Mftl&ft PROGRAMA DE ENGENHARIA NUCLEAR COPPE/ UFRJ

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C. F.ftStf - CEP - f IMS - EtoTe Jtófcüo-lü - B 4 « * U

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HÉTODO BQS PSElflJO-HARflÕNICOS:

URA APLICAÇÃO A REATORES T B W I C K

J\K FERNANDO CARVALHO DA SILVA

' SILVIA ROTENBERG

ZIELI DUTRA THOMÉ FILHO

OüT/85 - O r g l - C ^ l ^ r - PEN-135

sumiu o

Apresentados neste trabalhe diversas aplicações do •itodo dos Pseedo-Harmõnicos, visando o cilculo do fluxo de neu trens e do autovaior perturbado de um reator nuclear, tipo PHR, ceai 3 regiões de enriquecimento e C O M características similares ao do reator Angra I.

Feraa) simuladas, no reator de referência, perturba^ ções de diversos tipos, tanto globais quanto locais.

0 critério de convergência em autovalor mostrou que poucas ordens de aproximação foram suficientes para o cilculo, demonstrando assim uma rápida convergência numérica.

Os resultados foram comparados com os obtidos atra vis do método direto, demonstrando um ótimo desempenho do método em estudo. 0 número de pseudo-hsrmônlcos utilizados em cada ca-so dependem do tipo e da intensidade, da perturbação imposta ao reator.

it

Í N D I C E

INTRODUÇÃO 0 1

MÉTODO DOS PSEUDO-HARMONICOS 04

DETERMINAÇÃO DOS VETORES DE BASE *g j 0 8

DETERMINAÇÃO DOS COEFICIENTES a j k ) 10

DETERMINAÇÃO DAS CONSTANTES Cí k ) 14

RESULTADOS 16

CONCLUSÃO 30

AGRADECIMENTOS 31

I H T P. 0 D t Ç * O

Te» havido recentemente wo relativo esforço para se desenvolver métodos per turba t1 vos, aplicados a anil i se de reato-res» em que a solução perturbada depende explicitamente da pertur bacio * * . , para qualquer ordem de aproximação requerida. Os diversos métodos explícitos expande* a variação do fluxo em tor-sos de autofunções do sistema, cuja escolha depende do método u U 1liado.

0 método perturbativo de formulação explicita de a2 tas ordens, desenvolvido por (tendi ni - denominado "Método Padrão" (NP) - foi testado por Palmioti através de aplicações a dois

tipos distintos de reatores rápidos, nu» contexto de teoria de à±

fusio a um grupo de energia e a uma dimensão. Os resultados obti-dos por ?almioti reproduzes) rezoavelmente bem aoueles obtiobti-dos a_ través do cálculo direto, para cada perturbaçio imposta. A método lógia NP, entretanto, não pode ser estendida para uma formulação mui tigrupo uma vez que, nesta formulação, as autofunções, re1acj[ onadas ao autovalor do modo lambda ', embor* sejam linearmente in

dependentes não formam um conjunto completo1 , a menos que se in

[6J

clua os autovetores correspondentes a l/X » 0 Como estes úl-timos autovetores pertencem ao kernel do operador de fissão, os coeficientes da expansão do fluxo relacionados a eles não podem, esrgeral, ser calculados. Isto é devido ao fato de que o produto interno, entre quaisquer autovetores deste conjunto completo, utl liza o operador de fissão na sua definição.

0 uso do conjunto de autovalores denominados "time eigenvalues" e autofunções relacionadas, como proposto na Ref.(2),

2

poderia representar waa solação para est» dificuldade. Tais sate funções sío linearmente independentes a podea ser atilfzadas cone asa base da espaço de funções, waa vez que fora*» ua conjunto ceai ptata. Eveatualaente, a» casa d» auto»»lores idênticos» a ceaple teza de conjunto i alcançada coa a inclusão dos autovetores gene-ralizados de aasao operador. Este Betado apresenta, entretanto, coara desvantagens de ordea pratica, a fato das equações diferen-ciais sere» acopladas entre sf (tropo a grupo), a aatriz decorre* te da discretizaçio espacial aio ser siaétric» e, portanto, os au tovalores e respectivos autovetores poderea-vir a ser coaplexos.

