A calculadora no 1.º ciclo: Mero instrumento
de verificação ou algo mais?
Ema Mamede
Instituto de Estudos da Criança, Universidade do Minho
emamede@iec.uminho.pt
As orientações curriculares da DEB (1998), no que respeita à Matemática, mencionam a utilização da calculadora referindo que esta é uma ferramenta de exploração e descoberta. Contudo, este documento não apresenta qualquer orientação sobre a forma como aquele instrumento de cálculo pode ser usado e em que contextos deve ser usado.
Em muitas escolas do 1.º ciclo do nosso país parece ignorar-se a calculadora enquanto meio auxiliar de cálculo. Possivelmente, isto acontece devido ao pouco conhecimento das potencialidades da calculadora na resolução de problemas não rotineiros. A ideia da calculadora como instrumento que pode ocupar o lugar do cálculo escrito, ou o do cálculo mental, parece sobrepor-se à ideia da calculadora enquanto ferramenta facilitadora de explorações numéricas tão importantes no contexto de resolução de problemas.
De um trabalho de investigação centrado na utilização da calculadora na sala de aula, realizado com alunos do 1.º ciclo do ensino básico, onde se procurou perceber de que forma os alunos do 4.º ano de escolaridade utilizam este instrumento de cálculo na resolução de problemas, surgiram algumas reflexões a respeito do papel da calculadora nas explorações matemáticas levadas a cabo por estes alunos.
Apresentam-se aqui algumas considerações teóricas, seguindo-se uma breve descrição do estudo realizado, finalizando com a apresentação de alguns aspectos relevantes do papel da calculadora na resolução de problemas.
As orientações curriculares para a matemática no 1.º ciclo
Os princípios orientadores contemplados no Programa do 1.º ciclo do ensino básico destacam três grandes finalidades do ensino da Matemática, que consistem em desenvolver a capacidade de raciocínio, a capacidade de comunicação e a capacidade de resolver problemas (DEB, 1998). As orientações curriculares para o 1.º ciclo (DEB, 1998), bem como as Normas para o currículo e a avaliação em matemática
escolar (NCTM, 1991), referem a resolução de problemas como foco central do
currículo de Matemática, uma vez que esta é promotora do desenvolvimento do raciocínio e da comunicação, colocando os alunos numa atitude activa de aprendizagem. Para o NCTM (1991), a aprendizagem deve ser entendida como um processo activo, com lugar para explorar, descrever, justificar e desenvolver. Mais recentemente, para a Matemática, o documento das Competências essenciais do
currículo nacional do ensino básico (DEB, 2001) refere, entre outros aspectos, a
importância de: (a) explorar situações problemáticas; (b) procurar regularidades; (c) fazer e testar conjecturas; (d) formular generalizações; e (e) pensar de maneira lógica. Estes documentos parecem assim apontar para uma prática de sala de aula onde os problemas não rotineiros, ou exploratórios, têm lugar.
Os problemas não rotineiros
Em geral, a resolução de problemas rotineiros, que implicam um único passo, não coloca grandes dificuldades ao aluno. Isto porque este tipo de problemas facilmente vai de encontro ao conhecimento aritmético informal do aluno, dispensando-o, portanto, de ter de efectuar grandes análises para a sua resolução. O mesmo não acontece quando se trata de problemas não rotineiros ou de exploração.
Os problemas não rotineiros podem ser entendidos como aqueles em que a incógnita, os procedimentos de resolução e a solução não são evidentes. São problemas que requerem alguma análise, em que a simples identificação e aplicação de uma operação aritmética é insuficiente para a sua resolução (Baroody, 1994; Whimbey e Lockhead, 1993).
