MM805- Tópicos de Análise I. Blue Sky Catástrofe em Sistemas Dinâmicos Reversíveis e Hamiltonianos

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Blue Sky Cat´

astrofe em Sistemas

Dinˆ

amicos Revers´ıveis e Hamiltonianos

Luiz Fernando da Silva Gouveia-RA:153130

Prof. Dr. Ricardo Miranda Martins

MM805A - 2s/2014

1. Introduc¸˜ao

Antes de estudarmos sobre a teoria em torno do problema do Blue Sky Catástrofe (BSC ), devemos primeiro mencionar sobre a teo-ria de Catástrofes, idealizada por René Thom [11], que consiste ”ba-sicamente”em estudar como que pequenas mudan¸cas nos parâmetros iniciais geram comportamentos totalmente distintos

Na teoria de Catástrofes, damos um foco maior às informa¸cões qua-litativas de um fenômeno, pois tais informa¸cões nos dirão em quais condi¸cões o mesmo comportamento ocorre em problemas distintos. Logo, é natural que essa teoria seja aplicada no estudo de sistemas dinâmicos.

No nosso trabalho estudaremos sobre o fenômeno chamado Blue Sky Catástrofe, cuja terminologia foi proposta por R. Abraham, veja [1], em sistemas Hamiltonianos e Revers´ıveis apresentado por Devaney[3] em 1975. Em seu artigo, Devaney mostra que os sistemas Hamiltonia-nos e Revers´ıveis são um ambiente natural para a ocorrência da BSC , pois suas órbitas fechadas permancem na fam´ılia a um parâmetro de ´

orbitas fechadas. Neste trabalho não apresentaremos nenhum exemplo concreto de um sistema admitindo BSC , no entanto, pode-se encon-trar exemplos em [8] e em [5]. Neste último, de autoria de J. Henrard, é apresentado um exemplo de um sistema Hamiltoniano de dois graus de liberdade admintindo uma BSC , que se torna interessante por apre-sentar uma infinidade de mudan¸cas de estabilidade ao longo da fam´ılia das órbitas fechadas.

Dividiremos o trabalho em Preliminares no qual definiremos o nosso meio de estudo, isto ´e, os sistemas Hamiltonianos e Revers´ıveis e em seguida definiremos alguns conceitos e provaremos alguns resultados j´a

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com o intuito de mostrar o nosso resultado principal, ou seja, mostrar que sistemas Hamiltonianos e Revers´ıveis admitem uma BSC est´avel.

2. Preliminares

Defini¸c˜_{ao 1. Seja H : U ⊆ R}2 _{→ R}2 _{uma fun¸}_c˜_{ao C}2 _{e ∇H o seu}

res-pectivo gradiente. Um campo de vetores Hamiltoniano ´e um campo da forma

XH = J ∇H(x), x ∈ U,

onde J ´e a matriz de alguma forma simpl´etica.

Usualmente define-se campo Hamiltoniano como um campo da forma      ˙x = ∂H ∂y(x, y) ˙ y = −∂H ∂x(x, y)

Observa¸cão 2. Uma condi¸cão necessária e suficiente para que um sistema

˙x = f (x, y) ˙

y = g(x, y)

seja Hamiltoniano ´e que as fun¸c˜_{oes f : R}2 _{→ R}2 _{e g : R}2 _{→ R}2

satisfa¸cam

∂f

∂y(x, y) = − ∂g ∂x(x, y)

Note que este critério somente é válido quando a dimensão do espa¸co ´

e 2 ou quando estamos trabalhando com a forma simplética usual. Uma das principais propriedades de Sistemas Hamiltonianos é o seu fluxo preservar volumes, logo as singularidades hiperbólicas de um sis-tema Hamiltoniano só podem ser pontos de sela, pois uma singulari-dade atratora ou repulsora acarretaria na diminui¸cão ou no aumento do volume. A figura abaixo ilustra essas situa¸cões descritas.

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Defini¸c˜_{ao 3. Seja R : U ⊆ R}n _{→ φ(U ) ⊆ R}n um difeomorfismo C∞. Dizemos que φ ´e uma involu¸c˜ao se φ2 _{= Id}

U.