Ua outro aetodo alternativo, que pore» apresenta a^ guaas vantagens co» relação ao aetodo anterior, i o Método dos

131

Pseudo-Haraonicos desenvolvido por Plaachard a colaboradores.

Esta aetodo consista na expansão do fluxo perturba-do de neutrons en) ternos de una base construída a partir de uecon junto conpleto de autofunções (pstudo-haraÕnicos) do operador não perturbado, que representa soaente fuga aais renoção do grupo, na equação de difusão.

Desta fora», os pseudo-haraônicos são soluções de equações diferenciais, desacopladas ea grupos de energia.

Ü

A discratização espacial destas equações diference ais-, para cada grupo de energia, nos leva a- aatrizes reais e sina tricas. Isto iaplica ea que os autovalores sejaa reais e os auto vetores ortogonais, foraando ua conjunto completo.

Este aetodo apresenta cono vantagens;

• *io i necessário calcular os haroonicos adjuntos (problema auto adjunto).

- os autovetores sio calculados para cada §ro»o (redução do ordeo do prob1 toa do ontoyslores).

4

*. mm m.mm*mmtm

Resta seçlo apresento»** o aêtodo dos pseudo-harm-Ricos» proposto por Pioncharé» paro o calculo do fluxo perturbado.

A equação d* Boltzuinn» no f o n w aultigrupo» para um sistcaa crTtico no estado estacionaria pode ser escrita por

(A - *.F)#. • 0 » sendo A"« S • S

_(D

onde X, ê o autovalor fundaaeatel» f i o operador de fissão» • r e p r e s e n t a fuga *eis reaoção o S o espalhaoento. o fluxo 'de neutrons não perturbado #9» no «ode fundaoental, ê representado por

'1.0

#

•s,o

C O R 6 indicando o número de grupos de energia.

Se una perturU.ção i causada no núcleo do reator, o fluxo perturbado de neutrons é solução da seguinte equação:

con

(A' - X'r»)f - 0

•;

••

• i

• ;

Expandindo, tanto o fluxo perturbado, è', quanto o au tovalor perturbado, X*, tea-se:

k-0 ~ " k»l "

(5)

k-0 k-1 {«)

onde o Tndice k nas equações (5) e (6) significa a ordem de aproxj^

•ação na expansão, e obviamente f' ' • $, e X* ' * Xf, com $' ' sa

tísfazendo ao seguinte sistema de recorrência :

(A - X,F)* (O) (A - *#F ) t( k ) • i( k ) í k « 1.2.3, ... (7.«) (7.b) onde: t

(M .

Analisando a k-íslma equação do sistema (7), vê-se

que, pelo fato do operador (A-A,F) ser singular'7', a equação

(7.b) terã solução se, e somente se, <**,t > « 0 . Esta condição Implica em que

6

<&***

(9>

ende < >.Indica tento a integração em volume quanto as operações ma tricials envolvidas. O fluxo adjunto no modo fundamental, •*, sa-tisfaz i seguinte equação: '

(A - X#F )£ - 0 (10)

* * .

com A e F sendo os operadores adjuntos a A e F, respectivamente, e

! .

•I.o

•9.0 C « )

Observamos que a solução geral da equação diferencial

(7.b) não é única, uma vez qvt todas as funções da forma abaixo sa_

tisfa2em a esta equação.

|C«> . c<k>! t • t

'pert.

(12)

onde cl ' t u r n constante arbitrária da solução homogênea e •/ . repre senta a solução particular da k-Ss1ma equação (7.b).

ik)

A solução particular f , para todo k, pertence

pert»

a um espaço ortogonal a $j. Este espaço* que denominamos H,, é ge rado pelos autovetores de modos mais altos (harmônicos) ^ (1 » 1, 2» 3* ,,,) que satisfazem ãs seguintes equações

Os harmônicos satisfaz*», também, a seguinte relação de ortogonalidade

<t*fê* >.*• 0 P«ri W n ; Vi» n - 0,1,2, ... ( M ) —n —1

onde fn (n «1*2*3, ...) são os autovetores adjuntos, de modos «ais

altos,que satisfazei as equações:

(A* - X F*)a* - 0 ; n « 1,2,3, ... (15)

Os vetores •* ' da expressão (12), para k > 1, podem, -pavt.

por sua vez, ser representados por uma combinação linear de

veto-res • -, cujo conjunto f o m a una base para Ht. As componentes do

vetor f , são obtidas a partir dos pseudo-harmÔnicos, conformemos

- - fkl

tramos na próxima seção. Assim, ** ' pode ser expresso como: -part.

