Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro
Departamento de Engenharias
Estudo Numérico da Hemodinâmica na Artéria Aorta Abdominal
Por
Ricardo Jorge Alves Martins
Dissertação apresentada para a obtenção do grau de Mestre em
Engenharia Mecânica pela Universidade de Trás-os-Montes e Alto
Douro
Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro
Departamento de Engenharias
Estudo Numérico da Hemodinâmica na Artéria Aorta Abdominal
Por
Ricardo Jorge Alves Martins
Orientadores
Prof. Doutor Abel Ilah Rouboa
Prof. Doutor Armando da Assunção Soares
Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro
Departamento de Engenharias
Estudo Numérico da Hemodinâmica na Artéria Aorta
Abdominal
Dissertação de Mestrado em Engenharia Mecânica
Ricardo Jorge Alves Martins
Composição do Júri:
Prof. Doutor Abílio Manuel Pinho de Jesus
Prof. Doutor Armando da Assunção Soares
Prof. Doutor Eliseu Leandro Magalhães Monteiro
iii
Índice
Índice de figuras ... v
Índice de tabelas ... vii
Resumo ... 1
Abstract ... 2
1 Introdução... 3
1.1 Sistema circulatório ... 3
1.2 Aneurismas ... 5
1.2.1 Aneurismas da Aorta Abdominal ... 7
1.2.2 Revisão bibliográfica: hemodinâmica em aneurismas ... 10
2 Equações de governo e método numérico ... 15
2.1 Equações de governo ... 15
2.2 Escoamento laminar numa conduta circular ... 16
2.3 Condições fronteira ... 18
2.4 Método numérico ... 20
3 Geometria e validação ... 24
3.1 Geometria ... 24
3.1.1 Modelos geométricos de aneurismas ... 25
3.2 Validação ... 26
3.3 Escoamento numa conduta 3D... 26
4 Resultados e discussão ... 32
4.1 Distribuição das velocidades... 32
4.1.1 Campo das velocidades ... 32
4.1.2 Perfis das velocidades ... 34
4.2 Perfis das taxas de deformação ... 39
4.3 Distribuição das pressões ... 44
iv
4.3.2 Perfis das pressões ... 46
4.4 Distribuição das tensões de corte nas paredes da artéria ... 48
4.4.1 Perfis das tensões de corte nas paredes da artéria ... 50
5 Conclusão ... 55
v
Índice de figuras
Figura 1.1 - Esquema da circulação sanguínea [1]. ... 3 Figura 1.2 - Representação esquemática da artéria Aorta abdominal com e sem aneurisma [2]. ... 4
Figura 1.3 - Representação esquemática da artéria Aorta Abdominal com e sem aneurisma [4]. ... 5
Figura 1.4 - Exemplo de dilatação permanente e localizada [5]. ... 6 Figura 1.5 – Tensão de corte na parede associada a diferentes patologias, retirada de [14] e alterada. ... 9
Figura 1.6 – Classificação dos Aneurismas [18]. ... 10 Figura 2.1 - Perfil da velocidade para um escoamento completamente desenvolvido numa conduta circular. ... 16
Figura 2.2 - Modelo geométrico da artéria Aorta Abdominal sem aneurisma. .. 19 Figura 3.1 - Dimensões da artéria Aorta Abdominal, retirada de [35] e alterada. ... 24 Figura 3.2 - Artéria Abdominal sem aneurisma com linhas para estudo do comportamento hemodinâmico. ... 24
Figura 3.3 - Aneurisma A1: aneurisma localizado na Aorta Torácica ... 25 Figura 3.4 - Aneurisma A2: aneurisma localizado antes da bifurcação da Ilíacas. ... 25 Figura 3.5 - Aneurisma A3: aneurisma localizado sobre as entradas das artérias Renais ... 25
Figura 3.6 Aneurisma A4: aneurisma localizado sobre a artéria Renal Esquerda ... 25 Figura 3.7 - Aneurisma A5: aneurisma localizado sobre a bifurcação das artérias Ilíacas. ... 26
Figura 3.8 - Esquema do desenvolvimento do escoamento no interior de uma conduta circular, adaptado de [40]. ... 26
Figura 3.9 - Comparação entre os perfis das velocidades para as quatro malhas estudadas e o perfil teórico, em quatro posições do escoamento em desenvolvido ao longo do tubo: a) 1 m, b) 2 m, c) 3 m e d) 4 m. ... 28
Figura 3.10 - Resultados do fator de atrito médio ao longo da parede da conduta. ... 30
vi Figura 4.1 - Distribuição do campo das velocidades (m/s) na artéria Aorta
Abdominal sem e com aneurisma. ... 33
Figura 4.2 - Perfis das velocidades ao longo da linha L1. ... 34
Figura 4.3 - Perfis das velocidades ao longo da linha L2. ... 35
Figura 4.4 - Perfis das velocidades ao longo da linha L3. ... 36
Figura 4.5 - Perfis das velocidades ao longo da linha L4. ... 36
Figura 4.6 - Perfis das velocidades ao longo da linha L5. ... 37
Figura 4.7 - Perfis das velocidades ao longo da linha L6. ... 37
Figura 4.8 - Perfis das velocidades ao longo da linha LR. ... 38
Figura 4.9 - Perfis das velocidades ao longo da linha LI. ... 39
Figura 4.10 - Perfil da taxa de deformação ao longo da linha L1... 40
Figura 4.11 - Perfil da taxa de deformação ao longo da linha L2... 40
Figura 4.12 - Perfil da taxa de deformação ao longo da linha L3... 41
Figura 4.13 - Perfil da taxa de deformação ao longo da linha L4... 41
Figura 4.14 - Perfil da taxa de deformação ao longo da linha L5... 42
Figura 4.15 - Perfil da taxa de deformação ao longo da linha L6... 42
Figura 4.16 - Perfil da taxa de deformação ao longo da linha LR. ... 43
Figura 4.17 - Perfil da taxa de deformação ao longo da linha LI. ... 44
Figura 4.18 - Distribuição do campo de pressões (Pa) na artéria Aorta Abdominal sem e com aneurisma localizado em várias posições a), b), c), d), e), f). ... 45
Figura 4.19 - Perfil da pressão ao longo da linha L6 ... 46
Figura 4.20 - Perfil da pressão ao longo da linha LR. ... 47
Figura 4.21 - Perfil da pressão ao longo da linha LI... 47
Figura 4.22 - Distribuição das tensões de corte nas paredes (Pa) da artéria Aorta Abdominal sem e com aneurisma. ... 49
Figura 4.23 - Identificação das linhas ao longo das paredes da Artéria Abdominal usadas no estudo das tensões de corte nas paredes. ... 50
Figura 4.24 - Tensões de corte na parede ao longo da linha L7. ... 50
Figura 4.25 - Tensões de corte na parede ao longo da linha L8. ... 51
Figura 4.26 - Tensões de corte na parede ao longo da linha L9. ... 51
Figura 4.27 - Tensões de corte na parede ao longo da linha L10. ... 52
vii
Índice de tabelas
Tabela 2.1 - Diâmetros, velocidades médias, caudais e números de Reynolds em cada uma dos ramos da artéria Abdominal: AT= artéria Torácica, RE= Renal Esquerda, RD= Renal Direita, IE= Ilíaca Esquerda, ID= Ilíaca Direita. ... 20
Tabela 3.1 - Número de nós das malhas não estruturadas. ... 27 Tabela 3.2 - Diferença relativa percentual para as velocidades máximas dos quatro perfis analisados, em função da resolução das malhas. ... 29
Tabela 3.3 - Fator de atrito médio, na região completamente desenvolvida (3-4 m), em função da resolução da malha. ... 30
Tabela 4.1 - Tensões de corte médias nas paredes da Aorta Abdominal para os diferentes casos de estudo... 53
1
Resumo
Esta tese tem como principal objectivo estudar numericamente a interacção fluido-estrutura entre o escoamento sanguíneo e a porção da artéria Aorta denominada Aorta Abdominal, com e sem aneurismas. Para este efeito são utilizados vários modelos geométricos simplificados da artéria Aorta Abdominal com aneurismas idênticos, localizados em diferentes posições ao longo da artéria. Para os modelos geométricos utilizados são estudadas as distribuições das tensões de corte nas paredes da artéria,das velocidades, das taxas de deformação e das pressões para o escoamento sanguíneo analisado. Este estudo restringe-se a um escoamento caracterizado por uma velocidade típica do ciclo cardíaco normal, correspondente ao número de Reynolds 2222,5 na entrada da artéria Aorta Torácica. Em toda a artéria o regime de escoamento permanece laminar e estacionário. Os resultados obtidos para os modelos geométricos simplificados da Aorta Abdominal com aneurismas são comparados, nas mesmas condições, com os resultados obtidos para o modelo da Aorta Abdominal sem aneurismas a fim de compreendermos como é que a localização dos aneurismas afeta a hemodinâmica na Aorta Abdominal.
