω diremos simplesmente que f ´e α-H¨older, escreveremos f ∈ C 0,α (Ω) e definiremos a semi-norma α-H¨older de f em Ω por [f ]C α (Ω) := sup x6=y. |f (x) − f (y)| . |x − y|α. x,y∈Ω. Com uma demonstra¸c˜ao n˜ao-trivial, mostra-se que [f ]C α (Ω) := sup x6=y. |f (x) − f (y)| < +∞. |x − y|α. x,y∈Ω. Defini¸c˜ ao 4.2 Diremos que uma fun¸c˜ao u : Ω −→ R definida no aberto Ω ⊂ Rn ´e de ∈ C 0,α (x0 ), classe u ∈ C 2,α em x0 ∈ Ω, quando u ∈ C 2 em alguma vizinhan¸ca de x0 e ∂x∂u i xj i, j = 1, ..., n. Observa¸c˜ ao: 1) Uma defini¸ca˜o alternativa para que a fun¸ca˜o u ∈ C 2 (B1 ) seja C 2,α (0) ´e a existˆencia de um polinˆomio quadr´atico P e uma constante c > 0 tais que |u(x) − P (x)| ≤ c||x||2+α , para alguma vizinhan¸ca da origem. Veja que nesse caso, o Polinˆomio de Taylor de ordem 2 da fun¸ca˜o u em torno do ponto 0 satisfaz essa condi¸ca˜o em todo B1 . De fato, tomado x ∈ B1 , temos pelo Teorema do Valor M´edio e o fato de que ∂2u ∈ C 0,α (0) para cada i, j = 1, ..., n, existe t ∈ [0, 1] tal que ∂xi xj

(192) !

(193) n n

(194)

(195) X ∂u(0) 1 X ∂ 2 u(0)

(196)

(197) |u(x) − P (x)| =

(198) u(x) − u(0) + · xi + · · xi · xj

(199)

(200)

(201) ∂xi 2 i,j=1 ∂xi ∂xj i=1

(202)

(203) ! n n

(204)

(205) X ∂u(0) 1 X ∂ 2 u(0)

(206)

(207) =

(208) u(x) − u(0) − · xi · xj

(209) − ·

(210)

(211) ∂xi 2 ∂xi ∂xj i=1. i,j=1.

(212) 29

(213)

(214) n n

(215) 1 X X ∂ 2 u(tx) ∂ 2 u(0) xi · xj

(216)

(217)

(218) · xi · xj − · · |u(x) − P (x)| =

(219) ·

(220)

(221) 2 ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj 2

(222) i,j=1 i,j=1

(223) n 

(224)

(225) X ∂ 2 u(tx) ∂ 2 u(0)  x · x

(226)

(227) i j

(228) =

(229) − ·

(230)

(231)

(232) ∂x ∂x ∂x ∂x 2 i j i j i,j=1

(233) n

(234) 2 X

(235) ∂ u(tx) ∂ 2 u(0)

(236) |xi · xj |

(237)

(238)

(239) ∂xi ∂xj − ∂xi ∂xj

(240) · 2 i,j=1 ≤. n X. Ci,j ||tx − 0||α ·. i,j=1. |xi · xj | . 2. Por outro lado, como consequˆencia de (a + b)2 ≥ 0 para quaisquer a e b reais, temos n X |xi · xj | 2 2 x2k = ||x||2 . Ent˜ao, tomando C = n2 · max{Ci,j ; i, j ∈ In } ≤ xi + xj ≤ 2 k=1 obtemos, |u(x) − P (x)| ≤. n X. Ci,j ||x − 0||α ·. i,j=1. |xi · xj | 2. ≤ n2 max Ci,j · ||x||α · ||x||2 ≤ C · ||x||α+2 . 2) Veja que a estimativa |u(x) − P (x)| ≤ C · ||x||α+2 ,. ∀x ∈ B1 ,. (5). equivale a` existirem polinˆomio quadr´atico P , λ ∈ (0, 1) e C1 > 0 tais que, para todo k ∈ N, |u(x) − P (x)| ≤ C1 λk(2+α) , se ||x|| ≤ λk . (6) Que (5) ⇒ (6) ´e imediato, tomando C1 = C e λ ∈ (0, 1) qualquer, pois para ||x|| ≤ λk , |u(x) − P (x)| ≤ C1 · ||x||2+α ≤ C1 λk(2+α) . Para a rec´ıproca, dado x ∈ B1 tome k ∈ N ∪ {0} tal que λk+1 ≤ ||x|| ≤ λk e tenha. |u(x) − P (x)| ≤ C1 λk(2+α) = C1 =. λ2+α k(2+α) λ λ2+α. C1 (k+1)(2+α) λ ≤ C||x||2+α . λ2+α.

