Observe que o segmento orientado AB é caracterizado por três aspectos bastante definidos:

.

1 – O VETOR

Considere o segmento orientado AB na figura abaixo.

Observe que o segmento orientado AB é caracterizado por três aspectos bastante definidos:

• comprimento (denominado módulo) • direção

• sentido (de A para B)

Chama-se vetor ao conjunto infinito de todos os segmentos

orientados equipolentes a AB, ou seja, o conjunto infinito de todos os segmentos orientados que possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido de AB.

Assim, a ideia de vetor nos levaria a uma representação do tipo:

Para representar um vetor, tomamos apenas um dos infinitos segmentos orientados que o compõe. Sendo u um vetor genérico, o representamos pelo símbolo:

Podemos classificar os vetores em três tipos fundamentais:

Vetor livre – aquele que fica completamente caracterizado, conhecendo-se o seu

módulo, a sua direção e o seu sentido. Exemplo: o vetor u das figuras acima.

Vetor deslizante – aquele que para ficar completamente caracterizado, devemos

conhecer além da sua direção, do seu módulo e do seu sentido, também a reta suporte que o contém. Os vetores deslizantes são conhecidos também como cursores.

Notação: (u, r) – vetor deslizante (cursor) cujo suporte é a reta r. Exemplo: ver figura abaixo

Vetor ligado – aquele que para ficar completamente caracterizado, devemos conhecer além da sua direção, módulo e sentido, também o ponto no qual está localizado a sua origem.

Notação: (u, O) – vetor ligado ao ponto O. Exemplo: ver figura abaixo.

Notas:

a) o vetor ligado também é conhecido como vetor de posição.

b) os vetores deslizantes e os vetores ligados, possuem muitas aplicações no estudo de Mecânica R

1.1 – O VETOR OPOSTO

Dado o vetor u , existe o vetor – u , que possui o mesmo módulo e mesma direção do vetor u , porém , de sentido oposto.

1.2 – O VETOR UNITÁRIO (VERSOR)

Chamaremos de VERSOR ou VETOR UNITÁRIO , ao vetor cujo módulo seja igual à unidade, ou seja:

| u | = u = 1.

1.3 – O VETOR NULO

Vetor de módulo igual a zero, de direção e sentido indeterminados. Notação: 0

2 – A PROJEÇÃO DE UM VETOR SOBRE UM

EIXO

Veja a figura abaixo, na qual o vetor u forma um ângulo q com o eixo r.

Teremos que o vetor ux será a componente de u segundo o eixo r , de medida algébrica igual a

ux = u . cos q . Observe que se q = 90º , teremos cos q = 0 e, portanto, a projeção do vetor segundo o eixo r, será nula.

3 – A NOTAÇÃO DE GRASSMANN PARA OS

VETORES

Considere o vetor u na figura abaixo, sendo A a extremidade inicial e B a extremidade final do vetor.

Grassmann (matemático alemão – 1809/1877) interpretou a

situação, como o ponto B obtido do ponto A, através de uma translação de vetor u. Assim, pode-se escrever:

B = A + u e, portanto, pode-se escrever também: u = B – A

Esta interpretação, um vetor enxergado como uma diferença de dois pontos, permitirá a simplificação na resolução de questões, conforme veremos na seqüência deste trabalho.

4 – UM VETOR NO PLANO COMO UM PAR

ORDENADO

Considere o vetor u, representado no plano cartesiano Oxy, conforme figura abaixo:

Pela notação de Grassmann, poderemos escrever: P = O + u

u = P – O

Se considerarmos que o ponto O é a origem do sistema de coordenadas cartesianas e, por conseguinte,

O(0, 0) e que as coordenadas de P sejam x (abcissa) e y (ordenada), teremos o ponto P(x, y).

Substituindo acima, vem:

u = P – O = (x, y) – (0, 0) = (x – 0 , y – 0 ) = (x, y).

Portanto,

u = (x, y)

Logo, o vetor u, fica expresso através de um par ordenado, referido à origem do sistema de coordenadas cartesianas.

Neste caso, o módulo do vetor u (aqui representado por u , conforme convenção adotada acima), sendo a distância do ponto P à origem O, será dado por:

5 – UM VETOR NO PLANO, EM FUNÇÃO DOS

VERSORES DOS EIXOS COORDENADOS

Vimos acima que um VERSOR, é um VETOR de módulo unitário. Vamos associar um versor a cada eixo, ou seja: o versor i no eixo dos x e o versor j no eixo dos y , conforme figura abaixo:

O par ordenado de versores (i, j) constitui o que chamamos de BASE do plano R2, ou seja, base do plano cartesiano Oxy.

