INSTABILIDADE DE SAFFMAN-TAYLOR EM UM DESLOCAMENTO LÍQUIDO-LÍQUIDO CONSIDERANDO EFEITOS NÃO NEWTONIANOS
Aluno: Eduardo de Montenegro Trindade Orientador: Paulo Roberto de Souza Mendes Motivação:
Há muitos anos que o petróleo se estabeleceu como fonte primária de energia para a sociedade. Não só como combustível para automóveis, que é o uso mais comum no Brasil, mas também para geração de energia elétrica.
Com o advento da exploração marítima de petróleo, iniciada na década de 40, surgem novos problemas e novos custos para a sua prospecção. A perfuração em ambientes marítimos tem custos muito altos e, por isso, é de extrema importância que esse processo se dê de forma rápida e a se proteger o reservatório produtor contra danos. Conforme a broca penetra a rocha reservatório, ocorre invasão da formação pelo fluido de perfuraçnao, devido ao diferencial de pressão que se estabelece. A parte líquida escoa para formações adjacentes, enquanto as partículas sólidas presentes no fluido de perfuração, menores do que os poros da rocha, invadem o reservatório e rapidamente o tamponam. Essa é uma das maiores causas de perdas na prospecção de óleo e gás, já que o processo de tamponamento diminui a permeabilidade da rocha e, consequentemente, diminuindo a produtividade do poço.
A Célula de Hele-Shaw:
Em 1898, Henry Selby Hele-Shaw criou um sistema para estudar o escoamento potencial de água a baixos numeros de Reynolds em torno de objetos. Se constituia originalmente de duas placas transparentes com uma separação de 1mm entre elas e largura de 300mm.
Posteriormente, a célula passou a ser utilizada também para estudar escoamentos em meios porosos. Isso é possível, pois, quando observadas as devidas proporções, com a fenda entre placas muito menor do que a largura delas, a equação que rege o escoamento entre as placas tem a mesma forma da lei de Darcy, que relaciona a velocidade bidimensional média (u) com o gradiente de pressão (∇p) e permeabilidade (k).
k = b²/12 u = k/µ • ∇p
Essa lei foi originalmente formulada para deslocamentos monofásicos, no entanto foi convencionado usá-la também para deslocamentos bifásicos. Além disso, a lei de Darcy é válida para líquidos newtonianos. Há estudos que utilizam uma versão alterada da lei de Darcy para considerar efeitos não newtonianos [1]. Essas suposições de equivalência abrem precedente para o questionamento desse método de estudo, apesar de ainda ser amplamente utilizado.
Abaixo podemos ver um modelo da célula de Hele-Shaw com um fluido deslocando outro mais viscoso:
Instabilidade de Saffman-Taylor:
Também chamada de viscous fingering é um fenômeno observado quando um fluido desloca outro de viscosidade maior. Quando ocorre, a interface entre dois líquidos imiscíveis se torna irregular. A comparação pode ser vista nas imagens abaixo:
Interface regular, chamada plug
situações.
Homsy [2] estudou o fenômeno em geometrias retangulares, radiais e nos padrões de cinco pontas. Investigou o escoamento bidimensional nos casos em que a orientação da gravidade é colinear com a direção do escoamento. As forças consideradas foram a de gravidade, viscosidade e no caso de fluidos imiscíveis, a tensão superficial. Ele determinou que o escoamento de dois fluidos imiscíveis na célula de Hele-Shaw são governados pela relação entre forças viscosas e tesão superficial, pela relação entre viscosidades e pela importância relativa das forças viscosas e de empuxo. Tais fatores são representados, respectivamente, pelos seguintes parâmetros: Número de capilaridade, viscosidades dos fluidos e número de Darcy-Rayleigh modificado.
É essencial verificar se não há escoamento na terceira dimensão da célula, perpendicular ao plano do escoamento observado, pois as esquações de Saffman-Taylor só são válidas para escoamentos bidimensionais. Caso existam é necessário fazer modificações nas condições de contorno. Park e Homsy [3] observaram que a discrepância entre teórico e experimental se dava em grande parte por essa parcela do escoamento e propuseram modificações para corrigi-la.
