OTIMIZAÇÃO DO PROBLEMA INTEGRADO DE DIMENSIONAMENTO E SEQÜENCIAMENTO DE LOTES NA INDÚSTRIA DE NUTRIÇÃO ANIMAL

OTIMIZAÇÃO DO PROBLEMA INTEGRADO DE DIMENSIONAMENTO E

SEQÜENCIAMENTO DE LOTES NA INDÚSTRIA DE NUTRIÇÃO ANIMAL

Eli Angela Vitor Toso Reinaldo Morabito

Departamento de Engenharia de Produção Universidade Federal de São Carlos – SP

13565-905, São Carlos, SP

(eli@dep.ufscar.br) (morabito@power.ufscar.br)

Resumo

Este trabalho apresenta um modelo de otimização para apoiar as decisões de dimensionamento e seqüenciamento de lotes na indústria de rações para nutrição animal. Um estudo de caso foi realizado em uma empresa do setor, localizada no interior de São Paulo, onde o problema pode ser considerado como monoestágio, capacitado e com tempos de preparação dependentes da seqüência produtiva. O problema foi modelado por programação linear inteira e resolvido por meio da linguagem de modelagem GAMS/CPLEX. Em alguns experimentos limitados com dados reais, os resultados gerados pelo modelo proposto foram melhores do que os utilizados pela empresa.

Palavras chave: Dimensionamento de lotes, Seqüenciamento da produção, Indústria de nutrição

animal.

Abstract

This paper presents an optimization model for supporting lot sizing and sequencing decisions in the industry of for animal nutrition. A case study was carried through in a company of this industry, located inland São Paulo, whose problem can be seen as single-period, capacitated and with setup time dependent of the production lot sequence. This work applies integer linear programming for modeling this problem, which is solving using of the modeling language GAMS/CPLEX. Experiments with actual data show that generated results are better than the practised ones for the company. Keywords: Lot sizing; Sequencing; Industry of animal nutrition.

1. Introdução

O cenário atual de crescente competitividade entre as empresas faz com que as mesmas tenham que, cada vez mais, atender prontamente as necessidades de seus clientes, otimizando a utilização dos recursos disponíveis. Neste contexto, cresce a importância das decisões tomadas no planejamento e controle da produção (PCP).

Na indústria de rações balanceadas para nutrição animal, um dos desafios para o PCP é o problema de dimensionamento de lotes (lot sizing) e o seqüenciamento dos mesmos. Grosso modo, o problema de dimensionamento de lotes nesta indústria consiste em determinar o que e quanto produzir, ajustando a capacidade produtiva às variações de demanda. Para tanto dispõe de duas alternativas viáveis: a utilização de horas extras e a antecipação da produção nos períodos de folga para a utilização de estoques. O seqüenciamento de lotes consiste em determinar como, em que ordem produzir os lotes, de forma a minimizar os tempos de preparação, que reduzem a capacidade produtiva (Johnson & Montgomery (1974), Hax & Candea (1984), Askin & Standridge (1993), Gershwin (1994) e Nahmias (1995)).

Os problemas de dimensionamento de lotes e seqüenciamento da produção, embora bastante relacionados, são freqüentemente tratados separadamente na literatura. Diversos modelos e abordagens de solução podem ser encontrados nas referências acima. No entanto, conforme Drexl & Kimms (1997) e Karimi et al (2003), a tendência mais recente é combinar o problema de dimensionamento

de lotes às decisões de programação da produção (lot-sizing and scheduling problems). Além destes autores, diversos trabalhos são encontrados na literatura nesta linha, como Fleishmann (1994), Salomon et. al (1997), Meyr (2000), Clark & Clark (2000), Staggemeier & Clark (2001), Meyr (2002), Araujo (2003), Araujo & Arenales (2000), Clark (2003), Luche & Morabito (2004), Armentano et al (1999), Rangel &Ferreira (2003).

Na prática, o seqüenciamento da produção geralmente é uma tarefa adicional ao processo de planejamento que é atribuída ao chão de fábrica. Para esta indústria em questão e para outras com processos similares, tratar estes problemas independentemente gera dificuldades para tornar a produção flexível às mudanças do mercado, é difícil obter para cada período uma combinação de soluções para os ‘tamanhos de lotes’ e ‘seqüência de lotes’ viável do ponto de vista da capacidade disponível e, simultaneamente, de atendimento dos prazos de entrega.