(241) 30. Fazendo C =. C1 obtemos (5). λ2+α. Mas perceba que tanto (5) quanto (6) s˜ao estimativas muito r´ıgidas, e o processo de encontrar P para u pode ser n˜ao trivial. Na pratica busca-se uma vers˜ao mais fraca de (6). A seguinte: Para cada k ∈ N existe em polinˆomio quadr´atico Pk tal que |u(x) − Pk (x)| ≤ C1 λk(2+α) , quando ||x|| ≤ λk ,. (7). onde a sequencia {Pk }k∈N converge no sentido de |Pk+1 (x) − Pk (x)| ≤ C1 λk(2+α) , quando ||x|| ≤ λk . Que (6) ⇒ (7) ´e bastante claro, fixando Pk = P para todo k ∈ N. A rec´ıproca se encontra nesse trabalho, na demonstra¸c˜ao do Teorema 4.1. 4.2 Teorema principal via Princ´ıpio do M´ aximo Lema 4.1 (Lema-chave) Seja α ∈ (0, 1). Existem constantes C 0 = C 0 (n) > 0, λ = λ(n, α) ∈ (0, 1) e ε0 = ε0 (n, α) ∈ (0, 1) tais que, se u ∈ C 2 (B1 ) ∩ C(B1 ), ∆u = f em B1 , ||u||L∞ (B1 ) ≤ 1 e ||f ||L∞ (B1 ) ≤ ε0 , 1 ent˜ao existe polinˆomio quadr´atico e harmˆonico P (x) = hAx, xi + hB, xi + C de modo 2 que |u(x) − P (x)| ≤ λ2+α sempre que ||x|| ≤ λ e ||A||∞ + ||B||∞ + |C| ≤ C 0 . Prova. Seja h : B1 −→ R solu¸ca˜o do Problema de Dirichlet  ∆h = 0 em B 1 h = u em ∂B , 1. cuja existˆencia ´e garantida pelo m´etodo de Perron por se tratar de uma fun¸ca˜o u ∈ C(∂B1 ) e o dom´ınio B1 satisfazer a condi¸c˜ao da esfera exterior nos pontos de fronteira. Pelo corol´ario 4.2, ||u − h||L∞ (B1 ) ≤. 1 ||f ||L∞ (B1 ) . 2n.

