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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. AfonsoEscola Superior de Tecnologia de Viseu
Curso de Engenharia de Sistemas e Informática
Manuel A. E. Baptista, Eng.º
Processamento Digital de Sinal
Aula 7,8
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. Afonso1. Introdução ao Processamento Digital de Sinal
2. Representação e Análise de Sinais
3. Estruturas e Projecto de Filtros FIR e IIR
4. Processamento de Imagem
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. AfonsoProcessamento Digital de Sinal:
•Sanjit K. Mitra, “Digital Signal Processing – A computer based approach”, McGraw Hill, 1998
Cota: 621.391 MIT DIG
•Roman Kuc, “Introduction to Digital Signal Processing”, McGraw Hill, 1988.
Cota: 621.391 KUC INT
•Johnny R. Johnson, “Introduction to Digital Signal Processing”, Prentice-Hall, 1989.
Cota: 621.391 JOH INT
G. Proakis, G. Manolakis, “Digital Signal Processing – Principles, Algorithms Applications”, 3ª Ed, P-Hall, 1996.
Cota: 621.391 PRO DIG
•James V. Candy, “Signal Processing – The modern Approach”, McGraw-Hill, 1988
Cota: 621.391 CAN SIG
•Mark J. T., Russel M., “Introduction to DSP – A computer Laboratory Textbook”, John Wiley & Sons, 1992.
Cota: 621.391 SMI INT
•James H. McClellan e outros, “Computer-Based Exercises - Signal Proc. Using Matlab 5”, Prentice-Hall, 1998.
Cota: 621.391 MCC COM
Processamento Digital de Imagem:
•Rafael C. Gonzalez & Richard E. Woods, “Digital Image Processing ”, Prentice Hall, 2ª Ed., 2002.
Cota: 681.5 GON DIG.
•I. Pittas H. McClellan e outros, “Digital Image Processing Algorithms and Applications”, John Wiley & Sons, 2000.
Cota: 621.391 PIT.
•William K. Pratt, “Digital image processing”, John Wiley, 2ª Ed, 1991.
Cota: 681.5 PRA DIG
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. AfonsoAvaliação:
A avaliação é composta pela componente teórica e componente prática
ponderadas da seguinte forma:
Classificação Final = 80% * Frequência ou exame + 20% * Prática
O acesso ao exame não está condicionado embora não tenha função de
melhoria, ou seja, se o aluno entregar a prova de exame, será essa a
classificação a utilizar no cálculo da média final independentemente da nota
da prova de frequência obtida.
A avaliação prática é constituída por trabalhos laboratoriais a executar
em MATLAB
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. AfonsoRepresentação e Análise de Sinais (tempo)
• Transformada de z - Sumário
– Classificação dos Sinais
– Amostragem de Sinais Contínuos
– Transformada de z: definição
– Transformada de z : propriedades
– Transformada de z inversa
– Aplicação aos Sistemas
– Notas sobre estabilidade
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. Afonso• Sinais Contínuos (ou analógicos)
• Sinais Amostrados
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. AfonsoSinais Contínuos (ou analógicos)
Sinais Contínuos (Simples ou múltiplo)
t
y(t)
u(t)
Descontinuidade
G(s)
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. Afonsox(t)
t
x[k∆T]
t
Modulado em Amplitude
t
x[k∆T]
Modulado em largura de impulso
Sinal Original
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. Afonso• Denotado como
x’(t)
• As amostras existem apenas nos instantes de amostragem
• A altura relativa, representa o valor (informação)
• O período de amostragem ∆T
é constante
• Capaz de fazer funcionar um sistema físico
t
x’(t)
∆T
k∆T
(K+1)∆T
Sinal Amostrado
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. AfonsoAmostra Física
t
ε
h
Área da Informação =hε
Impulso de Dirac (ou unitário) à
medida que ε→0
(Distribuição)
Nota:
A energia do impulso unitário é finita (capaz fazer funcionar um
sistema físico
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. Afonso•
Denotados como x*(t)
• Os valores encontram-se definidos apenas nos instantes de amostragem
• A altura relativa, representa o valor numérico
• O período de amostragem ∆T é constante
• Utilizado para operações aritméticas
• Incapaz de por em funcionamento um sistema físico
t
x*(t)
∆T
k∆T
(K+1)∆T
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. AfonsoAplicação
G(s)
u(t)
y(t)
Sinal Contínuo
Medição
(ADC)
Driver
(DAC)
Computador
Sinal Discreto
Amostragem
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. AfonsoSistema Contínuo
G(s)
x(t)
x(t)
t
y(t)
t
y(t)
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. AfonsoSistema Amostrado
x’(t)
t
y(t)
t
G(s)
x’(t)
y(t)
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. AfonsoSistema amostrado com circuit hold
G(s)
x’(t)
y(t)
u(t)
t
y(t)
t
Hold
x’(t)
t
u(t)
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. AfonsoSistema Discreto
D(z)
x*(t)
y*(t)
y*(t)
t
x*(t)
t
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. AfonsoInstante de Amostragem e Atraso
t
t=k∆T
t=(k-1)∆T
t=(k+1)∆T
ε
t=(k+ε)∆T
x[k-1]
x[k]
x[k+1]
x[k,ε]
x(k∆T)=x[k,ε]=x[k]=x
k
Várias notações
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. Afonsot
Instantes de Amostragem
(k-1)∆T
(k+1)∆T
k∆T
)
t
(
ψ
Função de Amostragem
n = inteiro………-2,-1,0,1,2,3,4,………..