Teorema 4. (Teorema Cartan-Montgomery-Bochner) : Sega G um grupo compacto de difeomorfismos de uma variedade M de classe Ck_{. Suponha que cada difeomorfismo em G seja de classe de C}k_{. Ent˜}_ao

na vizinhan¸ca de um ponto fixo comum a todos os difeomorfismo em G, existe uma vizinhan¸ca de coordenadas de classe Ck _{tais que cada}

um dos difeomorfismo seja linear.

A demonstra¸c˜ao deste teorema pode ser encontrada em [2] ou [7]. Defini¸c˜_{ao 5. Seja X um campo vetorial em R}2n_{, X(0) = 0 e R : U ⊆}

R2n → φ(U ) ⊆ R2n uma involu¸c˜ao com dimF ix(R) = n. Dizemos que X ´e R-revers´ıvel se R0_{(x)X(x) = −X(R(x)) para todo x ∈ R}2n, onde F ix(R) = {x ∈ R2n; R(x) = x}.

Observa¸cão 6. A exigência da involu¸cão R ter fixo com metade da dimensão do espa¸co é bem espec´ıfico, pois assim conseguimos garantir que o campo seja compat´ıvel com um campo Hamiltoniano.

Em geral, a hipótese de R ser difeomorfismo não é obrigatória, tal hipótese é assumida apenas para podermos aplicar o Teorema de Cartan-Montgomery-Bochner e consequentemente facilitar os cálculos. Propriedades 1. a) O retrato de fase de um sistema revers´ıvel é simétrico com respeito a F ix(R).

Figura 1. Simetria do retrato de fase de um Sistema Revers´ıvel b) Se X(p) = 0, p ∈ F ix(R) então p não é atrator ou respulsor. O mesmo vale para órbitas periódicas que interceptam F ix(R).

c) Se X(p) = 0 e p ∈ F ix(R) ent˜ao X(R(p)) = 0

d) Se uma órbita regular γ intercepta F ix(R) em dois pontos distin-tos, então γ é uma órbita periódica simétrica.

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f ) Se γ é uma órbita periódica de X que não intercepta F ix(R), então R(γ) também é uma órbita periódica que não intercepta F ix(R).

Figura 2. Propriedades d) e f)

3. Blue Sky Cat´astrofe

Seja Xτ uma fam´ılia de campos vetoriais a um parˆametro

depen-dendo continuamente de um parˆametro real τ . Suponhamos τ < τ0,

e que Xτ possua uma ´orbita peri´odica fechada γτ dependendo

continua-mente tamb´em de τ . Dizemos que Xτ0 admite uma Blue Sky Cat´astrofe se o per´ıodo de γτ tende ao infinito conforme τ se aproxima de τ0.

Como já foi dito anteriormente, iremos estudar esse t´ıpico particular de bifurca¸cão em sistemas Hamiltonianos e Revers´ıveis. Para tais sis-temas, as órbitas fechadas permanecem sendo fam´ılias a um parâmetro de órbitas fechadas.

O objeitvo principal deste trabalho é mostrar que a bifurca¸cão do tipo Blue Sky Catástrofe ocorre de forma estável em sistemas Hamil-tonianos e Revers´ıveis.

4. ´Orbitas Sim´etricos de Sistemas Revers´ıveis

Denotaremos por φt o fluxo de X, que por simplicidade assumiremos

que é completo, isto é, φt é um difeomorfismo para cada t ∈ R. Uma

vez que DR(X) = −X ◦ R, segue que para cada t

(1) φt◦ R = R ◦ φ−t

Defini¸cão 7. Um ponto de equil´ıbrio p de X é chamado ponto simétrico se p ∈ F ix(R). Uma órbita γ de X é chamada simétrica se R(γ) = γ.

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Proposi¸c˜ao 8. Seja X um campo R-revers´ıvel e suponha que p, φt(p) ∈

F ix(R), com t 6= 0. Então, a órbita através de p é simétrica e periódica de per´ıodo 2t. Além disso, essas órbitas interceptam F ix(R) em dois pontos.