(242) 31 Ora, o polinˆomio de Taylor no ponto 0 da fun¸c˜ao harmˆonica h ´e dado por. 1 2 D h(0)x, x + h∇h(0), xi + h(0) 2 1 := hAx, xi + hB, xi + C. 2. P (x) =. Veja que P ´e harmˆonica.  1 ∆P (x) = ∆ D2 h(0)x, x + ∆ (h∇h(0), xi) + ∆ (h(0)) , 2 onde: (i) hD2 h(0)x, xixi = hD2 h(0)ei , xi + hD2 h(0)x, ei i ⇒ hD2 h(0)x, xixi xi = hD2 h(0)0, xi + hD2 h(0)ei , ei i + hD2 h(0)ei , ei i + hD2 h(0)x, 0i   Pn D2 h(0) ∂ 2 h(0) , e = 2 =2 , 1 j=1 ∂x∂xj ∂x2i ∂h(0) (ii) h∇h(0), xixi = h0, xi + h∇h(0), ei i = ⇒ h∇h(0), xixi xi = 0 ∂xi (iii) (h(0))xi xi = 0. Logo, ! n 1 X ∂ 2 h(0) 2 = ∆h(0) = 0. ∆P (x) = 2 i=1 ∂x2i Portanto, P ´e um candidato para o polinˆomio como no enunciado. Agora perceba que pelo Princ´ıpio do M´aximo, e do m´ınimo, para fun¸co˜es harmˆonicas temos suph = suph = supu ≤ 1 B1. ∂B1. e. − 1 ≤ inf u = inf h = inf h.. ∂B1. ∂B1. ∂B1. B1. Logo, ||h||L∞ (B1 ) ≤ 1. 1 Por isso, usando as estimativas das derivadas obtemos para ||x|| ≤ , 2. |Dβ h(x)| ≤. (2n+1 · n · |β|)|β| (2n+1 · n · |β|)|β| 1 · ||h|| ≤  n+|β|  n+|β| · 1 · |B 12 | = C(n, β) L (B 1 (x)) 2 1 1 |B1 | · |B1 | · 2 2. para todo multi-´ındice β. Ent˜ao C 0 = C(n, 2) + C(n, 1) + 1 nos d´a ||A||∞ + ||B||∞ + |C| ≤ C 0 . Al´em disso, pelo teorema do valor m´edio,.

(243) 32.

(244)

(245)

(246)

(247) 1 2

(248) |h(x) − P (x)| =

(249) h(x) − h(0) − h∇h(0), xi − D h(0)x, x

(250)

(251) 2

(252)

(253)

(254) X

(255) n

(256)

(257) 1 1

(258) β β

(259) C(n, 3) = C(n) · ||x||3 . =

(260) D h(tx)x

(261) ≤ ||x||3 · 3!

(262) 3 3

(263) |β|=3 Assim, |u(x) − P (x)| ≤ |u(x) − h(x)| + |h(x) − P (x)| ≤. 1 ||f ||L∞ (B1 ) + C(n) · ||x||3 , 2n. 1 quando ||x|| ≤ . 2 Por outro lado, para C(n)||x||3 ≤ 21 λ2+α quando ||x|| ≤ λ, ´e suficiente tomarmos λ ∈ (0, 1) de modo que λ3 1 1 2+α 1−α ⇒λ = 2+α ≤ ⇔λ≤ C(n)λ ≤ λ 2 λ 2C(n) 3. . 1 2C(n). 1  1−α. .. Para λ > 0 assim e 0 < ε0 ≤ nλ2+α obtemos 1 1 1 ||f ||L∞ (B1 ) ≤ ε0 ≤ λ2+α . 2n 2n 2 Logo, 1 1 ||f ||L∞ (B1 ) + C(n) · ||x||3 , quando ||x|| ≤ 2n 2 1 2+α 1 2+α 2+α ≤ λ + λ =λ , quando ||x|| ≤ λ 2 2 ) ( 1  1−α 1 1 Assim, tomamos λ ∈ (0, 1) escolhido por λ = min , e obte2C(n) 2. |u(x) − P (x)| ≤. mos |u(x) − P (x)| ≤ λ2+α ,. se ||x|| ≤ λ.. ] Agora estamos prontos para demonstrar a estimativa de Shauder para equa¸c˜oes de Poisson. Este Lema nos ajudar´a a construir, de forma recursiva, uma sequˆencia de polinˆomios quadr´aticos que convergir´a para o Polinˆomio procurado no teorema principal do cap´ıtulo. Teorema 4.1 Seja u ∈ C 2 (B1 ) ∩ C(B1 ), ∆u = f em B1 e f α-Holder cont´ınua na.

