UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
GUILHERME CAVALLARI BUENO
MÉTODOS DE CÁLCULO PARA ANÁLISES NA
ENGENHARIA CIVIL:
roteiro de cálculo com abrangência interdisciplinar
UBERLÂNDIA/MG 2020/2
UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
GUILHERME CAVALLARI BUENO
MÉTODOS DE CÁLCULO PARA ANÁLISES NA
ENGENHARIA CIVIL:
roteiro de cálculo com abrangência interdisciplinar
Trabalho de conclusão de curso-desenvolvimento de roteiro de cálculo interdisciplinar para Engenharia Civil.
Orientador: Professor Dr. Carlos Eugênio Pereira
UBERLÂNDIA/MG 2020/2
GUILHERME CAVALLARI BUENO
MÉTODOS DE CÁLCULO PARA ANÁLISES NA ENGENHARIA CIVIL: roteiro de cálculo com abrangência interdisciplinar
Relatório final, apresentado à Universidade Federal de Uberlândia, como parte das exigências para a obtenção do diploma de graduação em Engenharia Civil.
Uberlândia, 18 de setembro de 2020.
BANCA EXAMINADORA
_______________________________________________________________ Prof. Carlos Eugênio Pereira
_______________________________________________________________ Prof. Paulo Cabana Guterres
_______________________________________________________________ Prof. Edson Agustini
Eu, Guilherme Cavallari Bueno, dedico este trabalho a meus pais, Joana Maria Cavallari Bueno e Mauro Bernardes Bueno.
AGRADECIMENTOS
Agradeço sinceramente aos docentes Maria Cristina Vidigal de Lima, Arquimedes Diógenes Ciloni e Giovanna Bizão Georgetti, todos profissionais da UFU, por sua contribuição para este trabalho, bem como aos professores da mesma universidade, Paulo Cabana Guterres e Edson Augustini, membros da banca avaliadora. Por último, mas não menos importante, agradeço a meu orientador, Carlos Eugênio Pereira, a quem devo a honra de poder apresentar e divulgar este trabalho acadêmico.
RESUMO
Este trabalho visa a estabelecer um roteiro de cálculo com abrangência interdisciplinar na Engenharia Civil, sendo vinculado aos seguintes itens: estudo investigativo para a elaboração de um método que permita a análise de bacias hidrográficas de uma mesma região e a comparação entre elas. O método possui como fundamento principal o fato de bacias cujo formato se aproxima de um círculo serem mais propensas a conter áreas de enchentes. Desta forma, deseja-se quantificar a proximidade entre a bacia e uma circunferência de raio calculado. A conclusão é um comparativo entre as elipses de aproximação de cada uma das bacias e aquela correspondente à bacia principal (maior), algo que é feito através de cálculos, os quais são capazes de fornecer resultados classificadores de cada bacia como dentro, fora ou na média; estudo investigativo para a elaboração de um método que permita a análise de componentes de uma mesma estrutura e a comparação entre eles. O método possui como fundamento principal o conceito de elipse central de inércia, com um roteiro extremamente similar ao descrito anteriormente, porém agora para se compararem as elipses correspondentes a cada elemento estrutural com aquela do elemento sob maiores esforços; desenvolvimento de um roteiro de cálculo de simples compreensão para se medirem as variações das curvas das funções usualmente empregadas na Engenharia de Transportes. Os cálculos a serem desenvolvidos consistem na mensuração as variações da curva entre seus pontos, desde que se tome um deles como referência. Para este desenvolvimento, tomar-se-á o primeiro ponto como a referência, de modo a se tornar possível a varredura do comportamento da função a partir do início de sua construção. Serão então aferidas as variações angulares entre as retas tangentes à curva no primeiro ponto e em todos os demais pontos, motivação para a qual o roteiro será desenvolvido; o trabalho quantitativo com ensaios de laboratório, que estão sujeitos a erros sistemáticos e aleatórios que levam à dispersão de resultados. Na engenharia civil, a avaliação de ajustes de funções matemáticas a dados experimentais é frequentemente feita por meio do coeficiente de correlação, mas sem que se verifiquem os valores dispersos. Deste modo, o método visa a estipular um fator limite de tolerância, para que se possam identificar os pontos críticos. A partir destes dados, o usuário terá um critério objetivo de análise e um processo iterativo para a repetição dos ensaios nos pontos necessários, de modo a se elevar a precisão dos resultados. Este método pode ser usado em áreas como a Geotecnia, onde linhas de tendência são usadas rotineiramente para interpretação de dados dos ensaios de laboratório. Resultados de ensaios de limite de liquidez e compactação foram usados para exemplificar a aplicação do método,
que se mostrou promissor; a aplicação do roteiro citado no item anterior se dará ao processo investigativo a respeito do problema estrutural da rotação de vigas pré-moldadas de concreto quando de seu içamento.
Palavras-chave: Bacias hidrográficas. Ensaios de laboratório. Estrutura. Roteiro de cálculo. Transportes.
ABSTRACT
This job has like its objective to establish a calculation method with multiple comprehension in Civil Engineering, being linked to the following items: investigative study to create a method which is able to execute the analysis of the hydrographic basins inside the same region and the comparison between them. The method’s bases are the fact that basins that are closer in format to circles are more likely to include flooding areas. This way, the established method has the purpose to determine de proximity degree between the ellipse that is close to the basin’s form and a specific circumference which radius is calculated. The final classification is about a comparison between the approximation ellipses of each basin and that one referring to the main basin (the biggest one), something that is done by the use of calculation, that is capable of giving classifying results for each basin like in, out or equal the average; investigative study to create a method which is able to execute the analysis of the elements of the same structure and the comparison between them. The method’s main bases are the concept of central ellipse of inertia, with a calculation process that is close to the one described above, but now focused on the comparison between the ellipses of structural elements and the one of the element under the biggest efforts; development of a calculation method’s which is simple to understand, focusing on the measurement process of the function’s lines commonly used in the Transportation Engineering. The calculations that will be developed are basically related to the measurement of the function’s variations between their points, since one of them is taken like the reference. For this development, the first point is going to be taken like the reference, leading the line’s behavior analysis since its construction’s beginning to become possible. The angle variations between the straight lines that are tangent to the function’s line in its first point and in all the other ones, motivation for what the method is going to be developed; the quantitative work with laboratory tests, that are subjected to systematic and random errors that lead to the dispersion of results. In Civil Engineering, the evaluation of fitting mathematical functions to experimental data is frequently made by correlation coefficients, but without verifying the disperse values. Therefore, the method intends to set a tolerance factor, so the critic points can be identified , leading the user to have an objective
and iterative process to remake the laboratory tests according to the required points, improving the results. This method can be in areas such as the Geotechnical Engineering, where trend lines are commonly used to interpret the results of laboratory tests. Results of liquidity limit and soil compaction tests were used to exemplify the application of the method, which was shown promising; the method referenced in the item above is going to be used to develop the investigative process about the structural problem of the rotation of precast concrete beams when they are lifted.
Keywords: Calculation method. Hydrographic basins. Laboratory tests. Structure. Transportation.
