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Controle Não LInear
LINEARIZAÇÃO EXACTA POR REALIMENTAÇÃO
CEFET/RJ
Centro Federal de Educação Tecnológica
Celso Suckow da Fonseca
Rio de Janeiro
• A linearização exacta por realimentação é um procedimento que permite
transformar a dinâmica de um sistema não linear numa dinâmica linear,
através de uma realimentação não linear do estado ou da saída,
convenientemente escolhida.
•
Para atingir este objectivo torna-se quase sempre necessário efectuar
uma mudança de variável de estado e introduzir uma variável de
entrada auxiliar.
• Depois de ter o sistema não linear modifica-do de modo a que o todo se
comporte como linear, é possível utilizar técnicas lineares, bem
conhecidas e mais poderosas do que as não lineares, para se efectuar o
controlo do sistema original. O método, para poder ser aplicado, exige o
conhecimento do modelo descritivo do sistema não linear de partida.
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• Este tipo de procedimento é conceptualmente diferente da
linearização na vizinhança de um ponto de equilíbrio,
apresentada no capítulo 3.4.1, em que se efectua o
desenvolvi-mento da função do sistema em série de Taylor,
eliminando os termos de ordem supe-rior à primeira, ou
seja, em que se substitui, quando tal é possível, a função do
sistema pelo seu jacobiano multiplicado pelo estado. No
caso em que se lineariza pelo jacobiano a linearização é
local, isto é, é válida apenas para uma região em torno de
um determi-nado ponto, enquanto que a linearização por
realimentação é global, isto é, aplica-se a todo o domínio do
espaço de estados ou de saída, com a eventual excepção de
pontos isolados. Além disso, enquanto a linearização pelo
jacobiano é aproximada, a lineariza-ção por realimentação é
5.1
• Neste tipo de sistemas, e para os casos em que é possível
efetuar a linearização exata, há normalmente que efetuar
uma mudança de variável de estado
z=z(x)
5.2
• e introduzir uma lei de controlo
u=u(x,v)
5.3
• ou seja, efetuar uma mudança de variável de controlo, em
que v é uma nova variável intermédia que conduz o sistema
original (5.1), a um sistema linear
• A linearização por realimentação tem sido utilizada com
êxito numa grande gama de aplicações, nomeadamente no
controlo de braços robô e manipuladores, peças de
arti-lharia, helicópteros, aviões e satélites, além de ser usada em
aparelhagem
médica
e
nas
indústrias
química
e
farmacêutica. Consoante as variáveis utilizadas para
efectuar a realimentação sejam as variáveis de estado ou
então as variáveis de saída, assim o tipo de tratamento será
diferente (even-tualmente idêntico). Antes de apresentar o
formalismo matemático da linearização por realimentação
serão apresentados alguns exemplos.
5.1.1. Exemplo de linearização e controlo por realimentação Considere-se o problema de controlar o nível do líquido no interior de um tanque esféri-co aberto, como o que se representa na Fig. 5.1.
A variável manipulada u = q1 é o caudal de entrada. A
variável controlada y = h é o nível do líquido no interior da
esfera. Há um escape contínuo de líquido para um
reser-vatório exterior q2, escape este que depende da altura do
líquido no interior da esfera, e que, para um fluido ideal é dado
por
em que S2 representa a secção da tubagem por onde se
escapa o líquido e g a aceleração da gravidade. Esta relação
pode ser obtida a partir da equação de Bernouilli para fluidos
ideais em regime permanente,
da equação de hidrostática
p = ρ gh
e da relação
q=vS
• v
5.1.2. Sistemas na forma companheira
5.1.3. Linearização entrada-estado
Repare-se no seguinte:
• Está-se a admitir que o estado é completamente acessível. Caso tal não
aconteça, deverá providenciar-se para ser feita a sua medida ou o seu cálculo. • Não foram consideradas incertezas no modelo original. Estas podem
eventualmente conduzir a um tal aumento na incerteza da descrição linearizada que esta pode deixar de ter qualquer utilidade.
Até agora foram dados dois exemplos de sistemas em que através de mudanças de variáveis se transformou uma dinâmica não linear numa dinâmica linear. Será que tal é sempre possível? Em caso afirmativo, será que existem classes de sistemas às quais o método é sempre aplicável? Quais essas classes e quais os métodos sistemáticos para proceder à sua linearização? Antes de procurar responder a estas questões levantem-se outras mais, procurando efec-tuar a linearização de um sistema a partir das variáveis de entrada e de saída.
5.1.4. Linearização entrada-saída
Seja um sistema não linear, descrito pelo modelo de estado
e projecte-se um sistema de controlo para seguir uma referência r(t). A referência e suas derivadas assumem-se conhecidas e limitadas. O sistema de controlo vai
procurar impor valores a u no sentido de minimizar a diferen-ça entre y e r. Por agora não se fará qualquer consideração sobre qual o critério de minimização. Vai sim procurar-se uma relação explícita entre u e y (ou das suas deriva-das), que de momento apenas aparece implícita através de (5.33). Procure abordar-se o
problema por meio de um exemplo.
Exemplo 5-2, Considere-se o sistema não linear de 3ª ordem
Neste sistema não existe uma relação explícita entre a saída e a entrada, como é preten-dido que haja. Para a obter, derive-se a equação de saída e substitua-se o valor de x´ dado por (5.34)
5.1.5. A dinâmica interna
•
Exemplo 5-3,
Considere-se o sistema não linear
de 2ª ordem
• Embora nos exemplos apresentados tenha havido como motivação o seguimento de uma referência, o método da linearização por realimentação pode ser
utilizado também para a análise da estabilidade de um sistema não linear na vizinhança de um ponto de equilíbrio.
5.1.6. Dinâmica interna de sistemas lineares
• Para compreender melhor o significado da dinâmica
interna analise-se o sistema linear
• Embora os dois sistemas tenham os mesmos pólos, o primeiro tem o zero igual a –1 enquanto que o segundo tem o zero igual a +1. O sistema com o zero no semi-plano complexo esquerdo(2) tem a dinâmica interna estável, enquanto que o sistema com o zero no semi-plano complexo direito(3) tem a dinâmica interna instável.
• Considere-se agora um outro exemplo, um sistema de 3ª ordem com um excesso de pólos sobre zeros igual a dois. A sua função de transferência genérica pode escrever-se
5.1.7. A dinâmica zero
• Na secção anterior estudou-se o efeito da localização dos zeros da função de transferên-cia de um sistema linear sobre a estabilidade da sua dinâmica interna. Será que é possí-vel estender o conceito de zero(s) da função de transferência de um sistema linear a um sistema não linear? O problema que começa por se pôr à partida é que para um sistema não linear não se define função de transferência e, portanto, não existem os conceitos de zero ou de pólo. Há no entanto uma forma de abordar este assunto através do conceito de dinâmica zero:
• Dado um sistema linear, define-se dinâmica zero desse sistema como sendo a dinâmica interna que actuada pela entrada mantém a saída a zero.
