Eletromagnetismo. Paramagnetismo dos Materiais

Paramagnetismo dos Materiais

Materiais Paramagnéticos

Os materiais respondem a campos magnéticos aplicados sobre eles de três formas distintas. Se eles exibem uma magnetização em caráter permanente, como ocorre com os materiais ferromagnéticos, o efeito do campo será o de aumentar sua magnetização. Há um reforço na magnetização do material.

Se seus constituintes exibem um momento de dipolo magnético, mas não exibem uma magnetização permanente, poderemos constatar dois fenômenos que, de certa maneira, competem entre si. De um lado, ocorre uma tendência para o alinhamento dos momentos de dipolo de acordo com a orientação do campo magnético. De outro, temos uma alteração dos momentos de dipolo magnético dos constituintes.

Os materiais paramagnéticos são aqueles em que a ação do campo magnético externo a eles

aplicado é o de alinhar os momentos magnéticos dos seus átomos (quando existirem) ou moléculas com o campo externo. Eles exibem uma magnetização líquida, ou seja, diferente de zero, apenas enquanto estão sob a ação de um campo magnético externo. Quando o campo magnético é retirado, essas substâncias perdem suas propriedades magnéticas. Alumínio, Bário, Cálcio, Oxigênio e Sódio, por exemplo, são elementos paramagnéticos.

Por causa do alinhamento com o campo externo, e como no caso dos materiais ferromagnéticos, os materiais são atraídos por ímãs. Interagem, portanto, com outros objetos que produzem campos magnéticos. No entanto, a força de atração exercida por esses materiais é bem mais débil que as forças exercidas pelos ímãs. Às vezes, são milhares de vezes mais débeis que aquelas exercidas pelos materiais ferromagnéticos.

Em última análise, o paramagnetismo dos materiais tem relação com o momento de dipolo magnético dos seus constituintes. Assim, uma substância será paramagnética se os átomos tiverem elétrons não emparelhados.

Substâncias cujos átomos ou moléculas têm um momento de dipolo magnético permanente são paramagnéticas. Os átomos ou moléculas com um número ímpar de elétrons recaem nessa categoria, pois, nessas circunstâncias, não há como se obter um momento angular nulo para eles. Consequen-temente, o momento de dipolo magnético de cada um dos constituintes da matéria não é nulo.

Átomos livres ou íons que contêm camadas internas não preenchidas exibem, igualmente, o

Metais são, por outro lado, igualmente, materiais paramagnéticos e isso porque tais materiais têm elétrons livres, os quais têm um momento de dipolo magnético permanente.

Se os

N

constituintes de um material tiverem momentos de dipolo magnético permanente, isso não implica necessariamente o surgimento de uma magnetização macroscópica no material. De fato, poder-se-ia imaginar uma situação em que a orientação dos momentos de dipolo seja ao acaso. Isso acarretaria uma magnetização nula. Nesse caso, a soma dos momentos de dipolo será nula:

( 1 )

O efeito da temperatura (efeito térmico) é o de provocar uma situação caótica, resultando daí que a magnetização é nula. Para que o material se magnetize é importante que haja a orientação dos momentos de dipolo. No caso dos materiais paramagnéticos, essa questão deve ser analisada à luz de considerações sobre a energia de um sistema que contenha dipolos magnéticos.

O Efeito do Campo Magnético Externo

Consideremos o caso em que um material fique sujeito a um campo externo

B



. Nessas circuns-tâncias, cada constituinte dotado de um momento de dipolo permanente se orientará preferen-cialmente na direção do campo magnético externo. Os momentos de dipolo tenderão a se orientar na direção do campo magnético aplicado. Tal previsão é baseada em consideração sobre a energia adicional que um dipolo magnético adquire. Essa energia é dada por:

( 2 )

Na busca de uma situação mais estável, sistemas físicos procuram ficar no estado fundamental, que é o estado de energia mínima. Para um dipolo magnético apenas, tal configuração é aquela em que

µ

é paralelo e no mesmo sentido de

B



.

A tendência dos momentos de dipolo magnético é se orientarem aleatoriamente.





µ

=

µ

=

=

∑

i N i 1

0

E

= −

µ

.

B



Mediante a aplicação de um campo magnético externo, a tendência do momento de dipolo é ficar orientado na direção e sentido do mesmo.