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1 – Elipse...19
FIGURA 2 – Cilindro e intersecção transversal pelo plano 𝜋...22
FIGURA 3 – Seções no cilindro em função do ângulo 𝜃...23
FIGURA 4 – Retas tangentes à curva secante...23
FIGURA 5 – Gráficos 𝑘 𝑥 𝜀 e 𝑗 𝑥 𝜀 (bacias hidrográficas)...26
FIGURA 6 – Retas e projeção do ponto...27
FIGURA 7 – Bacias hidrográficas delimitadas...36
FIGURA 8 – Gráfico 𝑘𝑥𝜀 (bacias hidrográficas)...39
FIGURA 9 – Gráfico 𝑗𝑥𝜀 (bacias hidrográficas)...40
FIGURA 10 – Pilares...43
FIGURA 11 – Gráfico 𝑘𝑥𝜀 (pilares)...46
FIGURA 12 – Gráfico 𝑗𝑥𝜀 (pilares)...47
FIGURA 13 – Gráfico da função do custo percebido...50
FIGURA 14 – Linha de tendência do ensaio de compactação...54
FIGURA 15 – Rotação da viga e área compensada gerada na alma...57
FIGURA 16 – Rotação limite da viga...57
FIGURA 17 – Diagrama proposto para o exemplo do problema de rotação de viga pré-moldada içada...59
FIGURA 18 – Projeção vertical do ponto e retas auxiliares...68
FIGURA 19 – Casos de cálculo do Excel...73
LISTA DE TABELAS
TABELA 1 – Dimensões das bacias hidrográficas...37
TABELA 2 – 𝛾 e 𝜌 (km)-bacias hidrográficas...37
TABELA 3 – 𝑘 e 𝑗 (km)-bacias hidrográficas...37
TABELA 4 – 𝜇 e 𝜇′ (bacias hidrográficas)...38
TABELA 5 – Valores de 𝜀 (radianos)-bacias hidrográficas...38
TABELA 6 – Dados do gráfico 𝑘𝑥𝜀 (bacias hidrográficas)...39
TABELA 7 – Dados do gráfico 𝑗𝑥𝜀 (bacias hidrográficas)...39
TABELA 8 – Valores de 𝜀" para 𝑘 (bacias hidrográficas)...40
TABELA 9 – Valores de 𝜀" para 𝑗 (bacias hidrográficas)...41
TABELA 10 – Valores de 𝑓’(𝜀") para 𝑘 e para 𝑗 (bacias hidrográficas)...41
TABELA 11 –𝑓’(𝜀") ∗ 𝜀" − 𝑘/ 𝑓’(𝜀) ∗ 𝜀" − 𝑗 𝑒 𝑓’(𝜀") ∗ 𝜀 − 𝑘/ 𝑓’(𝜀") ∗ 𝜀 − 𝑗 para 𝑘 e para 𝑗 (km)-bacias hidrográficas...41
TABELA 12 – 𝜇𝑙 e 𝜇𝑚 para 𝑘 e para 𝑗 (km)-bacias hidrográficas...42
TABELA 13 – 𝑑𝑖 para 𝑘 e para 𝑗 (uc)-bacias hidrográficas...42
TABELA 14 – 𝑑̅ para 𝑘 e para 𝑗 (uc)-bacias hidrográficas...42 𝑖 TABELA 15 – Dimensões dos pilares...44
TABELA 16 – 𝛾 e 𝜌 (cm)-pilares...44
TABELA 17 – 𝑘 e 𝑗 (cm)-pilares...44
TABELA 18 – 𝜇 e 𝜇′ (pilares)...45
TABELA 19 – Valores de 𝜀 (radianos)-pilares...45
TABELA 20 – Dados do gráfico 𝑘𝑥𝜀 (pilares)...46
TABELA 21 – Dados do gráfico 𝑗𝑥𝜀 (pilares)...46
TABELA 22 – Valores de 𝜀" para 𝑘 (pilares)...47
TABELA 23 – Valores de 𝜀" para 𝑗 (pilares)...48
TABELA 24 – Valores de 𝑓’(𝜀") para 𝑘 e para 𝑗 (pilares)...48
TABELA 25 – 𝑓’(𝜀")*ε" − 𝑘/ 𝑓’(𝜀")*ε" − 𝑗 e 𝑓’(𝜀")*ε − 𝑘/ 𝑓’(𝜀")*ε − 𝑗 para 𝑘 e para 𝑗 (cm)-pilares...48
TABELA 26 – 𝜇𝑙 e 𝜇𝑚 para 𝑘 e para 𝑗 (cm)-pilares...49
TABELA 27 – 𝑑𝑖 para 𝑘 e para 𝑗 (uc)-pilares...49
TABELA 28 – 𝑑̅ para 𝑘 e para 𝑗 (uc)-pilares...50 𝑖 TABELA 29 – Pontos analisados da função do custo percebido...50
TABELA 30 – Valores de 𝑚𝑖 para a função...51
TABELA 31 – Ângulos de inclinação das retas tangentes à curva...51
TABELA 32 – Comparação entre 𝛼1 e 𝛼𝑛 para a função...52
TABELA 33 – Diferenças angulares para a função...52
TABELA 34 – Resultado hipotético do ensaio fictício de compactação...53
TABELA 35 – Coordenadas 𝑋” para os pontos do ensaio...54
TABELA 36 – Coeficientes angulares das retas tangentes à curva da linha de tendência nos pontos projetados...55
TABELA 37 – Valores de 𝜇𝑙/𝜇𝑚 para as retas tangentes à curva da linha de tendência nos pontos projetados...55
TABELA 38 – Valores de 𝜇𝑙/𝜇𝑚 para as retas paralelas às tangentes à curva da linha de tendência nos pontos projetados...55
TABELA 40 – Valores de 𝑞 (ensaio de compactação de solo)...56
TABELA 41 – Resultados (bacias hidrográficas)...60
TABELA 42 – Resultados (pilares)...61
TABELA 43 – Comparação das variações angulares com a variação angular média para a função de custo percebido...61
TABELA 44 – Comparativos entre 𝑞 e 𝜏 para o ensaio de compactação...62
TABELA 45 – Projeção em 𝑥...69
TABELA 46 – Valores de 𝑓’(𝜀) para a projeção em 𝑥...69
TABELA 47 – Dados de entrada para a projeção em 𝑥 ...70
TABELA 48 – 𝑓’(𝜀) ∗ 𝜀 − 𝑘 e 𝑓’(𝜀) ∗ 𝜀 − 𝑘′ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 (km)-projeção em 𝑥...70
TABELA 49 – 𝜇𝑛 e 𝜇𝑜 para 𝑘 (km)-projeção em 𝑥...71
TABELA 50 – 𝑑𝑗 para 𝑘 (uc)-projeção em 𝑥...71
TABELA 51 – Resultados (projeção em 𝑥)...71
TABELA 52 – Distâncias para os pontos nas projeções em 𝑥 e em 𝑦...72
TABELA 53 – Distâncias resultantes da projeção composta...72
TABELA 54 – Resultados (projeção composta)...72
SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO...12 2 OBJETIVOS...15 2.1 Objetivos gerais...15 2.2 Objetivos específicos...16 3 DESENVOLVIMENTO...17
3.1 Descrição da área de estudo...17
3.1.1 Localização...18
3.1.2 Aspectos fisiográficos...18
3.2 Deduções das equações...18
3.2.1 Hidrologia Aplicada...18
3.2.2 Resistência dos materiais...30
3.2.3 Engenharia de Transportes...30
3.2.4 Análise de resultados de ensaios laboratoriais para Geotecnia...32
3.2.5 Problema estrutural tratante da rotação de vigas pré-moldadas de concreto como consequência do içamento...35
3.3 Aplicações práticas...35
3.3.1 Hidrologia Aplicada...35
3.3.2 Resistência dos materiais...43
3.3.3 Engenharia de Transportes...50
3.3.4 Análise de resultados de ensaios laboratoriais para Geotecnia...53
3.3.5 Problema estrutural tratante da rotação de vigas pré-moldadas de concreto como consequência do içamento...56
4 RESULTADOS E DISCUSSÕES...60
4.1 Hidrologia Aplicada...60
4.2 Resistência dos Materiais...60
4.3 Engenharia de Transportes...61
4.4 Análise de resultados de ensaios laboratoriais para Geotecnia...62
4.5 Problema estrutural tratante da rotação de vigas pré-moldadas de concreto como consequência do içamento...62
CONCLUSÃO...64
REFERÊNCIAS...66
APÊNDICE A – Projeção em 𝒙...68
APÊNDICE B – Projeção composta...71
APÊNDICE C – Casos de cálculo...71
APÊNDICE D – Exemplos de compra e venda...74
1. INTRODUÇÃO
Os ramos da Engenharia Civil abordados neste trabalho são a Hidrologia, as Estruturas, a Engenharia de Transportes e a análise de resultados de ensaios laboratoriais aplicáveis a diversas áreas, tais como a Geotecnia e o Estudo dos Materiais de Construção Civil. Os parágrafos a seguir ilustram a incumbência de cada uma delas na proposta aqui vigente.
Na Hidrologia, segundo Tucci (1993, p.40), as bacias hidrográficas são áreas naturais de captação da água de precipitação, que fazem o escoamento convergir para um único ponto fixo de saída, o exutório. Elas se compõem de um conjunto de várias superfícies vertentes e de uma rede de corpos d’água funcionando como drenos que se confluem até formarem um leito único no exutório. Portanto, o estudo das bacias hidrográficas de uma região é importante para a compreensão do comportamento da água de precipitação e dos cursos d’água naturais. Isto possui influência na execução de obras de Engenharia Civil no que é relativo à construção de barragens, sejam estas para os seus mais variados fins, e ao planejamento de zonas urbanas, uma vez que o sistema de captação de água pluvial e as vias de tráfego de uma cidade necessitam de conhecimento prévio sobre a direção de escoamento da água e sobre as regiões críticas para alagamento. Ademais, a análise das bacias se dá como fator essencial na abordagem da gestão dos recursos hídricos, área em que, segundo Fernando Iório Carbonari, o Brasil merece atenção, uma vez que a produção energética do país está intimamente conectada aos referidos recursos. (CARBONARI, 1997).