Demonstra¸c˜ao: De (1), temos

φt(p) = R(φt(p)) = φ−t(R(p)) = φ−t(p),

isto ´e, φ2t = p.

Para a segunda parte, note que

Rφs(p) = φs(p) ⇐⇒ φ−s(p) = φs(p).

Observa¸cão 9. Note que esta proposi¸cão nos diz que para encontrar-mos órbitas periódicas, basta olharmos apenas para o conjunto F ix(R), pois se X(p) 6= 0 então X não é tangente à F ix(R) em p. Por outro lado DR(X(p)) = X(p), o que contradiz a reversibilidade do sistema. Logo, para encontrarmos órbitas simétricas de X, basta olharmos para as auto-interse¸cões de F ix(R) sob o fluxo φt.

Proposi¸c˜ao 10.

1) Seja p um ponto cr´ıtico simétrico de X. Então, os autovalores de DX(p) aparecem em pares, µ e −µ. Se zero é um autovalor então terá multiplicidade dois.

2) Seja γ uma órbita fechada de X. Então, os multiplicadores ca-racter´ısticos de γ aparecem em pares λ e −λ. Se +1 é multiplicador caracter´ıstico então +1 terá multiplicidade dois.

Demonstra¸c˜ao:

Iremos demonstrar apenas 1), uma vez que a demonstra¸c˜ao de 2) ´

e an´aloga. Vamos denotar por A a matriz DX(p). Da reversibilidade temos AR = −RA, ou seja, A = −RAR−1 = −RAR. Da´ı,

det(A − λI) = det(−RAR − λI) = det(−(RAR + λI)) = det(A + λI). Dada γ uma órbita fechada simétrica de X, sejam p e q pontos de γ ∩ F ix(R). Em p e q considere se¸cões transversais R-invariante Σp

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e Σq respectivamente com R(Σp) = Σq. Seja agora ψ : Σq → Σp um

difeomorfismo local. Definimos ψ como a Aplica¸cão de Poincaré obtida através do fluxo passando por Σq até a interse¸cão com Σp

Defini¸cão 11. Uma órbita simétrica fechada é dita elementar se ψ(F ix(R)) é transversal à F ix(R) em p.

Defini¸cão 12. Seja γ uma órbita fechada simétrica passando por q ∈ F ix(R). Definimos como pseudo aplica¸cão de Poincaré a fun¸cão

ϕ = Dφ + Dφ−1.

Proposi¸cão 13. Seja γ uma órbita fechada simétrica de X. Então, λ ´

e um multiplicador caracter´ıstico de γ se, e somente se λ + λ−1 é um autovalor associado a pseudo aplica¸cão de Poincaré.

Observa¸cão 14. Esta proposi¸cão nos motra que para determinarmos os multiplicadores caracter´ısticos das órbitas, precisamos olhar apenas para os vetores tangentes a F ix(R).

5. ´Orbitas Simpetricas Homocl´ınicas

A partir de agora assumiremos que todo p é um ponto de equil´ıbrio hiperbólico do campo X. As variedades estáveis e instáveis de X em p são dadas por

WS(p) = {x ∈ R2n; φt(x) → p quando t → ∞}

WU(p) = {x ∈ R2n; φ−t(x) → p quando t → ∞}

Proposi¸cão 15. Seja p um ponto de equilibr´ıo hiperbólico simétrico de X. Então,

i) WS(p) e WU(p) são imersões de espa¸cos euclidianos de dimensão n.

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Demonstra¸c˜ao:

O item i) segue da teoria de variedades. O item ii) segue de R( lim

t→∞φt(x)) = limt→∞R(φt(x)) = limt→∞φ−tR(x) = W U_(p).

Defini¸cão 16. Uma órbita homocl´ınica γ é chamada simétrica se

i) existe q ∈ γ ∩ F ix(R) e

i) WU_{(p) ´}_{e transversal a F ix(R) em q.}

Defini¸cão 17. Uma órbita simétrica homocl´ınica γ é chamada de não degenerada se

dim(TγWS(p) ∩ TγWU(p)) = 1.

Antes de enunciarmos o teorema principal deste trabalho, enunciare-mos um importante resultado, conhecido como λ-Lema, que facilitar´a a demonstra¸c˜ao do resultado principal.