O caso não newtoniano já foi estudado anteriormente por McCloud et al. [4] que observaram diversos padrões de fingers. Revisaram experimentos com enfoque na instabilidade de Saffman-Taylor, onde perturbações são adicionadas a fingers estáveis para que as mudanças nos padrões de escoamento possam ser compreendidas.
Yamamoto et al. [5] estudaram a instabilidade no deslocamento de fluidos viscoelásticos e glicerina por ar, sendo a glicerina para representar um fluido newtoniano. A forma dos fingers difere consideravelmente, sendo os da glicerina de estrutura mais densa enquanto os dos fluidos não newtonianos são mais ramificados. Esses fenomênos são, de acordo com os autores, explicados pelo chamado “efeito de proteção” em relação às características pseudoplásticas. Isto é, o efeito ocorre quando um finger cresce demais e supre o crescimento dos outros. Devido ao efeito pseudoplástico as pequenas diferenças do gradiente de pressão em diferentes frentes de fingers causam grande diferença na viscosidade e dessa forma também no escoamento.
Ainda Yamamoto et al. caracterizaram a velocidade da ponta dos fingers pelo gradiente de pressão. Através da lei de Darcy modificada constata-se que a velocidade e o gradiente de pressão são diretamente proporcionais, enquanto o
crescimento dos fingers pode ser retardado caso haja mais ramificações. A ramificação, no entanto, aumenta a velocidade do finger.
Lindner et al. [6] investigaram a instabilidade de Saffman-Taylor para três diferentes fluidos complexos: uma solução do polímero rígido xanthane, uma solução do polímero flexível PEO e uma solução do surfactante AOT. Para cada uma dessas soluções um mecanismo de seleção clássico é alterado: para soluções de xanthane as forças viscosas são modificadas, as soluções de PEO são afetadas pela tensão normal e a tensão superficial atua sobre os surfactantes.
Soluções poliméricas podem apresentar propriedades de fluidos não newtonianos como efeitos de tensão normal e dependência da viscosidade com a taxa de deformação. Esses efeitos podem ser mais ou menos importantes dependendo da natureza do polímero. Para soluções de polímeros flexíveis, efeitos elásticos como tensão normal e altos valores de viscosidade elongacional são dominantes, enquanto a viscosidade de cisalhamento pode ser praticamente constante. Polímeros rígidos podem apresentar a viscosidade como função da taxa de deformação, entretanto os efeitos elásticos são insignificantes.
Bonn et al. [7] afirmam que polímeros flexíveis alargam os fingers, enquanto polímeros rígidos estreitam os fingers. Linder et al. [6] realizaram um estudo sobre a instabilidade de Saffman-Taylor em uma célula de Hele-Shaw. O experimento foi realizado com diferentes concentrações de soluções de xantana, com caracteríticas de viscosidade pseudoplásticas, deslocado por ar. Esse fluido foi escolhido de forma que a viscosidade pseudoplástica possa ser a única propriedade influenciando o experimento. Foi medida a largura do finger como função da velocidade.
A inércia pode ser importante para altas velocidades de fingers. Foram investigados os efeitos para Reynolds maior do que 100 utilizando uma célula de Hele-Shaw com silicone sendo deslocado por ar.
A importância da inércia é avaliada pelo número de Reynolds. Para poder desconsiderar os efeitos de inércia, deve-se ajustar o experimento de forma que Reynolds seja menor do que 1. O número de Weber representa a razão entre forças de inercia e capilares e se define por:
a largura do finger aumenta, devido à inérica, em oposição ao que acontece a baixos números de Reynolds. Para altos valores de velocidade e número de capilaridade, a influência de uma camada fina de fluido remanescente é importante. Essas situações ocorrem para fluidos de baixas viscosidades e para grandes fendas entre placas.
O estudo de fluidos não newtonianos sendo deslocados por outros fluidos que não o ar não é muito popular e não há referências na literatura para fluidos pseudoplásticos.