Neste trabalho é proposta uma abordagem para otimizar o problema integrado, utilizando um modelo de programação matemática para representar as decisões envolvidas. O artigo está organizado da seguinte maneira: na seção 2 é feita uma breve descrição do problema, com base no estudo de caso realizado numa empresa do setor. A seção 3 apresenta um modelo de programação linear inteira para representar o problema estudado. Para resolvê-lo, utiliza-se linguagem de modelagem GAMS (com o solver CPLEX) junto com alguns procedimentos para tentar reduzir os tempos computacionais. Na seção 4 são apresentados os resultados obtidos a partir de experimentos com dados reais, bem como a comparação com os resultados praticados pela empresa. Finalmente, a seção 5 discute conclusões e perspectivas para pesquisa futura.

2. Caracterização do problema

2.1 O processo produtivo

Este trabalho está baseado no estudo de caso da unidade produtora de suplementos de uma empresa do setor. Esta planta produz suplementos vitamínicos: sais minerais, núcleos, premixes e promotores para bovinos, eqüinos, suínos, aves, etc.

Grosso modo, o processo produtivo pode ser dividido em três etapas, conforme sintetizado na figura 1. A primeira etapa consiste na dosagem das matérias primas, feita mediante formulação pré-estabelecida pelo departamento técnico. Nesta etapa as matérias primas são pesadas separadamente. Conforme vão sendo dosados, os ingredientes são encaminhados para uma área chamada de ‘pré-mistura’, onde aguardam até que toda a formulação seja pesada.

FIGURA 1 Tela sinótica do processo de fabricação da unidade de suplementos.

Terminada a dosagem dos ingredientes, ocorre a etapa de mistura em três fases: a mistura a seco, a adição de líquidos e uma nova fase de mistura. Os tempos de processamento de cada fase de

SILOS SILOS Entrada de matéria prima Balança 1 ENSAQUE MISTURADOR SILOS Balança 2

mistura dependem do tipo de produto.

Finalmente, a mistura é descarregada no pós-misturador e encaminhada para a etapa de ensaque.

O processo de produção é intermitente e ocorre em bateladas, que se referem ao lote mínimo produzido em cada operação. A quantidade produzida em cada batelada de produção é limitada pelo tamanho do misturador.

Embora o processo produtivo tenha várias etapas, podemos considerá-lo monoestágio, pois as etapas produtivas estão dispostas de forma linear, o padrão de fluxo de uma batelada é contínuo e basicamente não existe estoque em processo. Isto facilita a modelagem matemática e a resolução do problema.

2.2 O dimensionamento e seqüenciamento de lotes na empresa estudada

A sazonalidade dos produtos faz com que a demanda varie muito entre os períodos do ano, tanto em relação às quantidades demandadas quanto em relação ao mix de produtos, ocorrendo picos na demanda em determinados períodos do ano. Para ajustar a capacidade produtiva às oscilações na demanda, a empresa prioriza a estratégia de utilizar horas extras nos períodos (meses) de pico ao invés de carregar estoques, pois existem riscos associados a perecibilidade dos produtos. Cabe salientar que esta decisão precede as decisões de dimensionamento e seqüenciamento de lotes, que têm um horizonte de planejamento mensal.

Para o dimensionamento de lotes, o departamento comercial primeiramente realiza uma pesquisa de campo, que resulta em um programa mensal de necessidades dos clientes. Este programa é desdobrado semanalmente pelos departamentos comercial e de PCP, resultando em uma previsão semanal. Ou seja, o horizonte de planejamento é mensal, e semanalmente as previsões (mensais) vão sendo desdobradas e reavaliadas, incluindo-se novos pedidos ou possíveis cancelamentos. Considera-se a capacidade disponível e a necessidade de utilização de horas extras. Com isso são determinados os tamanhos de lote a cada semana.

Uma vez determinados os ‘tamanhos de lotes’, o seqüenciamento dos mesmos é realizado no chão de fábrica. Como algumas formulações misturam diversos tipos de medicamentos e minerais, é necessário sequenciar os lotes de forma a evitar que produtos com agentes contaminantes deixem resíduos na linha de produção, comprometendo a qualidade do próximo lote. Para evitar isto há duas alternativas: procurar uma seqüência em que nenhum produto contamine os demais ou, quando isso não é possível, fazer uma limpeza nos equipamentos, o que resulta em um tempo de preparação adicional, que é dependente da seqüência produtiva.