Lema 18. (λ-Lema) Seja M uma varieadade compacta C∞sem bordo, p ∈ M um ponto fixo hiperbólico para o difeomorfismo f ∈ Dif f1(M ). Se D é um disco transversal a variedade estável WS(p) em um ponto q ∈ WS(p), então dado r e reais positivos, existe N0 tal que para

todo n ≥ N0, a componente conexa de fn(D) ∩ Λ(WrU(p)) que cont´em

fn_{(p) est´}_{a − C}1 _pr´_{oximo de W}U

R(p), no qual WRU(p) ´e a variedade

instável de p de raio r e Λ(WrU(p)) é uma vizinhan¸ca de disntância

de WU r (p).

A demonstra¸c˜ao deste resultado pode ser encontrada em [4] ou [9]

Teorema 19. Seja γ uma órbita homocl´ınica não degenerada (simétrica) do campo X. Então, existe uma fam´ılia de órbitas fechadas γτ a um

parâmetro convergindo a γ. Além disso, o parâmetro τ > t pode ser tomado como o per´ıodo das órbitas fechadas e assim, teremos o per´ıodo tendendo ao infinito quando γτ tende à γ.

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Demonstra¸c˜ao:

Seja q um ponto de interse¸c˜ao de γ com F ix(R) e N uma vizinhan¸ca de q em F ix(R). Assim, segue que N ´e transversal a WS_{(p) em q.}

Seja V uma vizinhan¸ca de p na variedade local em p. Note que V intercepta F ix(R) transversalmente em p. Assim, toda vizinhan¸ca su-ficientemente C1_-pr´_{oxima `}_{a V intercepta F ix(R) em um ´}_{unico ponto}

pr´oximo a p.

Considere agora φt(N ) para t > 0. Pelo λ-Lema, φt(N ) se acumula

em WU(p). Em particular, dado > 0, existe T > 0 tal que, se t > T , ent˜ao φt(N ) cont´em uma vizinhan¸ca Nt C1-fechada a V . Logo,

Nt∩ F ix(R) é um único ponto xt. Tome então γt a órbita passando por

xt. Como φ−t(xt) ∈ N , segue da proposi¸cão (8) que γt é uma órbita

fechada sim´etrica. Assim, quando → 0, a fam´ılia {φ−t(xt)} → q e

t → ∞. Portanto, γt → γ.

6. Conclus˜ao

Após todo esse novo estudo, fica claro que podemos concluir que existe uma vizinhan¸ca O de sistemas Hamiltonianos e Revers´ıveis sa-tisfazendo que cada campo vetorial em O admite uma Blue Sky Catástrofe estável, isto é, que não pode ser perturbada.

Referˆencias

[1] Abraham, R., In fifty problems in dynamical systems, Dynamical Systems-Warwick, 1974, Springer-Verlag Lecture Notes, No 468, 1975.

[2] Bochner, S., Compact Groups of Differentiable Transformation, The Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 46, No. 3. (Jul., 1945), pp. 372-381.

[3] Devaney, R., Blue Sky Catastrophes in Reversible and Hamiltonian Systems, Tufts University, 1975

[4] Filho, J.R.A.V., Dinâmica Hiperbólica e Teoria Ergódica, Notas, IMPA. [5] Henrard, J., Proof of a Conjecture of E. Stromgrem , Celestial Mechanisc

7,1973,449-457.

[6] Martins, R. M., A Estrutura Hamiltoniana do Campos Revers´ıveis 4D, Dis-serta¸c˜ao de Mestrado, Unicamp, 2008.

[7] Montgomery, D., Zippin, L., Topological Transformations Groups, Intersci-ence, 1995.

[8] Gavrilov, N., Shilnikov, A., Example of a Blue Sky Catastrophe, Amer. Math. Soc. Transl. (2) Vol. 200, 2000

[9] Palis, J, On Morse-Smale dynamical systems, Topology 8,1969, 385-404. [10] Sotomayor, J., Singularidades de Aplica¸c˜oes Diferenci´aveis, IMPA, 1976. [11] Thom, R., Structural stability and morphogenesis (Transl. D. H. Fowler)