Modelo matemático para o desenvolvimento de tumor

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Modelo matem´

atico para o desenvolvimento de tumor

Maur´ıcio P. C. Menezes,

Centro Federal de Educa¸c˜ao Tecnol´ogica de Minas Gerais, CEFET-MG 30.510-000, Belo Horizonte, MG

E-mail: profmauriciopessoa@yahoo.com.br

Maria E. Gouvˆea

IFMG - Instituto Federal de Minas Gerais - Campus Formiga 35.570-000, Formiga, MG

E-mail: elizabeth.gouveia@ifmg.edu.br

Resumo: Apresentamos um modelo que pretende estudar a rela¸cão entre células-tronco e câncer, considerando os tempos de matura¸cão e de duplica¸cão das células, além das intera¸cões existentes entre os compartimentos celulares. O modelo é estruturado hierarquicamente em com-partimentos, sendo eles: o de células-tronco, progenitoras imaturas e não-imaturas e células completamente diferenciadas. A estrutura é análoga à da eritropoiese, processo de forma¸cão de eritrócitos (hemácias). A ocorrência de muta¸cão em qualquer compartimento, exceto no de células diferenciadas, leva à cria¸cão de um subcompartimento de células cancer´ıgenas (anor-mais). Os resultados mostram que as muta¸cões que afetam a popula¸cão de células-tronco são mais significativas e podem conduzir a um câncer.

Palavras-chave: Modelo matem´atico, células-tronco, câncer, equa¸cões diferenciais.

1 Introdu¸

c˜

ao

A capacidade que as células-tronco possuem de se tornarem malignas está na origem de alguns tipos de câncer e pode ser a causa de muitos outros. De acordo com Clarke e Becker [1], durante muito tempo, acreditou-se que qualquer célula cancer´ıgena que permanecesse em um indiv´ıduo seria potencialmente capaz de reiniciar a doen¸ca no mesmo. No entanto, atualmente é sabido que, para alguns tipos de câncer, apenas uma ´ınfima fra¸cão dessas células tumorais tem a capacidade de originar um novo tecido canceroso. Tais células, por serem os motores que comandam o crescimento de novas células cancer´ıgenas e, muito provavelmente, a origem da própria doen¸ca, são denominadas de células-tronco cancer´ıgenas, pois acredita-se que essas células tenham sido células-tronco ou que suas descendentes imaturas tenham passado por transforma¸cões malignas. Algumas semelhan¸cas entre células-tronco e a pequena fra¸cão de células cancer´ıgenas que são capazes de reiniciar a doen¸ca foram observadas pelos cientistas [1, 2, 9]. Dentre elas, temos: a longevidade ilimitada, a capacidade em diferenciar em uma ampla gama de tipos celulares e a capacidade de invadir tecidos distantes no corpo. Tais elementos em comum, assim como diversas evidências experimentais, indicam que a explica¸cão para o nascimento, manuten¸cão e dissemina¸cão dos cânceres pode estar na falha dos mecanismos de regula¸cão das células-tronco [1, 2, 5, 8, 9].

A estrutura básica do nosso modelo matemático, isto é, a hierarquia dos compartimen-tos, o número de mitoses, os tempos de ciclo celular e de matura¸cão, é baseada no sistema hematopoiético (sistema responsável pelo processo de forma¸cão de todas as células do sangue) - consideramos um processo semelhante ao de forma¸cão de eritrócitos (glóbulos vermelhos do sangue) [6, 10]. Acreditamos que o modelo proposto é adequado para descrever tecidos formados por células que percorrem vários estágios até atingirem o requerido grau de especializa¸cão e que

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recebem sinais de curto e longo alcance do sistema celular. Por exemplo, as células neurais, das mamas e da pele possuem dinâmicas celulares semelhantes ao das células do sangue [1].

Neste trabalho, propomos investigar a rela¸cão existente entre células-tronco e câncer, num modelo que considera as intera¸cões existentes entre os compartimentos celulares [3, 10]. Os parâmetros que determinam as taxas da auto-renova¸cão, de diferencia¸cão e mortalidade de uma célula dependem de vários fatores [4]. Com exce¸cão da taxa de mortalidade, os fatores citados dependem das popula¸cões dos diversos compartimentos. Consideramos, também, o atraso tem-poral, caracter´ıstica inerente aos processos de desenvolvimento celular (tempos requeridos para a duplica¸cão e matura¸cão celular). Nosso objetivo é investigar como esses fatores associados as muta¸cões que ocorrem em diferentes estágios do desenvolvimento celular afetam o compor-tamento do tecido. Analisamos, também, quais tipos de defeitos provocados por uma muta¸cão podem levar à forma¸cão de um tumor.

