PO 14: ESTUDANDO CONCEITOS MATEMÁTICOS ATRAVÉS DA CONSTRUÇÃO E DO USO DO QUADRANTE E DAS TÁBUAS DA ÍNDIA
Francisco Antonio do Nascimento Siqueira Junior Universidade Estadual do Ceará francisco.siqueira@aluno.uece.br
Hanna Marry Viana Bezerra Universidade Estadual do Ceará hanna.marry@aluno.uece.br
RESUMO
O quadrante é um dos mais antigos instrumentos de navegação e é anterior até mesmo ao astrolábio e a balestilha. Formado por um quarto de círculo dividido em noventa partes; com um quadrado de sombras na parte interna dividido em vinte e quatro partes iguais; tinha como principal finalidade medir a distância percorrida através do ângulo de inclinação da Estrela Polar. As Tábuas da Índia tiveram grande importância nos séculos XV e XVI, sua função é determinar a altura de uma estrela em relação à linha do horizonte. Esse instrumento é constituído por uma tábua quadrangular, ou retangular, em cujo centro está fixo um pequeno cabo com diversos nós que correspondem à altura da Estrela Polar. Esse estudo tem o intuito de, a partir da construção e utilização do quadrante e das tábuas da índia, possibilitar o ensino de conceitos matemáticos por meio desses instrumentos. Inicialmente foi realizado um estudo dos instrumentos observando seus aspectos históricos. Estamos agora estudando a sua construção e analisando a matemática implícita nessa construção. Nosso intuito com esse trabalho é contribuir para o aumento de pesquisas que envolvam métodos diferenciados de ensino, principalmente para a área de formação inicial dos professores de Matemática.
2 Introdução
Durante os séculos XV e XVI, os europeus, principalmente portugueses e espanhóis, lançaram-se nos oceanos Pacífico, Índico e Atlântico com dois objetivos principais: descobrir uma nova rota marítima para as Índias e encontrar novas terras. Este período ficou conhecido como a Era das Grandes Navegações e Descobrimentos Marítimos. Como forma de orientação os europeus contavam com alguns instrumentos de navegação como, por exemplo: o quadrante, o astrolábio, o Kamal e a balestilha. Quanto ao astrolábio era um antigo instrumento para medir a altura dos astros acima do horizonte, utilizado na Idade Média para fins astrológicos e astronômicos. A Balestilha surgiu como um aperfeiçoamento do Kamal teve grande importância nos séculos XVI a XVIII e sua função era a mesma do instrumento predecessor a ela.
Já em relação às Tavoletas ou Tábuas da Índia, instrumento de origem árabe e hindu, surge inicialmente com o nome Kamal, e posteriormente é utilizado por navios portugueses com a designação de Tavoletas da Índia ou Balestilha do Mouro. Foi apresentado ao navegador Vasco da Gama em sua primeira viagem à Índia pelo árabe Ahmad Ibn-Majid. Sua principal função determinar a altura das estrelas em relação a linha do horizonte.
O quadrante náutico foi um instrumento que surgiu antes mesmo da balestilha e do astrolábio, este último surgiu como um aperfeiçoamento do quadrante. Não se sabe quem criou o referido instrumento nem quando ou onde foi criado, mas sabemos que ele foi largamente utilizado pelos antigos navegadores e sua principal função era medir distâncias percorridas através do ângulo de inclinação da Estrela Polar, mas também era útil, até certo ponto, para calcular a latitude de um dado local.
Em vista disso, esse trabalho tem o intuito de apresentar, a matemática que pode ser estudada a partir da construção do quadrante e da tábua da índia, não deixando de lado o desenvolvimento histórico, social, político e econômico da época em que foi construído esse instrumento colaborando com aulas práticas do professor e o aprendizado do aluno. Portanto, acreditamos que um estudo que envolva a construção de conceitos matemáticos a partir de instrumentos de medição antigos possa permitir ao aluno, visualizar as relações entre conceitos da Matemática e da Astronomia, levando-o a ter compreensão de noções
3 geométricas, possibilitando, assim, a aprendizagem dos conteúdos ensinados nessas ciências.
O Quadrante Náutico
O quadrante náutico é formado por um quarto de círculo graduado de zero a noventa graus. Do vértice do quadrante parte uma alidade, e é essa que nos indicará o ângulo de inclinação que estamos procurando. Na sua parte interna há um “quadrado de sombras” no qual cada lado está dividido em doze partes iguais. Através desse quadrado, e do utilizando semelhança de triângulos podemos encontrar as distâncias que precisamos.
Nele também temos seis divisões que indicam as horas do dia, mas como o dia tem vinte e quatro horas cabe ao observador deduzir qual a hora correta, o que não é muito difícil, pois, por exemplo, se o quadrante marca cinco horas, observando o tempo o observador saberá se são cinco horas ou dezessete horas.
