UM ESTUDO SOBRE DIVERSIFICAÇÃO NA BOLSA DE VALORES DE SÃO PAULO

UM ESTUDO SOBRE DIVERSIFICAÇÃO NA BOLSA DE VALORES DE SÃO PAULO

Autores: André Luiz Oda, Maria Carlota Morandin Senger e Alexandre Noboru Chára Resumo

O artigo estuda a redução de risco que poderia ter sido obtida através da diversificação na Bolsa de Valores de São Paulo, no período de dois anos compreendido entre 30 de abril de 1996 a 30 de abril de 1998, comparando o resultado de uma estratégia simples de diversificação contra os resultados apresentados pelos fundos mútuos de investimento em ações no mesmo período. O resultado mostra que um portfolio aleatório de 14 ações teria sido suficiente para apresentar retorno superior à média dos fundos mútuos de investimento em ações, sem no entanto incorrer em risco maior.

Introdução

Os efeitos da diversificação em uma carteira de investimentos constituem o cerne da Moderna Teoria de Portfolios, originada a partir dos estudos de Markowitz (1952). Por outro lado, o Modelo de Precificação de Ativos Financeiros (CAPM - Capital Asset Pricing Model), proposto por Sharpe (1964) postula que, na ausência de informações privilegiadas, o investidor racional avesso ao risco deve construir seu portfolio tomando como base sempre o índice de mercado, utilizando o ativo livre de risco para ajustar suas preferências de risco e retorno.

No entanto, muitos estudos empíricos demonstraram que grande parte da redução de risco decorrente da diversificação em um portfolio de ações pode ser obtida com um número relativamente pequeno de títulos1. Como colocam Elton e Gruber (1977, p.415), este fato possui implicações importantes na organização do mercado de gestão de recursos de terceiros pois, se os investidores podem obter carteiras efetivamente diversificadas simplesmente escolhendo aleatoriamente um número pequeno de ativos, então os administradores de portfolios devem justificar sua existência mostrando que são capazes de apresentar performance superior ao mercado, fato esse contestado pela grande maioria dos estudos sobre avaliação de desempenho de gestores de carteiras.

Assim, o objetivo deste trabalho é determinar, para o mercado de ações negociadas na Bolsa de Valores de São Paulo (Bovespa), qual a relação entre o número de ações incluídas no portfolio e o a redução de risco decorrente de uma maior diversificação. A fim de verificar os resultados decorrentes da utilização de uma estratégia simples de diversificação, será efetuada uma comparação entre o desempenho de carteiras aleatórias construídas simplesmente adotando-se uma estratégia ingênua de diversificação e o resultado apresentado pelos fundos de investimentos em um período de dois anos.

1

Diversificação

O conceito de diversificação está relacionado ao fato dos preços dos ativos financeiros não se moverem de modo exatamente conjunto, ou seja, não serem perfeitamente correlacionados. Desse modo, quando combinamos investimentos em diversos ativos diferentes, uma variação em um preço individual pode ser compensada por variações complementares nos outros, reduzindo-se assim a variação total do portfolio. Assim, o risco de uma carteira não é uma simples média ponderada dos desvios-padrões dos ativos individuais, dependendo também das relações entre os movimentos desses ativos.

O risco que pode ser eliminado através da diversificação é denominado risco próprio, ou não-sistemático, em contraposição com o risco não-sistemático, também conhecido como risco de mercado ou não-diversificável, que influencia o comportamento de todos os preços e portanto afeta todos os investidores, não importando o número de ativos que possuam.

Se por um lado, como coloca Farrel (1983, p.33), “acrescentar ativos, especialmente aqueles com menores covariâncias, deve ser um objetivo na construção de portfolios”, a utilização de um número maior de ativos normalmente acarreta custos de transação e operação maiores pois, além de ser mais barato negociar lotes maiores da mesma ação, os custos de análise, seleção e custódia de títulos são maiores quanto maior o número de papéis diferentes.

