Inteligência Artificial Escola de Verão Laboratório Associado de Computação e Matemática Aplicada LAC.

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Inteligência Artificial

Escola de Verão 2008

Laboratório Associado de

Computação e Matemática

Aplicada – LAC

www.lac.inpe.br/~demisio/ia_lac.html

Lógica Nebulosa

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• A Lógica Nebulosa (ou Lógica

Difusa – “Fuzzy Logic”) introduzida

formalmente por Lotfi Zadeh em

1965 para tratar do aspecto vago

da informação

• Lida com conceitos com verdade

parcial (imprecisão).

• Lógica clássica - declarações são

verdadeiras (V) ou falsas (F).

•No sentido mais restrito - a lógica nebulosa é um sistema lógico, sendo uma extensão dos sistemas lógicos binários.

•No sentido mais amplo - a lógica nebulosa é a lógica baseada na teoria dos conjuntos nebulosos.

•O conceito básico na lógica nebulosa é o de uma variável lingüística, ou seja, uma variável cujos valores são palavras ou sentenças ao invés de números.

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•Representação de valores de pertinência intermediários entre os valores de verdade e falso da lógica clássica

•Possibilita a representação de conceitos imprecisos

•Aproxima o raciocínio humano ao da lógica executada pela máquina.

• Em Lógica Nebulosa, a verdade de uma declaração é um grau de pertencimento (pertinência).

– a declaração pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo, mas com graus diferentes.

• O conceito de grau de pertencimento aplicado no problema do conjunto de pessoas altas anterior.

– Considerando 1,72 metros como limiar para o conjunto,

– Uma pessoa com 1,71 m é alta (verdade) com grau de 90% e como falsa com grau de 10%, por exemplo.

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Exemplo:

• Considerando o universo de todas as

pessoas que trabalham em uma empresa,

deseja-se selecionar todas as pessoas

altas.

• Sejam as alturas de 3 pessoas A, B, C

dadas por:

A: 1,79 m B: 1,68 m C: 1,81 m

Conjunto Crisp de Altura Conjunto Nebuloso de Altura

Altura [m] 1

0

Baixo Médio Alto

1,7 0 1,8 0 (Altura)

µ

1,6 0 1,7 9 0.8 0.2 [m] Altur a 1 0

1,70 1,80 (Altura)

µ

1,6 0 1,79

Altura Baixo Médio Alto

A 1,79 m 0 1 0

B 1,75 m 0 1 0

C 1,64 m 1 0 0

Altura Baixo Médio Alto

A 1,79 m 0 0.2 0.8

B 1,75 m 0 0.4 0.6

C 1,64 m 0.7 0.3 0

Valor da função Característica no Conjunto Crisp

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• O grau de pertencimento de um objeto a um conjunto nebuloso é declarado por funções de pertencimento (ou de pertinência) que definem curvas em que cada ponto no espaço de entrada é mapeado em um valor de pertinência (ou grau de pertinência) que varia entre 0 e 1.

• As funções podem ser de diversas naturezas e estão associadas à semântica desejada para um conceito.

• A implementação das funções pode ser realizada através de equações que definem triângulos, trapézios, Gaussianas, forma de S, sinos, etc.

• Exemplos: Definição de conjuntos

nebulosos usando funções trapezoidais

Conjunto Nebuloso de Altura

Altura

[m] 1

0

1,7 0 1,8 0 (Altura)

µ

1,6 0 1,7 9 0.8 0.2 Meia-idade Idoso Idade Jovem

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• Lógica Nebulosa pode ser aplicada, na construção de sistemas especialistas para descrever conceitos imprecisos:

• ALTURA (alto, baixo);

• VELOCIDADE (rápido, lento);

•TAMANHO (grande, médio, pequeno);

•QUANTIDADE (muito, razoável, pouco);

•IDADE (jovem, velho).

• Considerando um conjunto nebuloso A, sua função de pertinência é definida como:

• X é o Universo de Discurso de todos os elementos, ou seja, o

escopo da variável.

• O processo de atribuição de um grau de pertinência à variável é denominado de “fuzificação” (“fuzzyfication”).

X

x

X

x

A

(

)

:

→

[

0 ,

1 ],

∈

µ

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• Conjunto nebuloso discreto é representado

associando-se cada elemento ao seu grau

de pertinência.

