MODELOS DE DECOMPOSIÇÃO

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Econometria III

ANE059

A P O S T I L A

MODELOS DE DECOMPOSIÇÃO

Prof. Rogério Silva de Mattos

Departamento de Economia Faculdade de Economia Universidade Federal de Juiz de Fora

Rogério.mattos@ufjf.edu.br

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EXEMPLOS DE SÉRIES TEMPORAIS -10 -5 0 5 10 15 20 95 96 97 98 99 00 01 02 TXI

INFLAÇÃO BRASILEIRA (IGP-DI)

0 2000 4000 6000 8000 10000 70 72 74 76 78 80 82 84 86 XKOREA EXPORTAÇÕES COREANAS 10000 12000 14000 16000 18000 20000 22000 24000 26000 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 RETAIL

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CONCEITOS

Série Temporal: Conjunto de observações para uma variável aleatória Y

organizadas ou indexadas pelo tempo. As observações apresentam uma dependência serial (não podem ser re–ordenadas ou embaralhadas)

Amostra Aletória: Conjunto de observações independentes para uma

variável aleatória Y. Não apresentam dependência serial (logo, podem ser re– ordenadas e embaralhadas)

Modelo de Série Temporal: Aproximação matemática do comportamento

apresentado por uma de uma série temporal

USOS DE MODELOS DE ST

Descrição: identificação dos padrões de evolução intrínsecos apresentados

pela série temporal

Previsão: cômputo dos valores futuros esperados para uma série temporal Aplicações: Análise de conjuntura econômica; previsão de demanda de

linhas de produtos (marketing e planejamento de produção); previsões climáticas; previsões demográficas; previsões de casamentos; etc.

HISTÓRICO

Antes de 1955: Modelos clássicos de decomposição

1957–1962: Modelos de Alisamento Exponencial (Holt–Winters e Brown) Décadas de 60/70: Modelos de Box–Jenkins (ARIMA)

Década de 80: Modelos estruturais clássicos e bayesianos (Filtro de

Kalman)

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SÉRIES TEMPORAIS versus ECONOMETRIA

ST Econometria

Ênfase em métodos univariados

Métodos multivariados

(regressão múltipla e sistemas de equações)

Informação do modelo está nos dados

Teoria econômica guia e influi na construção dos modelos Previsões incondicionais

(Extrapolação)

Previsões condicionais a cenários para as variáveis explicativas

ROTEIRO DO CURSO

Modelos de Decomposição Clássicos Ajuste Sazonal

Modelos de Alisamento Exponencial Modelos de Decomposição com Regressão Modelos Autorregressivos

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MODELOS DE DECOMPOSIÇÃO t t t t t T C S e Y     Yt = série temporal Tt = tendência Ct = ciclo St = sazonalidade et = irregularidades

Representação sem Ciclo: Yt Tt St et

FORMULAÇÕES

Modelo Aditivo: Yt Tt St et

Modelo Multiplicativo: Y_t T_tS_t e_t Modelo Misto: Y_t T_t S_t e_t

ESTIMAÇÃO DAS COMPONENTES

Seja: Yt Tˆt(Y)Sˆt(Y)eˆt(Y)

onde Y{Y₁,...,Y_N} é um conjunto de observações da série Yt. Tendência Tˆ : Médias Móveis _T

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MÉDIAS MÓVEIS

Objetivo: Suavizar Oscilações Erráticas e Sazonais

Não–Centrada: P Y Y Y Tˆ_t  t  t1... tp  Previsão Centrada: 1 ... ... ˆ /2 1 1 /2             P Y Y Y Y Y T t P t t t t P t  Descrição

Quanto maior P, maior o suavizamento ou alisamento.

Exemplos para P = 2 e P = 3

Vendas do Comércio Varejista Americano

10000 14000 18000 22000 26000 53.01 53.12 54.11 55.10 56.09 57.08 58.07 59.06 60.05 61.04 62.03 63.02 64.01 MM(3) MM(2) RETAIL

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MÉDIAS MÓVEIS SAZONAIS

Objetivo: modelar tendência

P = ciclo sazonal ou no. de períodos sazonais

(mensal, bimestral, trimestral, etc.)