O artigo seminal de Markowitz (1952) enfatizou a importância da diversificação em uma carteira de ativos e mostrou como, “em portfolios com um grande número de ativos correlacionados, as variâncias diminuem de importância quando comparadas com as covariâncias” (Markowitz, 1991, p.102). A fórmula para a variância de um portfolio com investimento igual em cada um dos ativos apresentada nesta obra (p. 111) demonstra isso claramente pois vemos que, se utilizarmos um número muito grande de ativos, o primeiro termo da equação tende a zero, e a variância do portfolio tende à média das covariâncias entre todos os ativos do mercado:

média a covariânci N 1 N N s variância das soma portfolio do variância = ₂ + − × (1)

O desenvolvimento dessa expressão também pode ser visto em Elton e Gruber (1977), que, ao contrário dos estudos empíricos que os precederam, derivaram uma expressão analítica para a relação entre o tamanho de um portfolio e seu risco:

Partindo da variância de um portfolio de N ações: σp iσi i N i j i j j j i N i N x x x A A 2 2 2 1 1 1 = + = = ≠ =

∑

∑

∑

cov( , ) (2)

Podemos obter uma carteira diversificada simplesmente escolhendo um N suficientemente grande e dividindo nosso capital igualmente entre os títulos, ou seja, fazendo:

Nesse caso, a variância do portfolio pode ser expressa como: σp σ p N i i j j j N i N N N A A 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 =    +   = = ≠ =

∑

∑

∑

cov( , ) (3) Lembrando que para N ativos temos N(N-1) pares de covariâncias podemos expressar a covariância média por:

[

]

[

]

E A A A A N N A A N N E A A i j i j j j N i N i j j j N i N i j cov( , ) cov( , ) ( ) cov( , ) ( ). cov( , ) = − ⇔ ⇔ = − = ≠ = = ≠ =

∑

∑

∑

∑

1 1 1 1 1 1 1 1 (4)

E a variância média pode ser escrita como:

[ ]

E N i i i N σ σ 2 2 1 =

∑

= ₍₅₎ Substituindo (4) e (5) em (3) temos:

[ ]

[

]

σ_p σ_{i i j} N E N N N E A A 2 2 2 1 1 1 = ⋅ + ⋅ ( − ⋅) cov( , )

[ ]

_[

_]

σp σ i i j E N N N E A A 2 2 1 = +( − )⋅ cov( , )

Assim, observamos claramente que, quando N aumenta, a primeira parcela da variância do portfólio (representativa dos riscos próprios dos ativos) tende a zero porém a segunda permanece.

[ ]

_[

_{] [}

_]

limN p limN lim cov( , ) cov( , )

i N i j i j E N N N E A A E A A →∞ = →∞ + →∞ − ⋅      = σ2 σ 2 1 (6)

o que demonstra que mesmo para N muito grande sempre existe uma variância residual no portfólio, variância essa que tende à média das covariâncias entre os ativos.

Sharpe (1995, p. 212) consegue um resultado semelhante utilizando um modelo de índice único onde o retorno de um ativo é dado por:

E, supondo rf e αi constantes, sua variância é:

σi β σi M σ_εi

2 = 2 2 + 2

(8) Nesse caso, o retorno de um portfólio de N ações é dado por:

r x i R r p i i i N M f i = + = ⋅ − +

∑

(α β ( ) ε ) 1 (9) r x x i i R r x i p i i i N i N M f i N i = + = =

∑

⋅ − + =

∑

α β

∑

ε 1 1 1 ( ) (10) r_p =α_p +β_p⋅(R_M −r_f)+ε_p (11) E, novamente assumindo r_p e α_p constantes temos:

σ_p2 =β σ_p2 2_M +σ2_εp

(12) Considerando cov( ,ε εi j)=0 , ∀ ≠i j, a variância de εp se reduz a:

σ_εp σ _iε_i σ_ε ε ε σ_ε i N i i i N i j j j N i N i i i N x x x 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 =    _ = + = = = = ≠ = =

∑

∑

∑

∑

cov( , )

∑

(13)

E, assim, a variância do portfolio pode ser expressa como:

σp iβi σ_ε N i i N x i x i 2 2 2 2 1 1 = =         + ₌

∑

∑

(14)

Novamente, vamos construir portfolios com distribuições iguais entre os ativos:

σp βi σ_ε N i N N i i N 2 2 ₂ 2 1 1 1 1 = =         +    =

∑

∑

(15) E, observando que:

[ ]

E N i i i N β β =

∑

=1 , e (16)

[ ]

E N i i i N σ σ ε ε 2 2 1 =

∑

= (17)

Podemos substituir (16) e (17) em (15) obtendo:

[ ]

[ ]

σ_p E β_i σ_εi NE

2 = 2 + 1 2

(18)

Tomando limite para N → ∞ constatamos que, a exemplo de desenvolvimento anterior a parcela proveniente dos riscos próprios dos ativos tende a zero. Nesse caso, porém, fica claro que a parcela remanescente, que não pode ser eliminada através de diversificação, está intimamente ligada ao índice de mercado (risco sistemático).