Sabendo-se que, como afirma Lourenço (2018, p.363), bacias hidrográficas com formato próximo ao de um círculo são mais propensas a possuírem regiões de enchente, devido à maior dificuldade de escoamento da água rumo ao exutório, o método de cálculo desenvolvido neste trabalho pretende explorar de maneira simples e eficiente a dita proximidade, a qual pode ser aferida através de valores numéricos, tal qual o Índice de Circularidade, tratado por Machado (2010, p.71) como a razão entre a medida de área da bacia hidrográfica e a medida de área de um círculo (ambas sob igualdade de unidades, fazendo com que o índice, denominado Ic, seja adimensional) e variante entre 0,0 e 1,0 (por ser diretamente proporcional à constante de 12,57 e à área da bacia, ao mesmo tempo em que é inversamente proporcional ao quadrado do perímetro da mesma, de modo que as bacias mais achatadas o tenham próximo a 0,0, enquanto que aquelas mais circulares o tenham mais próximo de 1,0), tal que, para se conhecer a área do círculo, deve-se conhecer o perímetro da
bacia, que deve ser igual à circunferência do círculo, tornando possível que se conheça o seu raio e, consequentemente a partir deste, sua área.
As seções 3.1.1 e 3.1.2 deste trabalho referem-se exclusivamente à caracterização das bacias hidrográficas abordadas no exemplo prático destinado à demonstração do funcionamento do método dado ao cálculo das bacias.
Nas abordagem das estruturas, segundo Mello, (2017, p.51) a elipse central de inércia é uma propriedade da estrutura empregada na obtenção do eixo de flexão desta para um determinado plano de solicitação. A elipse é traçada sobre os eixos principais de inércia a partir dos raios de giração. De acordo com Carril e Suárez (2016), os eixos da elipse central de inércia são as direções principais no centro de massas, ou seja, eles são definidores do centro de gravidade da peça. Ademais, o núcleo central de inércia se define a partir dos antipolos da elipse central de inércia cujo centro coincide com o centro da superfície (GALGÓCZY, 1976). Outrossim, o estudo das elipses centrais de inércia dos elementos de uma estrutura é fundamental para a compreensão do comportamento destes sob a ação dos esforços aos quais são submetidos. Isto possui influência direta sobre a Resistência dos Materiais no que diz respeito à análise estrutural. Desta forma, quer-se desenvolver um método capaz de efetuar o comparativo quantitativo entre as elipses centrais de inércia de uma estrutura conforme o seu formato.
Concomitantemente, no tratamento da Engenharia de Transportes, d e acordo com Hoel, Garber e Sadek (2012, p.1), o transporte é o movimento de pessoas e de bens para se atenderem às necessidades básicas da sociedade as quais necessitam da mobilidade e da acessibilidade. Outrossim, ele fornece os meios imprescindíveis às viagens de negócios, de exploração e de realização pessoal, sendo inerente a grande parte das atividades humanas. Deste modo, o transporte ainda se caracteriza como responsável pela apresentação de um mecanismo para a troca de bens e de informações, para a estocagem de produtos, para o deslocamento de pessoas e para o desenvolvimento econômico. Por esta razão, o estudo de seu impacto na sociedade é imprescindível para a Engenharia Civil, no que abrange os sistemas de transportes. Sendo assim, deseja-se configurar um método dado à análise das funções representativas existentes entre custos, demanda, produção, oferta, e outros quesitos relacionados. Validar-se-á o processo de cálculo neste trabalho a partir de um exemplo prático de estudo de caso direcionado ao custo percebido como função da quantidade de produtos gerada, embora ele também possa ser utilizado na análise de outras relações ocorrentes no campo dos transportes. O método comportar-se-á de modo a fundamentar-se na linha de base do conceito de derivada, definido por Piskounov (2000, p.77) como sendo o valor da derivad a
f’(x) dado o valor correspondente da variável x como igual à tangente do ângulo orientado entre a reta tangente à curva da função 𝑓 no ponto cuja coordenada nas abcissas seja o próprio valor correspondente de x e o eixo das abcissas. A derivada será utilizada para se aferir as diferenças de comportamento da curva de uma função em diferentes intervalos. Dar-se-á ainda o método trabalhado à análise de dados, a qual é essencial para que se prevejam o momento e o modo ideal de se realizarem determinadas ações, de modo que estas resultem da melhor forma possível da resolução do problema prático (SCHWAAB e PINTO, 2007). Ao estar intimamente conectado à análise de dados, este trabalho também se alinha à estatística, dita por Neto (2002, p.1) como uma ciência a qual lida com os meios de se atingirem objetivos, e não com a finalidade por si só, fazendo com que atue de modo a oferecer informações que permearão a tomada de decisões embasadas em dados e em fatos.
Segundo Chalmers (1999, p.17), a ciência é amplamente considerada nos tempos atuais, sendo que o apreço por seus métodos não se restringe à mídia e à vida cotidiana, estando também presente no meio escolar e acadêmico, se estendendo ainda para toda a indústria do conhecimento. Tendo em vista que os ensaios experimentais são fundamentais para o desenvolvimento científico em todas as áreas de conhecimento, inclusive na Engenharia Civil, é notável a importância de se desenvolverem métodos para análise de resultados experimentais, de modo a favorecer a qualidade das análises e dos próprios resultados, minimizando erros.
De acordo com Taylor (2012, p.3), os erros são tratados nas medidas científicas como fatores inevitáveis, mas que devem ser garantidos como tão pequenos quanto possível e com estimativas confiáveis dos valores máximos a poderem ser atingidos por eles. Alguns dos erros citados por Santos e Silva (2006, p.18), são os erros inerentes, inevitáveis e resultantes de medidas e de modelos matemáticos, e por arredondamento, cometidos pelos computadores quando da efetuação de operações aritméticas. Quarteroni e Saleri (2007, p.23) também afirmam que o uso de computadores na aproximação de modelos matemáticos causa erros que precisam ser considerados.
Muitos ensaios laboratoriais pautam a interpretação de seus resultados na determinação numérica de funções que representem algebricamente a linha de tendência. Outrossim, é interessante que se tenham métodos cujo intuito seja o melhoramento d as aproximações e dos próprios resultados dos ensaios. Neste contexto, este trabalho apresenta um processo matemático capaz de promover o melhoramento das aproximações que fazem uso de funções matemáticas contínuas, visando garantir uma melhor confiabilidade. O método traz uma análise de dispersão dos dados, ponto a ponto, com base em um critério de
proximidade definido pelo usuário. A vantagem do roteiro de cálculo tratado neste trabalho é a de os cálculos se adequarem ao comportamento da linha de tendência, no sentido de considerarem a sua curvatura na região de cada ponto analisado. Isso ocorre, pois duas retas paralelas definem uma margem de erro, sendo uma tangente à linha em um ponto projetado sobre a curva e outra, paralela a esta última. Esta condição é sempre verdadeira para este método.
Em sua tese, Daniel Flávio Pires de Lima apresenta o problema estrutural da rotação de vigas pré-moldadas de concreto quando de seu içamento. O ângulo de rotação é medido na seção transversal do elemento estrutural, considerado, para efeito de cálculos, perfeitamente rígido, tornando possível desprezar-se as variações nos ângulos ao longo da peça em função da torção (LIMA, 2018). De acordo com Leet, Uang e Gilbert (2009), o desmoronamento da ponte do Rio Brazos, em Brazos, no estado americano do Texas, ocorreu quando do içamento de vigas mestras de placas de aço contínuas, as quais suportavam a pista de rolamento. Como elementos de reforço, as estruturas são caracteristicamente vulneráveis a falhas na montagem, já que pisos, lajes e contraventamento podem não estar ainda instalados, e a resistência do conjunto pode ser reduzida devido ao fato de conexões não estarem ainda parafusadas ou soldadas. Isto evidencia a importância dos cuidados a serem tomados com o içamento de elementos estruturais, como é o caso das estruturas de concreto pré-moldado, cuja história, segundo Debs (2017), remonta o impulso econômico datado do quarto de século após a Segunda Guerra Mundial, ou seja, acompanha a humanidade de maneira crescente e relativamente recente, sendo de enorme importância para o cenário atual da construção civil. Pautando-se nesta problemática, este trabalho visa à aplicação do método iterativo descrito anteriormente no problema da rotação das ditas vigas, de modo a se obterem aproximações fidedignas à realidade do giro dos perfis, desde que se considerem rígidas as peças estruturais, de modo a se desprezarem as diferenças angulares na rotação quando da dependência deste fator em relação à posição da seção analisada ao longo do comprimento da viga. Deve-se ressaltar que o trabalho possui foco na aplicação do processo iterativo, e não em si no diagrama como resultado final.
