Cálculo Financeiro. Elementos de. Informações; Acetatos e Demonstrações; Exercícios. Ano letivo 2017/2018. Curso de Economia e de Gestão.

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UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR Faculdade de Ciências Sociais e Humanas

Departamento de Gestão e Economia

Cálculo Financeiro 2017/2018

Elementos de

Cálculo

Financeiro

Informações;

Acetatos e

Demonstrações;

Exercícios.

Ano letivo

2017/2018

Curso de Economia e de Gestão

h tt p :/ /i co n s. my si tem yw ay .c o m/ leg acy -i co n /1 0 48 46 -3d -g lo ss y-o ran ge -o rb -ic o n -al p h an u mer ic -i n fo rmat io n 1 / /b o lt ci ty .c o m/ 2 0 0 6 /0 8 /2 5 /t h e -c o mi ck er s-en d u ran ce/ h tt p :/ /p ix go o d .c o m/ fu n n y-mat h -eq u at io n s-car to o n .h tml

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Informações

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Objetivos

Esta unidade curricular tem como objetivo dar a compreender a importância do cálculo financeiro para as organizações, facultando uma visão aprofundada e integrada das operações financeiras (financiamentos e aplicações) e da sua relação com a gestão global da empresa.

Competências a adquirir

Com a aprovação na presente unidade curricular, o aluno deve ser capaz de:  Capitalizar e atualizar capitais em diferentes cenários

 Diferenciar os diferentes tipos de taxas  Calcular rendas em diferentes modalidades

 Desdobrar o serviço de dívida nos respetivos componentes

 Incluir os efeitos dos custos de transação, inflação e fiscalidade nas operações financeiros

Programa e bibliografia por capítulos

1 - Capitalização e Desconto

1.1 - Conceitos introdutórios 1.1.1 - Definição e objetivos 1.1.2 - Variáveis básicas

1.1.3 - Valor atual e valor acumulado 1.1.4 - Juro e taxa de juro

1.1.5 - Desconto e taxa de desconto 1.1.6 - Axiomas do cálculo financeiro 1.2 - Regimes de juro

1.2.1 - Regime de juro simples 1.2.2 - Regime de juro composto 1.2.3 - Regimes de juro mistos

1.2.4 - Desvios è teoria (juro nulo e retenção sem capitalização de juros) 1.3 - Assincronismo da capitalização de juros

1.3.1 - Taxas proporcionais e taxas nominais 1.3.2 - Taxas equivalentes e taxas efetivas 1.4 - Atualização ou desconto

1.4.1 - Desconto composto 1.4.2 - Taxas de juro na avaliação 1.4.3 - Taxas de desconto na avaliação

1.4.4 - Desvios à teoria (desconto por dentro e desconto por fora) 1.5 - Equivalência de capitais

1.5.1 - Equação de valor

1.5.2 - Incógnitas possíveis na equação de valor 1.5.3 - Capital único

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2 - Rendas

2.1 - Enquadramento e definições

2.2 - Rendas inteiras e fracionadas com termos constantes 2.2.1 - Rendas temporárias imediatas

2.2.2 - Rendas temporárias diferidas 2.2.3 - Rendas perpétuas imediatas 2.2.4 - Rendas perpétuas diferidas

2.3 - Rendas inteiras e fracionadas com termos variáveis 2.3.1 - Rendas com termos variáveis de qualquer natureza 2.3.2 - Rendas com termos variáveis em progressão aritmética 2.3.3 - Rendas com termos variáveis em progressão geométrica 2.4 - Rendas inteiras e fracionadas por patamares ou escalões 2.4.1 - Rendas por patamares em progressão aritmética 2.4.2 - Rendas por patamares em progressão geométrica

3 - Serviço de Dívida

3.1 - Enquadramento e definições 3.2 - Reembolso de empréstimos

3.2.1 - Reembolso total no final do empréstimo 3.2.1.1 - Pagamento único de juros no fim do prazo 3.2.1.2 - Pagamento único de juros no início do prazo 3.2.1.3 - Pagamento de juros ao longo do prazo 3.2.1.4 - Pagamento único de juros durante o prazo

3.2.2 - Reembolso ao longo do prazo e pagamento único de juros 3.2.2.1 - Pagamento único de juros no fim do prazo

3.2.2.2 - Pagamento único de juros no início do prazo 3.2.2.3 - Pagamento único de juros durante o prazo

3.2.3 - Reembolso ao longo do prazo e pagamento único de juros 3.2.3.1 - Pagamento único de juros no fim do prazo