Evidências Empíricas

Evans e Archer (1968), medindo o risco de um portfolio pelo desvio-padrão de seus retornos, realizaram uma série de simulações para carteiras obtidas aleaoriamente e plotaram a média dos desvios contra o número de ativos do portfolio. Além disso, examinaram o intervalo de confiança para o desvio-padrão, de modo a levar em consideração que o investidor irá possuir apenas um dos portfolios possíveis para cada número de ativos. Procedendo desse modo, chegaram à conclusão que um portfolio não deve conter mais que 10 ativos, pois o impacto marginal na variância decorrente do acréscimo de um 11° ativo é desprezível. Levy (1979), critica a validade desse critério, evidenciando a necessidade de levar-se em consideração também a distribuição dos retornos decorrente de cada tamanho de portfolio.

Fisher e Lorie (1970) estudaram os efeitos da diversificação nas ações da New York Stock Exchange no período 1926-65, medindo os efeitos de diferentes tamanhos de carteiras no retorno e risco do portfolio. Além disso, compararam as diferenças decorrentes de uma estratégia de investimento completamente aleatória, que permitisse concentração em segmentos industriais, contra uma estratégia na qual a concentração não seria permitida, chegando à conclusão que não há diferenças significativas entre ambas. Concluem seus estudos dizendo que “portfolios contendo oito ações possuem distribuições extremamente semelhantes àquelas dos portfolios contendo um número maior de ações, (...) exceto pelas caudas após o quinto e o nonagésimo centis” (p.116).

Statman (1987) utiliza como referência para o portfolio de mercado o S&P500, ressaltando que este índice é ponderado por valor, não possuindo portanto pesos idênticos para cada ação, e diferencia as taxas livres de risco para captação e aplicação de recursos, assumindo um spread de 2% a.a. entre ambas. Construindo uma relação entre os custos de transação e os benefícios de acrescentar mais uma ação no portfolio, conclui que um portfolio alavancado na taxa livre de risco deve possuir pelo menos 30 ações, enquanto um portfolio consevador deve apresentar pelo menos 40 ações. Ressalta ainda que a observação de portfolios individuais sugere que os investidores não possuem carteiras bem-diversificadas.

O estudo compreende o período de dois anos entre 30 de abril de 1996 a 30 de abril de 1998. Para a realização da pesquisa foram selecionadas as 187 ações negociadas na Bolsa de Valores de São Paulo (Bovespa) que apresentaram pelo menos uma negociação em cada mês dentro desse período, sendo que os dados referentes às cotações foram obtidos através do sistema Economática. Este número representa quase 50% da totalidade dos papéis negociados na Bovespa, sendo superior ao número de ações presentes nos principais índices acionários brasileiros.

Os fundos de investimentos em ações foram selecionados do sistema Invest News da Gazeta Mercantil, tendo sido escolhidos aqueles que permaneceram durante todo o período do estudo. Desse modo, a amostra de fundos apresenta o viés de sobrevivência discutido em Brown et al. (1992), muito embora esse viés não desqualifique a validade das principais conclusões, como será discutido adiante.

Para construção das carteiras aleatórias, considerou que o investimento será homogeneamente distribuído entre todos os ativos. Embora Green e Hollifield (1992) tenham discutido com propriedade que portfolios eficientes geralmente exibem pesos com distribuições heterogêneas, mostrando quais são as condições necessárias para que portfolios bem-diversificados sejam também eficientes, Elton e Gruber (1977, p.417) consideram que o investimento utilizando pesos iguais é ótimo quando o investidor não possui informações sobre as variâncias e covariâncias dos retornos futuros e, mesmo que o investidor consiga prever estas variáveis, o investimento homogêneo representa o limite superior de risco que o investidor irá incorrer.

