MECÂNICA DOS MATERIAIS

(1)

MECÂNICA DOS

MATERIAIS

Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf Apontamentos teóricos: J. Walt Oler

Texas Tech University CAPÍTULO

2

Tensão e

Deformação –

Carregamento

Axial

MECÂNICA DOS MATERIAIS

T er ce ira E d iç

ão Beer • Johnston • DeWolf

Tensão e Deformação – Carregamento Axial

Tensão e Deformação: Carregamento Axial

Extensão Longitudinal Ensaio de Tracção

Diagrama Tensão-Deformação: Materiais Dúcteis

Diagrama Tensão-Deformação: Materiais Frágeis

Lei de Hooke: Módulo de Elasticidade Comportamento Elástico e Comportamento

Plástico de um Material Cargas Repetidas; Fadiga

Deformações de Elementos Submetidos a Carregamento Axial

Exemplo 2.01

Problema Resolvido 2.1

Problemas Estaticamente Indeterminados Exemplo 2.04

Problemas Envolvendo Variações de Temperatura

Coeficiente de Poisson Lei de Hooke Generalizada Extensão Volumétrica: Módulo de

Compressibilidade Volumétrica Distorção Exemplo 2.10 Relações entre E, ν ε G Problema Resolvido 2.5 Materiais Compósitos Princípio de Saint-Venant Concentração de Tensões: Furo Concentração de Tensões: Concordância Exemplo 2.12

Materiais Elastoplásticos Deformações Plásticas Tensões Residuais Exemplo 2.14, 2.15, 2.16

(2)

Tensão e Deformação: Carregamento Axial

• A adequabilidade de uma estrutura ou de uma máquina poderá depender tanto das deformações na sua estrutura como das tensões induzidas pelo carregamento. As análises da estática não são suficientes.

• Considerar as estruturas como deformáveis permite a determinação de forças nos seus elementos e de reacções que são estaticamente

indeterminadas.

• A determinação da distribuição de tensões num elemento também requer a consideração das deformações sofridas por esse elemento.

• O capítulo 2 trata da deformação de um elemento estrutural sujeito a carregamento axial (esforço normal). Os capítulos subsequentes irão tratar de cargas de torção e de flexão pura.

MECÂNICA DOS MATERIAIS

Extensão Longitudinal

tensão extensão normal P A L σ δ ε = = = = 2 2 P P A A L σ δ ε = = = 2 2 P A L L σ δ δ ε = = =

(3)

Ensaio de Tracção

MECÂNICA DOS MATERIAIS

(4)

Diagrama Tensão-Deformação: Materiais Frágeis

MECÂNICA DOS MATERIAIS

Lei de Hooke: Módulo de Elasticidade

• Abaixo da tensão de cedência Youngs Modulus or Modulus of Elasticity E E σ= ε =

• A resistência é afectada pelos elementos de liga, tratamentos térmicos e processo de fabrico, mas a rigidez (Módulo de Elasticidade) não o é.

(5)

Comportamento Elástico e Comportamento Plástico de um Material

• Se a deformação desaparecer quando se retira a carga, o material comporta-se elasticamente.

• Se a deformação não voltar a zero após a remoção da carga, o material comporta-se plasticamente.

• O maior valor da tensão para o qual isto acontece designa-se por tensão limite de elasticidade.

MECÂNICA DOS MATERIAIS

Cargas Repetidas; Fadiga

• As propriedades à Fadiga representam-se em curvas σ- N.

• Quando se reduz a tensão abaixo da tensão limite de fadiga, a rotura por fadiga não se dá para qualquer número de ciclos. • Um elemento mecânico pode

atingir a rotura por fadiga para valores da tensão

significativamente inferiores à tensão última se este for sujeito a muitos ciclos de carregamento.