3.2.3.2 - Pagamento único de juros no início do prazo 3.2.3.3 - Pagamento único de juros durante o prazo

3.2.4 - Reembolso ao longo do prazo e pagamento de juros ao longo do prazo 3.2.4.1 - Pressupostos

3.2.4.2 - Mapas de serviço de dívida 3.2.4.3 - Serviço de dívida constante

3.2.4.3 - Serviço de dívida variável com parcelas de reembolso constantes 3.3 - Avaliação de empréstimos

3.3.1 - Enquadramento e definições 3.3.2 - Empréstimos com taxa indexada 3.3.3 - Empréstimos com taxa fixa 3.3.4 - Plena propriedade

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4 - Custos de transacção, inflação e fiscalidade

4.1 - Enquadramento e definições

4.2 - O efeito dos custos de transação no estudo das taxas 4.2.1 - Taxas de custo efetivas

4.2.2 - Taxas de rentabilidade efetivas 4.2.3 - Taxa anual efetiva (T.A.E.)

4.2.4 - Taxa anual efetiva global (T.A.E.G.) 4.3 - O efeito da inflação no estudo das taxas

4.3.1 - Taxas de juro nominais (a preços correntes) 4.3.2 - Taxas de juro reais (a preços constantes) 4.4 - O efeito fiscal no estudo das taxas

4.4.1 - Taxas de juro brutas ou ilíquidas (antes de impostos) 4.4.2 - Taxas de juro líquidas (depois de impostos)

Lista global da bibliografia recomendada

CADILHE, Miguel (1995) "Matemática Financeira Aplicada", Edições Asa, Porto, ISBN 972-41-1214-4, Capítulos 1, 3, 5 e 8

FERREIRA, Roberto G. (2000) "Matemática Financeira Aplicada", Ed. Universitária da UFPE, 5.ª Edição, Recife, Brasil, ISBN 85-7315-028-9

MATIAS, Rogério (2007) "Cálculo Financeiro - Teoria e Prática", Escolar Editora, 2.ª Edição, Lisboa, ISBN 978-972-592-210-1

MATIAS, Rogério, SILVA, Ilídio (2008) "Cálculo Financeiro - Exercícios Resolvidos e Explicados", Escolar Editora, Lisboa, ISBN 978-972-592-233-0

MATIAS, Rogério (2008) "Cálculo Financeiro - Casos Reais Resolvidos e Explicados", Escolar Editora, Lisboa, ISBN 978-972-592-234-7

MATEUS, Alves (1994) "Cálculo Financeiro", Edições Sílabo, 3.ª Edição, Lisboa, ISBN 972-618-112-3

MATEUS, Alves (1994) "Exercícios Práticos de Cálculo Financeiro", Edições Sílabo, 2.ª Edição, Lisboa, ISBN 972-618-103-8

SILVA, Armindo Neves (1993) "Matemática das Finanças - Volume I", McGraw-Hill, 2.ª Edição, Lisboa, ISBN 972-9241-36-6

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Metodologia de ensino:

Exposição oral de conceitos.

Resolução de exercícios de consolidação.

Sistema de avaliação

Inscrição em turnos

Os alunos têm que estar inscritos exclusivamente numa turma, até ao limite fixado. Não será possível a alternância entre os turnos, exceto aos alunos que comprovadamente detenham o estatuto de trabalhador-estudante (caso em que a inscrição não é necessária), ou quando o docente assim o permita.

Nota mínima para exame

A nota mínima para exame é 6 valores em EEA.

Elementos de Avaliação em Época de Ensino/Aprendizagem:

Frequência 1 (25,0%) 05,0 valores _{31 de março de 2017 (6.ªF)} Frequência 2 (25,0%) 05,0 valores _{26 de abril de 2017 (4.ªF)} Frequência 3 (25,0%) 05,0 valores 24 de maio de 2017 (4.ªF) Frequência 4 (25,0%) 05,0 valores 06 de junho de 2017 (3.ªF) Total (100,0%) 20,0 valores

O docente reserva o direito de realizar uma prova oral quando surjam dúvidas na atribuição da classificação.

Será concedida a classificação de "frequência" (e consequentemente a admissão ao exame) aos alunos cujo somatório dos elementos de avaliação seja inferior a 9,5 valores, mas sendo pelo menos igual a 6 valores.

Aos alunos trabalhadores estudantes e outros previstos em regimes especiais aplicam-se as mesmas regras anteriores.