2
Abstract
This thesis has as main objective to study numerically the fluid-structure interaction between the blood flow and the portion of the artery called the Aorta Abdominal artery, with and without aneurysms. For this purpose are used various simplified geometric models of the Abdominal Aortic artery with identical aneurysms located at different positions along the artery. The geometric models are used to study the distribution of wall shear stresses, velocities, strain rates and pressures for the blood flow analyzed. This study is restricted to a flow characterized by a typical velocity of the normal cardiac cycle corresponding to the Reynolds number 2222.5 at the entrance of the Thoracic Aorta. Throughout the artery the flow regime remains laminar and steady. The results obtained for the simplified geometric models of the Abdominal Aortic with aneurysms are compared, in the same conditions, with the results obtained for the model without aneurysm to understand how the location of the aneurysms affects the hemodynamics in the Abdominal Aorta.
3
1 Introdução
1.1 Sistema circulatório
A circulação sanguínea no sistema cardiovascular processa-se de forma contínua e é capaz de proporcionar um adequado transporte de oxigénio e substâncias nutritivas aos diferentes órgãos do corpo, participa na remoção de dióxido de carbono e de substâncias tóxicas, bem como no transporte de hormonas e na distribuição das defesas imunológicas do organismo. É também responsável pelo controlo da temperatura do corpo através do transporte do sangue até as periferias do corpo.
O movimento sanguíneo é impulsionado pelo coração que conduz o sangue da sua parte direita para os pulmões, onde é oxigenado, e recebe-o na sua parte esquerda (aurícula esquerda e ventrículo esquerdo). Depois é ejectado para todo o corpo (através das artérias), retomando de novo à parte direita pelas veias.
Circulação Pulmonar - A circulação pulmonar ou pequena circulação inicia-se no tronco da artéria pulmonar, seguindo pelos ramos das artérias pulmonares, arteríolas pulmonares, capilares pulmonares, vénulas pulmonares, veias pulmonares e desagua na aurícula esquerda do coração. Na sua primeira porção, transporta sangue venoso.
Nos capilares pulmonares o sangue é saturado em oxigénio, transformando-se em sangue arterial. Esta inicia-se no ventrículo direito e encerra na aurícula esquerda.
Circulação sistémica - A circulação sistémica ou grande circulação inicia-se na Aorta, seguindo pelos seus ramos arteriais e na sequência pelas arteríolas sistémicas, capilares sistémicos, vénulas sistémicas e veias sistémicas, que se unem em dois grandes troncos, a veia cava inferior e a veia cava superior.
Ambas desaguam na aurícula direita do coração. A sua primeira porção transporta sangue arterial. Nos capilares sistémicos o sangue perde oxigénio para os tecidos e aumenta o seu teor de gás carbónico (dióxido de carbono e outros), passando a ser sangue venoso.
A Aorta é um órgão complexo com múltiplas funções e o maior condutor vascular de nosso corpo. Ela recebe todo o sangue enviado pelo ventrículo esquerdo do coração, distribuindo-o para todo o corpo, com excepção dos dois
pulmões. A Aorta ramifica-se em artérias menores ao longo de seu trajecto, desde o Figura 1.1 - Esquema da circulação sanguínea [1].
4 ventrículo esquerdo até a parte inferior do abdómen, ao nível da porção superior do osso do quadril (região pélvica).
A Aorta divide-se em quatro partes, que são:
A Aorta ascendente: porção que sai do coração e se encaminha em direcção à cabeça.
Crossa da Aorta: também chamada de arco da Aorta, é a porção compreendida entre a Aorta ascendente e a Aorta Torácica, esta porção muda a direcção da Aorta, fazendo com que esta se dirija para as pernas do ser humano.
A Aorta Torácica: que é a porção localizada no tórax, termina na porção onde surge o tronco celíaco.
A Aorta Abdominal: porção localizada no abdómen, nesta região localiza-se a maior parte dos aneurismas, esta porção estende-se até a ramificação das artérias ilíacas, ramificação esta que é responsável pelo transporte do sangue aos membros inferiores.
As várias particularidades do sistema circulatório e os inúmeros problemas de saúde que o envolvem exigem um estudo minucioso para conhecer de modo particular, o comportamento da hemodinâmica nos vasos sanguíneos por forma a melhorar os tratamentos e o planeamento das intervenções cirúrgicas, bem como as orientações de prevenção de problemas cardiovasculares. É neste estudo do comportamento da interacção fluido-estrutura que as ciências da engenharia e tecnologias podem dar um contributo no sentido de melhor compreensão da hemodinâmica no interior do corpo humano, o que por sua vez irá potenciar o aparecimento de novas técnicas de intervenção médica.
5
1.2 Aneurismas
Dentro dos problemas associados à artéria Aorta os aneurismas estão entre aqueles que podem ser melhor intervencionados se for bem compreendido o efeito da hemodinâmica nas tensões de corte desenvolvidas nas paredes e consequentemente na dilatação da artéria, ou seja na formação e crescimento dos aneurismas. De uma forma geral, os aneurismas são definidos como uma dilatação da parede arterial maior do que 50% do seu diâmetro normal, como esquematizadona Figura 1.3. É uma doença grave quena maior parte dos casos não apresenta sintomas [3].
Figura 1.3 - Representação esquemática da artéria Aorta Abdominal com e sem aneurisma [4].
Os aneurismas são divididos em dois tipos:
-Aneurismas que provocam uma dilatação pura da parede arterial. A expansão pode ser fatal se o tecido arterial sofrer ruptura.
-Aneurismas causados por dissecção. A dissecção (separação das camadas internas e externas da parede do vaso) ocorre quando o sangue vasa para o meio da parede através de uma laceração no seu revestimento interno. Na dissecção da Aorta, o sangue penetra na íntima e entra na camada média. A alta pressão rasga os tecidos da camada média, permitindo que mais sangue entre no espaço criado. Isso pode se propagar ao longo do comprimento da Aorta por uma distância variável, dissecando em direção ou na direção contraria ao coração, ou em ambas as direções. O rasgão inicial geralmente está a 100 mm da válvula aórtica (separa o ventrículo esquerdo do coração da artéria Aorta). O risco da dissecção da Aorta pode levar ao rompimento da Aorta, levando a uma perda massiva de sangue, o que resultará na morte o paciente.
6 Figura 1.4 - Exemplo de dilatação permanente e localizada [5].
A dissecção aguda da Aorta, também chamada de aneurisma dissecante da Aorta, é uma condição frequentemente fatal. O enfraquecimento da parede arterial é responsável pela maior parte dos casos de dissecção aórtica aguda. A causa mais comum é a hipertensão arterial, a qual está presente em mais de dois terços dos pacientes que apresentam dissecção da Aorta. As outras causas incluem os distúrbios hereditários do tecido conjuntivo, defeitos congénitos do coração e dos vasos sanguíneos. Teoricamente, qualquer indivíduo que apresenta uma dissecção aórtica aguda sente dor, a qual geralmente é de forte intensidade e de início súbito.
Como actualmente não existem meios disponíveis para inverter as anormalidades genéticas e bioquímicas associadas ao desenvolvimento dos aneurismas, isto é, ainda não existe medicação para prevenir a degeneração da parede da Aorta, sendo que o único método efectivo é a colocação de uma prótese biológica, que apenas é utilizada em casos de infecção [3].
