UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COPPE PROGRAMA DE ENGENHARIA ELÉTRICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

COPPE

PROGRAMA DE ENGENHARIA ELÉTRICA

COE754 – DINÂMICA E CONTROLE DE SISTEMAS DE

POTÊNCIA

Glauco Nery Taranto

Rio de Janeiro, RJ 2010

PREFÁCIO

A disciplina COE754 – Dinâmica e Controle de Sistemas de Potência pertence à Área de Sistemas de Energia Elétrica do Programa de Engenharia Elétrica da COPPE/UFRJ, tendo como pré-requisito a disciplina COE753 – Modelos Matemáticos para Máquinas Elétricas. Essa apostila foi utilizada pela primeira vez em 2008 na disciplina, o que justifica o seu estágio preliminar contendo irregularidades na sua forma e nas referências cruzadas. Pedimos um pouco de paciência aos leitores.

Gostaria de agradecer algumas pessoas que ajudaram na confecção dessa apostila, a começar pelo colega Leonardo T. G. Lima com quem dividi um curso de extensão em Furnas nos idos de 1997, e lá surgiu o embrião para a formação dessa apostila. Gostaria também de agradecer alguns ex-alunos que trabalharam comigo em assuntos abordados aqui, são eles: Antonio Bergamo, Júlio Ferraz, Alessandro Manzoni, Tatiana Assis e Fernando Cattan.

Por fim gostaria de prestar uma homenagem in memorian ao ex-orientado e ex-colega de profissão Prof. Alessandro Manzoni com quem reparti a disciplina COE754 nos anos de 2008 e 2009. Que seus ideais sirvam de inspiração aos futuros alunos.

SUMÁRIO

I. VISÃO GERAL DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA ... I-1 I.1 Um pouco de História ... I-1 I.2 A Estrutura de um Sistema Elétrico de Potência ... I-2 I.3 Controle de SEP ... I-3 II. INTRODUÇÃO À ESTABILIDADE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA ... II-1 II.1. Conceitos Básicos e Definições ... II-1 II.2. Classificação da Estabilidade de Sistemas de Potência ... II-3 III. ESTABILIDADE TRANSITÓRIA ... III-1 III.1 Uma Visão Elementar da Estabilidade Transitória ... III-1 III.2 Resposta a um Degrau de Potência Mecânica ... III-2 III.3 Critério das Áreas Iguais ... III-3 III.4 Resposta a um curto-circuito ... III-4 III.5 Fatores que influenciam a estabilidade transitória ... III-6 IV. MODELOS DE MÁQUINAS ...IV-1 IV.1 Circuitos Acoplados Magneticamente ...IV-1 IV.2 Conversão Eletromecânica de Energia ...IV-4 IV.3 Enrolamento da Máquina CA e Força Magnetomotriz ...IV-7 IV.4 Máquina Síncrona ...IV-11 IV.4.1. Circuitos Equivalentes ... IV-15 IV.4.2. Parâmetros da Máquina Síncrona ... IV-16 IV.4.3. Modelo da Máquina Síncrona para Estudos de Estabilidade ... IV-17 IV.5 Modelo Alternativo para a Máquina Síncrona ...IV-18 IV.6 Equações Mecânicas ...IV-21 IV.7 Limite da Capacidade de Geração de Potência Reativa ...IV-21 IV.7.1. Limite da Corrente de Armadura ... IV-22 IV.7.2. Limite da Corrente de Campo ... IV-22 IV.7.3. Limite por aquecimento na extremidade da armadura ... IV-23 V. ACOPLAMENTO DE MODELOS ... V-1

V.1 Estrutura do Modelo Completo do Sistema de Potência para Análise de

Estabilidade Transitória ... V-1 V.2 Representação da Máquina Síncrona e de seu Sistema de Excitação ... V-2 V.3 Representação do Sistema de Transmissão e das Cargas ... V-2 V.4 Equações Completas do Sistema ... V-3

VI. SIMULAÇÃO DE SISTEMAS ...VI-1 VI.1 Integração Numérica ...VI-2 VI.1.1. Acurácia ... VI-2 VI.1.2. Estabilidade ... VI-3 VI.1.3. Rigidez ... VI-3 VI.2 Métodos de Integração Numérica ...VI-4 VI.2.1. Método de Euler ... VI-4 VI.2.2. Método de Euler Reverso ... VI-6 VI.2.3. Método de Euler Modificado ... VI-6 VI.2.4. Método Trapezoidal ... VI-7 VI.2.5. Método de Runge-Kutta ... VI-9 VII. MODELOS DE REGULADORES DE TENSÃO ... VII-1 VII.1 Características Práticas ... VII-6 VII.2 Representação Computacional ... VII-14 VIII. REGULAÇÃO DE VELOCIDADE ... VIII-1 VIII.1 Introdução ... VIII-1 VIII.2 Conceitos Básicos ... VIII-1 VIII.3 Regulação Primária ... VIII-2 VIII.4 Regulador Isócrono ... VIII-3 VIII.5 Regulador com Queda de Velocidade ... VIII-4 VIII.6 Regulação Secundária ... VIII-7 IX. ESTABILIDADE A PEQUENAS PERTURBAÇÕES ...IX-1 IX.1 Amortecimento de Oscilações Eletromecânicas ...IX-1 IX.2 Modelo Dinâmico do Sistema ...IX-1 IX.3 Ponto de Equilíbrio ...IX-2 IX.4 Linearização ...IX-3 IX.5 Equações de Estado de um Sistema de Potência...IX-4 IX.6 Modelo Clássico de Gerador ...IX-5 X. AUTO–EXCITAÇÃO ... X-1 XI. RESSONÂNCIA SUBSÍNCRONA ...XI-5 XI.1 Influência de Capacitores Série em Sistemas de Potência ...XI-5 XI.1.1. Influência de Freqüências Subsíncronas nos Geradores Síncronos ... XI-6 XI.1.2. Influência de Freqüências Subsíncronas nos Sistemas Mecânicos do Eixo

XI.1.3. Análise Global ... XI-12 XI.2 Mecanismos da Ressonância Subsíncrona ...XI-13 XI.2.1. Efeito de Gerador de Indução ... XI-13 XI.2.2. Interação Torsional ... XI-14 XI.2.3. Amplificação de Torque ... XI-14 XII. REFERÊNCIAS ... XII-1 XIII. APÊNDICE ... XIII-1 XIII.1 SISTEMAS DINÂMICOS ... XIII-1

I.

VISÃO GERAL DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE

POTÊNCIA

I.1 Um pouco de História

1

O Desenvolvimento dos sistemas de corrente alternada (CA) começou nos Estados Unidos em 1885, quando Westinghouse comprou as patentes americanas referentes aos sistemas de transmissão em CA, desenvolvidos por Gaulard e Gibbs, de Paris. Em 1885 Willian Stanley, sócio de Westinghouse, instalou o primeiro sistema de distribuição experimental em CA, alimentando 150 lâmpadas na cidade de Great Barrington em Massachusetts. A primeira linha de transmissão em CA nos EUA foi posta em operação em 1890 para transportar energia elétrica gerada em uma usina hidroelétrica desde Willamette Falls até Portland no Oregon, numa distância de 20 km.

As primeiras linhas de transmissão eram monofásicas e a energia era basicamente utilizada para iluminação. Os primeiros motores também eram monofásicos, porém em 1888, Nicola Tesla apresentou um trabalho descrevendo motores de indução e motores síncronos bifásicos. As vantagens dos motores polifásicos tornaram-se evidentes imediatamente, e em 1893, foi mostrado ao público um sistema de distribuição bifásico em CA. Posteriormente, a transmissão em CA especialmente trifásica, substituiu gradativamente os sistemas em corrente contínua (CC). Atualmente, a transmissão de energia elétrica é feita quase que inteiramente em CA. Uma razão forte para a aceitação atual de sistemas em CA foi o transformador que tornou possível a transmissão de energia elétrica em uma tensão mais elevada que a tensão de geração ou de consumo, com a grande vantagem da capacidade maior de transmissão.