2 Modelo matem´

atico

O modelo matemático que propomos descreve a forma¸cão de células cancer´ıgenas a partir de células-tronco. Consideramos quatro compartimentos principais: o de c´elulas-tronco - SC (células que podem se auto-renovar um número ilimitado de vezes), de progenitoras imaturas - EP (c´elulas que podem se auto-renovar um número limitado de vezes), de progenitoras n˜ ao-imaturas - LP (n˜ao podem se auto-renovar, são submetidas a sucessivos estágios de divisão celular e a um per´ıodo de matura¸cão celular) e de c´elulas completamente diferenciadas - M C (células responsáveis por tarefas espec´ıficas). A ocorrência de muta¸cão em qualquer um desses compartimentos, exceto no M C, leva `a cria¸cão de subcompartimentos de células anormais (can-cer´ıgenas), a saber, o de c´elulas-tronco anormais (SCA), de c´elulas progenitoras imaturas anor-mais (EP A), de progenitoras não-imaturas anormais (LP A) e c´elulas anormais completamente diferenciadas (AP ). Esses processos est˜ao representados, de forma esquemática, na Figura 1.

Figura 1: Representa¸cão esquemática do processo de forma¸cão de células cancer´ıgenas. Segundo Hanahan e Weinberg [4], para que uma célula se torne maligna, ela precisa adquirir algumas “habilidades”extraordinárias, ou seja, cinco ou seis sistemas regulatórios diferentes precisam ser alterados. São eles: crescimento mesmo na ausência de sinais de “avance”normais, crescimento apesar dos comandos de “pare”emitidos pelas células vizinhas, evasão à apoptose (morte celular), imortalidade efetiva, habilidade de estimular a constru¸cão de vasos sangu´ıneos e capacidade de produzir metástases. Nosso modelo incorpora as quatro primeiras habilidades. O modelo matemático proposto é uma extensão do trabalho apresentado no 33oCNMAC/2010 - Categoria 3 , intitulado: “Um modelo de equa¸cões diferenciais com atraso para a dinâmica do tecido eritropoiético”, de nossa autoria [7]. Naquele trabalho, consideramos nula a taxa de muta¸c˜ao - definida por Mβ - e, assim, o efeito devido a muta¸cões não foi considerado. Para dar continuidade ao nosso estudo e analisar esse efeito, usaremos o modelo - e as equa¸cões

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-apresentado no trabalho citado [7].

As equa¸cões diferenciais que determinam a dinâmica dos vários compartimentos celulares do modelo são apresentadas a seguir. Essas equa¸cões incluem a taxa de muta¸c˜ao, Mβ com

β = SC, EP ou LP em cada compartimento.

Os parˆametros usados nos diversos compartimentos s˜ao listados na Tabela 1. Aqui, usamos

β1 = SC, SCA, EP, EP A, LP, LP A e, também, igual a M C e AP , para a taxa de mortalidade desses compartimentos. Alguns dos parâmetros do modelo são fun¸cões que dependem da popu-la¸cão total de células em cada compartimento. Ressaltamos que, no texto, usamos o termo “parâmetro” para designar diferentes processos como, por exemplo, a probabilidade de auto-renova¸cão e a taxa de divisão celular. Esses “parâmetros” não são constantes e, sim, fun¸cões das popula¸cões de células.

Parˆametros usados no modelo

Dependem das pop. de células Não dependem das pop. de células ωβ1 taxa de divisão celular Mβ taxa de muta¸cão

αβ fra¸cão mitótica τβ1 tempo de prepara¸cão

Psc probabilidade de auto-renova¸c˜ao ω0,β1 taxa de mortalidade

Tabela 1: Parˆametros do modelo.

Para o número de células em cada compartimento, isto é, as variáveis do modelo, usamos a nota¸c˜ao Nβ1 .