Como resultado temos, então, que um campo magnético provoca o alinhamento dos momentos de dipolo dos constituintes do material.

No entanto, conquanto haja uma tendência de provocar uma orientação dos dipolos magnéticos, esse efeito compete com o efeito térmico, o qual provoca o efeito oposto. Assim, o problema básico do paramagnetismo consiste em prever o valor médio da orientação dos momentos de dipolo.

Definimos o vetor magnetização como o vetor que dá a densidade de momentos de dipolo magnético num determinado ponto do espaço. Ou seja, considerando-se o elemento de volume infinitesimal localizado num ponto cujo vetor é

r

, o seu momento magnético é:

( 3 )

A determinação do vetor magnetização seria possível se soubéssemos quantos deles exibem uma particular orientação. Geralmente, definimos a magnetização como a grandeza física dada pela média da componente do momento angular na direção do campo magnético vezes a densidade dos constituintes do material. Admitindo-se que existem

N/V

átomos por unidade de volume, um tratamento estatístico nos levaria a escrever a componente

z

da magnetização como:

( 4 )

onde

µ

_Z é o valor médio do momento magnético dos constituintes do material.

Como o valor médio depende da intensidade do campo magnético externo e da temperartura, podemos prever que a magnetização é dependente da temperatura e do campo de intensidade magnética aplicado ao material. Portanto, podemos prever que a magnetização será função do campo de intensidade elétrica e da temperatura:

( 5 )

Ademais, quando a temperatura tende a zero, a magnetização atinge o valor máximo, isto é:

( 6 )

Mediante a aplicação de um campo externo, é possível orientar os momentos de dipolo. O grau dessa orientação depende, no entanto, da temperatura.

d r

µ

 

( )

=

M r dV

 

( )

M

N

V

Z

=

µ

Z

M

Z

=

M H T

Z

( , )

lim

( , )

T→0

M H T

Z

→

M

Finalmente, é de se esperar que no limite de altas temperaturas a magnetização tenda a zero:

( 7 )

Para determinarmos o grau de alinhamento dos dipolos magnéticos devemos, no entanto, recorrer à Mecânica Estatística. O fato é que, quando analisamos médias de grandezas físicas para sistemas que contêm um número muito grande de átomos, por exemplo, fazemos uso de conceitos estatísticos. Valores médios, como a média da do momento de dipolo, podem ser obtidos a partir de uma função de distribuição.

Função de Distribuição

No contexto da mecânica estatística clássica, a função de distribuição mais importante é aquela que especifica a probabilidade,

P(E)

, de encontrarmos um sistema macroscópico à temperatura

T

dotado de uma energia

E

. Essa função é dada por:

( 8 )

onde

k

é a constante de Boltzmann e

Z

é um fator de normalização. Isto é, ele é introduzido na expressão acima para assegurar que a soma sobre todas as probabilidades seja igual a 1. Da expressão acima resulta que:

( 9 )

A partir da função de distribuição, podemos determinar valores médios. Por exemplo, o valor médio da energia será:

( 10 )

De (...) temos que a configuração correspondente ao valor mínimo da energia é a que ocorre com maior probabilidade, ou seja, é a preferida do sistema físico.

lim

( , )

T→∞

M H T

Z

→

0

P E

e

Z T

E kT

( )

( )

=

−

P E

Z T

e

E E kT E

( )

( )

∑

=

1

⇒

=

∑

−

E

E P E

E

=

∑

( )

Dada a função de distribuição, temos agora elementos para determinar o valor médio do momento magnético

µ

_Z . Tal valor é dado por:

( 11 )

Uma aplicação interessante da Mecânica estatística clássica é conhecida como teorema de Bohr-van Leeuwen. O enunciado desse teorema apresentado por Bohr em sua tese de doutorado, em 1911, pode ser traduzido da seguinte forma: Se o momento angular total de um sistema for nulo, a aplicação da estatística clássica leva à previsão de que tais sistemas não exibem nem o diamagnetismo nem o paramagnetismo. Existe um cancelamento, no nível clássico, dos dois efeitos. Como resultado, a teoria clássica não é capaz de explicar o magnetismo da matéria.

Para melhor perceber onde a teoria clássica falha em descrever o magnetismo, basta considerar a função de distribuição de um sistema quando nele aplicamos um campo magnético. Considerando-se que o campo magnético não realiza trabalho, as energias do sistema antes de introduzirmos o campo são as mesmas:

( 12 )

e, portanto,

( 13 )

Ou seja, a descrição estatística num ou noutro caso leva ao mesmo resultado. Não há dependência em relação ao campo magnético externo.

