Representação de Números Inteiros com Sinal

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Fundamentos de Arquiteturas de Computadores

Representação de

Números Inteiros com Sinal

Profa. Débora Christina Muchaluat Saade

debora@midiacom.uff.br

Departamento de Ciência da Computação - UFF

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Roteiro

ü

Representação em Sinal e Magnitude

ü

Representação em Complemento

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Números Inteiros com Sinal

ü Com n dígitos binários, podemos representar 2n

valores diferentes de inteiros sem sinal.

ü Exemplo utilizando-se 3 dígitos:

• 000 0 • 001 1 • 010 2 • 011 3 • 100 4 • 101 5 • 110 6 • 111 7

(4)

Representação em

Sinal e Magnitude

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Representação em Sinal e Magnitude

ü O bit mais à esquerda é o sinal e os restantes

fornecem a magnitude do número (em binário).

ü Sinal:

• 0 para números positivos • 1 para números negativos

ü Exemplo com 8 bits:

• 00000101 = +5 • 10000101 = -5

ü Faixa de valores com n dígitos:

• -(2n-1-1) a + (2n-1-1)

ü Para n=4, teremos a faixa -7 a +7

Sinal Magnitude

n bits

n-1 bits 1 bit

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Representação em Sinal e Magnitude

ü Porque não é utilizado pelos processadores ?

• duas representações para o zero (+0 e -0):

– por exemplo, 0000 e 1000.

ü processo de adição e subtração complicado

Sinal Magnitude

n bits

n-1 bits 1 bit

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Representação em Sinal e Magnitude

ü Algoritmo de soma:

• Verificam-se os sinais dos números e efetua-se uma

comparação entre eles

• Se ambos possuem o mesmo sinal

– somam-se as magnitudes e o sinal do resultado é o mesmo das parcelas

• Se os números possuem sinais diferentes:

– identifica-se a maior das magnitudes e registra-se o seu sinal

• subtrai-se a magnitude menor da maior

• o sinal do resultado é igual ao sinal de maior

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Exemplo de SM com 6 bits e mesmo sinal

+ 10

+ 15

+ 25

001010

+ 001111

011001

- 18

- 4

- 22

1 10010

+ 100100

1 10110

Base 10 Base 2

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Exemplo de SM com 6 bits e sinal diferente

+ 15

-

4 + 11

001111

+ 100100

001011

- 18

+ 10

- 08

1 10010

+ 001010

101000

Base 10 Base 2

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Representação em Sinal e Magnitude

ü Algoritmo de subtração:

• Troca-se o sinal do subtraendo • Executa algoritmo de soma

ü Exemplo: • -18 - (+12)= -18 + (-12)

- 18

- 12

- 30

1 10010

+ 101100

1 11110

Base 10 Base 2

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Representação em Sinal e Magnitude

ü Processo de adição e subtração complicado

• Custo: 1 elemento para soma e outro para subtração • Velocidade: manipulação de sinal

Sinal Magnitude

n bits

n-1 bits 1 bit

(12)

Representação em

Complemento

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Representação em Complemento

ü Como representar números negativos no sistema

decimal com 3 algarismos ?

|---|---|---|---|--|

000 250 499 750 998 999

ü Divide o sistema em 2, utiliza uma metade para

positivos e a outra para negativos.

|---|---| |---|---|--|

000 250 499 500 750 998 999

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Representação em Complemento a 10

ü Como calcular o complemento?

• Positivos são os próprios números:

– 0 a +499 => 0 a 499

• Negativos são o complemento a 10 do número positivo

– -500 a -1 => 500 ao 999

ü Complemento a base = Bn-N onde n é o número de

algarismos que temos para representar um número.

• -500 = 103 - 500 = 1000 - 500 = 500 • -499 = 103 - 499 = 1000 - 499= 501 • -1 = 103 - 1 = 1000 - 1 = 999

(15)

Representação em Complemento a 10

ü Qual a vantagem ?

• Só precisamos somar números e resultado é sempre

representado corretamente. ü Exemplo de soma:

• -2 +3 = ?

• Complemento a 10 de -2 = 103 - 2 =998 • Complemento a 10 de +3 = 003

• somando 998+003=1001, descartando o 1 à esquerda,

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Representação em Complemento a 10

ü Para subtrair: • A - B = A + (-B) ü Exemplo: • -3 -5 = -3 + (-5) • -3 = 103 - 3 =997 • -5 = 103 - 5 =995

• 997 + 995 = 1992, retirando o 1 à esquerda temos o

resultado 992 que é negativo

• Para sabermos o valor fazemos o complemento • 103 - x = 992, x = 8

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Representação em Complemento a 2

ü Se existem n dígitos para representar o número:

• Se o número for positivo d_n-1=0

• Se o número for negativo d_n-1=1 e a representação é

2n_{-N onde N é a representação positiva}

|---|---| |---|---|

000 010 011 100 101 111

positivos | negativos

(18)

Representação em Complemento a 2

ü Com n dígitos para representar o número:

• Número 0 só tem 1 representação: 0...0

• Representação de números positivos: 1 a (2n-1-1) • Representação de números negativos: -1 a (-2n-1) • Faixa de valores: -2n-1 a (2n-1-1)

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Representação em Complemento a 2

ü Como representar um número em complemento a 2? ü Se o número for positivo

• d_n-1=0 • magnitude do número é d_n-2x2n-2 _{+ d} n-3x2n-3 + ... + d1x 21 + d0x20 ü Exemplo: • +7 utilizando-se 4 bits = 0111 • +27 utilizando-se 8 bits = 00011011

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Representação em Complemento a 2

