TEOREMA DE TAYLOR: APLICAÇÃO DA FÓRMULA DE TAYLOR A EXTREMOS E CONVEXIDADE

UNIVERSIDADE

FEDERAL DO

R

ECÔNCAVO DA

BAHIA

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS ETECNOLÓGICAS

BACHARELADO EM CIÊNCIAS EXATAS ETECNOLÓGICAS TRABALHO DE CONCLUSÃO DECURSO

T

EOREMA DE

T

AYLOR

: A

PLICAÇÃO DA

F

ÓRMULA

DE

T

AYLOR A

E

XTREMOS E

C

ONVEXIDADE

Vanlline Pimentel Ressurreição

Cruz das Almas - BA

T

EOREMA DE

T

AYLOR

: A

PLICAÇÃO DA

F

ÓRMULA

DE

T

AYLOR A

E

XTREMOS E

C

ONVEXIDADE

Vanlline Pimentel Ressurreição

Trabalho de conclusão de curso apresentado ao curso de Bacharelado em Ciências Exatas e Tec-nológicas do Centro de Ciências Exatas e Tecno-lógicas da Universidade Federal do Recôncavo da Bahia, como parte dos requisitos para a ob-tenção do título de graduação.

Orientador: Prof

o

Ms.c. Gilberto da Silva Pina

Cruz das Almas - BA

T

EOREMA DE

T

AYLOR

: A

PLICAÇÃO DA

F

ÓRMULA

DE

T

AYLOR A

E

XTREMOS E

C

ONVEXIDADE

Vanlline Pimentel Ressurreição

Trabalho de conclusão de curso apresentado ao curso de Bacharelado em Ciências Exatas e Tecnológicas do Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas da Universidade Federal do Recôn-cavo da Bahia, como parte dos requisitos para a obtenção do título de graduação.

Banca Examinadora:

Orientador:____________________________________________________________ Profo _{Ms.c. Gilberto da Silva Pina - UFRB}

Membro:______________________________________________________________ Profo Ms.c. Erikson Alexandre Fonseca dos Santos - UFRB

Membro:______________________________________________________________ Profo _{Ms.c. Elias Santiago de Assis - UFRB}

Aos meus pais Vania e Valmir, ao meu irmão Wagner, ao meu namorado Fabricio e à minha família com muito amor e carinho.

"Felizes aqueles que se divertem com problemas que educam a alma e elevam o espírito."

AGRADECIMENTOS

Agradeço primeiramente a Deus por ter me dado saúde e força para superar as dificuldades e por ter iluminado o meu caminho nesta caminhada.

Agradeço à minha mãe Vania, meu porto seguro, companheira de todos os momentos e fonte inesgotável de estímulo, apoio e compreensão. Agradeço pela determinação e luta para que este momento pudesse se concretizar. Muitas vezes deixava de satisfazer as suas vontades para satisfazer às minhas. Muito obrigado mãe, amo muito você!

Agradeço ao meu pai Valmir, que no decorrer desta trajetória se fez ausente. Meu maior de-sejo é que pudesses estar vivenciando este grande momento da minha vida, mas estás presente, agora, na minha lembrança e no amor que sinto por ti, o qual nunca morrerá. Penso no quão feliz estarias neste momento e sinto como se me abraçasses, como se dissesses o orgulho que sentes de mim, encorajando-me a caminhar sempre adiante. A ti, o eterno, sincero e inabalável amor que me motivou a continuar sem tua saudosa presença.

Agradeço ao meu irmão Wagner, pelo amor e carinho, pois foste e sempre será meu espelho e meu exemplo de pessoa.

Agradeço a Fabricio, meu namorado, pelo carinho, pela atenção, pelo ombro amigo nos momentos difíceis, pela paciência, pois muitas vezes suportou minha chatice sem ter culpa de nada. Te agradeço pelo amor incondicional, pois esse é o meu alicerce ao qual me permite lutar. Te agradeço pela admiração, pela disposição em ajudar e pela generosidade, pois está sempre disposto a ajudar no que for necessário, sendo capaz de abrir mão de algumas coisas para me ajudar.

Agradeço à minha família e amigos pelo amor, incentivo e pelo contínuo apoio durante este período, bem como fora dele.

Agradeço ao meu orientador, professor Gilberto Pina, pelo suporte no pouco tempo que lhe coube, pelas suas correções e incentivos, pelas conversas e dicas, por toda a dedicação e disponibilidade.

Agradeço a banca examinadora que humildemente aceitou o meu convite.

Agradeço aos professores e servidores do Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas da Uni-versidade Federal do Recôncavo da Bahia, particularmente aos professores da Área de Mate-mática e Estatística pela inestimável colaboração à minha formação acadêmica e pessoal, so-bretudo, aos professores Erikson Alexandre, Eleazar Madriz e Alex Santana, por toda a expe-riência e conhecimento compartilhados e/ou instigados tão necessários e tão válidos, e pelas valiosas conversas, pelo imenso apoio, do qual me faltam palavras que possam expressar ta-manha gratidão.

Enfim, a todos os que, de alguma maneira, contribuíram para a conclusão de mais esta fase em minha vida, os meus sinceros agradecimentos.

RESUMO

N

este trabalho estudaremos o Teorema de Taylor, bem como a aplicação da Fórmula de Taylor a extremos e convexidades.

Dada uma função real a valores reais f , derivável até ordem n numa vizinhança de um ponto a pertencente ao seu domínio, o polinômio de Taylor de ordem n de f em a é definido como sendo a (única) função polinomial de grau menor ou igual a n que tem "contato até ordem n" com f em a, isto é, que coincide com f em a e cujas derivadas de ordens menores ou iguais a n coincidem com as de f em a.

Pn(x) = f(a) + f′(a)(x−a) + f”_2!(a)(x−a)2+...+ f n_(a)

n! (x−a)

n_.

Neste trabalho, estudaremos que um tal polinômio Pn(x) existe e é único, e que, num

sen-tido a ser precisado, é o polinômio de grau menor ou igual a n que melhor aproxima f numa vizinhança de a. Os principais resultados a serem apresentados são os teoremas relativos às fórmulas de Taylor com resto de Lagrange e com resto infinitesimal. Ademais, mostraremos a aplicabilidade de tal teorema na Matemática, como a busca de extremos e convexidade de funções.

ABSTRACT

I

n this work study Taylor ’s theorem, and the application of Taylor Formula, and the appli-cation and convexities.

Given a real function of the real values f , differentiable up to order n in a point a belonging to your domain neighborhood, the Taylor polynomial of order n of f in a is defined as with an ( unique ) polynomial function of degree less than or equal to n which has "contact order to n” with f on a, that is, that matches f in a, and whose derivatives of orders less than or equal to n coincide with those of f a.

Pn(x) = f(a) + f′(a)(x−a) + f”_2!(a)(x−a)2+...+ f n_(a)

n! (x−a)

n_.

In this paper, we study such a polynomial Pn(x)exists and is unique, and that in a sense to

be specified, is the polynomial of degree less than or equal to n that best approximates f in a neighborhood from a. The main results to be presented are the theorems relating to the Taylor formula with remainder in Lagrange and infinitesimal rest. Furthermore, we show the applica-bility of such a theorem in Mathematics, as the search for extreme and convexity of functions.

