Fragmentos de teoria das distribuições

Fragmentos de teoria das distribuições

Alysson Tobias Ribeiro da Cunha

Marcos Leandro Mendes Carvalho

Resumo

O presente trabalho tem por objetivo apresentar uma breve discussão sobre a aplicação da Trans-formada de Fourier na teoria das distribuições, que é bastante usada para a solução de Equações Diferencias Parciais (EDP). Salientamos que este não pretende ser um texto a ser usado num curso da citada teoria, mas sim de divulgação da mesma, caracterizando-se principalmente pela quanti-dade de exemplos. Para melhor compreensão, faz-se necessário o conhecimento de Análise, Álgebra linear, e Teoria da Medida.

Palavras-Chave: Teoria da distribuição, transformada de Fourier.

Fragments of distribution theory

Abstract

In this work we present a brief discussion about the Fourier Transform in the distribution theory, which is a useful tool in solving Parcial Diferential Equations (PDE). This text is not meant to be used in a distribution theory course , but only a short report, once there’s a great variaty of examples. We take for granted that the reader has basic knowledge on Analysis, Linear Algebra and Measure Theory.

Keywords: Distribution theory, Fourier transform.

1 Definições e Exemplos Preliminares

No se segue, dado um conjunto Ω e uma função f : Ω → C, o conjunto supp(f ) = {x ∈ Ω : f (x) 6= 0} será chamado de suporte de f . O conjuntoC0∞(Ω) indicará as funções infinitamente diferenciáveis

cujo o suporte seja compacto. Já a notação L1

loc(Ω) denota o conjunto das funções integráveis em

qualquer conjunto compacto K ⊂ Ω.

Denition 1. Diz-se distribuição a todo funcional linear contínuo u : C∞

0 (Ω) → C. O conjunto de

todas as distribuições será denotado por D0(Ω).

Example 2. Seja f ∈ L1

loc(Ω). Defina

hTf, ϕi =

ˆ

f ϕdx, ϕ ∈ C∞₀ (Ω ) (1)

Tf define uma distribuição. Com efeito, sejam ϕ, ψ ∈ C0∞(Ω)e λ ∈ C. Logo,

hTf, ϕ + λψi = ˆ f (x)[ϕ(x) + λψ(x)]dx = ˆ f (x)ϕ(x)dx + λ ˆ f (x)ψ(x)dx = = hTf, ϕi + λhTf, ψi

E dada uma seqüência (ϕj)em C0∞(Ω)convergindo para zero, tem-se que existe um compacto K ⊂ Ω

tal que S(ϕj) ⊆ K, donde

|hTf, ϕji| =     ˆ Ω f (x)ϕj(x)dx     ≤     ˆ Ω f (x)ϕj(x)dx     ≤ sup x∈K |ϕj(x)| ˆ K |f (x)|dx → 0, quando j→ ∞

Portanto Tf é contínua. 

Example 3.

Dado a ∈ Ω, defina hδa, ϕi = ϕ(a). O funcional δaé uma distribuição. Com efeito, sejam ϕ, ψ ∈ C0∞(Ω)

e λ ∈ C. Logo,

hδa, ϕ + λψi = (ϕ + λψ)(a) = ϕ(a) + λψ(a) = hδa, ϕi +hλδa, ψi

Além disto, seja (ϕj)uma seqüência em C0∞(Ω)convergindo para zero, donde

hδa, ϕji = ϕj(0) → 0 = 0(a) = hδa, 0i,

Portanto δaé contínua. Chamaremos δa de delta de Dirac concentrada em a.

Proposition 4. Sejam f, g ∈ L1

loc(Ω)tais que hTf, ϕi = hTg, ϕi, para toda ϕ ∈ C0∞(Ω). Então f = g,

a menos

de um conjunto de medida nula.

Demonstração. Sejam K um subconjunto compacto de Ω, h = f − g e α ∈ C∞

0 (Ω)valendo um em K.