Até pouco antes de 1920, os Sistemas Elétricos de Potência (SEP) eram operados como unidades individuais porque começaram como sistemas isolados e se expandiram gradualmente de modo a cobrir todo o país. A demanda de grandes quantidades de potência e a necessidade de maior confiabilidade conduziram à interligação de sistemas vizinhos. A interligação é vantajosa economicamente porque são necessárias menos máquinas como reserva para operação na ponta do sistema (capacidade de reserva), e também são necessárias menos máquinas funcionando em vazio para atender cargas repentinas e inesperadas (reserva girante). A interligação também permite que uma empresa aproveite a vantagem de utilizar fontes de potência mais econômicas, e às vezes uma empresa pode achar mais barato comprar energia durante alguns períodos do que usá-la de sua própria geração.

Porém, como tudo na vida não vem de graça, a interligação de sistemas trouxe muitos e novos problemas, a maioria dos quais já foi resolvido satisfatoriamente. A interligação provoca o aumento da corrente que circula quando ocorre um curto-circuito no sistema, e requer a instalação de disjuntores de maior capacidade. O distúrbio causado no sistema por um curto-circuito pode se estender para os sistemas a ele interligados. Os sistemas interligados devem ter não só a mesma freqüência como também todos os geradores síncronos devem estar em fase (em sincronismo).

A interligação dos SEPs em CA trouxe em si como problema relevante a estabilidade angular das máquinas síncronas. Esse problema é um dos temas principais a ser estudado nesse curso. As notas de rodapé ao longo desta apostila indicam fontes de informação a respeito de muitos tópicos que estaremos abordando. Como informação complementar sugiro fortemente a leitura dessas referências.

I.2 A Estrutura de um Sistema Elétrico de Potência

Os SEP variam em tamanho e componentes, entretanto eles têm as mesmas características básicas:

São constituídos essencialmente de sistemas de CA trifásicos. A geração e a transmissão são trifásicas. O consumo é geralmente trifásico a nível industrial e monofásico a nível comercial e residencial. As cargas monofásicas são distribuídas igualmente entre as fases de forma a manter o sistema equilibrado.

Usam máquinas síncronas para geração de eletricidade. Máquinas motrizes convertem a fonte primária de energia (água, carvão, gás, etc.) em energia mecânica que por sua vez é convertida em energia elétrica pelos geradores síncronos.

Transmitem potência por longas distâncias para os consumidores que estão espalhados em grandes áreas geográficas. Isso requer um sistema de transmissão composto por subsistemas operando em diferentes níveis de tensão.

A Figura 1 mostra esses elementos básicos do SEP. É comum classificar a rede elétrica em transmissão, sub-transmissão e distribuição.

Figura 1. Elementos Básicos de um SEP. [P. Kundur]

Nota: Pequenos geradores conectados diretamente no sistema de distribuição perto das cargas estão ficando mais comuns ultimamente. Essa geração distribuída (GD) poderá no futuro mudar o paradigma de operação dos atuais SEP, se sua penetração continuar aumentando.

I.3 Controle de SEP

A função de um SEP é converter energia de uma das formas encontradas na natureza na forma elétrica e transportá-la até os pontos de consumo. A energia raramente é consumida na forma elétrica, mas sim convertida em outras formas como calor, luz e energia mecânica. A vantagem da energia elétrica é que ela pode ser transportada e controlada relativamente fácil com alto grau de eficiência e confiabilidade. Um SEP bem projetado e operado deve atender os seguintes princípios fundamentais:

1. O sistema deve ser capaz de continuamente atender a demanda variável de potência ativa e reativa. Diferentemente de outras formas de energia, a eletricidade não pode ser convenientemente estocada em quantidades suficientes. Então, uma reserva girante adequada de potência ativa e reativa deve ser mantida e controlada apropriadamente a todo instante;

2. O sistema deve suprir energia a custo e impacto ambiental mínimos;

3. A qualidade da energia suprida deve atender mínimos padrões em termos de freqüência, magnitude de tensão e nível de confiabilidade.

Vários níveis de controle envolvendo uma complexa rede de equipamentos são utilizados para atender aos princípios citados. A Figura 2 mostra os subsistemas do SEP e suas malhas de controle associadas.

II.

INTRODUÇÃO À ESTABILIDADE DE SISTEMAS DE

POTÊNCIA

II.1. Conceitos Básicos e Definições

A estabilidade de um sistema é uma condição de equilíbrio entre forças opostas. O mecanismo no qual máquinas síncronas interconectadas mantêm o sincronismo em relação umas às outras, é através de forças restauradoras que aparecem sempre quando existem forças que tendem a acelerar ou desacelerar uma ou mais máquinas com respeito às outras máquinas. No estado de regime permanente, existe um equilíbrio entre o torque mecânico motriz e o torque de carga elétrica em cada máquina, fazendo com que a velocidade do rotor permaneça constante. Se o sistema é perturbado, este equilíbrio é desfeito, resultando em aceleração ou desaceleração dos rotores das máquinas que são regidas pelas leis de movimento rotacional de um corpo. Se um gerador temporariamente se acelerar em relação a um outro gerador, a posição angular do seu rotor em relação ao rotor da máquina mais lenta avançará. Esta diferença angular faz com que parte da carga do gerador mais lento se transfira para o gerador mais rápido, dependendo da curva Potência-Ângulo. Este fenômeno tende a reduzir a diferença de velocidade, e por conseguinte a diferença angular, entre os dois geradores. A relação Potência-Ângulo é não linear e, após um certo limite, um aumento na separação angular é acompanhado com uma diminuição da potência transferida; isto faz aumentar ainda mais a separação angular entre as máquinas acarretando o fenômeno da instabilidade, ou perda de sincronismo. Em qualquer situação, a estabilidade do sistema dependerá da existência de suficientes torques restauradores após uma perturbação.

Quando uma máquina síncrona perde o sincronismo do resto do sistema, o seu rotor gira numa velocidade maior ou menor do que aquela necessária para gerar tensões na freqüência nominal do sistema. O deslizamento entre o campo do estator, que corresponde à freqüência do sistema, e o campo do rotor, resulta em grandes flutuações na potência de saída da máquina, nas correntes e tensões, isto faz com que o sistema de proteção isole a máquina do resto do sitema.

A perda de sincronismo pode ocorrer entre um gerador e o resto do sistema, ou entre grupos de geradores. Neste último caso, o sincronismo poderá ser mantido nos sistemas isolados.

Em sistemas de potência, a mudança do torque elétrico de uma máquina síncrona após uma pequena perturbação pode ser decomposta em duas componentes:

Te KS KD ( .1)

onde KS (= TS) é a componente da variação do torque em fase com a perturbação do

ângulo do rotor e é referida como componente de torque sincronizante; KS é o coeficiente

de torque sincronizante. Já a parcela KD (= TD) é a componente da variação do torque em

fase com a perturbação da velocidade e é referida como componente de torque de amortecimento; KD é o coeficiente de torque de amortecimento.

A estabilidade do sistema depende da existência das duas componentes de torque para cada máquina síncrona. A insuficiência do torque de sincronismo resulta numa instabilidade aperiódica do ângulo do rotor. Por outro lado, a insuficiência do torque de amortecimento, resulta numa instabilidade oscilatória do ângulo do rotor.