SUMÁRIO

Introdução 11

1 Séries Numéricas 13

1.1 Séries Numéricas . . . 13

1.2 Critérios de convergência e divergência para séries de termos positivos . . . 19

1.2.1 Critério de Comparação . . . 19

1.2.2 Série absolutamente convergente . . . 21

1.2.3 Teste de d’Alembert . . . 22

1.2.4 Teste da razão . . . 23

1.2.5 Teste da raiz . . . 23

2 Séries de Potências 24 2.1 Séries de Potências . . . 24

2.1.1 Convergência das Séries de Potências . . . 25

2.1.2 Raio de Convergência . . . 26

2.2 Funções dada como Série de Potências . . . 29

2.2.1 Diferenciação e Integração de Séries de Potência . . . 30

3 Séries de Taylor 36 3.1 Série de Taylor e Funções Analíticas . . . 36

3.2 Teorema de Taylor . . . 40

3.2.1 Teorema de Taylor com Resto de Lagrange . . . 40

3.2.2 Teorema de Taylor com Resto da Integral . . . 42

3.2.3 Teorema de Taylor com Resto de Cauchy . . . 44

3.2.4 Teorema de Taylor com Resto Infinitesimal . . . 45

3.3 Expansão em Série de Taylor para Funções de Duas Variáveis . . . 48

3.3.2 Expansão em Série de Taylor de n-ésima Ordem . . . 51 3.4 Expansão em Série de Taylor para Funções de Várias Variáveis . . . 53

4 Aplicações 56

Conclusão 60

INTRODUÇÃO

E

sta monografia tem como objetivo principal estudar as Séries de Taylor e os seus principais resultados de maneira a demonstrar o Teorema de Taylor, assim chamadas em homena-gem a seu criador, o inglês Brook Taylor (1685 - 1731).

Brook Taylor, foi um matemático britânico inventivo e produtivo, conhecido pelo nome das famosas Séries de Taylor. Foi encorajado a desenvolver seu talento musical e artístico e entrou para o St John’s College, Cambridge (1703), onde passou a gostar de matemática. Já matemático conceituado publicou seu livro de cálculo, Methodus incrementorum (1715), em que apresentou sua famosa série, base do cálculo diferencial, e seu livro sobre geometria, Linear perspectiva, no mesmo ano. Apesar do nome, não foi ele que inventou as séries de Taylor, os estudos já tinham sido antecedidos por James Gregory.

Consideramos que a realização deste trabalho é bastante oportuna e de suma importância, por se tratar do desenvolvimento de funções em séries de Taylor que são ferramentas frequen-temente utilizadas em áreas como Cálculo e Análise Numérica.

Expressar funções como a soma de termos infinitos é uma estratégia muito útil. Utilizare-mos no trabalho esta técnica para aproximar funções ao redor de um ponto, bem como, encon-trar seus pontos de máximos e mínimos.

No primeiro capítulo trataremos da definição de série numérica, de critérios de conver-gência destas séries, incluindo demonstrações e alguns exemplos. Definiremos série absolu-tamente convergente e analisaremos a consequência deste conceito na análise da natureza de séries de termos reais.

comportamento de funções representadas como série de potências e para isso será necessário estudar o raio de convergência para que tais séries existam.

Com a finalidade de entrar no tema principal estes serão os tópicos abordados nas primeiras seções, assim como alguns teoremas que são fundamentais para o desenvolvimento em série de Taylor. As estruturas destes capítulos estarão baseados, principalmente, nas referências

[2] e [5]. Aqui podem ser encontrados os resultados citados, ao longo do texto, sem as suas

respectivas demonstrações.

No capítulo subsequente, começaremos a introduzir os conceitos de expansão em série de Taylor para funções de uma ou mais variáveis. Este capítulo será dedicado também à repre-sentação de uma função através da soma parcial da sua série de Taylor (polinômio de Taylor) acrescidos de um resto e do qual enunciaremos um resultado importante, a Fórmula de Taylor. Além disso, como consequência, veremos algumas "formas"de restos que são encontrados na Fórmula de Taylor.

Por fim, no último capítulo, mostraremos algumas aplicações, na Matemática, da expansão em série de Taylor: a extremos e convexidade.

Se no ponto x =a, f′(a) = 0 e f′′(a) =0, a função pode ter ou um máximo ou um mínimo

neste ponto, mas pode igualmente não ter extremo. Em casos semelhantes recomendamos de-terminar os extremos estudando o comportamento da derivada primeira à esquerda e à direita do ponto crítico x = a. Vamos mostrar como esta questão pode ser resolvida através de um teorema sobre o polinômio de Taylor.

A orientação da convexidade é uma característica importante da forma da curva. Determi-naremos os critérios que permitem definir a orientação da convexidade da curva representativa da função y= f(x)em diversos intervalos. Enfim, concluiremos com alguns exemplos.

CAPÍTULO

1

SÉRIES NUMÉRICAS

U

ma parte importante do estudo do Cálculo aborda a representação de função como so-mas s de infinitas parcelas. Realizar esta operação requer um conhecimento familiar da adição de um conjunto finito de números. Nesta seção definiremos somas de infinitas parcelas através de limites e critérios de convergência para estas operações, uma vez que, nem todas as somas poderão ser efetuadas, já que nem toda sequência possuI limite. Detalhes adicionais acerca dos temas tratados podem ser encontrados em [3] e [5].

1.1

Séries Numéricas

Seja (an)n∈N uma sequência. Vamos formar uma nova sequência(s_n) adicionando os su-cessivos elementos de(an)n∈N : s1 = a1 s2 = a1+a2 s3 = a1+a2+a3 ... sn = a1+a2+...+an = n

∑

k=1 a_k s∞ = +∞

∑

k=1 a_k

Definição 1.1. Se(an)n∈N for uma sequência, chamamos a sequência(s_n)_n∈N de série infinita, ou apenas série, e a denotamos por

+∞

∑

n=1

an, ou simplesmente

∑

an.

O termo geral da série (sn)n∈N é denotado por s_n =

n

∑

k=1

a_k, o qual é chamado de soma parcial da série.

Definição 1.2. Se a sequência(sn) for convergente, com lim

n→+∞sn = s, dizemos que ∞

∑

n=1 an é conver-gente e ainda ∞

∑

n=1 an = lim

n→+∞sn = s. Algumas vezes escreveremos ∞

∑

n=1

an < +∞ para expressar a

convergência da série.

Caso contrário, dizemos que

∞

∑

n=1 an é divergente . Exemplo 1.1. A série +∞

∑

n=1 1 n(n+1) é convergente, pois 1 n(n+1) = 1 n − 1 n+1,

e a soma parcial desta série é dada por sn = 1 1·2 + 1 2·3 +...+ 1 n(n+1) =  1−1₂  + 1 2 − 1 3  +...+ 1 n − 1 n+1  =1− 1 n+1. Logo, +∞

∑

n=1 1 n(n+1) =n→+lim∞sn =1. Portanto, a série +∞

∑

n=1 1

n(n+1) é convergente e sua soma é 1.

