INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA APLICADA
TESTE B CURSOS: EII e EIG 2004/2005
Data: 17 de Janeiro de 2005 Duração: 14:30 às 17:00
Instruções:
1. Leia atentamente o teste/exame antes de começar. Só haverá lugar a esclarecimento de dúvidas nos primeiros 15 minutos.
2. Está autorizado a usar máquina de calcular individual.
3. O abandono da sala por desistência só deverá ocorrer depois de decorridos 45 minutos a partir do início do teste/exame.
Questões:
1. Um negociante de vinhos produz duas variedades de vinho branco: meio seco e seco. A venda de 5 litrosde vinho meio seco rende 25 euros enquanto que a venda de 5 litros de vinho seco rende 20 euros. Para produzir 5 litros de vinho meio seco são necessárias 3 caixas de uvas, 4 q uilos de açúcar e 2 medidas de extracto. Para produzir 5 litros de vinho seco utilizam-se 4 caixas de uvas, 2 quilos de açúcar e 1 medida de extracto. O negociante dispõe de 14 caixas de uvas, 8 quilos de açúcar e 6 medidas de extracto. Para determinar o plano de produção que maximiza o lucro obtido com a venda dos vinhos, modelou o seguinte
problema de PL: max z= 25x 1+ 20x2 s. a 3x1+ 4x2≤14 4x1+ 2x2≤8 2x1+x2≤6 x1,x2≥0 (a)
[1.0] Passe o problema à forma standard e indique, justificando, qual o algoritmo do simplex adequado àsua resolução. (b)
[2.0] Sabendo q ue a base óptima é constituída por {P2,P1,P5}, apresente o quadro óptimo, e respectiva
solução, recorrendo ao cálculo matricial. (c)
[2.0] Formule o problema dual e calcule a sua solução óptima através das propriedades da dualidade. (d)
[2.0] Verifique o Teorema dos Desvios Complementares e interprete economicamente a solução óptima do par de problemas duais.
(e)
[1.5] Considere uma alteração β no termo independente da restrição relativa aos quilos de açúcar. Qual a quantidade que, no máximo, o negociante pode reduzir no açúcar de forma a manter a anterior solução óptima?
(f)
[1.5] Suponha que a procura de vinho seco aumenta e o negociante aproveita para aumentar o preço para 6 euros/litro. Verifique o impacto na solução óptima do par de problemas duais.
(g)
[2.5] Suponha que surge a oportunidade de produzir um vinho branco frutado; cada 5 litros deste novoproduto pode render 30 euros, consumindo 3.5 caixas de uvas, 4 q uilos de açúcar e 0.5 medidas de extracto. Verifique se o novo produto tem viabilidade económica.
2. Considere a seguinte tabela de distâncias (em quilómetros) da rede viária entre 8 localidades portuguesas:
Lamego Castro de Aire 32
Lamego Moimenta 33
Castro de Aire Viseu 38
Moimenta Aguiar 19 Aguiar Fornos 30 Aguiar R. Moinhos 20 Viseu R. Moinhos 25 R. Moinhos Mangualde 30 Fornos Mangualde 28 (a)
(b)
[2.0] Determine o caminho mais curto entre Lamego e Mangualde, utilizando um algoritmo adequado. (c)
[2.0] Suponha que se pretende construir uma nova rede telefónica ao longo da rede viária. Que ligações devem ser feitas de forma a minimizar a extensão da rede telefónica? Utilize um algoritmo adequado. 3. Indique, justificando, o valor lógico das afirmações:
(a)
[1.0] Num modelo de Programação Linear o valor da função objectivo pode piorar se, nas restriçõesfuncionais, as desigualdades forem substituídas por igualdades. (b)
[1.0] Num problema de Programação Linear com quatro restrições funcionais, uma iteração do simplexpode incluir mais do que quatro variáveis básicas não negativas. (c)
Tópicos de Resolução do Teste B de MA (17/01/05)
1. Um negociante de vinhos produz duas variedades de vinho branco: meio seco e seco. A venda de 5 litros de vinho meio seco rende 25 euros enquanto que a venda de 5 litros de vinho seco rende 20 euros. Para produzir 5 litros de vinho meio seco são necessárias 3 caixas de uvas, 4 q uilos de açúcar e 2 medidas de extracto. Para produzir 5 litros de vinho seco utilizam-se 4 caixas de uvas, 2 quilos de açúcar e 1 medida de extracto. O negociante dispõe de 14 caixas de uvas, 8 quilos de açúcar e 6 medidas de extracto. Para determinar o plano de produção que maximiza o lucro obtido com a venda dos vinhos, modelou o seguinte
problema de PL: max z= 25x 1+ 20x2 s. a 34x1+ 4x2≤14 x1+ 2x2≤8 2x1+x2≤6 x1,x2≥0
(a) Passe o problema à forma standard e indique, justificando, qual o algoritmo do simplex adequado àsua resolução.
