RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DE WEBER USANDO PROGRAMAÇÃO EVOLUTIVA BASEADA EM DISTRIBUIÇÃO DE CAUCHY E ALGORITMO CULTURAL

A pesquisa Operacional e os Recursos Renováveis 4 a 7 de novembro de 2003, Natal-RN

RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DE WEBER USANDO PROGRAMAÇÃO EVOLUTIVA BASEADA EM DISTRIBUIÇÃO DE CAUCHY E ALGORITMO

CULTURAL

Leandro dos Santos Coelho

Pontifícia Universidade Católica do Paraná, Grupo Produtrônica

Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção e Sistemas, Lab. Automação e Sistemas,

Rua Imaculada Conceição, 1155, CEP 80215-901, Curitiba, PR, Brasil e-mail: lscoelho@rla01.pucpr.br

Viviana Cocco Mariani

Pontifícia Universidade Católica do Paraná, Departamento de Engenharia Mecânica Rua Imaculada Conceição, 1155, CEP 80215-901, Curitiba, PR, Brasil

e-mail: mariani@rla01.pucpr.br

Resumo: O campo da computação evolutiva tem contribuído para o ressurgimento de novas

idéias, muitas baseadas em novas inspirações biológicas. Neste artigo uma abordagem de aprendizado baseada em princípios de evolução cultural é apresentada. A abordagem consiste de um algoritmo de otimização combinando programação evolutiva rápida e a teoria de algoritmos culturais. Os resultados de simulação indicam que o algoritmo de otimização proposto apresenta melhoras tanto de desempenho nas propriedades de qualidade de solução quanto na precisão, para o problema de localização de facilidade conhecido como problema de Weber.

Palavras chave: programação evolutiva, algoritmos culturais, localização de facilidade,

problema de Weber.

Abstract: The field of evolutionary computation has seen a resurgence of new ideas, many

stemming from new biological inspirations. In this paper an approach to evolutionary learning based upon principles of cultural evolution is presented. The presented approach consists of an optimization algorithm that combines fast evolutionary programming and the cultural algorithms theory. Simulation results indicate that the proposed optimization algorithm present performance improvements in solution quality and precision properties for the facility location problem called Weber’s problem.

Keywords: evolutionary programming, cultural algorithms, facility location, Weber’s problem.

1. Introdução

Os problemas de localização de facilidade são problemas clássicos de pesquisa operacional. Estes problemas envolvem a determinação da localização de um ou mais serviços que facilitem o suprimento ótimo de um dado conjunto de destinos de demanda. Existem diversas categorias para o problema de localização, classificados: (i) pela força propulsora, (ii) pelo número de facilidades, (iii) pela discretização das escolhas, (iv) pelo grau de agregação de dados, e (v) pelo horizonte de tempo (Ballou, 1999). A localização de facilidades é um problema que existe no setor privado tal como a localização de plantas, warehouse, fábricas, e no setor público, por exemplo hospitais, centros de tratamento de saúde, estações de polícia, centros de distribuição de água, entre outros.

O economista alemão Alfred Weber (1909) publicou o livro Theory of location of industries (versão em inglês de 1929) sobre a localização de indústrias que dependiam da interação entre uma ou diversas funções objetivo, demandas e facilidades. Contudo, somente nos últimos 30 anos é que esta área de pesquisa tem sido explorada. O problema de Weber é um problema

clássico na análise de localização que visa encontrar a localização de um ponto de suprimento ou facilidade central que possa ser “bom” para diversos pontos de demanda (isto é, cidades) com o menor custo possível de transporte. Neste contexto, o custo total associado com a distribuição para diversos centros de demanda é minimizado. O modelo matemático enfoca que o custo é proporcional à distância até a facilidade. A constante de proporcionalidade pode refletir custos de transporte positivo, ou seja, um custo associado a presença de benefícios, ou negativo quando reflete a presença de restrições ambientes.