•

- I ! «Vi *a i <

>

8

0s pseudo-harmonices são as autofunções de cada ope-rador B. representando fuga ( • ? • ! > ! ) mais rtmoçío ( í j ) . em cada gru po § dt energia, onde:

•8 - -1'*9* • J * ; 9 » 1,2» . . . . 6

• • (17) com ^ « '!•..• BfB* • f " * ' e B2 - Buckling Axial

0 operador B possui uma infinidade de autovalores

SP

Y_ j reais e positivos, e as autofunçõts associadas (os pseudo-har irônicos) »gj são soluções da seguinte equação:

• V V i *.

g.j"gJ

V

'

' * ' —

Ot pseudotharmSnicos satisfazem is mesmas condições de contorno Impostas ao fluxo de neutrons e, além disso, são orto gonais entre si num espaço de funções com o produto interno defi-nido por:

h partir dos pseudo-harmônlcos, « ,, construímos 6

vetores w„ t da forma

"9*3

0

*9.S

Os vetores w . pertences ao espaço gerado pelos h*r

sônicos* +,j (1 • 1,2,3, . . . ) • c Pe í o fluxo no modo fundamental, é,.

Assis, os vetores w , pode* ser expressos coso:

-9,i _{i-0 ^ ~}

1

(21;

g

onde os coeficientes b^* sío determinados cos a utilização da rela, çio de ortogonaiidade (14), logo,

U

w

<! iFt i>

(22)

Desejamos então construir (a partir do conjunto w_ ,)

usa base para o espaço H», que i ortogonai a +o. Para -isso,

defi-nimos us conjunto de vetores $_ *, através da extração da contribji

ição da cosponente $, es (21), assim:

-fl.j ÍQ.J * T 7 • •

A^t.

(23)

(k)

Agora, resta-nos calcular os coeficient.es a, n da

ík) . J , S

expansão dos • ,-expressão (16),

Io

M

*• oenwitiMtc»» pes cotricijoiro «j *

Substituindo a expressão (16) ea (12) e levando a ex pressão resultante na fc*isiae equação ( 7 . b ) , teaos que:

I I • ; 1 (* - *,F) •„ j » *

i

se agora, utilizamos a equação (23), f1ca«os coa:

(24) (25) onde

.»- . ^ á l â b i l

Utilizando a equação (1) e considerando que A « B + S, onde B -B, »6 • segue que

l \

«

( B * S - *,F)w -

«as como Bí g j • Y g J wfl j tonos:

,!l

f

!,'S!i[Vjí..J*

CS

-V>!S

f

J

(27)

St trttncanaos a serie (?S) no ft-ísiao haraônico, Multiplicarmos a esquerda por v» { e iittegrar«os es todo o volva», obtereaos:

(k) " f 9*9 (k) (k) • • ' ' »9 4«1 g-1 "li j»g M (29)

onde:

„(k)

Notamos então, que a expressão (29) representa UM sistema de N x 6 equações lineares» que pode ser representado matricialmente da se gulnte forma: (U • R) oí k ) •• v( l t ) (30) sendo: .<*> "1,1 > > °H,1 1,2 > > 11.2 > > N,G

(M

rvn

•er

12 U

M

•M

n

•••

u

•••

16

:*

•

'

CO

As componentes ar. ' do vetor «* , solução da equação

J'9 ~ (k)

(30), são os coeficientes que necessitamos para determinar os • _

"'part.

(equação (16)).

Os elementos das matrizes U « R são calculados a par tlr dos parâmetros do reator de referencia e, portanto, por não de-penderem da perturbação, são calculados uma única vez, qualquer que seja a perturbação causada no sistema.

tos do vetor v * da equação (30) (sistema de equações algibricas lineares).

logo» para o» certo numero de grupos de energia e fixado o número de pseudo-narmênicos» a inversa da «atriz ü < R pode então ser armazenada para posteriomente ser asada nos cal-cules dos coeficientes a. . Do ponto de vista prítico isto ê

í»f

bastante útil» uma vez que para ume certa ordem de aproximação K (k)

e uae dada perturbação, es coeficientes o* são calculados atre-v i - .„i

vis de um simples produto matricial entre (U • R) » calculada única vez, e v » que depende da ordem de aproximação e da per-turbação causada ao sistema.