Objetivo:
O objetivo é diminuir a invasão da rocha reservatório pelo fluido de perfuração, pois, como já citado anteriormente, a parte líquida se perde para porções adjacentes da rocha enquanto a parte solida se acumula nos poros do reservatório, tamponando-o. Partículas maiores acumulam-se na parede do poço, iniciando a formação do reboco externo. Os sólidos e os fluidos introduzidos no reservatório durante esse proceso causam dano na formação ao redor do poço.
Fluidos:
Os testes foram realizados com um fluido newtoniano sendo deslocado por um não newtoniano. No caso os fluidos foram respectivamente óleo mineral da marca União Química e solução aquosa 0,86% de goma xantana da marca Plury Química.
- Goma Xantana:
É um polissacarídeo da espécie de bactérias do gênero Xanthomonas. É muito utilizada, em baixas concentrações, como espessante na indústria alimentícia e sua utilização na indústria petrolífera cresceu com o passar do tempo. Nesse campo é utilizada como fluido de perfuração e na recuperação terciária de poços de petróleo.
Os polimeros anteriormente mais utilizados eram Carboximetilcelulose (CMC), celulose polianiônica (PAC) e poliacrilamida parcialmente hidrolisada (PHPA). Esses polímeros são, no entanto, muito sensíveis às condições de salinidade o que baixava sua eficiência. Por isso a goma xantana, a partir de agora denominada GX, passou a ser amplamente utilizada, pois é estavel à variação do pH, força iônica e temperatura. [8]
A GX só passa a ser afetada por pH muito alto ou muito baixo, estando estavel na faixa de 2,5 a 11. Essa estabilidade depende da concentração e aumenta proporcionalmente a ela. Sua viscosidade não é substancialmente afetada pela presença de sais e ainda é estável em temperaturas de 10ºC a 90ºC. [9]
Apesar de sua importância nas indústrias alimentícia e petrolífera, a GX ainda é produzida por poucos países e, no Brasil, ainda é importada em sua totalidade. O país, no entanto, possui os insumos necessários para sua fabricação, como açucar de cana e etanol, o que nos dá potencial de produção. [8]
A GX é um fluido não newtoniano de comportamento pseudoplástico (shear thinning), ou seja, sua viscosidade cai com o aumento da taxa de cisalhamento, como se vê na figura abaixo:
Além das características supracitadas, vale destacar as seguintes características da GX:
• Irreversibilidade de ser degradada em altas taxas de cisalhamento;
• Alto valor de viscosidade, mesmo em baixas concentrações (na indústria
alimentícia são usadas concentrações entre 0,05% e 0,5%);
• Facilidade de bombeamento devido ao comportamento pseudoplástico;
• Excelente estabilidade durante congelamento e sua adição não altera o ponto de
congelamento do fluido;
• Tixotropia suficiente para causar erros experimentais se não considerada. Método de Preparo:
• Seleciona-se a porcentagem de polímero;
• Coloca-se o volume correspondente de água desionizada em um recipiente;
• Agita-se o conteúdo do recipiente a 300 rpm em um agitador mecânico com pá
âncora (Agitador Fisaton, modelo 723);
• Acrescenta-se GX aos poucos no pela lateral do recipiente, evitando despejá-la
sobre a pá;
• Agita-se a solução por 15 minutos;
• Adicionam-se os bactericidas Benzoato de Sódio e Sorbato de Potásio à
concentração de 0,5% cada;
• Mistura-se a solução por uma hora;
• Despeja-se a solução na garrafa de transferência; • Espera-se 24 horas antes do início dos testes.
- Óleo mineral:
O óleo mineral é um fluido newtoniano bem comportado, cuja viscosidade é afetada apenas pela temperatura, que é mantida estável com o uso de um banho. É uma boa simulação do fluido presente nas rochas reservatório.