2. OBJETIVOS 2.1.Objetivos gerais
Este trabalho tem como objetivo principal os itens a seguir: estabelecer um método capaz de analisar e de comparar as diversas bacias de uma região quanto ao grau de proximidade com um círculo que apresente cada uma delas; estabelecer um método capaz de
analisar e de comparar as diversas peças de uma estrutura quanto ao grau de proximidade com um círculo que apresentem suas respectivas elipses centrais de inércia; descrever um roteiro de cálculo capaz de possibilitar o estudo das variações das curvas que relacionam os custos, a demanda e a produção no contexto da Engenharia de Transportes; a definição de um método iterativo com a finalidade de se determinarem os pontos mais distantes de uma linha de tendência na representação dos resultados de um ensaio laboratorial, de modo que estes possam ser verificados, viabilizando a comparação entre resultados de ensaios e a verificação de pontos críticos (mais distantes da linha de tendência) para a obtenção de melhores aproximações de funções para a interpretação dos dados; a aplicação do método iterativo especificado no item anterior ao problema estrutural da rotação das vigas pré-moldadas de concreto quando de seu içamento, com o propósito de se obterem resultados de aproximação sobre o giro dos referidos elementos estruturais.
2.2. Objetivos específicos
Este trabalho tem como objetivos específicos os itens adiante: definição de um método de cálculo baseado em parâmetros simples de entrada e que seja capaz de fornecer resultados analíticos e de fácil interpretação. Os cálculos serão feitos para uma série de pelo menos três bacias de uma dada região, sendo esta preferencialmente pequena como uma macrorregião dentro de um estado da federação; definição de um método de cálculo baseado em parâmetros simples de entrada e que seja capaz de fornecer resultados analíticos e de fácil interpretação. Os cálculos serão feitos para uma série de pelo menos três peças de uma dada estrutura; construção de um roteiro de cálculo com base em parâmetros simples de entrada e que seja capaz de fornecer resultados analíticos e de fácil interpretação. Os cálculos deverão ser feitos de modo a se medirem as variações dos ângulos de inclinação entre as retas tangentes no primeiro ponto e nos demais à curva de uma função que relacione custos e demanda ou produção e demanda; determinação de um método iterativo capaz de identificar os pontos críticos da linha de tendência utilizada na interpretação dos resultados de um ensaio laboratorial e de estabelecer a precisão de um ensaio, permitindo assim a sua comparação com outros trabalhos em termos de qualidade do resultado obtido. Calcular-se-ão os fatores solicitados pelo método para cada um dos pontos, e estes serão comparados ao fator fixado pelo autor do ensaio, de modo que os pontos cujos fatores superem o valor fixado deverão ser verificados e, se julgado necessário, repetidos em ensaio para a geração de uma nova linha de tendência. Ao mesmo tempo, é possível classificar vários trabalhos sobre uma mesma prática laboratorial e compará-los por meio das distâncias médias estabelecidas entre retas paralelas
que representam uma margem de erro para cada um dos pontos. O método poderá ser aplicado em diversas áreas da Engenharia Civil, tais como a Geotecnia e o estudo dos Materiais de Construção Civil; quanto ao problema da rotação das vigas pré-moldadas de concreto quando de seu içamento, pretende-se aplicar-lhe o processo iterativo supracitado, de modo a se obterem aproximações fidedignas para um diagrama que conduza a resultados de giro dos elementos estruturais a partir de parâmetros referentes à constituição física e geométrica de cada peça, levando a previsões de possíveis avarias em obras.
3. DESENVOLVIMENTO
3.1.Descrição da área de estudo
A área de estudo aqui abordada pode ser subdividida da seguinte maneira: na Hidrologia Aplicada, as bacias hidrográficas são umas das mais importantes unidades de estudo, e a compreensão de seu formato como um dos fatores a influenciarem no comportamento da água na referida unidade é de suma importância para a segurança e para a eficiência das obras de Engenharia Civil; na Resistência dos Materiais, o estudo da elipse central de inércia em um contexto de influência sobre o comportamento das estruturas sob efeito de determinados esforços é de suma importância à compreensão dos fenômenos ocorrentes nas estruturas; na Engenharia de Transportes, os custos, a demanda, a produção, a oferta e outros quesitos relacionados aos transportes são fatores básicos e essenciais, e as funções que os conectam compõem as bases de cálculo dentro dos sistemas de transportes. Os ditos fatores merecem a devida atenção na maneira em que relacionam entre si, pois, como exemplifica Silva (2019, p.35), uma das implicações das dadas relações se manifesta justamente sobre a forma com que se lida com a estocagem, uma vez que o estoque representa um alto risco de obsolescência, perda e deterioração (dos produtos em estocagem) além de altos custos para ser mantido, ao mesmo tempo em que representa uma forma de segurança contra aquilo que não se espera, de modo a importar para a demanda de consumidores e para a demanda da programação de produção. É assim evidenciada a delicadeza de uma possível relação entre demanda e produção, quando se trata da estocagem; a Geotecnia requer a execução de diversos ensaios laboratoriais, seja para o desenvolvimento de pesquisas, ou mesmo para o aprendizado prático dos discentes do curso superior. De posse desta informação, é válido recordar-se de que muitos destes ensaios pautam a interpretação de seus resultados na determinação numérica de funções que representem algebricamente a linha de tendência. Outrossim, é interessante que se tenham métodos cujo intuito seja o melhoramento
das aproximações e dos próprios resultados dos ensaios; no ramo das Estruturas, o questionamento a respeito da rotação das vigas pré-moldadas reflete uma preocupação com os limites a que uma estrutura se submete quanto ao seu próprio comportamento em dadas situações. Neste caso, uma rotação prevista poderá acarretar na revisão das condições de içamento e/ou da viga içada se for dada como superior à rotação que a estrutura é capaz de suportar.
3.1.1. Localização
A região de que três bacias hidrográficas foram analisadas é situada na Serra da Mantiqueira, no sul do estado de Minas Gerais e próximo ao estado do Rio de Janeiro.
3.1.2. Aspectos Fisiográficos
Na região verificada, os aspectos fisiográficos são: o inverno na serra da Mantiqueira que, devido à altitude, apresenta temperaturas baixas, com a possível ocorrência da névoa no começo da manhã e muitas geadas. São comuns as temperaturas próximas a 0ºC ou mesmo negativas, sendo a menor já aferida igual a -8,4°C. O registro ocorreu no município de Maria da Fé, em Minas Gerais, na data de 21 de julho de 1981. Os picos são as regiões mais críticas para as geadas, e já houve registro de precipitações de neve em alguns deles. O relevo da Serra da Mantiqueira se destaca como montanhoso. Uma bacia hidrográfica de expressão na serra é a bacia do Rio Grande. O ecossistema local faz parte dos biomas da Mata Atlântica e da Mata das Araucárias, marcantes nas regiões mais altas juntamente aos campos de altitude. A fauna local é vasta e diversificada (WIKIPÉDIA, 2020).
3.2.Deduções das equações
Esta seção é organizada de forma a se respeitar a divisão da área de estudo mantida ao longo de todo o trabalho. Desta forma, cada proposta de cálculo será deduzida para a ramificação correspondente à sua aplicação:
3.2.1. Hidrologia Aplicada
Conforme a Figura 1, a qual está de acordo com os elementos geométricos e elípticos discutidos por Winterle (2000, p.178) é possível deduzir-se a partir do teorema de Pitágoras a equação 1 a seguir:
Onde c é a distância entre o centro da elipse e um dos focos; a é a maior distância entre o centro e a linha de contorno; b é a menor distância entre o centro e a linha de contorno. Assim, faz-se válida a equação 2:
𝑐 = √𝑎2− 𝑏2 (2)
Então, validam-se as equações 3 e 4 abaixo:
𝛾 = 𝑎 + 𝑐 = 𝑎 + √𝑎2 − 𝑏2 (3)
Onde 𝛾 é a maior distância entre os focos e a linha de contorno.
𝜌 = 𝑎 − 𝑐 = 𝑎 − √𝑎2− 𝑏2 (4)
Onde 𝜌 é a menor distância entre cada foco e a linha de contorno.
Figura 1 – Elipse
Fonte: O autor (2020)
Para a obtenção da primeira e da segunda equações principais, é necessário transcorrer o desenvolvimento da equação 5 a seguir:
(𝑏 + 𝑐)2 = 𝑏2+ 2 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 + 𝑐2 (5)
Sendo S a área do triângulo retângulo delimitado na elipse, sabe-se que a equação 6 é verdadeira:
𝑏∗𝑐
Onde c é a distância entre o centro da elipse e um dos focos; S é área do triângulo retângulo.
Logo, valida-se também a equação 7:
2 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = 4 ∗ 𝑆 (7) Sendo 𝑝 o semiperímetro do triângulo retângulo, pode-se inserir a equação 8:
𝑝 =𝑎+𝑏+𝑐
2 (8)
Onde 𝑝 é o semiperímetro do triângulo retângulo.
