EQUIVALÊNCIA ENTRE AS MODELAGENS DO PacDyn E HarmZs PARA ANÁLISE DE RESSONÂNCIA SUBSÍNCRONA, RESSONÂNCIAS DE REDES E HARMÔNICOS

(1)

SP-152

X SEPOPE

21 a 25 de maio de 2006 May – 21st _{to 25}th_{– 2006}

FLORIANÓPOLIS (SC) – BRASIL

X SIMPÓSIO DE ESPECIALISTAS EM PLANEJAMENTO DA OPERAÇÃO E EXPANSÃO ELÉTRICA

X SYMPOSIUM OF SPECIALISTS IN ELECTRIC OPERATIONAL AND EXPANSION PLANNING

EQUIVALÊNCIA ENTRE AS MODELAGENS DO PacDyn E HarmZs PARA

ANÁLISE DE RESSONÂNCIA SUBSÍNCRONA, RESSONÂNCIAS DE REDES E

HARMÔNICOS

Sergio Gomes Jr. *

Sergio Luis Varricchio

Paulo E. M. Quintão

Nelson Martins

Cristiano de O. Costa

CEPEL – Centro de Pesquisas de Energia Elétrica Brasil

SUMÁRIO

O programa HarmZs do CEPEL faz a análise de harmônicos, modelando detalhadamente a parte linear da rede, sendo a parte não linear representada por fontes de correntes harmônicas. Além da análise convencional utilizando respostas em freqüência e cálculo de distorções, o programa permite a análise modal da rede que disponibiliza informações estruturais do sistema, a partir do cálculo de pólos e zeros, permitindo a solução não convencional de problemas harmônicos de maior complexidade. O programa PacDyn do CEPEL, além da análise de estabilidade eletromecânica a pequenos sinais, com o seu módulo PacSSR, faz a análise linear de ressonância subsíncrona, a partir da modelagem adequada da dinâmica da rede. Como o PacSSR é voltado para a análise dinâmica da ressonância subsíncrona na faixa de freqüência de algumas dezenas de Hertz, as máquinas síncronas e seus controladores são detalhadamente modelados. Neste caso, a incorporação do modelo da máquina na modelagem da dinâmica da rede é feita de forma eficiente utilizando-se “fasores” variáveis no tempo, descritos a partir de uma referência girante síncrona.

Neste trabalho são apresentadas as modelagens utilizadas nos programas PacDyn e HarmZs para representação das equações que descrevem o comportamento dinâmico de redes elétricas de transmissão e a equivalência entre as mesmas. Por meio de sistema exemplo, são ainda apresentados resultados desta comparação que confirmam a correspondência entre as modelagens utilizadas nos programas e didaticamente mostram como interpretar os resultados obtidos. São também apresentadas comparações com o programa de simulação de transitórios eletromagnéticos PSCAD/EMTDC, validando os resultados no domínio do tempo.

PALAVRAS-CHAVE

Harmônicos, Modelagem de Redes Elétricas, Ressonância Subsíncrona, Análise Modal, Tensores

* CEPEL – Av. Um s/n - Cidade Universitária – CEP: 21941-598 – Rio de Janeiro – RJ – Brasil Tel: (21)2598-6316, Fax: (21)2598-6451

(2)

1. Introdução

O programa PacDyn [1], além da análise de estabilidade eletromecânica a pequenos sinais, através da utilização do seu módulo PacSSR, permite a análise linear de ressonância subsíncrona, a partir da modelagem adequada da dinâmica da rede [2].

Como o PacSSR é voltado para a análise dinâmica da ressonância subsíncrona na faixa de freqüência de algumas dezenas de Hertz, as máquinas síncronas e seus controladores são detalhadamente modelados. Neste caso, a incorporação do modelo da máquina na modelagem da dinâmica da rede é feita de forma eficiente utilizando-se “fasores” variáveis no tempo, descritos a partir de uma referência girante síncrona. Estes fasores geralmente possuem comportamento variante com a referência de eixos escolhida, comportamento este bem estudado nos trabalhos clássicos de Kron utilizando tensores [3], [4]. Do ponto de vista prático, a modelagem utilizando fasores faz com que as ressonâncias da rede sejam descritos por dois pares de pólos complexos conjugados, quase que simétricos em relação à freqüência síncrona da referência adotada. A pequena perda de simetria observada se deve ao comportamento tensorial da máquina e seus controladores.

Por outro, o programa HarmZs [5] é voltado para a análise de harmônicos, modelando detalhadamente a parte linear da rede, sendo a parte não linear representada por fontes de correntes harmônicas. Além da análise convencional utilizando respostas em freqüência e cálculo de distorções, o programa permite a análise modal da rede. A análise modal disponibiliza informações estruturais do sistema, a partir do cálculo de pólos e zeros, permitindo a solução não convencional de problemas harmônicos de maior complexidade [6]−[10].

Devido à faixa de freqüência de interesse do HarmZs ser bem mais elevada que a do PacDyn, de dezenas a milhares de Hz, ao contrário do PacDyn, a máquina síncrona e seus controladores não são descritos detalhadamente, sendo que a máquina é representada pelo seu comportamento subtransitório. Neste caso, não há a necessidade de representação da rede por fasores e as ressonâncias da rede são representadas por apenas um par de pólos complexos conjugados.