Consideremos a seguir dois limites importantes. Quando a temperatura tende a zero, a magne-tização atinge o valor máximo possível. Nesse limite, obtemos:

( 14 )

Ou seja, no limite de temperatura baixa, todos os momentos de dipolo estão alinhados na direção do campo magnético.

O segundo limite importante é aquele de altas temperaturas quando então a magnetização tende a zero.

Uma função de distribuição típica depende da temperatura. No exemplo, consideramos a distribuição de velocidades num gás como função da temperatura.

µ

_Z

=

∑

µ

_Z

P E

( )

E = E

_B

P(E) = P(E

_B

)

lim ( )

T

M T

sat

N

V

M

→0

=

µ

0

≡

A Teoria de Langevin

A teoria clássica do Paramagnetismo foi desenvolvida por Langevin. Nela fazemos uso da estatística clássica de Maxwell-Boltzmann para a determinação do valor médio da componente

z

dos momentos magnéticos. Adotamos o eixo

z

como aquele determinado pela direção do campo magnético. Em função do ângulo

θ

formado pelo dipolo magnético e o eixo

z

, escrevemos:

( 15 )

De acordo com (000) e (000), a probabilidade de encontrarmos um dipolo com uma determinada orientação é dada por:

( 16 )

Tento em vista que a energia depende da direção, podemos considerar que a expressão acima estabelece a probabilidade de encontrar dipolos com uma determinada orientação no espaço. De (000), inferimos que a probabilidade de encontrarmos a orientação dos dipolos dentro de um ângulo sólido

dΩ

é dada por:

( 17 )

Observe-se que, estatisticamente, encontraremos mais dipolos alinhados com o campo do que em qualquer outra direção.

Para levarmos em conta as possíveis direções no espaço, fazemos uso do conceito de ângulo sólido, utilizando coordenadas esféricas, e escrevemos:

( 18 )

Tendo em vista que a energia depende apenas da direção considerada, a soma sobre as energias possíveis é equivalente a uma soma sobre as direções delimitadas por um ângulo sólido infinitesimal. Escrevemos, primeiramente, que:

( 19 )

O momento de dipolo magnético e sua componente z.

µ

_Z

=

µ

₀

cos

θ

P E

Z T

e

E kT

( )

( )

=

1

−

dP

Z T

e

d

ZB kT

= 1

( )

cos µ θ

Ω

Representação de um elemento de ângulo sólido infinitesimal.

d

d d

d

Ω

Ω

=

=

∫

sen

θ θ ϕ

π

4

d

µ

Z

=

µ

Z

dP

Consequentemente, o valor médio do momento de dipolo é dado por:

( 20 )

o que nos leva ao resultado:

( 21 )

onde, por definição:

( 22 )

enquanto a função de partição é dada por:

( 23 )

Efetuando a integral acima, obtemos:

( 24 )

De (...) seque-se que:

( 25 )

Portanto, de (...) e (...) resulta que:

( 26 )

onde

L(β)

é a função de Langevin:

( 27 )

µ

_Z

µ

_Z µBkT θ

µ

θ

µ θ B kT

Z T

e

d

Z T

e

d

=

1

_∫∫

0

=

1

_∫∫

₀ 0

( )

( )

cos

cos cos

Ω

Ω

µ

π

θ θ

π

ϕ

β θ

µ

θ

Z

=

1

_z

∫

d

∫

d e

0 0 2 0

sen

cos

_cos

β

=

µ

0

B

kT

Z T

( )

₌

_∫

π

_sen

_{θ θ}

d

_∫

π

d e

_ϕ

βcosθ

_{= −}

_π

_∫

π

d

(cos )

_θ

e

βcosθ

0 1 2 0

2

Z T

( ) =

e e

β

−

−β

β

µ

µ

β

Z

( )

T

=

0

d Z

(

_d

In

)

µ

_Z

( )

T

=

µ

₀

L

( )

β

Comportamento da função de Langevin

L( )

β

β

β

=

cotanh

−

1

A magnetização resultante é dada por:

( 28 )

Podemos fazer uma expansão de Taylor da função

L(β)

. Para valores pequenos de

β

, podemos escrever, dentro de uma boa aproximação:

( 29 )

Assim, para temperaturas tais que

( 30 )

o comportamento da magnetização com a temperatura é tal que

( 31 )

e, portanto, para altas temperaturas, a magnetização cai com o inverso da temperatura. Tal compor-tamento é denominado Lei de Curie. Como esperado, para altas temperaturas a substância perde sua magnetização. Isto é:

( 32 )

A teoria clássica de Langevin parte do pressuposto de que os constituintes exibem um momento de dipolo magnético e, consequentemente, possuem um momento angular.

