Capítulo 3. Espécie 1 (Massa molar M 1 ) Espécie 2 (Massa molar M 2 ) Espécie 3 (Massa molar M 3 ) Espécie N (Massa molar M N )

(1)

1

Capítulo 3

CONCENTRAÇÕES, VELOCIDADES E FLUXOS

Antes de apresentarmos as equações fundamentais da difusão de calor e massa, objetivo central dos Capítulos 4 e 5, é conveniente introduzirmos conceitos associados ao transporte de massa em misturas. Tais conceitos facilitarão o entendimento físico de alguns termos a serem derivados nas equações de transporte.

3.1. Concentrações

Considere uma região do espaço de volume V na qual coexistem N espécies químicas (componentes) distribuídas de forma homogênea, conforme ilustra a Figura 3.1. A concentração mássica do i-ésimo componente, onde i = 1, 2, 3, ... N, é definida como:

V m_i

i

 (3.1.1)

onde mi é a massa do componente i existente no volume V.

V

Espécie 1 (Massa molar M1) Espécie 2 (Massa molar M2) Espécie 3 (Massa molar M3) Espécie N (Massa molar MN)

Figura 3.1. Componentes de uma mistura ocupando um volume V.

Analogamente, a concentração molar do componente i é definida por:

V n

c i

(2)

2

onde ni é o número de moles do componente i no volume V. Da relação entre a massa e o número

de moles, tem-se que:

i i i M m n  (3.1.3)

A fração mássica do componente i é definida por:

m m

X i

i (3.1.4)

onde a massa total dos componentes do volume é:



  N 1 i i m m (3.1.5)

Na eq. (3.1.4), é comum utilizar o símbolo Xi para frações mássicas em misturas líquidas e Yi

para misturas de gases ou vapores. Por meio da definição da densidade mássica da mistura:

V m 

 (3.1.6)

a fração mássica pode também ser escrita na forma:

   i i

X (3.1.7)

Do mesmo modo, definimos a fração molar como:

n n

x i

i  (3.1.8)

onde o número total de moles dos componentes do volume é dado por:



  N 1 i i n n (3.1.9)

Note que na equação (3.1.8), o símbolo yi também é usado com frequência no caso de

misturas de gases ou vapores. Por meio da definição da densidade molar da mistura:

V n

c (3.1.10)

também é possível escrever a fração molar do componente i na forma: c

c

x i

i  (3.1.11)

A massa molecular equivalente da mistura é definida por:

c

(3)

3

A partir das definições relativas à concentração dos componentes de uma mistura, uma série de relações básicas pode ser derivada, conforme resumido abaixo:

1 X N 1 i i 



 (3.1.13) 1 x N 1 i i 



 (3.1.14) M M x i N 1 i i 



 (3.1.15) M 1 M X N 1 i i i 



 (3.1.16)

Para ilustrar a diferença entre concentrações definidas na base molar e na base mássica, imagine que em sua rede de pesca um pescador tenha apanhado uma determinada quantidade total de peixes, compreendendo quantidades individuais de N espécies. Assuma, por simplicidade, que os peixes pertencentes a uma dada espécie i sejam do mesmo tamanho e assim tenham individualmente a mesma massa Mi. Entendemos que o equivalente à fração molar será a razão

entre o número de peixes da espécie i e o número total de peixes e, analogamente, o equivalente à fração mássica será a razão entre a massa total de peixes da espécie i e a massa total de peixes (devidamente computadas com o auxílio de uma balança). A diferença entre concentrações definidas a partir das frações molar e mássica surge quando existe, por exemplo, uma disparidade entre as massas individuais de cada espécie (ou seja, as massas molares) e/ou entre os números de indivíduos em cada espécie. Se o pescador arrecadou 20 peixes da espécie A (com 400 g cada um) e 2 peixes da espécie B (com 4 kg cada um), as frações molares de A e B serão, respectivamente, de 0,9 e 0,1. Já as frações mássicas serão de 0,5 para cada espécie.

A adoção da base mássica ou da base molar depende de circunstâncias e condições do problema físico em questão. Há determinadas classes de problemas que favorecem a utilização da base mássica e vice-versa. Por exemplo, problemas envolvendo o escoamento de fluidos em que os campos de velocidades e pressões também são incógnitas do problema são mais adequadamente formulados na base mássica. Já problemas envolvendo processos a pressão e temperatura constantes, favorecem o emprego da base molar. Essa diferenciação ficará mais evidente ao longo do texto.