Por muitos anos foi considerado que o aneurisma de Aorta Abdominal fosse o resultado do processo degenerativo aterosclerótico na Aorta humana. Tanto o aneurisma quanto a aterosclerose, ambos aumentaram suas prevalências com a idade, esta suposição foi aceita prontamente pela maioria dos médicos. Porém, evidências clinicas e bioquímicas compilaram na última década causas diferentes e sugerem que factores hereditários e mudanças bioquímicas podem representar um papel dominante na etiologia de aneurisma de Aorta Abdominal na maioria dos doentes (estes estudos ainda não são conclusivos).
Múltiplas investigações genéticas de aneurisma da Aorta sugerem que possa ser uma doença hereditária.
7 Pesquisas recentes têm demonstrado que as mudanças estruturais da parede da Aorta podem ser decorrentes da degradação por enzimas.
Actualmente, sem meios identificáveis disponíveis para inverter as anormalidades genéticas e bioquímicas associadas com o desenvolvimento dos aneurismas, não se pode prevenir com medicamentos a degeneração da parede da Aorta e nem a eventual ruptura. O único tratamento efectivo actualmente conhecido para prevenir ruptura do aneurisma da Aorta é a interposição na artéria aneurismática de prótese artificial na maioria dos casos, sendo que a prótese biológica é usada nos casos de infecção.
1.2.1 Aneurismas da Aorta Abdominal
O aneurisma de Aorta Abdominal (AAA) é causado por um processo degenerativo não específico (comummente considerado aterosclerótico) em 95% dos doentes; raramente são de outras etiologias como: trauma, sífilis, inflamatório, micótico e Síndrome de Marfan.
A maioria dos aneurismas ateroscleróticos incide entre a sexta e a sétima década de vida.
A taxa de mortalidade cirúrgica é cerca de 50 % dos pacientes que chegam vivos ao hospital, aquando da ruptura da artéria. O aneurisma da Aorta Abdominal é a 10ª causa de morte em todo o mundo [6].
Segundo noticia avançada pelo Público a 22 de Julho de 2012, “(…) os resultados permitiram confirmar com mais detalhe os factores de risco presentes na população”. De acordo com Armando Mansilha, “mais de metade dos rastreados são ou foram fumadores (51,8%), mais de 60% revelaram sofrer de hipertensão e 46% acusaram colesterol elevado”. Já os indicadores de risco – doença coronária e doença carotídea, que permitem avaliar o risco de enfarte e de acidente vascular cerebral – foram avaliados em 17% e 7,8%, respectivamente [7].
A incidência do aneurisma da Aorta Abdominal é de 30 a 66 casos por 1000 habitantes, no entanto, pesquisas realizadas na Universidade de Yale mostram que a maioria dos aneurismas cresce cerca de 0,12 cm por ano, apresentando um crescimento muito lento, podendo, então, esse aneurisma, ter começado a formar-se durante a juventude do paciente [8].
8 A compreensão completa do escoamento sanguíneo nos ramos arteriais pode ser importante no que toca à detecção e tratamento de aneurismas.
Segundo um estudo feito por Baptista-Silva J.C.C [9] doentes com hipertensão arterial diastólica (maior que 100/150 mmHg) têm maior probabilidade de sofrer de uma rutura de aneurisma. O estudo mostrou que 67% dos doentes com ruptura de aneurisma da Aorta Abdominal, eram doentes com hipertensão. Nos restantes doentes a rutura estava presente em apenas 23%. A pressão sanguínea diastólica parece ser um preditor mais eficiente da rutura do aneurisma do que a pressão sanguínea sistólica. Numa revisão de 75 casos de AAA não operados, 75% dos doentes que tiveram morte por ruptura do aneurisma tinham hipertensão diastólica.
A estrutura da parede do vaso sanguíneo estão sujeitas aos impactos das forças hemodinâmicas geradas pelo escoamento de sangue através das artérias. Fry (1968) [10] sugere que as regiões sujeitas a alta tensão de corte podem causar lesões na mecânica da parede do vaso sanguíneo. Caro et al (1971) [11] afirmam que nas regiões de baixa tensão de corte nas paredes ocorre aterosclerose devido à baixa difusão mássica de lipídeos e dessa maneira permite um maior tempo de contato entre as moléculas de lipídeos e a parede da artéria. Regiões de escoamento com baixa velocidade de recirculação são fortemente susceptíveis a formação de trombo [12].
De acordo com Wang (2001) [13] o endurecimento das artérias está associado à aterosclerose, ou seja, com isso as artérias sujeitas a esta patologia apresentam distúrbios que tem como consequência o espessamento e a perda de elasticidade de suas paredes. A tensão de corte e a pressão na parede apresentam-se como características importantes para entender as consequências da característica do escoamento sobre as células endoteliais dos vasos sanguíneos. Estas células estão permanentemente expostas às tensões de corte. Dependendo da magnitude das tensões de corte, estas tensões podem estar dentro de uma gama considerada prejudicial às células endoteliais, ver Figura 1.5, [14]. A gama de valores normais, de um padrão fisiológico, para as tensões de corte situa-se entre 1,0 a 7,0 Pa. Por outro lado, quando estes valores das tensões de corte aumentam para valores maiores do que 10 Pa, existe uma predisposição para a trombose. Quando as tensões crescem para valores maiores do que 35 Pa, ocorre a lesão e denudação do endotélio. Para tensões de corte baixas com valores da ordem de -0,4 a +0,4 Pa estão associados com o aparecimento de aterogénese. Segundo o estudo “United Kingdom Small Aneurysm Trial” UKSAT a ruptura do aneurisma está
9 associada com maiores valores da pressão sanguínea média [15, 16]. Isto pode ser explicado qualitativamente devido ao efeito da hemodinâmica, com maior carga de pressão arterial média, na parede do aneurisma com consequente enfraquecimento desta.
Figura 1.5 – Tensão de corte na parede associada a diferentes patologias, retirada de [14] e alterada.
Segundo [17] a maioria dos aneurismas da artéria Aorta Abdominal localiza-se na zona infra-renal. Um aneurisma pode ser caracterizado pela sua forma. Podendo ser: fusiforme, sacular ou dissecante (falso aneurisma) (Figura 1.6). O fusiforme apresenta uma forma quase simétrica em torno da artéria e frequentemente estão localizados na Aorta Abdominal ou na artéria poplítea, o aneurisma sacular tem a forma de um saco que cresce numa dada direcção para fora da artéria e é predominantemente encontrado nas principais artérias da circulação cerebral, o falso aneurisma resulta de um hematoma expandido proveniente de um furo na parede arterial, com a consequente ruptura da parede arterial e extravasamento de sangue que é contido pelos tecidos vizinhos [18]. Por outro lado, outros estudos mostram que as tensões de corte normalizadas nas paredes para aneurismas saculares da Aorta descendente Torácica são maiores do que para aneurismas do tipo fusiforme, indicando que os fatores geométricos, como a forma do aneurisma influenciam as tensões de corte nas paredes da artéria. Estes resultados sugerem que os aneurismas saculares podem ser mais propensos à ruptura do que os aneurismas fusiformes de diâmetro similar.
10 Figura 1.6 – Classificação dos Aneurismas [18].
1.2.2 Revisão bibliográfica: hemodinâmica em aneurismas
A evolução dos computadores possibilitou a realização de simulações da dinâmica dos fluidos para além de duas dimensões em sistemas complexos. Por exemplo, Yung et al.(1990) [19] e Thiriet et al.(1992) [20] previram os padrões de fluxo estacionário para um modelo tridimensional simétrico da bifurcação aórtica para números de Reynolds (Re) compreendidos entre 100 e 1600. Ambos os grupos de investigadores observaram que o movimento do fluxo secundário tinha um efeito significativo sobre o perfil de velocidades axiais, as regiões e as zonas de separação de recirculação dos vasos secundários. Xu et al. (2007) [21] relatou resultados similares para os escoamentos fisiológicos através modelos tridimensionais na bifurcação femoral [22].