R: max z= 25x 1+ 20x2 s. a 3x1+ 4x2+x3= 14 4x1+ 2x2+x4= 8 2x1+x2+x5= 6 x1,x2,x3,x4,x5≥0
O algoritmo do simplex adeq uado à sua resolução é o Primal dado q ue possuímos uma sba do problema primal associada à base canónica (I3).
(b) Sabendo q ue a base óptima é constituída por{P2,P1,P5}, apresente o quadro óptimo, e respectiva
solução, recorrendo ao cálculo matricial. R: Como B = 4 3 02 4 0 1 2 1 , entãoB−1= 2 5 −103 0 −1 5 25 0 0 −1 2 1 , logo Pj=B−1Aj = 2 5 −103 0 −1 5 25 0 0 −1 2 1 14 : 3 4 1 0 0 8 : 4 2 0 1 0 6 : 2 1 0 0 1 = 16 5 : 0 1 25 −103 0 2 5 : 1 0 −15 25 0 2 : 0 0 0 −1 2 1 Quadro óptimo: cj – 25 20 0 0 0 cB PBPj P0 P1 P2 P3 P4 P5 20 P2 16/5 0 1 2/5 −3/10 0 25 P1 2/5 1 0 −1/5 2/5 0 0 P5 2 0 0 0 −1/2 1 zj 74 25 20 3 4 0 cj−zj 0 0 −3 −4 0 Logo, x∗=2 5,165,0,0,2 ez∗= 74.
(c) Formule o problema dual e calcule a sua solução óptima através das propriedades da dualidade.
R: Problema Dual: min w= 14u
1+ 8u2+ 6u3
s. a 3u1+ 4u2+ 2u3≥25
4u1+ 2u2+u3≥20
u1,u2,u3≥0
Passando as restrições funcionais a igualdades ficamos com: max w= 14u1+ 8u2+ 6u3
s. a 3u1+ 4u2+ 2u3−u4= 25
4u1+ 2u2+u3−u5= 20
u1,u2,u3,u4,u5≥0
Aplicando o teorema dos desvios complementares:
x∗ 1×u∗4 = 25×u∗4= 0⇔u∗4= 0 x∗ 2×u∗5 = 165 ×u∗5= 0⇔u∗5= 0 x∗ 5×u∗3 = 2×u∗3= 0⇔u∗3= 0
Resolvendo o sistema: 3u 1+ 4u2+ 2u3−u4= 25 4u1+ 2u2+u3−u5= 20 ⇔ 3u 1+ 4u2= 25 4u1+ 2u2= 20 ⇔ u 1= 3 u2= 4 Logo, u∗= (3,4,0,0,0) ew∗= 74.