3.2. Velocidades

Considere o escoamento de uma mistura de N espécies químicas. Permita que as espécies tenham velocidades v_i, com relação a um referencial inercial, diferentes entres si. Definimos a velocidade média mássica como:

(4)

4

i N 1 i i i N 1 i i N 1 i i i N 1 i i v X v 1 v v    



    _ _      (3.2.1)

ou seja, como a velocidade média ponderada com relação à concentração mássica.

A taxa com a qual a massa da mistura atravessa uma região de área de seção transversal unitária perpendicular a v é calculada por (kg/m2.s):

i N 1 i iv v  



    (3.2.2)

Damos o nome de fluxo a uma taxa por unidade de área. Desta forma, a grandeza definida na Eq. (3.2.2) como o produto entre a densidade mássica e a velocidade média mássica é conhecida como o fluxo de massa da mistura.

A velocidade média mássica é a velocidade medida experimentalmente em um escoamento com, por exemplo, um tubo de Pitot ou um anemômetro de fio-quente. Adicionalmente, v é a velocidade que aparece nas equações de conservação da massa, energia e quantidade de movimento.

A velocidade média molar, por sua vez, é definida como a velocidade média ponderada com relação à concentração molar:

i N 1 i i i N 1 i i N 1 i i i N 1 i i v x v c c 1 c v c * v    



    _ _  (3.2.3)

Analogamente, a taxa com a qual moléculas da mistura atravessam uma região de área de seção transversal unitária perpendicular a *v , isto é, o fluxo molar da mistura, é calculada por (kmol/m2.s): i N 1 i iv c * v c



   (3.2.4)

Tantov_iquanto ve *v são determinadas com relação a um referencia inercial, sendo, portanto, velocidades absolutas. Usando o conceito de velocidade relativa, podemos definir as velocidades do componente i com relação à média mássica e à média molar: v_i ve v_iv*. Tais velocidades originam-se da difusão do componente i na mistura. Para ilustrar o conceito de velocidade de difusão, Cremasco (2002) também faz uso de uma analogia entre os componentes de uma mistura e espécies de peixe se deslocando em um rio. Cada espécie tem peixes de tamanho e massa diferentes das outras espécies e pode ter uma velocidade diferente da velocidade média do meio (neste caso, o rio) com relação a um referencial fixo. Assim, a velocidade de difusão de uma dada espécie com relação ao meio pode ser negativa ou positiva, dependendo se os peixes daquele cardume nadam mais rapidamente ou mais lentamente que a velocidade média do rio. Esta

(5)

5

velocidade média, por sua vez, pode ser calculada com base na massa de cada cardume (média mássica) ou no número de peixes em cada cardume (média molar).

3.3. Fluxos

3.3.1. Fluxos de Massa

Entendemos por fluxo a taxa com que uma dada propriedade extensiva é transportada por uma superfície por unidade de área. Primeiramente, com o auxílio da Figura 3.2, desejamos calcular a vazão em massa da mistura através da superfície de área dA. Se a taxa de deslocamento da superfície de controle dA com relação a um referencial fixo é igual a v_I, a taxa com a qual a massa da mistura atravessa a superfície é:



v v



nˆdA m d  _I  (3.3.1) i v  I v  dA x y z v

Figura 3.2. Velocidades absolutas através de uma superfície.

Do mesmo modo, a taxa com a qual as moléculas que compõem a mistura atravessam a área dA é dada por:



v* v



nˆdA c

n

d  _I  _(3.3.2)

Por outro lado, a taxa com a qual a massa do componente i atravessa a superfície deve ser calculada com base na velocidade do componente i com relação ao referencial fixo, ao invés da velocidade da mistura v:



v v



nˆdA

X m

d_i _i _i_I  (3.3.3)

Da mesma forma, a taxa com a qual moléculas do componente i atravessam a superfície é dada por:



v v



nˆdA

cx n

(6)

6

No que diz respeito à velocidade, a diferença entre as definições dos fluxos devido a cada componente e à mistura apresentadas acima é mais facilmente compreendida se utilizarmos novamente a analogia com o deslocamento dos peixes em um rio. Para um pescador parado junto à margem (referencial fixo) ou se deslocando em uma canoa, o fluxo (mássico ou molar) de uma dada espécie é determinado pela velocidade com que os peixes daquela espécie passam por ele, e não pela velocidade com que o meio se desloca com relação ao referencial fixo.