14

5. PETERUIHAÇ»0 PAS COttSTAHTES ç (k)

Para a detonai nação das constantes c' ' , da expres, sío ( 1 2 ) , vamos impor a condição de que a taxa total de fissão seja igual a »a constante P, antes e depois da perturbação. Isto ê:

- f " onde:

h

íf.i

tf.

A igualdade em (31) deve valer para qualquer ordem de aproxlMaçao considerada para o cálculo do fluxo perturbado + .

i i i

Substituindo •'. em (31), pela expansão (5) trun-cada eu una certa ordem k, teu-se:

ift>

<if^.*%t

)>*<i;t^>^

Lembrando que (31) e válida para qualquer ordem de aproximação»

l' t * ' ' *

h t

'

Substituindo (12) em (33) e considerando a expansão (16) com apenas N pseudo-harmônicos, temos:

• » - *

(34)

Co» os coeficientes *\ ' calculados» dete.r»ina-se.

J.9

<*)

através da expansio (16)> a solução particular + da k-esiaa

- . -part.

equação (7.b). Co» as constantes c calculadas* pode-se deter-minar a solução honoginea da k-ési»a equação (7.b). Assis, pas_ sa-se a conhecer a solução geral expressa por (12) e portanto te»

-se o fluxo perturbado, através da expansão (5), calculado até a k-Ssina orde» de aproximação.

16

6. RESULTADOS

Para se testar a Metodologia simulamos diversas per turbações em na reator térmico» tipo W R , de 1876 Kw de potência teraica, com 3 regiões distintas de enriquecimento e com caracte rTsticas próximas aquelas do reator Angra I. Mostradas nas tabelas I e II.

Os cálculos foram feitos a uma dimensão (geometria

cilíndrica e Ruckling axial de 7.3678 x 10"5cm"2) e a dois

gru-pos de energia.

Para realizar estes cálculos foram escritos quatro programas computacionais em FORTRAN. 0 programa FLUXDN que f o m e ce, através do calculo direto, o fluxo não perturbado e perturba-do de neutrons segunperturba-do a teoria de difusão, com formalismo mui ti-grupo e a uma dimensão. 0 programa CHARN que calcula os pseudo-narmõnicos e seus respectivos autovalores. 0 programa INVERTE que faz a montagem da matriz 0 + R (Eq. (30)} e em seguida a inverte. E finalmente o programa PSEUDOH que calcula o fluxo perturbado de neutrons segundo o Método dos Pseodo-Narmônicos descrito neste tra_ balho.

0 programa PSEUDOH determina a ordem de aproximação requerida na expansão do fluxo, conforme a expressão (5), utili-zando o seguinte critério de convergência em autovalor:

i

- < e A-0

onde K será a ordem de aproximação requerida quando o critério a cima for satisfeito. Nos casos testes mostrados mais adiante ado

espessara (cm) enriquecimento (%) 72 2.1 29 2.6 22 3.1

TABELA U - Perímetros ffslcos port o rootor de referindo

m 1 2 3 9 1 1 2 l 2 D m,g 1.3096E+0 4.7339E - 1 1.3094E+0 4.7152E - 1 1.3096 +0 4.6920E - 1

I

IS

Apreseataaos a seguir, caso a caso. as perturbações realizadas ao reator de referência e os resultados obtidos atra-vés do aétodo de pseude-haraênicos, que sio cooperados ceai aqueles obtidos pelo cálculo direto.

Ea todos os casos apreseatados abaixo a iafluêacia' das perturbações, ao grupo rápido (grupo 1 ) . foi menos acentuada, tendo ea vfsta os tipos de perturbações ceasideredos. For esta ratio o fluxo rápido aío foi apresentado graficeaente ea aeabwa dos cases. Re entanto, deva ser observado que o fluxo perturbado, no grupo rípido. foi. emito bep reproduzido coa a aesaa ordea de aproxiaaçío e o aesao nweero de pseudo-haraônicos requeridos, ea cada caso. para reproduzir o fluxo perturbado, no grupo tiraico

(grupo 2 ) . CASO 1;

Foi escolhida uaa perturbação que siaula ua absorvje dor localizado no centro do reator (coa 4,8ca de raio) caracteri zado por uaa seção de choque aacroscõpica de absorção 30X aaior que a não perturbada da aesaa região, para os dois grupos de ener gia considerados.