A computação evolutiva (ou evolucionária) é uma área emergente da ciência da computação que utiliza as idéias da evolução biológica natural e da genética para resolução de problemas de busca, otimização e aprendizado de máquina. Muitos destes problemas requerem a busca em um espaço amplo de possibilidades para as soluções. Problemas como estes requerem soluções complexas que são usualmente difíceis de serem tratadas por algoritmo convencionais de otimização, como algumas concepções do problema de Weber com diversos múltiplos locais. Neste artigo é proposta a implementação de um algoritmo de otimização da computação evolutiva denominado programação evolutiva (Fogel, 1994; Fogel, 1995) baseado na teoria de algoritmos culturais (Reynolds & Sverdlik, 1994). A concepção de otimização proposta objetiva um aprimoramento da técnica de programação evolutiva pela utlização de uma abordagem de otimização rápida usando operador de mutação com distribuição de Cauchy (Yao & Liu, 1996) e um algoritmo cultural de auto-adaptação dos mecanismos de busca local da programação evolutiva, para o problema de Weber, isto é, à determinação da melhor localização de uma fábrica, onde os custos de distribuição para diversos centros de demanda são minimizados. O artigo nas próximas seções é organizado da seguinte forma. Na seção 2, a descrição do problema de Weber é apresentada. Na seção 3, o algoritmo de otimização evolutivo baseado em algoritmo cultural é detalhado. As simulações e os respectivos resultados de dois estudos de caso para otimização do problema de Weber são apresentados e comentados na seção 4. Na seção 5 são apresentadas as conclusões e os trabalhos futuros a serem desenvolvidos.

2 Descrição do problema de Weber

No problema de Weber é suposto que existem N locais de demanda com coordenadas de localização

{ }

z_i ⊂ℜ2. As ponderações correspondentes a quantidade de demanda são atribuídas a variável

{ }

w e a função objetivo é a minimização da função, _i

[

( )

₁

]

2

[

( )

₂

]

2 1 1 ) ( N _{d i d i} i i i N i i z y z x w z x w x f = ∑ − = ∑ − + − = = , (1)

onde

{ } {

d = x_d,y_d

}

são as variáveis de projeto do método de minimização. No caso de

assumir-se que 0 1 > ∑ = N i i

w , um mínimo global existe. Se 0

1 < ∑ = N i i

w então inf f =−∞ e não existe um mínimo global. Nas próximas subseções são apresentados dois estudos de caso do problema de Weber utilizados para análise de desempenho do algoritmo evolutivo proposto neste artigo. Estes estudos de caso são propostos em Maranas & Floudas (1994) e Kelley (1999).

2.1 Estudo de caso I: Problema de Weber com um mínimo local

Este caso é o mais simples e possui três centros de demanda onde

(

)

_      = − = 88 11 42 43 90 2 ) , , ( e 5 , 4 , 2 z₁ z₂ z₃ w T . (2)

O mínimo global é d*=(90,11)T e o mínimo global tem uma função objetivo com valor de f*(x) = -264,4531.

2.2 Estudo de caso II: Problema de Weber com diversos mínimos locais

Este segundo estudo de caso tem dois mínimos locais, em (−10,10) e (0,0), e o mínimo global está em (25,30) com função objetivo f*(x) = 9,5607. Neste caso, existem quatro centros de demanda com

(

)

_      = − = 30 8 0 10 -25 5 0 10 -) , , , ( e 1 , 2 , 4 , 2 z₁ z₂ z₃ z₄ w T . (3)

3 Algoritmo evolutivo de otimização

Os paradigmas da computação evolutiva (ou computação evolucionária) são também denominados algoritmos evolutivos (ou algoritmos evolucionários). Os algoritmos evolutivos (AEs) são sistemas computacionais para resolução de problemas baseados nos princípios da teoria evolutiva e na genética. Uma variedade de algoritmos evolutivos tem sido desenvolvida e todos dividem uma base conceitual comum, através de procedimentos de seleção, mutação e recombinação. O interesse nestes algoritmos é devido ao fato de serem técnicas robustas e proverem mecanismos de busca eficientes frente a buscas globais.