Bancada Experimental:
É consituida, atualmente, dos seguintes aparelhos:
• Célula de Hele-Shaw retangular;
• Uma bomba peristáltica da marca Cole-Parmer; • Duas bombas helicoidais da marca Netzsch; • Duas garrafas de transferência;
• Uma câmera fotográfica Canon EOS 7D
• Reservatório de glicerina (utilizada na validação)
• Reservatório de água (para as garrafas de transferência) • Reservatório de óleo;
• Banho térmico;
• Negatoscópio tomográfico;
Desenvolvimento da Bancada:
A bancada já vem sendo desenvolvida há anos e muitas versões são prévias ao meu ingresso no experimento. A seguir seguem algumas das tentativas de construção da célula de forma a não haver vasamentos ou erros:
- Versão 1:
As figuras a seguir ilustram a primeira bancada experimental e os primeiros resultados obtidos, respectivamente. Essa bancada era composta por três reservatórios para comportar o fluido deslocador, o fluido deslocado e a água para limpeza, duas bombas de deslocamento positivo, uma câmera fotográfica e uma célula de Hele-Shaw. As dimensões do canal, formado por placas de vidro de 6 mm de espessura, eram: 150 mm de comprimento, 100 mm de largura e 1 mm de fenda entre placas. Os fluidos utilizados foram soluções aquosas de Carbopol e óleo mineral.
Válvulas guilhotina foram projetadas com o objetivo de bloquear a passagem dos fluidos. Isso permitiu a lavagem e o preenchimento das células, além de serem essenciais para as condições de início do teste. Em função da diferença de densidades entre o óleo e o Carbopol, a folga entre as placas paralelas de 1 mm não foi suficientemente pequena. Outro problema desse projeto diz respeito a vazamentos na entrada da célula. As guilhotinas não foram bem projetadas, de modo que seu manuseio exigia força.
- Versão 2:
Devido as dificuldades da versão anterior, uma nova célula de Hele-Shaw foi projetada e construída. A célula era composta por duas placas planas de vidro, separadas por um espaçador de folga (utilizado em tornos mecânicos) e vedadas nas laterais através de fitas adesivas (modelo Silver tape). Com o intuito de melhorar a visualização da interface, um negatoscópio foi utilizado sob a seção de testes para minimizar os efeitos de sombra e maximizar o contraste entre os fluidos.
As dimensões do canal, formado por placas paralelas de vidro, eram 500 mm de comprimento, 100 mm de largura e 0,25 mm de folga.
A figura a seguir ilustra o deslocamento de Carbopol 0,10% por água (com corante preto) em diferentes faixas de vazão mássica.
Surgiram algumas dificuldades durante a operação desta célula. As fitas adesivas que vedavam as laterais da célula não foram boas o suficiente para evitar vazamentos. A folga de 0,25 mm não estava uniforme já que o escoamento não era simétrico em razão da variação da resistência ao escoamento. Além disso a qualidade das fotos também não ficaram muito boas, sendo assim foi necessário um aperfeiçoamento.
- Versão 3:
Para corrigir as dificuldades encontradas na versão anterior, foi projetada uma nova seção de testes. A nova célula de Hele-Shaw era composta por duas placas paralelas de vidro separadas por três espaçadores de folga de 0,25 mm cada um. Os espaçadores eram posicionados nas extremidades das placas e, internamente, havia um o-ring para garantir a vedação. Grampos "tipo C" foram utilizados para pressionar o anel de borracha contra o vidro, garantindo assim a vedação do sistema.
O canal, similar ao da versão anterior, possuía 500 mm de comprimento, 100 mm de largura e 0,75 mm de folga. Os fluidos eram injetados através de um furo de 10 mm de diâmetro na placa de vidro superior. A figura a seguir ilustra essa bancada e seus resultados:
É notável que nos resultados dessa célula houve mistura dos fluidos, o que, como já explicado anteriormente, causa grandes erros nos resultados.
- Versão 4:
Mais uma vez a bancada experimental foi aprimorada. Algumas modificações foram feitas na entrada da célula de Hele-Shaw a fim de evitar a mistura do fluido deslocado com o deslocador.
Observou-se que havia influência da gravidade durante a injeção do fluido deslocador e que este deslocava-se inicialmente para trás ocasionando a mistura dos fluidos.