∑
=
∞
−∞
=
−
=
n
n
)
T
n
t
(
T
)
t
(
∆
δ
∆
ψ
Função Periódica
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. Afonso1
dt
e
)
t
(
T
T
1
dt
e
)
t
(
f
T
1
c
T
t
n
j
2
2
/
t
2
/
t
T
t
n
j
2
2
/
t
2
/
t
n
=
=
=
−
+
−
−
+
−
∫
∫
∆
π
∆
∆
∆
π
∆
∆
δ
∆
∆
∆
Decomposição em Série de Fourier
T
t
n
j
2
n
n
n
e
c
)
t
(
∆
π
∆
Ψ
∑
=
∞
−∞
=
=
n
,
1
c
n
=
∀
n=0
n=1
n=-1
T
n
2
∆
π
0
T
2
∆
π
T
2
∆
π
−
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. Afonso∑
∑
=
∞
−∞
=
∞
=
−∞
=
−
=
−
=
n
n
n
n
)
T
n
2
(
)
T
n
f
(
)
(
∆
π
ω
δ
∆
δ
ω
Ψ
t
5
∆
t
5
∆
−
0
t
4
∆
t
3
∆
t
2
∆
t
1
∆
t
4
∆
−
t
3
∆
−
t
2
∆
−
t
1
∆
−
π
ω
=
2
f
∑
∑
=
∞
−∞
=
∞
=
−∞
=
−
⇔
−
n
n
n
n
)
T
n
f
(
)
T
n
t
(
∆
δ
∆
δ
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. AfonsoAmostrador Ideal
)
t
(
)
t
(
f
)
t
(
f
'
=
ψ
t
f(t)
T
∆
2
∆
T
3
∆
T
4
∆
T
5
∆
T
T
2
∆
−
T
3∆
−
T
4
∆
−
T
5
∆
−
−
∆
T
0
)
T
n
t
(
)
t
(
f
T
)
t
(
f
n
'
=
∆
∑
∞
δ
−
∆
−∞
=
T
∆
2
∆
T
3∆
T
4
∆
T
5∆
T
T
2
∆
−
T
3∆
−
T
4
∆
−
T
5
∆
−
−
∆
T
0
t
)
t
(
ψ
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. AfonsoProcesso de Amostragem
Função Contínua
f(t)
Amostrador
Ψ(t)
Série
de
Amostras
∆T
Reconstrução ?