Ambos os programas utilizam dois tipos de modelagem: sistema descritor [6]−[9] e matriz Y(s) [6],

[7], [10]−[13]. A modelagem por sistemas descritores seria adequada para sistemas de pequeno ou

médio porte e permite a integração numérica analítica das equações para determinação da resposta no tempo linear do sistema completo, o que não é possível utilizando diretamente a modelagem por matriz Y(s). Além disto possibilita a utilização do algoritmo QZ para determinação simultânea de todos os pólos do sistema. Por outro lado, a modelagem por sistemas Y(s) seria adequada para sistemas de grande porte, possibilitando uma modelagem mais compacta do sistema de equações. Outra vantagem deste tipo de modelagem é a possibilidade de modelar de forma precisa e eficiente linhas de transmissão de parâmetros distribuídos e dependentes da freqüência [12].

Ambas as modelagens permitem a utilização de algoritmos para solução parcial de pólos e obtenção de equivalentes modais para cálculo de modelos reduzidos no domínio do tempo e freqüência.

O objetivo do trabalho é apresentar os tipos de representação das grandezas utilizadas nos programas PacSSR e HarmZs e relacioná-los entre si, mostrando a equivalência entre os resultados obtidos por cada um dos programas considerando um sistema exemplo. Além disto resultados no domínio do tempo, obtidos com os programas do CEPEL, são comparados com os obtidos utilizando-se o programa de transitórios eletromagnéticos PSCAD/EMTDC [14], validando as modelagens utilizadas.

2. Modelagens de Redes Elétricas

Dois tipos de modelagem de redes elétricas foram implementadas nos programas PacDyn e HarmZs: sistemas descritores e matriz Y(s), detalhadamente apresentadas em [6]. Neste item é revista cada uma destas modelagens aplicadas ao sistema exemplo utilizado no artigo.

(3)

2.1. Sistema

Descritor

A modelagem de redes elétricas por sistemas descritores é realizada por um sistema de equações algébricas e diferenciais. Nesta modelagem, as correntes em indutores e as tensões de capacitores são escolhidas como estados das equações diferenciais. Redundâncias de estados causadas, por exemplo, por nós contendo apenas indutores ou laços contendo apenas capacitores, não precisam ser eliminadas, uma vez que a formulação matemática aliada aos métodos numéricos desenvolvidos ou apenas aplicados tratam automaticamente destas redundâncias.

O comportamento dinâmico da rede elétrica é descrito pelo sistema formado pelas equações algébricas e diferenciais dos elementos que a compõe juntamente com as equações provenientes da aplicação da lei das correntes de Kirchhoff’s (LCK) a cada um dos seus nós. As equações da LCK definem as conexões elétricas entre os elementos, ou seja, a topologia do circuito. A seguir são descritas as equações de elementos do tipo RLC série e paralelo, sendo posteriormente apresentas em conjunto com as equações da LCK para o sistema exemplo utilizado no artigo.

2.1.1. Ramo RLC Série

Um ramo RLC série conectado entre os nós (barras) k e j é mostrado na Figura 1.

R L C

k i_kj j

v_C

Figura 1 – Ramo RLC série

O comportamento dinâmico deste elemento é descrito pelas seguintes equações diferenciais:

C kj kj j k v dt di L i R v v − = + + (1) kj C _i dt dv C = ₍₂₎

onde vk e vj são as tensões dos nós k e j, respectivamente. As variáveis relativas ao elemento são a

corrente i_kj do ramo e a tensão do capacitor vC. Quando não há capacitor no ramo, (1) e (2)

reduzem-se a uma única equação (3). Neste caso, ikj é a única variável do elemento RLC série.

j k kj kj v v dt di L i R + = − (3) 2.1.2. Ramo RLC Paralelo

Um ramo RLC paralelo conectado entre os nós k e j é apresentado na Figura 2. R L C k _i j kj v C i_L

Figura 2 – Ramo RLC paralelo

(4)

kj C L C _i dt dv C i R v = + + ₍₄₎ C L _v dt di L = ₍₅₎ j k C v v v = − ₍₆₎

onde vk e vj são as tensões dos nós k e j, respectivamente. As variáveis do elemento são a corrente total

do ramo, a tensão do capacitor v kj

i C e a corrente indutiva iL. Quando não há indutor no ramo, (4) e (5)

reduzem-se à equação (7). Neste caso as variáveis do ramo RLC são i_kj e vC.

kj C C _i dt dv C R v = + ₍₇₎ 2.1.3. Fontes de Tensão

Uma fonte de tensão conectada entre os nós (barras) k e j está mostrada na Figura 3.

Rf Lf

k j

if

vk vf vj

Figura 3 – Fonte de tensão entre as barras k e j.

O comportamento dinâmico deste elemento é descrito pela seguinte equação:

f j k f f f f

R

i

v

dt

di

L

=

−

+

(8)

onde vk e vj são as tensões dos nós k e j, respectivamente. A variável do elemento é a corrente if e a

tensão interna vf é uma variável de entrada do sistema.