Na Tabela 1, usamos o termo “tempo de prepara¸cão” para o tempo requerido para a célula completar sua divis˜ao e amadurecer. Para as SC, SCA, EP e EP A, o tempo de prepara¸cão corresponde apenas ao tempo para completar todo o processo de duplica¸cão, em torno de 8 horas [3]. No entanto, no compartimento LP e LP A, ´e também necessário um tempo para a matura¸cão da c´elula. Assim, se designamos por τg o tempo para a duplica¸c˜ao em LP e LP A, se τm é o tempo de matura¸cão e se o número de mitoses nesses compartimentos ´e nlp, temos que τlp = τlpa = nlp.τg+ τm. Nesse trabalho, usamos [3] τg = 8 horas, τm = 48 horas, nlp = 6 divis˜oes e, portanto, τlp= 96 horas.

Para a probabilidade de auto-renova¸c˜ao [10], temos

Psc = 0.1 tanh(−Y ) + 0.5, (1) onde Y = { (N_sc∗ − 1)ps−2 3 ( N_ep∗ + N_lp∗ + N_mc∗ − 3)}, onde ps= { 2(Nsc∗)−0.6 se Nsc∗ ≤ 1, 2 se Nsc∗ > 1. (2) Nas equa¸cões acima, o s´ımbolo * usado como sobrescrito representa valores normalizados, isto é, a popula¸cão total (normais + anormais) de células de um tipo, dividido pelo valor de equil´ıbrio dessa popula¸c˜ao. Assim, por exemplo, N_sc∗ = Nsc+ Nsca/Nsc,equil.

A taxa de divisão celular para as células-tronco normais é definida em termos da fra¸cão mit´otica , αsc, que corresponde à porcentagem de células em divis˜ao. Para αsc, temos [10],

αsc =

exp(−X) + 0.01 · exp(X)

exp(−X) + exp(X) , onde X = a(XS + XE) + b, (3)

XS = { ln N_sc∗ se N_sc∗ ≤ 1, N_sc∗ − 1 se N_sc∗ > 1, e XE = 0.3 ln { 1 3(N ∗ ep+ Nlp∗ + Nmc∗ ) } . (4)

Para as c´elulas tronco, os valores das constantes que aparecem na equa¸c˜ao (3) s˜ao a = 0.5457 e b = 0.49.

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dNsc

dt = ωsc(2Psc− 1 − MscPsc)Nsc(t− τsc)− ω0,scNsc(t). (5)

Observe que a varia¸cão dessa popula¸c˜ao num instante qualquer t depende da popula¸cão que, nesse instante t, morre e da popula¸c˜ao que, em (t− τsc), pode se dividir, sofrendo ou não muta¸cão.

As c´elulas no compartimento EP devem passar por um número finito de mitoses, nep, antes de estarem aptas a se transformarem em LP . Para identificar o n´umero de divisões sofridas por uma c´elula EP , subdividimos o compartimento EP em nep subcompartimentos e usamos Nepi

onde i = 1, . . . , 6.

As equa¸c˜oes para a dinˆamica das c´elulas EP ´e dada por

dNep1 dt = ωsc{(2 − Msc)(1− Psc)} Nsc(t− τsc)− ωepNep1(t− τep) −ω0,epNep1(t) , para i = 1 e (6) dNep[i=2,6] dt = ωep(2− Mep)Pepi−1Nepi−1(t− τep)− ωepNepi(t− τep) −ω0,epNepi(t) , para i = 2, . . . , 6. (7)

Nas equa¸c˜oes acima, ωep = (αep/τep)ln2 onde αep ´e deﬁnida de modo semelhante a αsc, isto ´e,

αep=

exp(−X) + 0.3 · exp(X)

exp(−X) + exp(X) , (8)

onde X ´e dado pela eq. (3) usando a = 2.065 e b = 1.402.

Para simplificar o modelo e evitar subdividir o compartimento LP em nlpsubcompartimentos (como feito para EP ), admitimos que o fluxo de células vindas de EP6 é amplificado por um fator Zin ao entrarem em LP . Do mesmo modo, ao deixarem esse compartimento em dire¸c˜ao à popula¸c˜ao M C, consideraremos um outro fator de amplifica¸cão, Zout, tal que

Zin.Zout= 2nlp _. ₍₉₎ Para Zin, usamos [10] Zin= (2nlp− 1) .τg τlp + 2nlp_.τm τlp . (10)

Dessa forma, a varia¸c˜ao da popula¸c˜ao LP depende das c´elulas provenientes de EP6 que, ao sofrerem mitose num instante anterior, foram promovidas e das c´elulas LP que morrem. Assim, temos

dNlp

dt = Z

in_._{ω

ep(2− Mep) Nep6(t− τep)} − ωlpNlp(t− τlp)− ω0,lpNlp(t) . (11)

Finalmente, para a dinˆamica das c´elulas M C temos

dNmc

dt = Z

out_.ω

lp(1− Mlp) Nlp(t− τlp)− ω0,mcNmc(t). (12) Segue abaixo, as equa¸cões diferenciais que determinam a dinâmica dos compartimentos de células anormais do modelo.