- Versão 5:
Novamente a bancada experimental foi melhorada. Em relação à versão anterior, a primeira alteração refere-se a instalação das válvulas de entrada dos fluidos na placa de vidro inferior a fim de minimizar o efeito de gravidade durante o início do escoamento. Foi necessário acrescentar mais dois furos na placa de vidro para que fosse possível separar as entradas dos fluidos na célula. Dessa forma, as entradas nas extremidades servem para o preenchimento da célula de Hele-Shaw e a entrada central serve para injetar o fluido deslocador. Também foi adicionada uma tira de nylon próxima aos furos para evitar que o fluido deslocador escoasse para parte de trás dos furos e se misturasse com o fluido deslocado. Também foi construída uma garrafa de transferência para minimizar os efeitos da bomba, pois percebeu-se que o fluido estava pulsando, dificultando assim o escoamento. Para garantir uma folga de 0,70 mm foram usadas tiras de nylon para assegurar a vedação.
O principal problema dessa versão foi o posicionamento dos furos laterais, que influenciavam a interface.
- Versão 6:
Nessa versão a principal alteração foi na disposição dos furos de injeção. Para evitar a influência no deslocamento, o furo de injeção da GX foi desalinhado dos furos do óleo, sendo deslocado para a frente em 55mm.
- Versão 7:
Aprimorando a célula novamente, visto que os resultados não foram os esperados. Foi observado que na sexta versão a bancada experimental funcionava muito bem quando se tinha óleo deslocando goma xantana, porém no inverso, goma xantana deslocando o óleo, era impossível fazer a limpeza da célula para um teste posterior com óleo deslocando a goma xantana. Sendo assim foi necessário adicionar mais dois furos para que se pudesse limpar a célula com água sem que houvesse mistura de fluidos, já que cada fluido tem sua entrada independente. Também foi projetada uma nova garrafa de transferência, objetivando a facilidade de manuseio.
- Versão 8:
Após pesquisa foi determinado um bom modelo para a célula, com os furos de injeção de óleo na placa de inferior e o da GX na placa superior, voltando à configuração de 3 furos. Tanto nessa versão quanto na anterior foi difícil encontrar um vidro que não trincasse com as pressões e as concentrações de tesão em torno dos furos. Para sobrepor esse obstáculo passou-se a usar vidro temperado, mais resistente.
Apesar da melhoria dos resultados, essa versão ainda apresentava erros muito grandes que indicavam uma provável flexão do vidro ou corte errado do Mylar que separa as placas.
- Versão 9:
Para corrigir os problemas da bancada anterior mudamos o vidro para um vidro mais espesso de forma a evitar a flexão. O corte das tiras de nylon foram mais precisos, com erros mínimos. O metal usado para a distribuição da pressão dos grampos também foi substituido por um mais duro, garantindo a uniformidade da distribuição de tensões sobre o vidro.
O suporte da câmera também foi substituido de forma a garantir que ela estivesse sempre na mesma posição.
Construção da Célula:
Foram levados em consideração os seguintes aspectos, que são de suma importância para a boa realização do experimento:
• Garantir que o escoamento não seja afetado pelas paredes;
• Garantir que a fenda seja pequena o bastante para ser considerado bidimensional;
• Garantir que a fenda seja pequena o sufiente para que não haja mistura dos fluidos;
realizados anteriormente. A razão entre largura e fenda é de 157, o que a coloca
entre valores razoáveis para cumprir os requisitos supracitados. A imagem abaixo é uma representaçnao da célula atual:
A permeabilidade da célula é calculada pela fórmula já apresentada k =b²/12, logo a permeabilidade é de 40833,3 D. Esse valor não corresponde a um meio poroso real, portanto, o estudo só pode ser considerado válido no âmbito qualitativo.
A vedação e o espaçamento são garantidos por dois pedaços de Mylar em forma de “U”. Cada pedaço tem espessura de 0,35mm.
Para facilitar a visualização da célula e a captura de imagens, foi usado um negatoscópio (Blue Equipamentos) sob a célula.