(6)

Deformações de Elementos Submetidos a Carregamento Axial

P E

E AE σ

σ= ε ε= =

• A partir da lei de Hooke:

• A partir da definição de deformação específica (extensão):

L δ ε =

• Igualando e achando o alongamento (deformação),

PL AE δ=

• Com variações no carregamento, na secção transversal ou nas propriedades dos materiais,

i i

i i i

P L A E δ=

_∑

MECÂNICA DOS MATERIAIS

Exemplo 2.01

Determine o alongamento da barra de aço sujeita às cargas mostradas. 6 29 10 psi 1.07 in. 0.618 in. E D d − = × = = RESOLUÇÃO:

• Divida a barra em componentes, separando-os no ponto de aplicação das cargas.

• Faça uma análise de corpo livre a cada componente para determinar a sua força interna.

• Calcule o total dos alongamento dos componentes.

(7)

• Faça uma análise de corpo livre a cada

componente para determinar a sua força interna,

3 1 3 2 3 3 60 10 lb 15 10 lb 30 10 lb P P P = × = − × = ×

• Calcule o alongamento total,

(

)

(

)

(

)

3 3 1 1 2 2 1 2 3 3 3 3 6 3 1 60 10 12 15 10 12 30 10 16 1 29 10 0.9 0.9 0.3 75.9 10 in. i i i i i PL P L P L P L A E E A A A δ −  _  _ = = _ + + __    _× ₋ _× _×    = _ + + _ × _ _   = ×

∑

3 75.9 10 in. δ − = ×

MECÂNICA DOS MATERIAIS

Problema Resolvido 2.1

A barra rígida BDE está apoiada em duas hastes AB e CD.

A haste AB é de alumínio (E = 70 GPa) e tem área da secção transversal de 500 mm2_{. A haste CD é de aço (E = 200 GPa)}

tendo área da secção transversal de 600 mm2_.

Para a força de 30-kN representada, determine os deslocamentos a) do ponto B, b) do ponto D, e c) do ponto E.

RESOLUÇÃO:

• Faça uma análise de corpo livre à barra BDE para achar as forças exercidas pelas hastes AB e DC. • Calcule o alongamento das hastes

AB e DC ou o deslocamento dos pontos B e D.

• Estabeleça as relações geométricas de forma a encontrar o

deslocamento de E a partir dos deslocamentos de B e D.

(8)

(

)

(

)

(

)(

)

3 -6 2 9 6 60 10 N 0.3m 500 10 m 70 10 Pa 514 10 m B PL AE δ − = − × = × × = − × 0.514 mm B δ = ↑ Deslocamento de D:

(

)

(

)

(

)(

)

3 -6 2 9 6 90 10 N 0.4 m 600 10 m 200 10 Pa 300 10 m D PL AE δ − = × = × × = × 0.300 mm D δ = ↓

Corpo livre: Barra BDE

(

)

(

)

D 0 0 30 kN 0.6 m 0.2 m 90 kN M 0 0 30 kN 0.4 m 0.2 m 60 kN B CD CD AB AB M F F tensão F F compressão = = − × + × = + = = − × − × = −

∑

RESOLUÇÃO:

Problema Resolvido 2.1

MECÂNICA DOS MATERIAIS

Deslocamento de E:

(

200 mm

)

0.514 mm 0.300 mm 73.7 mm BB BH DD HD x x x ′ = ′ − = = 1.928 mm E δ = ↓

(

400 73.7 mm

)

0.300 mm 73.7 mm 1.928 mm E E EE HE DD HD δ δ ′ = ′ + = =

Problema Resolvido 2.1

(9)

Problemas Estaticamente Indeterminados

• As estruturas relativamente às quais não se podem determinar forças internas e reacções unicamente a partir de uma análise estática são chamadas de estaticamente indeterminadas.

0

L R

δ=δ +δ =

• Os deslocamentos devidos às cargas reais e devidos às reacções redundantes são determinados separadamente e depois somados ou sobrepostos. • As reacções redundantes são sustituídas por

cargas desconhecidas que juntamente com as outras cargas produzem deslocamentos conhecidos.

• Uma estrutura é estaticamente indeterminada sempre que estiver apoiada em mais apoios do que os necessários para manter o seu equilíbrio.