Até cerca do ano 2000 as simulações numéricas da hemodinâmica na artéria Aorta eram na sua maior parte dos casos limitadas a uma única ramificação da artéria, (e.g. Rindt e Van Steenhoven (1998) [23], Perktold et al. (1996) [24]), embora na prática, a maioria das artérias sejam multi-ramificadas e possuem ramos muito próximos, o que dificulta a análise dos campos de escoamento.
Taylor et al. (1998, 1999) [25, 26] empregaram o método numérico de elementos finitos para estudarem numericamente os fluxos tridimensionais na artéria Aorta
11 Abdominal. Nesse estudo, considerou-se o fluxo sanguíneo estacionário num modelo da Aorta Abdominal com quatro ramos. Foram obtidos os campos para os escoamentos e o seucomportamento foi discutido do ponto de vista da mecânica dos fluidos.
Características do escoamento laminar e pulsátil em modelos de aneurismas da Aorta Abdominal (AAA) com paredes rígidas foram investigados computacionalmente por Yu et. al. (1999) [27], para números de Reynolds 200-1600 e números de Womersley de 17-22. Foram feitas, também, algumas comparações com medições velocimétricas obtidas de imagens de partículas sob as condições de escoamento pulsado e analisadas as características do fluxo mássico médio e a distribuição das tensões de corte nas paredes. Verificaram que o aparecimento de vórtices em diferentes fases de um ciclo do escoamento causa variações espaciais e temporais significativas nas tensões de corte nas paredes e nas distribuições da pressão estática. As tensões de corte mais elevadas apareceram normalmente nas extremidades da protuberância, a montante e a jusante. Também observaram que os efeitos do aumento da pressão causados pelo aumento da área da secção transversal foram transmitidos para jusante ao longo do tubo.
Varghese S. S. e Frankel S. H. (2003) [28] estudaram escoamentos pulsados, em regime turbulento, em vasos estenóticos recorrendo à modelação numérica a partir de uma abordagem das equações de Navier- Stokes médias no tempo (RANS - Reynolds Averaged Navier-Stokes equations). Foram utilizados dois modelos envolvendo escoamentos pulsados através de estenoses axis simétricas. Usaram quatro modelos de turbulência diferentes para estudar a sua influência nos resultados. Verificaram que o modelo de turbulência k - Omega de números de Reynolds baixos mostrou estar em melhor acordo com os resultados experimentais do que ambas as versões de baixo e alto número de Reynolds do modelo RNG (renormalizationgroup theory) de turbulência k -epsilon e o padrão k- -epsilon, no que respeita à previsão do fluxo médio afastado da estenose, incluindo aspectos do processo de formação de vórtices e do campo de escoamento turbulento. Todos os modelos previram o aparecimento de um pico de tensão de corte na parede, na garganta da estenose, com valores mínimos observados longe da estenose, onde ocorreu a separação do escoamento.
Para escoamentos em regime estacionário na veia Porta com e sem estenose Soares A. A. et al (2011) [29] fizeram o estudo dos efeitos não newtonianos na hemodinâmica recorrendo à comparação dos resultados obtidos com os modelos de viscosidade newtoniana, da lei de potência e de Carreau. Desse estudo resultou uma
12 análise comparativa da distribuição do campo de velocidades, das tensões de corte nas paredes e da viscosidade.
Scotti C. M. et al. (2005) [30] obtiveram resultados quantitativos para a mecânica da parede, dos picos de tensões de corte nas paredes devido aos efeitos da assimetria dos aneurismas e da espessura da parede bem como para os padrões de escoamento. Esses parâmetros afetam a magnitude das distribuições das tensões de Von Mises (proporcionais à energia de distorção). Variando a espessura da parede aumenta o valor máximo quatro vezes a magnitude das tensões de Von Mises quando comparado com uma parede de espessura uniforme nas mesmas condições. Observaram um pré-pico de fluxo retrógrado durante a sístole no saco do aneurisma da artéria Aorta Abdominal para todos os modelos, o que é explicado pela energia elástica armazenada na parede arterial e pela força de expansão da artéria durante a sístole.
Frauenfelder T. et al. (2007) [31] analisaram numericamente o escoamento sanguíneo na artéria Aorta a fim de estudarem os mecanismos que conduzem ao aparecimento do aneurisma aórtico e avaliarem o risco de rutura, com o objetivo de descrever o efeito da terapia de intervenção. A análise numérica foi baseada em modelos virtuais de estruturas vasculares e em características físicas da parede do vaso e do escoamento sanguíneo. Utilizando esta informação, foram resolvidas as equações de governo apropriadas. Os resultados foram analisados quantitativamente e qualitativamente. Os resultados da simulação mostraram que para o escoamento em aneurismas da artéria Aorta Abdominal a pressão da parede é de importância vital para avaliar o risco de ruptura, e que depende de vários fatores, sendo um deles a localização dos trombos intraluminais. Em modelos de aneurismas após o stent, a análise numérica pode ser usada para avaliar os factores de migração da prótese. Embora a análise numérica do escoamento sanguíneo na Aorta ainda tenha várias limitações, estudos recentes têm vindo a demonstrar que este método tem potencial, num futuro próximo, para melhorar a estimativa do risco de ruptura do aneurisma da Aorta.
A ruptura de aneurismas da artéria Aorta Abdominal é a manifestação clínica de uma força superior à induzida pela resistência proporcionada pela parede arterial. Esta força é frequentemente assumida como sendo o resultado de uma pressão luminal uniforme que atua ao longo da parede doente. Tendo em conta que a dinâmica de fluidos é um fator conhecido da patogénese dos aneurismas da artéria Aorta Abdominal, e da interação dinâmica do escoamento sanguíneo com a parede arterial Scotti C. M. et al (2008) [32], estudaram a importância da pressão sanguínea para estimar os picos de
13 pressão dentro do saco do aneurisma e os seus efeitos na mecânica da parede do AAA, em comparação com a pressão não uniforme resultante de uma interação fluido-estrutura. Além disso, foi utilizado o método de elementos finitos para estimar os efeitos da assimetria e da espessura da parede nas tensões de corte na parede, no estudo da dinâmica do fluido em dez modelos de AAA idealizados e um de controlo sem aneurisma. Foram usados cinco graus de assimetria, com espessura da parede uniforme e variável. Cada um foi modelado sob uma análise da pressão-deformação estática, bem como para uma interação fluido-estrutura em regime transiente. Os resultados mostram que a introdução de um escoamento produz uma tensão máxima na parede do AAA até 20% superior em comparação com a obtida com uma análise estática para as tensões na parede com uma pressão luminal com pico de 117 mmHg. Os modelos com parede variável têm tensões de corte máximas na parede cerca de quatro vezes maior do que para uma parede com espessura uniforme. Este comportamento, também, aumenta com a assimetria em ambos os casos. A introdução de um estiramento axial e de uma pressão externa do domínio computacional diminui em 17% as tensões na parede.
É comum na prática clínica actual considerar o diâmetro do aneurisma um dos principais critérios para decidir quando se deve tratar um paciente com um aneurisma na artéria da Aorta Abdominal. Tem sido demonstrado que a simples associação do diâmetro do aneurisma com a probabilidade de ruptura não é suficiente, e que outros parâmetros podem também desempenhar um papel na predisposição para provocar ruptura do AAA. Os picos das tensões de corte na parede, os trombos intraluminais e a mecânica da parede do AAA são dos fatores mais implicados com risco de ruptura e têm sido estudados por técnicas computacionais para avaliar o risco de ruptura. Georgakarakos E. et al. (2011) [33] examinaram os fatores que podem influenciar a ruptura do AAA. A taxa de ruptura entre a previsão de modelos computacionais depende do nível de complexidade do modelo e do valor preditivo dos parâmetros biomecânicos utilizados para avaliar o risco, tais como tensões de corte na parede, a distribuição de trombos intraluminais, a resistência da parede, e o local de ruptura. Indicam ainda a necessidade de recorrer a geométricas simples análogas, e de incluir parâmetros geométricos (por exemplo, tortuosidade do lúmen, comprimento do pescoço do aneurisma e angulação) que se correlacionam bem com as tensões de corte na parede, conjugados com os factores de risco clínicos para a construção de modelos de previsão de risco de ruptura. Tais modelos devem ser suportados por técnicas de
14 imagem inovadoras que forneçam os dados específicos do paciente necessários e validados através de ensaios clínicos de larga escala, em estudos clínicos prospectivos.