Exemplo (série com sazonalidade mensal; P = 12):

Centrada: 13 ... ... ˆ  t6   t1 t  t1   t6 t Y Y Y Y Y T

Obs: Perde–se as 6 primeiras e as 6 últimas observações da série;

10000 15000 20000 25000 30000 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 RETAIL MMM

Vendas do Comércio Varejista Americano

No Eviews

Comando @MOVAV(X,r) = (X + X(-1)+...+X(-r+1))/r

Exemplos

Na janela de equação da opção Genr, digitar:

M2 = @MOVAV(X,3) = = (X + X(-1)+X(-2))/3; Média Móvel Simples de Tamanho 3 MMS = @MOVAV(X(+6),13) = (X(+6)+...+X+…+X(-6))/13; Média Móvel Sazonal Mensal

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FATORES SAZONAIS

Estimação da Sazonalidade ou Componente Sazonal

  

 ˆt ( t t)

t T S e

Y i = 1,...,I são anos

  

 ˆij ( ij ij) ij T S e

Y j = 1,...,P são períodos sazonais

I T Y T Y T Y S j j j j j Ij Ij ) ˆ ( ... ) ˆ ( ) ˆ ( ˆ 1  1  1  1      ILUSTRAÇÃO PARA P = 12

Anos Jan(1) Fev(2) Mar(3) . . . Dez(12)

1 ₍ ˆ ₎ 11 11 T Y  (Y₁₂Tˆ₁₂) . . . . . . (Y₁_,₁₂Tˆ₁_,₁₂) 2 ₍ ˆ ₎ 21 21 T Y  (Y₂₂ Tˆ₂₂) : : : : : I ₍ ˆ ₎ 1 1 I I T Y  (YI2 TˆI2) . . . . . . (YI1TˆI1) Médias 1 * ˆS ˆS_*₂ ˆS _*₁₂ -5000 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 RETAIL MM SEASFAC

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AJUSTE SAZONAL

Conceito: Construir uma nova série YAt a partir da série original Yt , onde os

efeitos da sazonalidade são eliminados.

Modelo Aditivo Estimado: Y_t Tˆ_t Sˆ_t eˆ_t

Modelo Multiplicativo Estimado: Y_t Tˆ_tSˆ_t eˆ_t

Série Ajustada: Modelo Aditivo: YAt Yt Sˆt Tˆt eˆt Modelo Multiplicativo: t t t t t T e S Y YA ˆ ˆ ˆ    10000 12000 14000 16000 18000 20000 22000 24000 26000 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 RETAILSA

VENDAS DO COMÉRCIO VAREJISTA AMERICANO (Ajustada Sazonalmente)

Obs: Usou–se o ajuste para modelo aditivo.

No Eviews

Opção Quick\Series Statistics\Seasonal Adjustment

(Nas versões mais novas, clique na série e escolha Proc/Seasonal Adjusment) Entrar nome da série:

Escolher: Adjustment method

* Difference from moving average (para aditivo) * Ratio to moving averate (para multiplicativo)

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MÉTODOS DE ALISAMENTO EXPONENCIAL Características: – Automáticos (intervenção do analista)

– Descrição – Previsão

Alisamento Exponencial Simples (Holt 1 parâmetro) Alisamento Exponencial Duplo (Holt 2 parâmetros) Método de Winters (ou Holt–Winters)

Usos: – previsão e planejamento de curto prazo

– itens de linhas de produção ou vendas diversificados

MODELO TÍPICO t t t T t T S e Y     Yt = série temporal t = nível

Tt = tendência (crescimento do nível) St = sazonalidade

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ALISAMENTO EXPONENCIAL SIMPLES (Holt 1 parâmetro)