No dimensionamento de lotes a capacidade produtiva é considerada em termos das horas disponíveis para produção no mês e de uma taxa média de produção por hora. Não é considerado o fato de que os tempos de preparação são dependentes da seqüência produtiva. Ou seja, diferentes programas resultam em diferentes seqüências, sendo que algumas podem demandar maior consumo de capacidade devido à necessidade de mais preparações, podendo inviabilizar alguns programas de produção. Portanto, a empresa freqüentemente tem dificuldades em coordenar de forma eficaz o dimensionamento de lotes com o seqüenciamento da produção.

3. Modelagem

O modelo a seguir considera as decisões de dimensionamento e seqüenciamento de lotes de forma integrada, num ambiente monoestágio, uma máquina, com tempos de preparação dependentes da seqüência. A capacidade da linha de produção é limitada pela capacidade do equipamento gargalo (no caso, o misturador). Diversos produtos disputam recursos limitados sob condições de demanda dinâmica e horizonte de planejamento discreto e finito. Conforme o gerente da fábrica, o objetivo principal é minimizar os custos de horas extras e os custos de manter estoques no período.

O modelo matemático que mais se aproxima de uma representação do presente problema é o GLSP-ST (General Lot Sizing Problem – Setup Times) proposto por Meyr (2000), que considera a perda de capacidade resultante dos tempos de preparação dependentes da seqüência. Hax & Candea (1984) apresentam um modelo de dimensionamento de lotes capacitado que representa bem as

considerações de utilização de horas extras para aumentar a capacidade produtiva, penalizando os custos de produção. Desta forma, o modelo a seguir é resultado de uma combinação e adaptação destes dois modelos, sob as seguintes considerações:

- A unidade de produção é uma batelada, independente do seu tamanho (em peso ou volume).

- As demandas por produto são agregadas e aproximadas pelos múltiplos dos tamanhos das bateladas; - Os produtos são agregados em famílias, onde cada família só tem produtos pertencentes ao mesmo

grupo de contaminação e com características comuns, como tempo de processamento e quantidade por batelada;

- Quando não existe risco de contaminação residual, o tempo de preparação entre um lote e outro é pequeno. Por simplicidade, tempos de preparação pequenos foram desprezados fazendo com que a matriz dos tempos de preparação seja esparsa.

Os índices do modelo são:

i família, i = 1, ..., N (número de famílias)

t período, t = 1, ..., T (número de períodos do horizonte de planejamento) s subperíodo, s = 1, ..., S (total de subperíodos em todos os períodos T)

Neste modelo o período t corresponde a uma semana e é dividido em uma quantidade fixa St, de subperíodos, que também pode ser interpretada como a quantidade máxima permitida de setups. Não existe sobreposição entre os subperíodos e seus tamanhos são variáveis de decisão, podendo inclusive ter comprimento zero. Se um subperíodo tem comprimento zero, o estado de preparação da máquina é conservado. Isto é, se depois de um subperíodo sem produção, ocorrer produção da mesma família, não é incorrido um novo tempo de preparação.

A seqüência de subperíodos consecutivos onde uma mesma família é produzida define um lote, e a quantidade produzida durante estes subperíodos, definem o tamanho do lote.

Os parâmetros do modelo são:

Ct tempo disponível (capacidade) no período t

pi tempo necessário para produzir uma unidade da família i lmi lote mínimo da família i (unidades)

hi custo de manter uma unidade de estoque da família i por um período t. cot custo unitário de hora extra no período t

stji tempo de preparação para mudar da família j para a família i dit demanda da família i no período t (unidades)

Ii0 estoque inicial da família i no começo do horizonte de planejamento (unidades)

xi0 indica se a linha está preparada para produzir a família i no começo do horizonte de planejamento (xj0 = 1) ou não (xj0 = 0)

ut limite máximo de horas extras permitido no período t As variáveis de decisão do modelo são:

Iit estoque da família i no fim do período t (unidades)

qis tamanho do lote da família i produzido no subperíodo s (unidades)

xis indica se a linha está preparada para a família i em s (xis= 1) ou não (xis= 0) yjis indica se ocorre troca das famílias j para i no subperíodo s (yjis=1) ou não (yjis=0) Ot quantidade de horas extras utilizada no período t