2.1.4. Aplicação ao Sistema Exemplo

A modelagem por sistemas descritores pode ser melhor explicada com o sistema exemplo, apresentado na Figura 4, que é utilizado para obtenção de todos os resultados do artigo. Este sistema é uma variação do utilizado em [6]. A freqüência nominal do sistema é 50 Hz e as bases de tensão e potência são 20 kV e 10 MVA. L12 R12 L13 i13 R13 i3 i2 i12 i20 C3 R3 L3 v3 i30 C1 v1 i10 3 L i C2 R2 L2 v2 iL₂ barra 1 barra 2 barra 3 Rf Lf if vf

(5)

Os parâmetros do sistema são dados por:

Tabela 1: Parâmetros do sistema exemplo Indutância (mH) Resistência (Ω) Capacitância (µF)

Lf 36.542 Rf 0.0 C1 23.9

L2 424.0 R2 80.0 C2 8.0

L3 531.0 R3 133.0 C3 11.9

L12 9.7 R12 0.46

L13 11.9 R13 0.55

As equações matriciais do sistema descritor para o sistema exemplo são apresentadas a seguir. Estas matrizes foram montadas considerando os seguintes passos:

1. Aplicação de (4), (5) e (6) aos ramos RLC paralelos conectados entre as barras 1, 2 e 3 e a terra (no caso da barra 1 o ramo RLC paralelo reduz-se a apenas um capacitor, que também poderia ter sido modelado como um ramo RLC série).

2. Aplicação de (3) aos ramos RLC séries conectados entre as barras 1 e 2 e 1 e 3. 3. Aplicação de (8) à fonte de tensão conectada à barra 1.

4. Aplicação das equações da LCK a cada nó (barra) do circuito.

5. Consideração das tensões de cada nó como variáveis de saída e das correntes injetadas nas barras 2 e 3 e a tensão na barra 1 como variáveis de entrada.

+ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − − − − − − − − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 3 2 1 13 12 30 20 10 13 12 3 2 3 2 1 13 12 30 20 10 13 12 3 3 2 2 1 3 3 2 2 1 3 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 v v v i i i i v i i v i i v R R R R R v v v i i i i v i i v i i v dt d L L L C L C L C f C L C L C f f C L C L C f ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + 3 2 1 1 1 i i vf T (9)

s u

( )

s

( )

s ≡c

(

sT−A

)

−1b

G T (17)

No sistema exemplo, supondo-se u = i2 e y = v3, os vetores b e c que definem esta função de

transferência G32(s) são dados por:

[

]

T 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = b (18)

[

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

]

= T c (19)

G32 é obtido pela substituição de (18) e (19) em (17).

2.2. Matriz

Y(s)

A modelagem da rede elétrica pode ser feita diretamente no domínio s da Transformada de Laplace, a partir da seguinte formulação matricial:

) ( ) ( ) (s x s Bu s Y = ₍₂₀₎ ) ( ) ( ) (s Cx s Du s y = + ₍₂₁₎

(7)

Uma rede elétrica composta por elementos passivos e por fontes de corrente tem sua matriz Y(s)

construída de forma análoga à utilizada para construir a matriz de admitâncias nodais Y(jω) usada pelo

método convencional de análise harmônica, utilizando resposta em freqüência. Assim sendo, o elemento diagonal da matriz Y(s) é calculado pela soma de todos os elementos conectados ao nó i.

Adicionalmente, os elementos fora da diagonal são iguais ao negativo da soma das admitâncias elementares conectadas entre os nós i e j. Para realizar a análise modal, substitui-se as freqüências

puramente imaginárias jω pela freqüência complexa s.

ii

y

ij

y

Para o uso de algoritmos baseados no método de Newton para o cálculo iterativo de pólos [11], deve-se ainda obter a matriz da primeira derivada de Y(s) em relação a s. Esta matriz derivada pode ser

obtida analiticamente seguindo as mesmas regras de montagem da matriz Y(s).

Considerando, por exemplo, os ramos série e paralelo apresentados na Figura 1 e Figura 2, as admitâncias funções da freqüência complexa s são dadas por:

sC sL R y_série 1 1 + + = (22) sC sL R y_paralelo= 1 + 1 + ₍₂₃₎

As derivadas de (22) e (23) em relação a s são dadas por:

2 2 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ₊ + − = sC sL R C s L ds dy_série (24) L s C ds dy_paralelo 2 1 − = (25)

A modelagem de redes elétricas possuindo fontes de tensão é feita aplicando-se as leis de correntes e tensões de Kirchhoff às barras do sistema onde estas fontes estão conectadas. Considere, por exemplo, uma fonte de tensão com impedância interna conectada à barra k do sistema. As equações que deverão ser incluídas em (20), para a consideração da influência desta fonte, são dadas por:

k f z 0 1 = −

∑

= k f n j j kjv i y ₍₂₆₎ k k k f f f k z i v v + = (27)

onde e denotam a tensão interna e a corrente da fonte de tensão conectada à barra k e n o número de barra do sistema.

k f v k f i

A modelagem de linhas de transmissão, inclusive considerando a dependência de seus parâmetros com a freqüência, também pode ser feita na modelagem Y(s), como descrito em [12], não sendo aqui

repetida.