Mais recentemente Soudah E. et al. (2013) [34] usaram a dinâmica de fluidos computacional (CFD) para estudar a correlação entre o aneurisma da artéria Aorta Abdominal com parâmetros geométrico, tensão de corte nas paredes, padrões de escoamentos, trombos intraluminais e com a ruptura da parede arterial da AAA. Foram criados modelos reais 3D da AAA a partir de reconstruções tridimensionais (3D) de imagens de tomografia computadorizada de 5 pacientes adquiridas in vivo. Baseado em modelos 3D da AAA, foram criadas malhas de alta qualidade em todo o domínio. Para quantificar as tensões de corte nas paredes e a recirculação dentro do AAA, foi utilizado o método de elementos finitos. O cálculo foi realizado assumindo que a parede arterial é rígida, o sangue é um fluido newtoniano homogéneo com uma massa volúmica de 1050 kg/m3 e com uma viscosidade dinâmica de 4 × 10-3 Pa.s. A relação entre os parâmetros geométricos da AAA (índice de assimetria (β), índice sacular (γ), razão de deformação do diâmetro (χ), e índice de tortuosidade (ε)) e as pressões hemodinâmicas foi analisada, e foi usada como um indicador do potencial de rutura da parede arterial do AAA e de formações de trombos intraluminares.
As simulações numéricas de escoamento sanguíneo têm trazido contribuições significativas na análise de distribuições de tensão de corte ao longo das paredes dos vasos sanguíneos e também tem vindo a ajudar em projectos de optimização de produtos utilizados directamente em veias e artérias, como por exemplo, stents e clamps cirúrgicos.
15
2 Equações de governo e método numérico
2.1 Equações de governo
Nesta secção descrevem-se as equações governativas usadas nas simulações computacionais do escoamento sanguíneo nos modelos simplificados da artéria Aorta Abdominal com e sem aneurisma. Assim, o primeiro passo consiste, essencialmente, em identificar as equações fundamentais que descrevem em linguagem matemática os princípios físicos relacionados com estudo em causa. Neste caso, foram resolvidas as equações de Navier-Stokes para fluidos newtonianos e incompressíveis em regime estacionário [29, 35, 36]. As equações governativas são definidas pela equação de continuidade. 0 y x v z v v x y z (2.1)
e as equações da quantidade de movimento:
2 2 2 2 2 2 x x x x x x y z x x v v v p v v v v v v g x y z x x y z (2.2) 2 2 2 2 2 2 y y y y y y x y z y v v v p v v v v v v g x y z y x y z (2.3) 2 2 2 2 2 2 z z z z z z x y z z v v v p v v v v v v g x y z z x y z (2.4)
onde x, y e z são as coordenadas espaciais, ρ (kg/m3)a massa volúmica, µ (Pa.s) a viscosidade dinâmica, p (Pa) a pressão estática e g (m/s2) a aceleração da gravidade. As componentes da velocidade (m/s) nas direções x, y e z são representadas por 𝑣𝑥, 𝑣𝑧 e 𝑣𝑦, respetivamente.
16
2.2 Escoamento laminar numa conduta circular
A solução analítica do perfil da velocidade para o escoamento numa conduta circular pode ser obtido a partir das equações de Navier-Stokes aplicadas a este escoamento. Uma vez que o escoamento é axi-simétrico é frequente o perfil das velocidades ser apresentado em coordenadas cilíndricas de acordo com a seguinte equação [36, 37]
Figura 2.1 - Perfil da velocidade para um escoamento completamente desenvolvido numa conduta circular.
2 2
1 ( ) 4 x dp v r R r dx , (2.5) onde, dx dp, representa o gradiente de pressão, R indica o raio da conduta, r a posição radial e
a viscosidade dinâmica do sangue. A velocidade máxima situa-se no centro da conduta, isto é, quando r é nulo. Assim a velocidade máxima é dada por,2 1 (0) 4 x dp v R dx . (2.6)
O caudal é dado por,
0 4 2 2 0 ( ) 2 1 2 4 8 R x A R Q v dA v r rdr dp R dp r R rdr dx dx
(2.7)17 Então, tendo em conta que QvR2 temos
2 8 dp v dx R , (2.8)
onde, v é a velocidade média.
Substituindo a equação (2.8) em (2.6) temos que a velocidade máxima
(0) 2 x
v v . (2.9)
Da equação (2.5), (2.8) e (2.9) obtemos o perfil das velocidades dado por,
2 ( ) 2 1 x r v r v R . (2.10)
Tendo em conta a equação (2.5), o perfil da tensão de corte é dado por,
= = 2 x rx dv r dp dr dx . (2.11)
O valor máximo de tensão de corte,cp, em valor absoluto, ocorre nas paredes. Assim, para r = R, temos
( ) 2 cp rx R dp r R dx . (2.12) Da equação (2.8) obtemos, 4 cp v R . (2.13)
Tendo em conta a equação (2.12), o fator de atrito nas paredes da conduta é definido por,
18 2 2 1 2 cp dp R f dx v v . (2.14)
Esta equação expressa a perda de energia por atrito nas paredes da conduta, traduzida em queda de pressão no escoamento.
Se a perda de carga for medida entre dois pontos com uma distância L entre si, pode ser definido um fator de atrito médio nas paredes da conduta de comprimento L, isto é, tendo em conta a equação (2.8) e que −𝑑𝑝
𝑑𝑥 = 𝛥𝑝 𝐿 podemos escrever 2 8 16 p R f L v v d Re , (2.15)
onde d é o diâmetro da conduta e Re o número de Reynolds dado por
v d Re
. (2.16)
2.3 Condições fronteira
Para resolução numérica das equações de governo que regem o escoamento sanguíneo na artéria Aorta Abdominal além do domínio computacional definido pela geometria da artérias (ver figura 2.2 para o caso da Aorta Abdominal sem aneurisma) e das propriedades do sangue (massa volúmica 1060 kg/m3 e viscosidade dinâmica 0,00345 Pa.s) é necessário definirmos as condições fronteira para cada um dos domínios computacionais usados. O sangue é considerado um fluido incompressível e isotérmico com propriedades constantes. O escoamento ocorre ao longo da artéria Aorta Abdominal desde a entrada na Aorta Torácica até às saídas nas artérias Renais ou nas artérias Ilíacas, ver figura 2.2.
19 Figura 2.2 - Modelo geométrico da artéria Aorta Abdominal sem aneurisma.
Entrada
Na entrada da artéria Aorta Abdominal considera-se o perfil da velocidade completamente desenvolvido de acordo com a equação (2.10). Onde a velocidade média é 0,3288 m/s, correspondente ao número Reynolds e caudal 2222,5 e 7,5 l/min, respetivamente, tendo em conta que o diâmetro da artéria na entrada é de 22 mm [35]. A velocidade média usada neste estudo corresponde a uma das velocidades adquiridas pelo sangue na artéria Torácica durante cada um dos ciclos cardíacos, ver figura 2.3, [34].
Figura 2.3 – Velocidade na entrada da Aorta Abdominal correspondente ao ciclo cardíaco, adaptado e alterado de [34].
Saídas
Para as saídas impõe-se que a soma dos caudais nas quatro saídas seja igual ao caudal na entrada. Para esta situação é escolhida, no programa Fluent, a condição fronteira outflow. A tabela 2.1 mostra as características dos escoamentos em cada um dos ramos da artéria Aorta Abdominal e os respectivos diâmetros.
