Aula 5 Perpendicularidade e paralelismo

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Aula 5 – Perpendicularidade e paralelismo

Objetivos

• Introduzir os conceitos de perpendicularidade e de paralelismo.

• Introduzir o quinto postulado de Euclides, ressaltando sua grande im-portância histórica e teórica.

• Apresentar os primeiros resultados decorrentes do quinto postulado.

Introdu¸c˜

ao

Discutiremos nesta aula os importantes conceitos de perpendicularidade e paralelismo entre retas.

Já vimos, na aula 1, que duas retas são paralelas quando não se inter-sectam. A seguir, veremos o que significa dizer que duas retas são perpendi-culares.

Defini¸c˜ao 12

Duas retas s˜ao ditas perpendiculares se elas se intersectam formando ˆangulos retos.

(a) (b)

Fig. 68: a) Retas paralelas. b) Retas perpendiculares.

Observe o desenho abaixo. As retas s˜ao paralelas ou n˜ao?

As retas s˜ao paralelas. Verifique com uma r´egua.

Usando os resultados das aulas anteriores, ´e poss´ıvel provar as seguintes proposi¸c˜oes:

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Proposi¸c˜ao 7

Dados uma reta r e um ponto P , existe uma ´unica reta s perpendicular a r passando por P .

s r

P

Fig. 69: Reta s perpendicular a r passando por P .

Proposi¸c˜ao 8

Dados uma reta r e um ponto P fora de r, existe uma reta s paralela a r contendo P .

s r

P

Fig. 70: Reta s paralela a r contendo P .

As provas dessas proposi¸cões estão no Apêndice que aparece no final da aula, e você deve estudá-las num segundo momento, após ter dominado o uso destas proposi¸cões para resolver problemas.

Observe a figura 71.

s r

P

T Q

Fig. 71: O ponto Q ´e o p´e da perpendicular.

O ponto Q é chamado de pé da perpendicular baixada do ponto P à reta r e o ponto T pertencente à reta s é chamado de reflexo do ponto P em rela¸cão à reta r, desde que P Q_{≡ QT .}

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Note que a palavra única no enunciado da proposi¸cão 7 não aparece no enunciado da proposi¸cão 8. Na verdade, não é poss´ıvel provar, usando apenas os axiomas e os resultados anteriores, que só existe uma reta com a propriedade desejada.

Você sabia que... A unicidade da paralela (chamado de Quinto Postulado de Euclides) foi proposta por Euclides como um axioma. Por muitos anos (mais de 2.000!) vários matemáticos tentaram provar, sem sucesso, que a unicidade da paralela decorria dos outros axiomas. Foi somente na primeira metade do século XIX que os matemáticos chegaram à conclusão de que o quinto postulado não era demonstrável a partir dos outros quatro. Isso ocorreu com a descoberta das chamadas geometrias não-euclidianas em que o quinto postulado de Euclides ´

e substitu´ıdo por uma outra afirma¸cão que lhe é contraditória. Essa

descoberta est´a associada ao nome de dois matem´aticos que a obtiveram

independentemente: J´anos Bolyai (1802-1860) e Nikolai I. Lobachevsky (1793-1856). Apresentamos, agora, o axioma que ´e conhecido como o Quinto

Postu-lado de Euclides.

Quinto Postulado de Euclides

• Por um ponto fora de uma reta passa uma ´unica reta paralela `a reta dada.

Antes de obter algumas conseq¨uˆencias do Quinto Postulado de Euclides, definiremos o importante conceito de mediatriz de um segmento.

Defini¸c˜ao 13

A mediatriz de um segmento ´e a reta perpendicular a esse segmento em seu ponto m´edio (veja figura 72).

r A

B

Fig. 72: A reta r ´e mediatriz do segmento AB.

Agora considere duas retas r e s; suponha que t é uma reta que corta as duas. A reta t é chamada transversal às retas r e s. Considere os oito ângulos indicados na figura 73, numerados para facilitar a explica¸cão.

r s 1 3 2 4 5 6 7 8 t

Fig. 73: Paralelas cortadas por uma transversal.

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Os ângulos ˆ3 e ˆ6, bem como os ângulos ˆ4 e ˆ5, são chamados alternos internos (pois ficam em lados alternados de t, entre as retas r e s), enquanto os pares ˆ1 e ˆ8 e ˆ2 e ˆ7 são ditos alternos externos. Chamam-se correspondentes os seguintes pares de ângulos: ˆ1 e ˆ5, ˆ2 e ˆ6, ˆ3 e ˆ7, e ˆ4 e ˆ8. Note que, se um dos pares acima for congruente, os outros também o serão.

Vocˆe sabia que...

J´anos Bolyai 1802-1860 d.C., Romˆenia.