A equa¸cão que descreve o comportamento das células-tronco anormais é dada por dNsca(t)

dt = ωsca(2Psca− 1)Nsca(t− τsc) + ωscMscPscNsc(t− τsc)− ω0,scaNsca(t). (13) Para o compartimento SCA, admitimos que essas c´elulas mantêm a capacidade de se di-vidirem um número ilimitado de vezes e que a muta¸cão adquirida aumenta a probabilidade de

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se renovarem, isto ´e, consideramos Psca = (1 + a)·Psc , onde a∈ [0 , 0.02]. Da mesma forma, consideramos que a aquisi¸cão de muta¸cão resulta numa célula com maior auto-suficiência de pro-lifera¸cão e/ou maior insensibilidade aos sinais inibidores de crescimento [1] e, por isso, adotamos

ωsca= (1 + b)· ωsc, onde b ∈ [0 , 0.50].

As equa¸c˜oes para a dinˆamica das c´elulas EP A ´e dada por

dNepa1

dt = 2ωsca(1− Psca)Nsca(t− τsc) + ωsc(1− Psc)MscNsc(t− τsc)−

−ωepaNepa1(t− τep)− ω0,epaNepa1(t) para i = 1 e (14)

dNepai

dt = 2ωepaPepai−1Nepai−1(t− τep) + ωepMepPepi−1Nepi−1(t− τep)−

−ωepaNepai(t− τep)− ω0,epaNepai(t) para i = 2,...,6 . (15)

Nos compartimentos EP e EP A, admitimos probabilidades de auto-renova¸c˜ao iguais, Pepi

= Pepai = 1, para os cinco primeiros subcompartimentos inclu´ıdos em EP e EP A. Isso signiﬁca

que todas as células irão se auto-renovar após a mitose. Uma célula que alcan¸ca o ´ultimo (i = 6) subcompartimento não pode mais se auto-renovar; pode apenas se diferenciar e migrar para os compartimentos LP , na ausˆencia de muta¸c˜ao, ou LP A, caso ocorra muta¸cão. Novamente, assumimos que as células mutantes adquirem “vantagens”[1], e têm maior capacidade de prolife-ra¸c˜ao. Assim, definimos ωepa= (1 + c)· ωep , onde c ∈ [0 , 0.50].

Para a popula¸c˜ao de c´elulas LP A, temos

dNlpa(t)

dt = Z

in_{· (2ω}

epaNepa6(t− τep) + ωepNep6(t− τep)Mep)−

−ωlpaNlpa(t− τlp)− ω0,lpaNlpa(t). (16) Onde consideramos o ωlp= ωlpa. E ﬁnalmente, para a popula¸c˜ao de c´elulas AP , temos

dNap(t)

dt = Z

out_{· (ω}

lpaNlpa(t− τlp) + ωlpNlp(t− τlp)Mlp)− ω0,apNap(t). (17) Com rela¸cão a taxa de morte das células anormais, conforme discutido em [1], uma das habilidades especiais que uma célula precisa adquirir para dar origem a um tumor, é a evasão `

a apoptose. Para simular a habilidade de evasão à apoptose [1], consideramos a taxa de morte das células anormais igual à (1− d) vezes a taxa de morte das normais, com d ∈ [0 , 0.50].

3 Resultados

Em todos os resultados que apresentamos a seguir, utilizamos, como condi¸c˜ao inicial, SC(t = 0) = 1.0 (normalizada) e todas as outras popula¸c˜oes iguais a zero.

