Introdução: A necessidade de ampliação dos conjuntos Numéricos. Considere incialmente o conjunto dos números naturais :

(1)

Números Complexos Notas de Aula 08 – Semestre 2 - 2010 Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática – Osasco -2010

1

Introdução: A necessidade de ampliação dos conjuntos Numéricos

Considere incialmente o conjunto dos números naturais :

Neste conjunto podemos resolver uma infinidade de equações do tipo

A solução pertence ao conjunto dos naturais. Porém se nos propusermos a resolver a equação

, não encontraremos nenhum número natural que satisfaça a igualdade, pois qualquer natural que escolhamos para ocupar o lugar de de x teremos . Há a necessidade de ampliação do conjunto dos números naturais para resolver tal equação (equação (1)). Para isso, “criamos” o conjunto dos números inteiros :

Neste conjunto podemos resolver qualquer equação do tipo

, porém nem toda equação do tipo

terá solução. De fato, estas equações somente são solúveis em se é múltiplo de . Se a não for divisor de b, não encontraremos que satisfaça a equação (2). Para estas situações “criamos” o conjunto dos números racionais:

No conjunto que qualquer equação do tipo , será solúvel. Porém, nem toda equação do tipo

terá solução. De fato, estas equações somente são solúveis se for um

quadrado perfeito. Se a não for um quadrado perfeito não encontraremos que satisfaça a equação (3). Para estas situações “criamos” o conjunto dos

(2)

2 números irracionais . Da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais “surge” o conjunto dos números Reais:

Note que

Porém, mesmo em , equações do tipo podem ainda não ser solúveis. Basta tomarmos, por exemplo . Não há solução pois

sabemos que, em , qualquer número elevado ao quadrado é sempre um número positivo. Se faz necessária uma nova ampliação nos conjuntos

numéricos. Para isso, precisamos de um conjunto que contenha o conjunto dos números Reais e que continue satisfazendo as propriedades algébricas deste conjunto em relação às operações de adição e multiplicação.

A criação do conjunto dos Números Complexos

Imaginemos um conjunto, que indicaremos por , como um conjunto de pares ordenados de números reais:

Neste conjunto, vamos definir operações de adição e de multiplicação, da seguinte forma:

Adição

Multiplicação

As operações de adição e multiplicação assim definidas satisfazem todas as propriedades algébricas do conjunto dos números reais, que são:

i) Comutatividade da adição Se então

ii) Associatividade da adição

(3)

3 iii) Neutro aditivo

Existe , tal que

iv) Oposto aditivo

Dado , existe , tal que

v) Comutatividade da multiplicação Se então

vi) Associatividade da multiplicação Se então

vii) Neutro Multiplicativo

Existe , tal que

viii) Inverso multiplicativo

Dado , existe _{, tal que}

ix) Multiplicação distributiva em relação a adição Se então

Números Reais são um sub conjunto de

Ainda, se tomarmos o sub-conjunto de :

Teremos que, em :

 A adição definida para será dada por , isto é, .

 A multiplicação definida para será dada por , isto é, .

(4)

4 Então se, denotarmos um elemento de de S, simplesmente por , termos que , as operações de adição e multiplicação em S se comportam exatamente como as operações de adição e multiplicação em , preservando todas as suas propriedades,e, além além disso, podemos estabelecer uma

correspondência biunívoca entre os elementos de S e . Então, assumindo as operações definidas em , o sub-conjunto S se comporta exatamente como o conjunto dos números reais (com suas operações de adição e

multiplicação).Ou seja . Concluímos então que

O conjunto permitindo soluções para

Voltemos ao nosso problema de resolver, agora no conjunto dos números complexos, a equação

Consideremos a equação . Esta equação tem solução real dada por .

Consideremos também o número complexo . Temos

E,

Como , e

Portanto, no conjunto dos números complexos o número é solução da equação .

Portanto o conjunto , da forma como concebemos é uma ampliação do conjunto dos números Reais que nos permire resolver equações do tipo

(5)

5

A unidade imaginária

Como vimos, para solucionar equações do tipo , usamos um número real que obtemos em função de (o módulo de ) , e um número complexo . Este número é o que nos permite solucionar em , as equações do tipo . Por isso criamos um símbolo especial para o número complexo , denotando-o por :

O número é chamado de unidade imaginária. Note que . Esta é uma característica fundamental da unidade imaginária.

A forma algébrica

Qual quer número complexo pode ser escrito como:

Ainda, Então,

Note que é o número Real , e é o número real . Então podemos escrever:

Ou seja, dado um número complexo , ele pode ser escrito de forma única como:

Esta é a chamada forma algébrica, ou forma binomial de um número complexo.