János Bolyai nasceu na Transilvânia, naquela época parte da Hungria e do Império Austr´ıaco. Entre 1820 e 1823, ele preparou um tratado sobre um sistema completo de Geometria não-euclidiana. Antes de o trabalho ser publicado, ele descobriu que Gauss tinha antecipado muito do seu trabalho. Embora Gauss nunca tivesse publicado seu trabalho nessa área, isso era um ponto de honra para Bolyai. Porém, o trabalho do Bolyai foi publicado em 1832 como apêndice de um ensaio, por seu pai. Consulte: http://www-groups.dcs. st-nd.ac.uk/~history/ Mathematicians/Bolyai. html Proposi¸cão 9

Se duas retas cortadas por uma transversal determinam um par de ângulos alternos internos congruentes, então as retas são paralelas.

Prova:

Suponha que r e s são cortadas por t, como na hipótese da proposi¸cão. Se r e s não fossem paralelas, elas teriam um ponto em comum, como na figura 74.

r s

t

Fig. 74: Proposi¸c˜ao 9.

Ter´ıamos então um triângulo para o qual um ângulo externo seria igual a um ângulo interno não adjacente, o que seria contraditório com o teorema do ângulo externo. Logo r e s são paralelas.

Q.E.D.

Na proposi¸c˜ao seguinte utilizaremos pela primeira vez o Quinto Postu-lado de Euclides.

Proposi¸c˜ao 10

Se duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, os ângulos alternos internos são congruentes.

A proposi¸c˜ao 10 ´e quivalente `

a proposi¸c˜ao 29 do livro I dos Elementos, em que Euclides usou o Quinto Postulado pela primeira vez.

Prova:

Sejam r e s duas retas paralelas cortadas por uma transversal t nos pontos A e B, respectivamente. Sejam C e F pontos de r e G e D pontos de s dispostos como na figura 75.

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r s t A B C D F G

Fig. 75: t ´e transversal `as retas paralelas r e s.

Provaremos que os ângulos BAC eˆ ABD são congruentes. Para isso,ˆ vamos supor que tal fato não aconte¸ca, ou seja, que B ÂC > A ˆBD ou A ˆBD > B ÂC.

Você sabia que... Nikolai I. Lobachevsky (1793-1856 d.C., Rússia) foi o primeiro a publicar um relato sobre Geometria não-euclidiana (1829). Seu trabalho atraiu pouca aten¸cão quando apareceu porque foi publicado em russo e os russos que o leram fizeram severas cr´ıticas. Em 1840, ele publicou um tratado em alemão, através do qual suas descobertas chegaram ao conhecimento de Gauss. Em uma carta a Schumacher, Gauss elogiou o trabalho de Lobachevsky, mas ao mesmo tempo reiterou sua prioridade nesse assunto. Lobachevsky não teve o merecido reconhecimento durante sua vida. De fato, em 1846 ele foi demitido da Universidade de Kazan, apesar dos vinte anos de notáveis servi¸cos prestados como professor e administrador. Somente após a morte de Gauss (1855), quando suas correspondências foram publicadas, o mundo come¸cou a reconhecer os trabalhos de Lobachevsky sobre Geometria não-euclidiana. Em qualquer caso, no semiplano determinado por t que contém C,

tra¸camos a semi-reta−→AE tal que BAEˆ ≡ABD, como na figura 76. O ladoˆ esquerdo da figura 76 representa o caso B ˆAC > A ˆBD, enquanto que o lado direito, o caso A ˆBD > B ˆAC.

r s t A B C D F G r s t A B C D F G E E Fig. 76: Proposi¸c˜ao 10.

As retas ←→AE e s são cortadas por t de forma que os ângulos alternos internos BAE eˆ ABD são congruentes. Usando a proposi¸cão 9, conclu´ımosˆ que ←→AE é paralela a s, e portanto existem duas paralelas a s (←→AE e r) passando pelo ponto A, o que contraria o Quinto Postulado de Euclides. Chegamos a essa contradi¸cão porque assumimos que B ÂC não é congruente a A ˆBD. Logo, devemos ter B ÂC ≡ A ˆBD.

Q.E.D.

O teorema a seguir ´e um dos mais utilizados da Geometria euclidiana.

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Lei Angular de Tales

A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180o_.

Prova:

Seja ABC um triângulo e seja s a reta que passa por A e é paralela à reta ←→BC, como na figura 77.

A

B C

D E _s

Fig. 77: Reta s paralela `a reta que cont´em os pontos B e C.