De acordo com Pólya (1978), a análise inerente à resolução de problemas não rotineiros comporta a definição do problema, a planificação de uma estratégia de resolução, a execução dessa estratégia planificada e a comprovação ou verificação dos resultados. Mas, segundo este autor, esta análise só é possível se existir: (a) compreensão do problema, isto é, se o aluno for capaz de identificar a incógnita ou o objectivo do problema, o que vai facilitar a selecção da informação necessária à
resolução do problema, a eleição dos métodos adequados a essa resolução e a aceitabilidade de uma solução; (b) o conhecimento de técnicas, como por exemplo, os modelos de representação, ou estratégias úteis para a resolução de problemas, que ajudam o aluno a definir o problema e a eleger um procedimento para atingir a solução; (c) motivação para efectuar a análise, que resulta do interesse, autoconfiança e perseverança; e (d) flexibilidade, ou seja, adaptação rápida dos recursos existentes para satisfazer as exigências de uma nova tarefa.
Os problemas não rotineiros podem facilmente constituir desafios para os alunos, na medida em que estes se podem servir de várias estratégias e métodos de resolução. Na realidade, a resolução de problemas pode proporcionar momentos bastante enriquecedores na sala de aula, onde a descoberta, a exploração e as interacções podem constituir aspectos marcantes.
Neste quadro, a comunicação e as interacções são aspectos indissociáveis no contexto de resolução de problemas.
A comunicação
A comunicação desempenha um papel importante na construção de elos de ligação entre as noções informais e intuitivas das crianças e a linguagem abstracta e simbólica da Matemática, mas assume também um papel fundamental na construção de relações entre as representações físicas, pictóricas, simbólicas, verbais e mentais das ideias matemáticas. Neste nível de ensino, representar é uma forma de importante de comunicar ideias matemáticas. Envolve a tradução de um problema ou uma ideia numa nova forma, ou a tradução de um diagrama ou modelo físico em símbolos ou palavras. Portanto, representar pode ajudar a tornar claro o significado do problema (NCTM, 1991).
Mas, também a comunicação oral tem um papel de destaque, na medida em que ajuda as crianças a clarificar o pensamento e a estimular a compreensão (Shield e Swinson, 1996). Quando comunicam, as crianças aprendem umas com as outras. Encorajá-las a representar, falar e ouvir, ler e escrever facilita uma aprendizagem significativa.
A respeito da comunicação, particularmente na resolução de problemas, Bassarear (1997), distingue dois tipos essenciais de capacidades que devem ser estimuladas e desenvolvidas nos alunos, e que são: a capacidade de comunicar consigo mesmo perante um problema, possibilitando o desenvolvimento de estratégias de resolução que considere fazerem sentido na busca da solução; e a capacidade do aluno comunicar com os outros, partilhando as suas observações e soluções encontradas, mas também compreendendo as observações e soluções apresentadas pelos outros.
Ainda a respeito da comunicação oral, interessa ir sensibilizando os alunos para a utilização de uma linguagem rigorosa e concisa na transmissão de informação (Bassarear, 1997; Pimm, 1990). Uma das formas de o conseguir consiste em estimular o aluno a efectuar descrições de actividades ou objectos, de modo a poderem ser compreendidas, de maneira correcta, por alguém que esteve ausente (Pimm, 1990).
A comunicação escrita tem também o seu lugar de relevo. Escrever sobre a Matemática ajuda a aprendizagem dos alunos, na medida em que encoraja à reflexão e à clarificação de ideias, promove a discussão e fomenta a compreensão dos alunos sobre aquilo que se está a estudar (Grandgenett, Hill e Lloyd, 1995; Huiker e Laughlin, 1996).
As tarefas de carácter não rotineiro, onde se podem explorar diversas estratégias de resolução são mais susceptíveis de promover a comunicação (Balacheff, 1991; César, 1999; Greenes e Schulman, 1996; NCTM, 1991). São também o tipo de tarefas onde as interacções assumem um papel relevante. Pois, poder interagir com os colegas pode facilitar a construção do conhecimento, a aprendizagem de outras formas de pensar e a clarificação do seu pensamento (Greenes e Schulman, 1996).
O trabalho entre pares
Na resolução de problemas não rotineiros, torna-se então importante poder interagir com os colegas.
