Sobre a Escolha da Seção Ótima de Um Condutor Elétrico

Resumo- A seção ótima de um condutor elétrico dependerá

como em qualquer problema de otimização da função objetivo e de suas restrições ou funções vinculadas. No caso de um negócio que envolva venda e distribuição de energia elétrica, quase sempre a função objetivo está orientada para minimizar o uso de capital investido para a realização desta prestação de serviços. Como este serviço se faz através da ligação do consumidor final à fonte de suprimento de energia, é natural que algum meio físico condutor seja usado e, portanto seja natural minimizar a quantidade de material usada neste meio físico. Mas, por outro lado quando se usa um meio físico de transporte desta energia, este produzirá naturalmente alguma perda nesta real ização e esta perda técnica deve ser computada no negócio. Assim, as perdas passam ser uma restrição do problema de otimização. Este trabalho aborda o problema anterior com as restrições de perdas joules, restrições das perdas devido a reativos indutivos e avança algumas considerações sobre desempenho em curto circuito e regulação.

Palavras-chave — Cabos elétricos; Condutor ótimo; Transmissão; Distribuição

I. INTRODUÇÃO

A grande maioria dos catálogos dos fa bricantes de cabos informa os principais parâmetros elétricos primários dos condutores e alguns deles informam também outros parâmetros secundários que derivam do desempenho de materiais e geometria dos circuitos.

Do ponto de vista exclusivamente técnico a seção dos condutores pode ser determinada considerando:

A) A ampacidade máxima de corrente em regime estacionário;

B) A ampacidade de corrente durante curto circuito e surtos no sistema ;

C) O desempenho condutor conexões durante ciclos térmicos de carga;

D) O desempenho dos condutores e a topologia das cargas considerando a regulação.

Do ponto de vista estritamente econômico o interesse passa a ser em como operar um sistema de T&D conside-rando: 1) As Perdas Joules inerentes a negócio ;

2) A influência dos reativos consumidos pela rede; 3) Os materiais mais adequados;

1 _{Escola Politécnica da Universida de de São Paulo}

geraldo.almeida@pea.usp.br ou grdealmeida@osite.com.br

4) O uso ótimo do capital na realização do negócio. Este trabalho apresenta uma abordagem conjugada dos dois enfoques, que torna possível encontrar uma seção que satisfaça as restrições presentes nas duas formulações do problema. Este estudo é especialmente dedicado a condutores nus instalados suspensos no ar.

II. A ABORDAGEM TÉCNICA

A abordagem técnica observa apenas o desempenho elétrico do sistema e o resultado final é analisado financeiramente para o ajuste da s olução mais econômica.

A ampacidade dos condutores em regime estacionário é calculada através da busca de uma seção que permita conduzir uma determinada corrente previamente calculada [1,2,3,4]. Geralmente esta seção é resultado do equilíbrio térmico entre o calor gerado pela circulação de corrente no material condutor e a capacidade deste material e sua geometria de dissipá-lo no ar [4].

[ ]

A

R

Q

Q

Q

I

ac s c i

+

−

−

−

=

(1) Na grande maioria dos casos a corrente I é referida para várias temperaturas (50°C, 75°C, 100°C, 125°C etc), conforme os materiais e suas aplicações. A ampacidade em regime estacionário, como parâmetro derivado, é insuficiente para a escolha da melhor seção do condutor.

A ampacidade dos condutores em regime transitório (surtos ou curtos) pode ser avaliada com a hipótese que este transitório seja de brevíssima duração (até 5 segundos) e portanto o problema pode ser resolvido com um modelo adiabático [5]. Neste modelo;

6 2 20 10 1 1 ln 1 20 1 −             + +     ₊ =       R i R f R c cct S I S α θ α θ α σ ρ (2)

Todo calor gerado durante o transitório é usado para aumentar a temperatura do condutor (processo adiabático). Esta ampacidade sozinha ou adicionada à anterior é insu-ficiente para definir a melhor seção do condutor.

O Desempenho dos condutores e conexões durante os ciclos térmicos [6] é apenas uma informação de comporta-mento de materiais conectados entre si sobre a efetiv idade de conexões. Sozinhas ou associadas a duas informações anteriores são insuficientes para definir a melhor seção dos

Sobre a Escolha da Seção Ótima de Um

Condutor Elétrico

condutores.

O desempenho dos condutores dentro de uma topologia de cargas [3] conhecidas considerando os limites de regulação do sistema, somadas às informações técnicas anteriores podem ser consideradas necessárias para atender as especificações de engenharia. Porém para ter em conta a escolha a “melhor” seção, o mesmo problema técnico deverá ser analisado para vários materiais condutores. De outra forma, a escolha da seção ótima pode ser considerada colocando as perdas Joules e a quantidade e tipo dos materiais como restrições (ou alternativa), como poder visto a seguir.

III. FORMULAÇÃO DO PROBLEMA O pioneiro na formulação do problema da escolha da melhor seção de um condutor elétrico foi Lorde Kelvin [1] em 1881. No enfoque original a escolha dependeria apenas do metal condutor contido e das perdas joules geradas durante a circulação de corrente.