Aplicando-se as equações 1 e 7 em (5), tem-se a equação 9:
4 ∗ 𝑆 = (𝑏 + 𝑐)2− 𝑎2 (9) Pode-se analisar a equação 9 como a fórmula 10:
4 ∗ 𝑆 = (𝑏 + 𝑐 + 𝑎) ∗ (𝑏 + 𝑐 − 𝑎) = 2 ∗ 𝑝 ∗ (2 ∗ 𝑝 − 2 ∗ 𝑎) = 4 ∗ 𝑝 ∗ (𝑝 − 𝑎) (10) Tal que seja verdadeira a equação 11:
𝑆 = 𝑝 ∗ (𝑝 − 𝑎) (11) E, portanto, tem-se a fórmula 12:
𝑝2− 𝑝 ∗ 𝑎 − 𝑆 = 0 (12)
Vê-se então que uma das soluções desta equação, admitindo-se 𝑝 como variável, é 𝑝, o próprio semiperímetro. Por organização, chamar-se-á esta solução de 𝑘, tal que 𝑘 = 𝑝.
Sendo 𝑗 a outra solução, através do conceito de soma e produto para equações do 2º grau, sabe-se que se faz fato a equação 13:
𝑘 + 𝑗 = −(−𝑎) = 𝑎 (13) Onde 𝑘 e 𝑗 são as raízes da equação 12.
Então, chega-se às equações 14 e 15: 𝑘 =𝑎+𝑏+𝑐
2 (14)
𝑗 =𝑎−𝑏 −𝑐
2 (15)
Onde 𝑗 é a outra solução da equação 12.
Das equações 2 e 3, tem-se que as equações 16 e 17 são verdadeiras: 𝑎 =𝛾+𝜌 2 (16) 𝑐 =𝛾−𝜌 2 (17) Se é verdadeira a equação 18: 𝑏2 = 𝑎2− 𝑐2 = (𝑎 + 𝑐) ∗ (𝑎 − 𝑐) (18) Também é fato aquilo que se propõe na equação 19:
𝑏 = √(𝑎 + 𝑐) ∗ (𝑎 − 𝑐) (19) Aplicando-se (16) e (17) em (19), tem-se a equação 20:
𝑏 = √𝛾 ∗ 𝜌 (20) Substituindo-se (16), (17) e (20) em (14) e (15), têm-se as equações 21 e 22:
𝑘 =1
2∗ (𝛾 + √𝛾 ∗ 𝜌) (21)
𝑗 =1
2∗ (𝜌 − √𝛾 ∗ 𝜌) (22)
Sendo 𝑟𝑐 o raio de uma circunferência qualquer é possível verificar que os semi-eixos 𝑎 e 𝑏 são iguais entre si e também iguais a 𝑟𝑐, tal que 𝑐 é igual a zero, pois em uma circunferência não há distância entre o centro e os focos, e ambos os semi-eixos são iguais ao raio. Deste modo, por (14) e por (15), chega-se às equações 23 e 24:
𝑘 = 𝑟𝑐 (23) 𝑗 = 0 (24) Assim, é possível concluir que (21) e (22) são respectivamente a primeira e a segunda equação principal do método, pois k é o raio de uma circunferência hipotética da qual a elipse analisada se aproxima, enquanto que 𝑗 = 0 significa que a elipse é igual à referida circunferência. É importante ressaltar que 𝑗 ≤ 0.
Agora, deve-se considerar um cilindro de base circular, cujo raio da base é igual a 𝑟. O cilindro é transversalmente cortado por um plano 𝜋, o qual sofre rotação de 𝜃 graus (tal que 0𝑜 ≤ 𝜃 ≤ 90𝑜 em torno do eixo do diâmetro da circunferência de raio 𝑟, descrita quando da
intersecção em 𝜃 = 0𝑜, conforme a Figura 2 a seguir:
Figura 2 - Cilindro e intersecção transversal pelo plano 𝜋
Fonte: O autor (2020)
É necessário constatar que, para o uso deste método, as bacias hidrográficas devem ser delimitadas em uma figura plana, como uma carta planialtimétrica, por exemplo. O plano 𝜋, tratado pela figura acima, não é o mesmo plano sobre o qual cada bacia hidrográfica analisada é delimitada, mas sim, o plano cuja rotação descreve o ângulo de inclinação necessário da intersecção entre o cilindro de base circular e o próprio plano (𝜋) para que desta (da intersecção) resulte a elipse cuja razão entre os semieixos 𝑎
𝑏, abordada logo adiante, seja
igual à mesma razão 𝑎
𝑏 calculada para a elipse que aproxima o formato da bacia. Na sessão
3.3.1. deste trabalho é tratada a forma de obtenção das elipses de aproximação.
À medida que o plano 𝜋 é rotacionado, as intersecções com o cilindro passam a descrever elipses até que, quando 𝜃 = 90𝑜, a seção longitudinal será um retângulo infinito.
Deste modo, deve ser feita a análise das seções obtidas em função do ângulo 𝜃, de acordo com a Figura 3:
Figura 3 - Seções no cilindro em função do ângulo 𝜃
Fonte: O autor (2020)
Daí conclui-se que é fato a equação 25:
𝑎 𝑏 =
𝑟 ∗𝑠𝑒𝑐𝜃
𝑟 = 𝑠𝑒𝑐𝜃 (25)
Onde 𝑟 é o raio da circunferência obtida a partir da intersecção do plano 𝜋 com o cilindro quando 𝜃 = 0𝑜;
𝜃 é o ângulo de rotação do plano 𝜋 em torno do eixo do diâmetro da circunferência gerada quando 𝜃 = 0𝑜.
É possível determinar a razão 𝑎
𝑏 para as elipses que aproximam o formato das bacias
hidrográficas, transformando as referidas formas geométricas em pontos na curva da função 𝑠𝑒𝑐𝜃 dentro do intervalo 0𝑜 ≤ 𝜃 ≤ 90𝑜. Assim, podem-se traçar as retas tangentes à curva da função em cada ponto correspondente à elipse de uma bacia hidrográfica e calcular-se o ângulo formado entre elas, o qual é um parâmetro indicador do comportamento da curva entre os pontos e, portanto, um comparativo entre eles dentro da função. A Figura 4 existe para ilustrar essa condição.
Figura 4 - Retas tangentes à curva secante
Sendo a reta s tangente à curva no ponto A, e a reta t tangente no ponto B, deseja-se mensurar o ângulo 𝜀, formado entre elas. A priori, sabe-se que é verdadeira a fórmula 26:
𝜀 = 𝛼2− 𝛼1 (26) Onde 𝜀 é o ângulo formado entre duas retas tangentes à curva secante;
𝛼1 e 𝛼2 são os ângulos de inclinação das retas tangentes, tal que 𝛼2> 𝛼1 (sempre será
válida a inequação).
Sendo 𝑠𝑒𝑐′𝜃 a derivada de primeira ordem da função 𝑓(𝜃) = 𝑠𝑒𝑐′𝜃, é fato a equação 27: 𝑠𝑒𝑐′𝜃 = 𝑠𝑒𝑐𝜃 ∗ 𝑡𝑔𝜃 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 (𝑐𝑜𝑠𝜃)2 (27) É verificável a equação 28: (𝑐𝑜𝑠𝜃)2 = (𝑏 𝑎) 2 (28) Como a equação fundamental da trigonometria, ou equação 29, propõe que
(𝑠𝑒𝑛𝜃)2+ (𝑐𝑜𝑠𝜃)2= 1 (29)
Tem-se como verídica a equação 30:
𝑠𝑒𝑛𝜃 = √1 − (𝑐𝑜𝑠𝜃)2= √1 − (𝑏 𝑎)
2
(30) Logo, a equação 31 é igualmente verificável:
𝑠𝑒𝑐′𝜃 = √1−( 𝑏 𝑎) 2 (𝑏 𝑎) 2 = ( 𝑎 𝑏) 2 ∗ √1 − (𝑏 𝑎) 2 (31)
Desta forma, sabe-se que é fato a equação 32:
𝜇 = 𝑡𝑔𝛼 = 𝑠𝑒𝑐′𝜃 = ( 𝛾 +𝜌 2∗√𝛾∗𝜌) 2 ∗ √1 − (2∗√𝛾 ∗𝜌 𝛾 +𝜌 ) 2 (32)
Podendo ser 𝛼 = 𝛼1 ou 𝛼 = 𝛼2, e sendo 𝜇 o valor da tangente do ângulo 𝛼 (coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto, ou seja, a derivada da função naquele
ponto), e sendo 𝛾′ e 𝜌′ os parâmetros para a bacia hidrográfica principal (aquela na qual se encontra o rio de maior volume), a equação 32 se desdobra na equação 33:
𝜇′ = 𝑡𝑔𝛼′ = 𝑠𝑒𝑐′𝜃 = ( 𝛾′+𝜌′ 2∗√𝛾′∗𝜌′) 2 ∗ √1 − (2∗√𝛾′∗𝜌′ 𝛾′+𝜌′ ) 2 (33)
Podendo ser 𝛼′ = 𝛼1 ou 𝛼′ = 𝛼2, e sendo 𝜇′ o valor da tangente do ângulo 𝛼′, e ao passo que para a função 𝑠𝑒𝑐𝜃 0𝑜 ≤ 𝛼 ≤ 90𝑜, é possível concluir que quanto maior for 𝑡𝑔𝛼,
maior será 𝛼, e que, por isso, 𝑡𝑔𝛼2> 𝑡𝑔𝛼1. Assim, se 𝑡𝑔𝛼 > 𝑡𝑔𝛼′, 𝛼 = 𝛼2 e 𝛼′ = 𝛼 1, e se
𝑡𝑔𝛼′ > 𝑡𝑔𝛼, 𝛼 = 𝛼1 e 𝛼′ = 𝛼
2, enfatizando-se que 𝛼2 > 𝛼1 (sempre). Isso se faz verdade por
ser crescente a função tangente, 𝑓(𝜃) = tg (𝜃).