Além do quadrante náutico temos outro tipo de quadrante que não era utilizado nas navegações: o quadrante geométrico. Seu objetivo é calcular distâncias grandes que não podemos medir. Formado por um quadrado de comprimento de duas braças, o que equivale a 1,10 metros. Cada lado do quadrado é dividido em sessenta partes e possui uma alidade que se move através do lado do quadrado no qual esta foi posta. Essa alidade é então apontada para o objeto ao qual se deseja medir a distância até ao observador e o cálculo dessa distância é feito utilizando semelhança entre triângulos. Foi criado por volta dos séculos XV e XVI, e modificado três vezes. A primeira por George Peuerbach, em 1450 e a segunda por Nicolo Tartaglia, quase um século após a primeira. (EMÍLIA, 2014).
Figura 01: Quadrante Geométrico Fonte: Saito e Dias, 2011, p. 16
4 A mais antiga referência à um quadrante náutico (quadrante em um quarto de círculo) vem do século XI, refere-se ao quadrans vetus, um quarto de circulo era utilizado para a determinar a hora e a altura dos astros (REIS,1988). Há um único exemplar desse objeto, no Musem of the History of Science, na Inglaterra, datado de cerca do ano 1300 d.C. Há também outro modelo que encontramos nos Libros del Saber de Astronomía, mais especificamente no Libro del Quadrante, livro que o rei Afonso X da Espanha mandou redigir ao sábio Rabiçag em Toledo no ano de 1277. Temos também o Quadrans Novus, instrumento citado no livro O Tratado o Quadrante Moderno, escrito pelo astrônomo Jacob Tibbon Bem Makir no ano de 1288, porém, este tipo de quadrante não foi muito popular porque exigia conhecimentos elevados de geometria (REIS,1988).
Figura 02: Quadrante Náutico Fonte: Reis, 1988, p.248
A mais antiga referência ao uso de um quadrante na história das navegações aparece na Relação do Descobrimento da Guiné, onde Diogo Gomes, no ano de 1460, faz uma citação sobre o quadrante em seu diário de bordo. A mais antiga representação de um quadrante náutico conhecida foi executada, em 1525, pelo cartógrafo português Diogo Ribeiro (REIS, 1988).
Apesar de o quadrante ter sido um instrumento de grande utilização, segundo Pereira (2000), ele apresentava algumas dificuldades de manuseio: a observação da graduação à noite era difícil; devido aos ventos e ao balanço do mar não era fácil encontrar o ângulo de inclinação da Estrela Polar correto, o que poderia dar um erro considerável no cálculo das distâncias. Por volta do século XV o quadrante foi substituído pelo astrolábio que não apresentava nenhum desses problemas, mas apesar disso a matemática do
5 quadrante continua presente até hoje e por isso acreditamos que vale muito a pena fazer um estudo mais detalhado sobre a sua história, seus modos de construção e sua utilização.
As Tábuas da Índia (Kamal)
O Kamal é constituído por uma tábua quadrangular, ou retangular de madeira com um orifício no centro, pelo qual passa um cordel em que estão dados vários nós, que correspondem à altura da Estrela Polar.
Para tomar a altura de uma estrela por este instrumento, segura-se a tabuinha com uma das mãos e o cordel na outra, estendia-se para a frente um braço com a tábua na mão, retesando-se o cordel, seguro pelo extremo na outra mão ou entre os dentes. A tabuinha pode colocar-se com o lado menor, ou o maior, vertical, conforme a grandeza do ângulo a medir, e aproxima-se ou afaste-se do olho do observador até que o horizonte H se veja pelo lado inferior, e a estrela E pelo lado superior, do retângulo de madeira (figura 1):
Figura 03: Medir alturas com o Kamal Fonte: http://www.ancruzeiros.pt/ancdrp/kamal.
Os nós do cordel irão passando na outra mão que conservará o cordel retesado. A grandeza do ângulo observado dependerá do nó que ficar seguro nesta mão. Assim, quanto maior fosse o ângulo, mais se aproximava a placa de madeira, menor seria a porção de cordel entre ela e os dentes do observador, e maior a parte do cordão que sobrava caída para baixo. Então, o Kamal é uma balestilha em que o virote é substituído pelo cordel, e os traços de graduação do virote pelos nós. A tabuinha serve de soalha e fornece até duas soalhas, conforme o lado que se puser ao alto. O Kamal é, pois uma espécie de balestilha, menos rigorosa, mas de mais cômodo transporte.
6 A Matemática dos Instrumentos
Para a construção do quadrante, além de artigos da internet, foi feita uma leitura do
Libro del Saber de Astronomía, mais especificamente o Libro Del Quadrante, que fala
sobre a construção e as várias finalidades do uso do quadrante. Este livro foi escrito em 1277 originalmente em latim e posteriormente foi traduzido para o espanhol. O livro apresenta uma leitura difícil pelo fato da língua espanhola de 1277 ser bem diferente da língua espanhola de hoje.