Para facilidade do entendimento do fenômeno da estabilidade angular em sistemas de potência, é usual a classificação do fenômeno nas seguintes duas categorias:

(a)Estabilidade frente a pequenas perturbações é a habilidade do sistema se manter em sincronismo frente a pequenas perturbações. Estas perturbações ocorrem continuamente no sistema devido a pequenas variações de carga e geração. Uma perturbação é considerada suficientemente pequena se não houver considerável perda de precisão quando se analisa o fenômeno através de um modelo linearizado. A instabilidade resultante pode ser de duas formas: (i) aumento monotônico (aperiódico) no ângulo do rotor devido à insuficiência do torque sincronizante, ou (ii) oscilações angulares de amplitudes crescentes devido à insuficiência do torque de amortecimento. A natureza da resposta do sistema devido a uma pequena perturbação depende de um número de fatores onde se incluem, entre outros, a condição inicial do sistema, o sistema de transmissão e o tipo dos sistemas de excitação utilizados. Para um gerador sem sistema de excitação conectado radialmente a um grande sistema de potência, a instabilidade acontece devido a insuficiência de torque de sincronismo. O que faz com que o sistema perca a estabilidade aperiodicamente. No caso em que o gerador possua um sistema de excitação, o que acontece em geral, é uma perda de sincronismo oscilatória devido à insuficiência de torque de amortecimento. A Figura 3 ilustra a natureza do fenômeno de instabilidade relacionada aos torques de sincronismo e de amortecimento.

tempo T_D T_S Estável T T S D 0 0 tempo T_D T_S Instável aperiódico T T S D 0 0 tempo T_D T_S Instável oscilatório T T S D 0 0

Nos sistemas de potência atuais, a estabilidade frente a pequenas perturbações, está quase sempre relacionada com a insuficiência de amortecimento de oscilações. A estabilidade dos seguintes modos de oscilações é avaliada:

Modos locais – são associados às oscilações entre unidades geradoras e o resto do sistema. Nesse caso as unidades geradoras de uma planta de geração oscilam coerentemente contra o sistema.

Modos intraplanta – são associados às oscilações entre as unidades geradoras de uma mesma planta de geração.

Modos entre áreas – são associados às oscilações entre grupos de geradores de uma parte do sistema contra outro grupo de geradores em outra parte do sistema. Em geral, aparecem quando duas áreas são conectadas por intermédio de um sistema de transmissão de alta impedância.

Modos de controle – são associados às oscilações causadas pelos controles dos sistemas de excitação, reguladores de velocidade, conversores CA/CC, etc.

Modos torsionais – são associados com os componentes rotacionais dos eixos da turbina e do gerador. A instabilidade dos modos torsionais pode ser causada pela interação com os sistemas de excitação, controles de sistemas CCAT, e linhas de transmissão com compensação série.

(b)Estabilidade frente a grandes perturbações (estabilidade transitória) é a habilidade de um sistema de potência se manter em sincronismo quando sujeito à uma grande perturbação, como um curto-circuito trifásico e uma perda de um tronco de transmissão. A resposta do sistema, nesses casos, envolve grandes excursões dos ângulos dos rotores, sendo então altamente influenciados pela relação não linear da potência elétrica com o ângulo do rotor. A estabilidade vai depender do ponto inicial de operação e da natureza e duração da perturbação.

II.2. Classificação da Estabilidade de Sistemas de Potência

Apesar da estabilidade em sistemas de potência ser um problema único, não é conveniente ou até mesmo viável estudá-lo de forma única. Várias formas de estabilidade acontecem num sistema de potência, onde são influenciadas por vários fatores diferentes. O estudo dos problemas de estabilidade, a identificação dos fatores essenciais que influenciam na instabilidade do sistema e a formação de métodos que melhoram a segurança da operação, são melhores entendidas se as diversas formas de estabilidade forem classificadas em diferentes categorias. Essas são baseadas nas seguintes considerações:

A natureza física da instabillidade. Tamanho da perturbação considerada.

Os equipamentos, os processos e o domínio do tempo que devem ser considerados de forma a determinar a estabilidade.

Método mais apropriado para o cálculo ou previsão da estabilidade.

A Figura 4 mostra o quadro geral do problema de estabilidade em sistemas de potência, identificando suas classes e sub-classes em termos das categorias previamente mencionadas.

ESTABILIDADE DE SISTEM AS DE POTÊNCIA Capacidade de perm anecer em equilíbrio operativo Equilíbrio entre forças em opos ição

ESTABILIDADE ANGULAR ESTABILIDADE DE TENSÃO ESTABILIDADE A PEQUENAS PERTURBAÇÕES ESTABILIDADE TRANSITÓRIA ESTABILIDADE M ID-TERM ESTABILIDADE LONG-TERM GRANDES PERTURBAÇÕES PEQUENAS PERTURBAÇÕES

Capacidade de m anter sincronism o Equilíbrio de torques nas m áquinas síncronas

Grandes perturbações Prim eiro swing Estudos até 10 s

Capacidade de m anter perfil de tens ão aceitável em regime perm anente Balanço de potência reativa

Perturbações severas

Grandes excursões de tensão e freqüência

Grandes perturbações Eventos chaveados Dinâm ica de OLTC e cargas

Coordenação de proteção e controles

Relações PxV e QxV em regim e perm anente Margem de estabilidade Reserva de reativo Ponto de Colapso Métodos Lineares INSTABILIDADE APERIÓDICA INSTABILIDADE OSCILATÓRIA Torque de sincronism o ins uficiente

Dinâm ica rápida e lenta Período de es tudo de vários m inutos

Freqüência do sistem a cons tante e uniforme Dinâm ica lenta Período de es tudo de dezenas de m inutos

MODOS INTER-ÁREAS

MODOS LOCAIS MODOS DE CONTROLE MODOS TORSIONAIS

Torque de am ortecim ento insuficiente Ação de controle desestabilizante Métodos Lineares

III. ESTABILIDADE TRANSITÓRIA

Estabilidade transitória é a habilidade do sistema de potência manter seu sincronismo após sofrer uma grande perturbação, como por exemplo, um curto circuito, perda de geração, ou perda de uma grande carga. A resposta do sistema para tais perturbações envolve grandes variações dos ângulos dos rotores dos geradores, fluxos de potência, valor das tensões, e outras variáveis. A estabilidade frente a grandes perturbações é influenciada pelas características não lineares dos sistemas de potência. A perda de sincronismo devido instabilidade transitória é usualmente percebida nos primeiros segundos após o distúrbio.

III.1 Uma Visão Elementar da Estabilidade Transitória

Considere o sistema mostrado na Figura 5. Ele é composto de um gerador conectado a um grande sistema, representado por uma barra infinita, através de um transformador elevador e duas linhas de transmissão.

E_t

X_tr X1

X₂

E_B

Figura 5. Sistema Máquina x Barra Infinita

Apresentaremos conceitos fundamentais e princípios de estabilidade transitória através de uma análise simples envolvendo modelos simplificados. As resistências são desprezadas, o gerador é representado por um modelo clássico e a atuação do regulador de velocidade também é desprezada. O circuito equivalente é mostrado na Figura 6. A tensão atrás da reatância transitória (X’d) é representada por E’. O ângulo representa o ângulo da tensão E’

em relação ao ângulo da tensão da barra infinita Eb tomada como referência. A reatância XT

representa a reatância equivalente entre a tensão interna do gerador E’ e a tensão da barra infinita Eb. Quando o sistema é perturbado, a magnitude de E’ permanece inalterada e se

altera devido a variação da velocidade do rotor do gerador em relação a velocidade síncrona

0.