Do ponto de vista estritamente econômico o custo anual do capital investido na compra do metal contido no condutor é

[

km

]

JSdC

C

_capitalanual

=

_kg$

__

$

(3) Por outro lado o custo anual das perdas joules é dado por,

[

km

]

C

I

S

C

M W h anuais perdas

cos

__

$

8760

10

2 $ 6

ϕ

ρ

−

=

(4)

Considerando que eventuais outras fontes de custos sejam recuperadas fora da base do metal contido no condutor, o custo anual devido a circulação de corrente e uso de capital para prover o meio físico de circulação será

anual capital anual perdas anual total

C

C

C

=

+

(5) Ou ainda, $ $ 2 6

cos

8760

10

kg M W h anual total

I

C

JSdC

S

C

=

+

−

ϕ

ρ

(6)

Para simplificar, considerando $ 2 6

cos

8760

10

_{M W h} e

I

C

K

=

ρ

−

ϕ

(7) e $ kg c

JdC

K

=

(8) Vem c e anual total

SK

S

K

C

=

+

(9) E a escolha da seção ótima fica reduzida à busca de um mínimo da função do custo total anual (Ke/S) devido as perdas Joules no condutor somadas ao custo do capital (SKc) devido à aquisição de metal.

IV.ASEÇÃOÓTIMA

Considerando que Ke > 0 e Kc > 0 a equação (6) tem um único extremante de mínimo obtido por,

0

2

+

=

−

=

c e anual total

K

S

K

dS

dC

(10) No enfoque pioneiro a solução era abordada pela regra

prática

(

K

S

)

SK

_c

=

_e (11) “A melhor seção condutora é aquela em que o custo devido às perdas joules anual se iguala ao custo devido ao uso de capital para aquisição de metal condutor por onde são geradas as perdas”.

Especificamente, nesta abordagem consideraremos a solução geral, $ $ 6 0

cos

8760

10

kg MVAh c e

JdC

C

I

K

K

S

ρ

ϕ

−

=

=

(12) EXEMPLO 1

Determinar a seção ótima em cobre e alumínio para um condutor que deve alimentar uma carga trifásica de 20MVA em 138 kv, conforme ilustrado na figura 1 a seguir.

P-jQ

(R,I, cos

φ)

∆V=RI cosλ φ+ λ φXI sen

RI

XI

I

φ

V

V

Vo

Vo

λ

FIGURA 2 ALIMENTADOR RADIAL EM 138 kv Considerando os dados da tabela 1 (apêndic e 1) vem

I= 83,67395 A

SEÇÃO PREÇO

184,34 mm² Al 3225,97 $/KM

So=

66,12 mm² Cu 5486,24 $/KM

Se a solução puder compreender também os cabos de alumínio reforçados com alma de aço então

SEÇÃO PREÇO

184,34 mm² Al 3225,97 $/KM

So= 197,76 mm² ACSR 3460,87 $/KM

66,12 mm² Cu 5486,24 $/KM

Onde o problema original pode ter a solução vista numericamente através da figura (3)

S Ke/S SKc SKc+Ke/S 100 1231,99 315,00 1,55E+03 150 821,32 472,50 1,29E+03 197,76 622,97 622,94 1,25E+03 200 615,99 630,00 1,25E+03 250 492,79 787,50 1,28E+03 300 410,66 945,00 1,36E+03 350 352,00 1102,50 1,45E+03 400 308,00 1260,00 1,57E+03 FIGURA 3

APROXIMAÇÃO DA SOLUÇÃO NUMÉRICA Ou graficamente conforme ilustra a figura (4). Nesta figura observa se que o custo devido ao uso do capital cresce linearmente com a seção do condutor, enquanto que o custo pelo conceito de perdas decresce inversamente proporcional com o crescimento da seção do condutor. O ponto ótimo aparece quando os dois custos se igualam.

SEÇÃO ÓTIMA (197,76mm²) 0,00 500,00 1000,00 1500,00 2000,00 0 100 200 300 400 500 s (mm²) $/KM Ke/S SKc SKc+Ke/S FIGURA 4 SOLUÇÃO GRÁFICA IV.AINFLUÊNCIADOSREATIVOS

Para considerar a influência dos reativos indutivos numa linha curta (do ponto de vista eletromagnético), vamos tomar a expressão completa da queda de tensão entre os terminais da linha.

(

ϕ

ϕ

)

λ

R

Xsen

I

V

=

+

∆

cos

(13) A primeira parcela da equação (11) está associada a potência ativa dissipada pelos condutores, enquanto que a segunda parcela a potência reativa retirada das máquinas geradoras pela linha devido as indutâncias próprias e mútuas dos condutores pela circulação de corrente. A potência reativa devido a carga é vista pelo ângulo de potência da carga. A energia total devido a queda de tensão será

VxI

E

total

=

∆

(14)

[

ϕ

ϕ

]

λ

I

R

Xsen

E

total

=

cos

+

2 (15) Onde











 +

=

−

r

l

j

X

ln

2

1

10

4

ω

[

Ω

km

]

(16)

j

Operador fasorial

ω

Freqüência angular

l

Espaçamento entre os condutores [m]

r

Raio do condutor [m]

De maneira inteiramente análoga à análise anterior, os custos das perdas integradas (a tivas e reativas) devem equi-librar os custos pelo uso do capital, ou seja