Obterão aprovação em época de ensino-aprendizagem os alunos que obtiverem nessa época uma classificação global igual ou superior a 9,5 valores, estando estes dispensados do exame. Os alunos aprovados poderão sempre realizar o exame para efetuar a melhoria da sua nota (em caso de a melhoria não ser atingida manter-se-á a classificação anteriormente obtida).

Alunos detetados nas situações mencionadas em "Normas de funcionamento de frequências e exames" (ver mais abaixo) não serão admitidos em mais momentos de avaliação, estando automaticamente reprovados.

(7)

Exceções ao regime de avaliação em Época de Ensino/Aprendizagem:

Todas as outras situações, serão tratadas de acordo com as “Regras Gerais de Avaliação de Conhecimentos” da UBI aprovadas pelo despacho n.º 28/2006 de 14 de Setembro e retificadas pelo despacho n.º 33/2008 de 1 de Setembro.

Elementos de Avaliação em Épocas de Exame:

Em épocas de exame a avaliação será realizada sob a forma de prova escrita, com cotação de 20,0 valores. Os exames de época normal e recurso versarão sempre sobre a totalidade da matéria lecionada.

Normas de funcionamento de frequências e exames:

O aluno que for detetado em situação fraudulenta ficará automaticamente reprovado, independentemente da época de avaliação. Caso o aluno já tenha obtido nota positiva (caso de melhorias) e seja detetado em situação irregular o aluno passará a estar como reprovado.

Horário de atendimento:

O horário usual de atendimento será às segundas-feiras e terças-feiras das 16:00 às 18:00. No entanto, é sempre possível a marcação de outro horário para atendimento, desde que previamente acordado com o docente.

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Acetatos e

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O

Capital financeiro e valor temporal do dinheiro (TVM - Time Value of

Money)

Receber €10.000 hoje ou no fim do ano?

Hoje:

- Possibilidade de: consumir | poupar | ambas

Fator tempo

Necessidade de reportar a um mesmo momento diferentes capitais para

efetuar a análise financeira

Juro

Remuneração de um capital (ou conjunto de capitais) durante um prazo

temporal

É a “recompensa” por renunciar (ou apenas adiar) o consumo.

É o valor a suportar pela utilização de capital alheio.

Operação Financeira

Ato que transforma um ou mais capitais de um dado montante, noutros de

outro montante, por ação do tempo e de uma taxa de juro.

Intervêm:

o

mutuário

(aquele que tem que pagar);

o

mutuante

(o que tem a receber).

(10)

Cálculo Financeiro 2017/2018 10/72

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(

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)

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A

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C

E

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O

Fonte: Cadilhe, 1995

Presença de capital e presença de tempo e ausência de juro é uma

impossibilidade no cálculo financeiro.

Ausência de capital ou ausência de tempo e presença de juro é outra

impossibilidade.

Isto é: o juro zero pode ocorrer se e só se o capital for zero ou/e o prazo

for zero.

Qualquer operação matemática sobre dois ou mais capitais requer a sua

homogeneização no tempo.

Isto é: dados os capitais C e C’, pode fazer-se C + C’, ou C – C’, ou C > C’, ou

C = C’, etc., se é só se eles estiverem referidos ao mesmo momento.

O juro em cada período de capitalização é igual ao capital do início do

período multiplicado pela taxa de juro.

Isto é: sendo J

k

o juro do período k, C

k-1

o stock de capital no início do

mesmo período, isto é, no momento k-1, i

k

a taxa de juro em vigor no

mesmo período vem:

(11)

P

R

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Ç

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O

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R

E

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S

D

E

C

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L

I

Z

A

Ç

Ã

O

Fonte: Matias, 2008

Regimes mistos

JURO

Não capitaliza

Capitaliza

É pago É retido Regime de Juro Simples “Puro” Regime de Juro Simples “Dito” Simples Regime de Juro Composto

(12)

R

E

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D

E

J

U

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S

I

M

P

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E

S

Período Capital inicial do

período Juro periódico

Capital acumulado no fim de cada período

1 C

0

j1= C0.1.i C1 = C0 + j1 = C0 + C0.i = C0.(1+i)

2 C

0

j2= C0.1.i C2 = C1 + j2 = C0 + C0.i+ C0.i = C0 + 2.C0.i = C0.(1+2.i)

3 C

0

j3= C0.1.i C3 = C2 + j3 = C0.(1+2i) + C0.i = C0.(1+3.i)