Verifica-se que um vetor u = (x, y) , pode ser escrito univocamente como:

u = x.i + y.j

Analogamente, se em vez do plano R2, estivéssemos trabalhando no espaço R3, poderíamos considerar os versores i, j e k , respectivamente dos eixos Ox, Oy e Oz , conforme figura abaixo, e a representação do vetor u, no espaço seria:

u = (x, y, z) = x.i + y.j + z.k

Analogamente, o terno (i, j, k) , será a BASE do espaço R3 .

O módulo do vetor u = x.i + y.j + z.k será dado por:

6 – OPERAÇÕES COM VETORES

6.1 – ADIÇÃO

Dados dois vetores u e v , define-se o vetor soma u + v , conforme indicado nas figuras abaixo.

6. 2 – SUBTRAÇÃO

Considerando-se a existência do vetor oposto -v , podemos definir a diferença u –

v , como sendo igual

à soma u + ( -v ) . Veja a figura abaixo:

6.3 – MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR

Dado um vetor u e um escalar l Î R, define-se o vetor l .u , que possui a mesma direção de u e sentido coincidente para l > 0 e sentido oposto para l < 0. O módulo do vetor l .u será igual a|l |.u .

Exemplos de soma de vetores representada geometricamente

São dados os vetores a e b. Represente o vetor s soma dos vetores a e b. Análise os casos:

Resolução :

No exercício b Para fazermos a soma desses vetores (a+b) devemos seguir uma regra básica: Unir a ponta do primeira com o início do segundo e traçar um vetor resultante do início do primeiro para a ponta do segundo.

E se fosse uma subtração?

A subtração dos vetores a e b(a-b), deve ser vista da seguinte forma: a + (-b). A subtração de vetores é a soma do primeiro vetor com o inverso do segundo vetor. Visualizando:

Atividades:

Pegue na biblioteca o livro Vetores e Geometria Analítica do Paulo Winterle. Leia os exemplos das páginas 6, 7,9, 10,16

6.4 – PRODUTO INTERNO DE VETORES

Dados dois vetores u e v , define-se o produto interno desses vetores como segue:

u . v = u . v . cos b onde u e v são os módulos dos vetores e b o ângulo formado

entre eles.

Da definição acima, infere-se imediatamente que:

a) se dois vetores são paralelos, (b = 0º e cos 0º = 1) então o produto interno deles, coincidirá com o produto dos seus módulos.

b) o produto interno de um vetor por ele mesmo, será igual ao quadrado do seu módulo, pois neste caso,

b = 0º e cos 0º = 1 u.u = u.u.1 = u2

c) se dois vetores são perpendiculares, (b = 90º e cos 90º = 0) então o produto interno deles será nulo.

d) o produto interno de dois vetores será sempre um número real.

e) o produto interno de vetores é também conhecido como produto escalar.

6.4.1 – CÁLCULO DO PRODUTO INTERNO EM FUNÇÃO DAS COORDENADAS DO VETOR

Sejam os vetores u = (a, b) = a i + b j e v = (c, d) = c i + d j Vamos multiplicar escalarmente os vetores u e v.

u.v = (a i + b j).(c i + d j) = ac i.i + ad i.j + bc j.i + bd j.j

Lembrando que os versores i e j são perpendiculares e considerando-se as conclusões acima, teremos:

i.i = j.j = 1 e i.j = j.i = 0

Daí, fazendo as substituições, vem:

u.v = ac . 1 + ad . 0 + bc . 0 + bd . 1 = ac + bd

Então concluímos que o produto interno de dois vetores, é igual à soma dos produtos das componentes correspondentes ou homônimas.

Sejam os vetores: u = (a,b) e v = (c, d) Já sabemos que: u.v = u.v.cos b = ac + bd

Onde u e v correspondem aos módulos dos vetores e a, b, c, d são as suas coordenadas.

Portanto, para determinar o ângulo formado por dois vetores, basta dividir o produto interno deles, pelo produto dos seus módulos. Achado o coseno, o ângulo estará determinado.

Vamos demonstrar o teorema de Pitágoras, utilizando o conceito de produto interno de vetores.

Seja o triângulo retângulo da figura abaixo:

É óbvio que: w = u + v

Quadrando escalarmente a igualdade vetorial acima, vem:

w2 = u2 + 2.u.v + v2

Dos itens (b) e (c) acima, concluímos que w2 = w2 , u2 = u2 , v2 = v2 e u.v = 0 (lembre-se que os vetores u e v são perpendiculares).

Assim, substituindo, vem:

w2 = u2 + 2.0 + v2 , ou, finalmente: w2 = u2 + v2 (o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos).