Exemplo 1.2. Considere a série Série Geométrica

+∞

∑

n=1

arn−1. A série geométrica converge se |r| < 1 e sua soma é +∞

∑

n=1 arn−1 = a 1₋r e diverge se|r| ≥1. De fato, se r=1, então lim

n→+∞sn =n→+lim∞ n

∑

k=1 a(1)n−1. • lim n→+∞ n

∑

k=1 a= lim n→+∞an = +∞, logo +∞

∑

n=1 a(1)n−1é divergente.

Supondo r 6=1, temos sn = n

∑

k=1 ark−1 =a+ar+ar2+...+arn−1 e rsn =ar+ar2+ar3...+arn−1+arn.

Subtraindo membro a membro as equações anteriores, obtemos: sn−rsn = a−arn

sn(1−r) =a−arn ⇒ sn = a(1−r n₎

1−r . Se−1<r <1, sabemos que rn →0, quando n→∞; assim

• lim n→+∞sn =_n→+lim∞ a(1−rn) 1−r = a 1−r, desde que|r| < 1. Logo, a série é convergente e,

+∞

∑

n=1

arn−1 = a

1−r, desde que|r| <1. Se r≤ −1 ou r>1, a sequência{rn}é divergente, daí

• lim n→+∞sn =_n→+lim∞ a(1−rn) 1₋r = +∞, desde que|r| > 1. Portanto, +∞

∑

n=1 arn−1é divergente quando_|r_{| ≥}1. Teorema 1.1. Se ∞

∑

n=1

an é uma série convergente, então lim

n→+∞an =0. Demonstração. Por hipótese, ∞

∑

n=1

ané convergente, isto é, lim

n→+∞sn =_n→+lim∞

n

∑

k=1

a_k =s. Além disso, lim

n→+∞sn−1 =

lim

n→+∞sn.

Como an =sn −sn−1, então

lim

n→+∞an =_n→+lim∞(sn−sn−1) = _n→+lim∞sn−_n→+lim∞sn−1 =s−s =0.



O teste da divergência enunciado abaixo vem do teorema (1.1), porque, se a série não for divergente, ela é convergente e lim

Corolário 1.1. Se lim

n→+∞an não existir ou sen→+lim∞an 6=0, então ∞

∑

n=1

an é divergente.

Exemplo 1.3. A Série Harmônica

∞

∑

n=1

1

n é o contra exemplo mais famoso do teorema 1.1. De fato, considerando ∞

∑

n=1 1 n =1+ 1 2+ 1 3+ 1 4 + · · · e sn = ∞

∑

k=1 1

k a sequência das somas parciais, vamos mostrar que(sn)n∈Npossui uma subsequência divergente.

s1 = 1 s2 = 1+1₂ s4 = 1+1₂+ 1₃+ 1₄  >1+1 2 +  1 4+ 1 4  =1+2 2 s8 = 1+1₂+ 1₃+ 1₄  + 1 5 + 1 6+ 1 7 + 1 8  >1+1 2+  1 4+ 1 4  + 1 8 + 1 8+ 1 8 + 1 8  = 1+3 2 s16 = 1+1₂+ 1₃+ 1₄  + 1 5 + 1 6+ 1 7 + 1 8  + 1 9+...+ 1 16  > 1+1 2+  1 4+ 1 4  + 1 8 + 1 8+ 1 8 + 1 8  + 1 16+...+ 1 16  =1+1 2 + 1 2+ 1 2 + 1 2 = 1+4 2 s32 > 1+5 2 ... s2n > 1+n 2, n>1

Logo, a subsequência s2n → +∞, pois lim

n→+∞1+

n

2 = +∞.

Portanto, a sequência das somas parciais(sn)n∈Né divergente, e dessa forma

∞

∑

n=1

1

n é divergente. Observação 1.1. A recíproca do teorema (1.1) não é verdadeira.

Teorema 1.2. Se ∞

∑

n=1 an e ∞

∑

n=1

bn são convergentes e c ∈ R, então

∞

∑

n=1 [an +bn] e ∞

∑

n=1 can são

(1) ∞

∑

n=1 [an+bn] = ∞

∑

n=1 an + ∞

∑

n=1 bn (2) ∞

∑

n=1 [an−bn] = ∞

∑

n=1 an − ∞

∑

n=1 bn (3) ∞

∑

n=1 can =c ∞

∑

n=1 an Demonstração. (1) Sejam sn = n

∑

k=1 a_k , s= ∞

∑

n=1 an, tn = n

∑

k=1 b_ke t = ∞

∑

n=1 bn. Então lim n→+∞ n

∑

k=1 [a_k+b_k] = lim n→+∞ n

∑

k=1 a_k+ n

∑

k=1 b_k ! = lim n→+∞ n

∑

k=1 a_k+ lim n→+∞ n

∑

k=1 b_k = = lim n→+∞sn+_n→+lim∞tn =s+t. Portanto, ∞

∑

n=1

[an+bn]é convergente e sua soma é

∞

∑

n=1 [an+bn] =s+t= ∞

∑

n=1 an + ∞

∑

n=1 bn. (2) Sejam sn = n

∑

k=1 a_k , s= ∞

∑

n=1 an, tn = n

∑

k=1 b_ke t = ∞

∑

n=1 bn. Então lim n→+∞ n

∑

k=1 [a_k−b_k] = lim n→+∞ n

∑

k=1 a_k− n

∑

k=1 b_k ! = lim n→+∞ n

∑

k=1 a_k− lim n→+∞ n

∑

k=1 b_k = = lim n→+∞sn−_n→+lim∞tn =s−t. Portanto, ∞

∑

n=1

[an −bn] é convergente e sua subtração é

∞

∑

n=1 [an −bn] = s−t = ∞

∑

n=1 an − ∞

∑

n=1 bn. (3) lim n→+∞ n

∑

k=1 ca_k =c lim n→+∞ n

∑

k=1 a_k =c lim n→+∞sn =cs=c ∞

∑

n=1 an. 

Exemplo 1.4. A série +∞

∑

n=1  ₃ n(n+1) + 1 2n 

é convergente, pois a série dada por

∞

∑

n=1 1 2n é uma série geométrica com a= 1 2 e r = 1 2, assim +∞

∑

n=1 1 2n = 1 2 1−1₂ =1.

No exemplo (1.1) encontramos que

+∞

∑

n=1

1

n(n+1) =1.

Daí, pelo Teorema (1.2), a série dada é convergente e tem por soma

+∞

∑

n=1  ₃ n(n+1)+ 1 2n  =3· +∞

∑

n=1 1 n(n+1) + +∞

∑

n=1 1 2n =3·1+1=4.

