Controlo de Sistemas Compensadores de avanço

Controlo de Sistemas

Compensadores de avanço

Alexandra Moutinho

Dep. Engenharia Mecânica, Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa, ([email protected])

• Método de projeto de PID via LGR

• Aspectos práticos na implementação de

controladores PID

• Compensadores de avanço

– Projeto baseado na resposta em frequência

– Projeto baseado no LGR

•

Efeitos da adição de polos

:

– A adição de polos à FT do anel aberto tem o efeito de puxar o LGR para a direita, resultando na diminuição da estabilidade relativa e aumento do tempo de estabelecimento do sistema em anel fechado

(relembrar que a adição de controlo integral adiciona um polo na origem, reduzindo a estabilidade do sistema)

•

Efeitos da adição de zeros

:

– A adição de um zero à FT do anel aberto tem o efeito de puxar o LGR para a esquerda, resultando no aumento da estabilidade relativa e diminuição do tempo de estabelecimento do sistema em anel

fechado (relembrar que a adição de um zero na FT do ramo direto representa a adição de controlo derivativo no sistema, resultando numa ação antecipativa e numa resposta transiente mais rápida)

Projeto de compensadores:

Efeitos da adição de polos e zeros

• Considere um sistema em anel fechado com realimentação unitária cuja FT do anel aberto é dada por

𝐺_𝐴𝐴 𝑠 = 𝜔𝑛

2

𝑠(𝑠 + 2𝜉𝜔_𝑛) resultando na FT em anel fechado

𝐺_𝐴𝐹 𝑠 = 𝜔𝑛

2

𝑠 + 2𝜉𝜔_𝑛𝑠 + 𝜔_𝑛2 • A frequência de cruzamento de ganho é dada por

𝐺_𝐴𝐴 𝑗𝜔_𝑐𝑔 = 𝜔𝑛

2

| − 𝜔_𝑐𝑔2 + 𝑗2𝜉𝜔_𝑛𝜔| = 1 𝜔_𝑐𝑔 = 𝜔_𝑛 −2𝜉2 + 1 + 4𝜉4

Relação entre resposta transiente do anel fechado e resposta em frequência do anel aberto

• A Margem de Fase é dada por 𝑀𝐹 = 180° + arg 𝐺_𝐴𝐴 𝑗𝜔_𝑐𝑔 arg 𝐺_𝐴𝐴 𝑗𝜔_𝑐𝑔 = −90° − atan 𝜔𝑐𝑔 2𝜉𝜔_𝑛 = −90° − atan 𝜔_𝑛 −2𝜉2 _{+ 1 + 4𝜉}4 2𝜉𝜔_𝑛 𝑀𝐹 = 180° + −90° − atan −2𝜉2 + 1 + 4𝜉4 2𝜉 = 90° − atan −2𝜉2 + 1 + 4𝜉4 2𝜉 = atan 2𝜉 −2𝜉2 + 1 + 4𝜉4

Relação entre resposta transiente do anel fechado e resposta em frequência do anel aberto

Relação entre resposta transiente do anel fechado e resposta em frequência do anel aberto

𝑀𝐹 = atan 2𝜉

Objectivos do compensador de avanço:

1. Melhorar a resposta transiente

do anel fechado:

– Aumentar as Margens de Ganho e de Fase

– Tornar a resposta menos oscilatória, com menor

sobreimpulso

2. Manter a resposta estacionária

do anel fechado:

– Manter a precisão do anel fechado, i.e., manter o mesmo

valor do coeficiente de erro estacionário (posição,

velocidade, ou aceleração) do sistema não compensado

(𝐺

𝑠 = 1)

Considere que um sistema não compensado (em anel fechado, sem um controlador específico, i.e., 𝐺_𝑐 𝑠 = 1) apresenta as seguintes

caraterísticas

Compensadores de avanço:

objetivos

O sistema com compensador apresenta as seguintes caraterísticas

Compensadores de avanço:

objetivos

• Seja o sistema de controlo por realimentação, com 𝐾 = 1 e 𝐾₁ > 0:

• Qual a forma mais simples de aumentar a Margem de Fase? ➢ Diminuindo o ganho 𝐾 para 𝐾 = 𝐾₂ < 1