Particularizando (20) e (21) para o sistema exemplo, tem-se:

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − f f f v i i i v v v z y y y y y y y 3 2 3 2 1 33 31 22 21 13 12 11 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 (28)

(8)

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ f f v i i i v v v v v v 3 2 3 2 1 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 (29) onde: f f f R sL z = + ₍₃₀₎

A derivada da matriz Y(s) é dada por:

( )

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ds dz ds dy ds dy ds dy ds dy ds dy ds dy ds dy ds s d f 0 0 0 0 0 0 0 0 33 31 22 21 13 12 11 Y (31)

Por exemplo, de acordo com as equações numeradas de (22) a (25), as expressões analíticas para os elementos da diagonal y11 e dy11 ds e fora da diagonal y13 = y31 e dy₁₃ ds=dy₃₁ ds são dadas por:

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + = 13 13 12 12 1 11 1 1 L s R L s R C s y ₍₃₂₎

(

)

(

)

⎥⎥⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − + = ₂ 13 13 13 2 12 12 12 1 11 L s R L L s R L C ds dy (33) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − = = 13 13 31 13 1 L s R y y ₍₃₄₎

(

)

2 13 13 13 31 13 L s R L ds dy ds dy + − = = ₍₃₅₎

Derivando (30) em relação a s, obtém-se:

f f L ds dz = (36)

Considerando apenas uma entrada (u) e uma saída (y), as equações (20) e (21) reduzem-se a:

) ( ) ( ) (s x s bu s Y = ₍₃₇₎ ) ( ) ( ) (s s du s y =cTx + (38)

]

T 0 1 0 = b (40)

[

0 0 1

]

= T c (41)

(9)

3. Utilização de Referência Síncrona para Modelagem de Redes

Para a modelagem de máquinas síncronas e seus controladores, assim como outros elementos não lineares conectados na rede elétrica de corrente alternada, utiliza-se uma referência síncrona para que a linearização do sistema de equações seja invariante no tempo. Neste caso as grandezas são todas consideradas como constantes em regime permanente, incluindo as variáveis tensões e correntes da rede que passam a ser representadas no regime transitório por fasores variáveis no tempo, da seguinte forma [15], [16]:

[

v t e

]

v t t v t t

t

v( )=ℜ ˆ( ) jωt = _Re( )cosω − _Im( )sinω (42)

Sendo ω a freqüência síncrona do sistema, o fasor da variável v, vvˆ Re a parte real do fasor e vIm a sua

parte imaginária.

Utilizando um circuito RLC série como exemplo, as relações entre correntes e tensões apresentadas em (1) e (2) são repetidas a seguir:

C kj kj j k v dt di L i R v v − = + + (43) kj C _i dt dv C = ₍₄₄₎

As equações (43) e (44) podem ser escritas em função dos correspondentes fasores de cada variável, como mostrado a seguir:

t j C t j kj t j kj t j j t j k v e dt e i d L e i R e v e v ω ω ω ω ω ₋ _ˆ ₌ _ˆ ₊ (ˆ ) ₊_ˆ ˆ (45) t j kj t j C _i _e dt e v d C ω ω = ˆ ) ˆ ( (46) Simplificando os termos exponenciais, tem-se:

C kj kj kj j k j i v dt i d L I R v v_ˆ _ˆ ˆ ˆ ˆ ₊ ˆ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ω + + = − ₍₄₇₎ kj C C _j _v _i dt v d C ˆ ˆ ⎟=ˆ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ _ω (48) Expandindo-se as equações (47) e (48) em suas partes reais e imaginárias, tem-se:

Re Im Re Re Re Re kj C kj kj j k i v dt di L i R v v _⎟⎟+ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ω − + = − ₍₄₉₎ Im Im Re Im Im Im C kj kj kj j k v dt di i L i R v v _⎟⎟+ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ω + = − ₍₅₀₎ Re Im Re kj C C i v dt dv C _⎟⎟= ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ω − ₍₅₁₎ Im Im Re kj C C i dt dv v C _⎟⎟= ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ω ₍₅₂₎

Comparando as equações de (49) a (52) com (43) e (44), verifica-se que ao utilizar uma referência síncrona de eixos, com as equações descritas em função das partes real e imaginária de fasores, as equações do sistema são duplicadas e surgem termos adicionais multiplicados pela freqüência síncrona ω.

(10)

Analogamente para o elemento RLC paralelo, cujas equações foram apresentadas em (4), (5) e (6), tem-se as seguintes equações:

Re Im Re Re Re kj C C L C i v dt dv C i R v = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ω − + + ₍₅₃₎ Im Im Re Im Im kj C C L C i dt dv v C i R v = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ω + + ₍₅₄₎ Re Im Re C L L v i dt di L _⎟⎟= ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ω − ₍₅₅₎ Im Im Re C L L v dt di i L _⎟⎟= ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ω ₍₅₆₎ Re Re Re k j C v v v = − ₍₅₇₎ Im Im Im k j C v v v = − ₍₅₈₎

Desenvolvimento análogo pode facilmente ser feito para as equações da fonte de tensão. Pode-se então reescrever as equações do sistema descritor apresentadas em (9) e (10) relativas à referência síncrona, obtendo-se um sistema de equações reais com o dobro das dimensões [17].

Para a modelagem do sistema por matriz Y(s), deve-se escrever as equações diretamente no domínio s.