7. Vetores com coordenadas no plano

As componentes de um vetor:

Qualquer vetor v = AB considerado no plano cartesiano tem sempre um representante (segmento orientado OP) cujo ponto inicial é a origem.

Em nosso estudo, vamos considerar geralmente vetores representados por segmentos orientados com origem na origem do sistema. Nessas condições, cada vetor do plano é determinado pelo ponto extremo do segmento. Assim, o ponto P(x, y) individualiza o vetor v =OP e escreve-se v = (x, y). As coordenadas de P são identificadas como as componentes do vetor.

Igualdade de vetores:

Dois vetores u= (a, b) e v = (c, d) são iguais se e somente se a = c e b = d.

O módulo de um vetor Seja o vetor v = (x, y).

Pelo teorema de Pitágoras vem que │v│2 = x2 + y2



│v│=

x

2



y

2 .

Exemplo: Sendo v = (-2, 3), temos que │v│ =

(



2

)

2



(

3

)

2



13

.

Exercícios:

1) Represente graficamente v = OP sendo: a) P(2, 3) b) P(1,-1) c) P(0, 1) d) P(-½, -1) e) P(-2, 1) f) P(-3, 0)

---

2) Sendo u = (x+1, 4) e v = (5, 2y - 6), determine x e y sabendo que u= v. ---

3) Dados os vetores u = (-1, 1), v = (-2, 3) e w = (8, -6), calcule:

a) │u│

b) │v│

c) │w│

---

4) Determine os valores de a para que o vetor v = (a, -2) tenha módulo 4. ---

Soma de vetores tratamento algébrico:

Sendo u = (x1, y1) e v = (x2, y2), definimos u+v = (x1+x2, y1+y2).

Vejamos agora como a definição algébrica da soma de vetores dada acima coincide com a definição geométrica vista anteriormente.

Como OAPB é paralelogramo temos que os triângulos OAF e BPG, da figura 1, são congruentes, por LAAo. Assim, OF = BG e então a abscissa de P é x1 + x2.

De modo análogo, temos que os triângulos ADP e OEB, da figura 2, são congruentes, por LAAo. Assim, PD = BE e então a ordenada de P é y2 + y1.

Assim, as coordenadas de P são (x2 + x1, y2 + y1).

Multiplicação de um vetor por um escalar: Sendo u = (x1, y1) e k



IR, definimos k. u = (k.x1, k.x2).

Vejamos agora como a definição algébrica do produto por escalar dada acima coincide com a definição geométrica vista anteriormente.

O módulo de v = (k.x1, k.x2) é dado por:

│v│= 1 2 2 1

)

(

.

)

.

(

k

x



k

y

│v│=

(



12

)



2 1 2

y

x

k

│v│= ( 12) 2 1 y x k  │v│=

k

│u│

Assim, o módulo igual ao de u multiplicado por

k

.

Os vetores u = OP = (x1, y1) e v = OP' = (k.x1, k.y1) têm a mesma direção, pois as retas OP e OP’ têm a mesma inclinação y1/x1.

Os pontos P e P’ estão do mesmo lado de O quando k > 0 e em lados opostos quando k < 0, assim fica evidente que u = OP e v = OP' têm mesmo sentido se k > 0 e sentido contrário se k < 0.

Exemplos:

1) Sendou = (3, 2) e v = (1, 2) determine u + v:

u + v = (3, 2) + (1, 2) = (4, 4)

2) Sendo v = (3, -4), determinar o vetor u com a mesma direção e o mesmo sentido de v, porém de comprimento unitário.

Procuramos um vetor u que é múltiplo de v, isto é, u = k. v = (3k, 4k). Como o comprimento deve ser unitário temos que:

│u│ = 1



(

3

k

.)

2



(

4

k

)

2 = 1



25k

2 = 1



5

.

k



1



5 1  k



5 1   k

Como u deve possuir o mesmo sentido de v, temos que k = 1/5.

Exercícios resolvidos de vetores

Vamos resolver algumas questões envolvendo vetores.

1 – Dados os vetores no plano R2 _{, u = 2 i – 5 j e v = i + j , pede-se determinar:} a) o vetor soma u + v

b) o módulo do vetor u + v c) o vetor diferença u – v d) o vetor 3 u – 2 v e) o produto interno u.v

SOLUÇÃO:

a) Temos: u = (2, -5) e v = (1, 1). Logo, u + v = (2, -5) + (1, 1) = (3, -4) = 3 i – 4 j b) | u + v| = Ö 32 + 42 = Ö 25 = 5 ou 5 u.c (u.c. = unidades de comprimento). c) u – v = (2, -5) – (1, 1) = (1, -6) = i – 6 j

d) 3u – 2v = 3.(2, -5) -2( 1, 1) = (6, -15) + (-2, -2) = (4, -17) = 4 i – 17 j e) u.v = 2.1 + (-5).1 = – 3

Exercícios:

1) Dados os vetores u = (2, -3) e v = (-1, 4), determinar:

a) 3u + 2v

b) 3u - 2v

---

2) Encontre o vetor x tal que 3x + 2u = 0,5 v + x, sendo dados u= (3, -1) e v = (-2, 4).