Devido ao peso da célula, ela não pode ser apoiada diretamente sobre o negatoscópio. Por isso foi construido um suporte (Vibra-Stop, modelo Micro III) para ajudar na sustentação e nivelamento.
A câmera utilizada é uma Canon EOS 7D com lente EFS 18-55mm. Inicialmente eram capturadas fotos no modo de disparo contínuo, entretanto, para garantir a uniformidade dos intervalos e para permitir maior número de fotos por segundo, passamos a usar o modo de gravação de vídeo a 60fps e um sofware para capturar quadros em intervalos regulares de tempo.
A câmera foi usada sempre no modo monocromático para facilitar o tratamento das imagens.
Para o bombeamento do óleo para preenchimento da célula foi usada uma bomba Cole-Parmer do modelo Masterflex KH 07553-80.
Para a GX foram utilizadas as bombas helicoidais e uma garrafa de transferência. Como as bombas helicoidais não podem bombear a GX foi utilizada a garrafa de transferência, para dentro da qual era bombeada água deslocando um pistão e assim a goma, que preenchia o resto da garrafa.
Calibragem das bombas:
Inicialmente a calibragem era feita antes dos testes, criando uma tabela na qual cada marcação do inversor de frequência responsável pela bomba equivalia a uma vazão mássica. Entretanto esse metodo se mostrou ineficiente pois havia pequenas diferenças na GX a cada vez que era feita. Para corrigir esse problema, antes de cada teste é feita uma calibragem com a marcação a ser utilizada. Assim diminuimos o erro entre os cálculos e as imagens.
Controle de tempratura:
Enquanto a GX não é muito sensível à temperatura e, por isso, não precisa ser mantida a uma temperatura exata para o êxito do experimento, o óleo mineral, e a glicerina da validação, newtonianos, variam substancialmente com ela.
Para controlar a temperatura do óleo e da glicerina é usado um banho térmico da marca Nova Ética, modelo 521-3DE com circulação externa, uma mangueira de silicone de 10mm de diâmetro e uma serpentina de aço inox com 6,5mm de diâmetro esterno e 4,5mm de diâmetro interno.
A serpentina foi posicionada dentro do reservatório de óleo e da glicerina de modo que ficasse completamente coberta. A mangueira possui 4 m de comprimento. O banho térmico possui uma vazão de 10 l/min para proporcionar estabilidade na temperatura. A temperatura foi ajustada conforme as condições da sala para garantir que a temperatura medida dentro do reservatório fosse de 25°C. Durante a realização dos testes, um termopar foi posicionado dentro do reservatório para verificar se a temperatura estava constante em 25°C.
Primeiramente é realizada uma calibragem da bomba para se saber a vazão mássica. O material é recolhido no fim da célula, pesado e dividido pelo tempo marcado no cronômetro. A calibragem é realizada ao menos três vezes para assegurar a repetibilidade.
A célula é preenchida com óleo mineral até estar completamente limpa de qualquer resíduo. A célula deve estar nivelada para evitar influência da força gravitacional.
Após o preenchimento é injetada a GX. Para que a injeção se dê em regime permanente, quando a bomba é ligada a válvula que permite a entrada do fluido na célula está ainda fechada e uma de descarte aberta. Quando é alcançado o regime permanente a válvula da célula é aberta e a de descarte fechada simultaneamente.
Quando a goma começa a entrar na célula começamos a gravar. Há duas marcações na célula que representam a área que deve estar em foco e que deve ser levada em consideração quando tratamos as imagens.
Após o teste a célula é preenchida de novo com óleo para garantir que não haja degradação da GX dentro da célula, o que requereria desmontagem dela para lavagem.
Reologia:
As figuras a seguir representam as curvas da evolução da viscosidade com o tempo com taxas de deformações constantes iguais à 0,01 e 1 [1/s], respectivamente. Pode-se observar que a goma xantana é um fluido com características dependentes do tempo, ou seja, possui características tixotrópicas.
A reologia da GX foi obtida com o uso de um reometro AR-G2 da TA Instruments, através do uso da geometria placas paralelas ranhuradas (cross
hatched). Essa geometria foi selecionada para minimizar os efeitos de
deslizamento aparente, os quais comprometem a caracterização reológica.