[

ϕ

ϕ

]

λ

ξ

I

R

Xsen

C

totalanual

=

cos

+

2

(17) Da equação (15) podemos reescrever

c anual total sen SK r l S I C _  _+      + + =_{ξ ρ} ϕ _ω − _ϕ ln 2 1 10 cos 4 2 ₍₁₈₎ Onde

ξ

=

10

−6

8760

C

_MVAh$ (17) e

r

=

s

π

Derivando (18) em relação a S vem

( )

( ) ( )

( )

_      +                 −         + − = − − c K sen s S l l S S I dS dC _ϕ π π π π ω ϕ ρ ξ 2 1 10 cos 2 1 2 1 4 2 2       +             − − = − sen Kc S S I dS dC ϕ ω ϕ ρ ξ 1 2 10 cos 4 2 2 (19) Considerando

ϕ

ρ

ξ

I

2

cos

K

_e

=

(25) e

K

_r

ξ

I

ω

sen

ϕ









=

−

2

10

4 2 (20)

0

2

−

+

=

−

=

e r

_K

_c

S

K

S

K

dS

dC

(21)

0

2

−

−

=

e r c

SK

K

K

S

(22)

( )

(

)

c c e r r

K

K

K

K

K

S

2

4

2 0

+

±

=

(23) Como

ω

ϕ

ρ

cos

ϕ

2

10

4

<<









−

sen

(24)

( )

(

)

c e c c e r r

K

K

K

K

K

K

K

S

=

+

+

≈

2

4

2 0 (25) EXEMPLO 2

Determinar a seção ótima em cobre, alumínio e acsr para o mesmo problema 1 anterior considerando a contribuição das perdas devido à parte do reativo indutivo.

COBRE ALUMINIO ACSR mm2 mm2 mm2 68,68 196,65 210,05 NÃO CONSIDERANDO OS REATIVOS COBRE ALUMINIO ACSR

mm2 mm2 mm2 66,12 184,34 197,76 CONSIDERANDO OS REATIVOS

( ) (

)

c c a e r e r e K K K K K S 2 4 2 0 + ± =

( ) (

)

c a e c c a e r e r e K K K K K K K S = + + ≈ 2 4 2 0 FIGURA 6 INFLUÊNCIA DO REATIVOS IV.INFLUÊNCIADAREGULAÇÃO

A regulação como função do comprimento do alimentador é um conjunto que para a potência do alimentador na seção ótima é é dado por.

{

RI

_ótimo2

}

=

Sup

{

λ RI

|

λ

}

(26) Porque no conceito de perdas Joules todo o balanço de ma-terial é feito por unidade de comprimento, enquanto no con-ceito de regulação o balanço inclui o comprimento total da linha ou rede. Todavia se a regulação olhasse apenas o uni-tário da queda de tensão

%

∆

V

(

MVAkm

)

, que é

parâme-tro que depende apenas do condutor e das variáveis da bar-ra, (deixando fora a carga, vista apenas pelo fator de potencia e pela corrente) talvez a equação (26) pudesse ser aceita, com a restrição da regulação

∆

V

≤

0

,

10

V

.

Porém, toda a experiência manda considerar a regulação independente das perdas e assim após determinar a seção ótima pelo conceito de perdas e uso do capital é necessário verificar o desempenho da regulação.

      + =       ∆ V E Xsen R I E V V 0 0 cos 100 100 ϕ ϕ λ %∆V

(

MVAkm

)

(27)

Na equação (27) mesmo considerando conhecido o valor de

E

₀, os valores de R, X e o ângulo ϕ são características dos condutores e do sistema. Os valores de R e X geralme nte são fornecidos pelos fabricantes de cabos. Para o caso da seção ótima do condutor ACSR (So=197,76 mm2), o condutor comercial que tem seção mais próxima é o CABO LINNET

SEÇÃO CÓDIGO FORMAÇÃO TRANSVERSAL

mm² Penguin 6+1 125,10 Waxwing 18+1 142,50 Owl 6+7 153,00 Partridge 26+7 156,90 Ostrich 26+7 176,70 Piper 30+7 187,50 Merlin 18+1 179,70 Linnet 26+7 198,40 Oriole 30+7 210,30 Chickadee 18+1 212,10 Brant 24+7 227,70 FIGURA 5

CABOS CONDUTORES ACSR

Com

R

75°C

=

0

,

19947

[

Ω

km

]

X

=

0

,

37271

[

Ω

km

]

cos

ϕ

=

0

,

95

CQT=0,00480736 %∆V/(MVA xkm) para 138 kv

Na figura 6 é mostrado como a regulação interfere direta-mente nos resultados da escolha da seção mais econômica sobre o conceito das perdas técnicas. Enquanto as perdas crescem com o quadrado da corrente, a regulação é linear com a mesma. Assim, para o mesmo conjugado (MVAkm) temos vários comprimentos de alimentação, mas o aumento da carga é pago com a redução do comprimento do alimenta-dor para garantir a regulação e vice-versa. Porém, apenas existe uma coluna onde a corrente e a seção transversal do condutor está economicamente equilibrada mantendo a re-muneração do capital em qualquer tempo. Fora desta coluna o gasto pelo conceito de perdas é sempre maior que o gasto pelo conceito de uso do capital. Além disso, a regulação está diretamente relacionada com o comprimento do alimentador. Ainda na figura 6 A zona fora da região ótima, mas dentro da regulação pode ser explorada sem restrições técnicas, mas

com as restrições das perdas técnicas. Já a região fora da regulação deve ser tratada com as devidas correções técni-cas (uso de reguladores etc), mas sempre lembrando que perdas técnicas não podem ser recuperadas com a correção da regulação.