Da trigonometria, sabe-se que parte a equação 34: 𝑡𝑔𝜀 = 𝑡𝑔(𝛼2− 𝛼1) = 𝑡𝑔𝛼2−𝑡𝑔𝛼1
1+𝑡𝑔𝛼2∗𝑡𝑔𝛼1 (34)
Assim sendo, aborda-se a equação 35: 𝜀 = 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔 ( 𝜇𝑐−𝜇𝑑
1+𝜇𝑐 ∗𝜇𝑑) (35)
Tal que 𝜇𝑐 é o maior valor entre 𝜇 e 𝜇′, e que 𝜇𝑑 é o menor entre eles. Assim sendo, (35) é a terceira equação principal do método, na qual 𝜀 permite comparar em termos de formato a bacia principal com as demais.
Para as equações principais, adotar-se-á que 𝑘 e 𝑗 terão km como sua unidade, enquanto que 𝜀 será considerado em graus.
A partir de então, a dependência entre os indicadores de formato da bacia (𝑘 e 𝑗) e o comparativo 𝜀 entre a bacia principal e cada uma das outras analisadas será avaliada gráfica e algebricamente. Para tanto, dois gráficos de dispersão serão construídos. Sendo que ambos possuirão os dados de 𝜀 no eixo x, o primeiro deles terá os valores de 𝑘 no eixo y, enquanto que o segundo terá os dados de 𝑗 neste mesmo eixo. Eles serão plotados em formato de dispersão, e sua linha de tendência será traçada de modo a possuir a lei de formação mais conveniente, ou seja, aquela que mais aproxima a curva resultante dos pontos dispersos.
A Figura 5, com proposta exclusivamente ilustrativa, traz exemplos destes gráficos, abordando valores meramente demonstrativos e que não correspondem a nenhum conjunto real de bacias hidrográficas. As linhas de tendência foram obtidas no Excel, fazendo-se uso da ferramenta do referido software destinada à obtenção de funções de aproximação e
considerando-se as opções de função que melhor se encaixavam visualmente aos conjuntos de pontos dispersos (uma vez que a figura é de caráter meramente ilustrativo). Adiante neste trabalho, um método para a comparação entre opções de linha de tendência será apresentado.
Figura 5 - Gráficos 𝑘 𝑥 𝜀 e 𝑗 𝑥 𝜀 (bacias hidrográficas)
Fonte: O autor (2020)
Quanto às linhas de tendência, é preciso recordar que, para um conjunto de 𝑛 pontos, sempre haverá um polinômio 𝑛 + 1 capaz de descrever algebricamente uma curva a qual passa perfeitamente por todos os 𝑛 pontos do conjunto, fato que a priori eliminaria a necessidade do uso de linhas de tendência. Contudo, é também necessária a compreensão de que, na Engenharia Civil, as ferramentas computacionais mais comumente utilizadas possuem limitações relativas à ordem das funções de aproximação e ao tipo destas, fazendo com que a demanda por linhas de tendência não seja superada tão facilmente. A título de exemplo, pode-se citar o ensaio geotécnico de compactação, tratado na pode-sessão 3.3.4. deste trabalho, pois dele podem ser extraídos conjuntos vastos de pontos (umidade x massa específica seca), de modo que ferramentas como o Excel encontrem a impossibilidade de estabelecer funções (inclusive polinômios) de ordem suficiente para que todos os pontos sejam perfeitamente englobados pela curva determinada. Sendo assim, permanece a necessidade de se utilizarem linhas de tendência e de se obterem meios para que esta utilização evolua em termos de precisão.
y = -0,0128x2+ 1,2893x + 1,2224 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 50 k (k m ) Épsilon (graus) y = -0,0008x3+ 0,0785x2- 2,1425x + 11,975 -8 -6 -4 -2 0 0 10 20 30 40 50 j ( km ) Épsilon (graus)
O procedimento a seguir será aplicado para todos os pontos de ambos os gráficos quando da aplicação prática do método. Contudo, para a dedução das últimas fórmulas necessárias, basta que um ponto sirva como exemplo, tal qual na Figura 6 após a descrição do processo de análise gráfica.
O ponto será horizontalmente projetado sobre a linha de tendência, de modo a atingir a região mais próxima desta e a manter sua imagem no eixo 𝑦. Então, um outro ponto será criado sobre a curva e a partir da projeção feita, para que seja determinada a reta tangente à curva neste dado ponto. Em seguida, uma reta paralela à referida é traçada de modo a passar pelo ponto original a partir do qual se fez a projeção, e a distância entre as duas retas é calculada. Como já dito, estes passos devem ser repetidos para todos os pontos.
Figura 6 - Retas e projeção do ponto
Fonte: O autor (2020)
O ponto A faz parte do gráfico 𝑘 𝑥 𝜀 apresentado Figura 5. A” é sua projeção horizontal sobre a linha de tendência expressa como um polinômio do 2º grau. r é a reta tangente ao ponto A” e u é a reta paralela a r e passante pelo ponto A. Em um passo inicial, deve-se caracterizar r:
Seja 𝑓(𝑥) a função correspondente à lei de formação da linha de tendência e obtida com o uso de ferramentas computacionais de modo que seja a função que melhor se aproxima dos pontos dispersos. Sendo conhecidas as coordenadas do ponto A (a elipse que aproxima uma bacia hidrográfica) e sendo elas A (𝜀; 𝑘), descobre-se que A” possui o mesmo valor de 𝑘, enquanto que seu valor de 𝜀 é aquele cuja aplicação na equação da curva resulte em uma imagem igual a 𝑘. Logo, se for o ponto A” (𝜀"; 𝑘), deve-se concluir a equação 36:
𝑓(𝜀") = 𝑘 (36) Onde 𝑓(𝑥) é a lei de formação da linha de tendência;
𝜀" é a coordenada x do ponto A”.
Isto é, 𝑘 é a própria imagem de 𝜀". Assim, para encontrar-se 𝜀", basta isolar a variável 𝑥 na equação da linha de tendência, colocando-se 𝑦 = 𝑘. Havendo sido determinado o referido valor, querer-se-á descobrir o coeficiente angular de r, o qual será dado através da equação 37:
𝑚 = 𝑓′(𝜀") (37) Onde m é o coeficiente angular da reta tangente à linha de tendência;
𝑓’(𝑥) é a derivada de primeira ordem de 𝑓(𝑥).
Significando que o coeficiente angular (m) de r é obtido através da substituição de 𝜀" na variável 𝑥 na derivada de primeira ordem de 𝑓(𝑥) (𝑓’(𝑥)). Como é sabido que r passa pelo ponto A”, é possível conhecer seu coeficiente linear, já que se tem a equação 38:
𝑘 = 𝑚 ∗ 𝜀" + 𝑛 (38) Onde n é o coeficiente linear da reta tangente à linha de tendência.
Portanto, valida-se a equação 39:
𝑛 = 𝑘 − 𝑚 ∗ 𝜀" (39) E, aplicando-se a equação 37 na equação 39, chega-se à equação 40:
𝑦 = 𝑓′(𝜀") ∗ 𝑥 + (𝑘 − 𝑓′(𝜀" ) ∗ 𝜀") (40) É a equação de r no formato 𝑦 = 𝑚 ∗ 𝑥 + 𝑛.
Para a reta u, vê-se que a equação 37 também é válida, pois as retas são paralelas e seus coeficientes angulares são iguais. Sendo novamente 𝑦 = 𝑘 no ponto A, pelo qual passa u, é correto dizer que é fato aquilo que traduz a equação 41:
𝑦 = 𝑓′(𝜀") ∗ 𝑥 + (𝑘 − 𝑓′(𝜀" ) ∗ 𝜀) (41) É a equação de u no formato 𝑦 = 𝑚 ∗ 𝑥 + 𝑛.