MECÂNICA DOS MATERIAIS

Exemplo 2.04

Determine as reacções em A e em B para a barra de aço e o carregamento representados, assumindo que a barra está encostada a ambos os apoios antes da aplicação das cargas.

• Encontre o valor da reacção em A devido às cargas aplicadas e à reacção encontrada em B. • Estabeleça a compatibilidade dos deslocamentos

devidos às cargas e à reacção redundante, igualando a sua soma a zero.

• Equacione o deslocamento em B em função da reacção redundante em B.

RESOLUÇÃO:

• Considere a reacção em B como redundante, liberte a barra desse apoio, e calcule o

(10)

RESOLUÇÃO:

• Encontre o deslocamento de B devido às cargas aplicadas com a restrição redundante libertada,

3 3 1 2 3 4 6 2 6 2 1 2 3 4 1 2 3 4 9 L 0 600 10 N 900 10 N 400 10 m 250 10 m 0.150 m 1.125 10 i i i i i P P P P A A A A L L L L PL A E E δ − − = = = × = × = = × = = × = = = = × =

_∑

=

• Equacione o deslocamento de B em função da reacção no apoio redundante,

(

)

1 2 6 2 6 2 1 2 1 2 3 400 10 m 250 10 m 0.300 m 1.95 10 B B i i R i i i P P R A A L L R PL δ A E E − − = = − = × = × = = × =

_∑

= −

Exemplo 2.04

MECÂNICA DOS MATERIAIS

• Estabeleça a compatibilidade dos deslocamentos devidos às cargas e à reacção redundante, igualando a sua soma a zero,

(

3

)

9 3 0 1.95 10 1.125 10 0 577 10 N 577 kN L R B B R E E R δ δ δ δ = + = × × = − = = × =

• Calcule a reacção em A devida às cargas e à reacção em B

0 300 kN 600 kN 577 kN 323kN y A A F R R = = − − + =

∑

323kN 577 kN A B R R = =

Exemplo 2.04

(11)

Problemas Envolvendo Variações de Temperatura

• Uma variação de temperatura resulta na mudança do comprimento e consequente deformação térmica. Não há tensões associadas às deformações térmicas a não ser que o alongamento esteja restringido por apoios.

(

)

coeficiente de dilatação térmica

T P PL T L AE δ α δ α = ∆ = =

• Considere o apoio adicional como sendo redundante e aplique o princípio da sobreposição.

(

)

0 0 T P PL T L AE δ δ δ α = + = ∆ + =

• O alongamento térmico e o alongamento devido ao apoio redundante têm de ser compatíveis.

(

)

(

)

0 T P P AE T P E T A δ δ δ α σ α = + = = − ∆ = = − ∆

MECÂNICA DOS MATERIAIS

Coeficiente de Poisson

• Para uma barra esbelta sujeita a carregamento axial: 0 x x y z E σ ε = σ =σ =

• O alongamento na direcção de x é acompanhado por uma contracção nas outras direcções axiais. Assumindo que o material é isotrópico

(propriedades não dependem da direcção), 0

y z

ε =ε ≠

• O coeficiente de Poisson’s define-se como extensão transversal extensão axial y z x x ε ε ν ε ε = = − = −

(12)

Lei de Hooke Generalizada

• Para um elemento sujeito a carregamento multi-axial, os componentes da deformação normal resultantes dos componentes da tensão podem ser determinados pelo princípio da

sobreposição. Para tal é necessário que se verifique que:

1) a deformação específica se relaciona linearmente com a tensão

2) os alongamentos são pequenos

y x z x y x z y y x z z E E E E E E E E E νσ σ νσ ε σ νσ νσ ε νσ νσ σ ε = + − − = − + − = − − +

• Com estas restrições:

MECÂNICA DOS MATERIAIS

Extensão Volumétrica: Módulo de Compressibilidade Volumétrica

• Relativamente ao estado de ausência de tensão, a

mudança de volume é

(

)

(

)

(

)

(

)

1 1 1 1 1 1 1 2

dilatação (variação de volume por unidade de volume)

x y z x y z x y z x y z e E ε ε ε ε ε ε ε ε ε ν σ σ σ     = −__ + + + __= − +_ + + _ = + + − = + + =