• Conjunto nebuloso contínuo

∑

=

+

=

n i i i A n n A A A

x

A

, 1 2 2 1 1

µ

L

∫

=

X A

x

A

µ

(

)

• Os operadores lógicos “E” (&), “OU” () e “NÃO” (¬) também se aplicam à lógica nebulosa.

• Os graus de pertinência nos extremos (1 ou 0)

– os operadores lógicos padrão se aplicam diretamente,

• a lógica nebulosa é considerada como um superconjunto da lógica clássica.

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• Normalmente, o operador “E” é implementado através de uma função de cálculo de valor mínimo;

• O operador “OU” é implementado por uma função de cálculo de valor máximo;

• O operador “NÃO” usa o complemento aditivo.

Os três operadores também podem ser definidos de outras formas usando T-normas, para uma classe geral de operadores de intersecção, ou T-conormas, para uma classe geral de operadores de agregação para a união de conjuntos nebulosos.

• Os operadores também podem ser definidos de outras formas usando T-normas (classe geral de operadores de interseção), ou T-conormas (classe geral de operadores de agregação para a união)

T-norma T-conorma Nome

) ,

min(x y max(x,y) Zadeh

y

x. x+y−xy Probabilistica

) ,

max(x+ y−10 min(x+y,1) Lukasiewicz

) )( ( x y xy xy − + − + γ γ 1 xy xy xy y x ) ( ) ( γ γ − − − − − + 1 1 1 Hamacher ( γ >0) x se y y se x , , 1 1 = = x se y y se x , , 0 0 = = Weber

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Regras Nebulosas

Se (

premissa) então (

conclusão

)

As regras nebulosas:

Regra j: Se x₁éA_1je ... e x_néA_njentão yéB_j

A_nj e B_jsão conjuntos nebulosos.

Entrada Nebulosa fuzificador fuzificador Base Base de Regras de Regras defuzificador defuzificador M Mááquina quina de Inferência de Inferência Conj. Conj. nebulosos nebulosos Valores Num

Valores Numééricosricos AAççãoão Conj.

nebulosos

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• Sistemas baseados em regras utilizando a lógica nebulosa.

• A interpretação das regras estabelecidas envolve:

a) “Fuzificação” das entradas. São atribuídos valores de pertinência no intervalo [0,1] a todas as declarações nebulosas nos antecedentes das regras.

– Caso haja um único antecedente, seu grau de pertinência é considerado também como o grau de certeza (suporte) da regra.

b) Aplicação de operadores nebulosos aos múltiplos antecedentes, o que resultará em um antecedente único com valor de pertinência no intervalo [0,1], que também será considerado como o grau de suporte da regra.

c) Aplicação do método de implicação, que usa o grau de suporte de toda regra para obter o conjunto nebuloso de saída, ou seja, realiza a dedução.

O conseqüente de uma regra nebulosa atribui um

conjunto nebuloso à saída, representado por uma função de pertinência escolhida para indicar as qualidades do conseqüente.

Se o antecedente é apenas parcialmente verdade (grau de pertinência < 1), então o conjunto nebuloso de saída é truncado de acordo com o método de implicação.

(11)

• Na lógica nebulosa a implicação faz uso de uma versão nebulosa de modus ponens, originalmente usado para obter B a partir de A & (A →B).

• Tomando-se o fato de que

A & (A→B) ↔(A & B)

a versão nebulosa poderia ser:

µ_R(x,y) = min(µA(x),µB(y)),

• Conhecida como a Regra de Mamdani.

• Inferência nebulosa (ou modus ponens

generalizado):

Se x é A Então y é B

Tem-se A*

---Então B*

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• Quando existem várias regras que envolvem a mesma variável, é necessário usar um método de agregação das conclusões implicadas por cada regra.

Se x é A1 Então y é B1

Se x é A2 Então y é B2

...

Se x é An Então y é Bn

• Diferentes técnicas de agregação (Mamdani, Larsen, Lukasiewics etc.) produzem resultados ligeiramente diferentes.

• A escolha do método depende do comportamento desejado no sistema.

• Após o processo de agregação, cada variável de saída é representada por um conjunto nebuloso.

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Mamdani

•O operador de implicação nebuloso de Mamdani proposto nos anos 1970, é uma versão simplificada de Zadeh max-min.

Modelo de inferência de Mamdani

• Um sistema que usa o modelo de inferência de Mamdani utiliza um defuzificador para gerar a saída do sistema.

União Interseção

φ

( ) ( ) [ A x B y ] A( )x B( )y c µ µ µ µ φ , ≡ ∧

Larsen

•O operador de implicação nebuloso de Larsen usa o produto aritmético.