(d) Verifique o Teorema dos Desvios Complementares e interprete economicamente a solução óptima dopar de problemas duais. ˙R: x∗ 1×u∗4 = 25×0 = 0 x∗ 2×u∗5 = 165 ×0 = 0 x∗ 3×u∗1 = 0×3 = 0 x∗ 4×u∗2 = 0×4 = 0 x∗ 5×u∗3 = 2×0 = 0 z∗= 74
w∗= 74 o lucro máximo obtido é de 74 eurosa valorização mínima dos recursos é de 74 euros
x∗ 1= 25
u∗ 4 = 0
produzem-se 2 litros de vinho meio seco
como existe produção de vinho meio seco não há custo de oportunidade
x∗ 2= 165
u∗ 5= 0
produzem-se 16 litros de vinho seco
como existe produção de vinho seco não há custo de oportunidade
x∗ 3= 0
u∗ 1= 3
as 14 caixas de uvas são completamente utilizadas na produção como o recurso é escasso tem o preço sombra de 3 euros/caixa de uva
x∗ 4= 0
u∗ 2= 4
os 8 quilos de açúcar são completamente utilizados na produção
como o recurso é escasso tem o preço sombra de 4 euros/quilo de açúcar
x∗ 5= 2
u∗ 3= 0
das 6 medidas de extracto há 2 que não são utilizadas na produção como o recurso é abundante não é valorizado internamente
(e) Considere uma alteraçãoa quantidade que, no máximo, o negociante pode reduzir no açúcar de forma a manter a anteriorβ no termo independente da restrição relativa aos quilos de açúcar. Qual solução óptima?
R: temos uma alteração nos termos independentes, logo b=b+ ∆b= 14
8 +6β
Actualizando b para o quadro final: P
0=B−1×b= 2 5 −103 0 −1 5 25 0 0 −1 2 1 14 8 +6β = − 3 10β+165 2 5β+25 −1 2β+ 2 .
Para a actual solução se manter óptima:
P 0=P0⇔ − 3 10β+165 2 5β+25 −1 2β+ 2 = 1652 5 2 ⇔ 16 52−103β≥165 5+25β≥25 2−1 2β≥2 ⇔β= 0
Conclui-se que não se pode registar qualquer diminuição no 2o termo independente sem alterar a
anterior solução óptima.
(f) Suponha que a procura de vinho seco aumenta e o negociante aproveita para aumentar o preço para 6 euros/litro. Verifique o impacto na solução óptima do par de problemas duais.
R: cj – 25 30 0 0 0 cB PBPj P0 P1 P2 P3 P4 P5 30 P2 16/5 0 1 2/5 −3/10 0 25 P1 2/5 1 0 −1/5 2/5 0 0 P5 2 0 0 0 −1/2 1 zj 106 25 30 7 1 0 cj−zj 0 0 −7 −1 0 x∗= (2/5,16/5,0,0,2) ez∗= 106 e u∗= (7,1,0,0,0) ew∗= 106.
(g) Suponha que surge a oportunidade de produzir um vinho branco frutado; cada 5 litros deste novoproduto pode render 30 euros, consumindo 3.5 caixas de uvas, 4 q uilos de açúcar e 0.5 medidas de extracto. Verifique se o novo produto tem viabilidade económica.
R: Temos uma nova variável de decisão: x6: quantidade de 5 litros de vinho frutado a produzir
c6= 30 e A6= 472 1 2
Actualizando A6 para o quadro final, P6=B−1×A6= 2 5 −103 0 −1 5 25 0 0 −1 2 1 472 1 2 = 1 59 10 −3 2
Calculando a nova diferença c6−z6= 30−[ 20 25 0 ] 1 59 10 −3 2 = 7 2
Como c6−z6>0, a anterior solução deixa de ser óptima, logo, cj – 25 20 0 0 0 0 cB PBPj P0 P1 P2 P3 P4 P5 P6 20 P2 16/5 0 1 2/5 −3/10 0 1/5 25 P1 2/5 1 0 −1/5 2/5 0 9/10 0 P5 2 0 0 0 −1/2 1 −3/2 zj 74 25 20 3 4 0 53/2 cj−zj 0 0 −3 −4 0 7/2 20 P2 28/9 −2/9 1 4/9 −7/18 0 0 30 P6 4/9 10/9 0 −2/9 4/9 0 1 0 P5 8/3 5/3 0 −1/3 1/6 1 0 zj 6809 260/9 20 20/9 50/9 0 30 cj−zj −35/9 0 −20/9 −50/9 0 0 Então, x∗= (0,28/9,0,0,8/3,4/9) ez∗=680
9 , como o lucro aumenta, existe viabilidade económica
para a produção deste novo tipo de vinho.