3) Encontre os números reais m e n tais que v = m . v1 + n . v2, sendo v = (10, 2), 1

v = (3, 5) e v2 = (-1, 2).

---

4) Sendo A(-2, 4) e B(4, 1) determine as coordenadas dos pontos F e G que dividem o segmento AB em três partes iguais.

---

5) Dados os vetores u = (-1, 1), v=(-2, 3) e w=(8, -6), calcule:

a) │u+v│

b) │2u - w│

c) │w -3u│

--- Vetor definido por dois pontos:

Consideremos o vetor AB de origem em A(xa, ya) e extremidade em B(xb, yb).

Da figura vem que:

OA +AB = OB; AB= OB– OA; AB= (xb, yb) – (xa, ya) = (xb – xa, yb – ya).

Observação importante: Sempre que tivermos v = AB ou v = B - A podemos concluir também que B = A + v ou B = A + AB, isto é, o vetor v transporta o ponto inicial A para o ponto extremo B.

Temos que:

B = A + v = (1, 2) + (2, 1) = (3, 3)

D = C + v = (-3, 1) + (2, 1) = (-1, 2) Leitura iriigida.

Leia com atenção, refazendo os exemplos o livro Vetores e Geometria Analítica , do Paulo Winterle, da página 27 a 40.

Depois faça os problemas propostos de 1 a 5 da página 40.

Produto escalar e o ângulo entre dois vetores.

Produto Escalar v . w é dado por v = (a1, b1, c1), w = (a2, b2, c2), v . w = a1 a2 + b1 b2 + c2 c1 Exemplo

(2,3,1) . (-4, 2, 5) = 2. (-4) + 3.2 + 1 . 5 = -8 + 6 +5 = 3 O produto escalar de um vetor por si próprio é ||v||2. Produto escalar e o ângulo

cos 𝜃 = 𝑣 .𝑤 ||𝑣|| ||𝑤||

Lembrando:

Projeção ortogonal:

A projeção ortogonal é calculada através de ev = ((

𝑢.𝑣 𝑣.𝑣) 𝑣

Observe os exemplos do livro Vetores e Geometria Analítica , do Paulo Winterle 1 e 2 da página 49.

página 52

1, 2 e 3 páginas 54 e 55.

Leia todo o livro do Winterle da página 49 a 66, e depois faça os exercícios 1 a 8 da página 66.

ATENÇÃO: vale 1,0 ponto extra para a avaliação objetiva do G1, Pode ser entregue individualmente ou em dupla.

Produto vetorial

Dados os vetores v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos o produto vetorial (produto

exterior) entre v e w, denotado por v×w, como o vetor obtido pelo objeto matemático que não é um determinante mas que pode ser calculado como se fosse um determinante.

u × v =

Exemplo: Dados os vetores v=(1,2,3) e w=(4,5,6), o produto vetorial entre v e w é dado por v×w=-3i+6j-3k=(-3,6,-3), obtido a partir do "determinante". Observamos que o produto vetorial é um vetor em R³.

Tomando i=(1,0,0) e j=(0,1,0), que estão no plano do z=0, o produto vetorial destes dois vetores será v×w=(0,0,1) que é um vetor que está fora deste plano, daí a razão deste produto ser denominado exterior.

Em geral, o produto vetorial v×w é um vetor ortogonal a v e também ortogonal a w, isto é, o produto vetorial é ortogonal ao plano que contém os dois vetores v e w.

Propriedades do Produto Vetorial

(PV1) v × w = - w × v

(PV2) u × (v + w) = u × v + u × w (PV3) k (v × w) = (k v) × w = v × (k w) (PV4) i × i = j ×j = k × k = 0

(PV5) i × j = k, j × k = i, k × i = j

(PV6) Se v×w=0 (v e w não nulos) então v e w são paralelos

ângulo entre dois vetores

O produto vetorial entre os vetores v e w pode ser escrito na forma: v × w = |v| |w| sen(t) U

onde t é o ângulo formado pelos vetores v e w, e U é um vetor unitário que é paralelo ao produto vetorial v x w, logo U é perpendicular a v e também a w.