Exemplo

Resposta em frequência do anel aberto para 𝐾 = 1

Resposta em frequência do anel aberto para 𝐾 = 𝐾₂ < 1

• Erro estacionário de posição com controlador, 𝐾 = 1: 𝐾_𝑝 = lim 𝑠→0𝐺𝑐 𝑠 𝐺𝑝 𝑠 = lim𝑠→0 1 ∗ 𝐾₁ 𝑇𝑠 + 1 2 = 𝐾1 𝑒_𝑠𝑠 = 1 1 + 𝐾₁

• Erro estacionário de posição com controlador, 𝐾 = 𝐾₂ < 1: 𝐾_𝑝 = lim 𝑠→0𝐺𝑐 𝑠 𝐺𝑝 𝑠 = lim𝑠→0 𝐾2 ∗ 𝐾₁ 𝑇𝑠 + 1 2 = 𝐾2𝐾1 𝑒_𝑠𝑠 = 1 1 + 𝐾₂𝐾₁

• A Margem de Fase aumentou, mas à custa da diminuição da precisão do anel de controlo

• A FT do compensador de avanço

𝐺

𝑠 =

𝛼𝑠 + 𝑎

𝑠 + 𝑎

, 𝛼 > 1, 𝑎 > 0

– Tem

ganho unitário

, de modo a manter a precisão do

sistema não compensado

– Tem o

polo à esquerda do zero

, introduzindo um ganho e

uma fase positivos, de modo a aumentar as Margens de

Ganho e de Fase relativamente ao sistema não

compensado

• Nota: quanto maior 𝛼, maior o afastamento relativo entre o

polo e o zero

Compensadores de avanço

Compensadores de avanço

𝐺_𝑐 𝑠 = 𝛼𝑠 + 𝑎

𝑠 + 𝑎 , 𝛼 > 1, 𝑎 > 0

• Frequência central ou máxima (curva de fase): d𝜙_𝑐 d𝜔 = 0 ⇒ ω𝑐𝑡𝑟 = 𝑎 𝛼 • Na curva de magnitude: 20 log₁₀ 𝐺_𝑐(𝑗ω_𝑐𝑡𝑟) = 20 log₁₀ 𝛼 • Na curva de fase: 𝜙_𝑐𝑡𝑟 = −2 atan 1 𝛼 + 90°

Compensadores de avanço

quanto maior 𝛼, maior o afastamento relativo entre o polo e o zero

• Seja o sistema de controlo por realimentação, agora com 𝐺_𝑐(𝑠) um compensador de avanço:

𝐺_𝑐 𝑠 = 𝛼𝑠 + 𝑎

𝑠 + 𝑎 , 𝛼 > 1, 𝑎 > 0

• Como sintonizar o pico do avanço de fase, por forma a aumentar o mais possível a Margem de Fase?

Exemplo

• Erro estacionário de posição:

𝑒

=

1

1 + 𝐾

• A margem de fase aumentou, MF

> MF

, mas a

precisão do anel fechado manteve-se:

– Sistema não compensado 𝐾_𝑝 = lim s→0 𝐾₁ 𝑇𝑠 + 1 2 = 𝐾1 – Sistema compensado 𝐾_𝑝 = lim s→0 𝛼𝑠 + 𝑎 𝑠 + 𝑎 𝐾₁ 𝑇𝑠 + 1 2 = 𝐾1

Exemplo

• O projeto de compensadores de avanço refere-se à determinação dos parâmetros 𝛼 > 1 e 𝑎 > 0 de 𝐺_𝑐 𝑠 = 𝛼𝑠+𝑎

𝑠+𝑎 , de modo a

satisfazer as especificações dadas para o anel fechado

• Dependendo das especificações, o projeto pode ser baseado – Na resposta em frequência

– No LGR

Compensadores de avanço:

Projeto

Procedimento:

1. Calcular a margem de fase do sistema não compensado: MF_𝑝 2. Determinar o ângulo de avanço de fase 𝜙 necessário adicionar

ao sistema não compensado, por forma a garantir a margem de fase desejada, MF_𝑑:

𝜙 = MF_𝑑 − MF_𝑝

3. Determinar o valor do parâmetro 𝛼 do compensador de avanço que garante o avanço de fase 𝜙 necessário:

𝜙 + 𝛽 = 𝜙_𝑐𝑡𝑟 𝜙_𝑐𝑡𝑟 = −2 atan 1

𝛼 + 90°

onde 𝛽 > 0° compensa o aumento do valor da frequência de cruzamento de ganho devido ao compensador de avanço

Projeto de compensadores de avanço:

Baseado na resposta em frequência

Procedimento:

4. Determinar o valor do parâmetro 𝑎 do compensador de avanço: 𝑎 = 𝜔_𝑐𝑔′ 𝛼

onde 𝜔_𝑐𝑔′ é um valor aproximado da nova frequência de cruzamento de ganho, obtida como a frequência onde a

magnitude do sistema não compensado é simétrica à magnitude máxima introduzida pelo compensador de avanço:

𝜔_𝑐𝑔′ : 20 log₁₀ 𝐺(𝑗𝜔_𝑐𝑔′ ) = −20 log₁₀ 𝛼

5. Caso as especificações de desempenho não sejam satisfatórias, voltar ao ponto 3. actualizando o parâmetro 𝛽 em passos de 5°. Caso contrário terminar o projecto

Projeto de compensadores de avanço:

Baseado na resposta em frequência

Projectar um compensador de avanço para o sistema

por forma a garantir as seguintes especificações de desempenho: • Margem de fase: MF ≥ 50°

• Margem de ganho: MG ≥ 10 dB

• Manter o coeficiente de erro estacionário de velocidade, 𝐾_𝑣

Projeto de compensadores de avanço:

Baseado na resposta em frequência (Exemplo)

Análise do sistema não compensado • através da resposta em frequência do processo 𝐺_𝑝 𝑠 = 40 𝑠(𝑠 + 2)

Projeto de compensadores de avanço:

Baseado na resposta em frequência (Exemplo)

Análise do sistema não compensado • através da sua resposta à rampa 𝐾_𝑣 = lim 𝑠→0 𝑠𝐺𝑝 𝑠 = lim 𝑠→0 𝑠 40 𝑠(𝑠 + 2) = 20

Projeto de compensadores de avanço:

Baseado na resposta em frequência (Exemplo)

Projeto do compensador

1. Calcular a margem de fase do sistema não compensado

MF_𝑝 = 18°

2. Calcular o avanço de fase

necessário por forma a garantir a margem de fase desejada,

MF_𝑑 = 50°:

𝜙 = MF_𝑑 − MF_𝑝 = 32°

Projeto de compensadores de avanço:

Baseado na resposta em frequência (Exemplo)

Projeto do compensador

3. Determinar o valor do parâmetro α que garante o avanço de fase necessário 𝜙 + 𝛽 = 𝜙_𝑐𝑡𝑟 𝜙_𝑐𝑡𝑟 = −2 atan 1 𝛼 + 90° Considerando 𝛽 = 5°: 32° + 5° = −2 atan 1 𝛼 + 90° 37° − 90° 2 = − atan 1 𝛼 0.4986 = 1 𝛼 ⇔ 𝛼 = 4.17

Projeto de compensadores de avanço:

Baseado na resposta em frequência (Exemplo)

Projeto do compensador

4. a) Determinar 𝜔_𝑐𝑔′ a partir da curva de magnitudes do

sistema não compensado

−20 log₁₀ 𝛼 = −6.02 dB

Tirando do gráfico 𝜔_𝑐𝑔′ tal que 20 log₁₀ 𝐺(𝑗𝜔_𝑐𝑔′ ) = −6.02 dB

𝜔_𝑐𝑔′ = 9 rad/s

Projeto de compensadores de avanço:

Baseado na resposta em frequência (Exemplo)

Projeto do compensador

4. b) Determinar o valor do parâmetro 𝑎

𝑎 = 𝜔_𝑐𝑔′ 𝛼 = 9 4.17

𝑎 = 18.38

Obtem-se o compensador de avanço

𝐺_𝑐 𝑠 = 4.17𝑠 + 18.38 𝑠 + 18.38 adicionando ao anel aberto

• Um zero em -4.41 rad/s • Um polo em -18.38 rad/s

Projeto de compensadores de avanço:

Baseado na resposta em frequência (Exemplo)

Projeto do compensador

5. Verificar se desempenho do sistema compensado satisfaz especificações

Coeficiente de erro estacionário de velocidade:

𝐾_𝑣 = lim 𝑠→0 𝑠𝐺𝑐(𝑠)𝐺𝑝 𝑠 = lim𝑠→0 𝑠 4.17𝑠+18.38 𝑠+18.38 40 𝑠(𝑠+2) = 20 

Projeto de compensadores de avanço:

Baseado na resposta em frequência (Exemplo)

Projeto de compensadores de avanço:

Baseado na resposta em frequência (Exemplo)

do processo do processo e compensador Resposta em frequência

Projeto de compensadores de avanço:

Baseado na resposta em frequência (Exemplo)

do sistema não compensado do sistema compensado Resposta à rampa

Controladores PID e

compensadores de avanço

• Considere um sistema em anel fechado com realimentação unitária cuja FT do anel aberto é dada por

𝐺_𝐴𝐴 𝑠 = 𝜔𝑛

2

𝑠(𝑠 + 2𝜉𝜔_𝑛) resultando na FT em anel fechado

𝐺_𝐴𝐹 𝑠 = 𝜔𝑛

2

𝑠 + 2𝜉𝜔_𝑛𝑠 + 𝜔_𝑛2 • A frequência de cruzamento de ganho é dada por

𝐺_𝐴𝐴 𝑗𝜔_𝑐𝑔 = 𝜔𝑛

2

| − 𝜔_𝑐𝑔2 + 𝑗2𝜉𝜔_𝑛𝜔| = 1 𝜔_𝑐𝑔 = 𝜔_𝑛 −2𝜉2 + 1 + 4𝜉4

Relação entre resposta transiente do anel fechado e resposta em frequência do anel aberto

• A Margem de Fase é dada por 𝑀𝐹 = 180° + arg 𝐺_𝐴𝐴 𝑗𝜔_𝑐𝑔 arg 𝐺_𝐴𝐴 𝑗𝜔_𝑐𝑔 = −90° − atan 𝜔𝑐𝑔 2𝜉𝜔_𝑛 = −90° − atan 𝜔_𝑛 −2𝜉2 _{+ 1 + 4𝜉}4 2𝜉𝜔_𝑛 𝑀𝐹 = 180° + −90° − atan −2𝜉2 + 1 + 4𝜉4 2𝜉 = 90° − atan −2𝜉2 + 1 + 4𝜉4 2𝜉 = − atan −2𝜉2 _{+ 1 + 4𝜉}4 2𝜉

Relação entre resposta transiente do anel fechado e resposta em frequência do anel aberto

Relação entre resposta transiente do anel fechado e resposta em frequência do anel aberto

𝑀𝐹 = − atan

−2𝜉2 + 1 + 4𝜉4 2𝜉

• O projeto de compensadores de avanço refere-se à determinação dos parâmetros 𝛼 > 1 e 𝑎 > 0 de 𝐺_𝑐 𝑠 = 𝛼𝑠+𝑎

𝑠+𝑎 , de modo a

satisfazer as especificações dadas para o anel fechado

• Dependendo das especificações, o projeto pode ser baseado – Na resposta em frequência 

– No LGR

Compensadores de avanço:

Projeto

• Seja o sistema de controlo por realimentação, com 𝐾 = 1 e 𝐾₁ > 0:

• Qual a forma mais elementar de tornar a resposta menos oscilatória, com menor sobreimpulso?

➢ Diminuindo o ganho 𝐾 para 𝐾 = 𝐾₂ < 1

Exemplo

Resposta do sistema para: 𝐾 = 1, 𝐾 = 𝐾₂ < 1

As oscilações e o sobreimpulso diminuiram, mas à custa da

diminuição da precisão do anel fechado: 𝑒degrau = 1 ≪ 1 Resposta do sistema para: 𝐾 = 1

• Seja o sistema de controlo por realimentação, agora com 𝐺_𝑐(𝑠) um compensador de avanço:

𝐺_𝑐 𝑠 = 𝛼𝑠 + 𝑎

𝑠 + 𝑎 , 𝛼 > 1, 𝑎 > 0

• Que impacto tem a colocação do controlador de avanço no LGR do sistema?