λ MVA MVA MVA MVA MVA

km 20 40 60 80 100 5 0,48 0,96 1,44 1,92 2,40 10 0,96 1,92 2,88 3,85 4,81 15 1,44 2,88 4,33 5,77 7,21 20 1,92 3,85 5,77 7,69 9,61 25 2,40 4,81 7,21 9,61 12,02 30 2,88 5,77 8,65 11,54 14,42 35 3,37 6,73 10,10 13,46 16,83 40 3,85 7,69 11,54 15,38 19,23 45 4,33 8,65 12,98 17,31 21,63 50 4,81 9,61 14,42 19,23 24,04 55 5,29 10,58 15,86 21,15 26,44 60 5,77 11,54 17,31 23,08 28,84 65 6,25 12,50 18,75 25,00 31,25 70 6,73 13,46 20,19 26,92 33,65 75 7,21 14,42 21,63 28,84 36,06 80 7,69 15,38 23,08 30,77 38,46 85 8,17 16,35 24,52 32,69 40,86 90 8,65 17,31 25,96 34,61 43,27 95 9,13 18,27 27,40 36,54 45,67 100 9,61 19,23 28,84 38,46 48,07 105 10,10 20,19 30,29 40,38 50,48 110 10,58 21,15 31,73 42,30 52,88 115 11,06 22,11 33,17 44,23 55,28 120 11,54 23,08 34,61 46,15 57,69

REGIÃO DE SEÇÃO ÓTIMA

REGIÃO DENTRO DA REGULAÇÃO

REGIÃO FORA DA REGULAÇÃO REGULAÇÃO DE 10%

FIGURA 6

REGULAÇÃO E COMPRIMENTO DO ALIMENTADOR

Para entender melhor o significado da equação (11), tome os valores reais de perdas Joules a jusante da barra (figura 2) com os valores característicos do cabo LINNET. Na figura 5 a seguir é apresentada a relação percentual de perdas no condutor em função do comprimento do alimentador e potência ativa total que se pode extrair da barra. Esta po-tência dissipada pelos condutores é função da distancia da carga, enquanto a que pode ser extraída da barra é constante. Deste modo existem na figura 7 três regiões características: (1) A primeira região coincide com aquela dentro da regulação que inclui também a região de seção ótima, (2) Uma segunda região, fora da regulação, mas que pode ser usada desde que a regulação seja corrigida. Esta região corresponde ao conjunto de soluções onde as perdas não excedem a 10% do valor útil da barra e (3) Uma terceira região com soluções economicamente inviáveis (arbitrada por per-das nos condutores excedente a 10% do valor de potência útil da barra). Fora da condição ótima todas as demais economicamente viáveis, devem ser tratadas com recursos de matemática financeira dentro do tempo de concessão.

V.AINFLUÊNCIADOCURTOCIRCUITO

O curto circuito é um fenômeno transitório que acontece nos sistemas de potência devido a alguma anormalidade durante a operação com grande quantidade de energia circulando fora das cargas úteis. O modelo mais usado para descrever a fenomenologia é a transformação adiabática [6] (todo o calor gerado pela circulação da corrente de curto circuito é usado para aumentar a temperatura do condutor. Nesta transformação o condutor é considerado um dispositivo termodinamicamente fechado).

λ MVA MVA MVA MVA MVA

km 20 40 60 80 100 5 0,1103 0,2205 0,3308 0,4410 0,5513 10 0,2205 0,4410 0,6616 0,8821 1,1026 15 0,3308 0,6616 0,9923 1,3231 1,6539 20 0,4410 0,8821 1,3231 1,7642 2,2052 25 0,5513 1,1026 1,6539 2,2052 2,7565 30 0,6616 1,3231 1,9847 2,6463 3,3078 35 0,7718 1,5437 2,3155 3,0873 3,8591 40 0,8821 1,7642 2,6463 3,5283 4,4104 45 0,9923 1,9847 2,9770 3,9694 4,9617 50 1,1026 2,2052 3,3078 4,4104 5,5130 55 1,2129 2,4257 3,6386 4,8515 6,0643 60 1,3231 2,6463 3,9694 5,2925 6,6157 65 1,4334 2,8668 4,3002 5,7336 7,1670 70 1,5437 3,0873 4,6310 6,1746 7,7183 75 1,6539 3,3078 4,9617 6,6157 8,2696 80 1,7642 3,5283 5,2925 7,0567 8,8209 85 1,8744 3,7489 5,6233 7,4977 9,3722 90 1,9847 3,9694 5,9541 7,9388 9,9235 95 2,0950 4,1899 6,2849 8,3798 10,4748 100 2,2052 4,4104 6,6157 8,8209 11,0261 105 2,3155 4,6310 6,9464 9,2619 11,5774 110 2,4257 4,8515 7,2772 9,7030 12,1287 115 2,5360 5,0720 7,6080 10,1440 12,6800 120 2,6463 5,2925 7,9388 10,5850 13,2313

