Probabilidade Aula 13

(1)

0303200 – Probabilidade – Aula 13

Magno T. M. Silva

(2)

Quest˜

ao da P2 de 2017

◮ Um criador de coelhos compra filhotes a R$0,50 cada um e

ra¸c˜ao a R$500,00 por tonelada.

◮ Vende coelhos criados para o abate por R$3,00/kg para o

frigor´ıfico.

◮ Cada coelho come, durante sua fase de engorda (70 dias),

ra¸cão segundo uma distribui¸cão normal de esperan¸ca 7kg e desvio padrão 1kg, independentemente de seu peso final.

◮ O custo fixo de cria¸c˜ao dos coelhos ´e de R$1,00 por coelho

(água, energia elétrica, mão-de-obra, manuten¸cão, etc).

◮ Os coelhos ficam prontos para o abate com um peso vivo

m´edio de 2,0kg e variˆancia 0,012kg2

.

◮ Qual a probabilidade de um coelho escolhido ao acaso dar

(3)

Quest˜

ao da P2 de 2017 –

Resolu¸c˜

ao:

Do enunciado, temos ◮ Peso do coelho (PC): 2,0 ◮ Variância do kg do coelho (σ2(PC)): 0,012 ◮ Pre¸co do kg do coelho ($C): 3,00 ◮ Custo do filhote (CF): 0,50 ◮ Custo do kg ra¸cão ($R): 0,50 ◮ Custo fixo por coelho (FIXO): 1,00 ◮ Peso ra¸cão por coelho (PR): 7,0

(4)

Quest˜

ao da P2 de 2017 –

Resolu¸c˜

ao:

O lucro m´edio por coelho ´e dado por

E(L) = E($C × PC − $R × PR − CF − FIXO) = 3,00 × 2,0 − 0,5 × 7,0 − 0,50 − 1,00 = 1,0 Variˆancia do lucro

σ2(L) = $C2σ2(PC) + $R2σ2(PR) = (3,0)2_{× 0,012 + (0,50)}2_{× 1,0 = 0,3580} Assim, a distribui¸c˜ao do lucro ´e

(5)

Quest˜

ao da P2 de 2017 –

Resolu¸c˜

ao:

A probabilidade de dar lucro ´e

P (L > 0) = P L − E(L) σ(L) > 0 − 1 √ 0,3580 = P (Z > −1,6713) = 0,5 + P (0 ≤ Z ≤ 1,67) = 0,5 + 0,4525 = 0,9525

(6)

Quest˜

ao 2 – P2 de 2015

◮ Um equipamento tem tempo de vida T com distribui¸c˜ao

normal, valor esperado de 40 horas e desvio padr˜ao de 10 horas.

◮ Considere um conjunto desses equipamentos e suponha que os

tempos de vida dos equipamentos s˜ao vari´aveis independentes.

◮ Suponha que um equipamento ´e instalado e usado at´e falhar,

quando ent˜ao ´e substitu´ıdo por um novo.

◮ Vocˆe compra 5 equipamentos, cada um ao custo de $100,00.

Se os dois primeiros equipamentos utilizados durarem menos que 20 horas, o fornecedor lhe devolve o valor total pago ($500,00). Qual ´e a receita esperada do fornecedor?

◮ Assumindo que h´a 25 equipamentos em estoque, qual a

probabilidade de que se possa obter um tempo de vida superior a 1100 horas?

(7)

Quest˜

ao 2 – P2 de 2015 –

Resolu¸c˜

ao:

Do enunciado, sabe-se que T ∽ N (40, 102

) a) P (T < 20) = P Z < 20 − 40 10 = P (Z < −2) = 0,0228 A probabilidade dos dois primeiros equipamentos utilizados falharem ´e

P (T1< 20 ∩ T2< 20) = P (T1 < 20)P (T2 < 20) = (0,0228) 2

= 0,00052

(8)

Quest˜

ao 2 – P2 de 2015 –

Resolu¸c˜

ao:

b) O tempo total ´e uma v.a. dada por

TT = T1+ T2+ · · · + T25

que tem distribui¸c˜ao

TT ∽N (25 × 40, 25 × 102) = N (1000, 2500) A probabilidade de que se possa obter TT > 1100 ´e

P (TT > 1100) = P Z > 1100 − 1000_√ 2500 = P (Z > 2) = 0,0228

(9)

Quest˜

ao 3 – P2 de 2015

◮ Uma faculdade de administra¸c˜ao verificou, com base em sua

experiˆencia ao longo dos anos, que 1/3 dos alunos ingressantes concluem o curso.