O seguinte modelo é proposto para representar o problema:

minimizar

∑∑

∑

= = =

+

N i T t T t t t it it

I

co

O

h

1 1 1 (1)

∑

∈ −

+

−

∀

=

t S s it is t i it

I

q

d

t

i

I

_{, 1}

,

(2)

∑∑

∑∑ ∑

= ∈ = = ∈

∀

+

≤

+

N i s S N i N j s S ji jis t t is i t t

t

O

C

y

st

q

p

1 1 1 (3)

(

t t

)

is t is i

q

C

u

x

i

t

s

S

p

≤

+

∀

,

,

∈

(4)

∑

=

∀

=

N i is

s

x

1

1

(5) s j i x x y_jis ≥ _j,s−₁+ _is −1 ∀, , (6)

(

x x

)

s i lm q_is ≥ _{i is} − _i,s−1 ∀ , (7)

{ }

s i x_is ∈ 0,1 ∀ , (8) is jis is it q y q I , , ≥0, inteiro

∀

i

,

j

,

s

,

t

para

i

≠

j

(9) t u O_t ≤ _t ∀ ≤ 0 (10)

A função objetivo (1) expressa o critério de desempenho procurado pela empresa, que é minimizar os custos de estocagem

∑∑

= = N i T t it it

I

h

1 1 e horas extras

∑

= T t t t

O

co

1

. Note que esta função objetivo não considera os custos de preparação, diferente dos modelos de HAX & CANDEA (1984) e MEYER (2000). Se existe capacidade disponível, é possível realizar preparações adicionais sem necessariamente incorrer em custos adicionais relevantes.

As restrições (2) são de balanceamento de estoque: a quantidade de estoque em mãos Iit de uma família i no fim da semana t deve ser igual a quantidade de estoque em mãos Ii,t-1 no início da semana, mais a somatória

∑

∈St

s is

q

das quantidades da família i produzidos nos subperíodos s da

semana t, menos a quantidade demandada dit da família i na semana t.

As restrições (3) se referem à capacidade produtiva, considerada em termos de tempo e correspondendo aos turnos trabalhados dentro da semana, mais as possíveis horas extras necessárias para atender a demanda do período. Os tempos de preparação referentes às trocas de famílias acarretam em perda da capacidade. Desta forma, temos que a somatória

∑ ∑

= ∈ N i s S is i t q p 1 dos tempos

necessários para a produção das famílias nos subperíodos, mais o tempo necessário

∑∑∑

= = ∈ N i N j s S jis ji t y st 1 1

para a preparação da linha toda vez que ocorrem trocas de famílias, não deve ser superior à quantidade disponível de tempo na semana (horas normais Ct), mais o número de horas extras necessárias Ot. Note que se a família i for produzida no subperíodo s, então o tamanho deste subperíodo é piqis, mais um eventual tempo de preparação stjiyjis (figura 2).

FIGURA 2 Esquema para ilustrar a capacidade produtiva (restrição 3).

As restrições (4) garantem que a produção de uma família i só pode ocorrer no subperíodo s do período t se a linha estiver preparada (limpa) para esta família neste subperíodo. As restrições (5) garantem que a linha só pode estar preparada para uma única família no subperíodo s.

(t) 0 stji piqis Ct Ct+ Ot j i (s) (t) 0 stji piqis Ct Ct+ Ot j i (s)

As restrições (6) relacionam os estados de preparação e os indicadores de mudança, ou seja, toda vez que há uma mudança na linha de produção de uma família i para uma família j, deve haver uma mudança no estado de preparação da linha. Note que se xi,s-1=1 e xjs=1, então (6) garante que

1 ≥

jis

y .

As restrições (7) impõem a produção de um lote mínimo lmi da família i no subperíodo s se a linha não estava preparada em s-1 (xi,s-1=0) e estava preparada em s (xi,s=1). Estas restrições são necessárias uma vez que a matriz de tempos de preparação não satisfaz a desigualdade triangular, ou seja, st_jk +st_ki ≥st_ji,∀i, j,k =1,_K,N, nem sempre é válido. Na prática este lote mínimo corresponde a pelo menos uma batelada (lmi=1), tanto do ponto de vista técnico quanto econômico é inviável produzir menos que uma batelada. Dependendo das necessidades específicas da empresa este valor pode ser aumentado, por exemplo, para facilitar o controle de qualidade dos lotes.