Renal Direita entrada
Aorta Torácica
Renal Esquerda Ilíaca Esquerda
20 Tabela 2.1 - Diâmetros, velocidades médias, caudais e números de Reynolds em cada um dos ramos da artéria Abdominal: AT= artéria Torácica, RE= Renal Esquerda, RD= Renal Direita, IE= Ilíaca Esquerda, ID= Ilíaca Direita.
d (mm) v (m/s) Q (l/min) Re AT 22,0 0,3288 7,500 2222,5 RE 8,8 0,23635 0,8625 639,0 RD 8,8 0,26718 0,9750 722,4 IE 14,0 0,29314 2,7075 1260,9 ID 14,0 0,31993 2,9550 1376,2
Da tabela 2.1, podemos concluir que para a velocidade estudada em todos os ramos da artéria o escoamento permanece em regime laminar.
Paredes
Nas paredes considerou-se a condição normal de não deslizamento o que corresponde a impor uma velocidade nula junto das paredes e no Fluent à escolha da opção wall.
2.4 Método numérico
O código Fluent é um programa comercial de Mecânica de fluido computacional (Computional Fluid Dynamics) que permite simular o escoamento de fluidos. No código Fluent as equações governativas são resolvidas numericamente usando o método dos volumes finitos. Neste método o domínio de estudo é dividido em células computacionais (volumes de controlo) que constituem a malha computacional. As equações governativas são integradas para cada um dos volumes de controlo, resultando num sistema de equações algébricas para as variáveis dependentes discretas (tais como a pressão e a velocidade) que são resolvidas numericamente até que o critério de convergência estipulado pelo utilizador seja atingido [38].
As simulações numéricas foram realizadas com recurso ao software Fluent. As geometrias e as malhas foram criadas previamente no software Solids Works e no Ansys Meshing, respectivamente.
21 O Fluent permite simular escoamentos de fluidos e transferências de calor em geometrias variadas bi/tridimensionais, utilizando o método dos volumes finitos para discretizar as equações de conservação. Depois de importar as malhas geradas no Ansys Meshing, utiliza-se o Fluent para definir os modelos físicos, as condições fronteira, as propriedades dos materiais, o método de resolução do sistema de equações de Navier-Stokes e, consecutivamente, após a obtenção das soluções procede-se ao pós-processamento dos dados obtidos para cada uma das soluções.
O domínio simulado refere-se aos modelos geométricos da artéria Abdominal usados (ver Figura 2.2).
O dimensionamento das malhas foi efetuado em centímetros e posteriormente foram compatibilizadas com o programa Fluent onde foram realizadas as simulações. Para cada uma das simulações efetuados foram resolvidas as equações de governo do escoamento sanguíneo incompressível em regime laminar e independente do tempo (estacionário).
Para discretizar as equações de conservação da quantidade de movimento, foi utilizado o esquema Upwind de segunda ordem e para a interpolação da pressão recorreu-se ao esquema Standard. Para o acoplamento entre a pressão e a velocidade (fluido incompressível) nas equações de Navier-Stokes foi utilizado o algoritmo SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure Linked Equations). Para a linearização das equações foi o usado o método implícito.
A sequência de procedimentos realizados pelo algoritmo SIMPLE (Figura 2.4) pode resumir-se ao seguinte:
a) Introdução de valores iniciais para a pressão 𝑝∗ e velocidades 𝑣
𝑥∗, 𝑣𝑦∗ e 𝑣𝑧∗ (na primeira iteração), nas seguintes tomam os valores da iteração anterior, 𝑝∗ = 𝑝𝑛−1 , 𝑣𝑥∗ = 𝑣𝑥𝑛−1, 𝑣𝑦∗ = 𝑣𝑦𝑛−1 e 𝑣𝑧∗ = 𝑣𝑧𝑛−1;
b) Em cada iteração presente, a equação da quantidade de movimento discretizada é resolvida para determinar os novos valores de 𝑣𝑥∗, 𝑣
𝑦∗ e 𝑣𝑧∗;
c) A equação de correção de pressão é resolvida para determinar o campo das pressões corrigidas de 𝑝∗;
d) A pressão e a velocidade são corrigidas e usados parâmetros de sob-relaxação. Dentro dos limites residuais, estas equações conservam a massa e a quantidade de movimento.
22 Se a convergência for obtida dentro do resíduo pré estabelecido o procedimento iterativo é interrompido, caso contrario as novas quantidades obtidas são atribuídas a 𝑝∗, 𝑣𝑥∗, 𝑣𝑦∗ e 𝑣𝑧∗ e o procedimento (a) é iniciado novamente.
F
F I
A convergência é obtida quando os resíduos para as equações da continuidade e da quantidade de movimento foram, simultaneamente, menores do que 10-8.
De uma maneira geral, as ferramentas computacionais usadas no estudo deste tipo de problemas podem ser vistas como interpoladores de dados cujas soluções obtidas deverão depender dos modelos matemáticos adotados, do modelo geométrico, das condições fronteira, do refinamento da malhas e dos métodos numéricos utilizados na resolução das equações de governo. Assim, a incerteza dos resultados obtidos está relacionada com as escolhas feitas dos modelos, métodos e parâmetros atrás mencionados. Neste estudo os modelos geométricos da artéria Aorta Abdominal
Resolve as equações da quantidade de movimento discretizadas Resolve as equações de correcção de pressão Corrige a pressão e as velocidades Inicio 𝑣𝑥∗ 𝑣𝑦∗ p, 𝑣𝑥, 𝑣𝑦, 𝑣𝑧 stop n converge
Inicialização das variáveis p*, 𝑣𝑥∗, 𝑣𝑦∗, 𝑣𝑧∗
p* 𝑣𝑥∗, 𝑣𝑦∗, 𝑣𝑧∗
sim não
23 adotados devem ser capazes de captar alguns dos efeitos gerais a que o escoamento sanguíneo e as paredes da artéria Abdominal estão sujeitos. A utilização de modelos geométricos mais realistas apenas permitiriam a captura de efeitos mais localizados característicos da geometria utilizada.
24
3 Geometria e validação
3.1 Geometria
.A partir das dimensões da geometria da artéria Abdominal representada, baseadas em [35] e de acordo com a Figura 3.1 foi construído um modelo geométrico da Aorta Abdominal sem aneurisma recorrendo ao SolidWorks, (Figura 3.1) para posterior simulação da hemodinâmica no Fluent.
Figura 3.1 - Dimensões da artéria Aorta Abdominal, retirada de [35] e alterada.
Para o estudo da hemodiâmica desta artéria foram selecionadas as linhas representadas na Figura 3.2, que corresponde ao modelo geometrico idealizado da artéria Aorta Abdominal sem aneurisma usado neste estudo. As linhas LR (braços renais) e LI (braços Iliacos) são linhas que percorrem as artérias Renais e Iliacas, na direção dos braços esquerdos para os braços direitos, ver figura 3.1. As restantes linhas, L1 a L6, identificam os locais onde também são realizados estudos mais promenorizados do comportamento da hemodinamica e são também as zonas onde se localizam os aneurismas.
25 3.1.1 Modelos geométricos de aneurismas
As geometrias dos modelos com aneurismas na artéria Abdominal são apresentadas nas seguintes figuras, Figuras 3.3-3.7. As escolhas das localizações dos aneurismas estão em linha com o que diversos autores apontam como sendo os locais onde os aneurismas da Aorta Abdominal têm maior probabilidade de ocorrência.
Figura 3.3 - Aneurisma A1: aneurisma localizado na Aorta Torácica
Figura 3.4 - Aneurisma A2: aneurisma localizado antes da bifurcação da Ilíacas.
Figura 3.5 - Aneurisma A3: aneurisma localizado sobre as entradas das artérias Renais
26 Figura 3.7 - Aneurisma A5: aneurisma localizado sobre a bifurcação das artérias Ilíacas.
3.2 Validação
Nesta fase do trabalho pretende-se validar o método numérico utilizado no desenvolvimento do trabalho de investigação desta tese. A validação também nos permite aferir o erro associado aos resultados numéricos.
Assim, para a validação do método numérico foram feitos os seguintes estudos; estudo do escoamento sanguíneo não desenvolvido no interior de uma conduta 3D com diâmetro igual ao utilizado no modelo geométrico da artéria Abdominal e estudo da independência dos resultados com a malha usada. Estes estudos também serviram para ganhar competências na utilização do código Fluent.