O pensamento partilhado que implica a coordenação de actividades em comum é de grande importância para que benefícios possam ser tirados da interacção. Um dos maiores benefícios parece dizer respeito à possibilidade dos participantes na interacção compreenderem outros pontos de vista ou participarem em destrezas mais complexas, quer mediante a observação activa, onde se observa o desempenho dos outros, quer mediante a participação conjunta na procura da solução para um problema (César, 1999; Rogoff, 1993; Tudge e Rogoff, 1995). A respeito deste último aspecto, Forman e Cazden (1998) referem que as tarefas colaborativas requerem por parte das crianças uma organização de informação, a planificação de estratégias e a implementação das mesmas, o que lhes concede um conjunto de experiências valorativas. Isto porque, este tipo de tarefas, desenvolvidas num regime colaborativo, exige a construção de hipóteses, procedimentos e identificação de informação pertinente aceitável pelas crianças envolvidas. Ou seja, exige que estas sejam capazes de gerir os seus conflitos e discordâncias de forma a que estes sejam convertidos num plano mútuo. Expor as crianças a este tipo de situação possibilita-lhes a resolução conjunta de problemas
mais complexos, que dificilmente resolveriam sozinhos. Além disso, permite-lhes ainda observar e reflectir nos processos de resolução, elegendo o procedimento que consideram mais eficaz (Forman e Cazden, 1998).
Assim, resolver problemas podendo interagir cria a necessidade de comunicar ideias verbalmente, encoraja a auto-reflexão e aumenta a necessidade de responder às questões e desafios do par em causa.
A calculadora
A ideia da calculadora como instrumento que pode ocupar o lugar do cálculo escrito, ou do cálculo mental, parece sobrepor-se à ideia da calculadora enquanto ferramenta facilitadora de explorações numéricas e investigações matemáticas, tão importantes no contexto de resolução de problemas.
Ao longo do seu percurso, do 1.º ciclo até ao ensino secundário, espera-se que o aluno desenvolva e consolide um conjunto de métodos para as operações básicas, sem o uso da calculadora. Mas, também se espera que entenda e utilize as facilidades da calculadora ao planear um cálculo.
No que se refere aos meios de cálculo, distinguem-se o cálculo mental, o cálculo escrito e o cálculo realizado com a calculadora como formas de calcular com exactidão. Cada uma destas formas tem o seu lugar próprio no cálculo. Nenhuma deve substituir a outra, todas devem ser exploradas e trabalhadas na sala de aula de forma adequada, proporcionando ao aluno um maior número de opções. Tal como referem Abrantes, Serrazina e Oliveira (1999) e o NCTM (1991), do aluno espera-se que seja capaz de eleger o melhor meio de cálculo a utilizar perante determinada situação. Também Wheatley e Shumway (1992) defendem que quando a calculadora é introduzida na sala de aula, torna-se importante sensibilizar os alunos no sentido de explorar e avaliar a eficácia do uso deste instrumento comparativamente a outros possíveis meios.
A falta de orientações mais precisas a respeito da utilização da calculadora na sala de aula, a ausência de referências a respeito desta utilização em muitos dos manuais escolares e a escassa investigação, na nossa realidade, a respeito da sua utilização, não parecem contribuir para as tão necessárias mudanças (Mamede, 2001b).
De acordo com o relatório Matemática 2001 (APM, 1998), a calculadora já adquiriu uma utilização significativa nos 2.º e 3.º ciclos e no ensino secundário. Mas, no que respeita ao 1.º ciclo, do mesmo relatório pode concluir-se que a utilização da calculadora continua a ser bastante escassa, sendo quase sempre entendida apenas como instrumento verificador de resultados.
Existem vários factores que podem ser citados como inibidores do desenvolvimento da calculadora na escola. Mas, de entre estes pode certamente encontrar-se a disponibilidade de recursos, além da forma como as calculadoras são tratadas pelo currículo oficial, que refere a utilização da calculadora pela segurança que dá em cálculos morosos e pelas possibilidades de exploração e descoberta que pode permitir quando usada com imaginação, sem apresentar qualquer sugestão de exploração. Também muitos dos manuais escolares continuam a omitir, ou então a atribuir à calculadora apenas o papel de instrumento de verificação.