Tomando o módulo em ambos os lados da igualdade acima, obtemos: |v × w| = |v| |w| sen(t)

e isto significa que, com esta última definição de produto vetorial, podemos obter o ângulo T entre dois vetores v e w, através de:

sen(t) = (v × w) / (|v|.|w|) sendo que t é um número real pertencente ao intervalo [0,pi].

Aplicações do produto vetorial

Área do paralelogramo: Se tomarmos dois vetores v e w com um mesmo ponto inicial, de modo a formar um ângulo diferente de zero e também diferente de pi radianos, o módulo do produto

vetorial entre v e w pode ser interpretado como a área do paralelogramo que tem v e w como lados contíguos.

A(paralelogramo) = | v × w |

Área do triângulo: A metade do módulo do produto vetorial entre v e w pode ser interpretada como sendo a área do triângulo que tem dois lados como os vetores v e w, com origens no mesmo ponto, isto é:

A(triângulo) = ½ | v × w | Produto misto

Dados os vetores u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos o produto misto

entre u, v e w, denotado por [u,v,w] ou por u.(v×w), como o número real obtido a partir do determinante

[u,v,w] = u·(v×w) =

Aplicações do produto misto

Volume do paralelepípedo: O módulo do produto misto entre u, v e w representa o volume do paralelepípedo que tem as 3 arestas próximas dadas pelos vetores u, v e w, sendo que estes vetores têm a mesma origem. Isto é, V(paralelepípedo)=|[u,v,w]|.

Volume do tetraedro: Um sexto do módulo do produto misto entre u, v e w representa o volume do tetraedro (pirâmide com base triangular) que tem as 3 arestas próximas dadas pelos vetores u, v e w, sendo que estes vetores têm a mesma origem.

Atividades

Leia com atenção o livro Vetores e Geometria Analítica do Paulo Winterle, da p[agina 73 a 86.

Depois resolva os exercícios 1 e 2 da página 87.

Geometria analítica: retas

Introdução

Entre os pontos de uma reta e os números reais existe uma correspondência

biunívoca, isto é, a cada ponto de reta corresponde um único número real e

vice-versa.

Considerando uma reta horizontal x, orientada da esquerda para direita

(eixo), e determinando um pontoO dessa reta ( origem) e um segmento u,

unitário e não-nulo, temos que dois números inteiros e consecutivos

determinam sempre nesse eixo um segmento de reta de comprimento u:

Medida algébrica de um segmento

Fazendo corresponder a dois pontos, A e B, do eixo x os números

reais x

A

e x

B

, temos:

A medida algébrica de um segmento orientado é o número real que

corresponde à diferença entre as abscissas da extremidade e da origem desse

segmento.

Plano cartesiano

A geometria analítica teve como principal idealizador o filósofo francês René

Descartes ( 1596-1650). Com o auxílio de um sistema de eixos associados a

um plano, ele faz corresponder a cada ponto do plano um par ordenado e

vice-versa.

Quando os eixos desse sistemas são perpendiculares na origem, essa

correspondência determina um sistema cartesiano ortogonal ( ou plano

cartesiano). Assim, há uma reciprocidade entre o estudo da geometria ( ponto,

reta, circunferência) e da Álgebra ( relações, equações etc.), podendo-se

representar graficamente relações algébricas e expressar algebricamente

representações gráficas.

Observe o plano cartesiano nos quadros quadrantes:

Exemplos:



A(2, 4) pertence ao 1º quadrante (x

A

> 0 e y

A

> 0)



B(-3, -5) pertence ao 3º quadrante ( x

B

< 0 e y

B

< 0)

Observação: Por convenção, os pontos localizados sobre os eixos não estão

em nenhum quadrante.

Distância entre dois pontos

Dados os pontos A(x

A

, y

A

) e B(x

B

, y

B

) e sendo d

AB

a distância entre eles,

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC, vem:

Como exemplo, vamos determinar a distância entre os pontos A(1, 1) e B(4,

-5):

Exercícios:

1. Marque num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais os pontos:

A) (1, -2) B (-3, 3) C(4,4 ) D (0,3) E (-1,-5) F(-4, 0)

2. Calcule a distância entre os pontos

a) A (3, 7) e B (1, 4)

b) E (3, - 1) e F ( 3, 5)

c) H (-2 , -5) e (0, 0)

d) M (0, -2) e N (√5 , -2)

3. A distância do ponto A (a, 1) ao ponto B(0,2) é igual a 3 calcule o valor da abcissa a.

4. Um ponto P pertence ao eixo das abcissas e é equidistante dos pontos A (-1, 2) e

B(1, 4). Quais são as coordenadas do ponto P?

5. Demonstre que um triângulo com vértices A(0, 5) B(3, -2) e C(-3, -2) é isósceles e

calcule seu perímetro.