REGIÃO DENTRO DA REGULAÇÃO

REGIÃO SUJEITA A REGULAÇAO

REGIÃO ECONÔMICAMENTE INVIÁVEL (%)PERDAS JOULES / POTÊNCIA ÚTIL LIMITE ECONÔMICO DE PERDAS NAS LINHAS

FIGURA 7

PERDAS E COMPRIMENTO DO ALIMENTADOR

6 2 20 ₁ 10 1 ln 1 20 1 −             + +     ₊ =       R i R f R c cct S I S α θ α θ α σ ρ (28)

A despeito das correntes de curto circuito serem muito altas quando comparadas com as correntes nominais que circ ulam nos condutores, o valor da potencia dissipada durante o curto é muito inferior à potência dissipada durante um ano (tempo de referencia para capitalização das perdas) para a corrente nominal. Para melhor apreciação transformemos em valores a proposição anterior

EXEMPLO 3

Calcule a influência do curto circuito na escolha da seção ótima do condutor LINNET. Considere temperatura inicial no curto de 75°C e a temperatura máxima de 250°C.

Para o cabo LINNET temos os seguintes dados: DADOS PARA CÁLCULO

S SEÇÃO DO CONDUTOR mm² 198,400

t TEMPO DE DURAÇÃO DO CURTO seg 5

a R COEF. VARIAÇÃO RESISTIVIDADE 1/°K 0,004111422

K CONSTANTE DO MATERIAL 147,6724636

Ti TEMPERATURA INICIAL °C 75

Tf TEMPERATURA FINAL °C 250

a C CALOR ESPECÍFICO VOLUMÉTRICO J/Km³ 2695000

ρ20 RESISTIVIDADE A 20°C Om 3,25302E-08

E a corrente de curto circuito para os tempos de 0,5s, 1,0s e 5,0s será A t 27428,11 0,5 19394,60 1,0 8673,53 5,0 (Icc) LINNET FIGURA 8

CORRENTE DE CURTO CABO LINNET

A) O impacto das correntes de curto num tempo curto em relação ao valor das correntes estacionárias é:

( )

( )

107451,16

5

,

0

83,67

0,5

27428,11

2 2 2 2

=

=

∆

∆

t

I

t

I

n cc

B) O impacto da energia do mesmo curto (t=0,5s) sobre a energia dissipada pela corrente num tempo muito longo (t=1 ano) é:

( )

(

)

0,001703627 11 2,20794E 376150511 31536000 83,67 0,5 27428,11 2 2 2 2 = + = = ∆ ∆ ano n segundo cc t I t I

Assim, do ponto de vista exclusivamente térmico o efeito de um curto no resultado de uma seção ótima pode ser considerado desprezível. Porém os efeitos das forças eletromecânicas envolvidas devem ser considerados com muito cuidado.

VI.OUSOÓTIMODOCAPITAL

O uso ótimo do capital deve levar em conta a rentabilidade do investimento dentro de um tempo determinado, geralmente o tempo residual de concessão. De modo geral na iniciativa privada o ótimo de rentabilidade está associado ao lema “Maximizar o resultado no curto prazo e permanecer no negócio”. No caso em estudo o negócio é distribuir energia elétrica, mas no fim da concessão os ATIVOS retornam ao ente que dá a concessão (geralmente o ESTADO), assim, minimizar o CAPITAL investido para permanecer no negócio pode ser um lema deste empreendimento sob concessão. No caso em questão pode-se desprezar a influência de curtos circuitos no problema de perdas (mas não pode des-prezar os efeitos eletromecânicos) da determinação da

esco-lha da seção ótima. Pode-se tratar o problema da regulação como um conjunto de soluções maior que o conjunto de s o-luções de perdas otimizadas. O efeito dos reativos são des-prezivos e assim o problema do ótimo pode-se resumir na equação (4) $ $ 2 6

cos

8760

10

kg M W h anual total

I

C

JSdC

S

C

=

+

−

ϕ

ρ

Com o ótimo em $ $ 6 0

cos

8750

10

kg M W h c e

JdC

C

I

K

K

S

ρ

ϕ

−

=

=

Tomando o exemplo do ótimo para 20 MVA do exemplo 1 e colocando 10% do capital ótimo como possibilidade de uso na melhoria da rentabilidade, resulta o quadro ilustrado na figura (9)

USO ÓTIMO DO CAPITAL (S=197,76mm²)

0,00 500,00 1000,00 1500,00 2000,00 0 100 200 300 400 500 S [mm²] $/KM Ke/S SKc SKc+Ke/S 2?vKeKc FIGURA 9

USO ÓTIMO DO CAPITAL

Na figura (8) o custo total SKc+(Ke/S) é cortado por uma reta paralela ao eixo das abscissas, que determina duas interseções. Estes pontos são as seções que satisfazem a condição para 10% à maior do capital usado. Neste caso o ponto da esquerda refere -se a seção mínima que poderia ser usada, enquanto que o ponto da direita refere -se à seção máxima que poderia ser usada contando com 10% a mais do capital ótimo.