•O modelo de Larsen utiliza o defuzificador para gerar a saída do sistema.

União Produto

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Takagi

e

Sugeno

•Takagi e Sugeno usa as seguintes regras nebulosas se/então: Se x₁é Fl

1e ... e xné Fln, então yl=cl0+cl1x1+ ... + clnxn

•Fl

i→conjuntos nebulosos;

•c_i→parâmetros reais estimados;

•yl→_{sistema de saída}

• Esse modelo não precisa de defuzificador porque os valores de saída são crisp.

Modelo de inferência de Takagi e Sugeno (Modelo de Interpolação )

• As aplicações necessitam de uma saída na forma de um escalar, através da “desfuzificação” (adaptado do inglês “Defuzzification”).

• Diferentes técnicas podem ser usadas para a “desfuzificação” de um conjunto nebuloso

– As mais usadas são o “centro de gravidade”, “o centro de possibilidade máxima” e “o maior máximo”.

• Este processo sempre implica em perda de informação.

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• Operadores de implicação Mamdani-Min 0 135 180 1 0 Leste 0 45 90 esquerda 1 0

IF direção is sul THEN trajetória is frente

.

90 135 270 1 0 sul frente 1 0 -45 0 45 -45 0 45 -45 22,5 90 1 0 22,5° min min max Entrada Nebulosa fuzificador fuzificador Base Base de Regras de Regras desfuzificador desfuzificador M Mááquina quina de Inferência de Inferência Controlador Controlador Nebuloso Nebuloso sensor

sensor processoprocesso atuadoratuador

Conj. Conj. nebulosos nebulosos Valores Valores Num

Numééricosricos AAçção de Controleão de Controle

Conj. nebulosos

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•

•ObjetivoObjetivo: Manter um veículo em movimento em :

uma trajetória desejada, sem intervenção de operadores externos.

?

- Obter informações do ambiente durante o movimento.

Problema de Navega

ç

ão Autônoma

•

•Necessidades:Necessidades:

- Replanejar a trajetória.

Extra

ç

ão das Caracter

í

sticas

(17)

(l,p) (l,p+1) (l,p-1) (l,p-2) (l,p+2)

Operador gradiente usado em uma só direção (horizontal):

Faixa da Esquerda

Variável faixa da esquerda:

•o Range foi ajustado para o vetor [-30 30];

•foram adicionadas sete funções gaussianas;

•Faixa da esquerda muito a esquerda, parâmetros [2.251 -30];

•Faixa da esquerda médio a esquerda, parâmetros [2.25 -20];

•Faixa da esquerda pouco a esquerda, parâmetros [2.25 -10];

•Faixa da esquerda zero a esquerda, parâmetros [2.25 0];

•Faixa da esquerda pouco a direita, parâmetros [2.25 10];

•Faixa da esquerda médio a direita, parâmetros [2.251 20];

(18)

Variável faixa da direita:

•Faixa da direita muito a esquerda, parâmetros [2.251 -30];

•Faixa da direita médio a esquerda, parâmetros [2.25 -20];

•Faixa da direita pouco a esquerda, parâmetros [2.25 -10];

•Faixa da direita zero, parâmetros [2.25 0];

•Faixa da direita pouco a direita, parâmetros [2.25 10];

•Faixa da direita médio a direita, parâmetros [2.251 20];

•Faixa da direita muito a direita, parâmetros [2.25 30]; Faixa da Direita

Faixa da Direita

Variável Saída:

•Saída muito a esquerda, parâmetros [-39 -31 -29 -21];

•Saída médio a esquerda, parâmetros [-29 -21 -19 -11];

•Saída pouco a esquerda, parâmetros [-19 -11 -9 -0.9997];

•Saída zero, parâmetros [-9 -0.9997 0.9998 9];

•Saída pouco a direita, parâmetros [0.9998 9 11 19];

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• Exemplos de regras para o sistema real:

-Se (faixa da esquerda está muito a esquerda) e (faixa da direita está muito a esquerda) então (saída é muito a esquerda);

-Se (faixa da esquerda está médio a esquerda) e (faixa da direita está médio a esquerda) então (saída é médio a esquerda);

-Se (faixa da esquerda está pouco a esquerda) e (faixa da direita está pouco a esquerda) então (saída é pouco a esquerda);

Faixa da Esquerda

Faixa da Direita