(264) 33 origem, isto ´e, [f ]C α (0) = sup. x∈B1. |f (x) − f (0)| < +∞. |x|α. x6=0. Existe ent˜ao, polinˆomio quadr´atico P (x) =. 1 hAx, xi + hB, xi + C com ∆P = f (0) tal que 2. |u(x) − P (x)| ≤ D · ||x||2+α ,. ||x|| ≤. quando. 1 2. e ||A||∞ + ||B||∞ + |C| + D ≤ C0 ([f ]C α (0) + |f (0)| + ||u||L∞ (B1 ) ), onde C0 = C0 (n, α) ´e universal. Prova. Provemos inicialmente o teorema quando as seguintes condi¸co˜es s˜ao satisfeitas: (i) |f (0)| = 0; (ii) [f ]C α (0) ≤ ε0 , para ε0 ∈ (0, 1) como no Lema 4.1; (iii) ||u||L∞ (B1 ) ≤ 1. Afirma¸ca˜o: Sob essas condi¸co˜es, existe uma sequˆencia de polinˆomios harmˆonicos Pk (x) =. 1 hAk x, xi + hBk , xi + Ck 2. tais que: (a) (b). k(2+α) |u(x) , quando||x|| ≤ λk  − Pk (x)| ≤ λ   ||A − Ak ||∞ ≤ C 0 λkα   k+1 ||Bk+1 − Bk ||∞ ≤ C 0 λk(1+α)    |C − C | ≤ C λk(2+α) k+1. k. 0. onde C0 > 0 ´e universal como no Lema 4.1. Ora, com as condi¸co˜es do Lema 4.1, vem a existˆencia de P1 satisfazendo (a). Para a constru¸ca˜o de P2 , tendo em vista que |u(x) − P1 (x)| ≤ λ2+α para ||x|| ≤ λ, e a fim de utilizar o Lema 4.1, definiremos ω1 : B1 −→ R em fun¸ca˜o de u − P1 que satisfa¸ca ||ω2 ||L∞ (B1 ) ≤ 1 e ||∆ω2 ||L∞ (B1 ) ≤ ε0 . Por outro lado, temos estimativa para u − P1 apenas em Bλ . Da´ı usamos a renormaliza¸ca˜o B1 −→ Bλ que age x 7→ λx. Assim, ω2 (x) = ϕ(u − P1 )(λx) = ϕ ((u − P1 )(λx)) onde |ω2 (x)| = |ϕ(u(λx) − P1 (λx))| ≤ 1, Mas sabemos que. ∀x ∈ B1 ..

(265) 34. |u(λx) − P1 (λx)| ≤ λ2+α , ⇒. |u(λx) − P1 (λx)| ≤ 1, λ2+α. Ent˜ao, a` priori, podemos definir ϕ(y) =. ω2 (x) =. ∀x ∈ B1 .. ∀x ∈ B1 . y λ2+α. para obtermos. u(λx) − P1 (λx) ⇒ ||ω2 ||L∞ (B1 ) ≤ 1. λ2+α. Agora, por P1 ser harmˆonico, teremos ∆ω2 =. λ2 ∆u(λx) f (λx) = . 2+α λ λα. Ent˜ao, |f (x)| |f (x) − f (0)| |f (λx)| = sup α = sup α λ λ λα Bλ Bλ B1 |f (x) − f (0)| ≤ sup ≤ [f ]C α (0) ≤ ε0 . ||x||α Bλ. ||ω2 ||L∞ (B1 ) = sup. Pelo Lema 4.1 exite P 2 polinˆomio quadr´atico e harmˆonico tal que |ω2 (x) − P 2 (x)| ≤ λ2+α ,. ||x|| ≤ λ. e ||A2 ||∞ + ||B 2 ||∞ + |C2 | ≤ C 0 . Escrevendo em termos de u,

(266)

(267)

(268) u(λx) − P1 (λx)

(269)

(270)

(271) ≤ λ2+α , ||x|| ≤ λ − P (x) 2

(272)

(273) λ2+α

(274)

(275)

(276) u(λx) − P1 (λx) − λ2+α · P 2 (x)

(277) ≤ λ2(2+α) , ||x|| ≤ λ

(278)  x 

(279)

(280)

(281) 2+α ⇒

(282) u(x) − P1 (x) − λ · P2

(283) ≤ λ2(2+α) , ||x|| ≤ λ2 λ x Definindo o polinˆomio quadr´atico P2 (x) = P1 (x) + λ2+α · P 2 temos: λ (I) |u(x) − P2 (x)| ≤ λ2(2+α) , caso ||x|| ≤ λ2 ; (II) P2 harmˆonica: ∆P2 (x) = ∆P1 (x) + λ2+α ·. x 1 ∆P = 0; 2 λ2 λ.