EXEMPLO 4

Determine as seções extremas para um sobre uso de 10% do capital ótimo para o caso do exemplo 1

O custo total dos condutores pelo conceito de perdas Joules e pelo conceito de uso do capital é dado pela equação

c e anual

total

K

K

C

=

2

(29) Adicionando um fator α que messa a relação de sobre uso de capital vêm c e anual total

K

K

C

=

2

α

(30) Deste modo podemos reescrever a equação (8) da seguinte maneira. c e c e anual total

SK

K

K

S

K

C

=

+

=

2

α

(31) Onde as raízes de (31) serão as soluções do problema. Considerando 10% de sobre uso de capital α=1,1 e assim

(

2

)

0

2

⇒

2

−

+

=

=

+

c e c c e c e e

K

S

K

K

K

S

K

K

SK

S

K

_α

_α

E então

(

)

c c e c e c e

K

K

K

K

K

K

K

S

2

4

4

2

±

2

−

=

α

α

(32) ou ainda

(

2

−

1

)

±

=

α

α

c e c e

K

K

K

K

S

(33)

(

2

1

)

0 0

±

−

=

α

S

S

α

S

(34) S1 308,161 mm² S2 126,911 mm²

Se for usado 126,91 mm2 será feita uma enorme economia de capital inicial (desembolso para realização do sistema), à custa de uma perda joule elevada. Esta solução somente será possível após verificação da regulação e do curto circuito. Se for usado 308,16 mm2 será feita uma enorme economia de perdas joules à custa de uma elevada quantidade de material na rede. Esta solução é recomendada para inicio de concessão onde exista um planejamento de sistema bastante confiável para previsão das cargas futuras.

Em ambas as circunstâncias haverá um sobre uso de apenas 10% do capital ótimo.

EXEMPLO 5

Para o mesmo exemplo anterior calcular qual a corrente máxima e a corrente mínima que pode circular no condutor ótimo (197,76mm2), para que o balanço das perdas mais capital investido em condutores não supere a 10%.

Se a seção ótima é aquela determinada pela equação (10), então a densidade de corrente ótima será.

$ 6 $ 0

10

8760

cos

M W h Kg

C

JdC

S

I

ϕ

ρ

−

=

(35) Se a seção para um sobre uso de capital de 10% pode variar desde 126,911mm2 até 308,161mm2, então o que estará variando é a densidade de corrente na seção condutora. Esta variação poderá ser a mesma fixando a seção ótima e variando a corrente, assim

I1 I I2

130,39 83,67 53,70

Revisitando a equação (35) verifica-se que o único parâmetro que pode medir a rentabilidade do ATIVO CONDUTOR instalado na linha ou rede é “J” a taxa de juros que remune-rará o capital usado para a compra dos condutores , o que pode ser uma grande vantagem na decisão de investir.

VII.COMPARAÇÕESENTREMATERIAIS Os materiais se diferenciam pela densidade pela conduti-vidade e pela resistência mecânica ao esforço longitudinal. O

material ideal deveria ter: 1) A menor densidade; 2) A maior condutividade elétrica e a 3) A maior resistência mecânica. Se as estas características técnicas pudéssemos associar o me-nor preço possível, estaríamos no melhor dos mu ndos para os condutores elétricos.

Todavia algumas das características técnicas são conflitantes uma com outra, por exemplo, menor a densidade menor e a resistência mecânica. Além disso, o preço depende da abundancia do metal na crosta terrestre e seu custo de metalurgia extrativa e refino para uso como material de engenharia.

Porém neste trabalho foram feitos alguns ensaios com alguns materiais metálicos e conjugados e assim seria inevitável uma comparação entre eles. O aço é um material estrutural que possui uma elevada resistência mecânica, mas é pesado e péssimo condutor de eletricidade (8% IACS). O Alumínio é leve e bom condutor de eletricidade (61% IACS), mas possui uma resistência mecânica muito baixa. O Cobre, comercialmente, é o melhor condutor de eletricidade (100% IACS), possui boa resistência mecânica, mas é muito pesado (e caro!). Os materiais conjugados (Aço Alumínio) compõem o conjunto de matérias conjugados (Propriedades do aço + propriedades do alumínio) e cujas propriedades são médias ponderadas da presença destes dois materiais no conjugado. Uma avaliação elétrica muito relevante é considerar a DENSIDADE DE CORRENTE ÓTIMA (A/mm2) que cada material (conjugado ou não!) pode transportar, conforme ilustra a figura 10 a seguir

%IACS I So AÇO 8 0,1644 AS(20,3) 20 0,2599 AS(27) 27 0,3020 AS(30) 30 0,3183 AS(40) 40 0,3676 AS(47) 47 0,3984 ACSR AS(53) 53 0,4231 AL 61 0,4539 CU 100 1,2655 $ 6 $ 0 10 8760 cos MWh kg C JdC S I ϕ ρ − =       FIGURA 10 DENSIDADE DE CORRENTE

Esta densidade de corrente será transformada em corrente quando a seção ótima (So) for determinada.

