USO DAS REDES DE PETRI NA
DETERMINAÇÃO DO CAMINHO MAIS
CURTO PARA UMA REDE
RODOVIÁRIA
Reynaldo Chile Palomino (UFS)reychile@hotmail.com Julio Pacca Rios (UFS) julio.paccarios@gmail.com Elton Mateus dos Santos Ferreira (UFS) elton_dos_santos@yahoo.com.br Ricardo Lopes de Andrade (UFS) ricardolopesa@terra.com.br
O presente artigo apresenta as Redes de Petri como uma ferramenta alternativa na determinação do caminho mais curto em uma rede rodoviária. Uma vez representada graficamente o problema do caminho mínimo através de um grafo direcionado, a trransformação em uma Rede de Petri consistiu na inserção de transições entre dois pontos quaisquer da rede, as quais estariam representando as distâncias entre dois pontos. Uma vez transformada a rede de caminho mínimo em uma Rede de Petri usou-se uma de suas propriedades chamada de invariantes de transição, com a finalidade de achar todos os caminhos alternativos que levam a rede, do ponto de origem ao ponto de destino; determinando posteriormente o caminho de menor distância que estaria representando a solução ótima do problema. Palavras-chaves: Redes de Petri, Caminho mínimo, otimização
2 1. Introdução
A logística de transporte possui uma grande importância para qualquer organização já que representam aproximadamente 60% dos custos logísticos (GOMES, 2004). Para Gomes (2004) a logística e o processo de gerenciar estrategicamente a aquisição, a movimentação e o armazenamento de materiais, pecas e produtos acabados. Esses custos provenientes dos transportes não agregam valor ao produto, em sua maioria, fazendo com que a empresa perca sua competitividade com relação ao outras concorrentes mais bem estruturadas.
Uma forma de diminuir o custo de transporte de materiais ao logo da cadeia logística esta na otimização de redes. As redes são um conjunto de possíveis caminhos que podem ser tomados a fim de chegar ao destino final. Podem ser representados por traços ou setas, que ligam geralmente os lugares de destino que são representados por círculos.
Segundo Gomes (2004), uma rede éconsiderada um grafo com um fluxo de algum tipo entre seus ramos.
O problema de otimização em redes trata de encontrar o modo mais eficiente de ligar várias localidades direta ou indiretamente. Uma das aplicações usando redes é a determinação do caminho mais curto entre dois pontos extremos (TAHA, 2008).
Como o custo de transporte não agrega valor ao produto, porém é um gasto obrigatório para a movimentação dos materiais, o propósito do caminho mínimo é tentar reduzir ao máximo a distância total percorrida pelo transporte dos materiais. Neste sentido, o presente artigo tem como objetivo demonstrar uma forma de otimização de rede através da aplicação e transformação de uma rede comum em uma rede de Petri a fim de encontrar o caminho ótimo entre a origem e o destino proposto, através do uso de invariantes de transição.
2. Referencial Teórico
2.1. O problema do caminho mais curto ou caminho mínimo
Na teoria dos grafos o problema do caminho mínimo consiste na minimização do custo de travessia de um grafo entre dois nós (ou vértices); custo este dado pela soma dos pesos de cada aresta percorrida.
Em aplicações relacionadas à logística de transporte, o problema do caminho mínimo ou caminho mais curto consiste em determinar a menor distância percorrida entre uma origem e um destino. Algumas das aplicações deste tipo de rede são:
Minimizar a distância total percorrida;
Minimizar o custo total de uma sequência de atividades e Minimizar o tempo total de uma sequência de atividades.
Muitas aplicações requerem encontrar o caminho direcionado mais curto da origem ao destino por uma rede direcionada.
Dentre os algoritmos mais usados na solução de um problema de caminho mínimo estão os algoritmos de Dijkstra e o algoritmo de Floyd (TAHA, 2008) que são descritos a seguir, junto com outros algoritmos semelhantes.
Algoritmo de Dijkstra — Resolve o problema com um vértice-fonte em grafos cujas arestas tenham peso maior ou igual a zero. Sem reduzir o desempenho, este algoritmo é capaz
3 de determinar o caminho mínimo, partindo de um vértice de início v para todos os outros vértices do grafo.