Teorema 1.3. Seja M _∈ N _{fixado. Então a série}

∞

∑

n=1 an é convergente se ∞

∑

n=M+1 an é convergente. Ademias, ∞

∑

n=1 an = M

∑

n=1 an+ ∞

∑

n=M+1 an. Demonstração. Para M+1≥1 e k≥M+1, k

∑

n=1 an = M

∑

n=1 an+ k

∑

n=M+1 an. Fixado M+1, lim k→+∞ k

∑

n=1 an = M

∑

n=1 an+ lim k→+∞ k

∑

n=M+1 an,

pois, para M+1 fixo,

∑

M

n=1

an é uma constante. Daí

∞

∑

n=1 an = M

∑

n=1 an+ ∞

∑

n=M+1 an

desde que uma das séries

∞

∑

n=1 an =0 ou ∞

∑

n=M+1 an seja convergente. 

1.2

Critérios de convergência e divergência para séries de

ter-mos positivos

1.2.1

Critério de Comparação

No critério da comparação, a ideia é comparar uma série dada com uma que é sabidamente convergente ou divergente.

(Critério de Comparação) Sejam ∑ an e ∑ bn séries cujos termos gerais são não-negativos

com an ≤bn, para n suficientemente grande, então

(1) Se ∑ b_n é convergente, então ∑ a_n é convergente. (2) Se ∑ an é divergente, então ∑ bn é divergente.

Demonstração. Sejam sn = n

∑

k=0 a_k e tn = n

∑

k=0

b_k as sequências das somas parciais de

∑

an e

∑

bn,

respectiva-mente.

(1) Se ∑ bn convergir, sn ≤ tn ≤ lim

n→∞tn =t < ∞de modo que sn é uma sequência crescente

limitada superiormente1por tn. Logo converge. Além disso, sn ≤tn ⇒ lim

n→∞sn ≤_nlim_→∞tn e consequentemente ∞

∑

k=0 a_k ≤ ∞

∑

k=0 b_k. (2) Se ∑ an divergir, tem-se que lim

n→∞sn = ∞ e logo, ∞ = _nlim_→∞sn ≤ _nlim_→∞tn de modo que

∑bn =∞.



Exemplo 1.5. Vamos estudar a natureza da série

∑

1

np segundo os valores de p.

•1◦_{CASO : Seja 0}< p ≤1.

Se p=1, temos que

∑

1

np =

∑

1

n é a série harmônica e é divergente. Se 0 < p < 1, então a série

∑

1 np é divergente, pois n p _{< n ⇔} 1 np > 1 n. Como a série

∑

1 n diverge, então pelo critério de comparação

_∑

1

np é divergente.

1_{Uma sequência a}

né dita ser limitada superiormente se existir um número real β tal que, para todo número

•2◦_{CASO: se p} >1. Seja m

∑

k=1  1 k p

=sm. Considere m <2n−1, para algum n∈ N. Então,

sm = m

∑

k=1 1 kp ≤1+  1 2p + 1 3p  + 1 4p + 1 5p + 1 6p + 1 7p  + · · · +  ₁ (2n−1₎p + · · · + 1 (2n₋₁₎p  < 1+ 2 2p + 4 4p + · · · + 2n−1 2(n−1)p = n−1

∑

i=0  2 2p i Como a série

_∑

 2 2p n

é uma série geométrica com 0 <  2

2p  < 1, então

∑

 2 2p n é conver-gente para algum c ∈R_{, então(sm) ≤ c.}

Assim(sm)é limitada e monótona decrescente. Logo(sm)é convergente e, portanto,

∑

1

np é

conver-gente. 

Teorema 1.4. (Critério de Leibniz) Se (an) é uma sequência monótona decrescente, com an > 0, ∀

n∈ N, que tende para zero, então a série alternada2

∑

₍₋1₎n+1_{an é convergente.} Demonstração. Seja sn = n

∑

k=1 (−1)k+1a_k =a1−a2+a3− · · · (−1)n+1an. Observemos: s2n = a1−a2+ · · · −a2n−2+a2n−1−a2n s2n > a₁−a₂+ · · · −a_2n−2=s_2n−2.

Ainda temos que

s2n+1 = a1−a2+ · · · +a2n−1−a2n+a2n+1

s2n+1 < a₁−a₂+ · · · +a_2n−1=s_2n−1.

Assim,

s2n = a1−a2+ · · · +a2n−1−a2n <s_2n−1,

2_{Dizemos que uma série é alternada quando os sinais de seus termos são alternados, isto é, positivos e}

ou seja,

s2<s₄ <· · · < s_2n <s_2n−1<· · · < s₃ <s₁∀ n ∈ N.

Portanto, as sequências (s2n) e (s2n−1) são monótonas e limitadas, logo são convergentes.

Além disso, lim

n→+∞(s2n) −_n→+lim∞(s2n−1) =_n→+lim∞(s2n−s2n−1) =_n→+lim∞(−a2n) =0.

Então,

lim

n→+∞(s2n) =_n→+lim∞(s2n−1) = L.

Como(s2n) e(s2n−1)convergem para o mesmo limite L, então (sn)converge para L.

Con-cluímos que

∑

(−1)n+1an é convergente.



1.2.2

Série absolutamente convergente

Definição 1.3. Uma série ∑ an diz-se absolutamente convergente quando ∑|an|é convergente.

Teorema 1.5. Toda série absolutamente convergente é convergente, ou seja, se ∑|an| → |s|, então ∑ an

é convergente. Demonstração.

Tomemos três séries ∑ an, ∑|an|e ∑[an+ |an|]com sequências de somas parcias (sn), (tn)e

(rn)respectivamente. Para todo n natural temos an+ |an| = 0 ou an + |an| = 2|an|, gerando a

desigualdade

0≤an + |an| ≤2|an| (1.1)

Observe que isto implica que(rn)é crescente dado que 0≤an+ |an|.

Como ∑|an| é convergente, ela tem uma soma que denotaremos por S. A sequência(tn)é

crescente com termos positivos e assim, tn ≤Spara todo n natural.

De (1.1) temos 0≤rn ≤2tn ≤2S. Assim, temos que a sequência crescente(rn)tem 2S como

limitante superior e pelo critério da comparação ∑[an+ |an|]é convergente e denotaremos sua

soma de R.

Cada uma das séries ∑|an|e ∑[an + |an|]é convergente então pelo critério de comparação

concluímos que ∑[an+ |an|] −∑|an| = ∑an é convergente.



1.2.3

Teste de d’Alembert

Seja ∑ an uma série de termos não nulos. Então:

(1) Se existem c ∈ (0, 1) e n0 ∈ N tais que

    a_n+1 an     < c < 1,∀n > n0, então ∑ an é absoluta-mente convergente.

(2) Se existem c>1 e n₀ ∈ Ntais que

   an_a+_n1    >c,∀n >n0, então ∑ an é divergente. Demonstração.

(1) Suponhamos que existem um c ∈ (0, 1) e n0 ∈ N tais que

   an_a+_n1     < c, ∀ n > n0. Como 0<c<1, temos que     a_n+1 an    <c = cn+1 cn . Logo, |a_n+1| cn+1 < | an| cn ,∀n >n0. Isto é, a sequência  |an| cn  é decrescente.