• Para um elemento sujeito a pressão hidrostática uniforme,

• Estando sujeito a pressão uniforme, o elemento irá diminuír de volume, pelo que,

1 2 0< <ν

(

)

(

)

3 1 2

módulo de compressibilidade volumétrico 3 1 2 p e p E k E k ν ν − = − = − = = −

(13)

Distorção

• Um elemento cúbico sujeito a uma tensão tangencial deforma-se num paralelepípedo oblíquo. A distorção correspondente é quantificada em termos da variação do ângulo entre as faces,

( )

xy f xy

τ = γ

• Um gráfico da tensão tangencial face à distorção é semelhante aos anteriores gráficos de tensão-deformação, se bem que os valores de rigidez sejam aproximadamente metade. Para pequenas distorções,

xy G xy yz G yz zx G zx

τ = γ τ = γ τ = γ

onde G é o módulo de distorção do material, ou módulo de elasticidade transversal do material.

MECÂNICA DOS MATERIAIS

Exemplo 2.10

Um bloco rectangular de um material com módulo de distorção ou módulo de elasticidade transversal G = 600 MPa está colado a duas placas rígidas. A placa inferior está fixa, enquanto a superior está sujeita à força P. Sabendo que a placa superior se desloca 0,8mm sobre a acção da força, determine a) a distorção média no material, b) a força P exercida na placa superior.

RESOLUÇÃO:

• Determine a deformação angular média ou distorção média do bloco.

• Use a definição de tensão tangencial para calcular o valor da força P. • Aplique a lei de Hooke para tensão

tangencial e distorção para calcular a tensão tangencial respectiva.

(14)

• Determine a deformação angular média ou distorção média do bloco.

0.8mm

tan 0.020 rad 40mm

xy xy xy

γ ≈ γ = γ =

• Aplique a lei de Hooke para tensão

tangencial e distorção para calcular a tensão tangencial respectiva.

(

600Mpa 0.020 rad

)(

)

12MPa

xy G xy

τ = γ = =

• Use a definição de tensão tangencial para calcular o valor da força P.

(

6

)

(

)(

)

3 12 10 Pa 0,160m 0,50 m 96 10 N xy P=τ A= × = × 96,0 kN P=

MECÂNICA DOS MATERIAIS

Relações entre E,

ν

e G

• Uma barra esbelta submetida a carregamento axial irá alongar-se na direcção axial e contraír-se nas direcções transversais.

(

1

)

2 E

G= +ν

• As componentes da deformação específica axial e da distorção estão relacionadas, • Se o elemento cúbico estiver orientado como na Figura de baixo, este deformar-se-à num paralelepípedo oblíquo. A carga axial também resulta em distorção. • Um elemento inicialmente cúbico

orientado como na Figura de cima deformar-se-à num paralelepípedo. A carga axial produz uma deformação axial.

(15)

Problema Resolvido 2.5

Um círculo de diâmetro d = 200mm está desenhado numa placa de alumínio em estado de ausência de tensão e de espessura t = 18mm Subsequentemente, forças agindo no plano da placa causam tensões normais de σ_x= 85MPa e σ_z = 150MPa

Para E = 70GPa e ν = 1/3, determine a variação de:

a) o comprimento do diâmetro AB, b) o comprimento do diâmetro CD, c) a espessura da placa, e

d) o volume da placa.

MECÂNICA DOS MATERIAIS

RESOLUÇÃO:

• Aplique a Lei de Hooke generalizada para calcular as três componentes da deformação normal.

(

)

(

)

3 3 3 1 1 85MPa 0 150MPa 70 GPa 3 0.500 10 mm/mm 1.119 10 1.738 10 y x z x y x z y y x z z E E E E E E E E E νσ σ νσ ε σ νσ νσ ε νσ νσ σ ε − − − = + − −     = − −     = + × = − + − = − × = − − + = + ×

• Calcule os componentes da deformação.