… … …

n-1 C

0

jn-1= C0.1.i Cn-1 = Cn-2 + jn-1 = C0.(1+(n-2).i) + C0.i = C0.(1+(n-1).i)

n C

0

jn= C0.1.i Cn = Cn-1 + jn = C0.(1+(n-1)i) + C0.i = C0.(1+n.i)

i= 5,00% € Período Capital inicial do período Juro

periódico Juro acumulado

Cap. no momento C0.(1+ni) 1 1.000,00 50,00 50,00 1.050,00 2 1.000,00 50,00 100,00 1.100,00 3 1.000,00 50,00 150,00 1.150,00 4 1.000,00 50,00 200,00 1.200,00 5 1.000,00 50,00 250,00 1.250,00 6 1.000,00 50,00 300,00 1.300,00 7 1.000,00 50,00 350,00 1.350,00 8 1.000,00 50,00 400,00 1.400,00 9 1.000,00 50,00 450,00 1.450,00 10 1.000,00 50,00 500,00 1.500,00 11 1.000,00 50,00 550,00 1.550,00 12 1.000,00 50,00 600,00 1.600,00

(13)

(14)

R

E

G

I

M

E

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E

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U

R

O

C

O

M

P

O

S

T

O

Período Capital inicial do período

Juro periódico Capital acumulado no fim de cada período

1 C0 j1= C0.1.i C1 = C0 + j1 = C0 + C0.i = C0.(1+i)

2 C0.(1+i) j2= C0.(1+i).1.i C2 = C1 + j2 = [C0].(1+i) + [C0.(1+i)].i =

[C0].[(1+2i+i^2) = C0.(1+i)^2

3 C0.(1+i)^2 j3= [C0.(1+i)^2].1.i C3 = C2 + j3 = C0.(1+i)^3

… … …

n-1 C0.(1+i)^(n-2) jn-1= [C0.(1+i)^(n-2)].1.i Cn-1 = C0.(1+i)^(n-1)

n C0.(1+i)^(n-1) jn= [C0.(1+i)^(n-1)].1.i Cn = Cn-1 + jn = C0.(1+i)^n

i= 5,00% € Período Capital inicial do período

Juro periódico Juro acumulado Cap. No Momento C0.(1+i)^n 1 _10.000,00 _500,00 _500,00 _10.500,00 2 _10.500,00 _525,00 _1.025,00 _11.025,00 3 _11.025,00 _551,25 _1.576,25 _11.576,25 4 _11.576,25 _578,81 _2.155,06 _12.155,06 5 _12.155,06 _607,75 _2.762,82 _12.762,82 6 _12.762,82 _638,14 _3.400,96 _13.400,96 7 _13.400,96 _670,05 _4.071,00 _14.071,00 8 _14.071,00 _703,55 _4.774,55 _14.774,55 9 _14.774,55 _738,73 _5.513,28 _15.513,28 10 _15.513,28 _775,66 _6.288,95 _16.288,95 11 _16.288,95 _814,45 _7.103,39 _17.103,39 12 _17.103,39 _855,17 _7.958,56 _17.958,56

(15)

(16)

E

L

E

M

E

N

T

O

S

P

A

R

A

O

C

Á

L

C

U

L

O

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E

T

A

X

A

S

Fonte: Matias, 2008

Exemplo:

€11.314, 08 = €10.000,00 x (1+i)

5

 (1+i)

5

_{= 1,131408}

Como calcular?

a) Utilização de logaritmos (log ou ln)

log

5 log (1+i) = log 1,131408

log (1+i) =

5 1,131408

log

1+i = 10

(log 1,131408 ÷ 5)

i = 0,24999961

ln

5 ln (1+i) = ln 1,131408

ln (1+i) =

5 1,131408

ln

1+i = e

(ln 1,131408 ÷ 5)

i = 0,24999961

b) Utilização de potências

(1+i)

5

_{= 1,131408}

1+i =

5

₁

_,

₁₃₁₄₀₈

_{= 1,131408}

(1/5)

i = 1,131408

(1/5)

_{-1 = 0,24999961}

(17)

C

O

N

V

E

R

S

Ã

O

D

E

T

A

X

A

S

E

M

R

E

G

I

M

E

D

E

J

U

R

O

C

O

M

P

O

S

T

O

Fonte: Adaptado de Cadilhe, 1995

Período da taxa

=

Periodicidade de

capitalização

Período da taxa

≠

Periodicidade de

capitalização

A taxa é efetiva

(para esse período)

Taxa nominal

Se for necessário calcular a

taxa reportada a outro

período:

Taxa nominal:

Relação de

proporcionalidade

Taxa efetiva:

Relação de

equivalência

i

k

= (1+i)