Exemplo

LGR do sistema compensado LGR do sistema não compensado

Para o mesmo valor do ganho da FT do anel aberto, o sistema apresenta um comportamento menos oscilatório e com menor sobreimpulso, mantendo

Procedimento:

1. Determinar a localização desejada para os pólos do anel fechado, a partir das especificações de desempenho pretendidas para o anel de controlo: 𝑠_𝑑

2. Desenhar o LGR do sistema não compensado e verificar se um simples ajuste de ganho é suficiente

3. Determinar os parâmetros 𝑎 e 𝛼 do compensador de avanço através da condição de argumento aplicada ao sistema

compensado:

arg 𝐺_𝑐 𝑠_𝑑 𝐺_𝑝(𝑠_𝑑) = −180°

Visto tratar-se de uma equação a duas incógnitas, escolher uma solução possível

Projeto de compensadores de avanço:

Baseado no LGR

Procedimento:

4. Determinar o ganho da FT do anel aberto, 𝐾, que verifica a condição de módulo aplicada ao sistema compensado:

𝐾𝐺_𝑐 𝑠_𝑑 𝐺_𝑝 𝑠_𝑑 = 1

onde o ideal será ter 𝐾 > 1 para diminuir erro estacionário 5. Verificar as especificações de desempenho. Caso não sejam

satisfatórias voltar ao ponto 3. e admitir outra solução possível. Caso sejam, terminar o projeto

Projeto de compensadores de avanço:

Baseado no LGR

Projectar um compensador de avanço para o sistema

por forma a garantir as seguintes especificações de desempenho: • Polos dominantes com

– Frequência natural 𝜔_𝑛 = 4 rad/s

– Coeficiente de amortecimento 𝜉 = 0.5

• Manter (não piorar) o coeficiente de erro estacionário de velocidade, 𝐾_𝑣

Projeto de compensadores de avanço:

Baseado no LGR (Exemplo)

Localização desejada dos polos dominantes:

𝑠_𝑑 = −𝜉𝜔_𝑛 ± 𝜔_𝑛 𝜉2 − 1 𝑠_𝑑 = −2 ± 4 0.52 − 1

𝑠_𝑑 = −2 ± 𝑗3.46

Projeto de compensadores de avanço:

Baseado no LGR (Exemplo)

Coeficiente de erro estático de velocidade: 𝐾_𝑣 = lim 𝑠→0 𝑠𝐺𝑝 𝑠 = lim 𝑠→0 𝑠𝐺𝑝 𝑠 = 2

Projeto de compensadores de avanço:

Baseado no LGR (Exemplo)

Projeto do compensador

1. Determinar a localização desejada para os polos

dominantes do anel fechado

𝑠_𝑑 = −2 ± 𝑗3.46

2. Desenhar o LGR do sistema não compensado e verificar se um simples ajuste de ganho é

suficiente

Um simples ajuste do ganho não faz os polos do anel

fechado passarem por 𝑠

Projeto de compensadores de avanço:

Baseado no LGR (Exemplo)

Projeto do compensador

3. Determinar os parâmetros 𝑎 e 𝛼 do compensador de avanço através da condição de argumento aplicada ao sistema

compensado

arg 𝐺_𝑐 𝑠_𝑑 𝐺_𝑝(𝑠_𝑑) = arg 𝐺_𝑐 𝑠_𝑑 + arg 𝐺_𝑝(𝑠_𝑑) = −180°

𝐺_𝑐 𝑠 = 𝛼𝑠 + 𝑎

𝑠 + 𝑎 ⇒ arg 𝐺𝑐 𝑠𝑑 = arg 𝛼𝑠𝑑 + 𝑎 − arg 𝑠𝑑 + 𝑎 arg 𝐺_𝑐 𝑠_𝑑 = atan 3.46 −2 + _𝛼𝑎 ângulo de −𝑎 𝛼 com 𝑠𝑑 − atan 3.46 −2 + 𝑎 ângulo de −𝑎 com 𝑠_𝑑

Projeto de compensadores de avanço:

Baseado no LGR (Exemplo)