6. Qual a distância do ponto A(cos a, sena) são ponto B(sen a, - cos a)?

Ponto médio

O segmento de reta possui inúmeros pontos alinhados, mas somente um deles irá dividir

o segmento em duas partes iguais. A identificação e a determinação do ponto médio de

um segmento de reta será demonstrado com base na ilustração a seguir.

O segmento de reta AB terá um ponto médio (M) com as seguintes coordenadas (xM,

yM). Observe que os triângulos AMN e ABP são semelhantes, possuindo os três

ângulos respectivamente iguais. Dessa forma, podemos aplicar a seguinte relação entre

os segmentos que formam os triângulos. Veja:

Podemos concluir que AB = 2 * (AM), considerando que M é o ponto médio do

segmento AB. Temos:

x

P

– x

A

= 2*(x

M

– x

A

)

x

B

– x

A

= 2*(x

M

– x

A

)

x

B

– x

A

= 2x

M

– 2x

A

2x

M

= x

B

– x

A

+ 2x

A

2x

M

= x

A

+ x

B

x

M

= (x

A

+ x

B

)/2

Utilizando método análogo, conseguimos demonstrar que y

M

= (y

A

+ y

B

)/2.

Portanto, considerando M o ponto médio do segmento AB, temos a seguinte expressão

matemática capaz de determinar a coordenada do ponto médio de qualquer segmento no

plano cartesiano:

Percebemos que o cálculo da abscissa xM é a média aritmética entre as abscissas dos

pontos A e B. Assim, o cálculo da ordenada yM é a média aritmética entre as ordenadas

dos pontos A e B.

Exemplo 1

Dadas as coordenadas dos pontos A(4,6) e B(8,10) pertencentes ao segmento AB,

determine as coordenadas do ponto médio desse segmento.

x

A

= 4

y

A

= 6

x

B

= 8

y

B

= 10

x

M

= (xA + xB) / 2

x

M

= (4 + 8) / 2

x

M

= 12/2

x

M

= 6

y

M

= (yA + yB) / 2

y

M

= (6 + 10) / 2

y

M

= 16 / 2

y

M

= 8

As coordenadas do ponto médio do segmento A

B

é x

M

(6, 8).

Exemplo 2

Dados os pontos P(5,1) e Q(–2,–9), determine as coordenadas do ponto médio do

segmento PQ.

x

M

= [5 + (–2)] / 2

x

M

= (5 – 2) / 2

x

M

= 3/2

y

M

= [1 + (–9)] / 2

y

M

= (1 – 9) / 2

y

M

= –8/2

y

M

= –4

Portanto, M(3/2, –4) é o ponto médio do segmento PQ.

Atividade

1 – Determine o Ponto Médio do segmento de extremidades: a) A (2, 3) e B (8, 5) b) C (3, -2) e D (-1, -6) c) E(-2, -4) e F (5, 2) d) H (0, 7) e I (6, 0) e) J (3, 2) e K (5, 4) f) P (-3, -4) e Q (-7, 0)

2 – Dados os pontos A (5, -2), B (3, 0), C (1 , -5) e D (-8, -1), determine as coordenadas dos pontos médios dos segmentos:

3 – Calcule os pontos médios dos lados de um triângulo com vértices: a) Δ ABC: A (4, 0), B (0, 6) e C(8, 2)

b) Δ EFG: E (2, -6), F(-4, 2) e G(0, 4) c) Δ JKL: J(-3, 6), K(1, -2) e L(5, 2)

Baricentro(ou centro de gravidade) de um triângulo

Sabemos da Geometria plana , que o baricentro de um triângulo ABC é o ponto de encontro das 3 medianas . Sendo G o baricentro , temos que AG = 2 . GM onde M é o ponto médio do lado oposto ao vértice A (AM é uma das 3 medianas do triângulo). Nestas condições , as coordenadas do baricentro G(xg , yg) do triângulo ABC onde A(xa , ya) , B(xb , yb) e C(xc , yc) é dado por :

Chamamos de baricentro (G) o ponto de intersecção das medianas de um triângulo

Exercícios

1-Assim, por exemplo, o baricentro (também conhecido como centro de gravidade) do triângulo ABC onde A(3,5) , B(4, -1) e C(11, 8) será o ponto G(6, 4). Verifique com o uso direto das fórmulas.

2-Conhecendo-se o baricentro B(3,5), do triângulo XYZ onde X(2,5) , Y(-4,6) , qual o comprimento do

segmento BZ?

Resposta BZ = 651/2 _{u.c. (u.c. = unidades de comprimento).}

3-Os pontos A(m, 7), B(0, n) e C(3, 1) são os vértices de um triângulo cujo baricentro é o ponto

G(6, 11). Calcule o valor de m2 _{+ n}2_.