Ao escrevermos um número complexo na forma algébrica, nós o estamos dividindo em duas partes que chamaremos de parte real, denotada por , e de parte imaginária, denotada por :

(6)

6 Note que, no formato acima:

 se teremos que será um número Real;

 se teremos , que será classificado como um número

Imaginário Puro.

A subtração e a divisão no conjunto dos números complexos

Já definimos a soma e o produto de complexos para definir este conjunto. As operações de subtração e divisão decorrem destas duas operações já

definidas. Subtração: Se e Então Então, Divisão: Se e , com Então, Então se Então, Ainda, Então,

(7)

7

A equivalência entre o produto definido em e a aplicação da propriedade distributiva para multiplicar dois complexos na for algébrica

Sejam dois complexos e . Se multiplicarmos estes dois números utilizando a propriedade distributiva teremos:

como

E, na forma de par ordenado temos

Representação Geométrica dos números Complexos

Vimos que um número complexo está associado a um par ordenado de números reais. Também sabemos que cada par ordenado de números reais está associado de forma única a um ponto do plano cartesiano. Sendo assim, podemos representar cada número complexo como um ponto do plano cartesiano:

O plano cartesiano onde são representados os números complexos é chamado de Plano Complexo ou Plano de Argand-Gauss. O ponto é chamado de afixo do número complexo .

(8)

8 Por exemplo, os pontos , , , , e podem ser representados no plano complexo conforme abaixo:

No plano complexo, o eixo das abscissas é chamado de eixo real, e nele está representada a parte real de cada número complexo. Note que o eixo x se torna assim a representação de todo o conjunto dos números reais dentro do plano complexo.

O eixo y é chamado de eixo imaginário, e os pontos sobre este eixo são números imaginários puros.

No plano complexo, podemos pensar cada número complexo como um vetor com origem no ponto (0,0) cuja extremidade final é o ponto P(a,b). Desta forma, a soma de números complexos também pode ser pensada como uma “soma de vetores” no plano cartesiano, onde, dados os complexos e , o número complexo é o vetor representado pelo segmento que coincide com a diagonal do paralelogramo formado pelos vetores representados por e

(9)

9

Módulo de um número complexo

A partir da representação geométrica de um número complexo, definimos o módulo de um número complexo , como a medida do comprimeto do vetor que representa no plano complexo, ou seja, é a distância entre a origem (0,0) e o ponto . Representando o módulo de por , temos:

Então,

Note que, como o módulo representa um comprimento, ele será sempre um número positivo.

Complexos Conjugados

Dado um número complexo , definimos como o “conjugado de z”, e representamos por , o número complexo dado por:

Geometricamente, o conjugado de é representado pelo ponto simétrico a em relação ao eixo x:

(10)

Números Complexos Notas de Aula 08 – Semestre 2 - 2010 Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática – Osasco -2010 10 Propriedades do conjugado I) De fato, se , então, II) De fato, se , então, III) De fato, se IV) De fato, se V) De fato, se

Divisão de números complexos usando o complexo conjugado

Vimos anteriormente que se e , com então a divisão de por será dada por

Porém, o conjugado nos fornece uma forma mais simples de efetuar a divisão:

Efetuar a divisão desta forma é mais simples pois é um número real. Por exemplo, vamos calcular o inverso de :

Temos

(11)

11

A forma trigonométrica dos números complexos

Qualquer número complexo está unicamente associado, no plano complexo, a um ponto P de coordenadas cartesianas (x,y) que pode ser pode ser localizado também em função de suas coordenadas polares, que são:

 A distância do ponto P até a origem (0,0), que coincide com . Esta distância também é representada pela letra grega .

 O ângulo , situado no intervalo , que o vetor que representa o número complexo forma com o eixo x. Este ângulo denomina-se argumento de e é denotado por .

Graficamente temos:

Observando a representação acima, concluímos que: e com

Assim, um número complexo pode ser expresso, na chamada forma trigonométrica ou polar,em função de suas coordenadas polares como:

Quando o argumento de z é chamado de argumento principal. Por exemplo, vamos representar o complexo na sua forma trigonométrica:

Temos,

(12)

Números Complexos Notas de Aula 08 – Semestre 2 - 2010 Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática – Osasco -2010 12 E,

De (A) e (B) temos que

Geometricamente temos:

E, na forma trigonométrica, z é dado por

Multiplicação de números complexos na forma trigonométrica

Sejam e dados nas suas formar trigonométricas:

Calculando utilizando suas formas trigonométricas temos

(13)

Números Complexos Notas de Aula 08 – Semestre 2 - 2010 Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática – Osasco -2010 13 Das identidades e Concluímos que,

Assim, quando escritos na forma trigonométrica, o produto de dois números complexos resulta em um número cujo módulo é o produto dos módulos dos números que estão sendo multiplicados, e cujo argumento é a soma dos argumentos dos números que estão sendo multiplicados (soma esta reduzida à “primeira volta”, ou seja ).