Foraa feitos cálculos coa 1» 5» 11 e 22 pseudo-haraô nlços, tendo sido o fluxo perturbado bea reproduzido coa 22 pseu do-harmõnicos.

A convergência ea autovalor foi atingida para todos esses cálculos, na 3a, ordea de aproximação.

Os autovalores \' obtidos pelo cílculo direto e pe-lo método dos pseudo-harmonicos coincidem, até 5 dígitos signifi-cativos, em 1,0010.

•0 ISO

RAIO (cm)

zoo

Figuro 1 - Flu» perturbodo colculodo até 3

ordem

deoprwimocòo,com 1 pseudotormônico. TIPO DE

PERTUR-BAÇÃO: Acrésdmo de 3 0 % « n

U-20

©ooo

Gato* ditto

Zono do Pertiiboçflo

RAIO (on)

Figura 2 - Flu» perturbodo colcdado até 3

ordem

de a w w m o ç õ o ^

Cob*» dnto ••»•»••• *• HKDQB OK SBBHQ^vIOlMHnBüS Zooo do Ptrturboçft) 80 WD

RAIO (cm)

Rguro 3 - Ruxo perturbodo coloiodo até 3

ordem

de oprwmoçõo, com 11 pseuoWwrmonicos. TIPO DE

PERTUR-BAÇÃO:/ta&cw» de 3 0 % em Z Q .

22 * ca

i

£

8

RAIO (cm)

Figuro 4 - Roxo perturbado cofcubda até 3

ordem

dl oproximoçõo, com 22

pseuoWio^nb><eo8.TIR)DEPERrUR-BAÇÍD: Acréscimo de 3 0 % em

U-São apresentados nas figuras 1, 2, 3 e 4 os resulta dos obtidos para o fluxo perturbado» no grupo térmico (grupo 2 ) , para cada número-de pseudo-harmõnicos considerado.

Para fins de co«paração» consta também nestas figu ras o fluxo perturbado obtido através do cãlcul: direto.

CASO 2:

Esta perturbação representa a diluição» de forma ho mogênea, de um absorvedor eu todo o reator. . Isto foi feito aumej» tando-se igualmente, de 20S» as seções de choque macroscópicas de absorção de todas as 3 regiões de enriquecimento.

A convergência no autovalor X* foi atingida na 4a.

ordem de aproximação, obtendo-se:

A' (calculo direto) * 1.2332

X' (método dos pseudo-harmõnicos) > 1.2330

Nas figuras 5 e 6 apresentamos os resultados obti-dos para o fluxo perturbado (grupo térmico), com 1 e 5 pseudo-ha£ mõnicos. No entanto, deve ser observado que os fluxos perturba^ dos obtidos pelo calculo direto e pelo método dos pseudo-harmõni-cos, com 10 pseudo-harmõnipseudo-harmõni-cos, são praticamente coincidentes.

CASO 3:

Neste caso a perturbação representa a inclusão de um absorvedor extra (com 3,6cm de espessura) no centro da segunda região, caracterizado por uma seção ue cheque macroscópica de ab-sorção 30% maior que a não perturbada da mesma região, para os dois grupos de energia considerados.

'4 Cdlcuto direto - Método ds Dseròtannôracos Zona do Perturbação 80 120

RAIO ( e m )

Rguro 5 - Ruxo perturbado coiculodo old 4

ordem

de oproximoçõo, com 1 psáido-hormãnico, TIPO DE

PERTUR-BAÇÍO: Acréscimo de 2 0 % em £ Q .

Cdlcuto direto ——— Mtitafe (tepseudo-honnõnícos Zono do F&rturboçõo 80 120

RAIO (cm)

Figuro 6 - Fluxo perturbado coicuiodo otcí 4

ordem

de oproximaçõo, com 5 pseudo-tarmônte.TIPO DE

PERTUR-B A : Acréscimo de 20% em Eo.