As restrições (8) e (9) são de não negatividade e integralidade das variáveis. Conforme mencionado, o estoque em mãos Iit da família i no período t deve ser não negativo, pois não são permitidos pedidos pendentes. A quantidade produzida qis da família i no subperíodo s, além de ser não negativa, deve ser uma variável inteira medida em número de bateladas.

Convém observar que, diferente do modelo de Meyer (2000), a variável yjis não é penalizada na função objetivo (1) do modelo acima. Quando não há capacidade disponível, é necessário utilizar horas extras que são penalizadas na função objetivo. Para esta condição os tempos de preparação devem ser otimizados de forma a minimizar o impacto das horas extras no custo total. Admite-se que isto faz com que as variáveis yjis resultem binárias, sem necessidade de impor esta condição nas restrições (9). Esta suposição é verificada nos experimentos computacionais da próxima seção. Isto também pode ser explicado pelo seguinte argumento: dada uma solução ótima com valores yjis fracionais, sempre é possível encontrar uma solução alternativa, ou seja, com o mesmo valor da função objetivo, fixando as variáveis yjis em 0, quando 0< yjis<1, e em 1, quando yjis>1.

Finalmente, as restrições (10) referem-se aos limites de horas extras. Estas horas são regulamentadas pelas leis trabalhistas e podem ser negociadas pelos sindicatos de cada indústria. No presente estudo de caso, além deste limite, existem outros relacionados às metas de planejamento estratégico da empresa. Admite-se o limite ut como o máximo de horas extras permitidas por lei, uma vez que elas são minimizadas na função objetivo (1).

4. Resultados

Nesta seção são apresentados os resultados obtidos com o modelo (1)-(10). Para resolvê-lo, foi utilizada a linguagem de modelagem algébrica GAMS com o solver CPLEX 7. Para realização dos experimentos computacionais foi utilizado um micro-computador com processador AMD Atlhon 1333mhz com 512mb de memória RAM e sistema operacional Windows XP.

Os parâmetros para aplicação do modelo consistem em dados reais da empresa, referentes a um mês de produção. Foram considerados 4 períodos (semanas) para o horizonte de planejamento, com um total de 21 famílias (i,j=21) podendo ser demandadas semanalmente (St=21). A formulação resulta em cerca de 40660 variáveis (das quais 1764 são inteiras e 1764 são binárias) e 40748 restrições. Nos diversos testes computacionais realizados observou-se que, após certo tempo, as soluções encontradas não apresentam melhoria significativa. Por isso um limite para o tempo de processamento do modelo GAMS/CPLEX foi arbitrariamente fixado em 12 horas. Os parâmetros para o modelo, bem como o resultado completo da pesquisa, são encontrados em Toso (2003).

Aplicando o modelo GAMS/CPLEX com os parâmetros da empresa, sem qualquer tolerância no gap de otimalidade, obtivemos um plano de produção com custo de 8230 unidades monetárias após 12 horas de processamento. Comparada ao limitante inferior (calculado pelo modelo), esta solução encontra-se a, no máximo, 63,96% do valor ótimo, isto é, o gap com o limitante superior é grande.

Foram realizados testes canalizando a variável yjis, ou seja, impondo um limite superior igual a 1, e testes declarando a variável yjis como binária. Ao executar o modelo GAMS/CPLEX, obtivemos a mesma solução (sem garantia de otimalidade) nas duas situações, com um custo de 5505 unidades monetárias e um gap relativo de 46,11% em relação ao limitante inferior, após 12 horas de processamento. Nestes experimentos observamos que a variável ainda assume valores 1, mesmo

quando não ocorre preparação.

Outros experimentos foram realizados penalizando as variáveis yjis na função objetivo, na tentativa de acelerar a convergência para a solução ótima. No entanto, os resultados não melhoraram dentro do limite de 12 horas de processamento. Na tentativa de encontrar resultados melhores, foram realizados os seguintes testes:

ESTRATÉGIA A. Foram realizados alguns experimentos incorporando-se desigualdades válidas ao modelo. Primeiramente incorporou-se dois grupos de restrições que, de acordo com Fleischmann & Meyr (1997), reduzem o espaço de soluções (sem perda de otimalidade) e contribuem para evitar algumas redundâncias do modelo:

t i j i j ji j i s i j s i j

y

t

s

f

l

y

,

(

2

),

,

, , ,, , , 1 , ,

≥

∀

=

+

K

∑

∑

≠ − ≠ (11) t t j jis iis i t t s i

C

u

p

y

y

j

t

s

f

l

q

_,

≤

(

+

)

/

*

(

2

−

∑

_,,−1

−

)

∀

,

,

=

(

+

1

),

_K

,

(12) onde, ft é o primeiro subperíodo do período t

lt é o último subperíodo do período t.