Outra comparação muito útil é aquela do uso ótimo do capital, pois a densidade de corrente pode variar numa faixa muito ampla e isto permite otimizar ulteriormente o capital investido através do n° de estruturas. Usando o exemplo 1 deste trabalho e recalculado a seção ótima para cada material vem A 83,67 Material So mm² AÇO 509,03 AS(20,3) 321,94 AS(27) 277,08 AS(30) 262,86 AS(40) 227,64 AS(47) 210,01 AS(53) 197,76 ACSR 197,76 AL 184,34 CU 66,12 SEÇÃO ÓTIMA

Considerando agora que o ACSR LINNET é o cabo comercial de seção mais próxima à ótima, outras seções de formações conjugadas de aço alumínio podem também ser considerada como solução.

(+10%) (A) ÓTIMO(-10%) EFETIVA 53% IACS 7N 2 154,65 99,24 63,69 83,76 53% IACS 7N 3 122,66 78,72 50,52 83,76 53% IACS 7N 4 97,29 62,44 40,07 83,76 53% IACS 7N 5 77,13 49,49 31,76 83,76 53% IACS 7N 6 61,17 39,26 25,19 83,76

A formação 7N4 é de todas aquelas cujo intervalo contém o valor da corrente efetiva, a de menor peso e maior perda joule para a corrente efetiva, enquanto a solução 7N2 é aquela de menor perda e maior peso. A figura a seguir ilustra o conjunto das soluções e os respectivos intervalos de corrente para 10% de uso do capital ótimo.

USO ÓTIMO DO CAPITAL INTERVALOS DE CORRENTES 0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00 140,00 160,00 180,00 7N 2 7N 3 7N 4 7N 5 7N 6 FORMAÇÕES 53% IACS AMPERES (+10%) (A) ÓTIMO (-10%) EFETIVA VIII.CONCLUSÕES

Foi apresentado um estudo sobre os aspectos técnicos e econômicos sobre a escolha da seção ótima para um condutor elétrico de onde algumas conclusões pre liminares podem ser avançadas:

1) O uso de critérios técnicos para a escolha da melhor seção dos condutores são necessários, mas não suficientes.

2) A seção ótima de um condutor obtida pelo critério técnico e econômico é sempre aquela em que os custos anuais das perdas pelo conceito de energia são iguais aos custos anuais do capital usado para aquisição de metais condutores.

3) A presença de reativos indutivos nas redes e linhas afeta marginalmente o valor da seção ótima (sempre para mais), mas podem ser desprezados em função da região optimal do problema.

4) A regulação do sistema afeta de modo significativo a seção ótima, mas não pode ser considerada na modelagem do problema por pertencer a outro grupo de soluções que, todavia contém o grupo de solução ótima. Fora do grupo de seção ótima, a regulação somente afeta o comprimento do alimentador (suposto radial) e as perdas.

5) As condições de curto circuito não afetam a seção ótima obtida com o critério de perdas anuais para a corrente nominal.

6) O ensaio de ciclo térmico é apenas uma informação adicional sobre desemp enho de materiais.

7) O modelo deste estudo acrescenta uma ferramenta muito útil para controlar o uso ótimo do capital, quando as variáveis de custo do dinheiro e tempo

de recuperação podem definir a seção do condutor elétrico.

IX.AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem a INTELLI Divisão de condutores bi metálicos e a COPPERSTEEL a permissão para publicar este trabalho

X.BIBLIOGRAFIA

[1] SHEE – “Standard Handbook for Electrical Engineers” MCGRAW HILL BOOKS COMPANY New York 1952 Chapter 14

[2] IEC – INTERNATIONAL ELECTTICAL COMISSION – 60287-3.1

CALCULATION OF CURRENT RATING 1999-05

[3] N KAGAN, C.C.BARIONI DE OLIVEIRA, E J ROBBA – “ Int rodução aos Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica” Edtora Edgard Blücher – 2005 pp 257

[4] P LABEGALINI, J LABEGALINI, R D FUCHS, M T de ALMEIDA- “PROJETO MECÂNICO DAS LINHAS AÉREAS DE TRANSMISSÃO – Ed. Edgard Blücher 2ª ed 1992 pp 528 [5] IEC (20A) “Guide to the Short Circuit temperatures Limits of

Electric Cables With a rated Voltage from 3,6 kV to 36 kV” Secretariat 102 Montreal Meeting 1985.

[6] NBR 9326 ABRIL 1986 – “Conectores Para Cabos de Potência - Ensaios de Ciclos Térmicos e Curto Circuito – pp 19

SÍMBOLOS E UNIDADES

I

Corrente circulante no condutor [A] r

Q

Calor liberado por radiação [W/km] c

Q

Calor liberado por convecção [W/km] s

Q

Calor absorvido por radiação solar [W/km] ca

R

Resistência do condutor em alternada [Ω/km] cc

I

Corrente de curto circuito [A]

t

tempo de duração do curto circuito [s]

S

Seção transversal do condutor

[ ]

mm

2

c

σ

Capacidade térmica específica do metal R

α

Coeficiente de variação da resistência [1/°C] f

θ

Temperatura final no curto circuito [°C] i

θ

Temperatura inicial no curto circuito [°C]