1/k

- 1

Para calcular a taxa efetiva

reportada ao mesmo

período de capitalização

utiliza-se a regra da

proporcionalidade

(18)

18/72

E

Q

U

I

V

A

L

Ê

N

C

I

A

D

E

C

A

P

I

T

A

I

S

:

V

Á

R

I

A

S

A

B

O

R

D

A

G

E

N

S

Fonte: Adaptado de Matias, 2008

RJC

Capitalização composta

Equivalência

de

Capitais

_t

Para a frente

RJS

Capitalização simples

RJS

Solução comercial

(Df)

Solução racional

(Dd)

Para trás

RJC

Desconto composto

Data focal

da

operação

financeira

(19)

C

O

M

I

S

Ã

O

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C

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B

R

A

N

Ç

A

:

U

M

E

X

E

M

P

L

O

Letras

domiciliadas

Letras

Não domiciliadas

Sem protesto

Com protesto

Sem protesto

Com protesto

0,55%

1,7%

1,5%

2,85%

Min.

Max.

Min.

Max.

Min.

Max.

Min.

Max.

(20)

R

E

P

R

E

S

E

N

T

A

Ç

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D

E

R

E

N

D

A

S

0 1 2 3 (…) n-1 n

0 1 2 3 (…) n-1 n

.(1+i)

(21)

D

E

D

U

Ç

Ã

O

D

E

F

Ó

R

M

U

L

A

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(

T

E

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M

O

S

C

O

N

S

T

A

N

T

E

S

)

A

n

┐

i

V0 = t.(1+i)-1 + t.(1+i)-2 + … + t.(1+i)-(n-1) + t.(1+i)-n

 V0.(1+i)-1 = t.(1+i)-2 + t.(1+i)-3 + … + t.(1+i)-n + t.(1+i)-(n+1)

 V0.(1+i)-1 – V0 = [t.(1+i)-1 + t.(1+i)-2 + … + t.(1+i)-(n-1) + t.(1+i)-n] – [t.(1+i)-1 + t.(1+i)-2 + … + t.(1+i) -(n-1)_{+ t.(1+i)}-n_{]  V}

0.(1+i)-1 – V0 = t.(1+i)-(n+1) - t.(1+i)-1







i)

(1

1

1 i)

i).(1

(1

1 i)

(1

1 t.

n  V0 =

































i)

(1

1 i

1 i)

(1

1

1 .

i)

(1

1 t.

n  V0 =

















i

i)

(1

1

1 t.

n  V0 =















i

i)

(1

1 t.

n  V0 = t. an┐i  An┐i = t. an┐i

S

n

┐

i Vn = V0.(1+i)n  Vn =

 

n n

i

1 .

i

i)

(1

1 t.

_







_





  Vn =













i

1 i)

(1

t.

n  Vn = t. an┐i .(1+i)n  Vn = t. sn┐i

(22)

D

E

D

U

Ç

Ã

O

D

E

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Ó

R

M

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L

A

S

(

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R

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S

E

M

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O

G

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E

S

Ã

O

A

R

I

T

M

É

T

I

C

A

)

(a)

A

n

┐

i

V0 = t.(1+i)-1 + (t+r).(1+i)-2 + (t+2r).(1+i)-3 + … + [t+(n-2).r].(1+i)-(n-1) + [t+(n-1).r].(1+i)-n

 V0 = t.(1+i)-1 + (t+r).(1+i)-2 + (t+2r).(1+i)-3 + … + [t+(n-2).r].(1+i)-(n-1) + [t+(n-1).r].(1+i)-n

+ + + +

 V0 = t.(1+i)-1 + r.(1+i)-2 + 2r.(1+i)-3 + … + (n-2)(1+i)-(n-1) + (n-1).r.(1+i)-n

Seja R = r.(1+i)-2_{+ 2r.(1+i)}-3_{+ … + (n-2).r.(1+i)}-(n-1)_{+ (n-1).r.(1+i)}-n

Logo R.(1+i) = r.(1+i)-1_{+ 2r.(1+i)}-2_{+ … + (n-1).r.(1+i)}-(n-1)

Fazendo R.(1+i) – R para simplificar a expressão vem que:

R.(1+i) – R = r.(1+i)-1_{+ 2r.(1+i)}-2_{+ 3r.(1+i)}-3_{+…+ (n-1).r.(1+i)}-(n-1)

– r.(1+i)-2_{+ 2r.(1+i)}-3_{+…+ (n-2).r.(1+i)}-(n-1)_{+ (n-1).r.(1+i)}-n

Subtraindo os elementos com o mesmo expoente vem:

R.(1+i) – R = r.(1+i)-1_{+ r.(1+i)}-2_{+ r.(1+i)}-3_{+…+ r.(1+i)}-(n-1)_{- (n-1).r.(1+i)}-n

 R.(1+i) – R = r.(1+i)-1_{+ r.(1+i)}-2_{+ r.(1+i)}-3_{+…+ r.(1+i)}-(n-1)_{- n.r.(1+i)}-n_{+ r.(1+i)}-n

 R.(1+i) – R = r.(1+i)-1_{+ r.(1+i)}-2_{+ r.(1+i)}-3_{+…+ r.(1+i)}-(n-1)_{+ r.(1+i)}-n_{- n.r.(1+i)}-n

 R.(1+i) – R =       _ _  i i) (1 1 r. n - n.r.(1+i)-n  R+Ri – R =       _ _  i i) (1 1 r. n - n.r.(1+i)-n  Ri =       _ _  i i) (1 1 r. n - n.r.(1+i)-n  R =          i i) (1 1 . i r n - .(1 i) n i nr _   V0 =















i

i)

(1

1 t.

n +          i i) (1 1 . i r n - _.(1 _i) n i nr _ 

1 t.

n +          i i) (1 1 . i r n + i nr i ) i) (1 (1 . n           nr  V0 = i nr nr i r t . i i) (1 1 n __      _ _           V0 = an┐i . i nr nr i r t       _ _  (a)An┐i = an┐i . i nr nr i r t       _ _ (a)

S

n

┐

i

(a)Sn┐i = (a)An┐i . (1+i)n = an┐i . .

 

1 in

i nr nr i r t _       _       _ _ = i nr i r t . i 1 i) (1 n __              

(24)

D

E

D

U

Ç

Ã

O

D

E

F

Ó

R

M

U

L

A

S

(

T

E

R

M

O

S

E

M

P

R

O

G

R

E

S

Ã

O

G

E

O

M

É

T

R

I

C

A

)

(g)

A

n

┐

i

V0 = t.(1+i)-1 + t.r.(1+i)-2 + t.r2.(1+i)-3 + … + t.r(n-2).(1+i)-(n-1) + t.r(n-1).(1+i)-n

V0.

 

r

i

1

=

r

t

+ t.r.(1+i)-1_{+ t.r}2_.(1+i)-2_{+ … +}_t.r(n-2)_(1+i)-(n-1)

V0.

 

r

i

1

– V0=

r

i

1 .

r

1 t.





  V0.



r 



1i



=

t.



r

.

 

1 i

1 

n n

_



_

 V0.



r 



1i



=

 



_













i

1

1 r

t.

n n  V0.



r



1i



=

 



_















n n n n

i

1 i

1 r

 



n n n.r 1 i i 1 t     V0 =

 



_



















r

1 i

i

1 r

.

i

1 t

n n n (g)

S

n

┐

i (g)Sn┐i = (g)An┐i . (1+i)n =

 























i

1 r

i

1 r

.

i

1 i

1 t.

n n n n =

 

_{ }

_





















i

1 r

i

1 r

.

t

n n

(25)

4

Conceito de renda

Conjunto de capitais (termos) que

ocorrem em intervalos de tempo iguais (equidistância temporal).

Não interessa que os diferentes capitais

(os termos) sejam de igual montante.

A periodicidade da renda é definida pelo

período de tempo entre dois termos consecutivos.

5

Conceito de renda

Para definir uma renda é preciso saber:

– o momento de referência;

– o momento de vencimento do primeiro termo;

– o número de termos; – o valor de cada termo;

– o intervalo de tempo (constante) entre os termos.

6

Representação de uma renda

0(origem) 1 2 3 (…) n-1 n

t₁ t₂ t₃ (…) t_n-1 t_n

Termos

(26)

3

7

t₁ t₂ t₃ (…) t_n-1 t_n

Valor actual de uma renda

V0= t1.(1+i)-1+ t2.(1+i)-2+ t3.(1+i)-3+ … + t(n-1).(1+i)-(n-1)+ tn.(1+i)-n

0 1 2 3 (…) n-1 n

8

t₁ t₂ t₃ (…) t_n-1 t_n

Valor acumulado de uma renda

Vn= t1.(1+i)(n-1)+ t2.(1+i)(n-2)+ t3.(1+i)(n-3)+ … + t(n-1).(1+i) + tn

0 1 2 3 (…) n-1 n

né o momento em que

ocorre o último termo

9

Tipos de rendas

Quanto à sua duração:

– TEMPORÁRIAS

 O número de termos é finito.