As restrições (11) ordenam a seqüência de preparações ao longo dos subperíodos (de cada período t), começando pelos subperíodos que envolvem troca de famílias ( 1

, , =

∑

≠i j i j jis y ), e deixando para o final os subperíodos sem troca de famílias ( 0

, , =

∑

≠i j i j jis

y , ou seja, com yiis = 1), eventualmente sem produção. As restrições (12) evitam a produção de uma família em dois subperíodos consecutivos (de cada período t). Note que isto é equivalente a produção desta família num único subperíodo de duração maior. Por exemplo, a produção da família j no subperíodo s-2, seguida da produção da família i nos subperíodos s-1 e s, implica em: yji,s-1 = 1 e yiis = 1; logo, a restrição (12) resulta em:

0 ≤

is

q . Ou seja, esta restrição impede que ocorra a produção da mesma família i nos dois subperíodos consecutivos s-1 e s.

Para avaliar se as restrições (11) e (12) melhoram a qualidade das soluções obtidas, estas foram incluídas no modelo (1)-(10). Neste experimento o resultado obtido depois de 12 horas de processamento não melhorou a solução já encontrada pelo modelo (1)-(10), pelo contrário, apresentou uma solução pior, conforme mostrado na tabela 5.

Como as variáveis yjis podem assumir valores positivos, mesmo quando não ocorra efetivamente uma preparação (conforme discutido anteriormente), isto pode comprometer a eficácia das restrições (11) e (12). Para tentar contornar esta questão, propomos a seguinte desigualdade válida (13):

s

i

x

y

_is N j jis

,

1

∀

≤

∑

= (13)

De acordo com esse grupo de restrições, se a linha não está preparada para o produto i no subperíodo s (xis=0), então não pode ocorrer troca de produtos j para i no subperíodo s (ou seja,

0

1 ≤

∑

=

N

j yjis ). Nos experimentos realizados, as restrições (13) (com yjis declarada como binária) melhoraram sensivelmente a solução do modelo (1)-(10), conforme mostrado na tabela 5.

ESTRATÉGIA B. Na tentativa de melhorar a solução do modelo (1)-(10), outros testes foram realizados seqüenciando apenas o primeiro período, relaxando a preparação dependente nos períodos t2, t3 e t4, e diminuindo suas capacidades. Para isto, no modelo GAMS/CPLEX alteramos as restrições correspondentes às restrições (4), (5), (6) e (7) de maneira que elas se tornaram válidas

apenas para o primeiro período t1 e aos seus respectivos subperíodos.

Com esta alteração no modelo GAMS, nos períodos t2, t3 e t4 é feito apenas o dimensionamento dos lotes, sem seqüenciar a produção. Para considerar o tempo gasto nas preparações, diminuímos a capacidade de tempo disponível para produção no tempo equivalente a uma preparação por período. Outros experimentos foram feitos reduzindo a capacidade em mais de uma preparação por período. Observou-se nestes testes que as soluções encontradas são bastante sensíveis as penalizações feitas na capacidade.

ESTRATÉGIA C. Finalmente, foram realizados testes relaxando a condição de integralidade da quantidade produzida qis. A solução gerada foi simplesmente arredondada para uma solução inteira factível, ou seja, os valores fracionários foram aproximados para valores inteiros, avaliando o impacto nos custos (veja discussão adiante). Deste último teste foram obtidos os melhores resultados, como pode ser observado na tabela 5.

Tabela 5. Comparação das soluções obtidas após 12h de processamento.

Estratégia F. Obje tivo (custo) Gap de otimalidade*

Modelo inicial 8230 u.m. 63,96%

Modelo com y canalizada 5505 u.m. 46,11%

Modelo com y binária 5505 u.m. 46,11%

A. Incluindo inequações

Inequações (11) e (12) 10058 u.m. 70,51%

Inequação (13) 4039 u.m. 26,55%

Inequações (11), (12) e (13) 4135 u.m. 28,25%

B. Sequenciando somente t1

Menos 1 preparação por período 5769 u.m. 21,24%

C. Relaxando a integralidade de qis 3481 u.m. 15,86%

* Gap relativo ao limitante inferior

A qualidade das soluções varia bastante de estratégia para estratégia. Convém salientar que os gaps de otimalidade da tabela 5 não são comparáveis entre si. Ou seja, como os grupos de restrições do modelo são diferentes para as estratégias A, B e C, o limitante inferior calculado pelo CPLEX é diferente em cada estratégia. Portanto, apenas a função objetivo pode ser comparada, uma vez que não é alterada em nenhuma das estratégias.