A fim de definir os vetores fluxo de massa e fluxo molar, por simplicidade, voltemo-nos para o caso em que v_Ié nula com relação ao referencial fixo. O vetor fluxo de massa total do componente i é dado por:

i i i i i Xv v m   (3.3.5)

e pode ser decomposto em termos responsáveis pela advecção (equivalente a “se deixar levar pela correnteza”) e pela difusão (equivalente a “se deslocar no meio, com relação ao meio”):

i i i v J m (3.3.6) onde:



v v



J_i _i _i       (3.3.7)

é o fluxo de massa devido à difusão. A relação constitutiva mais utilizada para o fluxo de massa difusivo é a Lei de Fick. De natureza empírica e inspirada na Lei de Fourier para a condução do calor (Cussler, 2003), esta relação é validada experimentalmente para misturas de gases a pressões moderadas e misturas de líquidos e sólidos com diluição em pequenas proporções. Neste caso, para uma mistura de N componentes em que o soluto (componente i) encontra-se diluído em pequenas proporções, a Lei de Fick fornece:

i eff , i i D X J   (3.3.8) onde Di,eff é a difusividade molecular efetiva (m2/s) do componente i na mistura. Note que o sinal

negativo na Lei de Fick serve para adequar esta relação constitutiva à 2ª Lei da Termodinâmica, que estipula que a massa da espécie em questão flui da região de alta para a de baixa concentração. Para uma mistura binária de componentes 1 e 2, temos:

1 12 1 D X J   (3.3.9)

onde D12 é a difusividade molecular (ou mássica) de 1 em 2 (m2/s). Em soluções concentradas (isto

é, aquelas em que as frações molares ou mássicas de soluto e solvente são da mesma ordem de magnitude), D12 pode depender fortemente da concentração, refletindo a inadequação do

gradiente de frações molares ou mássicas em representar a força motriz da difusão (Bird et al., 2002; Deen, 1998; Taylor e Krishna, 1993). Na realidade, o verdadeiro mecanismo motriz para a difusão de massa é o gradiente de potenciais químicos que, somente sob algumas condições especiais, pode ser adequadamente aproximado pelo gradiente de concentrações. Essa descrição mais generalizada, entretanto, foge do escopo deste texto.

(7)

7

Analogamente, o vetor fluxo molar total do componente i é calculado por:

i i i i i i i j * v c v c v cx n            (3.3.10) onde o vetor fluxo molar devido à difusão dado por:



v v*



c j_i _i _i      (3.3.11)

é definido, com base na Lei de Fick, por:

i eff , i i cD x j   (3.3.12) Para uma mistura binária, analogamente:

1 12 1 cD x j   (3.3.13)

Uma explicação mais detalhada acerca da natureza e do comportamento das propriedades termofísicas de diversas classes de materiais (sólidos, líquidos e gases), incluindo a difusividade molecular, será apresentada no Capítulo 12, onde também podem ser encontrados valores tabelados desta propriedade para diversas misturas sob condições específicas.

3.3.2. Relações entre os Fluxos de Massa

Substituindo a equação (3.3.8) na equação (3.3.6), temos:

i eff , i i i eff , i i i i i X D v X X D v J v m                     (3.3.14)

Introduzindo a velocidade média mássica dada pela equação (3.2.1), temos que a equação (3.3.14) pode ser escrita na forma:



        N 1 i i i i eff , i i D X X m m  (3.3.15)

Para uma mistura binária, as equações (3.3.14) e (3.3.15) se reduzem a:

1 12 1 1 X v D X m   (3.3.16)



1 2



1 1 12 1 D X X m m m     (3.3.17)

Efetuando a mesma manipulação algébrica para o componente 2, é possível deduzir dois resultados interessantes. A equação análoga à (3.3.17) para o componente 2 é:



₁ ₂



2 2 21 2 D X X m m m     (3.3.18)

(8)

8

2 21 1 12 X D X D     (3.3.19) ou seja: 2 1 J J  (3.3.20) ComoX₁X₂, temos que:

21

12 D

D  (3.3.21)

isto é, o par 1-2 possui apenas uma difusividade mássica que pode, entretanto, ser função da composição da mistura, da pressão, da temperatura e da concentração.