Na tentativa de explicar as causas desta fraca utilização da calculadora no 1.º ciclo, podem levantar-se algumas questões pertinentes, tais como: Será que isto se deve à formação dos professores? Será que se deve às concepções que estes têm da Matemática? Serão problemas de articulação das calculadoras com os conteúdos programáticos? Será a ausência de orientações programáticas promotoras de integração das calculadoras nas práticas da sala de aula? Talvez seja difícil encontrar uma causa, talvez existam múltiplas causas (Mamede, 2001a).
Vários autores sustentam a ideia de que a integração da calculadora na aula de Matemática pode ser altamente vantajosa, mesmo no início do Ensino Básico. Segundo Campbell e Stewart (1993), a resolução de problemas utilizando a calculadora pode encorajar o aluno a entender e representar o problema e permitir uma abordagem investigativa. Por exemplo, o aluno pode perante um problema ter de definir uma estratégia de resolução e em seguida, com a ajuda da calculadora, poderá implementar essa estratégia e avaliar a sua eficácia. Desta forma a calculadora poderá ser entendida como elemento promotor da autonomia na resolução de problemas. Ainda neste sentido, Fielker (1986) defende que as calculadoras estimulam a actividade matemática na medida em que promovem a criação de hipóteses, componente de uma actividade matemática mais aberta, na qual as crianças exploram problemas numéricos com pouca direcção do professor, com mais oportunidade para tomar decisões e maior liberdade para discutir.
Na resolução de problemas, a utilização da calculadora facilita a focalização de atenção no processo de resolução do problema, o que nem sempre acontece quando se fazem algoritmos por rotinas (Campbell e Stewart, 1993; Duea, Immerzeel, Ockenga e Tarr, 1980). Isto não dispensa uma boa compreensão dos conceitos nem a capacidade aritmética mental desenvolvida. Tal como referem o relatório Cockcroft (1985) e Abelló (1997), a disponibilidade da calculadora não reduz de alguma maneira a necessidade do seu utilizador compreender Matemática.
Na realidade, a tecnologia pode beneficiar a aprendizagem da Matemática quando utilizada adequadamente, o que pressupõe a existência de materiais de
apoio para o trabalho com a calculadora na sala de aula, mas também pressupõe que seja proporcionado aos professores formação e apoio para que possam usufruir com confiança e imaginação da calculadora.
Na tentativa de diluir um pouco as resistências à utilização da calculadora no 1.º ciclo, realizou-se um trabalho de investigação centrado neste instrumento auxiliar de cálculo.
O estudo
Atendendo às características dos problemas não rotineiros, à importância da comunicação entre os alunos e ao valor que as interacções podem ter nas tarefas não rotineiras, realizou-se um trabalho de investigação centrado na utilização da calculadora por alunos do 4.º ano, durante a resolução deste tipo de problemas.
Procurou-se perceber que papel os alunos atribuíam à calculadora, no contexto de resolução de problemas. Para tal tentou-se compreender de que forma os alunos utilizariam a calculadora na resolução de determinados problemas, que papel lhe atribuiriam e que benefícios poderiam tirar desta utilização.
O trabalho realizado incidiu sobre três grupos de alunos, com competências matemáticas distintas, o dos bons alunos, o dos alunos razoáveis e o dos alunos com mais dificuldades em Matemática. A selecção dos alunos e a sua distribuição pelos grupos foi da inteira responsabilidade da professora.
Embora aparentemente todos os alunos tivessem participado de todos os trabalhos realizados na aula, na realidade apenas os seis alunos seleccionados fizeram parte do estudo. No início dos trabalhos foi estabelecido um acordo entre os alunos, a professora da turma e a investigadora onde ficaram definidos os direitos e deveres de cada um destes intervenientes.
A recolha de dados foi feita com recurso a vídeo, registos áudio, registos escritos dos alunos e notas de campo da investigadora.