Tabela 6. Resultado gerado pelo modelo GAMS.

t 1 t 2 t 3 t 4

s i qis s i qis s i qis s i qis

1 fam12 1 22 fam21 52,33 43 fam14 1 64 fam3 24

2 fam21 35 23 fam8 29 44 fam13 1 65 fam17 1

3 fam7 15 24 fam11 6 45 fam9 32 66 fam9 1

4 25 fam10 57 46 fam10 64 67 fam3 1

5 fam9 40 26 fam5 15 47 fam7 1 68 fam11 1

6 fam20 9 27 fam13 1 48 fam14 19 69 fam10 79

7 fam17 7 28 fam15 1 49 fam11 5 70 fam9 51

8 fam5 25 29 fam17 1 50 fam2 9 71 fam11 1

9 fam16 1 30 fam3 16 51 fam17 1 72 fam11 3

10 fam17 1 31 fam21 1 52 fam5 2 73 fam14 19

11 fam8 29 32 fam9 32 53 fam4 1 74 fam2 1

12 fam17 1 33 fam12 1 54 fam21 65 75 fam17 2

13 fam3 9 34 fam14 15 55 fam10 1 76 fam8 52

14 fam2 2 35 fam17 1 56 fam7 10 77

15 fam14 12 36 57 fam8 32 78 fam13 1

16 fam11 2 37 fam7 1 58 fam11 1 79 fam21 11,67

17 38 fam19 2 59 fam3 9 80 fam7 1

18 fam10 58 39 60 fam17 1 81 fam5 5

19 fam17 1 40 fam21 3 61 fam12 1 82 fam21 1

20 fam12 1 41 fam17 1 62 fam17 1 83 fam7 10

21 fam15 1 42 fam7 15 63 fam7 1 84 fam19 4

setup

setup

No primeiro período (t1) a demanda é completamente atendida, e ainda é produzido para estoque 5 unidades da família 20. Para produzir a seqüência gerada pelo modelo é necessário fazer apenas uma preparação neste período. A capacidade de tempo total prevista para este período é de 62,17 horas (60,5 horas para produção mais 1,67 horas para a preparação).

No segundo período (t2) a demanda é atendida totalmente pelas quantidades produzidas, e ainda prevê a produção para estoque de 1 unidade da família 19 e 15,333 unidades da família 21. A seqüência deste período também necessita de apenas uma preparação, portanto o tempo total previsto é de 63,27 horas.

No terceiro período (t3) o plano de produção gerado atende completamente a demanda do período, exceto pela família 19 que utiliza 1 batelada do estoque, e pela família 20 que utiliza 4 bateladas produzidas anteriormente. Ainda é programada a produção de 19 bateladas de estoque para a família 21. Para produzir a seqüência planejada para este período não é preciso realizar nenhuma preparação, a capacidade de tempo necessária para produção é de 64 horas.

Finalmente, no quarto período, onde a demanda prevista é superior à capacidade produtiva do período, a demanda é atendida pelas quantidades produzidas mais 1 batelada estocada da família 20 e 34,333 bateladas em estoque da família 21. Da mesma maneira que no período anterior a produção é seqüenciada de forma que não é necessário realizar nenhuma preparação. O tempo total para produção também é de 64 horas.

Este plano de produção não prevê a utilização de horas extras em nenhum período. Isto implica que o custo resultante deste plano de produção (3481 u.m.) corresponde apenas aos custos de manter estoques.