(

3

)

(

)

0.500 10 mm/mm 200 mm B A xd δ ₌ε _{= +} _× −

(

3

)

(

)

1.738 10 200 mm C D zd δ =ε = + × −

(

3

)

(

)

1.119 10 18mm t yt δ ₌ε _{= −} _× − 100µm B A δ = + 348µm C D δ = + 20,1µm t δ = −

• Encontre a variação de volume

(

)

3 3 1.119 10 1.119 10 350mm 350mm 18mm x y z e V eV ε ε ε − − = + + = × ∆ = = × × × 3 3 3 2, 470 10 mm 2470µm V − ∆ = + × =

(16)

Materiais Compósitos

• Os materiais compósitos reforçados com fibras são formados por camadas de fibras de grafite, vidro, ou polímeros embebidos numa matriz resinosa.

y x z x y z x y z E σ E σ E σ ε ε ε = = =

• As tensões normais e as extensões estão relacionadas pela lei de Hooke mas com módulos de elasticidade dependentes da direcção, y z xy xz x x ε ε ν ν ε ε = − = −

• As contracções transversais estão relacionadas por valores do coeficiente de Poisson dependentes da direcção,

• Os materiais com propriedades mecânicas dependentes da direcção são chamados de anisotrópicos.

MECÂNICA DOS MATERIAIS

Princípio de Saint-Venant

• As cargas transmitidas através de placas rígidas, resultam numa distribuição de tensões e deformações uniforme.

• Princípio de Saint-Venant: A distribuição de tensões pode ser assumida como independente do modo de aplicação da carga, excepto na vizinhança imediata dos pontos de aplicação de carga.

• As distribuições de tensão e extensão tornam-se uniformes a uma distância relativamente curta dos pontos de aplicação das cargas.

• As cargas concentradas dão lugar a tensões elevadas na vizinhança do ponto de aplicação da carga.

(17)

Concentração de Tensões: Furo

As descontinuidades da secção transversal traduzem-se em tensões localizadas elevadas ou tensões concentradas. máx méd K σ σ =

MECÂNICA DOS MATERIAIS

(18)

Exemplo 2.12

Determine a maior carga axial P que pode ser suportada com segurança pela barra plana de aço com dois troços, ambos com 10 mm de espessura, e repectivamente 40 e 60 mm de largura, ligados por uma concordância de raio circular r = 8 mm. Considere a tensão normal admissível como sendo 165 MPa.

RESOLUÇÃO:

• Determine as relações geométricas e extraia o factor de concentração de tensões da Fig. 2.64b.

• Aplique a definição da tensão normal para encontrar o valor da carga admissível.

• Calcule o valor da tensão normal média admissível a partir da tensão normal admissível do material e do factor de concentração de tensões.

MECÂNICA DOS MATERIAIS

• Determine as relações geométricas e extraia o factor de concentração de tensões da Fig. 2.64b. 60 mm 8mm 1.50 0.20 40 mm 40 mm 1.82 D r d d K = = = = =

• Calcule o valor da tensão normal média admissível a partir da tensão normal admissível do material e do factor de concentração de tensões.

max méd 165MPa 90.7 MPa 1.82 K σ σ = = =

• Aplique a definição da tensão normal para encontrar o valor da carga admissível.

(

)(

)

3 40 mm 10 mm 90.7 MPa 36.3 10 N méd P=Aσ = = × 36.3kN P=

(19)

Materiais Elastoplásticos

• As análises anteriores eram baseadas na premissa da existência de relação linear entre a tensão e a extensão, i.e., as tensões estavam abaixo do limite de cedência • Esta premissa é aplicável a materiais

frágeis que atingem a rotura sem ceder

• Se a tensão de cedência de materiais dúcteis for excedida, ocorre deformação plástica

• A análise das deformações plásticas é simplificada pela consideração de um material elastoplástico idealizado • As deformações num material

elastoplástico dividem-se em zona elástica e zona plástica

• As deformações permanentes resultam dos carregamentos que provocam tensões acima da tensão limite de proporcionalidade