Para descobrir-se a distância 𝑑 entre elas, basta considerar a fórmula geométrica 42 abaixo:
𝑑 = |𝐶 −𝐷|
√𝐴2+𝐵2
(42)
𝐴, 𝐵, 𝐶 e 𝐷 são os parâmetros para duas equações de reta no formato 𝐴 ∗ 𝑥 + 𝐵 ∗ 𝑦 = 𝐶 e 𝐴 ∗ 𝑥 + 𝐵 ∗ 𝑦 = 𝐷.
Deste modo, têm-se as equações 43 e 44 a seguir:
r: 𝑓′(𝜀”) ∗ 𝑥 − 𝑦 = 𝑓′(𝜀")*ε" − 𝑘 (43)
Sendo 𝐴 = 𝑓’(𝜀"); 𝐵 = −1; 𝐶 = 𝑓’(𝜀")*ε" − 𝑘
u: 𝑓′(𝜀”) ∗ 𝑥 − 𝑦 = 𝑓′(𝜀")*ε − 𝑘 (44)
Sendo 𝐴 = 𝑓’(𝜀"); 𝐵 = −1; 𝐷 = 𝑓’(𝜀")*ε − 𝑘 Então, é possível concluir-se a equação 45: 𝑑𝑖 = 𝜇𝑙−𝜇𝑚
√(𝑓′(𝜀”))2+1 (45)
Onde 𝑑𝑖 é a distância gráfica observada para cada bacia.
Tal que 𝜇𝑙 é o maior valor entre 𝑓’(𝜀")*ε" − 𝑘 e 𝑓’(𝜀")*ε − 𝑘, e que 𝜇𝑚 é o menor entre eles.
De modo análogo isso será feito para j, tal que 𝜇𝑙 é o maior valor entre 𝑓’(𝜀")*ε" − 𝑗 e 𝑓’(𝜀")*ε − 𝑗, e que 𝜇𝑚 é o menor entre eles.
Feito isso, a média aritmética das distâncias irá ser calculada através da equação 46:
𝑑̅ =𝑖 ∑𝑁𝑖=1𝑑𝑖
𝑁 (46)
Onde 𝑑̅ é a média das distâncias; 𝑖 N é o número de bacias analisadas.
Finalmente, 𝑑𝑖 e 𝑑̅ poderão ser comparadas, de forma que 𝑖 • 𝑑𝑖<𝑑̅ : bacia dentro da média; 𝑖
• 𝑑𝑖>𝑑̅ : bacia fora da média; 𝑖 • 𝑑𝑖=𝑑̅ : bacia na média. 𝑖
Esta conclusão é válida seja quanto a 𝑘 𝑥 𝜀 ou quanto a 𝑗 𝑥 𝜀.
Algumas observações práticas sobre este roteiro são: para a bacia principal, 𝜀 = 0 (sempre), uma vez que comparar-se-á o ponto correspondente consigo próprio; não se devem avaliar menos de três bacias, pois o método perderá seu efeito, já que a linha de tendência seria uma reta passante exatamente pelo único ponto ou pelos dois pontos em dispersão, de modo que as distâncias medidas entre as duas retas paralelas nos gráficos seriam nulas. A
aplicação prática deste método será apresentada na sessão 3.3. deste trabalho, e os resultados da aplicação do roteiro serão vistos no item 4.1..
3.2.2. Resistência dos Materiais
O mesmo roteiro da subdivisão “Hidrologia Aplicada” será aplicado ao caso das elipses centrais de inércia, com a diferença de que não se terão aproximações através de elipses, e sim as elipses centrais de inércia dos elementos estruturais. Esta utilização é evidenciada no item 3.3. deste trabalho.
3.2.3. Engenharia de Transportes
Se existir uma curva que relacione custos, demanda e/ou produção, e se se obtiver a sua equação, poder-se-á avaliar a diferença entre os ângulos de inclinação das retas tangentes à curva em diferentes pontos, conforme a Figura 4, retomada.
Figura 4 - Retas tangentes a uma curva
Fonte: O autor (2020)
Para se descobrir o valor do ângulo 𝜀, a diferença angular, é necessário obter-se a derivada de primeira ordem da função da curva, e nela aplicarem-se os valores correspondentes às coordenadas 𝑥 dos pontos que se desejarem analisar. Assim, obter-se-ão os coeficientes angulares das retas tangentes à curva nos referidos pontos.
Aplicando-se a função arco tangente, descobrir-se-ão os ângulos de inclinação das retas com relação ao eixo 𝑥, tornando assim possível definir qual será o maior deles entre o ângulo da reta tangente à curva no primeiro ponto e daquelas tangentes nos demais pontos. Ao se subtraírem os ângulos menores dos maiores, mensurar-se-ão as diferenças angulares, das
quais deverá ser calculada a média aritmética. Ao se compararem as diferenças angulares à média calculada, saber-se-á se as ditas medidas são acima (fora) da média, abaixo (dentro) da média ou iguais à média (na média).
Os dados de 𝑥 são aplicados na derivada de primeira ordem da função, obtendo-se os valores 𝑚𝑖, conforme a equação 47 abaixo:
𝑚𝑖 =𝑑𝑓 (𝑥𝑖)
𝑑𝑥𝑖 (47)
Onde 𝑚𝑖 é o coeficiente angular da reta tangente à curva.
A notação adotada para o coeficiente angular está apresentada de modo distinto nesta sessão, pois sua utilização é diferente daquela já trabalhada anteriormente.
Os ângulos de inclinação das retas são descobertos por meio da equação 48:
𝛼𝑖 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑚𝑖) (48) Onde 𝛼𝑖 é o ângulo de inclinação da reta tangente à curva.
É determinado qual dos ângulos entre 𝛼1 (da reta tangente à curva no primeiro ponto) e 𝛼𝑛 (da reta tangente à curva em qualquer outro ponto) é o maior. Então, subtrai-se-lhe o menor ao maior ângulo, como descrito nas equações 49 e 50 adiante:
𝜀 = 𝛼𝑛− 𝛼1 (49) 𝜀 = 𝛼1− 𝛼𝑛 (50)
Onde 𝜀 é a diferença entre os ângulos de inclinação das retas tangentes à curva; 𝛼1
é o ângulo de inclinação da reta tangente à curva no primeiro ponto;
𝛼𝑛 é o ângulo de inclinação da reta tangente a curva em outro ponto qualquer.
A equação 49 é utilizada se 𝛼1< 𝛼𝑛, enquanto que a fórmula 50 o é quando 𝛼𝑛< 𝛼1. Evidentemente, para o primeiro ponto, 𝜀 = 0, pois 𝛼1= 𝛼𝑛.
A média das diferenças é calculada pela equação 51: 𝜀̅ =∑𝑁𝑖=1𝜀𝑖
𝑁𝑑 (51)
Onde 𝜀̅ é a diferença angular média; 𝜀𝑖 é cada diferença angular calculada;
𝑁𝑑 é o número de diferenças angulares calculadas (igual ao número de pontos analisados da curva).
As diferenças angulares são comparadas à diferença média. Se 𝜀 < 𝜀̅, o ponto estará dentro da média,
se 𝜀̅ < 𝜀, o ponto estará fora da média, se 𝜀 = 𝜀̅, o ponto estará na média.
3.2.4. Análise de resultados de ensaios laboratoriais para Geotecnia
O procedimento a seguir será aplicado para todos os pontos do gráfico quando da aplicação prática do método. Contudo, para a dedução das últimas fórmulas necessárias, basta que um ponto sirva como exemplo, tal qual na Figura 6, retomada.
O ponto será horizontalmente projetado sobre a linha de tendência, de modo a atingir a região mais próxima desta e a manter sua imagem no eixo 𝑦. Então, um outro ponto será criado sobre a curva e a partir da projeção feita, para que seja determinada a reta tangente à curva neste dado ponto. Em seguida, uma reta paralela à referida é traçada de modo a passar pelo ponto original a partir do qual se fez a projeção, e a distância entre as duas retas é calculada. Como já dito, estes passos devem ser repetidos para todos os pontos.
Figura 6 - Retas e projeção do ponto
Fonte: O autor (2020)
O ponto A faz parte do gráfico 𝑌 𝑥 𝑋 apresentado na Figura 6, retomada. A” é sua projeção sobre a linha de tendência. r é a reta tangente ao ponto A” e u é a reta paralela a r e passante pelo ponto A. O roteiro de projeção aqui estabelecido é de muita semelhança com aquele abordado na sessão Hidrologia Aplicada do trabalho.