◮ Com base nessa hip´otese aprova 450 alunos no vestibular, pois

considera que o n´umero ideal de alunos numa turma seja 150 alunos.

◮ Calcule a probabilidade de que mais de 160 dos 450

(10)

Quest˜

ao 3 – P2 de 2015

Vamos denotar

X : n´umero de alunos que concluem o curso X ∽ Bin(n = 450, p = 1/3) P (X > 160) = 1−P (X ≤ 160) = 1− 160 X x=0 450 x 1 3 x 2 3 450−x

Podemos usar a aproxima¸c˜ao da binomial pela normal, ou seja, P (X > 160) = 1 − P Z ≤ 160 + 0,5 − 150

p450(1/3)(2/3) !

(11)

Quest˜

ao 5 – P2 de 2015

◮ O n´umero de quilˆometros que um carro pode rodar sem que a

bateria descarregue possui uma distribui¸c˜ao exponencial com valor esperado 10.000 Km.

◮ Suponha que uma viagem de 5000 Km seja feita.

◮ a) Qual a probabilidade de que seja necess´ario trocar a bateria

durante a viagem, dado que a bateria foi usada por 1000 quilˆometros antes do in´ıcio da viagem?

◮ b) Qual seria essa probabilidade se a distribui¸c˜ao fosse

(12)

Quest˜

ao 5 – P2 de 2015 –

Resolu¸c˜

ao:

a) Exponencial com parˆametro λ = 1/10000. Vamos denotar

X : n´umero de km sem que a bateria descarregue P (X ≤ 5000 + 1000|X ≥ 1000) = P (1000 ≤ X ≤ 6000) P (X ≥ 1000) = 1 − e −6000 10000 − (1 − e− 1000 10000) e−100001000 = 1 − e −0,6_{− 1 + e}−0,1 e−0,1 = 1−e −0,5 b) P (X ≤ 6000|X ≥ 1000) = P (1000 ≤ X ≤ 6000) P (X ≥ 1000) = 3 4

(13)

Quest˜

ao Adicional

◮ As vari´aveis aleat´orias cont´ınuas X e Y representam

respectivamente a temperatura e a press˜ao (em uma escala normalizada) de um reator nuclear.

◮ A fun¸c˜ao densidade de probabilidade conjunta ´e dada por

f (x,y) =

k(x + y), 0 < x < 1 e 0 < y < 1 0, caso contr´ario.

◮ a) Determine o valor de k.

◮ b) Existe um dispositivo de seguran¸ca que desliga o reator

quando a soma da temperatura e da press˜ao ultrapassa o valor 1,5. Determine a probabilidade de desligamento do reator.

◮ c) As vari´aveis X e Y s˜ao independentes? Apresente uma

justificativa por meio de c´alculos.

◮ d) Calcule o coeficiente de correla¸c˜ao.

(14)

Quest˜

ao Adicional–

Resolu¸c˜

ao:

a) Para que f (x,y) seja uma f.d.p. conjunta, é necessário que Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ f (x,y)dxdy = 1 então k Z 1 0 Z 1 0 (x + y)dxdy = 1 ⇒ k = 1 b) P (X + Y > 1,5) = Z 1 0_,5 Z 1 1_,5−x (x + y)dydx = 0,2083

(15)

Quest˜

ao Adicional–

Resolu¸c˜

ao:

c) Para que X e Y sejam independentes ´e necess´ario que f (x,y) = fX(x)fY(y).