Projeto do compensador

𝑠(𝑠 + 2) ⇒ arg 𝐺𝑝 𝑠𝑑 = arg 4 − arg 𝑠𝑑 − arg 𝑠𝑑 + 2 arg 𝐺_𝑝 𝑠_𝑑 = 0 − atan 3.46 −2 120° − atan 3.46 0 90°

arg 𝐺_𝑐 𝑠_𝑑 𝐺_𝑝(𝑠_𝑑) = arg 𝐺_𝑐 𝑠_𝑑 + arg 𝐺_𝑝(𝑠_𝑑) = −180°

atan 3.46𝛼

−2𝛼 + 𝑎 − atan

3.46

−2 + 𝑎 − 120° − 90° = −180°

Projeto de compensadores de avanço:

Baseado no LGR (Exemplo)

Projeto do compensador

• Determinar 𝑎 e 𝛼 (ou a localização do polo −𝑎 e zero − 𝑎

𝛼 do

controlador) tal que

atan 3.46

−2 + 𝑎_𝛼 − atan

3.46

−2 + 𝑎 = 30°

• Temos 1 equação com 2 incógnitas, pelo que a solução não é única

Projeto de compensadores de avanço:

Baseado no LGR (Exemplo)

Projeto de compensadores de avanço:

Baseado no LGR (Exemplo)

atan 3.46 −2+𝑎 = 𝛾1 atan 3.46 −2+𝑎 𝛼 = 𝛾₁ + 30° atan 3.46₋₂ 𝑠_𝑑 = −2 ± 𝑗3.46 atan 3.46 −2+𝑎_𝛼 atan _−2+𝑎3.46 𝛾₁ 𝛾₂

Projeto de compensadores de avanço:

Baseado no LGR (Exemplo)

Arbitrando que o diedro

formado pelo polo e zero do compensador está centrado, i.e., 𝛾₁ = 𝛾₂ = 45°, temos: atan 3.46 −2+𝑎 = 45° −𝑎 = −5.4 (polo) atan 3.46 −2+𝑎 𝛼 = 75° − 𝑎 𝛼 = −2.9 (zero) atan 3.46₋₂ 𝑠_𝑑 = −2 ± 𝑗3.46 atan 3.46 −2+𝑎_𝛼 atan _−2+𝑎3.46 𝛾₁ = 45° 𝛾₂ = 45°

Projeto do compensador

4. Determinar o ganho da função de transferência do anel aberto, 𝐾, através da condição de módulo aplicada ao sistema compensado

𝐾𝐺_𝑐 𝑠_𝑑 𝐺_𝑝 𝑠_𝑑 = 1

onde o ideal será ter 𝐾 > 1 para diminuir erro estacionário

𝐾 1.86𝑠𝑑 + 5.4 𝑠_𝑑 + 5.4 4 𝑠(𝑠 + 2) = 1, 𝑠𝑑 = −2 ± 𝑗3.46 0.397𝐾 = 1 𝐾 = 2.52

Projeto de compensadores de avanço:

Baseado no LGR (Exemplo)

• Obteve-se então

𝐺_𝑐 𝑠 = 2.52 1.86𝑠 + 5.4 𝑠 + 5.4

• Verificar se o sistema compensado, com o compensador projetado, satisfaz as especificações dadas:

– Polos dominantes com

• Frequência natural 𝜔_𝑛 = 4 rad/s

• Coeficiente de amortecimento 𝜉 = 0.5

– Manter (não piorar) o coeficiente de erro estacionário de velocidade, 𝐾_𝑣 = 2

Projeto de compensadores de avanço:

Baseado no LGR (Exemplo)

Verificação da satisfação das especificações

Projeto de compensadores de avanço:

Baseado no LGR (Exemplo)

Projeto de compensadores de avanço:

Baseado no LGR (Exemplo)

Projeto de compensadores de avanço:

Baseado no LGR (Exemplo)

Verificação da satisfação das especificações

Sistema compensado Sistema não-compensado

• Compensadores de atraso

– Projeto baseado na resposta em frequência

– Projeto baseado no LGR

– Controlo de Sistemas, Miguel Ayala Botto, AEIST Press, 2008

• Capítulo 8

– Feedback Control of Dynamic Systems, Gene F. Franklin, J. David Powell, Abbas Emami‐Naeini, Pearson (6ª edição), 2010

• Capítulo 4

– Modern Control Engineering, K. Ogata, Prentice‐Hall International (4ª edição), 2002

• Capítulo 8

– Control Systems Engineering, Norman Nise, John Wiley & Sons (6ª edição), 2011