(284) 35    ||A − A1 ||∞ ≤ C 0 λα   2 III) ||B2 − B1 ||∞ ≤ C 0 λ1+α    ||C − C || ≤ C λ2+α . 2. 1 ∞. 0. Usando as nota¸c˜oes 1 hA1 x, xi + hB1 , xi + C1 2 1 P2 (x) = hA2 x, xi + hB2 , xi + C2 2 . 1. P 2 (x) = A2 x, x + B 2 , x + C 2 2 P1 (x) =. temos.  11  A2 = A1 + λ2+α · A2    λλ 2+α 1 B = B + λ · B2 2 1  λ    2+α C2 = C1 + λ · C 2. Logo, ||A2 − A1 ||∞ = ||λα · A2 ||∞ = ||A2 ||∞ · λα ≤ C 0 · λα ; ||B2 − B1 ||∞ = ||λ1+α · B 2 ||∞ = ||B 2 ||∞ · λ1+α ≤ C 0 · λ1+α ; |C2 − C1 | = λ2+α · |C 2 | ≤ C 0 · λ2+α . Prosseguindo por indu¸c˜ao, assumiremos Pk como na afirma¸c˜ao, e encontrare-. mos Pk+1 . Para tanto defina,analogamente ao que foi feito para P2 , a fun¸c˜ao ωk+1 : B1 −→ R em fun¸ca˜o de u − Pk que renormaliza Bλk para B1 e que esteja nas condi¸co˜es do Lemachave. (u − Pk )(λk x) ωk+1 (x) = ≤ 1, x ∈ B1 . λk(2+α) Ent˜ao, ∆ω(x) =. λ2k ∆u(λk x) − λ2k ∆Pk (λk x) f (λk x) = λk(2+α) λkα. Pela constru¸ca˜o de ω e a validade de (a) para Pk , temos ||ω||L∞ (B1 ) ≤ 1. Ademais, ||∆ωk+1 ||L∞ (B1 ) = sup B1. |f (λk x)| |f (λk x)| |f (x) − f (0)| ≤ sup = sup ≤ [f ]C α (0) ≤ ε0 kα k α λ ||x||α Bλk B1 \{0} |λ x|.

(285) 36 Logo, novamente pelo Lema 4.1 obtemos um polinˆomio harmˆonico P k+1 (x) =. . 1. Ak+1 x, x + B k+1 , x + C k+1 2. tal que (c) |ωk+1 (x) − P k+1 (x)| ≤ λ2+α , quando||x|| ≤ λ (d) ||Ak+1 ||∞ + ||B k+1 ||∞ + |C k+1 | ≤ C 0 . Reescrevendo (c) em termos de u e, em seguida, fazendo y = λk x obtemos

(286)

(287)

(288)

(289) u(λk x) − Pk (λk x)

(290) − P k+1 (x)

(291)

(292) ≤ λ2+α , ||x|| ≤ λ

(293) k(2+α) λ

(294)

(295)

(296) u(λk x) − Pk (λk x) − λk(2+α) · P k+1 (x)

(297) ≤ λ(k+1)(2+α) , ||x|| ≤ λ

(298)  y 

(299)

(300)

(301)