Ainda temos que 

|an|

cn



é uma sequência limitada inferiormente por zero, pois c∈ (0, 1)

e limitada superiormente por m=max  |a1| c1 + · · · + |an0| cn0  . Além disso, como c∈ (0, 1)temos que ∑ cn _{é convergente.}

Portanto, pelo teorema (??), ∑|an| é convergente. Então, ∑ an é absolutamente

conver-gente.

(2) Consideremos que c >1 tal que

    a_n+1 an    >c >1⇔ |an+1| >c|an|, ∀n>n₀. Isto é,|an+1| > c|an| > |an| > · · · > |an0| >0 pois an 6=0,∀ n∈ N. Logo, lim

n→+∞an+1 6=0, e portanto, pelo teste da divergência a série ∑ an é divergente.

1.2.4

Teste da razão

Sejam ∑ a_n uma série de termos não nulos e ∑ b_n uma série convergente com b_n > 0 para

todo n ∈ N. Se existe n_{0 ∈} N tal que |an+1|

|an| ≤

b_n+1

bn

para todo número natural n > n₀então

∑an é (absolutamente) convergente.

Demonstração.

Como ∑ b_n é uma série convergente, com b_n > 0 para todo n ∈ N. Então, vai existir um

k >0 e um n_o ∈ Ntais que_{|an| ≤ kbn} para todo n>n₀, então a série ∑ a_n será absolutamente

convergente.

Assim, dado arbitrariamente n>n₀, multipliquemos membro a membro as desigualdades |a_n0+2| |a_n0+1| ≤ |b_n0+2| |b_n0+1|, |a_n0+3| |a_n0+2| ≤ |b_n0+3| |b_n0+2|, · · · , |an| |a_n−1| ≤ |bn| |b_n−1|. Obteremos |an| |an−1| ≤ |bn| |bn−1|, ou seja,|an| ≤ kbn, onde k = |a_n0+1| bn0+1

. Segue-se que a série ∑ an

é absolutamente convergente.



1.2.5

Teste da raiz

Seja ∑ a_n uma série de termos não negativos.

(1) Se existe 0 < c < 1 e n₀ ∈ N tal que pn _{|an| ≤ c}, _{∀ n} > n₀, então ∑ a_n é absolutamente

convergente.

(2) Se c>1 e pn |a_n| >c, então ∑ a_n é divergente.

Demonstração.

(1) Se pn _|a

n| ≤ c,∀ n > n0então|an| ≤ cn < 1∀n ≥n0. A série ∑ cn é convergente por ser

uma série geométrica de razão cn_{, com 0 <c < 1. Portanto a série ∑ a}

n é absolutamente

convergente.

(2) Temos que |an| > cn e c > 1,∀ n > n0. Então, pelo teste da comparação, a série ∑|an|é

divergente.

CAPÍTULO

2

SÉRIES DE POTÊNCIAS

E

m determinados momentos é indispensável representar funções por séries, mais especifi-camente séries de potências. Neste capítulo, abordaremos brevemente, conceitos e resul-tados básicos que se fazem necessários para que os capítulos seguintes sejam melhores com-preendidos e a sua leitura torne-se mais clara. Serão apresentadas definições e teoremas de séries de potências, suas principais propriedades, e, além disso, verificaremos que uma classe restrita de funções são representadas através das mesmas.

2.1

Séries de Potências

Definição 2.1. Uma série de potências centrada em a é definida por:

∞

∑

n=0

cn(x−a)n =c0+c1(x−a) +c2(x−a)2+...+cn(x−a)n +...

com c′_ns constantes e n_≥0.

Observação 2.1. Quando a = 0 tem-se que a série de potências é uma série geométrica, isto é,

∞

∑

n=0

cnxn =c0+c1x+c2x2+...+cnxn+... .

De certo modo, uma série de potências trata-se de uma série de polinômios com infinitos termos. Veremos que funções definidas como séries de potências compartilham muitas propri-edades semelhantes as dos polinômios.

2.1.1

Convergência das Séries de Potências

Sabemos que ∞

∑

n=0 cnxn é convergente se|x| <1 e divergente se|x| >1. Observação 2.2.

(1) Uma série de potências pode convergir para alguns valores de x e divergir para outros valores de x; (2) Se ∞

∑

n=0 cnxn é convergente, então f(x) = c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...

cujo domínio é o conjunto de todos os valores de x para os quais a série é convergente. Teorema 2.1. Seja a série de potências

∞

∑

n=0

cnxn convergente para x=x1, com x16= 0. Então, ∞

∑

n=0

cnxn

é absolutamente convergente para todos os valores de x para os quais|x| < |x1|.

Demonstração.

Se

∞

∑

n=0

cnxn1 é convergente, então lim_n→+∞cn(x1)n =0. Daí, quando tomamos ε = 1,

encontra-mos um número inteiro N >0 tal que se n≥ Ntemos|c_n(x₁)n| <1.

Agora, se x é qualquer número tal que_|x_{| < |}x_1|, e se n_≥ N, então

|cn(x)n| =    cn(x1)n x n (x1)n    = |cn(x1)n|     x x1     n |cn(x)n| =     x x1     n . A série ∞

∑

n=0     x x1     n

é convergente, pois é uma série geométrica com r =

    x x1     < 1. Vamos comparar a série dada, onde_|x_{| < |}x_1|, com a série

∞

∑

n=0     x x1     n . Usando o teste de comparação,

∞

∑

n=0

cnxn é convergente para|x| < |x1|. Portanto, a série de

potências dada é absolutamente convergente para todos os valores de x para os quais|x| < |x1|.

Corolário 2.1. Se a série de potências

∞

∑

n=0

cnxn divergente para x = x2, então ela é divergente para

todos os valores de x para os quais|x| > |x2|.

Demonstração.

Suponhamos, por contradição, que a série de potências dada seja convergente para alguns números de x para os quais_|x_{| > |}x2|. Então, pelo Teorema (2.1), a série deve convergir quando

x = x2. Contudo, isto contradiz a hipótese. Portanto, a série de potências dada é convergente

para todos os valores de x para os quais|x| > |x2|.

Exemplo 2.1. A série

∞

∑

n=0

n!xn é convergente para x =0 e divergente para os demais casos.

Vamos usar o teste da razão para determinar os valores de x tais que

∞

∑

n=0 n!xn <+∞. Temos que lim n→+∞     an+1 an    =n→+lim∞     (n+1)!xn+1 n!xn    =n→+lim∞     (n+1)n!(xnx) n!|xn_|    =n→+lim∞(n+1)|x| = ∞. Logo, ∞

∑

n=0 n!xn é divergente se x 6= 0 e é convergente se x =0.

2.1.2

Raio de Convergência

Teorema 2.2. Para uma dada série de potência

∞

∑

n=0

cnxn existem apenas três possibilidades:

(1) A série converge apenas quando x =0. (2) A série converge para todo x _∈R_.

(3) Existe um número R tal que a série é absolutamente convergente para todos os valores de x tais que|x| < R e é divergente para todos os valores de x tais que|x| > R.

Demonstração.

Inicialmente se x for 0 na série de potências dada, ou seja c0+0+0+..., vemos que ela é

convergente. Portanto, toda série de potências da forma

∞

∑

n=0

cnxn é convergente quando x =0.