X_T P_e

E' E_B 0

Figura 6. Circuito Equivalente Reduzido do Sistema Máquina x Barra Infinita

Lembre-se que a potência elétrica ativa entregue por um gerador é dada pela Equação (I.1). P E E

X P

e

b T

sin maxsin (I.1)

Como a resistência do estator foi desprezada, Pe representa não só a potência ativa no

entre-ferro, assim como, a potência terminal do gerador. A curva Potência-Ângulo com as duas linhas em serviço é representada na Figura 7 como Curva 1. A potência elétrica Pe gerada, em

regime permanente, se iguala a potência mecânica Pm entregue ao gerador, este ponto de

operação é representado pelo ponto a na Curva 1. O ângulo correspondente é a.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 (graus) P Pe com LT #2 fora de serviço Pe com ambas LT's em serviço b a 2 1 Pm a b

Figura 7. Relação Potência – Ângulo do Sistema Máquina x Barra Infinita

Se uma das linhas estiver fora de serviço, a reatância de transferência XT é maior. A curva

Potência-Ângulo com uma das linhas fora de serviço é representada na Figura 7 como Curva 2. Neste caso, a máxima potência a ser transferida é menor. Com a mesma potência mecânica

Pm entregue ao gerador, o ângulo agora é b, que corresponde ao ponto b na Curva 2. Com

uma reatância de transferência maior, o ângulo deve ser maior de forma que a mesma potência elétrica possa ser transmitida.

III.2 Resposta a um Degrau de Potência Mecânica

Vamos analisar o comportamento transitório do sistema, com as duas linhas em serviço, quando a potência mecânica entregue ao gerador sofre uma variação em degrau de um valor inicial Pm0 a um valor final Pm1 como mostrado na Figura 8.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 (graus) P Área A1 0 1 Pm0 _a b Pm1 Área A2 1 m c

Devido à inércia do rotor, o ângulo não pode variar instantaneamente do valor inicial 0 para 1, correspondendo ao novo ponto de equilíbrio b onde Pe = Pm1. A potência mecânica está

maior do que a potência elétrica, o que faz com que o rotor comece a acelerar de forma a atingir o ponto de equilíbrio b, traçando a curva Pe- . A diferença entre Pm1 e Pe em qualquer

instante representa a potência acelerante.

Quando o ponto b é atingido, a potência acelerante é zero, porém a velocidade do rotor é maior do que a velocidade síncrona 0. Desta forma, o ângulo do rotor continua a aumentar.

Para valores de maiores que 1, Pe é maior que Pm1, então, o rotor desacelera até que um

ângulo máximo m seja atingido e o rotor esteja novamente na velocidade síncrona, porém Pe

é agora maior que Pm1. O rotor continua a desacelerar a uma velocidade abaixo da velocidade

síncrona; o ponto de operação retraça a curva Pe- de c para b e de volta para a. O ângulo do

rotor, então oscila indefinidamente ao redor do novo ponto de equilíbrio 1. Na prática,

existem várias fontes de amortecimento positivo no sistema (enrolamentos de amortecimento, sinais adicionais estabilizantes, etc.), que fazem com que as oscilações se amorteçam atingindo o ponto de equilíbrio b.

III.3 Critério das Áreas Iguais

Para o modelo em questão, não é necessário resolver explicitamente a equação de oscilação (I.2) para que se determine se o ângulo do rotor aumenta indefinidamente ou oscila ao redor de um ponto de equilíbrio. d dt H Pm Pe 2 2 0 2

b

g

(I.2)

Informações relacionadas à excursão máxima do ângulo ( m) e ao limite de estabilidade

podem ser obtidas graficamente pela curva Potência-Ângulo. Apesar deste método não ser aplicado ao caso multimáquinas com modelos detalhados dos geradores, ele ajuda a entender conceitos básicos que influenciam na estabilidade transitória de qualquer sistema.

Em (I.2) Pe é uma função não linear de , e então (I.2) não pode ser explicitamente

solucionada. Se ambos os lados forem multiplicados por 2 d _dt, e integrando chega-se a:

d dt P P H d m e

L

NM

O

QP

z

2 0

b

g

_(I.3)

Para uma operação estável, o desvio da velocidade d /dt deve ser limitado, atingindo um valor máximo (ponto c na Figura 8) e então, mudando de direção. Para isso a variação da velocidade d /dt se torna zero depois de algum tempo depois do distúrbio.

Da Equação (I.3) pode-se tirar o seguinte critério de estabilidade

0 0 0 P P H d m e m

z

b

g

_(I.4)

onde 0 é o ângulo inicial do rotor e m é o ângulo máximo do rotor, conforme mostrado na

Figura 8. Então, a área abaixo da função Pm-Pe deve ser zero se o sistema for estável. Na

Figura 8, esta condição é satisfeita quando a área A1 é igual à área A2. Quando o ângulo

passa de 0 para 1, a energia mecânica é transferida para o rotor na forma de energia cinética,

fazendo-o acelerar. Esta energia é calculada por E₁ P_m P d_e

0 1

z

b

g

área A₁ (I.5)

E Pe P dm

m

2

1

z

b

g

área A2 (I.6)

Como todas as perdas foram ignoradas, a energia ganha é igual a energia perdida, então a área A1 é igual à área A2. Este fato forma a base do critério das áreas iguais. O critério nos permite

calcular o máximo ângulo para que a estabilidade se mantenha, sem que seja necessário uma solução explícita da equação de oscilação.

O critério pode também ser utilizado para se determinar o máximo aumento possível da potência mecânica Pm. A estabilidade é mantida somente se existir uma área A2 pelo menos

igual a área A1 localizada acima de Pm1. Se A1 é maior do que A2, a estabilidade será perdida,

pois m > L ( L = 180 - 1). Isso se deve ao fato de que para > L, Pm1 é maior do que Pe e o

torque líquido é acelerante ao invés de desacelerante.

III.4 Resposta a um curto-circuito

Vamos considerar a resposta do sistema para um curto-circuito trifásico localizado no ponto F, conforme mostrado na Figura 9.(a). O circuito equivalente, quando assumindo um modelo clássico para o gerador, é mostrado na Figura 9.(b). O curto é eliminado pela abertura dos disjuntores localizados nas extremidades do circuito em curto.

E_t X_tr X1 X₂₁ E_B X₂₂ F

(a). Diagrama Unifilar

X'_d E' E_B 0 X_tr X₁ X₂₁ X₂₂ F (b). Circuito Equivalente

Figura 9. Sistema Máquina x Barra Infinita com Curto Circuito na Linha

Se a localização da falta F for na barra de alta tensão do gerador, nenhuma potência é transmitida para a barra infinita. A corrente de curto-circuito flui do gerador para a falta através de reatâncias. Então, apenas potência reativa flui no sistema, fazendo com que a potência ativa Pe e o torque elétrico correspondente Te sejam zero no entreferro durante a

falta.

Se a localização da falta F for a uma certa distância da barra de alta tensão, conforme mostrado nas Figuras 9.(a) e 9.(b), alguma potência ativa é transmitida para a barra infinita durante a falta.

As Figuras 10.(a) e 10.(b) mostram a curva Pe x para três condições da rede:

(ii) com uma falta trifásica no circuito 2 localizada a uma certa distância da barra de alta tensão;

(iii) pós-falta com o circuito 2 fora de serviço.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 (graus) P Pe com LT #2

fora de serviço Pe com ambas _{LT's em serviço}

c1 0 Pm a b c d e Pe durante a falta m f

(a). Sistema Estável

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 (graus) P Pe com LT #2

fora de serviço Pe com ambas _{LT's em serviço}

c2 0 Pm a b c d e Pe durante a falta (b). Sistema Instável

Figura 10. Relação Pe x para Sistema Máquina x Barra Infinita com Curto Circuito

Vamos examinar o caso estável da Figura 10.(a):

(i) sistema está operando com os dois circuitos em serviço com Pe = Pm e = 0.