Algoritmo de Bellman-Ford — Resolve o problema para grafos com um vértice-fonte e arestas que podem ter pesos negativos.
Algoritmo A* — um algoritmo heurístico que calcula o caminho mínimo com um vértice-fonte.
Algoritmo de Floyd-Warshall — Determina a distância entre todos os pares de vértices de um grafo.
Algoritmo de Jonhson — Determina a distância entre todos os pares de vértices de um grafo, pode ser mais veloz que o algoritmo de Floyd-Warshall em grafos esparços.
O algoritmo de Dijkstra foi desenvolvido para determinar o caminho mais curto entre um nó origem e qualquer outro nó da rede; enquanto que o algoritmo de Floyd é um pouco mais abrangente, permitindo a determinação do caminho mais curto entre quaisquer dois nós da rede.
Figura 1– Rede rodoviária
A figura 1 mostra um exemplo típico de aplicação do caminho mais curto que tem por objetivo determinar o caminho de menor distância entre a origem (nó 1) e o destino (nó 8). Nesta rede, os arcos que ligam dois nós, representam as distâncias, podendo representar também os custos totais de transporte entre dois pontos (cidades). Tomando como exemplo este problema, o presente trabalho tem por objetivo sua conversão em uma Rede de Petri para através do uso de invariantes de transição, achar o caminho de menor distância que liga o nó 1 ao nó 8.
2.2. Redes de Petri
As Redes de Petri, introduzida por Carl Adam Petri são vistas como um tipo particular de grafo orientado bipartito constituído de dois tipos de nós, lugares e transições, no qual as transições (que correspondem aos eventos que caracterizam as mudanças de estado do sistema) são sempre seguidas por lugares (que correspondem às condições que devem ser certificadas para os eventos acontecerem) e vice-versa (CHILE, 2001). Neste tipo de grafo, lugares e transições são interligados por arcos direcionados como mostra a figura 2.
1 5 2 6 3 4 8 7 10 km 80 km 20 km 70 km 30 km 80 km 20 km 60 km 80 km 150 km 80 km 70 km 90 km
4 t5 t4 t3 t2 t1 P5 P4 P3 P2 P1 Conflito: t4 e t5 Paralelismo: t2 e t3 Sincronização: t4
Figura 2- Rede de Petri Ordinária
Em outras palavras, uma rede de Petri é um grafo orientado que tem dois nós: transições (transition) e lugares (places) que partem de algumas posições para algumas transições ou vice-versa; aos arcos associam-se números (inteiros) fixos, que são seus pesos. Cada posição pode conter um numero inteiro de marcas (tokens) e podem mover ao longo dos arcos respeitando o sentindo destes.
2.3. Definição básica de uma Rede de Petri
Uma Rede de Petri é uma quádrupla, RP = (P, T, I, O,), onde:
P = {p1, p2, ... pn} é um conjunto finito de lugares, n > 0.
T = {t1, t2, .... tm} é um conjunto finito de transições, m > 0.
I : PxT N é uma função de entrada que define o conjunto de arcos dirigidos de P para T.
O : TxP N é uma função de saída que define o conjunto de arcos dirigidos de T para P.
P T = 0, P T 0; isto é, lugares e transições são conjuntos disjuntos;
N : é o conjunto dos números naturais.Se o peso (W) dos arcos que ligam lugares a transições e vice-versa for igual a 1, a Rede de Petri é chamada de Rede de Petri Ordinária. Por outro lado, se são permitidos múltiplos arcos, a rede é chamada de Rede de Petri Generalizada.
Uma ficha (representada por um ponto preto) representa a marcação de uma Rede de Petri e é definida como sendo as pre/póst condições do disparo de uma transição.
Uma marcação M de uma RP é uma função M : P N, a qual representa o número de fichas contidas em cada lugar p P. A marcação M é representada por um vetor coluna cuja dimensão é equivalente ao número ―n‖ de lugares da rede.