Resp: 850

4-A soma das coordenadas do baricentro do triângulo ABC, sendo A (0, 0), B (4, 1) e C (2, 8) é: a) -1 b) 1 c) 5 d) 15 e) 7

Sendo A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) três pontos distintos dois a dois, são colineares ou estão

alinhados, se e somente se:

0 1 1 1 .  Yc Xc Yb Xb Ya Xa

01-O valor de x para que os pontos A(x,0), B(3,1) e C(-4,2) sejam colineares é: a) 0 b) 10 c) 3 d) 12 e) - 4

02-Os pontos (1,3), (2,7) e (4,k) do plano cartesiano estão alinhados se, e somente se: a) k = 11 b)k = 12 c)k = 13 d)k = 14 e) k = 15

3. Dados os pontos A (2, 5), B (3, 7) e C (5, 11), determine se estão alinhados.

Resposta:

estão alinhados

4.

Para quais valores reais de k os pontos (6, k), (3, 4) e (2 – k, 2) são colineares?

R. k' = - 2 e k'' = 5

A(xA, yA)

B(xB, yB)

5. Determine o valor de a para que os pontos A(2, 1), B(a+1, 2) e C(-3, -1) sejam os

vértices de um triângulo.

Resposta:

a ≠ 7/2

6. Determine m para que os pontos A(0, -3), B(-2m, 11) e C(-1, 10) estejam em linha

reta.

Resposta:

m = 7/13

Posições relativas entre retas

Considere duas retas distintas do plano cartesiano:

Podemos classificá-las como paralelas ou concorrentes.

Retas Paralelas

As retas r e s têm o mesmo coeficiente angular.

Assim para r//s, temos:

Retas Concorrentes

As retas r e s têm coeficientes angulares diferentes.

Retas Perpendiculares

É um caso particular de reta concorrente. Duas retas são ditas perpendiculares quando os seus coeficientes angulares são tais que:

Sistemas Lineares

Sistemas escalonados

Utilizamos a regra de Cramer para discutir e resolver sistemas lineares em que o número de equações (m) é igual ao número de incógnitas (n). Quando m e n são maiores que três, torna-se muito trabalhoso utilizar essa regra. Por isso, usamos a técnica do escalonamento, que facilita a discussão e resolução de quaisquer sistemas lineares.

Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equação.

Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento:

a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 1º incógnita diferente de zero.

b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações.

c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.

Vamos então aplicar a técnica do escalonamento, considerando dois tipos de sistema: I. O número de equações é igual ao número de incógnitas (m=n)

1ºpasso: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação, aplicando as propriedades dos sistemas equivalentes:

 Trocamos de posição a 1º equação com a 2º equação, de modo que o 1º coeficiente de x seja igual a 1:

 Trocamos a 2º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -2, com a 2º equação:

 Trocamos a 3º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -3, com a 3º equação:

2º passo: Anulamos os coeficientes da 2º incógnita a partir da 3º equação:

 Trocamos a 3º equação pela soma da 2º equação, multiplicada por -1, com a 3º equação:

Agora o sistema está escalonado e podemos resolvê-lo. -2z=-6 z=3

Substituindo z=3 em (II):

-7y - 3(3)= -2 -7y - 9 = -2 y=-1 Substituindo z=3 e y=-1 em (I): x + 2(-1) + 3= 3 x=2

Então, x=2, y=-1 e z=3

Exemplos

Sistemas Lineares

O sistema obtido está na forma

escalonada e é do 1o _{tipo (n}o _{de equações}

igual ao no _{de incógnitas), portanto, é um}

sistema possível e determinado.

Observação

Dado um sistema linear, sempre podemos “tentar” o seu escalonamento. Caso ele seja impossível, isto ficará evidente pela presença de uma equação que não é satisfeita por valores reais (exemplo: 0x + 0y = 3). No entanto, se o sistema é possível, nós sempre

conseguimos um sistema escalonado

equivalente, que terá no _{de equações}

igual ao no _{de incógnitas (possível e}

determinado), ou então o no de equações

será menor que o no _{de incógnitas}

(possível e indeterminado).

Este tratamento dado a um sistema linear para a sua resolução é chamado de método de eliminação de Gauss.

Exercícios Resolvidos

Escalonar e resolver os sistemas abaixo:

01.