(ii) Ocorre o curto circuito, alterando o ponto de operação instantaneamente de a para b.

(iii) Devido à inércia do rotor, o ângulo não muda instantaneamente. Como agora Pm é maior do que Pe, o rotor acelera, fazendo com que o ângulo

aumente até que o defeito é eliminado pelo isolamento do circuito 2 do sistema.

(iv) Neste instante, o ângulo é dado por c1 (ponto c). Com a eliminação da falta,

o ponto de operação muda instantaneamente para o ponto d e Pe passa a ser

maior que Pm.

(v) O rotor passa a desacelerar, mas, como a velocidade está maior que a velocidade síncrona, o ângulo continua a aumentar, até que toda a energia cinética armazenada no rotor (área A1) seja fornecida de volta para o sistema.

Neste período, o ponto de operação move-se de d para e, onde a área A2 é

igual à área A1.

(vi) No ponto e, a velocidade é igual à velocidade síncrona e o ângulo atingiu o seu valor máximo m. Como Pe ainda é maior do que Pm, uma potência

desacelerante continua aplicada sobre o rotor, fazendo com que a velocidade decresça, tornando-se menor que a velocidade síncrona.

(vii) ângulo começa, então, a decrescer, refazendo o caminho do ponto e para o ponto d da Figura 10.(a). Na ausência de qualquer fonte de amortecimento, o rotor continua oscilando indefinidamente com constante amplitude. Nos sistemas reais, sempre existe algum amortecimento de forma que o sistema tenderá ao novo ponto de equilíbrio

Com um tempo de eliminação do defeito mais longo, conforme mostrado na Figura 10.(a), a área A2 acima de Pm é menor do que a área A1. Quando o ponto de operação atinge o ponto e,

a energia cinética ganha durante o período de aceleração ainda não foi totalmente repassada para o sistema e, conseqüentemente, a velocidade ainda é maior do que a velocidade síncrona, fazendo com que o ângulo continue a aumentar. Além do ponto e, Pe é menor do que Pm, e o

rotor começa a acelerar novamente. A velocidade e o ângulo do rotor continuam a aumentar, levando o sistema à perda de sincronismo.

III.5 Fatores que influenciam a estabilidade transitória

Das discussões apresentadas nas seções anteriores, podemos concluir que a estabilidade transitória é dependente dos seguintes fatores:

Quão carregado estão os geradores.

A potência entregue pelo gerador durante a falta. Isto depende da localização da falta e do tipo de falta.

O tempo de eliminação da falta.

A reatância do sistema de transmissão pós-falta.

A reatância do gerador. Uma reatância baixa, aumenta a potência máxima transmitida e reduz o ângulo inicial.

A inércia do gerador. Quanto maior a inércia, menor a variação do ângulo. Isto faz reduzir a energia cinética durante a falta, isto é, a área A1 é reduzida.

A magnitude da tensão interna (E') do gerador. Isto depende do sistema de excitação.

IV. MODELOS DE MÁQUINAS

IV.1 Circuitos Acoplados Magneticamente

Circuitos elétricos acoplados magneticamente constituem a base da operação de transformadores e máquinas elétricas. No caso dos transformadores, circuitos estacionários são acoplados magneticamente para mudança de níveis de tensão e corrente. No caso das máquinas elétricas, o acoplamento magnético ocorre entre circuitos que se movimentam em relação uns aos outros, visando a transferência de energia entre os sistemas mecânicos e elétricos.

A figura 11 representa dois circuitos elétricos estacionários acoplados magneticamente. Os circuitos são compostos por enrolamentos com N1 e N2 espiras, respectivamente, enroladas em

um núcleo comum de material ferromagnético, i. e., um material cuja permeabilidade magnética é muito maior que a do ar ( 0 = 4 .10-7 H/m).

R₁ R₂

l1

l2 m1

m2

Figura 11. Circuitos Elétricos Acoplados Magneticamente

O fluxo magnético que enlaça cada bobina pode ser descrito, aproximadamente, como

1 1 1 2 2 2 1 2   m m m m (II.1) onde o fluxo de dispersão 1 é produzido pela corrente circulando pelo enrolamento 1 e

enlaça apenas as espiras do enrolamento 1. Da mesma maneira, o fluxo de dispersão _2 é

produzido pela corrente do enrolamento 2 e enlaça apenas as espiras do enrolamento 2. Já o fluxo de magnetização m1 é produzido pela corrente do enrolamento 1 e enlaça todas as

espiras dos enrolamentos 1 e 2. O fluxo de magnetização m2 é produzido pela corrente do

enrolamento 2 e enlaça todas as espiras dos enrolamentos 1 e 2.

Os fluxos de magnetização produzidos por cada um dos enrolamentos podem estar no mesmo sentido ou em sentidos opostos, conforme a direção das correntes. Se eles estiverem no mesmo sentido, o fluxo magnético total no núcleo será a soma dos fluxos de magnétização produzidos por cada enrolamento. Por outro lado, se os sentidos forem opostos, o fluxo magnético total será a diferença entre os fluxos de magnetização. Neste caso, diz-se que um dos enrolamentos está magnetizando o núcleo e o outro estará, portanto, desmagnetizando-o. O enlace de fluxo de um enrolamento é definido como

e, utilizando-se a teoria de circuitos magnéticos [17, 2, 1], pode-se escrever o fluxo magnético em função da corrente do enrolamento e da geometria do problema:

Ni R (II.3)

onde N.i é a força magnetomotriz do enrolamento e R é a relutância do circuito magnético, definida como

R l

A (II.4)

onde l é o comprimento médio do caminho magnético, A é a área transversal e é a permeabilidade magnética do meio.

Utilizando-se as relações (II.3) e (II.4), os fluxos magnéticos mostrados na Figura 11 e descritos pela equação (II.1) podem ser expressos como

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 N i R N i R N i R N i R N i R N i R m m m m   (II.5)

onde R_1 e R2 são as relutâncias associadas aos fluxos de dispersão dos enrolamentos 1 e 2,

respectivamente, e Rm é a relutância associada aos fluxos de magnetização, sendo comum aos

dois enrolamentos.

Os enlaces de fluxo dos enrolamentos será dado, portanto, por

1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 N R i N R i N N R i N R i N R i N N R i m m m m   (II.6)

A indutância de um circuito é definida como sendo a relação entre o enlace de fluxo e a corrente. Para o sistema magnético da Figura 11, pode-se escrever que

L N R N R L L L N R N R L L L L N N R m m m m m 11 1 2 1 1 2 1 1 22 2 2 2 2 2 2 2 12 21 1 2     (II.7)

onde L_1 e L2 são as indutâncias de dispersão e Lm1 e Lm2 são as indutâncias de magnetização

dos enrolamentos 1 e 2, respectivamente. As indutâncias de magnetização e as indutâncias mútuas L12 e L21 dependem da relutância Rm e as seguintes relações são válidas:

L N L N L N N L N N L m m m m 2 2 2 1 1 2 12 2 1 1 1 2 2 (II.8)

Utilizando-se estas expressões para as indutâncias, os enlaces de fluxo podem ser escritos como

1 11 1 12 2 2 12 1 22 2 1 2 11 12 12 22 1 2

L

NM

O

QP

L

NM

O

QP

L

NM

O

QP

L i L i L i L i L L L L i i Li (II.9)

Considerando-se toda a resistência do enrolamento concentrada em um único elemento, pode-se escrever, para cada enrolamento, que

v r i e r i d

dt (II.10)

ou, matricialmente, para todos os enrolamentos do sistema

v r i d

dt (II.11)

A equação (II.11) será utilizada para a modelagem da máquina síncrona e, em geral, as equações são escritas referindo-se as variáveis a uma mesma base ou no sistema por unidade (p.u.). Desta forma, pode-se fazer com que a indutância de magnetização dos enrolamentos tenha o mesmo valor.