M= [m(p1) m(p2) m(p3) ...m(pn)]T (1)
Fichas residem apenas em lugares, representando a disponibilidade de recursos ou estados das operações.
Se Mo representa a marcação inicial de uma RP, então nós chamaremos ao par (RP, Mo) de uma Rede de Petri marcada e representá-la-emos como ―RPM= (P, T, I, O, Mo)‖.
5 3.7 - Redes de Petri Temporizadas
Existem várias formas de introduzir o tempo numa RP (ZUBERECK, 1980). Em alguns casos o tempo é associado ou a lugares (LEE and DiCESSARE, 1994) ou a transições (DiCESSARE et al., 1993). No presente trabalho o tempo será associado às transições conforme introduzidas por Ranchandani (DiCESSARE et al., 1993).
Uma RP com transições temporizadas (RPT-t) é uma dupla <RP, Z), onde: a) RP = (P, T, I, O) é uma Rede de Petri como definida anteriormente e b) Z: T R+
, é uma função que designa um número real não negativo zi a cada transição da
rede.
zi = Z(t) representa o tempo de disparo (duração) da transição ti.
O funcionamento de uma RPT-t segue as mesmas regras da RPM com a única diferença de que aqui cada transição ti consome zi unidades de tempo. O disparo de uma transição
compreende três fases que são (DiCESARE, 1993):
a) uma transição t é disparada assim que ela estiver habilitada; nesta fase, I(p, t) fichas são removidas de cada lugar de entrada da transição segundo a função de peso W;
b) as fichas removidas dos lugares de entrada permanecem por zi unidades de tempo na
transição;
c) quando o disparo da transição termina, após zi unidades de tempo, O(t, p) fichas são
depositadas em cada lugar de saída de t segundo a função de peso W. A figura 3 Representa o disparo de uma transição em três fases.
Figura 3 - Visualização das três fases de disparo de uma RPT-t: a) t desabilitado, b) início do disparo de t após a chegada de uma ficha em p2 e c) fim do disparo.
2.4. Invariantes de transição
Um vetor não negativo Y de inteiros não negativos com uma linha e m colunas (onde m é igual ao número de transições da RP) é um invariante de transição (T-invariante) se:
C. YT = 0 yi {0, 1, 2, ...} (2) Tempo de execusão zi zi t 2 2 p4 p3 p2 p1 zi t p4 p3 p2 p1 2 zi t p4 p3 p2 p1 (a) (b) (c)
6 Um invariante de transição corresponde a uma seqüência cíclica de disparo de transições que pode ser repetida indefinidamente e que não modifica a marcação da rede. Um T-invariante é chamado também de componente repetitivo estacionário (CARDOSO, 1997).
Por outro lado, um T-invariante é chamado de mínimo se não existe um outro invariante Yi de
modo que t T, Yi(t) Y(t).
Um T-invariante representa também uma sub-rede formada pelas transições que correspondem a Y, com seus respectivos lugares de entrada e saída.
3. Tranformação de um grafo direcionado em uma Rede de Petri
Para transformar um grafo em uma Rede de Petri, colocar-se-á uma transição entre dois nós do grafo como mostra a figura 4, cujo tempo de duração será representado pela distância entre dois nós, que em uma Rede de Petri temporizada estaria representando o tempo de duração do disparo da transição.
Figura 4 – Rede de Petri para a rede rodoviária
4. Solução da rede rodoviária usando invariantes
Aplicando a equação invariante (2) para a rede rodoviária, representada pela figura 4, obtemos a seguinte matriz: 1 5 2 6 3 4 8 7 T1=10 T4=80 T3=20 T8=70 T9=30 T5=80 T2=20 T6=60 T11=80 T12=150 T7=80 T13=70 T10=90
7 0 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 7 6 5 4 3 2 1 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 y y y y y y y y y y y y y p p p p p p p p t t t t t t t t t t t t t
Resolvendo este sistema, obtêm-se 8 t-invariantes: y1 = (1,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0) y2 = (0,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,0,0) y3 = (0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0) y4 = (0,1,0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,0) y5 = (0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0) y6 = (0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0) y7 = (0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1) y8 = (0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1)
Deste conjunto de 8 t-invariantes de transição, todos resultaram sendo invariantes mínimos positivos, pelo fato da rede ser uma rede direcionada, não existindo, portanto, retornos. Sabendo por outro lado, que cada t-invariantes mínimo positivo, representa um conjunto de disparos de transições que, se disparados pelo menos uma vez, levam a rede do estado inicial (nó 1) ao estado final (nó 8); cada um dos 8 t-invariantes mínimos positivos irão definir caminhos alternativos para se chegar do nó 1 ao nó 8. A tabela 1 mostra os diversos t-invariantes junto com as distâncias associadas a cada transição.