Neste caso a idéia de utilização de referência síncrona de eixos é mantida. No entanto é computacionalmente mais vantajoso, ao invés de utilizar as componentes reais e imaginárias, definir os seguintes fasores: Im Re ˆ v jv v_P = + ₍₅₉₎ Im Re ˆ v jv v_N = − ₍₆₀₎

Onde vRe e vIm são as componentes real e imaginária do fasor correspondente à variável v. O uso desta

transformação leva a relações do tipo:

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ω − ω + = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ N P N P v v Y 0 0 Y i i ˆ ˆ ) ( ) ( ˆ ˆ j s j s (61) sendo Y a matriz de admitâncias do sistema. Assim formulação análoga à matriz Y(s) pode ser desenvolvida para este caso, obtendo-se um sistema com o dobro das dimensões e com a freqüência complexa deslocada de +jω e −jω [3], [18].

No caso de uso das componentes real e imaginária dos fasores como variáveis, a matriz de admitância que relacionaria as tensões e correntes não possuiria acoplamento nulo entre as componentes real e imaginária e seria formada por elementos complexos. Por este motivo utilizou-se a transformação dada em (59) e (60).

Para o sistema exemplo, a partir de (28) e (61), tem-se a seguinte equação matricial para esta formulação: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ω − ω + ω − ω − ω + ω + ω − ω − ω + ω + − ω − ω − ω − − ω + ω + ω + fN fP N P N P fN fP N P N P N P f f v v i i i i i i v v v v v v j s z j s z j s y j s y j s y j s y j s y j s y j s y j s y j s y j s y j s y j s y j s y j s y ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ) ( 0 0 0 0 0 1 0 0 ) ( 0 0 0 0 0 1 0 0 ) ( 0 0 0 ) ( 0 0 0 0 ) ( 0 0 0 ) ( 0 0 0 0 ) ( 0 ) ( 0 0 0 0 0 0 ) ( 0 ) ( 1 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 0 1 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 3 3 2 2 3 3 2 2 1 1 33 31 33 31 22 21 22 21 11 12 11 13 12 11 (62)

(11)

4. Equivalência entre os Programas HarmZs e PacDyn

O programa HarmZs tem a modelagem descrita no item 2, enquanto que a modelagem do módulo de ressonância subsíncrona do PacDyn é descrita no item 3 onde as equações são escritas utilizando uma referência síncrona girante de eixos. Neste item é apresentada a equivalência entre estas modelagens. Para a resposta no tempo, quando é aplicado um degrau no PacDyn em uma variável de entrada do sistema que representa um fasor, este degrau corresponde à aplicação de uma senóide no programa HarmZs pois conforme (42):

[ ]

ue u t t u t t

t

u( )=ℜ ˆ jωt = _Re( )cosω − _Im( )sinω (63)

Sendo u a variável de entrada, modelada diretamente como variável no programa HarmZs e uRe e uIm

as componentes real e imaginária da variável que aparecem nas equações do PacDyn.

Assim sendo, aplicar um degrau no PacDyn na parte real da variável de entrada uRe é equivalente a

aplicar uma cossenóide de freqüência síncrona na variável u do HarmZs. Analogamente, aplicar um degrau na parte imaginária uIm é equivalente a aplicar uma senóide. O efeito de uma senóide com

defasagem de freqüência fundamental no HarmZs pode ser obtido pela aplicação de degraus ponderados nas partes real e imaginária da variável de entrada no PacDyn.

De forma genérica, o efeito de senóides de outras freqüências também pode ser modelado utilizando-se relações trigonométricas. Por exemplo, uma utilizando-senóide de amplitude AP, freqüência ωP e fase φP na

componente real da variável de entrada do PacDyn:

) cos( ) ( Re t AP Pt P u = ω +φ (64)

Corresponde no HarmZs a duas senóides, uma com freqüência ω+ωP e a outra com freqüência ω−ωP,

pois, substituindo (64) em (65), obtém-se:

2 ] ) cos[( ] ) cos[( cos ) cos( ) (t A_P _Pt t A_P P t P P t P u = ω +φ ω = ω+ω +φ + ω−ω −φ (65)

A determinação da entrada no PacDyn correspondente a uma cossenóide de amplitude AH, freqüência

ωH e fase φH no HarmZs da forma:

) cos(

)

(t A_H _Ht _H

u = ω +φ (66)

pode ser feita escrevendo (63) como uma projeção real de um fasor que produza (66). Uma das possibilidades é:

[ ]

[

j t j t

]

H t j _A _e _e e u t u₍ ₎=ℜ _ˆ ω =ℜ [(ωH−ω)+φH] ω (67)

onde o fasor é dado por:

)]} ) sin[( ] ) {cos[( ˆ A_H _H t _H j _H t _H u= ω −ω +φ + ω −ω +φ (68)

Assim sendo, a cossenóide pode ser representada no PacDyn por: ) ) cos[( Re AH H t H u = ω −ω +φ (69) )] ) sin[( Im AH H t H u = ω −ω +φ (70)

Para o caso particular de um degrau de amplitude AH no HarmZs (ωH = 0, φH = 0), esta entrada pode

ser representada no PacDyn por:

t A u_Re = _H cosω (71) t A u_Im =− _Hsinω (72)

(12)

Para a comparação das respostas no tempo entre os programas, da mesma forma que feito para as variáveis de entrada, deve-se utilizar a transformação (42) aplicada às variáveis de saída de corrente alternada, ou seja: t t y t t y t y( )= _Re( )cosω − _Im( )sinω (73)

Do ponto de vista de resposta em freqüência, tem-se no programa HarmZs a seguinte função de transferência: ) ( ) ( ) ( s u s y s G = (74)

Sendo y(s) e u(s) as variáveis de saída e entrada, respectivamente, no domínio s. Substituindo s por jω, pode-se obter os diagramas de Bode de módulo e ângulo ou o diagrama de Nyquist.