Agora suponhamos que a série dada é convergente para x = x1, onde x1 6= 0. Então, pelo

Teorema (2.1), a série é absolutamente convergente para todos os valores reais de x tais que

|x| < |x1|. Caso não exista nenhum valor de x para o qual a série dada seja divergente, então a

série é absolutamente convergente para todos os valores de x. Isto prova o item (2).

Por fim, se a série é convergente para x = x1, onde x1 6= 0 e é divergente para x = x2,

onde_|x2| > |x1|, pelo Corolário (2.1), a série é divergente para todos os valores de x tais que

|x_{| > |}x2|. Em consequência, |x2| é uma cota superior 1 do conjunto dos valores de |x| para

os quais a série é absolutamente convergente. Portanto, este conjunto de números tem, uma mínima cota superior, que é o número R do item (3), demonstrando assim a última afirmação.



Observação 2.3. Se em vez da série

∞

∑

n=0 cnxn, tivéssemos ∞

∑

n=0 cn(x−a)n,

bastaria fazer uma mudança de variáveis, por exemplo x−a = y. Então os itens (1) e (3), do Teorema (2.2), devem ser substituído por y. E os itens se transformam em:

(1) A série converge apenas quando x =a.

(3) Existe um R > 0 tal que quando |x−a| < R a série é convergente e |x−a| > R a série é

divergente.

O número R que aparece no teorema acima é chamado raio de convergência da série de potências. Se o raio de convergência R =0, temos o caso (1) e R = +∞, então obtemos o caso (2).

Se R>0, o conjunto de todos os pontos de x para os quais a série de potências é convergente

se chama intervalo de convergência da série de potências. O raio de convergência da série +

∞

∑

n=0

cnxn, onde cn 6= 0 para todo n ≥ p, com um p natural

fixado, é dado pela fórmula

R= lim n→+∞    _cncn₊₁     desde que o limite exista, finito ou infinito.

Exemplo 2.2. Queremos encontrar o domínio da função f dada por f(x) = ∞

∑

n=0 nnxn. f(x) = +∞

∑

n=0

nnxn é uma série de potências com an =nn. Determinemos o seu raio de convergência.

R = lim n→+∞    _aa_n+n₁     =_n→+lim∞ nn (n+1)n+1. Como nn (n+1)n+1 = 1  1+ 1 n n · 1 n+1 resulta R= lim n→+∞ 1  1+ 1 n n · 1 n+1 = 1 e ·0=0.

Portanto, a série converge apenas para x =0. Logo o domínio de f é{0}. Tal função só está definida para x=0.

Exemplo 2.3. Seja a série

+∞

∑

n=0 (−3)nxn √ n+1 . Sendo an = (−3) n_xn √

n+1 , usando o teste da razão, temos:     a_n+1 an     =      (−3)n+1_xn+1 √ n+2 √ n+1 (−3)n_xn      =     −3x r n+1 n+2      = 3 s 1+ (1/n) 1+ (2/n)|x| → 3|x|, quando n→∞_.

A série dada converge se3|x| <1 e diverge se 3|x| >1. Então, ela converge se |x| < 1₃ e diverge se

|x| > 1₃. Isto significa que o raio de convergência é R = 1

3. Sabemos que a série converge no intervalo



−1₃,1 3



. Agora devemos verificar o que ocorre nos extremos desse intervalo.

Se x = −1₃, então +∞

∑

n=0 (−3)n  −1 3 n √ n+1 = +∞

∑

n=0 1 √ n+1 = +∞

∑

n=0 1 (n+1)1/2 = +∞

∑

u=1 1 u1/2 = +∞. Logo, +∞

∑

n=0 1 √ n+1 é divergente. Se x = 1 3, então +∞

∑

n=0 (−3)n1 3 n √ n+1 = +∞

∑

n=0 1( −3 3 )n √ n+1 = +∞

∑

n=0 (−1)n (n+1)1/2.

Vamos usar o critério da série alternada

(i) Temos que verificar se a_n+1 <a_n, com efeito, notemos que

n+2 >n+1⇔√n+2>√n+1⇔ √ 1 n+2 < 1 √ n+1 ⇔an+1 <an; (ii) lim n→+∞an =0⇔_n→+lim∞ 1 √ n+1 =0

Pelo teste da série alternada tem-se

+∞

∑

n=0 (−1)n √ n+1 é convergente. Portanto, +∞

∑

n=0 (−3)n_xn √ n+1 é convergente no intervalo  −1 3 , 1 3  .

2.2

Funções dada como Série de Potências

É muito útil expressar funções como soma de infinitos termos. Nesta seção aprenderemos representar certos tipos de funções como soma de séries de potências pela manipulação de séries geométricas ou pela diferenciação e integração de tais séries.

Sabemos que +∞

∑

n=0 xn =1+x+x2+...+xn+... = 1 1−x,

se|x| < 1.

Agora nos referimos à equação acima como uma expressão da função

f(x) = 1 1−x = +∞

∑

n=0 xn,_|x_{| <} 1 como uma soma de uma série de potências.

Exemplo 2.4. Seja a função f(x) = 1

1+x2. f(x) = 1 1+x2 = 1 1− (−x)2 = 1 1−u f(x) = ∞

∑

n=0 un = ∞

∑

n=0(− x2)n = +∞

∑

n=0(− 1)nx2n,| −x2| <1. Logo, f(x) = 1 1+x2 = ∞

∑

n=0(− 1)nx2n,|x| <1.

Exemplo 2.5. Seja a função f(x) = x

3 x+2. f(x) = x3 1 x+2 = 1 2x3− 1 4x4+ 1 8x5− 1 16x6+ · · · = x3 ∞

∑

n=0 (−1)n 2n+1 xn = ∞

∑

n=0 (−1)n 2n+1 xn+3

Outra maneira de escrever essa função é f(x) = x 3 x+2 = ∞

∑

n=3 (−1)n−1 2n−2 xn

2.2.1

Diferenciação e Integração de Séries de Potência

A soma de uma série de potências f(x) =

∞

∑

n=0

cn(x−a)n resulta em uma função cujo

do-mínio é o intervalo de convergência da série. Gostaríamos de poder diferenciar e integrar tais funções, e o teorema a seguir diz que é possível fazer isso por diferenciação ou integração termo a termo na série, como faríamos em um polinômio.

Teorema 2.3. Se

+∞

∑

n=0

cnxn é uma série de potências com raio de convergência R > 0, então a série

+∞

∑

n=1

ncnxn−1também tem R como raio de convergência.

Demonstração.

Seja x um número do intervalo(−R, R), ou seja,|x| < R.

Tomemos um número x1tal que|x| < x1 <R. Sendo|x₁| < R, a série

+∞

∑

n=0 cnxn1é convergente e lim n→+∞cnx n

1 = 0; pela definição de limite, para todo ǫ > 0 existe um n0 natural tal que n >

n0 ⇒ |cnx₁n| < ǫ.

Se tomarmos ǫ =1, existe um número n0 ∈ Ntal que n >n₀ ⇒ |c_nx₁n| <1.