Os testes foram feitos a 20ºC e a 25ºC o que comprovou que a GX não é muito sensível a mudanças de temperatura.
Parâmetros Valores n [ ] 0,096732 k [Pa•s^n] 13,894 σ [mN/m] - GX 92,4 ρ [kg/m³] - GX 971,9
A viscosidade newtoniana do óleo mineral foi obtida através de um viscosímetro e de um reômetro rotacional para confirmar os resultados. No
Double Couette, essa geometria foi escolhida, pois a viscosidade do óleo é baixa,
sendo assim essa geometria tem mais área de contato com fluido, melhorando assim a precisão dos dados.
Parâmetros Valores
µ [Pa•s] 0,1339
σ [mN/m] - óleo 28,4
ρ [kg/m³] - óleo 867,6
Óleos newtonianos são notoriamente sensíveis a mudanças de temperatura. Por isso a bancada inclui um sistema para mantê-la constante. A figura abaixo mostra a influência da temperatura na viscosidade do óleo.
Equacionamento:
Hele-Shaw é definido como um fluido de Stokes (um tipo de fluido onde as forças de inércia são pequenas comparadas às viscosas, o que resulta em um número de Reynold baixo. Esta é a situação típica onde as velocidades são lentas e as viscosidades são altas) entre duas placas planas paralelas separadas por uma distância muito pequena. Vários problemas da mecânica dos fluidos podem ser aproximados aos fluxos de Hele-Shaw e, portanto, a investigação destes fluxos é importante. A aproximação ao fluxo de Hele-Shaw é especialmente para microfluxo, ou seja, fluxos nos quais o número de Reynolds é tipicamente baixo.
Sendo x e y as direções planares e z a direção perpendicular, com H sendo a distância entre as placas. Quando a distância entre as mesmas é muito pequena diz-se que H → 0, e condiz-seqüentemente nos permite a visualização desdiz-se tipo de fluxo em duas dimensões (bidimensional).
A célula de Hele-Shaw é comumente usada para casos em que o fluido é injetado na geometria, e para estes fluxos as condições de contorno são definidas pela pressão e tensão superficial.
A segunda lei de Newton, para um sistema movendo-se em relação a um sistema de coordenadas inerciais é dada por:
Onde o momento linar é dado por:
Onde F (forças resultantes) = FS +FB, sendo FS as forças de superfície e FB
as forças de campo.
As formulações para sistema e volume de controle são:
que ocorre entre placas paralelas infinitas, considerando o escoamento laminar completamente desenvolvido. As placas estão separadas pela distância a, conforme a Figura 30. O escoamento também é considerado permanente e incompressível. Na condição de não deslizamento na parede, as condições de contorno são:
em y = 0 u = 0 em y = a u = 0
Uma vez que o escoamento é completamente desenvolvido, a velocidade não pode variar com x. Entãom depende apenas de y de modo que u = u(y). Além disso não há componentes de velocidade nas direções y e z (v = ω = 0). Para analise seleciona-se um VC diferencial de tamanho d∀ = dx dy dz e aplica-se à componente x da equação de momento linear.
Hipóteses:
• Escoamento permanente;
• Escoamento completamente desenvolvido; • FBx = 0;
• Escoamento incompressível; • Escoamento laminar.
Assim FSx = 0.
O próximo passo consiste em somer as forças atuando sobre o volume de controle na direção x.
Simplificando:
Onde p é a pressão e τ é a tesão. Integrando-se temos:
Numa forma geral:
Considerando um fluido pseudoplástico, ou seja, um fluido cuja viscosidade varia de acordo com um grau de deformação aplicado, diminuindo com o aumento da tensão. E utilizando o modelo de power-law com n < 1, onde n é o índice de comportamento:
Onde n é o índice de consistência. Assim,
Para y = a:
Devido a importância de escoamentos entre placas paralelas em aplicações de engenharia, Bird et al. [10] desenvolveram uma tabela com a equação de vazão volumétrica para cinco equações constitutivas diferentes, incluindo o modelo
power-law.