J

Taxa de juros anual sobre o capital

[

%

aa

]

d

Densidade do condutor [g/cm³]

$ kg

C

Custo por quilo do metal [$/kg] anual

capital

C

Custo anual do capital [$/km]

ρ

Resistividade do material condutor [Ωmm²/km]

$ M W h

C

Custo unitário das perdas [$/MWh]

ϕ

cos

Fator de potência da carga [ ] anual

perdas

C

Custo anual das perdas [$/km] anual

total

C

Custo anual total [$/km] e

K

Fator de custo por perdas [$mm²/km] c

K

Fator de custo por capital usado [$/(mm²km)]

ξ

Coeficiente devido às perdas [ ]

0

S

Seção ótima [mm²]

R

Resistência elétrica do condutor [Ω/km]

X

Reatância indutiva entre condutores [Ω/km]

λ

Comprimento do condutor ou alimentador [km]

total

E

Queda de tensão devido resistência e reatância [V] o

E

Tensão fase terra na barra [MV]

V

∆

Queda de tensão na carga [V] 0

V

Tensão fase terra na carga [V]

j

Operador fasorial

ω

Freqüência angular

[ ]

s

−1

l

Espaçamento entre os condutores

[ ]

m

r

Raio do condutor

[ ]

m

r

K

Fator de custo por perdas reativas

α

Fator de uso do capital ótimo

Apêndice 1

Características dos Materiais Metálicos

MATERIAL %IACS JUROS

T=69 KV 69KV<T=13,8KV T<13,8 KV AÇO 8 7,78 215,51 2,25 65 85 125 0,18 AS - 20%IACS 20 6,76 86,21 2,59 65 85 125 0,18 AS - 27%IACS 27 6,05 63,86 2,89 65 85 125 0,18 AS - 30%IACS 30 5,75 57,47 3,04 65 85 125 0,18 AS - 40%IACS 40 4,73 43,10 3,70 65 85 125 0,18 AS - 47%IACS 47 4,02 36,68 4,35 65 85 125 0,18 AS - 53%IACS 53 3,50 32,53 5,00 65 85 125 0,18 ACSR 53 3,50 32,53 5,00 65 85 125 0,18 ALUMINIO 61 2,70 28,26 6,48 65 85 125 0,18 COBRE 100 8,89 17,24 9,33 65 85 125 0,18 TABELA 1 $ kg C d ρ CMWh$

Apêndice 2

Dados do Cabo ACSR LINNET

DESCRIÇÃO VALOR UNIDADE

PARÂMETROS FÍSICOS

CÓDIGO Linnet

FORMAÇÃO 26+7

SEÇÃO TRANSVERSAL DO CABO 198,40 mm²

PARTICIPAÇÃO (Al) 85,91 %

PARTICIPAÇÃO (AÇO) 14,09 %

DIÂMETRO FIO mm

DIÂMETRO CABO 18,31 mm

PESO NOMINAL 0,68 DaN/m

DENSIDADE DO CABO 3,48 g/cm³

PARÂMETROS MECÂNICOS

RESISTÊNCIA MECÂNICA CALCULADA (RMC) 6273 DaN

COEFICIENTE DE DILATAÇÃO LINEAR 2,13827E-05 1/°C

MÓDULO DE ELASTICIDADE DO CABO 86 GPa

COBERTURA POR TONELADA 1450 m/Ton

PARÂMETROS ELÉTRICOS

CONDUTIVIDADE EQUIVALENTE 54 % IACS

COEFICIENTE DE VARIAÇÃO DA RESISTENCIA 4,1596E-03 1/°C

RESISTENCIA ELÉTRICA EM CC 20°C 0,1623 O/km

50°C 0,1826 O/km 75°C 0,1995 O/km 125°C O/km

RAIO MÉDIO GEOMÉTRICO 7,1317E-03 m

DISTANCIA MÉDIA GEOMÉTRICA ENTRE CONDUTORES 1,00E+00 m

REATENCIA INDUTIVA 0,3727 O/km

REATANCIA CAPACITIVA 0,2360 MO/km

CORRENTE EM REGIME PERMANENTE 50°C 441

75°C 618 A 125°C A

CORRENTE EM CURTO CIRCUITO DURAÇÃO 0,5S 27428 A

DURAÇÃO 1,0 S 19395 A EQUIVALENTE (kA)²t 376,15 A²s

CCQT (∆ V=7,97 kV ) Cos φ =0,95 0,3936 %/(MVA xkm)

CONDIÇÕES GERAIS

CAPACIDADE DE CORRENTE EM REGIME PERMANENTE

Emissividade da superfície do cabo 0,5

Velocidade do vento 1,0 m/s

Temperatura do ambiente 25 °C

CAPACIDADE DE CORRENTE EM CURTO CIRCUITO

Temperatura máxima do condutor 75 °C Temperatura máxima no curto circuito 250 °C

RESISTENCIA MECÂNICA CALCULADA

Teor de carbono da liga FeC

OBSERVAÇÃO

Os dados técnicos desta folha podem ser usados como informação de engenharia, mas podem ser aaterados sem prévio aviso, considerando desenvolvimentos tecnológicos ulteriores.

CONDUTOR ACSR