Para séries localmente constantes (SEM tendência ou sazonalidade)

t t t e Y   Método: 1 ˆ ) 1 ( ˆ _ _ _ _ t t t Y Y Y    : – parâmetro de alisamento

– definido pelo usuário ou estimado

Propriedades de 

1

0 Para ser alisamento 0



 Informações recentes e antigas são relevantes 1



 Só informações recentes são relevantes

Representação alternativa: ... ) 1 ( ) 1 ( ˆ 1 2 1       t t_ t_ t Y Y Y Y     

Pesos , (1–), (1–)2, ... decaem exponencialmente

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-2 -1 0 1 2 3 4 5 95 96 97 98 99 00 01 02 TXI TXISM

INFLAÇÃO BRASILEIRA (IGP-DI) (AES)

Parameters: Alpha 0.160

Sum of Squared Residuals 63.136

Root Mean Squared Error 0.847

End of Period Levels: Mean 0.814 Obs: Modelo Aditivo

ALISAMENTO EXPONENCIAL DUPLO (Holt 2 parâmetros)

Para séries COM tendência (SEM sazonalidade): Yt t Tt et

Método:                 1 1 1 1 ˆ ) 1 ( ) ˆ ˆ ( ˆ ) ˆ ˆ )( 1 ( ˆ t t t t t t t t T Y Y T T Y Y Y    

 – parâmetro de alisamento do nível  – parâmetro de alisamento da tendência Propriedades de , 

1 ,

0   Para ser alisamento

0 , 

 Informações recentes e antigas são relevantes

1 , 

 Só informações recentes são relevantes

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5 6 7 8 9 10 70 72 74 76 78 80 82 84 86 LXKOREA LXKORESM

LOG EXPORTAÇÕES COREANAS (AED 2 Parâmetros)

Parameters: Alpha 0.56

Beta 0.09

Sum of Squared Residuals 1.217484 Root Mean Squared Error 0.140132 End of Period Levels: Mean 8.890744 Trend 0.026786 Obs: Modelo Aditivo

MÉTODO DE WINTERS (conhecido como Holt–Winters)

Para séries COM Tendência e Sazonalidade Sazonalidade Aditiva: Yt t Tt St et Sazonalidade Multiplicativa: Yt (t Tt)St et Sazonalidade Aditiva: P t t t t t t t t t t P t t t S Y Y S T Y Y T T Y S Y Y                    ˆ ) 1 ( ) ˆ ( ˆ ˆ ) 1 ( ) ˆ ˆ ( ˆ ) ˆ ˆ )( 1 ( ) ˆ ( ˆ 1 1 1 1       Previsão  – passos à frente: : : 2 ,.., 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ,.., 2 ,. 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 P P S T Y Y P S T Y Y P T T T T P T T T T                       

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MÉTODO DE HOLT–WINTERS (Continuação) Sazonalidade Multiplicativa P t t t t t t t t t t P t t t S Y Y S T Y Y T T Y S Y Y                  ˆ ) 1 ( ˆ ˆ ˆ ) 1 ( ) ˆ ˆ ( ˆ ) ˆ ˆ )( 1 ( ˆ ˆ 1 1 1 1       Previsão  – passos à frente: : : 2 ,.., 1 ˆ ) ˆ ˆ ( ˆ ,.., 2 ,. 1 ˆ ) ˆ ˆ ( ˆ 2 P P S T Y Y P S T Y Y P t t t t P t t t t                      10000 12000 14000 16000 18000 20000 22000 24000 26000 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 RETAIL RETAILSM

VENDAS DO COMÉRCIO VAREJISTA AMERICANO (Método de Winters)

Parameters: Alpha 0.360 Seasonals: 1962.08 88.322 Beta 0.000 1962.09 -360.502 Gamma 0.000 1962.10 399.574 Sum of Squared Residuals 22673141 1962.11 172.349 Root Mean Squared Error 422.527 1962.12 3460.125 End of Period Levels: Mean 20540.180 1963.01 -1660.008 Trend 51.124 1963.02 -2439.233 1963.03 -464.857 1963.04 -67.781 1963.05 454.395 1963.06 513.770 1963.07 -96.154