– PERPÉTUAS

 O número de termos pode ser considerado ilimitado.

(27)

10

Tipos de rendas

Quanto à sua duração:

– TEMPORÁRIAS – PERPÉTUAS €12 €33 €34 (…) €45 €49 0 1 2 3 (…) n-1 n €12 €33 €34 (…) 0 1 2 3 (…) +∞ 11

Tipos de rendas

Quanto ao período da renda:

– INTEIRAS

 O período da renda corresponde ao período da taxa (ex: ano/tx anual, mês/tx mensal,…).

– FRACCIONADAS

 O período da renda difere do período da taxa.

12

Tipos de rendas

Quanto ao período da renda:

– INTEIRAS – FRACCIONADAS €1.000 €1.000 €1.000 (…) €1.000 (i mensal) 0 1 2 3 (…) 34 meses €2.000 €2.500 (i anual) 0 1 2 3 4 meses

(28)

5

13

Tipos de rendas

Quanto ao valor dos termos:

€1.000 €1.000 €1.000 (…) €1.000 €1.000 0 1 2 3 (…) 34 35 €1.000 €1.000 €1.000 €1.000 (…) €1.000

(30)

7 19

Quadro Resumo

20

Quadro Resumo

21

Não interessa!!!

(31)

22

Só nos interessam:

TEMPORÁRIAS ou PERPÉTUAS CONSTANTES ou VARIÁVEIS INTEIRAS

– basta converter a taxa das fraccionadas

IMEDIATAS e DE TERMOS NORMAIS

– basta actualizar/capitalizar através de

(1+i)-n_/(1+i)n

23

RENDAS TEMPORÁRIAS

TERMOS CONSTANTES

24

Valor actual: renda constante

V0= t1.(1+i)-1+ t2.(1+i)-2+ t3.(1+i)-3+ … + t(n-1).(1+i)-(n-1)+ tn.(1+i)-n

mas como t1 = t2 = t3 = … = tn-1 = tnvem que:

(32)

9

25

t₁ t₂ t₃ t₄ t₅

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €100 €100 €100 €100

Qual é o valor actual da renda no momento 0? ou

Qual é o capital equivalente no momento 0? 1) Considere uma taxa mensal de 2%

26

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €100 €100 €100 €100

Qual é o capital equivalente no momento 0? 1) Considere uma taxa anual de 26,82417946%

27

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €100 €100 €100 €100

(33)

28

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €100 €100 €100 €100

29

0 1 2 3 4 … 69 70 meses €100 €150 €100 €150 €100 … €150 €100

30

Valor acumulado: r. constante

V_n= V₀.(1+i)n

vem que:

(34)

11

31

V_n= V₀.(1+i)n

vem que:

V

_n

=

32

t1 t2 t3 t4 t5

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €100 €100 €100 €100

Qual é o valor acumulado da renda no momento 5? ou

Qual é o valor da renda no final do prazo? 1) Considere uma taxa mensal de 2%

33

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €100 €100 €100 €100

Qual é o valor da renda no final do prazo? 1) Considere uma taxa anual de 26,82417946%

(35)

34

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €100 €100 €100 €100

Qual é o valor da renda no final do prazo? 2) Considere uma taxa mensal de 2%

35

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €100 €100 €100 €100

Qual é o valor acumulado da renda no momento 7? 3) Considere uma taxa mensal de 2%

36

0 1 2 3 4 … 69 70 meses €100 €150 €100 €150 €100 … €150 €100

Qual é o valor da renda no momento 70? 4) Considere uma taxa mensal de 2%

(36)

13

37

RENDAS TEMPORÁRIAS

TERMOS VARIÁVEIS

– Sem regularidade matemática;

– Com termos em progressão aritmética; – Com termos em progressão geométrica.

38

TERMOS SEM REGULARIDADE

Efectua-se o cálculo (actualizar/capitalizar)

termo a termo para a data de análise!