Resultados

Inicialmente, foram calculadas para todas as ações, as médias, variâncias e o desvio-padrão das taxas de retorno mensal de cada uma, além de todos os pares de covariâncias. Os valores obtidos são apresentados a seguir:

Tabela 1 - Parâmetros da população (187 ações)

Média Desvio-padrão

Retorno mensal 2,74% 3,74%

Risco 16,15% 6,51%

Variância 0,0303 0,0277

Covariância 0,0042 -x-

A seguir, utilizando a expressão análitica apresentada por Markowitz (1991) e seguindo a metodologia desenvolvida por Elton e Gruber (1977), obteve-se a relação entre a variância esperada para um porfolio de n ações construído de modo aleatório com base na população de ações descrita anteriormente. A tabela completa é mostrada no Anexo A e inclui também a redução de risco que pode ser obtida por um portfolio em relação à variância esperada para o investimento em um único ativo:

Figura 1 - Redução de risco decorrente da diversificação

Conforme pode-se observar pela tabela, para o conjunto das ações selecionadas, um portfólio com apenas duas ações já apresentará em média quase a metade (56,9%) da variância esperada para uma ação individualmente. O efeito, no entanto, reduz-se rapidamente conforme aumentamos o número de ações na carteira, atingindo um máximo de 85,7% quando tomamos o conjunto de todas as 187 ações.

Com a finalidade de estudar-se os resultados decorrentes de adotar-se uma estratégia de diversificação simples, foram construídas 105 carteiras com investimento homogêneo em 14 ações distintas, escolhidas aleatoriamente utilizando-se a função “AleatorioEntre()”, disponível no Microsoft Excel. Os sorteios foram realizados sem reposição. O tamanho do portfolio (14 ações) foi escolhido em função de permitir uma redução de 80% da variância esperada em relação ao investimento em uma única ação, além de proporcionar um nível de risco semelhante ao dos fundos mútuos de investimento em ações para o mesmo período, como será discutido adiante.

O resultado obtido para as amostras assim constituídas foram:

Tabela 2 - Parâmetros obtidos para as carteiras aleatórias (105 carteiras)

Média Desvio-padrão

Retorno mensal 2,79% 1,03%

Risco 7,74% 0,99%

Novamente podemos observar os ganhos decorrentes da diversificação pois, embora o retorno esperado para o portfolio seja muito semelhante ao esperado para uma única ação (como não poderia deixar de ser), o desvio desse retorno é muito menor, o que pode ser observado tanto pela redução da dispersão dos retornos como pelo risco médio das carteiras, sensivelmente menor que o risco de um único ativo. Notamos ainda que a variância média obtida para as carteiras aproximou-se fortemente da prevista pela equação de Markowitz.

Para comparar os resultados de nossa estratégia de diversificação vis-a-vis outras alternativas de investimento no mercado de ações, realizamos uma análise dos fundos mútuos de investimento em ações no mesmo período, obtendo os seguintes resultados:

Tabela 3 - Parâmetros obtidos para os fundos de ações (78 fundos)

Média Desvio-padrão

Retorno mensal 2,37% 1,10%

Risco 7,80% 0,99%

Variância 0,0618 0,0015

Como constatamos, embora o nível de risco do investimento em fundos seja muito semelhante ao do investimento em nossas carteiras aleatórias, o retorno esperado obtido por nossa estratégia de investimento é superior ao que pode ser obtido em média pelos fundos de ações. De fato, uma aplicação de R$1.000,00 em 30 de abril de 1996 em um fundo de ações escolhido aleatoriamente levaria a um resgate de R$1.755,75 em 30 de abril de 1998, enquanto a escolha de uma carteira aleatória de 14 ações permitiria um resgate de R$1.933,89. A tabela a seguir sumariza as principais estatísticas descritivas referentes aos retornos dos fundos e das carteiras aleatórias:

Tabela 4 - Estatísticas descritivas: retornos dos fundos x carteiras aleatórias

Fundos Carteiras Média 0,023731133 0,027861695 Erro padrão 0,001240789 0,001005741 Mediana 0,022169292 0,027636535 Desvio padrão 0,010958351 0,010305776 Variância da amostra 0,000120085 0,000106209 Curtose 1,276371509 0,126468157 Assimetria 0,631789289 0,019977625 Intervalo 0,063051698 0,05493723 Mínimo -0,006956438 0,001932718 Máximo 0,056095259 0,056869948 Contagem 78 105 Nível de confiança(95,0%) 0,002470729 0,001994419

A próxima figura apresenta a posição dos fundos e das carteiras em um gráfico risco-retorno, assim como a de alguns índices referenciais:

Figura 2 - Gráfico Retorno x Risco

Como podemos constatar, é muito difícil distinguir visualmente a diferença entre os resultados apresentados pelos fundos de investimento daqueles que seriam obtidos através de nosso critério aleatório de criação de carteiras.