2. Considere a seguinte tabela de distâncias (em quilómetros) da rede viária entre localidades portuguesas:
Lamego Castro de Aire 32
Lamego Moimenta 33
Castro de Aire Viseu 38
Moimenta Aguiar 19 Fornos Mangualde 28 Aguiar Fornos 30 Aguiar R. Moinhos 20 Viseu R. Moinhos 25 R. Moinhos Mangualde 30
(a) Represente a situação numa rede.
R: Utilizando a legenda: L=Lamego, C=Castro de Aire, Mo=Moimenta, F=Fornos, A=Aguiar, V=Viseu, R=R. Moinhos e Ma=Mangualde, temos:
Ma A C R 33 Mo L 38 30 32 19 28 25 F V 20 30 Ma A C R 33 Mo L 38 30 32 19 28 25 F V 20 30
R:
l(L) l(M o) l(F ) l(C) l(A) l(V ) l(R) l(M a) p=i Γp Act. l(i)
0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ L {C,Mo} l(C)=min{∞,0 + 32}=32 l(M o)=min{∞,0 + 33}=33 33 ∞ 32 ∞ ∞ ∞ ∞ C {V} l(V )=min{∞,32 + 38}=70 33 ∞ ∞ 70 ∞ ∞ Mo {A} l(A)=min{∞,33 + 19}=52 ∞ 52 70 ∞ ∞ A {R,F} l(R)=min{∞,52 + 20}=72 l(F )=min{∞,52 + 30}=82 82 70 72 ∞ V {R} l(R)=min{72,70 + 25}=72 82 72 ∞ R {Ma} l(M a)=min{∞,72 + 30}=10 82 102 F {Ma} l(M a)=min{102,82 + 28}=1 102 Ma Fim
O caminho mais curto entre o Lamego e Mangualde corresponde a uma distância de 102 quilómetros, sendo o correspondente percurso:
Lamego →Moimenta→ Aguiar→ R. Moinhos→ Mangualde
(c) Suponha que se pretende construir uma nova rede telefónica ao longo da rede viária. Que ligaçõesdevem ser feitas de forma a minimizar a extensão da rede telefónica? Utilize um algoritmo adequado. R: m= 9 (arestas) e n= 8 (vértices)
|T∗|= 8−1 = 7
e1 = (Mo,A) (19), e2 = (A,R) (20), e3 = (V,R) (25), e4 = (F,Ma) (28), e5 = (A,F) (30),
e6= (R,Ma) (30),e7= (L,C) (32),e8= (L,Mo) (33),e9= (C,V) (38), T∗=∅ e k= 1 ek T∗ ck |T∗| act. k e1 Mo –A 19 1 2 e2 Mo–A–R 20 2 3 e3 Mo –A–R –V 25 3 4 e4 Mo–A–R –V F –Ma 28 4 5 e5 Ma Mo– –F A – R – V 30 5 6 e6 cria ciclo 5 7 e7 C – L Ma Mo– –F A – R – V 32 6 8 e8 C – L Ma– Mo– –F A – R – V 33 7 Fim 187 Sendo o comprimento da nova rede telefónica igual a 187 quilómetros. 3. Indique, justificando, o valor lógico das afirmações:
(a) Num modelo de Programação Linear o valor da função objectivo pode piorar se, nas restrições funcionais, as desigualdades forem substituídas por igualdades.
R: Verdade.
(b) Num problema de Programação Linear com quatro restrições funcionais, uma iteração do simplex pode incluir mais do que quatro variáveis básicas não negativas.
R: Falso.
(c) Na prática (vida real) as variáveis de um modelo de Programação Linear podem ser livres, isto é, assumir valores positivos, negativos ou nulos.