Para o PacDyn, utiliza-se a expansão em partes real e imaginária das seguintes equações, desenvolvida a partir de (13) e (14):

( )

_{( )}

t u t j dt t d ˆ ˆ ˆ ˆ b x A x x T ⎟= + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ _ω (75)

( )

t

( )

t d u

( )

t yˆ =cTxˆ + ˆ (76)

Pode-se então determinar a função de transferência, conforme feito em (17):

[

T A

]

b c 1 Im Re Im Re ₍ ₎ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ₌ ₊ _ω ₋ − + + = = s j s u j s u s y j s y s u s y s G T ₍₇₇₎

Comparando (77) com (17) verifica-se que:

) ( ˆ ) ( ) ( ) ( ˆ _s ₌_G _s₊ _j_ω _⇔_G _s ₌_G _s₋ _j_ω G (78)

Para comparar as respostas do PacDyn e HarmZs, assume-se uma entrada unitária em uˆ s( ) (uRe(s) = 1, uIm(s) = 0) e determina-se as respostas em freqüência das saídas yRe e yIm. Faz-se então a soma da

primeira resposta em freqüência com a segunda multiplicada por j, de acordo com (77). Esta soma é feita diretamente no programa visualizador de gráficos Plot CEPEL. Deve-se ainda fazer uma translação do gráfico no eixo das freqüências no valor da freqüência síncrona do sistema, conforme (78).

Em relação ao cálculo de pólos verifica-se que ao duplicar as dimensões do sistema no PacDyn, pela escrita das equações utilizando uma referência síncrona para os eixos, a quantidade de pólos duplica em relação ao HarmZs. Conforme visto em (61), pela formulação Y(s) verifica-se claramente que cada pólo do HarmZs vai possuir dois pólos corresponentes no PacDyn, um deles somado de jω e o outro subtraído do mesmo valor. No caso do sistema ser modelado por sistema descritor, isto não fica evidente mas o mesmo ocorre pois como ambas as formulações estão fazendo a modelagem do sistema físico utilizando uma referência síncrona girante única, o conjunto de pólos é o mesmo.

5. Resultados do Sistema Exemplo

Os pólos do sistema exemplo nos programas PacDyn e HarmZs são apresentados na Tabela 2. Verifica-se que, conforme esperado, cada pólo do HarmZs corresponde a um par de pólos no PacDyn, um deles com parte imaginária somada da freqüência síncrona do sistema exemplo de 314.16 rad/s (50Hz) e o outro subtraído do mesmo valor. Conforme explicado no item 3, isto se deve ao fato do PacDyn possuir modelagem desenvolvida utilizando uma referência síncrona de eixos.

(13)

Tabela 2: Comparação entre os pólos do sistema exemplo obtidos no PacDyn e HarmZs

Pólos – PacDyn Pólos - HarmZs

Autovalores Freqüência Autovalores Freqüência

-447.00 ± 4634.8 j 737.66 -447.00 + j4320.69 j 687.66 -447.00 ± 4006.5 j 637.66 -453.13 ± 3329.6 j 529.93 -453.13 + j3015.46 j 479.93 -453.13 ± 2701.3 j 429.93 -243.26 ± 1128.1 j 179.54 -243.26+j813.94 j 129.54 -243.26 ± 499.78 j 79.543 -1.03 ± 314.16 j 50.00 -1.03+j0.00 j 0.00 -0.90 ± 314.16 j 50.00 -0.90+j0.00 j 0.00

Determinou-se então a resposta em freqüência considerando-se cada fonte presente no sistema como variáveis de entrada (fonte de tensão da barra 1 e fontes de corrente das barras 2 e 3) e as tensões das barras 1, 2 e 3 como variáveis de saída. Para que os resultados do PacDyn fossem correspondentes aos do HarmZs, utilizou-se como entrada da função de transferência a parte real da variável de entrada e como saída a soma da parte real com a parte imaginária multiplicada pelo complexo j da variável de saída conforme explicado no item 4, ou seja, tendo-se a seguinte função de transferência para o HarmZs:

)

(

)

(

)

(

s

u

s

y

s

G

=

₍₇₉₎

Para o PacDyn utiliza-se:

) ( ) ( ) ( ) ( Re Im Re s u s y j s y j s G + ω = + ₍₈₀₎

A seguir são apresentadas as curvas de resposta em freqüência dos dois programas, onde os resultados são visualmente coincidentes. Deve-se observar que o eixo de freqüência do PacDyn foi somado de 50Hz para tornar correta a comparação.