Esta equação, contudo, só é válida para sistemas magnéticos lineares. No caso dos equipamentos elétricos (transformadores e máquinas), é usual a existência de saturação magnética e da histerese (equipamentos em CA), efeitos nitidamente não-lineares. Na prática, os modelos para estes equipamentos são obtidos a partir da equação (II.11) e corrigidos, quando necessário, para considerar os efeitos das não-linearidades.

A simulação computacional deste sistema pode ser realizada pela integração numérica da equação (II.11), considerando-se que as correntes e os enlaces de fluxo são relacionados pela equação (II.9). Considerando-se as equações em p.u., pode-se escrever que

1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1

RS

T

R

S

||

T

||

L i L i i L i L m m m m    

b

g

b

g

(II.12) onde m m m m m m m L i i L L L L L L L L

L

NM

O

QP

F

HG

I

KJ

1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1

b g

b

g

b

g

     

O efeito da saturação magnética pode ser incorporada ao problema se a característica de magnetização (curva de magnetização) for conhecida. Esta pode ser obtida a partir do ensaio em vazio do equipamento, onde desconsidera-se a queda de tensão na resistência do enrolamento e, portanto, a tensão aplicada é proporcional à variação do enlace de fluxo. A Figura 12 apresenta uma curva de magnetização típica.

i i₁+i₂

m

L_m1(i₁+i₂)

Figura 12. Curva de Magnetização Típica

Por hipótese, considera-se que o fluxo magnético de dispersão fecha seu caminho magnético apenas pelo ar e, portanto, não está sujeito à saturação do material magnético. Desta forma, a saturação magnética afeta apenas o enlace de fluxo mútuo m. Na região não-saturada, a

inclinação da curva m x i é dada por Lm. Para valores elevados de corrente, a curva de

magnetização se afasta da característica não-saturada e, assim, pode-se escrever que

m L im

b g b g

1 i2 f m (II.13)

onde f( m) pode ser determinada a partir da curva de magnetização mostrada na Figura 12.

IV.2 Conversão Eletromecânica de Energia

Em geral, os equipamentos utilizados para a conversão de energia mecânica em energia elétrica (geradores) e para a conversão de energia elétrica em energia mecânica (motores) utilizam um campo magnético como meio comum de interação entre os sistemas mecânico e elétrico. A figura 13 apresenta um diagrama de blocos simplificado deste tipo de arranjo, onde a energia pode fluir em qualquer direção.

SISTEMA ELÉTRICO CAMPO MAGNÉTICO DE ACOPLAMENTO SISTEMA MECÂNICO

Figura 13. Diagrama de Blocos de um Sistema de Conversão Eletromecânica de Energia

Em geral, há perdas de energia tanto no sistema mecânico quanto nos sistemas elétricos e magnéticos. As principais perdas serão devidas ao atrito (sistema mecânico), efeito Joule (sistema elétrico) e correntes parasitas e histerese (sistema magnético).

A Figura 14 mostra um arranjo simples de um sistema de conversão eletromecânica de energia.

K D f x(t) R f_e L M i + -v

Figura 14. Sistema de Conversão Eletromecânica de Energia

O sub-sistema elétrico da Figura 14 pode ser modelado pela seguinte equação:

v r i Ldi

dt ef (II.14)

onde ef é a queda de tensão sobre o enrolamento.

Já o sistema mecânico pode ser representado por f M d x dt D dx dt K x x fe 2 2

b

0

g

(II.15)

onde fe é a força eletromagnética que surge devido ao campo magnético, M é a massa, D é o

coeficiente de amortecimento, K é a constante da mola e x0 é a posição de equilíbrio da mola.

A energia suprida pela fonte elétrica pode ser calculada como

W v i dt r i Ldi dt e i dt r i dt L i di e i dt E f f

F

HG

I

KJ

z

z

z

2

z z

(II.16) O primeiro termo representa as perdas por efeito Joule, enquanto o segundo termo representa a energia magnética armazenada fora do campo magnético de acoplamento. Portanto, a energia transferida da fonte elétrica para o campo magnético é dada por

W_e

z

e i dt_f (II.17)

Já para o sistema mecânico, a energia pode ser calculada como W f dx M d x dt dx D dx dt dx K x x dx f dx M

z

z

z

z

z

e 2 2

b

0

g

(II.18)

O primeiro termo corresponde à energia cinética associada à massa do corpo, enquanto o terceiro termo corresponde à energia potencial armazenada na mola. O segundo termo corresponde a perdas por atrito e, portanto, a energia mecânica total transferida para o campo magnético é dada por

W_m

z

f dx_e (II.19)

Desta forma, a energia armazenada no campo magnético pode ser calculada como

W_f W_e W_m

z

e i dt_f

z

f dx_e (II.20)

Esta equação pode ser generalizada para o caso de múltiplos sistemas elétricos (J enrolamentos) e mecânicos (K massas), resultando em

W_f W_e W j j J m k k K

b g

b g

1 1 (II.21) ou, na forma diferencial,

dW_f e_f i dt f dx j j j J e k k k K

d i

b g

1 1 (II.22) Retornando ao caso mais simples, representado pela equação (II.20), pode-se calcular a energia armazenada no campo magnético alimentado apenas pelo sistema elétrico fazendo-se

Wm = 0, ou seja, impedindo-se o movimento do sistema mecânico (dx = 0). Neste caso,

W e i dt d dt i dt i d

f

z

f

z

z

(II.23)

A Figura 15 mostra a relação x i de um sistema eletromagnético. A energia armazenada no campo magnético, para um valor de corrente igual a i1 é igual à área A1 mostrada na figura.

i i₁

1

A₁

A₂

Figura 15. Energia e Co-Energia Armazenada em um Campo Magnético

A área A2 mostrada na Figura 15 é chamada de co-energia e pode ser calculada como

W_c

z

di i W_f i

z z

i d f dx_e (II.24)

Em um sistema magnético linear (relação x i dada por uma reta) Wc = Wf. Fora desta

situação, a co-energia tem pouco significado físico, mas é um jeito conveniente de expressar a energia e útil para o cálculo da força eletromagnética fe.

A equação (II.20) permite escrever que

f W

x

e

f

(II.25) ou, em termos da co-energia, mostrada na equação (II.24),

f W

x

e

c

A posição x do sistema mecânico descreve completamente a relação entre este e o campo magnético. Já a influência do sistema elétrico pode ser descrito tanto por (energia) quanto por i (co-energia), uma vez que estas variáveis não são independentes.

A escolha da posição x e do enlace de fluxo como variáveis de estado permite escrever que

W_f

b g b g

,x

z

i ,x d

z

i

b g

,x d

0 (II.27)

e, uma vez calculada a energia no campo magnético, pode-se obter a força eletromagnética fe

de acordo com a equação (II.25).

Contudo, o enlace de fluxo é uma variável menos “natural” do que a corrente, para um engenheiro eletricista, uma vez que a medição de correntes é muito mais simples. Desta forma, é preferível escolher a posição x e a corrente i como variáveis de estado e, então, obter a co-energia como sendo

W i xc i x di x d

i

, , ,

b g

z

b g

z

₀

b g

(II.28)

obtendo-se a força eletromagnética através da equação (II.26).