(302) u(y) − Pk (y) − λk(2+α) · P k+1 k

(303) ≤ λ, ||y|| ≤ λk ||x|| ≤ λk+1 . λ x Definindo Pk+1 (x) = Pk (x) + λk(2+α) · P k+1 k teremos λ   x 1 =0 ∆Pk+1 (x) = ∆Pk (x) + λk(2+α) · · ∆P k+1 λ2k λk e |u(x) − Pk+1 | ≤ λ(k+1)(2+α) , Ent˜ao, Pk+1 (x) =. ||x|| ≤ λk+1 .. 1 hAk+1 x, xi + hBk x, xi + Ck+1 , ´e tal que 2.   2 1  k(2+α)   Ak+1 = Ak + λ · Ak+1 = Ak + λkα Ak+1  k  λ    1 k(2+α) Bk+1 = Bk + λ · B k+1 = Bk + λk(1+α) B k+1  k  λ    C = C + λk(2+α) · C . k+1. k. k+1. Logo,    ||A − Ak ||∞ = λkα · ||Ak+1 ||∞ ≤ λkα · C 0   k+1 ||Bk+1 − Bk ||∞ = λk(1+α) · ||B k+1 ||∞ ≤ λk(1+α) · C 0    |C − C | = λk+1 · |C | ≤ λk(2+α) · C , k+1. k. k+1. 0. o que prova a afirma¸c˜ao de existˆencia da tal sequˆencia de polinˆomios harmˆonicos. Com a finalidade de obtermos convergˆencia da sequencia {Pk }k observemos que {Ak }, {Bk } e {Ck } s˜ao sequˆencias de Cauchy. ||Ak+m − Ak ||∞ ≤ ||Ak+m − Ak+m−1 ||∞ + ||Ak+m−1 − Ak+m−2 ||∞ + . . . + ||Ak+1 − Ak ||∞ = C 0 (λα(k+m−1) + . . . + λαk ) = C 0 (Sk+m−1 − Sk−1 ).

(304) 37. C0. λα (λα )k−1 λαk αm (1 − λ ) ≤ C 0 1 − λα 1 − λα =. C0 (λα )k 1 − λα. k→∞. −→ 0.. Analogamente, ||Bk+m − Bk ||∞ ≤. C0 (λ1+α )k 1+α 1−λ. |Ck+m − Ck | ≤. e. C0 (λ2+α )k . 2+α 1−λ. (8). 2. Por serem de Cauchy em R, Rn e Rn , tais sequˆencias convergem. Defina P (x) =. 1 hAx, xi + hB, xi + C 2. onde A = lim Ak , B = lim Bk e C = lim Ck . Obviamente, P = lim Pk . Da´ı, por ser limite k k k k de harmˆonicos, o polinˆomio quadr´atico P satisfaz ∆P = 0 = f (0). Assim, para que seja como no teorema falta apenas mostrarmos 1 ||x|| ≤ 2   ||A||∞ + ||B||∞ + |C| + D ≤ C0 [f ]C α (0) + |f (0)| + ||u||L∞ (B1 ) . |u(x) − P (x)| ≤ D · ||x||2+α ,. para D = D(n, α) e C0 = C0 (n, α). Primeiramente, j´a sabemos estimar u − Pk em Bλk . Procuremos estimativas para P − Pk a fim de utilizarmos a desigualdade triangular em |u − P |. Fazendo m → ∞ em (8), considerando k constante, teremos para cada k ∈ N, 1 |h(A − Ak )x, xi| + |hB − Bk , xi| + |C − Ck | 2 ≤ ||A − Ak ||∞ ||x||2 + ||B − Bk ||∞ ||x|| + |C − Ck |. |P (x) − Pk (x)| ≤. ≤. C 0 λαk C 0 λk(1+α) C 0 λk(2+α) 2 ||x|| + ||x|| + . 1 − λα 1 − λ1+α 1 − λ2+α. Assim, dado x ∈ Bλ tome k ∈ N de modo que λk+1 ≤ |x| ≤ λk e obtenha |u(x) − P (x)| ≤ |u(x) − Pk (x)| + |P (x) − Pk (x)|  C0 αk 2 k+αk k(2+α) λ ||x|| + λ ||x|| + λ 1 − λα  C0 αk k2 k+αk k(2+α) λ λ + λ λ + λ ≤ λk(2+α) 1 − λα   3C 0 k(2+α) =λ 1+ 1 − λα ≤ λk(2+α).

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