Expressões análogas às equações (3.3.16) e (3.3.17) podem ser obtidas para a base molar, resultando em: 1 12 1 1 cx v* cD x n    (3.3.22)



1 2



1 1 12 1 cD x x n n n    (3.3.23)

Além disso, é possível mostrar também que j1 j2

      .

Taylor and Krishna (1993) discutem uma forma generalizada da Lei de Fick para misturas multicomponentes, alternativa e mais abrangente do que aquela definida a partir de uma difusividade molecular efetiva. No caso de um sistema ternário de componentes 1, 2 e 3, por exemplo, existem dois fluxos de massa difusivos independentes ( j1

  e j2



) e duas forças motrizes independentes (x₁e x₂), já que x 1 i i 



e j 0 i i



 . Através da mesma relação linear entre fluxos e gradientes assumida no caso binário, é possível escrever:

2 12 1 11 1 c~ x c~ x j       (3.3.24) 2 22 1 21 2 c~ x c~ x j       (3.3.25) Note que as relações acima sugerem uma dependência cruzada dos fluxos com relação aos gradientes, nas quais são necessários quatro coeficientes para caracterizar o sistema ternário. Em uma forma geral para um sistema multicomponente, os vetores fluxo de massa por difusão podem ser descritos através da relação:

k 1 N 1 k ik i c ~ x j



     (3.3.26)

que pode ser escrita em notação matricial de dimensão (N-1):

 

j_ic

 

~

 

x (3.3.27)

(9)

9

                                                               N1 2 1 1 N , 1 N 2 , 1 N 1 , 1 N N 2 22 21 N 1 12 11 1 N 2 1 x x x ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ c j j j           (3.3.28)

Convém salientar que os coeficientes ~_ik não devem ser confundidos com os coeficientes Dik associados aos sistemas binários ou pseudo-binários (efetivos), visto que eles não representam

as interações i-k existentes nestes sistemas. Assim, ~_ikpodem assumir valores negativos e, de forma geral não são simétricos, isto é, ~_ik~_ki. Taylor e Krishna (1993) apresentam de forma detalhada as metodologias para determinação destes coeficientes.

Naturalmente, as relações para a Lei de Fick Generalizada podem ser estendidas para a base mássica. Neste caso, é possível escrever relações equivalentes às equações (3.3.26) e (3.3.27) na forma: k 1 N 1 k ik i X J



     (3.3.29) e:

 

J_i

 



 

X (3.3.30)

No entanto, ao contrário das difusividades mássicas de misturas binárias, D12, que

independem da base (molar, mássica ou volumétrica), não existe uma universalidade com relação aos coeficientes na forma matricial e, de forma geral, ~_ik_ik. Novamente, detalhes específicos podem ser obtidos em Taylor e Krishna (1993). Quando abordados problemas de difusão de massa de misturas multicomponentes, o presente texto se limitará a situações passíveis de descrição a partir da lei de Fick baseada na difusividade efetiva.

3.3.3. Fluxos de energia

A taxa com a qual energia interna atravessa uma superfície que se desloca com velocidade

I

v em um meio isotérmico é dada por:



v v



nˆdA

u  _I 

   (3.3.31)

Da mesma forma, a taxa para a entalpia, hup , pode ser escrita como:



v v



nˆdA

h  _I 

   (3.3.32)

Na presença de um gradiente de temperatura, energia é transferida através da superfície por difusão de calor (condução). Assim, de uma forma geral, a taxa total de transferência de energia através da superfície é dada por:



v v



nˆdA q nˆdA

h

(10)

10

onde qé o fluxo de calor devido à condução. Na ausência de um campo de velocidades (como num meio sólido ou em um fluido estacionário) e de radiação de calor, o fluxo de calor devido a um gradiente de temperaturas é o único modo de transferência de energia possível através de qualquer superfície (curva ou plana) no interior de um meio. A relação constitutiva para o fluxo de calor mais comum e amplamente utilizada é dada em função do gradiente de temperaturas por meio da Lei de Fourier. Para um meio isotrópico, ou seja, aquele em que as propriedades não são dependentes da direção, temos que (Poulikakos, 1994):

T k

q  (3.3.34)

onde k é a condutividade térmica (W/m.K), que é sempre positiva e é função de propriedades moleculares do meio material e da temperatura. Novamente, o sinal negativo na Lei de Fourier serve para adequar esta relação constitutiva à 2ª Lei da Termodinâmica, que estipula que o calor flui da região de alta para a de baixa temperatura.