O material que utilizaremos na construção do quadrante é apenas compasso e régua não graduada. A seguir iremos descrever a construção do quadrante náutico:
Primeiramente devemos tomar um quarto da circunferência, que é noventa graus, logo após, com o compasso dividimos o ângulo de noventa graus em três ângulos medindo trinta graus cada e traçamos a bissetriz de cada um desses ângulos. Assim, então o quadrante estará dividido em seis ângulos medindo quinze graus cada.
Para fazer o quadrado de sombras podemos tomar como lado do quadrado a medida que nos for conveniente, atentando sempre para o fato de que um dos vértices do quadrado deve ser o vértice do ângulo de noventa graus que traçamos primeiramente.
A terceira etapa é marcar o segmento de reta que vai da extremidade de cada ângulo de quinze graus até o vértice do quadrado de sombras. Esse procedimento dividirá o quadrado em doze partes iguais.
Para finalizarmos a construção do quadrante, fixaremos em um dos seus lados duas pínulas para que possamos mirar o objeto desejado e partindo do vértice do quadrado fixaremos uma alidade que nos permitirá saber a inclinação do objeto para o qual estamos apontando. E assim está o quadrante náutico já está pronto para utilização.
Quanto a tavoleta pequena, ela é um Kamal que servia para ângulos desde 5 a 14 graus. A tábua, de pequena altura, era atravessada no centro por um cordão que devia ter 10 nós. Quando, preso nos dentes o último nó, o mais afastado da placa de madeira, e retesado o cordão com o braço estendido, a estrela poderia ser vista por cima, e o horizonte por baixo da tábua, e o ângulo era de 5 graus. Se o ângulo era maior, segurava-se o penúltimo nó entre os dentes, pendia-se um nó abaixo deles, e o ângulo era de 6 graus (5+1)0, e assim sucessivamente. Vê-se que, tendo preso nos dentes o nó correspondente ao ângulo a medir, se contava o número de nós caídos para baixo deles, e este número, junto a cinco, nos dá os graus de altura da estrela. Se o astro estivesse no polo a sua altura seria a
7 do polo e, portanto a latitude do lugar. Medida a altura da estrela, tem ela de combinar-se com a sua distância polar, para se ter a latitude.
Considerações Finais
O estudo de instrumentos que foram famosos na história da matemática e que ajudaram no desenvolvimento da ciência pouco são atrelados a sala de aula, porém muitas vezes isso pode acontecer devido ao desconhecimento do próprio professor em relação a essas ferramentas e sua relação com o conteúdo matemático proposto. Nesse sentido, a formação do professor de Matemática, tanto inicial quanto continuada, pode sofrer acréscimos de alguns conhecimentos que ainda não foram adquiridos e que podem contribuir para melhorar as aulas e ajudar o aluno a entender de forma agradável e prática os conteúdos matemáticos, utilizando assim metodologias diferenciadas, como a História da Matemática.
Nosso próximo passo é ofertar um curso de extensão com carga horária total de 30h/a que será realizado por volta dos meses de fevereiro e março do próximo ano. Nós planejamos o curso de modo a abranger a história dos instrumentos de navegação em geral, a história do quadrante, seu processo de construção e uso. Discutiremos também a viabilidade de esse instrumento ser utilizado pelos professores de matemática da educação básica.
Referências
ALBUQUERQUE, Luis de. Instrumentos de Navegação. Lisboa: Comissão Nacional Para As Comemorações dos Descobrimentos Portugueses, 1988. p. 10-29.
EMÍLIA, Universidade de Módena e Reggio. Quadrante Geométrico. Disponível em: <http://archiviomacmat.unimore.it/PAWeb/Sito/Italiano/PDF/220.pdf>. Acesso em: 14 nov. 2014.
LISBOA, João de. Livro de Marinharia. Lisboa: University Of California Libraries, 1560. 404 p.
PEREIRA, José Manuel Malhão. Experiências com instrumentos e métodos antigos de navegação. Lisboa: Editora da Academia de Marinha, 2000. 72 p.
PINTO, Margarida Matias. Os instrumentos náuticos de navegação e o ensino da geometria. Lisboa: Sociedade Portuguesa de Matemática, 2010. 80 p.
8 REIS, A. Estácio dos. O quadrante náutico. Revista da Universidade de Coimbra, Coimbra, v. XXXIV, p.243-273, 1988.
SAITO, F.; DIAS, M. S. Articulação de entes matemáticos na construção e utilização de instrumento de medida do século XVI. Natal: Sociedade Brasileira de História da Matemática, 2011.
SILVA, Luciano Pereira da. Kamal, Tábuas da Índia e Tavoletas Náuticas. Lisboa: Biblioteca Nacional de Lisboa, 1924. 492 p.
X, D. Afonso. Libros del saber de Astronomía: Libro del quadrante pora retificar. Madrid: Tipografia de Don Eusebio Aguado, Impresor de Camara de S. M. y de Su Real Casa, 1277. 1277 p.