Os AEs são técnicas robustas e eficientes em espaços de procura irregulares, complexos e apresentando múltiplas dimensões. Um AE caracteriza-se por: (i) operar em uma população de pontos; (ii) não requerer cálculos de derivadas e informação sobre o gradiente da função objetivo; (iii) trabalhar com a codificação de seu conjunto de parâmetros, não com os próprios parâmetros (representação binária); (iv) realizar transições probabilísticas, em vez de regras determinísticas; (v) necessitar apenas da informação sobre o valor da função objetivo para cada indivíduo da população; (vi) apresentar simplicidade conceitual; (vii) ser pouco afetado, quanto à eficiência, quando descontinuidades e ruídos estão presentes nos dados do problema. As características (iii) a (v) não são comuns a todos os AEs, mas geralmente presentes nos algoritmos genéticos.

O ciclo básico dos dados num AE é baseado nos seguintes passos: (i) geração aleatória da população de soluções iniciais;

(ii) avaliação da função de aptidão;

(iii) seleção dos indivíduos mais aptos de acordo com uma estratégia de seleção; (iv) aplicação dos operadores de recombinação e mutação;

(v) geração de uma nova população de soluções candidatas;

(vi) repetição dos passos (ii) a (v) até que uma condição de parada seja satisfeita.

Um compromisso entre convergência (exploitation) e diversidade dos membros que constituem a população (exploration) é um problema constante em AEs e deve ser considerado na configuração de uma metodologia de otimização eficiente. Os AEs são especialmente úteis em tarefas de otimização global, onde os métodos tradicionais de otimização podem apresentar limitações, tais como: (i) ter baixa velocidade de convergência, (ii) requerer alguma informação especial, como por exemplo, o gradiente da função objetivo, e (iii) se encontrar um ótimo local, existem dificuldades para escapar deste ponto (Sato & Hagiwara, 1997). Entretanto, a configuração de abordagens compostas por técnicas híbridas de otimização é uma alternativa relevante tratada na literatura (Tsutsui et al., 1999; Hart et al., 2000; Knowles & Corne, 2000; Burke & Smith, 2000).

Este artigo propõe a implementação de um procedimento de otimização híbrido combinado um algoritmo cultural e a técnica programação evolutiva rápida, estes descritos nas próximas seções de forma isolada e conjunta à concepção de uma nova abordagem de programação evolutiva rápida baseada em algoritmo cultural.

3.1 Programação evolutiva

A programação evolutiva (PE) foi desenvolvida inicialmente por L. J. Fogel, na década de 1960, teve enfoque na evolução de máquinas de estado finito. A transformação de seqüências de símbolos de entrada em seqüências de símbolos de saída, pelas máquinas de estado finito, visava a previsão de séries temporais. A PE foi estendida, posteriormente, a problemas de otimização de parâmetros.

A PE, de forma análoga aos outros AEs, utiliza os conceitos de evolução, para gerar progressivamente soluções apropriadas para ambientes estáticos ou que mudam dinamicamente. A PE, de forma similar as estratégias evolutivas (Bäck & Schwefel, 1993), difere dos algoritmos genéticos, pois são metodologias que simulam a evolução, enfatizando mais a ligação comportamental (relação fenotípica) entre as populações geradas (ancestrais e descendentes) que a ligação genética.

Na PE, a população inicial de soluções (valores reais) é gerada aleatoriamente de acordo uma função densidade, sendo após toda população classificada em relação a um dado objetivo. As soluções-descendentes são geradas de soluções-ancestrais através de operações de mutação. Tipicamente, cada indivíduo é composto de uma variável-objeto (vetor solução) acompanhada de um desvio padrão. Neste artigo a PE tem o indivíduo modificado por uma variável aleatória com distribuição de Cauchy (Yao & Liu, 1996; Yao et al., 1999; Chellapilla, 1998). A utilização do operador de mutação com distribuição de Cauchy necessita de uma função densidade de probabilidade centrada na origem e definida por