M N

V

N

V

L

N

V

B

kT

kT

B

Z

=

=

=



_

−









µ

µ

β

µ

µ

µ

0 0 0 0

( )

cotan

L( )

β

≅

β

3

0

B

T

k

µ



M T

N

V

B

kT

( ) =

µ

02

3

A Lei de Curie se torna válida para altas temperaturas.

lim ( )

Momento angular na teoria qûantica

Aprendemos, no período de transição entre os séculos XIX e XX, que uma nova maneira de descrever os fenômenos naturais se impunha. Essa nova maneira recebeu o nome de teoria quântica. Ela é essencial no nível atômico e subatômico. A teoria quântica foi introduzida como uma neces-sidade visando a levar em conta a natureza dualística da matéria. Ou seja, devemos incorporar à descrição dos fenômenos a natureza ondulatória da matéria. Na teoria quântica vemos que

grandezas físicas têm um espectro discreto. Esse é o caso da energia de um sistema físico como o átomo. Além da energia, o momento angular é quantizado. Assim, o momento angular total de um elétron num átomo é tal que

( 33 )

onde

l

é um outro número quântico e

h

é a constante de Planck dividida pelo valor

2π

. Esse número quântico assume um valor inteiro, não negativo.

( 34 )

Os possíveis valores de

l

são dados pela relação

( 35 )

Outra coisa curiosa sobre o momento angular é a sua componente

z

também ser quantizada, isto é, assume valores dados pela relação:

( 36 )

onde

m

_lé um novo número quântico.

( 37 )



 

L

2

_{≡ ⋅ =}

L L h l l

2

₍

₊

₁

₎

l = número quântico azimutal

l = 0, 1, 2, ...

0 ≤ l ≤ n − 1

L

_Z

= h m

_l

Esse é um número quântico inteiro, mas que pode assumir valores negativos. Seu valor está restrito ao intervalo de valores:

( 38 )

Temos assim

2l

+

1

valores possíveis para o número quântico magnético.

Finalmente, lembramos que o elétron tem spin. O spin (s) é uma grandeza vetorial. Trata-se de

um momento angular intrínseco. O módulo dessa grandeza vetorial no caso do spin do eletron é:

( 39 )

enquanto a componente desse vetor ao longo de um eixo, o qual denominamos

z

, pode assumir apenas dois valores:

( 40 )

A constante

h

/

é a constante de Planck dividida por

2π

.

Temos, assim, apenas duas possibilidades para a componente

z

do momento angular de spin. Por essa razão, dizemos que o spin do elétron é 1/2.

−

l ≤ m

_l

≤ l.

Valores possíveis da componente z do momento angular l = 3.



S

2

1

h

2

h

2

2

1 1

2

3

4

=



+











=

S

Z

= ±

h

/

2

A componente z do spin e o valor do módulo dessa grandeza física só podem assumir alguns valores. São quantizados.

Assim, o momento angular total de um elétron num átomo, que, de acordo com a expressão

(000), é a soma dos momentos angulares orbital e de spin, assume valores dados pela expressão:

( 41 )

onde

j

é um número quântico e

h

é a constante de Planck dividida pelo valor

2π

.

( 42 )

Os possíveis valores de

J  

2 _{são, por exemplo, dados pelos valores:}

( 43 )

Outra coisa curiosa sobre o momento angular é a sua componente

z

também ser quantizada, isto é, assume valores dados pela relação:

( 44 )

onde

m

_l é um novo número quântico. Esse é um número quântico que pode assumir valores inteiros, semi-inteiros, bem como pode assumir valores negativos. Seu valor está restrito ao intervalo de valores:

( 45 )

Temos, assim,

2j + 1

valores possíveis para o número quântico magnético. Por exemplo, no caso de

j = 1/2

, os valores da componente

z

do momento angular total são dados por:

( 46 )

No caso em que

j = 3

(veja figura), a componente

z

do momento angular total pode assumir apenas um dos 7 valores dados a seguir:

( 47 )

J

2

_{≡ ⋅ =}

J J h j j

 

2

₍

₊

₁

₎

j = número quântico associado ao momento angular total.