0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 50 300 550 800 1050 Freqüência (Hz) HarmZs PacDyn 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 50 300 550 800 1050 Freqüência (Hz) HarmZs PacDyn 0.0 0.5 0.9 1.4 1.8 50 300 550 800 1050 Freqüência (Hz) HarmZs PacDyn

Figura 5 – Resposta em freqüência das tensões das barras 1, 2 e 3 considerando a entrada como a fonte de tensão

0. 0.4 0.8 1.2 1.6 50 300 550 800 1050 Freqüência (Hz) HarmZs PacDyn 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 50 300 550 800 1050 Freqüência (Hz) HarmZs PacDyn 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 50 300 550 800 1050 Freqüência (Hz) HarmZs PacDyn

Figura 6 – Resposta em freqüência das tensões das barras 1, 2 e 3 considerando a entrada como a fonte de corrente na barra 2

0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 50 300 550 800 1050 Freqüência (Hz) HarmZs PacDyn 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 50 300 550 800 1050 Freqüência (Hz) HarmZs PacDyn 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 50 300 550 800 1050 Freqüência (Hz) HarmZs PacDyn

(14)

Determinou-se ainda a resposta no tempo do PacDyn para um degrau na parte real da variável de entrada, o que corresponde a aplicar uma cossenóide de freqüência fundamental no HarmZs e PSCAD/EMTDC, conforme (63). Foram consideradas como variáveis de entrada a tensão da fonte da barra 1 e as correntes das fontes das barras 2 e 3. As simulações no tempo deste caso são apresentadas nas figuras a seguir. Foram consideradas como variáveis de saída as tensões de corrente alternada de cada barra do sistema. Para a comparação, no PacDyn subtraiu-se o produto da parte real destas tensões por cosseno do produto da parte imaginária por seno, conforme (73). Os resultados dos três programas foram visualmente coincidentes.

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 Tempo (s) HarmZs PacDyn PSCAD/EMTDC -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 Tempo (s) HarmZs PacDyn PSCAD/EMTDC -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 Tempo (s) HarmZs PacDyn PSCAD/EMTDC

Figura 8 – Resposta no tempo das tensões das barras 1, 2 e 3 tendo uma fonte cossenoidal de tensão da barra 1 como entrada

Figura 9 –Resposta no tempo das tensões das barras 1, 2 e 3 tendo uma fonte cossenoidal de corrente da barra 2 como entrada

A seguir é apresentada a validação da resposta no tempo das tensões das barras do sistema no programa HarmZs para um degrau em cada uma das fontes, comparando estas respostas com os resultados do programa PSCAD/EMTDC e com os do PacDyn. Para a equivalência entre as respostas, aplicou-se no PacDyn uma cossenóide de freqüência fundamental na parte real da variável de entrada e uma senóide negativa na parte imaginária, conforme (71) e (72). Além disto para a obtenção das variáveis de saída, somou-se a parte real multiplicada pelo cosseno da freqüência fundamental com o negativo da parte imaginária multiplicada pelo seno, conforme (73). Os resultados obtidos com os três programas foram visualmente coincidentes.

0.0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 Tempo (s) HarmZs PacDyn PSCAD/EMTDC 0.0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 Tempo (s) HarmZs PacDyn PSCAD/EMTDC 0.0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 Tempo (s) HarmZs PacDyn PSCAD/EMTDC

(15)

-10. 0. 10. 20. 30. 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 Tempo (s) HarmZs PacDyn PSCAD/EMTDC -10. 0. 10. 20. 30. 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 Tempo (s) HarmZs PacDyn PSCAD/EMTDC -10. 0. 10. 20. 30. 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 Tempo (s) HarmZs PacDyn PSCAD/EMTDC

Figura 12 –Resposta no tempo das tensões das barras 1, 2 e 3 tendo a fonte de corrente da barra 2 em degrau como entrada

-10. 0. 10. 20. 30. 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 Tempo (s) HarmZs PacDyn PSCAD/EMTDC -10. 0. 10. 20. 30. 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 Tempo (s) HarmZs PacDyn PSCAD/EMTDC -10. 0. 10. 20. 30. 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 Tempo (s) HarmZs PacDyn PSCAD/EMTDC

Figura 13 –Resposta no tempo das tensões das barras 1, 2 e 3 tendo a fonte de corrente da barra 3 em degrau como entrada

Acrescentou-se então um modelo de máquina síncrona térmica, substituindo o modelo de fonte de tensão atrás da reatância subtransitória de 0.287 pu (36.542 Ω). Foi utilizado o modelo 5 do programa (máquina de rotor liso) [1] em modo de operação de ressonância subsíncrona (PacSSR), onde as equações diferenciais que representam a dinâmica da corrente do estator são consideradas. Foram utilizados os seguintes parâmetros: potência base 10 MVA, reatância síncrona de eixo direto

Xd = 1.863 pu, reatância síncrona de eixo em quadratura Xq = 1.833 pu, reatância transitória de eixo

direto X’d= 0.343 pu, reatância transitória de eixo em quadratura X’q = 1.270 pu, reatância

subtransitória (considerada igual nos dois eixos) X”d = X”q = 0.287 pu, reatância de dispersão Xl = 0.209 pu, constante de inércia H = 3.02 s, resistência da armadura e coeficiente de amortecimento

da máquina desprezados, constantes de tempo de circuito aberto transitória de eixo direto