2 2 1 x w w f_t + = π , (4)

onde -∞ x< <∞, e w > 0 é um parâmetro de escala. A função de distribuição correspondente é       + = w x x F_t 1arctan 2 1 ) ( π . (5)

A forma de ft(x) parece-se com a função de densidade Gaussiana (normal), mas nas

proximidades o eixo ft(x) decresce mais vagarosamente. Como um resultado disto, a variância

da distribuição de Cauchy é infinita. O operador de mutação, com distribuição de Cauchy é útil para escapar de ótimos locais. A figura 1 apresenta as funções densidade de Cauchy e Gaussiana com média zero e desvio padrão, σ.

Figura 1. Funções densidade das distribuições de Cauchy e Gaussiana.

3.2 Algoritmo cultural

A cultura pode ser definida como “um sistema composto por fenômenos conceituais codificados de forma simbólica que são transmitidos socialmente e historicamente com e entre populações” (Durham, 1991).

Segundo Reynolds & Sverdlik (1994), “a evolução cultural habilita às sociedades a evoluir ou a se adaptar ao seu ambiente em taxas que excedem as da evolução biológica baseada somente na herança genética”. Na literatura diversos modelos co-evolutivos têm sido propostos, entre os quais algoritmos evolutivos adaptativos, mecanismos de efeito Baldwin, busca local, mecanismos de meta-aprendizado e auto-adaptação, algoritmos culturais, entre outros (Bäck et al., 1997).

Os algoritmos culturais (ACs) são baseados nesta premissa, de que é possível aprimorar a taxa de aprendizado (velocidade de convergência) de um algoritmo evolutivo adicionando-se mais um elemento de pressão evolutiva, o denominado belief space, este um mecanismo cultural (Franklin & Bergerman, 1999).

Os ACs são sistemas de herança dual que consistem de uma população social e um belief space. A experiência na resolução de problemas de um indivíduo é selecionada do espaço de população por uma função de aceitação que é utilizada para gerar o conhecimento de resolução do problema que reside no belief space. Este conhecimento pode ser visto como um conjunto de direcionamentos (“faróis”) que podem controlar a evolução do componente da população pelo significado adotado para a função de influência. Neste contexto, a função de influência pode utilizar o conhecimento presente no belief space para modificar algum aspecto do componente população (Reynolds & Chung, 1997). Para melhor explicitar estas definições, os componentes de um algoritmo cultural são representados com os respectivos fluxos de dados na figura 2.

Figura 2. Estrutura e componentes de um algoritmo cultural. belief space ajuste espaço de população herança função de influência função de aceitação seleção e

Os ACS possuem uma estrutura para o suporte do processo de auto-adaptação como especificado por Angeline (1995) e Eiben et al. (1999). O desempenho da PE comparado com o de outros algoritmos evolutivos depende da configuração adequada dos seus parâmetros internos de controle. As abordagens usuais de PE apresentam facilidades no ajuste de tais parâmetros através da utilização de procedimento de auto-adaptação (Beyer, 1995).

O princípio da auto-adaptação é facilitar o controle implícito dos parâmetros da PE pela incorporação deste princípio na representação do indivíduo com a evolução usual das variáveis-objeto (possíveis soluções do problema). O termo denominado parâmetros da estratégia (ou parâmetros de controle) referem-se aos parâmetros que controlam o procedimento de busca evolutiva, tais como: taxa de mutação, variância da mutação e taxa de recombinação de um algoritmo evolutivo (Bäck et al., 1997).

Muitas das pesquisas relacionadas aos princípios de auto-adaptação em algoritmos evolutivos tratam de parâmetros relacionados com operador de mutação. A técnica de auto-adaptação é geralmente empregada com sucesso nos ajustes de variâncias e de covariâncias em relação a uma distribuição normal n-dimensional.