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DECOMPOSIÇÃO COM REGRESSÃO Modelo Aditivo: Y_t T_t S_t e_t Tendência: T_t ₀ ₁t₂t2..._mtm Sazonalidade:               _ _ outro j D D D D D S jt P P t 0 sazonal periodo 1 ... 1 1 3 3 2 2 1 1     Logo: Y_t ₀₁t₂t2..._mtm₁D₁..._PD_P_₁e_t

Obs: como D1t + ... + DPt = 1, há colinearidade perfeita com a constante 0,

por isso usa–se só P–1 dummies.

t D1 D2 D3 D4 1999.1 1 1 0 0 0 1999.2 2 0 1 0 0 1999.3 3 0 0 1 0 1999.4 4 0 0 0 1 2000.1 5 1 0 0 0 2000.2 6 0 1 0 0 2000.3 7 0 0 1 0 2000.4 8 0 0 0 1 FORMULAÇÕES ALTERNATIVAS

1. Sem Constante e P dummies: t P P

m m t t t t D D Y   ... 1 1 ... 2 2 1

2. Sazonalidade com Restrição de Média Zero: 0

1 



 P p p  t P P t P P t t D D D S 1 1 ... 1, (1... 1) , ou * 1, * 1 1 t ... P P t t D D S    _ , onde        outro 0 sazonal período se 1 sazonal período se 1 * P j D_jT Logo: t P P t t m mt D D e t t Y ₀ ₁ ₂ 2 ... ₁ ₁* ... *_₁_, 

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t D1* D2* D3* 1999.1 1 1 0 0 1999.2 2 0 1 0 1999.3 3 0 0 1 1999.4 4 -1 -1 -1 2000.1 5 1 0 0 2000.2 6 0 1 0 2000.3 7 0 0 1 2000.4 8 -1 -1 -1 5000 10000 15000 20000 25000 30000 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 RETAIL TEND

VENDAS DO COMÉRCIO VAREJISTA AMERICANO

5000 10000 15000 20000 25000 30000 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 RETAIL RETAILC RETAIL-2*SF RETAIL+2*SF VENDAS DO COMÉRCIO VAREJISTA AMERICANO

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AJUSTAMENTO E DESEMPENHO PREDITIVO

Amostra (=Série Observada): Y1,...,YT Divisão da Amostra: Y1,...,YT* | YT*+1,...,YT*+H

Resíduo: eˆ_t Y_t Yˆ_t

Erro de previsão: fˆ_T*__l Y_T*__l Yˆ_T*__l

Qualidade do Ajustamento

(Período de Estimação: Y1,...,YT*)

Desempenho Preditivo

(Dentro da Amostra: YT*+1,...,YT*+H)

Y Y y y e R T t t t t T t t    



  _ˆ ˆ ˆ ˆ 1 1 2 * 1 2 2 * | ˆ | * 1 T e EAM T t t



  * ˆ * 1 2 T e REQM T t t



 



  * 1 ˆ * 1 T t t t Y e T EAMP



       * 1 2 ˆ * 1 T t t t Y e T REQMP * 2 * ˆ log * 1 2 T k T e AIC T t t              



 * * log * ˆ log * 1 2 T T k T e SC T t t              



 Y Y y y f R H T l T l l l T H l l T f          



* * 1 2 * 1 2 * 2 _ˆ ˆ ˆ 1 H f EAM H l l T f



   1 * | ˆ | H f REQM H l l T f



   1 2 * ˆ



    H l T l l T f Y f H EAM 1 * * ˆ 1



            T t T l l T f Y f H REQMP 1 2 * * ˆ 1 H k H f AIC H l l T f 2 ˆ log 1 2 *              



  H H k H e SC H l l T f log ˆ log 1 2              



 