Esta solução viola um importante aspecto do problema real que consiste na condição de integralidade da quantidade produzida (qis), entretanto, podemos aproximá-la de uma solução inteira factível e avaliar seu impacto nos custos. Observe na figura 1 que nesta solução a integralidade da variável foi violada apenas para a família 21 nos períodos t2 e t4, com quantidades previstas de 53,333 e 12,667, respectivamente. Na prática podemos produzir 54 bateladas em t2 e 12 em t4, acarretando

t1 t2 t3 t4 64,18 61,41 67,98 78,24

em um custo extra de mais 0,667 bateladas estocadas por dois períodos, o que acarretaria em um acréscimo de 595 u.m. no custo do plano inicial. Outra solução seria produzir 53 bateladas em t2 e 13 bateladas em t4. Isto acarretaria em uma redução no custo de estocagem de 0,333 bateladas estocadas por dois períodos, entretanto, como a capacidade do quarto período é restritiva, seria necessária a utilização de horas extras, resultando em um acréscimo de 562 u.m.

O programa de produção da empresa consiste em produzir a cada semana, apenas a demanda prevista para a mesma (chase strategy) (Nahmias, 1995), incorrendo na utilização de horas extras. A empresa aposta nesta estratégia, pois considera que as incertezas em relação à demanda são bastante grandes.

Quanto ao seqüenciamento, conforme descrito na seção 2, ele não é planejado no programa inicial, ficando a cargo do chão de fábrica. Através das ordens de fabricação reportadas da empresa, sabemos que a produção deste mês foi seqüenciada de maneira que foram necessárias quatro preparações no período t1, três em t2, quatro em t3 e duas em t4. Considerando o tempo necessário para produzir a demanda em cada semana, mais o tempo gasto nas preparações, sabemos que o tempo total (em horas) necessário por semana é de:

Analisando o programa de produção utilizado pela empresa com os mesmos parâmetros de custo do modelo GAMS/CPLEX, temos que, o programa da empresa resulta num custo extra de produção de 15809 unidades monetárias, referentes à utilização de horas extras. Para mais detalhes desta análise, o leitor pode consultar Toso (2003). Note que o programa de produção gerado pelo modelo GAMS/CPLEX, comparado ao programa de produção inicial da empresa, consegue uma redução substancial no custo total de horas extras e estocagem de 77,5%.

Este custo da solução do modelo é significativamente menor porque, além de antecipar a produção nos períodos onde existe capacidade ociosa, o modelo encontra seqüências de produção melhores, ou seja, com menos preparações. Cabe salientar que o programa de produção da empresa é cauteloso em relação ao pico de demanda previsto para o final do mês, ou seja, a programação da empresa aposta que ele não vai ocorrer. Se isto acontecer de fato, a estratégia de produção da empresa pode ser melhor. Entretanto, esta cautela da empresa em relação às incertezas da demanda pode ser contemplada no modelo por meio de análise de sensibilidade, alterando-se os parâmetros de demanda por valores menos otimistas e executando o programa para diversos cenários.

5. Conclusões e perspectivas para pesquisa futura

No problema de dimensionamento e seqüenciamento de lotes na indústria de rações para nutrição animal, o objetivo é encontrar um plano de produção que atenda a demanda sem atrasos, otimizando a utilização dos recursos disponíveis. Na prática este problema é resolvido em duas etapas, o que gera dificuldades para tornar a produção flexível às mudanças do mercado e para obter soluções (para os tamanhos e seqüência de lotes) viáveis do ponto de vista da capacidade disponível e do atendimento dos prazos de entrega. Desta forma, um dos desafios do PCP é coordenar de forma eficaz estas decisões.

A abordagem proposta neste trabalho trata o problema de forma integrada, propondo um modelo de programação linear inteira para representar as decisões envolvidas e resolvendo-o pelo software GAMS/CPLEX. Experimentos realizados com dados reais mostram que esta abordagem é capaz de gerar resultados melhores do que os utilizados pela empresa. Desta forma, o modelo parece ser apropriado para apoiar as decisões de dimensionamento e seqüenciamento de lotes na indústria rações para nutrição animal. Um inconveniente desta abordagem é o esforço computacional requerido pelo solver CPLEX para resolver o modelo, requerendo ordem de horas de um microcomputador.

(exatos e aproximados) alternativos para tratar o modelo, que garantam encontrar boas soluções em pouco tempo computacional (por exemplo, ordem de minutos). Tais métodos podem combinar técnicas de decomposição do modelo, relaxação de restrições e variáveis, procedimentos de fixação de variáveis, além de heurísticas construtivas, buscas locais e metaheurísticas. Devido às incertezas em relação à demanda, uma aplicação mais efetiva desta abordagem pode ser alcançada com a utilização do conceito de horizonte rolante.

Referências

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