MECÂNICA DOS MATERIAIS

Deformações Plásticas

• Deformação elástica enquanto a tensão máxima for inferior à tensão de cedência max méd A P A K σ σ = =

• A tensão máxima é igual à tensão de cedência para a carga elástica máxima C C A P K σ =

• Para carregamentos acima da carga elástica máxima, desenvolve-se uma região de deformações plásticas perto do furo

• À medida que a carga aumenta, a região plástica expande-se até que toda a secção transversal esteja a uma tensão uniforme igual à tensão de cedência U C C P A K P σ = =

(20)

Tensões Residuais

• Quando um único elemento estrutural é carregado

uniformemente para além do seu limite de cedência e é de seguida descarregado, o elemento estrutural fica

permanentemente deformado, mas todas as tensões desaparecem. Este não é contudo o caso mais genérico.

• As tensões residuais também resultam do aquecimento ou arrefecimento desigual de estruturas ou de elementos estruturais

• Vão permanecer na estrutura tensões residuais após o ciclo de carga e descarga quando

- apenas parte da estrutura sofre deformações plásticas

- partes diferentes da estrutura sofrem deformações plásticas desiguais

MECÂNICA DOS MATERIAIS

Exemplo 2.14, 2.15, 2.16

Uma barra cilíndrica é colocada dentro de um tubo com o mesmo

comprimento. As extremidades da barra e do tubo estão ligadas a um apoio fixo num dos lados e a uma placa rígida no outro. A carga no conjunto barra-tubo é feita crescer de zero até 19,5 kN e é baixada depois até zero.

a) desenhe o diagrama carga-deslocamento do conjunto, b) determine o alongamento

máximo,

c) determine a deformação permanente,

d) calcule as tensões residuais na

2 , 45mm 200GPa 200MPa b b C b A E σ = = = 2 , 60mm 100GPa 250MPa t t C t A E σ = = =

(21)

a) desenhe o diagrama carga-deslocamento do conjunto

(

)

(

2

)

, , , , , 200 45 9 200 800 0,800 . 200 C b CY b b C b C,b C b C b P A MPa mm kN MPa δ L L mm mm E GPa σ σ ε = = = = = = =

(

)

(

2

)

, , , , 3 , 250 60 15 250MPa 800 2 100 10 C t C t t C t C,t C t C t P A MPa mm kN δ L L mm mm E MPa σ σ ε = = = = = = = × r t r t P P P δ δ δ = + = =

Exemplo 2.14, 2.15, 2.16

MECÂNICA DOS MATERIAIS

b,c) determine o alongamento máximo e a deformação permanente

• A uma carga de P = 19,5 kN, a barra já entrou no regime plástico, mas o tubo está no regime elástico

(

)

, 3 t 2 t 3 9kN 19,5 9 kN 10,5kN 10,5 10 N 175 60mm 175 MPa 800 . 100 10 Mpa b C b t b t t t t t P P P P P P MPa A L L mm E σ σ δ ε = = = − = − = × = = = = = = × δmax=δt=1, 40mm.

• O conjunto barra-tubo descarrega segundo uma linha paralela a 0(P_b)_c

(

)

max p max 15kN 18, 75kN mm declive 0,8mm. 19,5kN 1,04mm. 18, 76 kN mm. 1, 40 1,04 0,36mm m P m δ δ δ δ = = = ′ = − = − = − ′ = + = − = _0,36mm p δ =

(22)

• calcule as tensões residuais na barra e no tubo. Calcule os decréscimos de tensão resultantes da descarga da força externa na barra e no tubo e some-os algebricamente às tensões máximas.

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

3 3 3 , , 1,04mm. 1.30 10 800 mm. 1.30 10 200GPa 260 MPa 1.30 10 100GPa 130 MPa 200 260 MPa 60 MPa 175 130 MPa 45 MPa b b t t b resid b b t resid t t L E E δ ε σ ε σ ε σ σ σ σ σ σ − − − ′ − ′ = = = − × ′= ′ = − × = − ′= ′ = − × = − ′ = + = − = − ′ = + = − = +

Exemplo 2.14, 2.15, 2.16