3.3 Escoamento numa conduta 3D
A figura 3.8 mostra uma representação esquemática do escoamento em desenvolvimento no interior de um conduta circular.
Figura 3.8 - Esquema do desenvolvimento do escoamento no interior de uma conduta circular, adaptado de [40].
27 A camada limite desenvolve-se ao longo das paredes da conduta com o aumento da distância x e termina quando atinge o eixo da conduta. A partir deste ponto o perfil de velocidade não se altera mais com x, sendo o escoamento denominado de completamente desenvolvido. A superfície do tubo exerce uma força de corte que retarda o escoamento, consequentemente a velocidade do fluido nas proximidades da parede é reduzida. O efeito da superfície da parede da conduta é sentido cada vez mais para dentro do escoamento. Suficientemente longe da entrada do tubo a camada limite em desenvolvimento atinge o eixo central da conduta e o escoamento torna-se inteiramente viscoso. A partir deste ponto a forma do perfil de velocidades não se altera mais com o avanço do escoamento, ou seja o escoamento encontra-se completamente desenvolvido. O comprimento entre a entrada e o local onde o escoamento se torna completamente desenvolvido é chamado de comprimento de entrada hidrodinâmico e é dado por:
0, 06
des
L Re d, (3.1)
onde d e Re são diâmetro do tubo e número de Reynolds, respectivamente [36, 40]. Para este estudo do escoamento em desenvolvimento numa conduta 3D foram utlizadas quatro malhas não estruturadas, com o número de nós indicados na tabela 3.1. Com este estudo pretendemos validar o método numérico usado no estudo da hemodinâmica na artéria Aorta Abdominal, bem como avaliar o erro geral nos resultados apresentados.
Tabela 3.1 - Número de nós das malhas não estruturadas.
Nós Malha 1 114724 Malha 2 240864 Malha 3 345204 Malha 4 458590
Nas figuras seguintes apresentam-se os resultados obtidos, nas simulações numéricas, do modelo da conduta 3D. Os resultados mostram, para as quatro malhas diferentes, a comparação entre o perfil teórico da velocidade dado pela equação (2.10) e os perfis das velocidades em quatro posições diferentes ao longo de um tubo de 4 m de
28 comprimento e 22 mm de diâmetro, isto é a 1, 2, 3 e 4 metros da entrada da conduta, que correspondem à linha 1, linha 2, linha 3 e linha 4, respetivamente. A velocidade de entrada é de 0,3288 m/s, o que corresponde à velocidade média utilizada no estudo da hemodinâmica da Aorta Abdominal. Da comparação dos perfis das velocidades nas diferentes posições, em cada uma das malhas, infere-se que na posição 3 m (linha 3) o perfil da velocidade já se encontra completamente desenvolvido confirmando o esperado de acordo com a equação 3.1,ver figuras 3.9. Neste caso a diferença entre o valor teórico da velocidade máxima (dada pela equação 3.1) e os valores das velocidades máximas numéricas obtidos com as malhas 3 e 4 é de 3,62% e 3,49%, respetivamente. Daqui conclui-se que a malha 3 já apresenta uma resolução suficiente para garantir a independência dos resultados para malhas com resolução superior.
Figura 3.9 - Comparação entre os perfis das velocidades para as quatro malhas estudadas e o perfil teórico, em quatro posições do escoamento em desenvolvido ao longo do tubo: a) 1 m, b) 2 m, c) 3 m e d) 4 m.
29 Na Figura 3.9 a) e b) os perfis das velocidades ainda não estão completamente desenvolvidos, o que explica o afastamento das soluções numéricas, para as quatro malhas, relativamente ao perfil teórico do escoamento completamente desenvolvido. As linhas colocadas a 3 m (linha 3) e 4 m (linha 4) da entrada do tubo estão na região do escoamento completamente desenvolvido, e verifica-se que as diferenças entre as soluções numéricas e a solução teórica dos perfis das velocidades, para as malhas 3 e 4, são sempre menores do que 4%
Da comparação de todos os resultados numéricos da velocidade máxima, para os perfis em cada uma das posições, com o valor teórico dado pela equação (2.10), verifica-se que as diferenças relativas percentuais relativamente ao valores teóricos são sempre menores do que 15,9% (caso malha 1 e linha 1), ver tabela 3.2. Para a posição 3 m (perfil completamente desenvolvido) as diferenças diminuem para 6,84% e 3,62% para as malhas 1 e 3, respectivamente. As diferenças são mostradas na tabela 3.2 e são calculadas de acordo com a seguinte equação:
𝜀 =|𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜− 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑛𝑢𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑜| 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜
× 100 (3.2)
Tabela 3.2 - Diferença relativa percentual para as velocidades máximas dos quatro perfis analisados, em função da resolução das malhas.
Posição das linhas
4 m 3 m 2 m 1 m
Malha 1 6,26 6,84 8,76 15,85
Malha 2 3,75 4,35 6,18 13,09
Malha 3 3,03 3,62 5,45 12,45
Malha 4 2,85 3,49 5,26 12,02
A figura 3.10 mostra a evolução do fator de atrito ao longo da parede da conduta para cada uma das malhas. Da análise desta figura verifica-se que a partir dos 3 m até ao final da tubagem o fator de atrito permanece praticamente constante, indicando que o escoamento já se encontra completamente desenvolvido.
30 Figura 3.10 - Resultados do fator de atrito médio ao longo da parede da conduta.
A Tabela 3.3 compara os valores do fator de atrito médio nas paredes, f , da conduta para as quatro malhas, na região com o escoamento completamente desenvolvido (3-4m), e o valor teórico dado pela equação (2.15). As diferenças relativas percentuais entre o valor médio teórico e valores numéricos para as malhas 3 e 4 são menores do que 1%.
Tabela 3.3 - Fator de atrito médio, na região completamente desenvolvida (3-4 m), em função da resolução da malha. f 3-4 m Malha 1 0,00703 Malha 2 0,00711 Malha 3 0,00714 Malha 4 0,00713 Eq.(2.15) 0,00720
Este estudo para o escoamento em desenvolvimento no interior da conduta permitiu validar o método numérico por comparação com o esperado experimentalmente, figura 3.8. Este estudo, também, permite concluir que a malha 3 já possui uma resolução
31 suficiente para garantir a independência dos resultados com malhas de resolução superior. Os parâmetros usados para construir esta malha foram adaptados para a construção das malhas nos modelos geométricos da artéria Aorta, o que garante a construção de malhas com resoluções semelhantes. Da análise geral deste estudo, podemos a firmar que os resultados apresentados nesta tese para os modelos geométricos da artéria Aorta Abdominal apresentam, em geral, um erro de 3-4%.
32
4 Resultados e discussão
Os resultados apresentados neste capítulo mostram a influência da localização de um aneurisma na hemodinâmica da artéria Aorta Abdominal. Para este fim analisaram-se as distribuições das velocidades, das taxas de deformação, das pressões, do fator de atrito e das tensões de corte nas paredes da artéria para um escoamento sanguíneo laminar e estacionário, caraterizado por um número de Reynolds de 2222,5.
As simulações em dinâmica de fluidos computacional permitem revelar o comportamento da hemodinâmica dos escoamentos da artéria Aorta Abdominal, bem como, o efeito na hemodinâmica das diferentes localizações dos aneurismas na artéria. Deste modo foram obtidas as soluções numéricas com o software Fluent para os escoamentos laminares em vários modelos geométricos simplificados da artéria com um aneurisma, localizado em diferentes posições ao longo da artéria. Isto é, nos diferentes modelos geométricos da artéria Aorta Abdominal com aneurisma representados nas Figuras 3.3-3.7.
É de salientar que os escoamentos em toda a artéria são caracterizados por um número de Reynolds inferior a 2300 (valor a partir do qual é esperado que o escoamento deixe de ser laminar)
4.1 Distribuição das velocidades
4.1.1 Campo das velocidadesA figuras 4.1 a)-f) mostram o campo das velocidades para a artéria sem e com aneurismas localizados em diferentes posições. O diagrama de cores dá um indicação quantitativa da distribuição das velocidades do fluxo sanguíneo. A cor azul corresponde às velocidades mais baixas e a cor vermelha identifica as regiões onde as velocidades são mais elevadas. Como era de esperar as baixas velocidades tendem a ocorrer junto das paredes da artéria ao passo que as velocidades mais elevadas tendem a ocorrer nas regiões centrais da artéria.