J

2

3

h j

2

J

2

h j

2

J

2

h j

2

4

1

2

2

1

15

4

3

2

= /



=











= /

(

=

)

=

/



=





,

,





...

J

Z

=

hm

j

− ≤

j m

_j

≤

j

O momento angular total é também quantizado.

J

Z

= /

1

₂

h

,

e

J

Z

= − /

1

₂

h

,

Energia Magnética de Elétrons, Prótons e Átomos

Um átomo adquire um momento de dipolo dado pela expressão:

( 48 )

onde

g

é um fator conhecido como fator de Landé,

e

é a carga elétrica do elétron e

m

_eé a sua massa. Tal fator é muito próximo e é uma característica de um particular estado atômico.

J



, em (000), é o momento angular total do átomo. Tal grandeza é dada pela soma do momento angular total de cada um dos elétrons.

( 49 )

Assim, quando sob a ação de um campo magnético externo, cuja orientação adotaremos como aquela ao longo da direção

z

, o átomo terá uma energia, associada à sua interação com o campo magnético externo dada pela expressão:

( 50 )

De (000), segue-se que os valores possíveis da energia magnética são aqueles dados pela expressão:

( 51 )

onde

µ

_B é o mágneton de Bohr:

( 52 )

E

m

_J é um dos valores possíveis para tal número quântico. Por exemplo, no caso de

j = 5

2

temos

6 valores possíveis para a energia magnética (veja Figura XX).

O desdobramento de níveis em

2J + 1

níveis, quando um átomo se encontra sob o efeito de um campo magnético externo, tem o nome de Efeito Zeeman.





µ = −













g q

m

e_e

J

2

Cada átomo se comporta como um pequeno ímã.

  

J L S

= +

E

B g e

m

_e

J B g e

m

_e

J B

Z mag

= − ⋅ =











 ⋅ =













⋅

 

 

µ

2

2

E

g ehB

m

_e

m

J

g Bm

B J mag

=

/













=

2

µ

µ

_B e e

q h

m

Am

=

/

=

⋅

−

2

9 27 10

24 2

.

O fator

g

de Landé pode ser escrito em termos dos números quânticos

S

,

l

e

J

e isso porque

( 53 )

Analogamente,

( 54 )

E, portanto, o fator

g

é dado por:

( 55 )

Consequências e aplicações do magnetismo

das partículas

Além do efeito Zeeman, podemos citar outra consequência do magnetismo dos constituintes do átomo. Trata-se de entender a experiência de Stern-Gerlach. Essa experiência é uma consequência do magnetismo do elétron, isto é, a energia de um elétron sob a ação de um campo magnético pode

Sob a ação de um campo magnético externo, os níveis de energia se desdobram em 2J + 1 níveis de energia. Este é o efeito Zeeman.

(

)

(

)

(

) (

)

(

 





  

 

J S

J

S

S J L

S J

j j

s s

l l

j j

−

2

=

2

+

2

−

₂

⋅ =

2

⇒ ⋅ =

+ +

1

+ −

1

+

1

2

++

1)

(

)

(

) (

)

(

)

(

 





  

 

J S

J

L

L J S

L J

j j

l l

s s

j j

−

2

=

2

+

2

−

₂

⋅ =

2

⇒ ⋅ =

+ +

1

+ −

1

+

1

2

++

1)

g g j j

l l

s s

j j

g j j

s s

l l

j s

=

+ +

+ −

+

+











 +

+ +

+ −

+

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

1

1

1

2

1

1

1

11

2

1

)

(

)

j j +













assumir apenas dois valores, os quais dependem do momento magnético do elétron. Lembramos primeiramente que, admitindo o campo magnético ao longo do eixo

z

, a energia magnética é dada por:

( 56 )

a qual pode assumir apenas dois valores:

( 57 )

onde

U

+ _{é a energia dos elétrons com a componente}

_z

_{do spin com sinal negativo (dizemos com} o spin para baixo) e

U

− _{é a energia dos elétrons com a componente}

_z

_{do spin com sinal positivo} (aqueles com o spin para cima).