Na Figura 2, gráfico a esquerda, apresenta a dinâmica de crescimento das c´elulas AP para a ocorrência de muta¸cão nos diferentes compartimentos. Consideramos que o valor do tempo de atraso para cada compartimento é o mesmo usado no trabalho anterior (tecido saudável),ou seja, 8 horas, assim como, o valor dos parˆametros: Psc , ωsc , taxas de mortalidade. Além disso, para esta simula¸cão, utilizamos uma probabilidade de ocorrência de muta¸cão da ordem de 10−7. Sendo Psca 0.1% maior do que Psc , as taxas de divisão e de morte das células anormais, sendo, respectivamente, 5% maior e 5% menor, em compara¸cão com as células normais.

A Figura 2, gráfico a esquerda, mostra que a taxa de crescimento de c´elulas AP ´e muito maior quando a muta¸cão ocorre na popula¸cão de c´elulas-tronco, SC. O modelo confirma que muta¸cões que afetam a popula¸c˜ao SC s˜ao mais significativas e podem conduzir a um câncer.

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0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 t (horas) células AP ocorrência de mutação em SC ocorrência de mutação em EP ocorrência de mutação em LP 0 0.5 1 1.5 2 2.5 x 104 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 iterações células AP

taxa de morte 5% menor taxa de divisão 5% maior P

sca 0.1% maior que o Psc

P

sca 0.07% maior que o Psc

parâmetros iguais

Figura 2: Gráfico à esq.: Dinˆamica de crescimento de AP - ocorrˆencia de muta¸cão em diferentes compartimentos. Gráfico a dir.: Dinˆamica de crescimento de AP - uma altera¸c˜ao genética.

Para as simula¸cões que se seguem, utilizaremos um tempo de duplica¸cão de 16 horas; os demais parâmetros permanecem inalterados. Dessa forma, poderemos simular a evolu¸cão das c´elulas AP em um intervalo de tempo maior, aproximadamente 52 anos (28.000 itera¸c˜oes - cada itera¸cão corresponde a 16 hs), porém com um número menor de itera¸cões. Como nosso modelo não incorpora a habilidade para estimular a “constru¸cão”de vasos sangu´ıneos - fundamental para o desenvolvimento de um tumor - apenas popula¸cões de c´elulas AP de at´e, no máximo, 10% da popula¸c˜ao M C devem ser consideradas como significativas.

Na Figura 2, gráfico a direita, apresentamos a dinâmica de crescimento das c´elulas AP devido a uma muta¸cão que provoca apenas uma altera¸cão genética. No entanto, são conside-rados diferentes efeitos resultantes dessa altera¸cão. Como vemos, o valor da probabilidade de auto-renova¸c˜ao de SCA tem como efeito um n´umero maior de c´elulas AP e, consequentemente, favorece um surgimento prematuro do tumor. Entre os fatores considerados, a taxa de morta-lidade aparece como segundo fator mais importante para o crescimento do tumor, embora seu efeito seja apenas ligeiramente superior a uma altera¸cão na taxa de divisão.

Na Figura 3, gráfico a esquerda, apresenta a dinâmica de crescimento das c´elulas AP para uma altera¸cão gen´etica que provoca um aumento no valor do Psca em rela¸cão as suas “irmãs”normais. Podemos verificar que uma pequena varia¸c˜ao no valor de Psca é suficiente para o surgimento prematuro do tumor.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 x 104 0 100 200 300 400 500 600 iterações células AP

Psca 1% maior que o Psc

0 0.5 1 1.5 2 2.5 x 104 0 50 100 150 200 250 300 iterações células AP

taxa de morte 5% menor e taxa de divisão 5% maior taxa de morte 5% menor e Psca 0.1% maior

taxa de divisão 5% maior e Psca 0.1% maior

0 0.5 1 1.5 2 2.5 x 104 0 100 200 300 400 500 600 700 iterações células células AP células MC

Figura 3: Gráfico à esquerda: Dinˆamica de crescimento de AP - altera¸c˜ao genética que provoca um aumento no valor de Psca . Gráfico ao centro: Dinˆamica de crescimento de AP - 2 altera¸c˜oes genéticas simultaneamente. Gráfico à direita: Dinˆamica de crescimento de AP - 3 altera¸c˜oes genéticas simultaneamente.