Para o caso de um sistema linear com múltiplos enrolamentos, os enlaces de fluxo podem ser escritos a partir da equação (II.9) como sendo

1 1 2 11 1 12 2 1 2 1 2 12 1 22 2 2 1 2 1 1 2 2 i i i x L x i L x i L x i i i i x L x i L x i L x i i i i x L x i L x i L x i n n n n n n n n n n nn n , , , , , , , , , , , ,       

b

g

b g

b g

b g

b

g

b g

b g

b g

b

g

b g

b g

b g

(II.29)

e, tomando-se as correntes e a posição como variáveis de estado, pode-se calcular a co-energia como sendo

W i i i x i i x d i i x d i i x d c n n i n i n i_n 1 2 1 2 0 2 1 0 1 2 0 1 2 , , , , , , , , , , , , , , , ,     

b

g

b

g

b

g

b

g

z

z

z

(II.30) ou, equivalentemente, W i i i x L x i L x i i L x i L x i i L x i i L x i c n n n n nn n 1 2 11 1 2 12 1 2 22 2 2 1 1 12 2 2 1 2 1 2 1 2 , ,, ,  

b

g

b g

b g

b g

b g

b g

b g

(II.31)

IV.3 Enrolamento da Máquina CA e Força Magnetomotriz

A Figura 16 apresenta um diagrama simplificado de uma máquina CA trifásica de 2 pólos. O enrolamento associado a cada fase tem seu eixo magnético defasado de 120° em relação aos eixos das demais fases. O enrolamento de campo está localizado no rotor e seu eixo magnético pode girar de acordo com o movimento do rotor.

a₁ a₂ a3 a₄ c'₁ c'₃ c'₄ b1 b₂ b₃ b₄ a'₁ a'₂ a'₃ a'₄ c₁ c₂ c₃ c4 b'₁ b'₂ b'3 b'₄ f2 f1 f3 f4 f5 f'4 f'5 f'3 f'2 f'1 c'2 eixo m agnético da fas e A eixo m agnético da fas e B eixo m agnético da fas e C eixo m agnético do cam po r s

Figura 16. Máquina CA Trifásica de 2 Pólos

Os enrolamentos das fases são considerados idênticos por possuirem a mesma resistência e o mesmo número de espiras. Além disso, o passo do enrolamento é de 180°, i. e., uma espira é formada por condutores diametralmente opostos.

A Figura 17 apresenta o diagrama resultante da planificação da máquina mostrada na Figura 16. a₂ a₁ a₃ a₄ b'₄ b'₃ b'₂ b'₁ c₄ c₃ c₂ c₁ a'₄ a'₃ a'₂ a'₁ b₄ b₃ b₂ b₁ c'₂ c'₁ c'₃ c'₄ eixo da fas e B eixo da fas e B eixo da fas e C eixo da fas e C eixo da fas e A eixo da fas e A eixo da fas e A f₁ f₂ f₃ f₄ f₅ f'₁f'₂f'₃f'₄f'₅ f₃ eixo do cam po eixo do cam po s r

Figura 17. Diagrama Planificado dos Enrolamentos da Máquina CA Trifásica

A máquina representada nas Figuras 16 e 17 é uma máquina de 2 pólos com pólos salientes. Esta máquina, na verdade, dificilmente seria construída, pois as máquinas de 2 ou 4 pólos são máquinas cuja velocidade mecânica é relativamente alta e, nestes casos, o rotor é cilíndrico, resultando em uma máquina de pólos lisos. Por outro lado, uma máquina de pólos salientes

em geral está associada a um número elevado de pólos e, portanto, a uma baixa velocidade de rotação.

As velocidades elétricas e mecânicas em uma máquina síncrona estão relacionadas ao número de pólos da máquina como

e m

P

2 (II.32)

Como a velocidade elétrica está relacionada à freqüência elétrica de operação das máquinas, esta deve ser mantida constante (50 Hz ou 60 Hz). A velocidade mecânica, portanto, é inversamente proporcional ao número de pólos da máquina.

A força magnetomotriz (FMM) no entreferro da máquina pode ser determinado a partir da Lei de Ampére:

` H d  i

L

z

(II.33)

A Figura 18 apresenta novamente o diagrama planificado da máquina em que apenas o enrolamento da fase A foi representado. A Lei de Ampére será aplicada, então, para os caminhos fechados abcd e aefd indicados na Figura.

a2 a1 a3 a4 a'4 a'3 a'2 a'1 eixo da fas e A eixo da fas e A eixo da fas e A s  H

B

 H

A

H

A

a b c d e f 60o bc ef

Figura 18. Diagrama Planificado da Máquina CA para Cálculo da FMM

Considerando-se a permeabilidade magnética do material muito maior que a do ar, a intensidade do campo magnético (H) no material é desprezível e, portanto, a integral mostrada na equação (II.33) pode ser calculada considerando-se apenas os trechos dos caminhos fechados correspondentes ao entreferro da máquina.

Considerando-se, ainda, uma distribuição uniforme dos enrolamentos das fases, cada fase ocupa um arco de 120 no estator, com 2 seções de 60 em oposição de fase (defasadas 180 ) conforme mostrado na Figura 18.

Para o caminho fechado abcd mostrado na Figura 18, a Lei de Ampére pode ser expressa por

H dl H dl H g H g bc r r g r g r bc bc bc bc bc

b g

b g

b g b g b g b g

b g

b g b g

b g b g

b g

z

z

0 0 0 0 0 0 0 0 (II.34) onde r( bc) e r(0) são os raios do rotor e g( bc) e g(0) são os comprimentos do entreferro, nas

posições correspondentes aos ângulos s = bc e s = 0, respectivamente.

Já para o caminho fechado aefd, a Lei de Ampére resulta em

H dl H dl N i H g H g N i ef r r g r g r c a ef ef c a ef ef ef

d i

b g

d i d i b g b g

d i

d i d i

b g b g

b g

z

z

0 0 0 0 0 0 (II.35)

onde Nc é o número de espiras do enrolamento da fase a na ranhura a1 e o sinal negativo se

deve ao fato que corrente circulando no enrolamento, no sentido indicado na Figura 18, produz fluxo magnético no sentido oposto àquele utilizado para o caminho de integração. Este raciocínio pode ser repetido para diversos caminhos fechados definidos para diferentes valores de s e a distribuição de FMM produzida pelo enrolamento da fase a, ao longo da

superfície do estator, tem aproximadamente a forma mostrada na Figura 19.

a₂ a₁ a₃ a₄ a'₄ a'₃ a'₂ a'₁ eixo da fas e A eixo da fas e A eixo da fas e A s

Figura 19. Distribuição de FMM do Enrolamento da Fase a

Esta forma de onda pode ser entendida como uma aproximação para uma função senoidal. Esta aproximação pode ser muito melhorada através de diversas técnicas de construção das máquinas, como enrolamentos de passo fracionário e distribuição não-uniforme dos enrolamentos. Quanto melhor a aproximação, menor será o desequilíbrio harmônico das tensões e correntes de estator.

O eixo magnético da fase a pode ser interpretado, agora, como o centro da região de máximo da distribuição de FMM do enrolamento. É fácil verificar que a distribuição de FMM dos enrolamentos das fases b e c têm a mesma forma que aquela mostrada para a fase a, com defasagens de 120 em relação a esta.

Estas distribuições de FMM podem ser decompostas em suas componentes harmônicas (série de Fourier) e, considerando-se apenas a componente fundamental de cada fase, pode-se escrever que FMM N i FMM N i FMM N i a a s b b s c c s

F

HG

I

KJ

F

HG

I

KJ

2 2 2 3 2 2 3 cos cos cos (II.36)

onde N é o número total de espiras do enrolamento equivalente de fase.

A distribuição de FMM resultante dos enrolamentos do estator é dada, então, pela soma das distribuições mostradas na equação (II.36). Se as correntes dos enrolamentos são correntes trifásicas equilibradas, pode-se escrever que

FMM N I _et _{ei s}

2 3 2

2 cos

b g

0 (II.37)

onde e é a freqüência angular das correntes, ei(0) é o ângulo de fase das correntes para t = 0

A equação (II.37) representa uma onda de FMM que gira com freqüência igual àquela das correntes que a produziram e, além disso, corresponde a uma distribuição senoidal ao longo da superfície do estator (quando s varia).