T’d0= 5.36 s, transitória de eixo em quadratura T’q0= 1.5 s, subtransitória de eixo direto T”d0 = 0.042 s, subtransitória de eixo em quadratura T”q0 = 0.253 s. Os parâmetros A, B, C da curva

exponencial para representação da saturação no PacDyn [1] são dados por: A = 0.03238, B = 8.1203, C = 0.8. Utilizou-se ainda um regulador de tensão de primeira ordem e um regulador de velocidade de 4ª ordem, mostrados nas figuras a seguir com os seguintes parâmetros: ka = 100, Ta = 0.05 s, k1 = 4, T1 = 4.02 s, k2 = 1, T2 = 10 s, k3 = 2, T3 = 0.59 s. a a

sT

k

+

1 V

_ref

+ −

V

E

_fd Figura 14 – Regulador de tensão da máquina

1 1 1 sT k + k3 s 1 3 1 1 sT + ω_ref _{+ −} ₊ − + − P_v0 P_mec ω 2 2 1 sT k +

Figura 15 – Regulador de velocidade da máquina

(16)

Tabela 3: Comparação entre os pólos do sistema com a máquina modelada como uma fonte de tensão atrás de uma reatância subtransitória e o modelo completo da máquina com regulador de tensão e velocidade

Pólos – PacDyn (sem máquina) Pólos – PacDyn (com máquina)

Autovalores Freqüência Autovalores Freqüência

-447.00 ± 4634.8 j 737.66 -447.10 ± 4634.9 j 737.67 -447.00 ± 4006.5 j 637.66 -447.11 ± 4006.6 j 637.67 -453.13 ± 3329.6 j 529.93 -453.17 ± 3329.6 j 529.92 -453.13 ± 2701.3 j 429.93 -453.18 ± 2701.3 j 429.92 -243.26 ± 1128.1 j 179.54 -246.09 ± 1128.6 j 179.63 -243.26 ± 499.78 j 79.543 -248.71 ± 501.90 j 79.88 -1.03 ± 314.16 j 50.00 -1.03 ± 314.16 j 50.00 -0.90 ± 314.16 j 50.00 -0.90 ± 314.16 j 50.00 -6.18 ± 12.54 j 1.99 -0.35 ± 0.67 j 0.10 -50 0.00 -29.69 0.00 -8.53 0.00 -3.98 0.00 -2.75 0.00 -0.88 0.00 -0.15 0.00

Identifica-se que os pólos relativos à rede elétrica, que formam o conjunto de pólos do sistema sem máquina síncrona modelada, praticamente não se alteram e, quando se inclui o modelo completo de máquina síncrona, surgem novos pólos, que descrevem a dinâmica das máquinas e seus controladores. Deve-se observar que quando existem capacitores série, aparecem modos de oscilação da rede subsíncronos. No caso da presença de máquinas síncronas, os pólos subsíncronos passam a possuir parte real menos negativa quando comparados com os pólos obtidos do caso em que a máquina é representada por uma fonte de tensão atrás de uma reatância subtransitória. Isto se deve ao fenômeno de autoexcitação do gerador pelo efeito de gerador de indução, no qual o gerador será visto pelo sistema como uma resistência negativa para freqüências subsíncronas.

A resposta no tempo do PacDyn com o modelo completo de máquina síncrona é comparada com a do caso em que o gerador é representado por uma fonte de tensão atrás de uma reatância subtransitória, para um degrau na fonte de corrente das barras 2 e 3, determinando-se as tensões que aparecem nas 3 barras do sistema. Os gráficos correspondentes são apresentados nas figuras a seguir. Verifica-se que nos dois casos o transitório inicial de todas as respostas no tempo é praticamente o mesmo comprovando que este transitório inicial é regido pelos modos da rede elétrica considerado a máquina como uma fonte de tensão atrás de uma reatância subtransitória. No transitório posterior, verifica-se a diferença entre as respostas, mostrando a influência do modelo da máquina e seus controladores.

-0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0. 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 Tempo (s) Fonte Ideal Máquina -0.07 -0.05 -0.02 0.00 0.02 0.05 0.07 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 Tempo (s) Fonte Ideal Máquina -0.08 -0.05 -0.03 0.00 0.03 0.05 0.08 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 Tempo (s) Fonte Ideal Máquina

-0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 Tempo (s) Fonte Ideal Máquina -0.07 -0.05 -0.02 0.00 0.02 0.05 0.07 0. 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 Tempo (s) Fonte Ideal Máquina -0.07 -0.05 -0.02 0.00 0.02 0.05 0.07 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 Tempo (s) Fonte Ideal Máquina

(17)

6. Conclusões

Este artigo apresentou a equivalência entre as modelagens utilizadas nos programas PacDyn e HarmZs assim como a manipulação algébrica necessária para que haja concordância entre seus resultados de simulação. São mostrados resultados da comparação entre os programas nos domínios do tempo e da freqüência, incluindo o cálculo de pólos. Todos os resultados apresentados mostraram a concordância das modelagens. Foram também apresentados resultados do programa PSCAD/EMTDC de simulação de transitórios eletromagnéticos, havendo também neste caso a concordância de resultados. Esta concordância de resultados entre os três programas, que utilizam formulações matemáticas e algoritmos numéricos distintos, são fortes evidências da validade dos métodos e programas desenvolvidos. Isto torna possível a utilização sinérgica destes programas em estudos que exijam a análise de ressonâncias da rede em conjunto com a modelagem de máquinas [2] e FACTS [15], [16]. BIBLIOGRAFIA

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