Sobre s marque pontos D e E. Como a reta ←→AB é transversal às retas paralelas s e ←→BC, podemos concluir, a partir da proposi¸cão 10, que A ˆBC ≡ D ÂB. Analogamente, considerando a transversal ←→AC, podemos concluir que A ˆCB ≡ E ÂC. Logo,

A ˆBC + B ÂC + A ˆCB = D ÂB + B ÂC + E ÂC = 180o Q.E.D.

Você sabia que... Considerado o primeiro filósofo grego, introdutor da Geometria na Grécia. Como rico negociante de azeite da cidade de Mileto, litoral da ´

Asia Menor (atual Turquia), Tales percorreu inúmeras vezes o litoral do Mediterrâneo, entre 600 a.C. e 550 a.C., e conheceu as obras de vários matemáticos e astrônomos da região, principalmente no Egito. Ao aposentar-se, dedicou-se à Matemática e estabeleceu os primeiros postulados básicos da Geometria. É atribu´ıdo a ele o cálculo da altura de uma pirâmide a partir do comprimento de sua sombra, em determinado horário do dia e dependendo da posi¸cão do sol. Na Filosofia, Tales defendeu a existência de uma substância fundamental que dá origem ao movimento e à transforma¸cão da vida. Para ele, o princ´ıpio de tudo

´

e a ´agua. “O morto resseca, enquanto os germes s˜ao

´

umidos, e os alimentos cheios de seiva”, ele dizia. Até Tales, todas as explica¸cões sobre o Universo eram mitológicas. Consulte: http://www-groups.dcs. st-nd.ac.uk/~history/ Mathematicians/Tales.html

Notas:

1) Como os ângulos internos de um triângulo equilátero têm todos a mesma medida, segue da Lei Angular de Tales que cada um deles mede 60o_.

2) Se dois triângulos ABC e DEF são tais que BC ≡ EF , ˆB ≡ Ê e ˆ

A_{≡ ˆ}D, ent˜ao ABC _{≡ DEF .}

De fato, como Â + ˆB + ˆC = ˆD + Ê + ˆF = 180◦_{, então ˆ}_A _{≡ ˆ}_{D, ˆ}_B _{≡ ˆ}_E e ˆC _{≡ ˆ}F e estamos no caso A.L.A. de congruência, as vezes é referida como caso A.L.A◦_{. (lê-se ângulo, lado, ângulo oposto).}

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Resumo

Nesta aula vocˆe aprendeu...

• O que significa dizer que duas retas s˜ao paralelas ou perpendiculares. • Que s´o existe uma reta passando por um ponto e perpendicular a uma

reta dada.

• Que s´o existe uma reta passando por um ponto e paralela a uma reta dada.

• Que ˆangulos alternos internos s˜ao congruentes.

• Que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180o_.

Exerc´ıcios

1. (PUC-SP, 1983) Considere a senten¸ca:

“Num plano, se duas retas são..., então toda reta... a uma delas é...à outra”

A alternativa que preenche corretamente as lacunas ´e: (a) Paralelas, perpendicular, paralela

(b) Perpendiculares, paralela, paralela

(c) Perpendiculares, perpendicular, perpendicular (d) Paralelas, paralela, perpendicular

(e) Perpendiculares, paralela, perpendicular

2. (UFMG, 1992) Com base nos dados da figura 78, pode-se afirmar que o maior segmento ´e:

A B C D E 55 65 70 70 o o o o Fig. 78: Exerc´ıcio 2.

(a) AB (b) AE (c)EC (d) BC (e) ED

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3. Determine os ângulos x e y indicados na figura 79 onde ˆD = 25◦ _{e AE} e BD são segmentos de reta. (Lembre-se de que as indica¸cões dadas pelos tra¸cos curtos transversais significam que AB _{≡ AC ≡ CD e}

BC _{≡ BE).} A B C D E x y Fig. 79: Exerc´ıcio 3.

4. Determine D ˆP E na figura 80, sendo ˆB = 20◦_.

A B C D E P Fig. 80: Exerc´ıcio 4.

5. Na figura 81, Â é reto, −−→BD é bissetriz de ˆB e −−→CE é bissetriz de ˆC. Determine a medida de BF C.ˆ C B A D E F Fig. 81: Exerc´ıcio 5.

6. Determine o valor do ângulo Â no triângulo ABC da figura 82.

C B

A

D

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7. Na figura 83 , B ÂC é reto e D é o ponto médio de BC. Mostre que m(AD) = m(BC) 2 . C B A D Fig. 83: Exerc´ıcio 7.

8. Determine a medida de AB na figura 84.

C B A 60 30 10 o o Fig. 84: Exerc´ıcio 8.

9. Determine as medidas dos ˆangulos ˆB e ˆC na figura 85.

C B A 6 3 Fig. 85: Exerc´ıcio 9.