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €37 €11 €143 €20 (i mensal = 3%) 39 t t+r t+2r t+3r t+4r … t+(n-2)r t+(n-1)r

TERMOS EM P. ARITMÉTICA

0 1 2 3 4 5 … n-1 n r é a RAZÃO da progressão aritmética

A RAZÃO tanto pode ser maior que 0 ou menor que 0 Se r < 0, então o n.º de termos possíveis é n = t ÷ | r | (é óbvio que quando a razão é zero os termos são constantes…)

(37)

40

Valor actual com termos em PA

V0= t.(1+i)-1+ (t+r).(1+i)-2+ (t+2r).(1+i)-3+ … +

[t+(n-2).r].(1+i)-(n-1)_{+ [t+(n-1).r].(1+i)}-n

V

₀

=

41

t t+r t+2r t+3r t+4r

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €120 €140 €160 €180

42

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €120 €140 €160 €180

(38)

15

43

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €90 €80 €70 €60

44

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €85 €70 €55 €40

45

0 1 2 3 4 … 69 70 meses €10 €70 €12 €68 €14 … €150 €80

(39)

46

Valor acumulado em PA

V_n= V₀.(1+i)n vem que:

V

_n

= =

47 t t.r1 _t.r2 _t.r3 _t.r4 _{… t.r}(n-2) _t.r(n-1)

TERMOS EM P. Geométrica

0 1 2 3 4 5 … n-1 n r é a RAZÃO da progressão geométrica

48

Valor actual com termos em PG

V0= t.(1+i)-1+ (t.r).(1+i)-2+ (t.r2).(1+i)-3+ … +

[t.r(n-2)_].(1+i)-(n-1)_{+ [t.r}(n-1)_].(1+i)-n

(40)

PG

0 1 2 3 4 5 6 7 meses

(41)

52

Valor actual com termos em

PG

0 1 2 3 4 5 6 7 meses

€100 €110 €121 €133,1 €146,41 53

Valor acumulado em PG

V_n= V₀.(1+i)n vem que:

V

_n

= =

54

Caso particular da PG

r =(1+i) 0 1 2 3 4 5 6 7 €100 €110 €121 €133,1 €146,41

Considere uma taxa de 10% ao período (i = 0,1) r = 1+ 0,1 = 1,1

(42)

19 55

RENDAS PERPÉTUAS

TERMOS CONSTANTES 0 1 2 3 4 5 … 100 meses €1.000 €1.000 €1.000 €1.000 €1.000 … €1.000

1) Calcule o valor actual do último termo: 1.1) Considere uma taxa mensal de 10% 1.2) Considere uma taxa mensal de 20%

56

V

₀

=

Como (1+i)-∞ _{→ 0, vem que}

57

V

₀

=

(43)

58

0 1 2 3 4 5 6 ∞ meses €100 €100 €100 €100 €100 €100 …

59

0 1 2 3 4 5 6 ∞ meses €100 €100 €100 €100 €100 €100 …

60

0 1 2 3 4 5 6 ∞ meses €100 €100 €100 €100 €100 €100 €100 …

(44)

21

61

0 1 2 3 4 5 6 ∞ meses €100 €100 €100 €100 …

62

RENDAS PERPÉTUAS

TERMOS VARIÁVEIS

– Com termos em progressão aritmética; – Com termos em progressão geométrica.

63

t t+r t+2r t+3r t+4r … t+(n-1)r …

TERMOS EM P. ARITMÉTICA

0 1 2 3 4 5 … n ∞ r é a RAZÃO da progressão aritmética

A RAZÃO tanto pode ser maior que 0 ou menor que 0 Se r < 0, então o n.º de termos possíveis é n = t ÷ | r | (é óbvio que quando a razão é zero os termos são constantes…)

(45)

64

V

₀

=

Como (1+i)-∞ _{→ 0, vem que}

65

t t+r t+2r t+3r t+4r …

0 1 2 3 4 5 ∞ meses €100 €120 €140 €160 €180 …

66

0 1 2 3 4 5 ∞ meses €100 €120 €140 €160 €180 …

(46)

23

67

0 1 2 3 4 ∞??? meses €100 €90 €80 €70 €60 …

68

0 1 2 3 4 5 6 ∞ meses €100 €120 €140 €160 …

69

t t.r1 _t.r2 _t.r3 _t.r4 _{… t.r}(n-1)

TERMOS EM P. Geométrica

0 1 2 3 4 5 … n ∞ r é a RAZÃO da progressão geométrica

(47)

70

Valor actual com termos em PG

V

₀

=

[r ÷ (1+i)]∞ _{→ 0, apenas se r < (1+i)}

71

Valor actual com termos em

PG

0 1 2 3 4 5 ∞ meses €100 €110 €121 €133,1 €146,41 …

72

Valor actual com termos em

PG

0 1 2 3 4 5 ∞ meses

(48)

25

73

Valor actual com termos em

PG

0 1 2 3 4 ∞ meses

€100 €110 €121 €133,1 €146,41 …

74

Valor actual com termos em

PG

0 1 2 3 4 5 6 ∞ meses