Considerando que Q = u A:
Adimensionalização:
A adimensionalização é uma técnica para se ganhar compreensão sobre o escoamento de fluidos (na verdade, sobre muitos fenômenos científicos e de engenharia) antes de se fazer uma análise teórica ou experimental mais extensa; esta técnica capacita também a extrair tendências de dados que, de outra forma, permaneceriam desorganizados e incoerentes.
Para adimensionalizar os parâmetros reológicos e dinâmicos que regem o escoamento foi desenvolvido um modelo de acordo com o seguinte gráfico:
Foi definida uma taxa de deformação característica γ = 1 que é correspondente à taxa de deformação do cruzamento das curvas de viscosidade dos
a do pseudoplástico:
A velocidade adimensional u* é definida como a razão entre a taxa de deformação na parede e a taxa de deformação característica. Este valor equivale à taxa de deformação adimensional:
A viscosidade característica ηc equivale à viscosidade em função da taxa de deformação característica, a qual é a mesma do fluido newtoniano como podemos ver na equação acima.
A viscosidade adimensional η* (γ*) é definida como a razão entre a viscosidade do fluido não newtoniano e a viscosidade característica:
Logo,
Outro parâmetro adimensional que rege o escoamento é o numero de capilaridade reológico, definido abaixo, onde σ é a tensão interfacial. Esse número é representado pela razão entre as forças viscosas e capilares.
O conjunto definido pelos parâmetros u*, n e Ca definem o espectro de situações em que são observados fingers ou plugs. Espera-se que haja a instabilidade de Saffman-Taylor quando u*<1 e η* > 1 para fluidos newtonianos. Caso contrário, espera-se observar uma interface bem comportada com o deslocamento do tipo plug.
Tratamento das imagens:
As imagens abaixo são exemplos de imagens tratadas. O objetivo do tratamento é tornar possível a contagem de pixels. Com o programa de contagem de pixels é possível determinar o volume deslocado em cada uma das situações e também a velocidade do finger.
O primeiro conjunto de imagens representa um caso de Plug, enquanto a segunda representa a instabilidade de Saffman-Taylor.
Claramente, o caso de plug é mais eficiente do que o caso de finger, ja que o
finger é mais estreito, no entanto a velocidade é menor e, por isso, é necessária
uma ponderação para a escolha da melhor vazão para cada caso.
Conclusão:
O trabalho aborda o deslocamento de um fluido newtoniano por outro não newtoniano em uma célula de Hele-Shaw a fim de realizar uma simulação de meio posroso equivalente a reservatórios de petróleo.
No momento faltam resultados, pois recentemente tivemos problemas de incompatibilidade entre duas das formas de medição. A vazão marcada pelas fotos e pela calibragem estão incompatíveis para o fluido não newtoniano, com erros chegando a 100%. No entanto as validações com dois fluidos newtonianos estão compatíveis e apresentam erros menores do que 1%. Após cercarmos e eliminarmos quase todas as fontes possíveis de erro continuamos sem saber a razão dessa discrepância.
No presente momento do projeto estamos tentando descobrir a razão dessa incompatibilidade. Uma possibilidade é que a equivalência com a lei de Darcy na célula de Hele-Shaw não seja válida para fluidos não newtonianos.
Referências Bibliográficas:
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non-Newtonian Hele-Shaw flow. Physical Review E, Volume 54, Number 5, 1996
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3. PARK, C. W., HOMSY, G. M., 2-phase displacement in hele-shaw cells -
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4. MCCLOUD, K. V., MAHER, J. V., Experimental pertubations to saffman-taylor
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5. YAMAMOTO, T., KAMIKAWA, H., TANAKA, H., NAKAMURA, K., MORI,N., Viscous fingering of non-newtonian fluids in a rectangular hele-shaw
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6. LINDNER, A., BONN, D., MEUNIER, J., Viscous fingering in complex fluids.
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7. BONN, D., MEUNIER, J., Viscoelastic free-boundary problems Non-newtonian
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