Angeline (1995) afirma que é possível adaptar dinamicamente os aspectos de processamento de um AE antecipando as regularidades do ambiente, aprimorando o procedimento de otimização e enfatizando a rapidez na busca dos parâmetros. Os algoritmos evolutivos que apresentam mecanismos adaptativos (AEMAs) distinguem-se pela configuração dinâmica dos parâmetros selecionados ou mesmo operadores durante o ciclo evolutivo de otimização. Os AEMAs têm uma vantagem sobre os algoritmos evolutivos básicos, pois são mais reativos em antecipar as particularidades do problema, ou mesmo em algumas formulações podem dinamicamente adquirir informação sobre as regularidades no problema e explorá-las. Segundo Angeline (1995), os AEMAs podem ser separados em três níveis onde os parâmetros adaptativos estão presentes, que são:

(i) nível populacional: os métodos adaptativos ajustam dinamicamente os parâmetros, que são globais à população inteira;

(ii) nível individual: os métodos adaptativos modificam a maneira que um indivíduo da população é afetado pelos operadores de mutação;

(iii) nível de componente: os métodos adaptativos alteram a forma pela qual os componentes de cada indivíduo são manipulados independentemente dos outros indivíduos da população.

Os mecanismos de auto-adaptação, no âmbito de componente dos parâmetros da PE, providenciam uma das características principais do sucesso desta técnica. O operador de mutação é o operador principal da PE e sem a mudança na distribuição do operador de mutação durante a seqüência de gerações do ciclo evolutivo, existe uma diminuição na probabilidade da solução evoluir para uma solução adequada.

Eiben et al. (1999) definem duas formas de configurar os valores dos parâmetros de um algoritmo evolutivo: (i) sintonia de parâmetros: parâmetros configurados antes de executar o algoritmo evolutivo; e (ii) controle de parâmetros: modificação dos valores dos parâmetros durante a execução do algoritmo evolutivo. As técnicas de controle de parâmetros levam em conta diversos questionamentos, tais como:

(i) que algoritmo é modificado ? (exemplo: representação, operadores, procedimento de seleção, mutação, ...);

(ii) qual o escopo da modificação do algoritmo? (exemplo: nível populacional, nível individual,...);

(iii) de que forma a modificação é realizada ? (exemplo: heurística determinística, heurística baseada em realimentação ou auto-adaptativa);

(iv) qual a evidência de que a modificação foi realizada ? (exemplo: monitoramento do desempenho dos operadores, diversidade da população, ...).

Apesar de intensas pesquisas na área, não existe uma regra única para a determinação de uma configuração de PE eficiente, robusta e flexível para resolução de problemas de otimização. Neste contexto deseja-se utilizar um algoritmo cultural para a melhora da convergência da PE rápida mencionada na seção anterior deste artigo. A seguir é mencionado o procedimento de otimização da PE rápida baseada em ACs.

3.3 Programação evolutiva baseada em um algoritmo cultural

A concepção de AC, adotada neste artigo, leva em consideração duas categorias básicas de conhecimento: normative e situational. O conhecimento normative proporciona padrões para o comportamento individual e providencia diretrizes com o qual os ajustes nos indivíduos podem ser realizados. Sob outro ponto de vista, o conhecimento situational proporciona um conjunto de exemplos que são úteis para a interpretação de uma experiência individual explícita.

O procedimento de otimização através de PE rápida baseada em ACs (CAFEP) é implementado conforme os seguintes passos:

Passo 1: A criação da população inicial de parâmetros compreendendo Nind soluções. Cada um

dos indivíduos (x_i,σ_i), onde xi ∈ ℜn são vetores de soluções, e σi ∈ ℜn são desvios padrões,

j=1,...,Nind, com as dimensões correspondendo ao número de parâmetros i a serem otimizados.

Os componentes de cada xi e σi são gerados aleatoriamente de acordo com uma distribuição

uniforme em um intervalo especificado a priori pelo projetista.

Passo 2: Cada solução xi é classificada com relação a sua função de aptidão (fitness).