Por exemplo, o produto de e é dado por

Divisão de números complexos na forma trigonométrica

Sejam e dados nas suas formar trigonométricas: Calculando utilizando suas formas trigonométricas temos

Como e , podemos escrever

(14)

Números Complexos Notas de Aula 08 – Semestre 2 - 2010 Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática – Osasco -2010 14

Assim, quando escritos na forma trigonométrica, o quociente de dois números complexos resulta em um número cujo módulo é o quociente dos módulos dos números que estão sendo divididos, e cujo argumento é a diferença dos argumentos dos números que estão sendo divididos (diferença esta reduzida à “primeira volta”, ou seja ).

Por exemplo, se queremos dividir o complexo pelo complexo , teremos

Tomando o argumento do resultado entre e temos

Potenciação de números complexos na forma trigonométrica

Temos que,

Utilizando a multiplicação de complexos na forma polar, se Então

(15)

15

A fórmula acima é conhecida como fórmula de De Moivre.

Portanto, ao elevarmos um número complexo na forma trigonométrica a uma potência n, obteremos como resultado um complexo cujo módulo é igual ao módulo do número original elevado à n-ésima potência, e cujo argumento é igual ao argumento do número original multiplicado por n, reduzido à primeira volta .

Por exemplo,

se queremos calcular a sétima potência do complexo

teremos,

Na forma algébrica,

Radiciação de números complexos

Queremos agora obter a raiz n-ésima do número complexo

Se , então

Então, da igualdade acime resulta que

(16)

Números Complexos Notas de Aula 08 – Semestre 2 - 2010 Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática – Osasco -2010 16 Portanto

Note que se , assumirá valores distintos. Após , os valores da medida de são iguais a algum valor já obtido quando .

Assim, sempre teremos n raízes n-ésimas distintas para o complexo

e, estas raízes serão obtidas pela expressão

Por exemplo, vamos determinar a 3 raízes cúbicas do complexo . Temos Então, Se , temos Se , temos Se , temos

(17)

17 Interpretando geometricamente, as três raízes cúbicas estão sobre uma circunferência de raio 1 e dividem a circunferência em três arcos congruentes de radianos cada um, formando um triângulo eqüilátero de vértices , conforme a figura abaixo. Se calculássemos , encontraríamos , estando estes dois números complexos sobre o ponto (ver figura abaixo).

Equações binômias e trinômias

Equação binômia

Chamamos de equação binômia toda equação redutível á forma

com , , e .

Para resolver uma equação binômia basta isolar e aplicar o processo de radiciação em :

(18)

18 Por exemplo, vamos resolver a equação

Temos . Vamos encontra então as raízes cúbicas do complexo . Na forma polar temos

Então suas raízes cúbicas serão dadas por

Se , temos Se , temos Se , temos

Então, o conjunto solução da equação será dado por

Equação trinômia

Chamamos de equação trinômia toda equação redutível á forma

com , , e .

Para resolver uma equação trinômia fazemos a substituição , obtemos as raízes e da equação , e resolvemos as equações

(19)

19 Por exemplo, vamos determinar as soluções da equação . Fazendo a substituição teremos a equação

De onde concluímos que

Temos agora que resolver as equações , e Para temos Se , temos Se , temos Se , temos Para temos Se , temos Se , temos

(20)

20

Se , temos

Portanto, as seis raízes cúbicas da equação serão dadas pelo conjunto

(21)

21

Exercícios

1) Determine x e y para que se verifiquem as igualdades: a. Resposta: x=3; y=3 b. Resposta: x=3; y=4 c. Resposta: x= ; y= d. Resposta: x= ; y=

2) Coloque na forma algébrica os seguintes números complexos: a. b. ) c. d. e. Respostas a. b. c. d. e.

3) Dados os números complexos , , calcule: a. b. c. d. Respostas a. b. c. d.

(22)

22 4) Determine o valor real de x para que o número complexo

a. seja um número imaginário puro b. seja um número imaginário puro c. seja um número imaginário puro d. seja um número imaginário puro

Respostas a.

b. c. d.

5) Efetue as operações indicadas a. b. c. d. e. f. g. h. Respostas: a. b. c. d. e. f. g. h.

6) Calcule o valor das potências de : . Resposta: 7) Calcule o valor de a. b. c. Respostas a.

(23)

23 b.

c.

8) Resolva a equação , no conjunto dos números complexos.

Resposta: .

9) Resolva a equação , no conjunto dos números complexos.