IV.4 Máquina Síncrona

Conhecidas as distribuições de FMM no interior da máquina síncrona, o modelo elétrico para a mesma é obtida a partir da determinação das indutâncias próprias e mútuas relacionadas aos diversos enrolamentos.

Para isto, é necessário obter uma expressão para o comprimento do entreferro da máquina. A hipótese utilizada aqui [2] é que o entreferro varia senoidalmente conforme

g r r

b g

1

_{b g}

2 1 2cos (II.38) onde r é o ângulo medido em relação ao eixo magnético do enrolamento de campo

(associado à posição do rotor).

Do ponto de vista do estator, o entreferro pode ser escrito como sendo

g _{s r} s r

b

g

1

_b

_g

2 1 2cos (II.39) onde r é a posição do rotor em relação ao estator, variando conforme a rotação do mesmo.

A densidade de fluxo magnético pode ser definida a partir da força magnetomotriz como

B FMM

g

0 (II.40)

e, aplicando-se a equação (II.40) associada às equações (II.36) e (II.39), obtém-se

B N i B N i B N i a s r a s s r b s r b s s r c s r c s s r , cos cos , cos cos , cos cos

b

g

b g

n

b

g

s

b

g

n

b

g

s

b

g

n

b

g

s

F

HG

I

KJ

F

HG

I

KJ

0 1 2 0 1 2 0 1 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 (II.41)

Já a densidade de fluxo magnético produzida a partir do enrolamento do rotor pode ser dada por

B_fd

b g

_{r 0} Nfd i_fd

b g

_{r 1 2}

b g

_r

2 sin cos 2 (II.42)

As indutâncias (próprias ou mútuas) são calculadas a partir da relação entre o fluxo enlaçado por um enrolamento e a corrente que cria este fluxo. A determinação do fluxo magnético pode ser feita a partir da densidade de fluxo e é possível mostrar que as indutâncias da máquina síncrona podem ser expressas como

L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L aa A B r bb A B r cc A B r fdfd fd mfd ab A B r ac A B r bc A B r afd sfd r bfd sfd r cfd sfd r

F

HG

I

KJ

F

HG

I

KJ

F

HG

I

KJ

F

HG

I

KJ

F

HG

I

KJ

    cos cos cos cos cos cos cos cos cos 2 2 2 3 2 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 2 2 3

b g

b

g

2 3

F

HG

I

KJ

(II.43) onde L N rl L N rl L N N rl L N rl A B sfd f mfd f

F

HG

I

KJ

F

HG

I

KJ

F

HG

I

KJ

F

HG

I

KJ

F

HG

I

KJ

F

HG

I

KJ

F

HG

I

KJ

2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 2 0 2 0 1 2 2 0 1 2

sendo r é o raio médio do entreferro e l é o comprimento axial do estator.

Em uma máquina síncrona real, é possível encontrar enrolamentos curto-circuitados montados no rotor, chamados enrolamentos amortecedores. Em máquinas de rotor cilíndrico, há a possibilidade de circulação de correntes parasitas, cujo efeito é parecido com aquele dos enrolamentos amortecedores. Desta forma, um modelo completo para a máquina síncrona deve permitir a incorporação de circuitos equivalentes para este tipo de enrolamento. A determinação das indutâncias próprias e mútuas associadas a estes enrolamentos pode ser feita de forma similar àquela apresentada acima.

Para cada enrolamento da máquina, pode-se escrever uma equação de tensão equivalente àquela mostrada na equação (II.10), resultando em

v r i d dt v r i d dt v r i d dt v r i d dt v r i d dt v r i d dt a a a a b b b b c c c c fd fd fd fd kd kd kd kd kq kq kq kq 0 0 (II.44) onde

a aa a ab b ac c afd fd akd kd akq kq b ab a bb b bc c bfd fd bkd kd bkq kq c ac a bc b cc c cfd fd ckd kd ckq kq fd afd a bfd b cfd c fdfd fd fdkd kd kd akd a bkd b ckd c fdkd fd kdkd kd kq akq a bkq b ckq c kq kq L i L i L i L i L i L i L i L i L i L i L i L i L i L i L i L i L i L i L i L i L i L i L i L i L i L i L i L i L i L i L i L i (II.45)

e os subscritos kd e kq estão associados a enrolamentos amortecedores de eixo d e q, respectivamente. Deve-se notar que as indutâncias mútuas entre os enrolamentos de eixo d (fd e kd) e o enrolamento de eixo q (kq) são nulas, devido à ortogonalidade entre estes eixos. As equações (II.44) e (II.45) descrevem completamente a dinâmica elétrica da máquina síncrona, mas dependem da posição angular do rotor r, que, por sua vez, varia com o tempo.

Tomando-se como exemplo a expressão para o enlace de fluxo do enrolamento de campo, mostrada na equação (II.45), e substituíndo-se os valores das indutâncias mostradas na equação (II.43), obtém-se

fd Lsfd ia r ib

HG

F

r

KJ

I

ic

F

HG

r

I

KJ

Lfdfd fdi Lfdkd kdi

L

NM

cos cos 2 cos

O

QP

3

2 3

A parcela entre colchetes representa a projeção das correntes das fases abc sobre o eixo d, conforme mostrado na Figura 20.

r a c b 120o₊ r 120o -r d q

Na verdade, a transformação ilustrada na Figura 20 é uma simples mudança de eixos de referência, podendo ser expressa por uma relação matricial. A transformada de Park usualmente adotada para a representação de máquinas síncronas é definida por

x x x x x x a b c d q

L

N

MM

M

O

Q

PP

P

L

N

MM

M

O

Q

PP

P

L

N

MM

M

O

Q

PP

P

cos sin cos sin cos sin 1 120 120 1 120 120 1 ₀

b

g

b

g

b

g

b

g

(II.46)

ou, em notação matricial compacta,

x_abc Tx_dq0 (II.47)

A matriz T sempre possui inversa, de modo que a transformação inversa é dada por x x x x x x d q a b c 0 2 3 120 120 120 120 1 2 12 12

L

N

MM

M

O

Q

PP

P

L

N

MM

M

O

Q

PP

P

L

N

MM

M

O

Q

PP

P

cos cos cos

sin sin sin

b

g

b

g

b

g

b

g

(II.48)

ou, equivalentemente,

x_dq0 T x1 _abc (II.49)

Pode-se aplicar a transformada de Park para transformar grandezas trifásicas como tensão, corrente, carga elétrica e enlace de fluxo de suas coordenadas de fase (abc) para coordenadas

dq0 e vice-e-versa. Aplicando-se esta transformação às equações (II.44) e (II.45), obtém-se o

modelo da máquina síncrona em coordenadas dq0, onde o sistema por unidade foi aplicado de forma a obter uma matriz de indutâncias simétrica:

v ri d dt v ri d dt v ri d dt v r i d dt v r i d dt v r i d dt q q r d q d d r q d fd fd fd fd kd kd kd kd kq kq kq kq 0 0 0 0 0 (II.50) q kq d fd kd s aq aq aq kq aq s ad ad ad ad fd md md ad md kd md s q kq d fd kd L L L L L L L L L L L L L L L L L L L i i i i i i 0 0

L

N

MM

MM

MM

M

O

Q

PP

PP

PP

P

L

N

MM

MM

MM

M

O

Q

PP

PP

PP

P

L

N

MM

MM

MM

M

O

Q

PP

PP

PP

P

      (II.51)

A potência elétrica da máquina pode ser expressa por

P e i_{a a} e i_{b b} e i_{c c} 3 e i_{d d} e i_{q q} e i