Desta maneira αh ∈ L1_(Rn_{), visto que α igual a zero em R}n_{− Ω. Daí,}

(αh)(x) = −n ˆ (αh)(y)ϕ x − y   dy = hTf, βi − hTg, βi = 0

onde β(y) = −nα(y)ϕ x−y_
∈ C∞

0 (Ω). Por outro lado, se tomarmos  → 0 obtemos que (αh)→ αh

nula. Resta-nos mostrar que a última igualdade vale para Ω. Para isto, para cada n ∈ N considere os conjuntos

Kn= {x ∈ Ω : d(x, ∂Ω) ≥

1

n e |x| ≤ n} (2)

Estes são compactos eS∞

n=1Kn = Ω(Mostre isto!). Aplicando a Kn o que foi mostrado, tem-se que

f = gem Ω.

2 A Transformada de Fourier

Denition 5. Seja f ∈ L1

(Rn_{), então a transformada de Fourier de f é definida por}

F f (ξ) = ˆf (ξ) = 1 (2π)n/2

ˆ

e−ix·ξf (x)dx.

Denition 6. Chamaremos de Espaço de Schwartz, denotado por S(Rn_{)(ou S) ao espaço das funções f ∈ C}∞

(Rn)tais que

kf kα,β = sup x∈Rn

|xα_∂β

f (x)| < ∞, ∀ α, β ∈ Nn.

Denition 7. Chamamos de distribuição temperada a todo funcional linear contínuo u : S → C. O conjunto das distribuições será denotado por S0_(Rn_{)ou simplesmente S}0_.

Example 8. Seja hv.p.1 x, ϕi = v.p. ´ R ϕ(x) x dx = limx↓0 ´ |x|≥ ϕ(x) x dx. Então v.p. 1 x ∈ S 0 (R), de fato a linearidade é trivial. Provaremos a continuidade

ˆ |x|≥ ϕ(x) x dx = ˆ ∞  ϕ(x) x dx + ˆ − −∞ ϕ(x) x dx = ˆ ∞  ϕ(x) x dx − ˆ ∞  ϕ(−x) x dx = ˆ ∞  ϕ(x) − ϕ(−x) x dx → ˆ ∞ 0 ϕ(x) − ϕ(−x) x dx = ˆ 1 0 ϕ(x) − ϕ(−x) x dx + ˆ ∞ 1 ϕ(x) − ϕ(−x) x dx. Logo \begin{eqnarray*} |hv.p.1 x, ϕ(x)i| ≤     ˆ 1 0 ˆ x −x ϕ0(t) x dtdx     + ˆ ∞ 1 x|(ϕ(x) − ϕ(−x))| x2 dx ≤ 2kϕ0kL∞+ 2kxϕk_L∞ ˆ ∞ 1 dx x2 = 2kϕk0,1+ 2kϕk1,0C.

A distribuição v.p.1_xé chamada valor principal de _x1.

Denition 9. Seja u ∈ S0_{, então definimos a transformada de Fourier de u por}

hˆu, ϕi = hu, ˆϕi, ∀ ϕ ∈ S.

Example 10. (Transformada de Fourier do Valor Principal) Seja ϕ ∈ S(R), então h(v.p.1 x) ∧_{, ϕi = hv.p.}1 x, ˆϕi = lim↓0 ´ |x|≥ ˆ ϕ(x) x dx = (2π) −1/2_lim ↓0R→∞lim ˆ R≥|x|≥ 1 x ˆ ∞ −∞ e−iξxϕ(ξ)dξdx Temos que ˆ R≥|x|≥ 1 x ˆ ∞ −∞ e−iξxϕ(ξ)dξdx = ˆ ∞ −∞ ϕ(ξ) ˆ R≥|x|≥ e−iξx x dxdξ = ˆ ∞ −∞ ϕ(ξ) ˆ R≥|x|≥ (cos ξx x − i sin ξx x )dxdξ = −i ˆ ∞ −∞ ϕ(ξ) ˆ R≥|x|≥ sin ξx x dxdξ. Como ˆ ∞ −∞ sin x x dx = π, temos que lim ↓0R→∞lim ˆ R≥|x|≥ sin ξx x dx =      π, se ξ > 0 0, se ξ = 0 −π, se ξ < 0 Definindo a função sgn(ξ) =      1, se ξ > 0 0, se ξ = 0 −1, se ξ < 0 Temos h(v.p.1 x) ∧_{, ϕi = −i(}π 2) 1/2 ˆ ∞ −∞ ϕ(ξ)sgn(ξ)dξ. Portanto  v.p.1 x ∧ (ξ) = −iπ 2  1/2_sgn(ξ).