ü Como representar um número em complemento a 2? ü Se o número for negativo

• C₂(-N)=2n-N, onde N é a representação sem sinal da

magnitude do número negativo

• C₂(-N)=2n-N=((2n-1)-N)+1 • Mas (2n-1)=011111..11 e

• (011111..11-N) é igual a inverter os bits de N

• Logo para achar a representação complemento a 2 de

números negativos, inverte-se o número na representação dele positiva e soma-se 1

(21)

Representação em Complemento a 2

• inverte-se o número na representação dele positiva e

soma-se 1

• Inverter significa trocar bits 0 e 1

ü Exemplo:

• Representação de -7 utilizando-se 4 bits:

– 7 em binário com 4 bits: 0111 – inverte(0111) = 1000

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Representação em Complemento a 2

• inverte-se o número na representação dele positiva e

soma-se 1

• Inverter significa trocar bits 0 e 1

ü Exemplo:

• Representação de -27 com 8 bits

– 27 em binário com 8 bits: 00011011 – inverte(00011011) = 11100100

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Representação em Complemento a 2

ü Dado um número representado em complemento a 2

com n bits, o que ele está representando na base 10? • N=(d_n-1d_n-2 ... d₁d₀)

ü O bit mais significativo é o bit de sinal

• Se d_n-1 é 0, o número é positivo dado por:

– N=d_n-2x2n-2 + d_n-3x2n-3 + ... + d₁x 21 + d₀20

ü Exemplo:

• n=4 bits

• N=0111 => N = +7₁₀ • N=0100 => N = +4₁₀

(24)

Representação em Complemento a 2

ü Dado um número representado em complemento a 2

com n bits, o que ele está representando na base 10? • N=(d_n-1d_n-2 ... d₁d₀)

ü O bit mais significativo é o bit de sinal

• Se d_n-1 é 1, o número é negativo.

ü Como achar que número ele representa ?

• C₂(C₂(-N))=2n - (2n-N) = N

ü Logo para descobrir a magnitude de um número

negativo representado em complemento a 2, inverte-se o número na repreinverte-sentação dele inverte-sem sinal e soma-se 1.

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Representação em Complemento a 2

ü Logo para descobrir a magnitude de um número

negativo representado em complemento a 2, inverte-se o número na repreinverte-sentação dele inverte-sem sinal e soma-se 1.

ü Ex.: O que representa 11100101 ?

• inv(11100101) = 00011010

• Soma 1 => 00011010 + 1 = 00011011 • Converte 00011011 para decimal => 27

• LEMBRAR DO SINAL – (número negativo) • Resultado -27

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Soma e Subtração em Complemento a 2

ü Soma: N1 + N2

ü Subtração: N1 - N2 = N1 + (- N2) e joga fora o vai um ü Ex.: Somar +11 com +21

+ 11

+ 21

+ 32

00001011

+ 00010101

00100000

Base 10 C2

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Soma e Subtração em Complemento a 2

ü Soma: N1 + N2 e joga fora o vai um ü Ex.: Somar +21 com -11

+ 21

- 11

+ 10

00010101

+ 11110101

1 00001010

Joga fora último 1

Base 10 C2

(-11) para C2: 00001011 Inv=11110100 +1 =11110101

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Soma e Subtração em Complemento a 2

ü Subtração: N1 - N2 = N1 + (- N2) e joga fora o vai um ü Ex.: Subtrair +21 de +11 = +11 – (+21) = +11 + (-21)

+ 11

- 21

- 10

00001011

+ 11101011

11110110

Base 10 C2 (-21) para C2: 00010101 Inv=11101010 +1 =11101011 11110110 Inv=00001001 +1 =00001010 (-10)

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Overflow

ü Overflow ocorre quando o número não pode ser

representado com o número de bits disponível.

ü Só ocorrerá overflow quando estivermos somando

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Overflow

ü Se temos 3 bits para representar números em complemento a 2, podemos representar os seguintes inteiros com sinal:

• 011 +3 • 010 +2 • 001 +1 • 000 0 • 111 -1 • 110 -2 • 101 -3 • 100 -4

ü Menor número negativo = -23-1=-4 ü Maior número positivo = 23-1-1=+3

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Overflow - Exemplos

ü Soma: N1 + N2 ü Primeiro caso: N1>0, N2>0:

+ 2

+ 1

+ 3

00

010 + 001

011

Base 10 C2 Ok!

+ 3

+ 1

+ 4

01

011 + 001

(-4) 100

_Overflow

(32)

Overflow - Exemplos

ü Soma: N1 + N2 ü Segundo caso: N1<0, N2>0:

+ 2

- 1

+ 1

11

010 + 111

001

Base 10 C2 Ok!

- 2

+ 1

- 1

00

110 + 001

111

Ok!

(33)

Overflow - Exemplos

ü Soma: N1 + N2 ü Terceiro caso: N1<0, N2<0:

- 2

- 1

- 3

11

110 + 111

101

Base 10 C2 Ok!

- 1

- 4

- 5

10

111 + 100

(+3) 011

_Overflow

(34)

Overflow

ü A=(a_n-1a_n-2...a₀) ü B=(b_n-1b_n-2...b₀) c_n c_n-1 a_n-1 ... a₀ + b_n-1 ... b₀ a_n-1 b_n-1 c_n-1 | Overflow ? | c_n# c_n-1 ? 0 0 0 | Não | Não 0 0 1 | Sim | Sim 0 1 0 | Não | Não 0 1 1 | Não | Não 1 0 0 | Não | Não 1 0 1 | Não | Não 1 1 0 | Sim | Sim 1 1 1 | Não | Não