Passo 3: O belief space é gerado com o domínio do problema e as soluções candidatas. A estrutura do belief space possui o par de vetores {S, N}, onde S é o conjunto de exemplares ou os melhores indivíduos. Estes indivíduos constituem o conhecimento situational contido no belief space. O componente de conhecimento normative, N, é o conjunto de informações de intervalos para cada variável do domínio e é representado como N=

{

X₁,...,X_n

}

, onde

n é o

número de dimensões da função que está sendo otimizada. Cada X

i

é representado como

um vetor do

ℜ3 _{, {I, L, U}. A variável I denota um intervalo fechado, que é um conjunto}

contínuo de números reais x representados como:

[ ]

l u

{

l_j x u_j

}

I = , = ≤ ≤ (6)

onde l é o limite inferior (lower bound) e u é o limite superior (upper bound), estes configurados para definir o domínio do problema. O Lj representa o fitness para o limite inferior l da variável

j. O Uj representa o fitness para o limite superior u da variável j. O Lj e o Uj são iniciados com

valor +∞ (problemas de maximização) ou com valor -∞ (problemas de minimização).

Passo 4: Cada vetor de solução ancestral (xi, σi) gera somente um vetor solução descendente

( '

i

x , σ_i'), de acordo com as seguintes equações (adotou-se uma PE que atualiza a equação do σ

{

'

(

0

,

1

)

(

0

,

1

)

}

exp

*

)

(

)

(

' i i i

t

=

σ

t

τ

⋅

N

+

τ

⋅

N

σ

(7)

A mutação do desvio padrão σi,j (variável i do indivíduo j da população) é baseada em um fator

de busca global

τ

'

⋅

N

(

0

,

1

)

e um fator de busca local τ⋅N_i(0,1). No caso do fator de busca global é gerado apenas um valor

N

(

0

,

1

)

, a ser utilizado por todos os σ_i,j dos indivíduos na geração (iteração) corrente. Entretanto, no caso do fator de busca local,N_i(0,1) , é gerado um valor para cada indivíduo da população, com distribuição normal, média zero e variância

σ

_i2. Estes fatores são regidos pelas seguintes equações:

n 2 1 = τ , (8)

n

2

1

'

=

τ

. (9) A função de influência é utilizada para determinar o tipo de mutação, baseada no conhecimento do belief space, a ser realizada pela PE rápida com distribuição de Cauchy. Os tipos de funções de influência adotadas são as seguintes:

(i) normative: CAFEP(Ns)

) 1 , 0 ( * ) ( ) ( ) ( '_i,j t x_i,j t tamanho I_i C_i x = + , (10)

onde tamanho(Ii) é o tamanho do intervalo do belief space para a variável i, e o termo Ci(0,1) é

uma distribuição aleatória de Cauchy. (ii) situational: CAFEP(Sd)

      ⋅ + > ⋅ − < ⋅ + = casos outros ), 1 , 0 ( se , ) 1 , 0 ( se , ) 1 , 0 ( ' , , , , , , , C x s x C x s x C x x j i j i i j i, j i j i i j i, j i j i j i σ σ σ (11)

onde si é o valor do melhor indivíduo para a variável i no belief space.

(iii) normative + situational: CAFEP(Ns+Sd)

     ⋅ + > ⋅ − < ⋅ + = casos outros ), 1 , 0 ( ) ( se , ) 1 , 0 ( ) ( se , ) 1 , 0 ( ) ( ' , , , , C I tamanho x s x C I tamanho x s x C I tamanho x x i j i i j i, i j i i j i, i j i j i (12)

(iv) normative + normative: CAFEP(Ns+Nd)

     ⋅ ⋅ + > ⋅ − < ⋅ + = casos outros ), 1 , 0 ( ) ( se , ) 1 , 0 ( ) ( se , ) 1 , 0 ( ) ( ' , , , , C I tamanho x u x C I tamanho x l x C I tamanho x x i j i i j i, i j i i j i, i j i j i β (13)

Passo 5: Cada solução xi,j é classificada com relação a sua função de aptidão (fitness).