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. Afonso)
t
(
)
t
(
f
)
t
(
f
'
=
ψ
Análise no domínio da Frequência
∑
=
∞
−∞
=
−
=
n
n
)
T
n
t
(
T
)
t
(
∆
δ
∆
ψ
•
F (ω)= Transformada de Fourier de f(t)
•
Ψ (ω)= Transformada de Fourier de ψ(t)
• F’ (ω)= Transformada de Fourier de f’(t)
)
(
)
(
F
)
(
SISTE
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. Afonsoν
ν
∆
π
ω
δ
ν
ν
ν
ω
Ψ
ν
ω
)
d
T
n
2
(
)
(
F
d
)
(
)
(
F
)
(
'
F
n
−
−
=
−
=
∫
∫
∑
∞
∞
−
∞
−∞
=
∞
∞
−
)
T
n
2
(
F
d
)
T
n
2
(
)
(
F
)
(
'
F
n
n
∑ ∫
∑
∞
−∞
=
∞
−∞
=
∞
∞
−
−
=
−
−
=
∆
π
ω
ν
ν
∆
π
ω
δ
ν
ω
)
T
n
2
(
F
)
(
'
F
n
∑
∞
−∞
=
−
=
∆
π
ω
ω
Análise de F’(ω)
SISTE
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. AfonsoO espectro de frequência sobrepõem-se (Folding)
ω
0
Componentes Primárias
Componentes Fundamentais
s
ω
s
ω
−
Componentes
Complementares
Complementares
Componentes
)
(
'
F
ω
2
s
ω
2
s
ω
−
=
ω
s
Frequência de Folding
Aliasing
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. AfonsoAmostrador
Filtro
f(t)
f’(t)
f °(t)
)
(
W
)
(
'
F
)
(
F
°
ω =
ω
c
ω
No domínio da frequência
ω
∩
∩
∩
∩
∩
∩
0
ω
s
s
ω
−
s
2ω
−
2ω
s
)
(
'
F
ω
c
ω
c
ω
−
Janela
W
c
(
ω
)
c
2
1
ω
Reconstrução
∫
−
=
°
(
t
)
f
'
(
τ
)
w
(
t
τ
)
d
τ
f
c
No domínio do tempo
SISTE
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. Afonso∫ ∑
−
−
−
=
°
∞
−∞
=
τ
τ
ω
τ
ω
∆
τ
δ
∆
d
)
t
(
)
t
(
sin
)
T
n
(
)
T
n
(
f
)
t
(
f
c
c
n
∑
∑
∞
−∞
=
∞
−∞
=
−
−
=
°
−
−
=
°
n
c
c
n
c
c
)
T
n
t
(
f
2
)
T
n
t
(
f
2
sin
)
T
n
(
f
)
t
(
f
)
T
n
t
(
)
T
n
t
(
sin
)
T
n
(
f
)
t
(
f
∆
π
∆
π
∆
∆
ω
∆
ω
∆
T
n∆
τ =
t
f
2
)
t
f
2
sin(
t
)
t
sin(
d
e
2
1
)
t
(
w
c
c
c
c
t
j
2
c
c
c
c
π
π
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
=
=
=
∫
−
Reconstrução
SISTE
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. AfonsoReconstrução
t
f(t)
Funções de Interpolação
n∆T
(n+1)∆T
(n+2)∆T
(n+3)∆T
SISTE
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. AfonsoSeja um sistema discreto LTI:
x[n]
h[n]
y[n]
Com
:
x
[
n
]
=
z
n
,
z
∈
Complexos
A saída y[n] pode ser calculada como:
SISTE
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. Afonso∑
∑
∑
∞
−∞
=
−
∞
−∞
=
−
∞
−∞
=
⋅
=
⋅
=
−
⋅
=
=
k
k
n
k
k
n
k
z
k
h
z
n
y
z
k
h
n
y
k
n
x
k
h
n
y
n
h
n
x
n
y
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
*
]
[
]
[
SISTE
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. AfonsoDefinindo:
∑
∞
−∞
=
−
=
k
k
z
k
h
z
H
(
)
[
].
Temos que:
y
[
n
]
=
H
(
z
)
⋅
z
n
∑
∞
−∞
=
−
⋅
=
k
k
n
h
k
z
z
n
y
[
]
[
]
Cte complexa
SISTE
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. AfonsoLogo, definimos Transformada Z do sinal discreto x[n] como:
∑
∞
−∞
=
−
=
=
n
n
z
n
x
n
x
Z
z
X
(
)
{
[
]}
[
].
)
(
]
[
n
X
z
x
←
→
Z
Transformada Z Unilateral:
∑
∞
=
−
=
0
].
[
)
(
n
n
z
n
x
z
X
SISTE
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. AfonsoEscrevendo o número complexo z na sua forma polar:
Ω
=
r
e
j
z
.
Temos:
( )
∑
∞
−∞
=
Ω
−
−
Ω
=
n
n
j
n
j
x
n
r
e
e
r
X
.
[
].
.
Logo:
X
( ) {
r
.
e
j
Ω
=
F
x
[
n
].
r
−
n
}
Se r =1:
X
( )
e
j
Ω
=
F
{ }
x
[n
]
Transformada de Fourier
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. AfonsoLogo: Transformada Z pode ser obtida a partir da Transformada de Fourier
fazendo:
=
j
Ω
e
z
{ }
x
n
e
j
z
F
z
X
(
)
=
[
]
Ω
=
O inverso nem sempre é verdade!!!
{ }
x
n
F
{
x
n
r
n
}
Z
[
]
=
[
].
−
Pois:
SISTE
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R.Afonso