Resposta: e

10) Determine uma equação do segundo grau que, em , tenha como raízes e .

Resposta:

11) Encontre o número complexo z tal que: a. b. c. Respostas a. b. c.

12) Mostre que os números complexos e são as soluções da equação .

13) Mostre que e coloque na forma algébrica o número

Resposta:

14) Mostre que e calcule Resposta:

(24)

24 15) Dados os números complexos , , , localize no

plano complexo os pontos correspondentes a cada número. Resposta:

16) Determine os números complexos correspondentes aos pontos A,B,C,D e E na figura abaixo:

Resposta: ; ; ; ; ;

17) Localize os pontos do plano correspondentes aos números complexos , nos seguintes casos:

a.

b. c.

(25)

25 Respostas

18) Efetue algébrica e geometricamente a adição dos números complexos e .

Resposta:

19) Mostre que o módulo do produto de dois números complexos é igual ao produto dos módulos destes números, ou seja

Sugestão: use que (

20) Determine o módulo dos seguintes números complexos a. b. c. d. e. f. Respostas a. b. c.

(26)

Números Complexos Notas de Aula 08 – Semestre 2 - 2010 Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática – Osasco -2010 26 d. e. f. 21) Se e , determine a. b. c. d. e. f. g. h. i. Respostas: a. b. c. d. e. f. g. h. i.

22) Determine o número complexo tal que . Resposta:

23) Mostre que o conjugado do conjugado de é o próprio .

24) Encontre tal que Resposta:

25) Escreva na forma os números complexos: a.

(27)

Números Complexos Notas de Aula 08 – Semestre 2 - 2010 Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática – Osasco -2010 27 b. c. d. e. f. g. h. i. Respostas: a. b. c. d. e. f. g. h. i.

26) Localize geometricamente os números complexos z tais que: a.

b.

c. é um número imaginário puro e d.

e. é um número imaginário puro e

27) Dado , , determine . Resposta:

(28)

28 28) Mostre que se são dois números complexos quaisquer, e ,

então

29) Determine , tal que .

Resposta:

30) Determine , tal que . Resposta: , ou

31) Determine , tal que . Resposta: , ou

32) Determine o módulo de cada um dos números complexos: a. b. c. d. e. f. g. h. Respostas a. b. c. d. e. f. g. h.

(29)

29 33) Determine o módulo de cada um dos números complexos:

a. b. c. d. Respostas a. b. c. d.

34) Qual é o módulo do número complexo que é solução da equação ?

Resposta

35) Determine a representação geométrica e a forma trigonométrica dos complexos abaixo: a. b. c. d. e. Respostas a. b. c. d. e.

36) Escreva na forma algébrica os seguintes números complexos: a.

(30)

Números Complexos Notas de Aula 08 – Semestre 2 - 2010 Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática – Osasco -2010 30 c. Respostas: a. b. c.

37) Determine o valor do arg(z) dos números complexos: a. b. Respostas: a. b.

38) Dados os números complexos e , calcule : a. b. c. d. Respostas a. b. c. d.

39) Determine o numero complexo , sabendo que sen 9 e 1 2=203cos17 18+ sen17 18

(31)

31 40) Determine o produto e o quociente para:

a. e b. e

Respostas:

a. e b. e

41) Calcule os valores das potências , sabendo que Resposta: , , e . 42) Calcule as potências a. b. c. d. e. f. g. h. Respostas a. b. c. d. e. f. g. h.

(32)

32 43) Determine o menor valor de natural para que seja um

número real e positivo. Resposta:

44) Escreva na forma o número complexo Resposta:

45) Encontre as raízes quartas do complexo Resposta: ,

sen17 16, 82cos9 16+ sen9 16, 82cos25 16+ sen25 16

46) Determine as raízes enésimas do número complexo 1. Resposta:

47) Determine as raízes quadradas dos seguintes números complexos e dê sua representação geométrica:

a. b. c. d. Respostas: a. b. c. d.

48) Determine as raízes cúbicas dos seguintes números complexos e dê sua representação geométrica: a. b. c. d. Respostas a. ,

(33)

Números Complexos Notas de Aula 08 – Semestre 2 - 2010 Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática – Osasco -2010 33 b. , c. , , d. , , 49) Resolva as equações em . a. b. c. d. Respostas a. b. c. d. 50) Resolva as equações em . a. b. c. d. e. f. Respostas a. b. c. d. e. f.

(34)

34

Referências

Dante, L. Roberto. Matemática: Contexto e aplicações. Volume 3. Ed. 1. Impressão 3. Editora Ática. São Paulo.2001.

Iezzi, Gelson (e outros). Fundamentos de Matemática Elementar. Volume 6. Ed Atual. São Paulo. 1977.