Analisamos a dinâmica de crescimento das c´elulas AP para situa¸c˜oes em que a muta¸cão resulta em duas altera¸cões genéticas, Figura 3, gráfico ao centro. Foram considerados três casos. No primeiro, consideramos que as células mutantes passam a ter uma taxa de morte menor e uma taxa de divisão maior do que as célula normais. Numa segunda situa¸cão, consideramos que, devido à muta¸cão, as células anormais adquirem uma taxa de morte menor e uma probabilidade de auto-renova¸cão das células-tronco anormais maior. Por último, consideramos uma altera¸cão genética em que as células mutantes passam a ter uma taxa de divisão maior e uma probabilidade

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de auto-renova¸c˜ao de SCA maior. Como dito antes, o valor do Psca é crucial na determina¸cão do aparecimento prematuro do tumor. Quanto maior for o valor de Psca em rela¸c˜ao ao do Psc , maior será a quantidade de c´elulas AP no tecido em menores tempos.

Analisamos agora, Figura 3 - gráfico a direita, a dinâmica de crescimento das c´elulas AP para uma situa¸cão onde são permitidas três altera¸cões genéticas simultaneamente. Observamos, nessa situa¸cão, que a taxa de crescimento da popula¸cão de c´elulas AP torna-se maior, em com-para¸cão com o caso anterior. Assim, conclu´ımos que, caso ocorra uma muta¸cão, quanto maior o número de altera¸cões genéticas provocadas pela muta¸cão, maior será a popula¸cão de células anormais completamente diferenciadas, AP , e consequentemente, mais r´apido o aparecimento de um tumor. Observamos ainda, que o crescimento da popula¸c˜ao AP ´e obtido às custas do encolhimento da popula¸cão de c´elulas normais, M C.

4 Conclus˜

oes

Apresentamos um modelo matemático que investiga a rela¸cão entre células-tronco e o de-senvolvimento de tumores, ou seja, a hipótese da existência de células-tronco cancer´ıgenas. Os aspectos inovadores desse modelo são: a inclusão de um atraso temporal, que é inerente ao pro-cesso de desenvolvimento celular, e a utiliza¸cão de fun¸cões dependentes de todas as popula¸cões de células (normais e anormais) para simular as sinaliza¸cões celulares presentes num tecido.

Mostramos que, as muta¸cões que afetam a popula¸cão de c´elulas-tronco, SC, s˜ao mais sig-nificativas e podem conduzir ao câncer. Além disso, caso ocorra uma muta¸cão, quanto maior o número de altera¸cões genéticas provocadas pela muta¸cão, maior será a popula¸cão de células anormais AP e, consequentemente, mais r´apido o aparecimento de um tumor. A muta¸cão que provoca um aumento do valor de Pscaem rela¸c˜ao ao do Pscmaior que 0.1% , é mais significativa e conduz para uma rápida progressão de c´elulas anormais completamente diferenciadas, AP , e, consequentemente, um aparecimento prematuro do tumor.

Referˆ

encias

[1] M.F. Clarke e M.W. Becker, O potencial maligno das c´elulas-tronco, Scientific American

Brasil: Cˆancer - o lado maligno das c´elulas-tronco, 51 (2006), 39-46.

[2] M.F. Clarke e M. Fuller. Stem Cells and Cancer: Two faces of eve, Cell, 124 (2006),1111-15. [3] R. Ganguly e I.K. Puri, Mathematical model for the cancer stem cell hypothesis, Cell

Prolif., 39 (2006), 3-14.

[4] D. Hanahan e R.A. Weinberg, The hallmarks of cancer, Cell, 100 (2000), 57-70.

[5] B. J. P. Huntly e D. G. Gilliland. Leukaemia stem cells and the evolution of cancer-stem-cell research, Nature Reviews - Cancer, 5 (2005), 311-321.

[6] M.C. Mackey, “Mathematical models of hematopoietic cell replication and control”, 1996. [7] M.P.C. Menezes, M.E. Gouvˆea, Um modelo de equa¸c˜oes diferenciais com atraso para a

dinˆamica do tecido eritropoi´etico, Anais do CNMAC 2010, 3 (2010), 339-345.

[8] R. Pardal, M.F. Clarke e S.J. Morrison, Applying the principles of stem-cell biology to cancer, Nature Reviews, 3 (2003), 895-901.

[9] T. Reya, S.J. Morrison, M.F. Clarke e I.L. Weissman, Stem cell, cancer, and cancer stem cells, Nature, 414 (2001), 105-111.

[10] H-E. Wichmann, M. Loeﬄer, “Mathematical Modeling for Cell Proliferation: Stem Cell Regulation in Hematopoiesis”, CRC Press, Inc, Florida, 1985.