Vamos ent˜ao calcular as marginais fX(x) = Z 1 0 (x + y)dy = x + 0,5, 0 < x < 1 Analogamente, fY(y) = Z 1 0 (x + y)dx = y + 0,5, 0 < y < 1 O produto das marginais ´e igual a

fX(x)fY(y) = xy +

1

2(x + y) + 1

4 6= f(x,y) Portanto, X e Y n˜ao s˜ao independentes

(16)

Quest˜

ao Adicional–

Resolu¸c˜

ao:

d) Para isso, precisamos do valor médio e desvio padrão de cada variável e do valor de E(XY ). Como já calculamos as marginais, temos E(X) = Z 1 0 x x +1 2 dx = 7 12. E(X2) = Z 1 0 x2 x +1 2 dx = 5 12. σ(X) =pE(X2 ) − E(X)2 ₌ √ 11 12 . Analogamente, E(Y ) = 7 12 e σ(Y ) = √ 11 12

(17)

Quest˜

ao Adicional–

Resolu¸c˜

ao:

d) Utilizando a f.d.p. conjunta podemos calcular E(XY ) = Z 1 0 Z 1 0 xy (x + y) dxdy = 1 3 e

Cov(X,Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ) = 1₃ − 7₁₂ 2 = −₁₄₄1 Finalmente ρ(X,Y ) = Cov(X,Y ) σ(X)σ(Y ) = − 1 11

(18)

Quest˜

ao Adicional–

Resolu¸c˜

ao:

e) _{Para calcular a esperan¸ca condicional E(X|0 < Y ≤ 1/2),}

devemos primeiramente calcular a f.d.p. condicional. Assim

f_X|Y_{(x|0 < Y ≤ 0,5) =} Z 1/2 0 (x + y)dy Z 1/2 0 (y + 1/2)dy = 4x + 1 3 , 0 < x < 1 Assim, E(X|0 < Y ≤ 1/2) = Z 1 0 x 4x + 1 3 dx = 11 18

(19)

Teste 1 da P3 de 2018

A variável aleatória Y100 é obtida a partir da soma de 100 variáveis

aleat´orias independentes, ou seja,

Y100= X1+ X2+ · · · + X100.

Sabe-se que todas as vari´aveis Xi, i = 1, 2 · · · , 100 tˆem

distribui¸c˜ao uniforme no intervalo [a, b] com b > a. Uma

aproxima¸cão para a fun¸cão densidade de probabilidade de Y100 é

mostrada na figura abaixo.

Os valores de a e b s˜ao respectivamente iguais a:

a) 2 e 18 b) 1/√6π e 10 + 1/√6π c) 2π e 2π + 10 d) 7 e 13 e) 9,4 e 10,4 920 940 960 980 1000 1020 1040 1060 1080 y 0 0.01 (600 )-1/2 fY100 (y)

(20)

Teste 1 da P3 de 2018 –

Resolu¸c˜

ao:

Do gráfico de fY100(y), obtêm-se: ◮ a média (pelo eixo de simetria)

E(Y100) = 1000 ⇒ E(X_i) =

1000 100 = 10

◮ a variˆancia (pelo valor do m´aximo)

1 p2πσ2 (Y100) = _√ 1 2π300 ⇒ σ 2 (Y100) = 300 ⇒ σ 2 (Xi) = 300 100 = 3 Da distribui¸c˜ao uniforme sabe-se que

a = E(Xi) − √ 3σ(Xi) = 10 − √ 3 ·√3 = 7 b = E(Xi) + √ 3σ(Xi) = 10 + √ 3 ·√3 = 13

(21)

Teste 2 da P3 de 2018

A pre¸co da gasolina aditivada (Ga) no Brasil depende do valor do

pre¸co da gasolina comum (Gc), do etanol (Et) e dos aditivos (Ad),

seguindo a seguinte fun¸c˜ao

Ga= 0,7Gc+ 0,25Et+ 0,05Ad.