Seja M o maior dos números_|c1x1|,|c2x21|,|c3x13|,· · · ,|cnxn1|, 1. Então

|cnxn1| < M (2.1)

para todo n natural. Fazendo

|ncnxn−1| =    ncn · x n−1 xn₁ ·x n 1    =n· | cnxn₁| |x1| ·    _xx₁     n−1 (2.2) Substituindo (2.1) em (2.2) obtemos_|ncnxn−1| ≤ n· M_x1   xx1   n−1 Aplicando o teste da razão, à série

M |x₁| +∞

∑

n=1 n     x x₁     n−1 (2.3) temos: lim n→+∞    u_un+_n1     =_n→+lim∞    (n+1)|x| n xn₁ · |x1|n−1 n_|x_|n−1    =    _xx₁     lim_n→+∞ n+1 n =    _xx₁    <1.

Assim, a série (2.3) é absolutamente convergente e através do teste da comparação, concluí-mos que a série

+∞

∑

n=1

também é absolutamente cnvergente.

Se x ∈ (−R, R)e R′_{é o raio de convergência da série (2.4), então R}′ _≥R. Dessa forma, resta-nos mostrar que não podemos ter R′ >R.

Suponha por absurdo que R′ > Re tomemos um número x₂tal que R<x₂< R′.

Sendo|x2| > Rtemos que a série

+∞

∑

n=0

cnx2n (2.5)

é divergente.

Como|x2| < R′, temos que a série

+∞

∑

n=0 ncnx₂n−1é absolutamente convergente. Mas, |x2| +∞

∑

n=1 ncnxn₂−1= +∞

∑

n=0| ncnxn2|e +∞

∑

n=1| ncnx2n| (2.6) é convergente.

Como n é natural, |cnxn₂| ≤ n|cnx₂n| = |ncnxn₂| e assim temos que

+∞

∑

n=0| cnxn2| ≤ +∞

∑

n=1 n|cnx2n|

e aplicando o teste da comparação concluímos que +

∞

∑

n=1

n|cnxn2| diverge de acordo com (2.5)

contradizendo a afirmação (2.6). Logo, a hipótese de que R′ >Ré falsa, restando R′ = R. 

Teorema 2.4. Se o raio de convergência da série de potências

+∞

∑

n=0

cnxn é R > 0, então R também é o

raio de convergência da série

+∞

∑

n=2

n(n₋1)cnxn−2.

Demonstração.

Na demonstração do teorema anterior, provamos que a série de potências +

∞

∑

n=0

cnxntem raio

de convergência R e a série de potências +

∞

∑

n=1

ncnxn−1, também é convergente e tem raio de

Então, para mostrarmos que a série +

∞

∑

n=2

ncnxn−2é convergente com raio de convergência R,

basta aplicar o teorema (2.1) à série +

∞

∑

n=1 ncnxn−1. Temos + ∞

∑

n=1 ncnxn−1e +∞

∑

n=2 n(n−1)cnxn−2, fazendo k =n−1 obtemos +∞

∑

k=0 (k+1)c_k+1xke +∞

∑

k=1 (k+1)kc_k+1xk−1. Tomando(k+1)c_k+1 = b_kencontramos +∞

∑

k=0 b_kxk e +∞

∑

k=1

kb_kxk−1 que pelo teorema do teste da razão convergem e possuem mesmo raio de convergência.



Teorema 2.5. Se a série de potências

+∞

∑

n=0

cnxn tiver um raio R > 0, então a função f definida por

f(x) =

+∞

∑

n=0

cnxn é diferenciável no intervalo(a−R, a+R). Além disso,

(1) f′(x) = +∞

∑

n=0 ncnxn−1 (2) R f(x)dx=C+ +∞

∑

n=0 cnxn+1 n+1 , c uma constante.

Os raios de convergência da série de potências nas equações dos itens (1) e (2) são iguais a R. O intervalo de convergência, entretanto, pode ser diferente em virtude do comportamento nas extremidades.

Para a demonstração do item(1)utilizaremos o sequinte Lema:

Lema. A desigualdade

|(x+h)n−xn₋hnxn−1_{| ≤} |h|

2

H2(|x| +H)

n _(I)

é válida quaisquer que sejam os números complexos x e h, com|h| ≤ H. Para a demonstração basta utilizar o binômio de Newton:

|(x+h)n −xn−hnxn−1| ≤ |h|2 n

∑

k=2  n k  |x|n−k|h|k−2

≤ |h| 2 H2 n

∑

k=2  n k  |x|n−k|H|k ≤ |h| 2 H2(|x| +H) n_. Demonstração. (1) Suponhamos que f(x) = +∞

∑

n=0

cnxn seja absolutamente convergente em|x| < R. Suponha

por um momento que g(x) =

+∞

∑

n=0

ncnxn−1também seja convergente em|x| < R.

Deseja-mos provar que f′_{(x) = g(x), o que nos leva naturalmente a considerar a diferença}

f(x+h) − f(x) h −g(x) = +∞

∑

n=0 cn  (x+h)n_−xn h nx n−1 _{(I I)}

Para mostrar que esta diferença tende a zero com h _→ 0, estabelecemos primeiro o se-guinte

Seja agora_|x| < R. Podemos escolher H positivo tal que|x| +H <R. De(I I)e(I)segue

facilmente que, para_|h_{| <} H,     f(x+h) − f(x) h −g(x)    ≤ | h| H2

∑

cn(|x| +H) n_.

Fazendo h→0, a demonstração estará completa se mostrarmos i) que a série

∞

∑

0 |

cn|(|x| +H)n converge;

ii) que a série

∞

∑

0

ncnxn−1converge em|x| < R.

Observe que i) segue da escolha de H e ii) é uma simples consequência do Lema. De fato, segue de(I), com h = Hque

|(|x| +H)n−xn−Hnxn−1| ≤ (|x| +H)n. Por outro lado,

|(x+H)n−xn−Hnxn−1| ≤ |Hnxn−1− [(x+H)n−xn]| ≥ Hn|x|n−1− |(x+H)n−xn| ≥ Hn|x|n−1− (|x| +H)n− |x|n.

Daqui e da desigualdade anterior obtemos Hn|x|n−1 ≤2(|x| +H)n+ |x|n e, consequentemente, |ncnxn−1| ≤ 1 H[2|cn|(|x| +H) n_{+ |c} n||x|n] (I I I)

A série cujo termo geral é o segundo membro de(3)converge pela suposta convergência de

∞

∑

0

cnxn se|x| < Re pela escolha de H.

Pelo teste da comparação, segue-se que a série da função g também converge em|x| < R. Fica assim provado o item(1).

(2) Seja g uma função definida por g(x) =

+∞

∑

n=0

cnxn+1.

Como os termos da representação da série de potências de f(x) são as derivadas dos termos da representação da série de potências de g(x), de acordo com o teorema (2.3), as

duas séries têm o mesmo raio de convergência. Por (1) temos que g′_{(x) = f(x), para cada}

x em ₍₋R, R). Dessa forma, pelo teorema, g”(x) = f′(x) para cada x em (−R, R). f é

contínua em₍₋R, R), pois f é diferenciável neste intervalo; em consequência f é contínua

em cada subintervalo fechado de(−R, R).