Compilações extensas de valores de condutividade térmica para diversas classes de materiais encontram-se disponíveis em livros-texto sobre transferência de calor (Incropera et al., 2008; Lienhard e Lienhard, 2005). Uma apresentação sintética sobre o comportamento da condutividade térmica de substâncias puras e misturas será apresentada no Capítulo 12.

A lei de Fourier é empírica e nela está embutida a hipótese de que o fluxo de calor responde imediatamente ao gradiente de temperatura, fazendo com que perturbações no campo térmico sejam, a rigor, sentidas instantaneamente em pontos infinitamente distantes da respectiva fonte. Wang et al. (2008) discutem o fato de que, apesar da lei de Fourier ser aplicável a uma enormidade de meios materiais e faixas de valores de fluxo de calor e gradientes de temperatura, para aplicações envolvendo escalas características de comprimento e de tempo bastante pequenas, novas leis constitutivas precisam ser utilizadas de forma a contemplar a diferença de fase entre o fluxo de calor e o gradiente de temperaturas. No presente texto, entretanto, tais aplicações não serão abordadas.

As expressões (3.3.31) a (3.3.33) são válidas tanto para uma substância pura quanto para uma mistura. Entretanto, neste último caso, é possível lançar mão do conceito de propriedade parcial para escrever as taxas relacionadas à mistura em função de propriedades dos componentes. Tomando, por simplicidade, uma mistura binária de massa total mm₁m₂, a relação entre a entalpia absoluta da mistura e a entalpia da mistura por unidade de massa é dada por (admitindo que a pressão e a temperatura se mantenham constantes):



m₁,m₂



mh

 

X₁

H  (3.3.35)

uma vez que as frações mássicas estão relacionadas a partir da igualdade 1X₁X₂, onde

m m

X 1

1 .

Assim, por intermédio da regra da cadeia, é possível mostrar que: h X h m H 1 1       (3.3.36)

(11)

11

1 2 2 p,T,m m , T , p 1 T , p 1 m H m H X h         (3.3.38)

Os termos do lado direito do sinal da equação acima são denominados entalpias parciais,hˆ (ou entalpias parciais específicas, já que foram definidas na base mássica) Sendo a _i propriedade extensiva entalpia H uma função homogênea de 1º grau, é possível demonstrar que (Bird et al., 2002; Smith et al., 2000):

2 2 1 1 m , T , p 2 2 m , T , p 1 1 mhˆ mhˆ m H m m H m H 1 2                         (3.3.39)

Para uma mistura de N componentes, por analogia, vale que:



  N 1 i i ihˆ m H (3.3.40)

Entalpias parciais na base molar também podem ser definidas a partir de relações análogas às equações (3.3.39) e (3.3.40): 2 2 1 1 n , T , p 2 2 n , T , p 1 1 nh nh n H n n H n H 1 2                         (3.3.41)



  N 1 i i ih n H (3.3.42)

onde h é a entalpia molar parcial do componente i. _i

Desse modo, a taxa com a qual entalpia da mistura atravessa uma superfície que se desloca com velocidade v_I pode ser dada por:







    N 1 i I i i ihˆ v v nˆdA   (3.3.43) ou por:







   N 1 i I i i ih v v nˆdA c   (3.3.44)

onde v_ié a velocidade do componente i com relação a um referencial fixo. Da mesma forma, a taxa total com que energia é transferida pela superfície pode ser dada por:

(12)

12



v v



nˆdA q nˆdA hˆ e d N 1 i I i i i total 



          _(3.3.45) ou por:



v v



nˆdA q nˆdA h c e d N 1 i I i i i total 



         (3.3.46)

Para o caso especial em que v_Ié nula, temos: dA nˆ q dA nˆ v hˆ e d N 1 i i i i total 



        (3.3.47) dA nˆ q dA nˆ v h c e d N 1 i i i i total



       _(3.3.48)

Em função da velocidade média mássica, é possível escrever a equação (3.3.47) na forma:











          N 1 i i i i i i total q nˆdA hˆ v v hˆv nˆdA e d     (3.3.49)

onde a primeira e a segunda parcelas (esta última dentro do somatório) constituem a parcela do fluxo de calor devida à difusão definido por:







       N 1 i i i i dif q hˆ v v q    (3.3.50)

e a terceira parcela é o fluxo advectivo (relacionado à velocidade média mássica da mistura):



    N 1 i i i adv hˆv q  (3.3.51)

É instrutivo observar que o fluxo difusivo se reduzirá ao fluxo por condução quando o meio for composto por uma substância pura e quando for estacionário. Neste caso,v_iv0, e a difusão é devida somente ao calor associado ao gradiente de temperatura.