Lemma 11. Seja f≥ 0, f∈ L1(Rn)tal que

´

fdx = 1e

´

|x|>afdx → 0, com  → 0, \textrm{para

todo} a > 0. Então

f→ δ, com  → 0, em D0(Rn).

Sejam ϕ ∈ C∞

0 (Rn). Dado 0> 0, tome ˜e a > 0 tais que

0 <  < ˜ ⇒ ˆ f< 0 4kϕk∞ . e |x| ≤ a ⇒ |ϕ(x) − ϕ(0)| < 0 4kϕk∞ . Então | hf, ϕi − hδ, ϕi | ≤ ˆ f| ϕ(x) − ϕ(0) | = ˆ |x|>a f| ϕ(x) − ϕ(0) | + ˆ |x|≤a f| ϕ(x) − ϕ(0) | < 2kϕk∞ ˆ |x|>a f+ 0 4kϕk∞ ˆ |x|≤a f < 0 2 + 0 2 = 0

Seja H a função de Heaviside, então

b H(ξ) = 2 π 1/2 δ(ξ) − i πv.p. 1 ξ  .

De fato, sabemos que H /∈ L1

(R), então definindo u(x) = H(x)e−x, temos que u ∈ L1(R). Note

que u→ H em S0, com  → 0. Temos ainda

(2π)1/2uˆ(ξ) = ˆ ∞ 0 e−(+iξ)xdx = −e −(+iξ)x  + iξ    ∞ 0 = 1  + iξ =  2_{+ ξ}2 − i ξ 2_{+ ξ}2. Seja f= 1 π  2_{+ ξ}2, então ˆ ∞ −∞ fdx = 1 π ˆ ∞ −∞ dξ 1 + ξ  2 = 1 π ˆ ∞ −∞ du 1 + u2 = 1 e ˆ |ξ|>a fdξ ≤  1 π ˆ |ξ|>a dξ ξ2 = 2 1 a2_π → 0, com  → 0.

Então pelo Lema 11 f→ δ em S0.

Temos também que ξ

2_{+ ξ}2 → v.p. 1 ξ em S 0_{.De fato} h ξ 2_{+ ξ}2, ϕi = ˆ ∞ −∞ ξϕ(ξ) 2_{+ ξ}2dξ = ˆ ∞ 0 ξϕ(ξ) 2_{+ ξ}2dξ + ˆ 0 −∞ ξϕ(ξ) 2_{+ ξ}2dξ = ˆ ∞ 0 ξ(ϕ(ξ) − ϕ(−ξ)) 2_{+ ξ}2 dξ.

Já vimos também no exemplo 8 que

hv.p.1 ξ, ϕi = ˆ ∞ 0 ϕ(ξ) − ϕ(−ξ) ξ dξ. Portanto

|h ξ 2_{+ ξ}2 − v.p. 1 ξ, ϕi| ≤ ˆ ∞ 0      _ξ2 2_{+ ξ}2 − 1  (ϕ(ξ) − ϕ(−ξ)) ξ     dξ → 0, com  → 0,

pelo Teorema da Convergencia Dominada. Então de ˆu= _π2
1/2 f−_πi_2_+ξξ 2  temos que ˆu→ 2_π
1/2 δ(ξ) − i πv.p. 1 ξ  em S0. Como ˆu→ ˆH, obtemos o resultado.

Referências

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Textos de Pós graduação,2004.