Sabe-se que os pre¸cos por litro dos componentes da gasolina aditivada podem ser modelados por vari´aveis aleat´orias

independentes com distribui¸cões normais com médias e variâncias mostradas na tabela abaixo. Os caminhoneiros pretendem fazer uma nova greve caso o pre¸co da gasolina aditivada ultrapasse R$7,00 o litro. A probabilidade de ocorrer uma nova greve dos caminhoneiros vale aproximadamente:

Componente Valor m´edio (R$) Variˆancia (R$)2

Gc 5,00 4,00/0,555

Et 4,00 4,00/0,555

Ad 10,00 4,00/0,555

(22)

Teste 2 da P3 de 2018 –

Resolu¸c˜

ao:

O pre¸co médio por litro da variável aleatória Gaé

E(Ga) = 0,7E(Gc) + 0,25E(Et) + 0,05E(Ad)

= 0,7(5,00) + 0,25(4,00) + 0,05(10,00) = 5,00 A variˆancia de Ga ´e σ2(Ga) = 0,7 2 σ2(Gc) + 0,25 2 σ2(Et) + 0,05 2 σ2E(Ad) = (0,72+ 0,252+ 0,052) 4,00 0,555 = 4,00 Assim, Ga∼ N(5,00; 4,00). Deseja-se calcular P (Ga> 7,00) = P Z > 7,00 − 5,00 2,00 = P (Z > 1,00) = 0,5 − 0,34134 = 0,15866.

(23)

Teste 3 da P3 de 2018

Experimentos com animais indicam que o tempo necessário para que um determinado remédio contra febre fa¸ca efeito segue uma distribui¸cão uniforme no intervalo de 20 a 50 (em minutos). Qual a probabilidade da febre de uma pessoa que tomou esse remédio durar mais de 40 minutos, sabendo-se que sua febre não cedeu 30 primeiros após ter tomado o remédio?

a) 1/4

b) 1

c) 2/3

d) 1/2

(24)

Teste 3 da P3 de 2018 –

Resolu¸c˜

ao:

Vamos denotar de X a variável aleatória que representa o tempo necessário para que o remédio contra a febre fa¸ca efeito. Deseja-se calcular

P (X > 40|X > 30) = P (X > 40)_{P (X > 30)} = 1/3 2/3 =

1 2.

(25)

Teste 1 da P3 de 2019

Sejam X e Y variáveis aleatórias cont´ınuas com fun¸cão densidade de probabilidade conjunta dada por

f (x,y) = 1

8(6 − x − y), 0 ≤ x ≤ 2 e 2 ≤ y ≤ 4 A probabilidade P(Y > 3|X = 1) vale

a) 3/4

b) 3/16

c) 1/2

d) 3/8

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Teste 1 da P3 de 2019 –

Resolu¸c˜

ao:

Vamos primeiramente calcular a marginal de x, ou seja fX(x) = Z 4 2 f (x,y)dy = 1 8 (6 − x)y −y 2 2 y=4 y=2 = 3 − x 4 , 0 ≤ x ≤ 2. Vamos agora calcular a fun¸c˜ao densidade de probabilidade

condicional de Y dado X = x, ou seja, fY |X(y|x) = f (x,y) fX(x) = 1 2 6 − x − y 3 − x . Assim, a probabilidade P(Y > 3|X = 1) ´e calculada como

P(Y > 3|X = 1) = Z 4 3 fY |X(y|1)dy = Z 4 3 1 4(5 − y)dy = 1 4 5y −y 2 2 4 3 = 3 8

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Teste 2 da P3 de 2019

O tempo de espera T em uma pizzaria de São Paulo depois que o pedido é realizado é uma variável aleatória uniformemente

distribu´ıda com m´edia E(T ) = 20 min e variˆancia σ2

(T ) = 64/3 min2. A Probabilidade de se esperar mais do que 24 min vale: a) 3/4 b) 3/16 c) 1/2 d) 1/4 e) 1/16

(28)

Teste 2 da P3 de 2019 –

Resolu¸c˜

ao:

Para uma v.a. uniformemente distribu´ıda no intervalo [a,b] vale a = E(T ) −√3σ(T ) e b = E(T ) +√3σ(T ). Assim, a = 20 −√3 √ 64 √ 3 = 12 min e b = 20 +√3 √ 64 √ 3 = 28 min. Ent˜ao P(T > 24) = 1 16(28 − 24) = 4 16 = 1 4.