Substituindo na equação (3.3.50) as equações (3.3.7), (3.3.8) e (3.3.34), temos:



        N 1 i i eff , i i dif k T hˆD X q (3.3.52)

E a taxa de transferência de energia através da superfície, em função das Leis de Fick e Fourier, passa a ser escrita por:



            _ _ _ _   N 1 i i i N 1 i i eff , i i total k T hˆD X nˆdA hˆv nˆdA e d  (3.3.53)

(13)

13

Analogamente, em função da velocidade média molar, a equação (3.3.48) pode ser escrita na forma:











        N 1 i i i i i i total q nˆdA ch v v* chv* nˆdA e d     (3.3.54)

onde as parcelas devido à difusão e à advecção são dadas por:







      N 1 i i i i dif q ch v v* q    (3.3.55) * v h c q N 1 i i i adv



     (3.3.56) Analogamente, em função dos fluxos de massa na base molar e das Leis de Fick e Fourier, a equação (3.3.53) pode ser escrita por:



           _ _ _   N 1 i i i N 1 i i eff , i i total k T chD x nˆdA chv*nˆdA e d  (3.3.57)

Uma mistura ideal pode ser caracterizada como aquela em que não existem variações de suas propriedades de estado (volume, energia interna, entalpia, entropia) decorrentes do processo de mistura propriamente dito. Assim, para uma mistura ideal, a entalpia absoluta da mistura pode ser escrita como uma combinação linear das entalpias específicas dos componentes, tanto na base mássica quanto na base molar, ou seja:

mix N 1 i i ih H m H



  (3.3.58) mix N 1 i i ih~ H n H



  (3.3.59) onde, para uma mistura ou solução ideal:

0 H_mix

 (3.3.60)

Nas equações (3.3.58) e (3.3.59), hi_eh~ são as entalpias específicas do componente i nas i

bases mássica (em kJ/kg(i)) e na base molar (em kJ/kmol(i)), respectivamente. Assim, para uma

mistura ideal:



   N 1 i i i N 1 i i ihˆ mh m (3.3.61)



   N 1 i i N 1 i ih nh~ n (3.3.62)

(14)

14











          N 1 i i i i i i total q nˆdA h v v hv nˆdA e d     (3.3.63)

ou, em função das Leis de Fick e Fourier:



            _ _ _ _   N 1 i i i N 1 i i eff , i i total k T hD X nˆdA hv nˆdA e d  (3.3.64)

Analogamente, na base molar, a taxa com a qual a energia total de uma mistura ideal atravessa uma superfície fixa em relação a um referencial inercial é dada por:











        N 1 i i i i i i total q nˆdA ch~ v v* ch~v* nˆdA e d     (3.3.65)

ou, da mesma forma:



           _ _ _   N 1 i i i N 1 i i eff , i i total k T ch~D x nˆdA ch~v* nˆdA e d  (3.3.66)

Finalmente, no contexto de uma mistura binária ideal, temos que as equações (3.3.64) e (3.3.66) podem ser escritas como:







k T h h D X



nˆdA



h h



v nˆdA e d total    1 2 12 1   1 12 2    (3.3.67) e:







k T c~h ~h D x



nˆdA



c h~ c ~h



v*nˆdA e d total    1 2 12 1   1 1 2 2    (3.3.68)

Referências

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Cremasco, M.A., 2002, Fundamentos de Transferência de Massa, 2ª Ed., Ed. Unicamp, Campinas. Cussler, E.L., 2003, Diffusion: Mass Transfer in Fluid Systems, 2nd Ed., Cambridge University Press, NY.

Deen, W.M., 1998, Analysis of Transport Phenomena, Oxford University Press, NY.

Incropera, F.P., DeWitt, D.P., Bergman, T.L., Lavine, A.S., 2008, Fundamentos de Transferência de

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Smith, J.M., Van Ness, H.C., Abbott, M.M., 2000, Introdução à Termodinâmica da Engenharia

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