A análise dos dados centrou-se, fundamentalmente, no tipo de utilização que os alunos fazem da calculadora, nos contextos em que essa utilização é feita, nas estratégias de resolução de problemas desenvolvidas e nas interacções desenvolvidas entre os pares.
Descobriram-se alguns aspectos interessantes que permitem olhar a calculadora para além de instrumento de verificação.
Comentários aos resultados
De um modo bastante sucinto, concluiu-se que uma utilização da calculadora proveitosa para alunos deste nível de ensino parece ser conseguida em contextos muito específicos.
1. Os grandes benefícios da disponibilidade da calculadora na sala de aula pressupõem a existência de competências matemáticas desenvolvidas, como destrezas de cálculo mental e escrito, o sentido de operação e o valor posicional. Alunos pouco competentes nestes aspectos parecem não conseguir aproveitar as potencialidades da calculadora.
Para alunos algo competentes, dispor da calculadora no contexto de resolução de problemas parece ser proporcionar o desenvolvimento de capacidades consideradas fundamentais, inerentes às competências básicas mencionadas para este nível de escolaridade.
2. Alunos com sentido de operação e valor posicional algo desenvolvidos, e com algumas competências de cálculo, ainda que manifestem dificuldades ao nível da praticabilidade deste, parecem encontrar na calculadora uma forma de ultrapassar as limitações no cálculo provocadas pela falta de treino.
Aqui, não posso deixar de salientar que o objectivo das tarefas de resolução de problemas exploratórios não é exercitar destrezas de cálculo nem desenvolver competências nesse sentido. É antes promover situações que permitam desenvolver competências como ser capaz de estabelecer um raciocínio lógico e ser capaz de analisar um problema.
Assim, a calculadora parece dar, aos alunos com destrezas de cálculo pouco desenvolvidas, a possibilidade de desenvolverem competências básicas como o ser capaz de raciocinar logicamente, ou de resolver um problema (Duea, Immerzeel, Ockenga e Tarr, 1980). Na realidade, será justo não proporcionar a um aluno as condições para o desenvolvimento de tais capacidades apenas porque este manifesta falta de treino no cálculo?
3. O desenvolvimento da comunicação no contexto de resolução de problemas também aqui merece algum reparo. Pedir aos alunos que expliquem como pensaram ou como fizeram pode parecer uma tarefa difícil. Mas, progressivamente os alunos vão ultrapassando as dificuldades encontradas na verbalização dos processos de resolução ou do raciocínio.
No que respeita à comunicação oral, a presença da calculadora parece oferecer benefícios. Pois, na resolução de problemas entre pares, a existência de níveis de facilidade de cálculo entre alunos pode inibir a discussão de processos de
resolução, já que os alunos centram mais a atenção nos processos de cálculo do que no desenvolvimento de estratégias de resolução.
Disponibilizar a calculadora neste contexto pode significar promover um trabalho interactivo na definição e implementação de estratégias de resolução entre alunos com níveis de facilidade de cálculo distintos.
4. Em alguns casos, a calculadora permitiu ainda a alunos do mesmo par ir mais longe nas suas pesquisas. Pois, em vários momentos, alunos do mesmo par manifestaram preocupação em apresentar soluções distintas para o mesmo problema.
5. A utilização da calculadora parece estar associada a um sentimento de vergonha. Alguns alunos associam o uso da calculadora ao mau funcionamento das suas capacidades de cálculo. Talvez isto aconteça pelo facto de existir uma ideia negativa a respeito do seu uso, encarando-a como um instrumento que impossibilita o desenvolvimento de competências de cálculo e também pelo facto dos alunos estarem demasiado habituados a utilizar a calculadora apenas para verificarem resultados obtidos por outros meios.
Conclusão
Talvez valesse a pena proporcionar aos alunos um contacto mais frequente com problemas exploratórios, onde os processos de resolução não são normativos, onde os alunos têm de explorar estratégias para encontrar a solução, onde várias soluções podem ser igualmente correctas, onde a discussão com o parceiro é promovida e pode ser altamente proveitosa, onde a calculadora pode desempenhar um papel para lá de mero instrumento verificador.
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