Transição t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t12 t13 Distância 10 20 20 80 80 60 80 70 30 90 80 150 70 in var ian te Y1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 Y2 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 Y3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 Y4 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 Y5 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
8
Y6 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
Y7 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
Y8 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
Tabela 1 – Lista de t-invariantes
Seja D, um vetor coluna, cujos componentes representam as distâncias entre os diversos pontos da rede (tempo das transições).
D = (10, 20, 20, 80, 80, 60, 80, 70, 30, 90, 80, 150, 70)T
Multiplicando cada t-invariante positivo mostrado na tabela 1 (vetor linha) com o vetor D (vetor coluna), obtemos as distâncias percorridas (Ci) para chegar do ponto inicial (nó 1) até o ponto final (nó 8), seguindo os diversos caminhos alternativos. Assim temos:
xD y
Ci i. (3)
Onde;
Ci = distância total percorrida pelo caminho i (invariante i)
Como resultado da aplicação da equação (3), temos as seguintes distâncias como mostradas na tabela 2.
Caminho Seqüência de nós Distância total (km)
C1 1-2-6-8 180 C2 1-5-6-8 200 C3 1-5-8 160 C4 1-4-5-6-8 160 C5 1-4-5-8 160 C6 1-4-8 170 C7 1-4-7-8 170 C8 1-3-7-8 160
Tabela 2 – Distâncias entre o ponto inicial e o ponto final da rede
Na tabela acima, observamos que existem 4 caminhos com distâncias iguais, que estariam representando caminhos alternativos, conseqüentemente de igual custo.
5. Conclusões
A rede de Petri se mostrou ser uma poderosa ferramenta para a otimização de redes. A escolha de caminhos ótimos sejam eles interno ou externamente sempre foi um grande desafio para a logística devido ao trabalho de calculá-los e muitas vezes pelo tempo despendido na elaboração de algoritmos para a escolha de possíveis caminhos ótimos.
Com a adição dos softwares, a logística ganhou mais velocidade na resolução desse tipo de problema. Contudo, algumas empresas não possuem a competência para usá-los nem recursos para adquiri-los.
9 A transformação de redes comuns em redes de Petri se mostrou bastante eficiente no cálculo do caminho mais curto, podendo ser aplicado também para outro tipo de problemas como por exemplo o fluxo máximo e determinação do caminho crítico em uma rede PERT/CPM. No caso de Redes maiores, podem ser usados softwares de Redes de Petri para a obtenção dos invariantes, os quais se encontram disponíveis na internet.
6. Bibliografia
CARDOSO, JANETTE E VALETTE. ROBERT. Redes de Petri. Editora da UFSC, Florianópolis, (1997). CHILE, REYNALDO PALOMINO. Um modelo para o planejamento e programação da produção usando
Redes de Petri. Tese submetida ao curso de pós-graduação em Engenharia de Produção da Universidade Federal
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TAHA, HAMDY. Pesquisa Operacional. 8ª Edição; São Paulo, PEARSON, 2008.
GOMES, CARLOS FRANCISCO SIMÕES; RIBEIRO, PRISCILLA CRISTINA CABRAL. Gestão da
Cadeia de Suprimentos integrada à Tecnologia da Informação. São Paulo, THOMSON, 2004.
LEE, DOO YONG AND DICESARE, FRANK. Sheduling Flexible Manufacturing Systems Using Petri Nets
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