A força sobre um elétron sujeita a um campo magnético não uniforme é dada por:

( 58 )

Assim, a componente

z

da força é dada pela expressão:

( 59 )

Consequentemente, um feixe de elétrons quando em movimento, numa região em que existe um campo magnético não uniforme, se dividiria em dois e isso porque alguns átomos experimen-tarão uma força tal que:

( 60 )

Tais elétrons, aqueles cujo spin está “para cima”, se moverão no sentido contrário àquele para o qual o gradiente do campo magnético cresce (

∂

∂

>

B

z

Z

0

) , enquanto os dotados de spin “para cima”,

experimentarão uma força de mesmo módulo, mas de sentido oposto aos de spin para cima.

U r

q

m

e_e

S B r

Z

( )

 

−



( )













2

2

3

U r

q h

m

B r

B r

U r

q h

m

B

e e Z B Z e e Z + −

=



/











=

= −



/











( )

( )

( )

( )









2

2

ω

(( )

r



= −ω

_{B Z}

B r

( )







F

= −∇

U

F

g q

m

S

B

z

r

Z e e Z Z

= −















∂

_∂











2

( )



F

B

z

z−

= −

B Z

∂

∂

ω

( 61 )

Um feixe de elétrons se dividirá, portanto, em dois. Isto explica o resultado da experiência de Stern-Gerlach.

Observe-se que é essencial que o campo magnético não seja uniforme.

Uma das aplicações do magnetismo do próton é conhecida como Ressonância Nuclear Magné-tica, que é utilizada para efeito de diagnóstico médico. Ela foi descrita, rapidamente, no tema carga elétrica e spin. Aqui apresentamos sua base em termos mais precisos.

Para um átomo, ou uma partícula como o próton, dotado de energia magnética, é possível fazê-lo passar de uma energia para um nível de energia mais alto. Para tanto, deve-se transferir a ele uma quantidade de energia dada pela diferença de níveis. Para o caso de um próton, essa energia é dada por:

( 62 )

onde é o mágneton de Bohr do próton:

( 63 )

Ao observar um fóton da radiação eletromagnética, constatamos que o fóton foi dotado de frequência

ω

dada por:

( 64 )

Assim, a uma frequência dita de ressonância dada por:

( 65 )

um próton efetua uma transição de um nível de energia mais baixo para um nível de energia mais alto. Um arranjo simples de um aparelho de ressonância nuclear é aquele no qual colocamos uma substância como a água numa região, onde uma bobina produz uma corrente alternada que oscila com uma determinada frequência (veja figura a seguir). Os prótons que compõem os átomos de hidrogênio de cada molécula da água podem absorver a energia provida pela bobina, na medida

F

B

z

z+

=

B Z

∂

∂

ω

Experiência de Stern-Gerlach.

∆ = −

U

g

µ

B

( )

J B g

Z

−

µ

B

(

J

Z

−

1

)

B g B

=

µ

B

µ

_BP e P

q h

m

=

/

2

ω

= ∆ =

U g B

µ

B

ω

=

g

µ

B g q

=

m

B

P B P e P



2

em que, na frequência de ressonância, eles experimentam uma transição de seu nível de energia mais baixa para o nível de energia mais alta.

Nesse processo, a água contendo muitos prótons, à medida que mais e mais prótons são promovidos para níveis de energia mais alta, absorverá a energia da bobina a uma determinada taxa. Essa absorção será máxima na frequência de ressonância. Um osciloscópio permite determinar a que frequência isso ocorrerá, ou seja, é possível observar quando ocorrerá a absorção de energia necessária para efetuar as mudanças de nível.

No caso, a vantagem de se utilizar o próton no núcleo de átomo de hidrogênio, está em que ele se comporta como se fora uma partícula livre. Isto é, temos apenas dois níveis de energia associados aos valores do spin:

S

_Z

= /

h

/ 2

e

S

_Z

= − /

h

/ 2

.

Outra aplicação do magnetismo dos constituintes se refere à possibilidade de resfriar uma subs-tância mediante o processo inverso daquele descrito anteriormente. Trata-se do resfriamento por desmagnetização adiabática. Nesse caso, a energia não é bombeada para o sistema, mas subtraída.