Seja 𝑓(𝑥) a função correspondente à lei de formação da linha de tendência. Sendo conhecidas as coordenadas do ponto A e sendo elas A (𝑋𝑎 ; 𝑌𝑎), descobre-se que A” possui o mesmo valor de 𝑌, enquanto que seu valor de 𝑋 é aquele cuja aplicação na equação da curva resulte em uma imagem igual a 𝑌𝑎. Logo, se for o ponto A” (𝑋𝑎"; 𝑌𝑎), deve-se concluir a equação 52:
𝑓(𝑋𝑎") = 𝑌𝑎 (52) Onde 𝑓(𝑥) é a lei de formação da linha de tendência;
𝑋𝑎" é a coordenada x do ponto A”;
𝑋𝑎" é a coordenada y do ponto A” e imagem de 𝑋𝑎".
Isto é, 𝑌𝑎 é a própria imagem de 𝑋𝑎". Assim, para encontrar-se 𝑋𝑎", basta isolar a variável 𝑥 na equação da linha de tendência, colocando-se 𝑦 = 𝑌𝑎. Havendo sido
determinado o referido valor, querer-se-á descobrir o coeficiente angular de r, o qual será dado pela equação 53:
𝑚 = 𝑓′(𝑋𝑎") (53) Onde 𝑚 é o coeficiente angular da reta tangente à linha de tendência;
𝑓’(𝑥) é a derivada de primeira ordem de 𝑓(𝑥); 𝑋𝑎" é a coordenada 𝑥 do ponto A”.
Significando que o coeficiente angular (𝑚) de r é obtido através da substituição de 𝑋𝑎" na variável 𝑥 na derivada de primeira ordem de 𝑓(𝑥) (𝑓’(𝑥)). Como é sabido que r passa pelo ponto A”, é possível conhecer seu coeficiente linear, já que é verdadeira a equação 54:
𝑌𝑎 = 𝑚 ∗ 𝑋𝑎" + 𝑛 (54) Onde 𝑛 é o coeficiente linear da reta tangente à linha de tendência.
Portanto, faz-se real a equação 55:
𝑛 = 𝑌𝑎 − 𝑚 ∗ 𝑋𝑎" (55) Assim sendo, verifica-se a equação 56:
𝑦 = 𝑓′(𝑋𝑎") ∗ 𝑥 + (𝑌𝑎− 𝑓′(𝑋𝑎" ) ∗ 𝑋𝑎") (56) É a equação de r no formato 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛.
Para a reta u, vê-se que a equação 53 também é válida, pois as retas são paralelas e seus coeficientes angulares são iguais. Sendo novamente 𝑦 = 𝑌𝑎 no ponto A, pelo qual passa u, é correto dizer que é verdadeira a equação 57:
𝑦 = 𝑓′(𝑋𝑎" ) ∗ 𝑥 + (𝑌𝑎− 𝑓′(𝑋𝑎" ) ∗ 𝑋𝑎) (57) É a equação de u no formato 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛.
Para descobrir-se a distância 𝑑𝑖 entre elas, deve-se retomar a fórmula 42, citada na sessão Hidrologia Aplicada:
𝑑 = |𝐶 −𝐷|
√𝐴2+𝐵2
(42)
Deste modo, validam-se as equações 58 e 59: r: 𝑓′(𝑋 𝑎" ) ∗ 𝑥 − 𝑦 = 𝑓′(𝑋𝑎" )*𝑋𝑎" − 𝑌𝑎 (58) Sendo 𝐴 = 𝑓’(𝑋𝑎" ); 𝐵 = −1; 𝐶 = 𝑓’(𝑋𝑎") ∗𝑋𝑎" −𝑌𝑎. u: 𝑓′(𝑋 𝑎") ∗ 𝑥 − 𝑦 = 𝑓′(𝑋𝑎")*𝑋𝑎− 𝑌𝑎 (59) Sendo 𝐴 = 𝑓’(𝑋𝑎"); 𝐵 = −1; 𝐷 = 𝑓’(𝑋𝑎")𝑋𝑎− 𝑌𝑎.
De modo análogo ao da sessão anterior referida, têm-se a equação 45, tal que 𝜇𝑙 e 𝜇𝑚
sejam calculados com os mesmos valores de coordenadas 𝑑𝑖 =
𝜇𝑙−𝜇𝑚
√(𝑓′(𝑋𝑎”))2+1 (45)
Tal que 𝜇𝑙 é o maior valor entre 𝑓’(𝑋𝑎”)*𝑋𝑎” − 𝑌𝑎 e 𝑓’(𝑋𝑎”)*𝑋𝑎− 𝑌𝑎, e que 𝜇𝑚 é o menor entre eles.
Feito isso, a média aritmética das distâncias irá ser calculada, novamente através da equação 46:
𝑑̅ =𝑖 ∑𝑁𝑖=1𝑑𝑖
𝑁 (46)
Que seja notado que, até este ponto, o desenvolvimento matemático promovido é consideravelmente similar àquele verificado para as projeções na sessão referente à Hidrologia Aplicada. Entretanto, será tratada nesta sessão, a partir deste parágrafo, uma nova sequência de fórmulas para a caracterização de um ponto frente a uma linha de tendência.
O fator de comparação 𝜏 é então estabelecido e comparado à razão calculada para cada ponto e representada pela equação 60:
𝑞 =𝑑𝑖
𝑑𝑖
̅̅̅ (60)
Onde 𝑞 é a razão ou o fator calculado para cada um dos pontos.
𝜏>1 representa o valor limite que se deseja que a razão 𝑞 assuma (fator relativo ao ponto mais distante da linha de tendência), conforme a equação 61:
𝜏 = 1 +𝑝%
100 (61)
Onde 𝜏 é o fator fixado;
𝑝% é a porcentagem máxima desejada para que a distância 𝑑𝑖 do ponto mais distante da linha de tendência supere a distância média 𝑑̅ . 𝑖
A análise final comparativa é, por sua vez, conclusiva da seguinte maneira: não há necessidade de se verificar o ponto quando 𝑞 ≤ 𝜏; deve-se verificar o ponto quando 𝑞 ≥ 𝜏.
A porcentagem atingida em um conjunto de dados é obtida através da fórmula 62: 𝑝𝑎𝑡% = (𝑞𝑚á𝑥 − 1) ∗ 100 (62)
Onde 𝑝𝑎𝑡% é a porcentagem atingida; 𝑞𝑚á𝑥 é o maior valor calculado de 𝑞.
O(s) ponto(s) verificados poderão ser refeitos se o autor do ensaio assim o julgar necessário. Se isto ocorrer, o(s) ponto(s) verificados deverão ser excluídos e os novos pontos inseridos para a solicitação de uma nova linha de tendência. Pode-se repetir o processo até que a precisão desejada seja atingida e, mesmo que não se a consiga, melhoramentos serão feitos no(s) ponto(s) mais crítico(s), permitindo ainda a obtenção da porcentagem atingida. Além disso, poder-se-ão comparar vários ensaios executados sob a observância das mesmas exigências normativas, pois, quanto menor for a distância média calculada, melhor será a qualidade do ensaio.
3.2.5. Problema estrutural tratante da rotação de vigas pré-moldadas de concreto como consequência do içamento
O processo iterativo deduzido na etapa anterior será aplicado ao problema estrutural da rotação das vigas pré-moldadas de concreto em condições de içamento, tal qual constante na seção 3.3..
3.3. Aplicações práticas
Igualmente à sessão anterior, as aplicações práticas também serão divididas de acordo com as áreas da divisão de estudo.
3.3.1. Hidrologia Aplicada
Inicialmente, os parâmetros de entrada foram descobertos após as medições feitas nas três bacias hidrográficas delimitadas e apresentadas na Figura 7.
Figura 7 - Bacias hidrográficas delimitadas
Fonte: O autor (2020)
A Bacia 1 é a bacia hidrográfica do Ribeirão Congonhal; a Bacia 2 é a Bacia hidrográfica do Ribeirão da Piedade; a Bacia 3 é a bacia hidrográfica do Ribeirão da Toca; os retângulos em roxo são os exutórios das bacias; as circunferências em vermelho sinalizam os pontos mais altos (picos nas curvas de nível) constatados sobre as linhas de limites das bacias; as linhas pretas são os limites das bacias; os traçados em rosa destacam o percurso dos três ribeirões dentro de suas bacias; as retas em azul são os eixos utilizados nas medições para os cálculos dos semieixos das elipses de aproximação (as medidas encontradas constam na Tabela 1). Deve-se destacar que as bacias são delimitadas da seguinte maneira: o rio principal é o primeiro dos elementos a ser identificado, tal que seu percurso seja devidamente sinalizado. Então, o ponto em que este rio desemboca em outro corpo de água é definido como o exutório da bacia e adequadamente demarcado. Faz-se em seguida o contorno da bacia, tomando-se o cuidado de que a linha do perímetro incida tão perpendicularmente quanto possível sobre as linhas das curvas de nível, até que todo o contorno seja fechado. Finalmente, marcam-se os pontos mais altos das curvas de nível por onde passa a linha de perímetro.