Da comparação da figura 4a), artéria sem aneurisma, com as figuras com aneurisma nota-se que a presença do aneurima introduz uma alteração das velocidades mais pronunciada na região onde se localizam os aneurismas. Na artéria Torácica, antes dos aneurimas, o campo das velocidades tem um comportamente semelhante ao caso da artéria sem aneurisma (SA), o que está em linha com outros estudos, por exemplo [41,42,43].
33 Figura 4.1 - Distribuição do campo das velocidades (m/s) na artéria Aorta Abdominal sem e com aneurisma. a) SA b) A1 c) A2 d) A3 e) A4 f) A5
34 Em todos os casos as velocidades máximas ocorrem na artéria Torácica, antes das artérias Renais. As artérias Ilíacas apresentam regiões de baixas velocidades na entrada do sangue na bifurcação das Ilíacas, com exceção no caso do aneurisma A5. Tanto nas artérias Renais como nas artérias Ilíacas o escoamento sanguíneo apresenta velocidades mais baixas junto das paredes exteriores das artérias sendo este efeito mais pronunciado nas artérias Ilíacas. Os aneurismas A1, A2 e A4 geram regiões com baixos gradientes de velocidade com o consequente aparecimento de tensões de corte nas paredes mais baixas o que poderá favorecer o aparecimento de trombos. Nos aneurismas A3 e A5 estes efeitos são mais reduzidos devido ao facto de se encontrarem sobre as bifurcações das artérias Renais e Ilíacas, respetivamente.
4.1.2 Perfis das velocidades
Para uma melhor compreensão do efeito dos aneurismas na distribuição das velocidades foram estudados os perfis das velocidades ao longo das linhas representadas na figura 3.2. As figuras 4.2-4.9 comparam os perfis das velocidades em cada uma das linhas, representadas na figura 3.2, para todas as geometrias (A1, A2, A3, A4, A5 e SA).
Nas figuras 4.2-4.6, as linhas tracejadas identificam a artéria com o aneurisma localizado sobre a linha a que se refere cada uma das figuras, ver esquema da artéria inserido na parte superior das figuras para ver a localização da linha.
35 A figura 4.2 mostra que os perfis das velocidades são semelhantes para todos os casos com exceção do caso A1, onde o perfil das velocidades se estende a toda a região do aneurisma A1 (ver figura 4.1b)) e consequentemente apresenta uma velocidade máxima mais baixa, o que pode ser explicado pela equação da continuidade, traduz a conservação da massa.
Figura 4.3 - Perfis das velocidades ao longo da linha L2.
A figura 4.3 mostra o perfil das velocidades ao longo da linha L2. Os perfis têm um comportamento semelhante ao observado na figura 4.2 para a linha L1, excepto para o caso dos aneurismas que se encontram na região das artérias Renais (A3 e A4). O aneurisma A1 que se encontra a montante das artérias Renais produz um comportamento semelhante, no perfil da velocidade, ao observado para o caso do aneurisma A5, localizado a jusante da linha L2.
A figura 4.4 mostra o perfil das velocidades ao longo da linha L3. Os aneurismas A3 e A4 (nas artérias Renais) encontram-se sobre esta linha, o que se traduz em velocidades mais baixas observadas para os primeiros 0,02 m em cada um destes casos.
O pico observado para os casos A1, A2, A5 e SA corresponde à velocidade máxima na artéria Renal Esquerda. O comportamento das velocidades nestes casos é semelhante, ou seja estes aneurismas A1 (a montante de L3), A2 e A5 (a jusante de L3) parecem não afetar o perfil das velocidades nesta região, apresentando um comportamento semelhante ao observado para a artéria sem aneurisma (SA).
36 Figura 4.4 - Perfis das velocidades ao longo da linha L3.
A figura 4.5 mostra o perfil das velocidades ao longo da linha L4. Neste caso também é identificada uma zona de baixas velocidades dentro do aneurisma A4 até cerca de 0,022 m. No caso de A3, de 0,02 m até ~0,045 m, o perfil das velocidades tem um comportamento semelhante ao observado para o caso A4. As velocidades observadas acima do 0,046 m para o caso A3 devem-se ao facto de que no caso da artéria com o aneurisma A3 a linha L4 também se encontra na região do aneurisma.
Para os restantes casos A1, A2, A5 e SA os perfis das velocidades ao longo da linha L4 têm todos comportamentos semelhantes. Os aneurismas a jusante (A2 e A5) e a montante (A1), da linha L4, parecem não afectar as velocidades sobre a linha L4.
37 A figura 4.6 mostra o perfil das velocidades ao longo da linha L5. Nesta figura destaca-se o perfil das velocidades para o caso A5, isto é com a presença do aneurisma sobre a linha L5. Como era esperado o perfil das velocidades para o caso A5 difere fortemente dos restantes perfis o que é explicado pela presença do aneurisma sobre a linha L5. Ainda no caso A5, os picos observados no perfil das velocidades próximos das paredes dos aneurismas são evidências do aparecimento de redemoinhos associados ao aneurisma. O mesmo já não parece acontecer na ausência do aneurisma na entrada das artérias ilíacas, onde estes efeitos são muito menos pronunciados
Figura 4.6 - Perfis das velocidades ao longo da linha L5.
38 A figura 4.7 mostra a magnitude das velocidades ao longo do centro da artéria Abdominal (linha L6). As velocidades têm um comportamento quase independente da presença dos aneurismas. Apenas se destaca o caso A5 na região da bifurcação das Ilíacas pelo facto da existência do aneurisma A5 o que resulta num prolongamento da linha L6.
Figura 4.8 - Perfis das velocidades ao longo da linha LR.
A figura 4.8 mostra o perfil das velocidades ao longo da linha LR, que percorre as artérias Renais. Nos casos A1, A2, A5 e SA o comportamento das velocidades são idênticos o que é consistente com o observado para a linha L3, ver figura 4.4. Os dois valores mínimos da velocidade mais acentuados para o caso A3, devem-se ao facto de que o aneurisma A3 está localizado sobre as duas artérias Renais (Esquerda e Direita), em contraste com o aneurisma A4 que está apenas localizado sobre a artéria Renal Esquerda.
A figura 4.9 mostra o perfil das velocidades ao longo da linha LI, que percorre as artérias Ilíacas. Nesta situação, as velocidades ao longo da linha LI têm qualitativamente o mesmo comportamento com excepção do caso A5 que apresenta no geral valores mais elevados. Isto pode ser explicado pela presença de redemoinhos associados à geometria do aneurisma.
39 Figura 4.9 - Perfis das velocidades ao longo da linha LI.
4.2 Perfis das taxas de deformação
As figuras 4.10-4-16 mostram as taxas de deformação (TD) ao longo das linhas representadas na figura 3.2. Da análise geral destas figuras verifica-se que para os casos em que os perfis não atravessam os aneurismas as taxas de deformação apresentam um comportamento oposto ao dos perfis das velocidades. Isto é, os valores mínimos e máximos das taxas de deformação ocorrem no centro e junto às paredes das artérias, respectivamente. Comportamento oposto foi observado para os perfis das velocidades, figuras 4.2-4-9.
Nas figuras 4.10-4.14, as linhas tracejadas, na legenda, identificam a artéria com o aneurisma sobre a linha a que se refere cada uma das figuras. Na parte superior de cada figura é apresentado um esquema da artéria com a localização da linha na qual são analizados os perfis das taxas de formação.
A figura 4.10 mostra que os perfis das taxas de deformação são semelhantes para todos os casos com excepção do caso A1, onde as taxas de deformação extende-se a toda a região do aneurisma A1. As taxas de deformação tem valores mais baixa junto das paredes do aneurisma o que pode ser explicado pelos gradientes das velocidades mais baixos nestas regiões.