Diversos cálculos fora* feitos para diferentes nume ros de pseudo-harmônicos. Nas figuras 7 e S apresentaaios os flu cos perturbados calculados com 5 e 25 pseudo-harmônicos para *os trar a importância do n9 de pseudo-harmônicos para a reprodução da f o n a do fluxo, príncipe lawn te no local da perturbação.

Neste calculo foi necessário ir ate a 4a. orde» de aproximação para se obter a convergência emautovalor X'» cujos valores obtidos pelos dois métodos são:

A* (calculo direto) « 1.0116

X' (método dos pseudo-harmônicos) « 1.0120

CASO 4:

Neste caso a perturbação foi caracterizada pela in * clusío de una nova região de enriquecimento (com 3,6cm de espessu

ra), que altera localmente todos os parâmetros da parte central da 2a. região. Os parâmetros desta nova região foram escolhidos co-mo idênticos aqueles da 3a. região do reator de referência.

A convergência em autovalor foi obtida na 2a. ordem de aproximação. Para se reproduzir razoavelmente a forma do fluxo

perturbado necessitou-se de 25 pseudo-harmônicos nos cálculos rei

lizados. C apresentado na figura 9 o fluxo perturbado, do grupo térmico, para efeito di comparação entre os resultados do cálculo direto e do método dos pseudo-harmônicos.

Para este caso os autovalores obtidos através dos dois métodos são;

Xr (cálculo direto) - 0.9984

20001 *~» UOO % 1200- -^ 2

8

Cdlcub dketo

RAIO ( c m )

Figuro 7 - Fluxo perturbodo calculado até 4-ordem

de aproximação, com 5 pseuòo-harmônicos.TIPO DE

PERTUR-BAÇÃO ;Acràciro de 3 0 % em E *

ra

RAIO ( c m )

«o

Rguro 8 - F l u » perturbado calculado até 4

ordem

de oproxJmoçõo, com 25 pseudo-hormônicos. TIPO DE

PERTUR-BAÇÃO: Acréscimo de 3 0 % em Eo.

8üK0 60004

B 40»f

müoi

Figuro 9 - Fluxo periurbodo colcubdo até 2

ordem

de oproximoçóo, com 25 pseuíb-honronicos.TIPO DE

PERTUR-BAÇÃO: Inclusão de uma novo regíõo com 3,1% de

enrique-cimento (todos os parâmetros perturbados sõo idênticos oo do

30

7. COHCLWSXO

O mérito deste método advém da escolha da base u t l H zada na representação do fluxo perturbado. Esta base ê constituída de autofunções de um problema de autovalor, cujo operador é a par-te auto adjunta do operador do problema original. Estas autofun-ções são reais, ortogonais e formam um conjunto completo. Do ponto

de vista numérico, o fato do operador'ser auto adjunto facilita bè%

taiíte a obtenção destas autofunções.

Em uma analise des casos estudados, observa-se que quanto mais localizada e mais intensa for a deformação do fluxo, maior seri o número necessário de pseudo-harmônicos para

reprodu-zir a forma do fluxo perturbado. Este efeito é bem evidenciado a_ traves das perturbações localizadas (casos 1, 3 e 4 ) .

Face i precisão desejada no calculo do autovalor,pog cas ordens de aproximação foram suficientes para o cálculo do flu-xo e do próprio autovalor, demonstrando assim uma boa velocidade de convergência numérica.

Constata-se então, que .este método explicito é bastan te prático, e relativamente preciso, na reprodução do fluxo pertur-bado para diferentes tipos de perturbação (Globais ou Localizados), como aqueles aqui estudados. Este método também se presta a estu dos de sensibilidade do fluxo perturbado para diversas intensida-des de cada tipo de perturbação. No entanto, para que este método tenha uma real aplicação no cálculo de reatores torna-se necessária a sua extensão para duas dimensões.

AGRADECIMENTOS

Os autores agradeces ao Prof. Antonio Carlos Marques• Alvi» pelas discussões técnicas durante a fase de redaçie deste trabalho.

Os -autores agradecem ao ICC - Laboratório de CoapuU çio Cientifica pela pemissio do uso de seu computador e i FINEP-Financiadora de Estudos e Projetos e CNPq pelo apoio financeiro.

32

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