Se tomarmos x∈ (−R, R)teremos f contínua e integrável no intervalo[0, x]se x≥0 , ou no intervalo[x, 0]se x ≤0 . Assim, _Z x 0 f(t)dt =g(x) −g(0) = g(x) ⇔ Z _x 0 f(t)dt = +∞

∑

n=0 cnxn+1 n+1

concluindo a demonstração do teorema.

CAPÍTULO

3

SÉRIES DE TAYLOR

Como vimos anteriormente podemos expressar uma função em série de potências. Nosso próximo objetivo é verificar que a expressão f(x) =

+∞

∑

n=0

cn(x−a)npode ser reescrita tal que seu

coeficiente c_n é dado pela fórmula f(n)(a)

n! . Também será mostrado como obter representações em séries de potências de funções que possuem derivadas de todas as ordens, ou seja, funções que são infinitamente diferenciáveis, isto é, C∞_.

3.1

Série de Taylor e Funções Analíticas

Queremos mostrar que a expansão da Série de Taylor de uma função x em torno de x = a pode ser dada em termos do somatório infinito

∞

∑

n=0 f(n)(a) n! (x−a) n_.

Nós podemos facilmente deduzir esta fórmula, lembrando que se nós buscarmos uma ex-pansão da forma

f(x) = c0+c1(x−a) +c2(x−a)2+ · · · ,

ou seja, uma expansão em séries de potências de(x−a), então notamos que quando aplicamos

x =aobtemos

Se tomarmos a derivada desta expansão obtemos:

f′(x) = c1+2c2(x−a) +3c3(x−a)2+ · · · ,

quando avaliamos em x=aobtemos

f′(a) =c1.

Derivando pela segunda vez teremos

f′′(x) = 2c2+3·2c3(x−a) + · · · ,

quando avaliamos em x=aobtemos

f′′(a) =2c2 ⇒c2 = f

′′_(a) 2 . E assim faremos até a sua n₋ésima derivada f(n)_{(x)e obtemos}

f(n)(a) = n!cn ⇒ cn = f

(n)_(a)

n! . Portanto nossa expressão em Série de Taylor é dada por

f(x) = ∞

∑

n=0 cn(x−a)n = ∞

∑

n=0 f(n)(a) n! (x−a) n_,

que é o que podemos observar na definição abaixo.

Definição 3.1. Seja f : I →R_{de classe podendo ser representada como série de potências. Assim,} f(x) = f(a) + f′(a) 1! (x−a) + f′′(a) 2! (x−a)2+ f′′′(a) 3! (x−a)3+ · · · + f(n)(a) n! (x−a) n_{+ · · · .}

Se f possuir uma expansão em série de potências em torno do ponto a, isto é, f(x) =

+∞

∑

n=0

cn(x−a)n, |x−a| < R,

então seus coeficientes são dados pela fórmula cn = f

(n)_(a)

n! .

A série da equação acima é chamada de série de Taylor da função f centrada em a. No caso de a=0, a série de Taylor é denominada por série de Mac-Laurin:

f(x) = +∞

∑

n=0 f(n)(0) n! x n_.

Mas qual será a relação entre esta série de Taylor e a função f que usamos para calcular os coeficientes da série? No segundo capítulo mostramos entre outras coisas que funções podem ser expressas como séries de potências. Retomando o assunto em discussão, seria desejável que a série de Taylor convergisse para a função que lhe deu origem, pelo menos numa vizinhança de a.

Se a função é dada por série de potências, então a função será igual a soma de sua série de Taylor. Mas poderá surgir a dúvida: "Dada uma função será que ela tem uma série de Taylor? Será que toda função tem uma série de Taylor?"A resposta é não, para que uma função seja dada como sua série de Taylor ela precisa ser de classe C∞_{, ou seja, ser infinitamente}

diferen-ciável.

Porém existem funções distintas infinitamente diferenciáveis que possuem a mesma série de Taylor e que ignoram sua série de Taylor, pois os intervalos de convergência delas nem sempre coicidem.

Definição 3.2. Uma função f : I → R, definida num intervalo aberto I, chama-se analítica quando, para cada a∈ I existe um ǫ>0 tal que a série de Taylor

∞

∑

n=0

f(n)(a)

n! (x−a)

n _{converge para f(x)desde}

que|x−a| <ǫ.

Se f(x)é igual a soma de uma série, então f(x)convergirá para o limite das somas parciais

dessa série, digamos Tn(x), ou seja,

Tn(x) = n

∑

i=0 f(i)(a) i! (x−a) i_,

onde Tn(x)é um polinômio e denominamos como polinômio de Taylor de grau n centrado em

a. Em outras palavras f(x) = lim n→∞Tn(x) = +∞

∑

n=0 f(n)(a) n! (x−a) n_.

Assim, quando n tende ao infinito a soma parcial dos termos do polinômio de Taylor é uma aproximação da f(x), isto é, f(x_{) ≈} Tn(x). Ainda podemos escrever

Rn(x) = f(x) −Tn(x),

onde Rn(x)é o resto da série de Taylor. E de maneira equivalente

Observação 3.1. A fim de que a série de Taylor +∞

∑

n=0 f(n)(a) n! (x−a)

n _{convirja para f(x) é necessário e}

suficiente que lim

n→∞Rn(x) = 0.

A seguir apresentaremos o teorema que expressa formalmente nossa análise:

Teorema 3.1. Seja f uma função tal que f e suas derivadas existam em algum intervalo(a−r, a+r). Então, a função está representada por sua série de Taylor

+∞

∑

n=0

f(n)(a)

n! (x−a)

n _{para todo x tal que}

|x−a| <r se, e somente se, lim

n→∞Rn(x) = nlim→∞

f(n+1)(hn)

(n+1)! (x−a)

n+1_{=0, com x <h}

n <a.

Demonstração. Seja f uma função com derivadas de todas as ordens e f(x) = Tn(x) +Rn(x),

onde Tn é o polinômio de Taylor de grau n centrado em a e Rn(x) o resto da série de Taylor,

expressado por Rn(x) = f (n+1)_(h n) (n+1)! (x−a)n+1, com x<h_n <a.

No entanto, Tn(x)é a n-ésima soma parcial da série de Taylor de f em a. Assim, se

provar-mos que lim

n→∞Tn(x) existe e é igual a f(x) se, e somente se, limn→∞Rn(x) = 0 o teorema estará

demonstrado. Como Tn(x) = f(x) −Rn(x), então Se lim n→∞Rn(x) = 0, implica que lim n→∞Tn(x) = f(x) −_nlim_→∞Rn(x) = f(x) −0= f(x).

Agora, dada a hipótese de que lim

n→∞Tn(x) = f(x), queremos demostrar que limn→∞Rn(x) =0.

Temos que, Rn(x) = f(x) −Tn(x). Assim,

lim

n→∞Rn(x) = f(x) −nlim→∞Tn(x) = f(x) − f(x) = 0.