Passo 6: Diversas comparações são conduzidas sobre todas as xi e xi’ soluções. Para cada

solução, k oponentes são selecionados, aleatoriamente, e após são escolhidos dos vetores solução ancestrais e descendentes, com igual probabilidade. A seleção realizada, neste caso, é

através de competição por meio da seleção por torneio. Na seleção por torneio, em cada comparação, se a solução considerada oferece pelo menos um desempenho tão adequado quanto o oponente selecionado aleatoriamente, ela recebe uma “vitória”.

Passo 7: Os vetores soluções, xi e xi’ que apresentam mais “vitórias” são selecionados para

serem ancestrais na próxima geração, sendo que os vetores σi' e σi a elas associados são

também incluídos.

Passo 8: Atualização do belief space a cada gnormative gerações e baseado nos melhores z%

indivíduos da população. A regra de atualização do belief space é realizada pelo ajuste dos componentes normative e situational. O conjunto de indivíduos (exemplares) do componente situational , S={st_{}, consiste somente de %z melhores indivíduos da população encontrados até}

esta geração do CAFEP e possui atualização pela equação (para problemas de minimização de f(x)),

(

) ( )

    _< = + casos outros , se , _, , 1 s s f x f x s t t t melhor i t melhor i t _{, (14)}

onde x_it_,melhor denota o melhor indivíduo (vetor solução) na população na geração t.

O componente de conhecimento normative no belief space, N, é atualizado conforme segue. Os valores dos parâmetros para os indivíduos selecionados pela função de aceitação são utilizados para calcular o intervalo de aceitação corrente para cada parâmetro no belief space. A idéia é ser conservativo quando o intervalo Ii é estreito e ser progressista quando o intervalo é amplo. Neste

caso, pode-se formular a regra de atualização do intervalo como:

( )

    _{≤ <} = + casos outros , ou se , , 1 l L x f l x x l _t i t i j t i j i, j i t i , (15)

( )

    _{≤ <} = + casos outros , ou se ), ( 1 L L x f l x x f L t i t i j t i j i, i t i , (16)

( )

    _{≥ <} = + casos outros , ou se , , 1 u U x f u x x u _t i t i k t i k i, k i t i , (17)

( )

    _{≥ <} = + casos outros , ou se ), ( 1 U U x f u x x f U _t i t i k t i k i, k t i , (18)

onde o j-ésimo indivíduo afeta o limite inferior para a variável i e o k-ésimo indivíduo afeta o limite superior para a variável i. O valor de l representa o limite inferior para a variável i na _it geração t. L representa o fitness para t_i l . O valor de _it u representa o limite superior para a _it variável i na geração t. U representa o fitness para _it u . _it

Passo 9: Repetir os passos 4 a 9 até que a condição de parada (critério de convergência) seja satisfeita.

4 Resultados de simulação

O CAFEP proposto foi analisado para os dois estudos de caso do problema de Weber descritos na seção 2. Um estudo comparativo de convergência influenciado pelos parâmetros de configuração do AEL foi realizado para 3000 avaliações da função objetivo (iterações), como critério de parada. O threshold para o critério de parada dos estudos de caso 1 e 2 são ft_{(x) =}

-264,35 e ft_{(x) = 9,60, respectivamente. Estes valores de threshold representam 99,9610% e}

99,4111% da solução global dos estudos de caso analisados, respectivamente. Nas tabelas 1 e 2 são apresentados os resultados obtidos com as concepções de CAFEP(Ns), CAFEP(Sd),

CAFEP(Ns + Sd) e CAFEP(Ns + Nd).

Os parâmetros de configuração dos algoritmos de CAFEP analisados são:

• intervalo das soluções iniciais xi para os estudos de caso 1 e 2 são escolhidos para serem

iguais a [-20,20]n _{e [-200,200]}n_{, respectivamente, onde n é a dimensão do problema}

(n=2);

• desvios padrão σi de 50% do intervalo das soluções iniciais xi;

• torneio de 10 indivíduos; • população de 40 indivíduos; • z% = 20%;

• β = 0,20; e • gnormative = 5.