O sistema está escalonado e z =

3. Substituindo z = 3 na 2a _equação: y + 3 = 5 y = 2 Substituindo z = 3 e y = 2 na 1a equação: x + 2 + 3 = 6 x = 1 Portanto, teremos: S = {(1,2,3)} 02. Resolução

O sistema é impossível, pois a 3a

equação nunca será satisfeita. Assim:

a)





























3

5

0

3

2

4

2

z

y

x

z

y

x

z

y

x

b)               6 3 4 5 4 2 3 6 z y x z y x z y x c)





























14

6

3

3

10

4

2

2

5

2

z

y

x

z

y

x

z

y

x

d)               9 7 2 3 5 4 3 2 4 3 z y x z y x z y x Respostas

a) S = { 1, 1, 1}. O sistema é possível e determinado. b) S = { 1, 2, 3}. O sistema é possível e determinado c) o sistema não possui solução.

d) S = { 5 2 17 z , 5 2 3 z

, z}. O sistema é possível e indeterminado.

Geometria Analítica: Circunferência

Equações da circunferência Equação reduzida

Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:

Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência. Então:

Portanto, (x - a)2 + (y - b)2 =r2 é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio.

Observação: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem ( C(0,0)), a equação da circunferência será x2 + y2 = r2 .

Equação geral

Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:

Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.

A equação reduzida da circunferência é:

( x - 2 )2 +( y + 3 )2 = 16 Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:

Atividades

1) Escreva a equação geral da circunferência de centro C e raio r, nos seguintes casos:

a) C(3,2) e r = 7 b) C(-3,4) e r = 3

Equação reduzida da circunferência

2) Determine a equação reduzida da circunferência que tem:

a) C(2,5) r = 3 b) C(-1,-4) r = 2

3) Determine o centro e o raio das circunferências de equações:

a) (x - 4) ² + (y - 5)² = 9 b) x ² + y ² = 2

Posições relativas entre ponto e circunferência

O ponto é interno à circunferência. Isso ocorre apenas se a distância do ponto ao centro for menor do que o raio.

• O ponto pertence à circunferência. Isso ocorre se a distância desse ponto até o centro for igual ao raio.

• O ponto é externo à circunferência. Isso ocorre quando a distância do ponto ao centro é maior que o raio.

Sendo assim, quando tivermos que verificar a posição relativa de um ponto em relação a uma circunferência, devemos calcular a distância entre o centro e o ponto, ou então substituir as coordenadas do ponto na equação da circunferência e verificar o valor numérico obtido.

Exemplo:

Quando a equação da circunferência estiver na sua forma reduzida, você não necessita utilizar a fórmula da distância, pois a equação reduzida lhe dá a distância desses dois pontos, basta você resolver o lado esquerdo da igualdade e comparar o resultado ao raio (4²).

• Ponto H (2,3);

Como a distância do ponto H foi igual ao raio, podemos afirmar que esse ponto pertence à circunferência.

• Ponto I (3,3);

Nesse caso, igualamos a 16 esperando que o resultado seja 16 para que o ponto pertença à circunferência, mas ao realizar os cálculos obtemos um valor maior que o raio, por isso o ponto é externo à circunferência.

• Ponto J (3,2);

Mas com analisaríamos o ponto se a equação da circunferência viesse na sua forma geral? O procedimento é bem parecido, entretanto na equação geral não temos uma expressão algébrica igualada ao raio da circunferência. Vejamos a mesma circunferência do exemplo anterior, mas escrita na sua forma geral.

Note que se pegarmos pontos que pertencem à circunferência, a equação acima deverá ser igual a zero. Caso isso não ocorra, o ponto não pertence à

circunferência. Vejamos os mesmos pontos do exemplo anterior, porém utilizando a equação geral:

• Ponto H (2,3);

Como a distância do ponto H foi igual ao raio, podemos afirmar que esse ponto pertence à circunferência.

• Ponto I (3,3);

Nesse caso, igualamos a 16 esperando que o resultado seja 16 para que o ponto pertença à circunferência, mas ao realizar os cálculos obtemos um valor maior que o raio, por isso o ponto é externo à circunferência.

• Ponto J (3,2);

Atividades:

1. Dados o ponto P e a circunferência 𝜆 , determine a posição e P em relação a 𝜆. a) P( -1, 2) e 𝜆: (x – 3)2 + (y + 1)2 = 52

b) P( 2, 2) e 𝜆: x2 _{+ y}2 _{– 10x + 8y – 1 = 0} c) P( 3, 1) e 𝜆: x2 _{+ y}2 _{– 8x + 5 = 0} d) P( 3, -4 ) e 𝜆: x2 _{+ y}2 _{– 2x + 4y – 3 = 0}

2. Lembrando que todo triângulo retângulo é inscritível em um semicírculo (e o diâmetro coincide com a hipotenusa), encontre a equação da circunferência que passa pelos pontos P(0,0), Q(6,0) e R(0,8).