Paramagnetismo Quântico

No contexto quântico fazemos uso, como no caso clássico, de métodos estatísticos. Em particular, levando-se em conta agora que a energia é quantizada, podemos prever que a probabilidade de encontrarmos o sistema num nível de energia

E

_n é dada por:

( 66 )

Consideremos primeiramente o caso de um sistema de dois níveis:

( 67 )

Como vimos antes, esse sistema descreve um elétron de momento magnético

µ

sob a ação do campo

B



.

P E

e

e

e

Z

n E kT E kT n E kT n n n

( ) =

=

− − = ∞ −

∑

0

E

B

E

B

( ) ( ) + −

=

= −

µ

µ

0 0

Mediante um campo magnético externo, os níveis de energia de um sistema de dois níveis se bifurcam.

Esquema básico de um aparelho de ressonância magnética.

Nesse caso,

( 68 )

onde

( 69 )

O número de dipolos alinhados com o campo magnético, energia

−µ

₀

B

, é:

( 70 )

O número de dipolos orientados no sentido oposto ao do campo magnético (aquele cuja energia é

E

+

= µ

0

B

) é:

( 71 )

Pode-se facilmente verificar que:

( 72 )

O fato é que, para temperaturas muito altas, o número de dipolos orientados numa ou noutra direção é praticamente o mesmo:

( 73 )

Ou seja, efeitos térmicos desalinham os dipolos magnéticos. A magnetização média é dada por:

( 74 )

Z T

( )

=

e

−β

+

e

β

=

₂

cosh

_β

β

=

µ

0

B

kT

N

( )

N P E

₍

( )

₎

N e

cosh

−

₌

−

₌

2

β

β

N

( )

N P E

₍

( )

₎

N e

cosh

+

₌

+

₌

−

2

β

β

N

(+)

_{+ N}

(−)

_{= N}

lim

( )

( ) lim

( )

( )

T

N T

T

N T

N

→∞ + →∞ −

=

=

2

M

N

V

N

V

=

µ

₀ ( )−

−

µ

₀ ( )+

De (...) e (...) segue-se que:

( 75 )

Temos, assim, que no limite de baixa temperatura a magnetização é alta. Em particular,

( 76 )

Para altas temperaturas, o comportamento é aquele previsto pela Lei de Curie:

( 77 )

No caso em que os níveis são

(2J + 1)

vezes degenerados, escrevemos:

( 78 )

No limite de baixas temperaturas, haverá maior alinhamento dos dipolos em maior valor de

J

. Em particular, à temperatura zero, teremos:

( 79 )

Para determinarmos o comportamento para altas temperaturas, fazemos uso da expansão da função exponencial para valores pequenos do argumento. Escrevemos:

( 80 )

Assim, a magnetização pode ser escrita como uma relação que envolve somas simples, a saber:

( 81 )

M T

N

V

N

V

B

kT

( )

=

µ

₀

tanh

β µ

=

₀

tan

µ

0

lim ( )

T

M T

N

V

→∞

= µ

0

M T

N

V

B

kT

( ) =

µ

02

M

N

V

gM

gM B

kT

gM B

kT

M J J M J J

=





















_



=− =−

∑

∑

µ

µ

µ

0 0 0

exp

exp

lim

( )

T

M T

N

V

g J

→∞

=

µ

0

e

g B

kT

M

gM B kT µ₀

_µ

1

0

= +

+ ⋅⋅⋅

M B T

N

V

g

M

M g B

KT

M g B

KT

j j M j j j M j J J

( , ) =

+









_



+









_



=− =−

∑

µ

µ

µ

0 0 0

1

1

jj

∑

Na expressão acima retivemos até termos lineares na expansão (000). Lembrando que:

( 82 )

obtemos, depois de substituir (...) em (...):

( 83 )

átomos, para os quais

J = 0

, não exibem o paramagnetismo. Eles são, como veremos depois, diamagnéticos.

M

M

j

M

j j

j

j M j j j M j j j M j j J J J

=

=

+

=

[

+

+

]

=− =− =−

∑

∑

∑

0

2 1

1

3

1 2 1

2

₍

₎₍

₎

M

N

V

J J

kT

g

B

=

(

+

1

)

3

2

µ

0

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Créditos de produção deste ebook.

Créditos

Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP).

Autoria: Gil da Costa Marques.

Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura.

Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro.

Revisão de Texto: Marina Keiko Tokumaru.

Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira.

Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino,

Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S.