A fim de identificar se houve superioridade de um conjunto de carteiras em relação ao outro, realizamos os testes estatísticos sugeridos pelo princípio da dominância:

(1) Dados dois portfolios de mesmo retorno, o investidor irá preferir aquele que apresenta menor risco; e

(2) Para dois portfolios de mesmo risco, o investidor irá preferir o de maior retorno. Assim, foram testadas as seguintes hipóteses:

         =       A A C C 0 : H σ µ σ µ          ≠       A A C C 1: H σ µ σ µ

H0: retorno dos fundos = retorno das carteiras aleatórias H1: retorno dos fundos < retorno das carteiras aleatórias E

H0: risco dos fundos = risco das carteiras aleatórias H1: risco dos fundos < risco das carteiras aleatórias

Utilizando a análise multivariada de variância com 1 fator fixo (tipo de carteira: fundo ou carteira aleatória), obtivemos os seguintes resultados:

Tabela 5 – Análise de variância multivariada

Poder do teste 0,75 η2 _0,047 (effect size) Lambda de Wilks 0,95 F(2;180) 4,404 P-value 0,014

Utilizando o “teste-z: duas amostras para média” disponível nas ferramentas de análise do Microsoft Excel, obtivemos, para um nível de confiança de 95%, os seguintes resultados:

Tabela 6 - Teste de hipótese para a média dos retornos

Retorno Fundos Carteiras

Média 0,023731133 0,027861695

Variância conhecida 0,0001201 0,0001062

Observações 78 105

Hipótese da diferença de média 0

z -2,586063891

P(Z<=z) uni-caudal 0,004853978

z crítico uni-caudal 1,644853

Tabela 7 - Teste de hipótese para a média dos riscos

Risco Fundos Carteiras

Média 0,077972169 0,077438804

Variância conhecida 0,0000982 0,000099

Observações 78 105

Hipótese da diferença de média 0

z 0,359445569

P(Z<=z) uni-caudal 0,359630954

z crítico uni-caudal 1,644853

Observando os resultados, concluímos que, para um nível de confiança de 95%, podemos afirmar que através da análise multidimensional, a hipótese H0 é rejeitada. As análises unidimensionais confirmam esse teste, já que obtemos que o retorno médio das carteiras é superior ao retorno médio dos fundos de ações, não sendo possível no entanto afirmar que os

Mostrando-se as distribuições das taxas de retorno e dos riscos em histogramas, as diferenças tornam-se mais visíveis:

Conclusões

O trabalho evidenciou que, para o mercado brasileiro, as oportunidades de redução de risco decorrentes de uma estratégia simples de diversificação em 14 ações apresentariam resultados superiores aos demonstrados pelos fundos mútuos de investimentos em ações no período de 30 de abril de 1996 a 30 de abril de 1998.

Os resultados estão de acordo com a maioria dos estudos anteriores sobre diversificação, que mostraram a possibilidade de obter-se uma carteira diversificada utilizando-se um número relativamente pequeno de títulos. Além disso, fornece evidências sobre a eficiência do mercado acionário brasileiro, mostrando que os administradores dos fundos de investimentos em ações não seriam capazes de apresentar performance ajustada ao risco superior ao mercado.

Novas linhas de pesquisa podem ser decorrentes da aplicação dessa pesquisa em períodos de tempo diferentes, utilizando-se outros conjuntos de investimentos ou outras metodologias de avaliação de performance de carteiras, além de outras medidas para o risco.

Referências Bibliográficas

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STATMAN, Meir. How many stocks make a diversified portfolio? Journal of Financial and Quantitative Analysis, vol. 22, no. 3, p.353-363. Sept. 1987.

Anexos

Anexo A: Número de ativos versus variância esperada

Tabela 6 - Efeito da diversificação

n Variância Esperada Redução

1 0,030303452 0,0% 2 0,017244877 43,1% 3 0,012892019 57,5% 4 0,01071559 64,6% 5 0,009409733 68,9% 6 0,008539161 71,8% 7 0,007917324 73,9% 8 0,007450947 75,4% 9 0,007088208 76,6% 10 0,006798018 77,6% 11 0,006560589 78,4% 12 0,006362732 79,0% 13 0,006195314 79,6% 14 0,006051814 80,0% 15 0,005927446 80,4% 20 0,00549216 81,9% 50 0,004708646 84,5% 100 0,004447475 85,3% 187 0,004325967 85,7%