10. Na figura 86, o ângulo B ÂC é reto e−−→M N é bissetriz do ângulo A ˆM C. Determine o valor de A ˆN M . C B A N M Fig. 86: Exerc´ıcio 10. 63

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11. Na figura 87, B ÂC é reto e M é o ponto médio de BC. Determine M ÂN . C B A N M 30o 60o Fig. 87: Exerc´ıcio 11.

12. Na figura 88, AB _{≡ AC. Determine o valor de ˆ}A.

C _B A D E F Fig. 88: Exerc´ıcio 12.

13. Considere os triângulos T1, T2, . . . , T12 da figura 89. Assinale os pares de triângulos congruentes e indique o caso de congruência.

T 3 4 70o 1 1 2 T 60o 2 35 o 3 8 T4 T3 35o 25 o T5 3 8 35 o 3 6 4 T6 _T7 10 1 2 60o T8 3 4 70o T9 6 5 20o 80 o T10 3 4 T11

25 o 35o 80o 20o

5 T12 10

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14. Na figura 90 tem-se m(AC) = m(P R) = 4, m(AB) = m(RS) = 3 e m(BC) = 6. A B C R S P 3 4 6 3 4 Fig. 90: Exerc´ıcio 14. Considere os casos: a) ˆC ≡ ˆP , b) ˆB ≡ ˆS e c) ˆC ≡ ˆR

Em que casos podemos determinar a medida de PS?

15. Seja ABC um triˆangulo is´osceles de base BC. Prove que a mediatriz de BC passa pelo ponto A.

16. (Distância de ponto a reta) Sejam r uma reta e P /_{∈ r. Se Q é o} pé da perpendicular baixada de P à reta r, prove que Q é o ponto de r mais próximo de P . A medida do segmento P Q é definida como a distância de P a r.

17. Prove que a medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos internos a ele não-adjacentes.

18. (Desafio) Na figura 91, as retas r e s s˜ao perpendiculares.

r

s A

B

Fig. 91: Exerc´ıcio 18.

Qual ´e o caminho mais curto para ir do ponto A ao ponto B tocando-se nas duas retas?

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19. Seja ABC um triângulo e r uma reta que não corta ABC. Sejam A0_, B0 _{e C}0 _{os reflexos de, respectivamente, A, B e C em rela¸cão a r, como} na figura 92. r C B A A' B' C' Fig. 92: Exerc´ıcio 19.

Prove que o triˆangulo A0_B0_C0 _{´e congruente a ABC.}

20. (FUVEST-2001) Na figura 93, tem-se que AD _{≡ AE, CD ≡ CF e}

BA≡ BC. C B A D E F 80o Fig. 93: Exerc´ıcio 20.

Se o ângulo E ˆDF mede 80o_{, então o ângulo A ˆ}_{BC mede: (a) 20}o

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Apˆ

endice: Para saber mais...

Neste Apˆendice vamos apresentar uma prova das proposi¸c˜oes 7 e 8 que enunciamos nesta aula.

Proposi¸c˜ao 7

Dada uma reta r e um ponto P , existe uma ´unica reta s perpendicular a r passando por P .

Prova:

Temos dois casos a considerar: P ∈ r e P /∈ r. O caso em que P ∈ r pode ser demonstrado facilmente a partir dos axiomas sobre medi¸cão de ângulos (veja a aula 2). No caso em que P /∈ r, tome pontos distintos A e B em r e trace AP . No outro semiplano determinado por r, trace uma semi-reta −→AC de modo que B ÂC ≡ P ÂB (figura 94).

A C D E B P r Fig. 94:

Sobre −→AC marque o ponto D tal que AD _{≡ AP . Seja E o ponto em} que P D intersecta r. Prove que P AE _{≡ DAE. Segue da´ı que P ˆ}EA_{≡ D ˆ}EA. Logo, P ÊA é reto e, portanto, ←→P E é perpendicular a r.

Est´a provado, assim, que existe uma reta passando por P e perpendi-cular a r. Falta provar que n˜ao existe outra reta com essa propriedade.

Suponha que exista outra reta ←→P F que seja perpendicular a r (figura 95).

E F

P

r Fig. 95:

Use o teorema do ˆangulo externo para mostrar que isso ´e um absurdo.

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Proposi¸c˜ao 8

Dados uma reta r e um ponto P fora de r, existe uma reta s paralela a r contendo P .

Prova:

Sejam r uma reta e P /_{∈ r. Seja} ←→P A a reta passando por P e perpendi-cular a r. Trace a semi-reta−−→P B tal queAP B é reto. Prove, por contradi¸cão,ˆ que←→P B é paralela a r. (Se←→P B e r não fossem paralelas, elas se intersectariam em um ponto C, formando um triângulo com dois ângulos retos).