Tabela 1: Resultados de simulação usando CAFEP para o problema de Weber (estudo de caso 1).

melhor valor de f(x) para as populações de soluções

convergência obtida nos experimentos

avaliações da função objetivo necessárias para obtenção da

solução ótima CAFEP pior desvio

padrão média sim / não experi-mentos melhor média desvio padrão pior (Ns) -264,3508 0,0290 -264,3939 sim 100 80 382 137 1180 (Sd) -264,3513 0,0273 -263,3933 sim 100 130 370 171 1080 (Ns+Sd) -264,3504 0,0186 -264,3922 sim 100 180 341 205 1090 (Ns+Nd) -264,3501 0,0185 -264,3941 sim 100 120 263 221 980

Tabela 2: Resultados de simulação usando CAFEP para o problema de Weber (estudo de caso 2).

melhor valor de f(x) para as

populações de soluções convergência obtida nos experimentos

avaliações da função objetivo necessárias para obtenção da

solução ótima CAFEP pior desvio

padrão média sim / não experi- mentos melhor média desvio padrão pior

(Ns) 9,5998 0,00189 9,5831 sim 100 60 333 131 710

(Sd) 9,5996 0,00198 9,5852 sim 100 110 412 162 840

(Ns+Sd) 9,5627 0,00129 9,5815 sim 100 80 390 210 690 (Ns+Nd) 9,5999 0,00108 9,5801 sim 100 50 278 107 590

Os resultados apresentados nas tabelas 1 e 2 são baseados em 100 experimentos usando CAFEP para os estudos de caso 1 e 2. A análise estatística foi realizada com 100 diferentes experimentos, sendo que as populações iniciais do CAFEP foram geradas com diferentes sementes, estas para a geração de números aleatórios com distribuição uniforme.

Em relação ao estudo de caso 1, em termos de otimalidade e convergência, todas as concepções apresentaram convergência para a solução ótima global em menos de 3000 avaliações da função objetivo a ser minimizada. Outros testes preliminares (100 experimentos) também foram realizados com concepções de projeto usando somente PE ou PE rápida sem o método de busca local de Hooke-Jeeves e em cerca de 85% das vezes não foi obtido o ótimo global em 3000 gerações.

Os melhores resultados, estes preliminares, em termos do número total de avaliações da função objetivo, precisão e convergência foram com o CAFEP(Ns+Sd) e CAFEP(Ns+Nd). No entanto,

são necessários estudos de obtenção de projetos com um compromisso apropriado dos parâmetros de configuração para melhora da habilidade de busca global e local para obtenção do sucesso em um procedimento de otimização usando CAFEP.

5. Conclusão e trabalhos futuros

Neste artigo é proposta a implementação de um algoritmo de otimização estocástico combinando as teorias de PE rápida e ACs. A concepção de otimização apresentada é um aprimoramento da PE pela utilização do operador de mutação com distribuição de Cauchy e um algoritmo cultural. Os dois estudos de caso abordados são vinculados ao problema de Weber visando a determinação da melhor localização (otimização das coordenadas (x,y)) de uma fábrica, onde os custos de distribuição para diversos centros de demanda devem ser minimizados.

Notou-se pelos resultados obtidos que a CAFEP é uma abordagem promissora para minimizar o problema de convergência prematura e aprimorar as buscas locais baseando-se na teoria de ACs. A motivação para a adoção da abordagem de ACs tratada neste artigo foi à superação das limitações de busca local presentes na PE quando esta é usada isoladamente. Neste caso, os resultados obtidos foram promissores e mostraram que a metodologia proposta apresentou desempenho apropriado e eficiência quanto à precisão, flexibilidade e convergência na resolução do problema de Weber.

Os futuros trabalhos vinculados a este artigo objetivarão um estudo de novas concepções de algoritmos evolutivos e análise de critérios de desempenho ligados a: (i) convergência, (ii) sensibilidade, (iii) custo computacional, (iv) estabilidade, (v) adaptação de parâmetros de controle e operadores, e (v) precisão das soluções obtidas.

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