Modelagem estrutural da série mensal de consumo residencial de energia elétrica na região Nordeste

Modelagem estrutural da série mensal de consumo residencial de

energia elétrica na região Nordeste

José Francisco Moreira Pessanha

Departamento de Engenharia Elétrica – DEE/PUC-RJ

francisc@domain.com.br

1. Introdução

A produção industrial de energia elétrica é realizada nas usinas geradoras, equipamentos que fazem a conversão de alguma forma de energia primária (hidráulica, térmica, nuclear, eólica e solar) em eletricidade. Uma vez transformada em eletricidade, a energia é transportada através de uma intrincada rede de linhas de transmissão e distribuição que interligam os centros de produção aos numerosos consumidores finais [1,2].

Para garantir que o atendimento da demanda por eletricidade, esteja em conformidade com os critérios pré-estabelecidos de qualidade de suprimento e padrões de continuidade, é necessário que o sistema elétrico seja operado e expandido de forma planejada [1].

Um item importante no planejamento da expansão e operação, bem como na comercialização de energia, é a previsão de valores futuros do consumo de eletricidade [3,4]. Em um horizonte de longo-prazo, a previsão do consumo sinaliza a necessidade de expansão da capacidade de geração/transmissão do sistema. Por sua vez, no curto-prazo, as previsões de consumo, junto com as previsões de afluências em sistemas hidrotérmicos, são importantes na determinação da política ótima de despacho das usinas geradoras.

Usualmente, ao invés de prever o consumo total de energia elétrica em uma determinada região, faz-se uma segmentação do mercado da região, usualmente

dividindo-o em quatro classes : residencial, industrial, comercial e outros1. Para

cada classe são feitas previsões separadamente. Esta segmentação é justificada pelo fato do consumo apresentar características específicas em cada classe, por exemplo, diferentes taxas de crescimento [5].

Com relação aos métodos de previsão, a literatura técnica apresenta uma variedade de metodologias que podem ser empregados na previsão do consumo de energia elétrica [6]. No Brasil, os órgãos de planejamento e concessionárias de eletricidade utilizam essencialmente os modelos econométricos (regressão linear) [3,4] e modelos técnico-econômico [4].

A variedade de técnicas aplicadas na previsão do consumo de energia elétrica reflete a busca por métodos capazes de gerar previsões mais precisas. A precisão da previsão propicia um melhor uso da capacidade instalada do sistema elétrico. O objetivo deste trabalho consiste em mostrar um estudo de caso onde a modelagem estrutural [7,8] de séries temporais é aplicada na série mensal do consumo de eletricidade. Os modelos estruturais fazem uso da decomposição de uma série temporal em suas componentes não observáveis de tendência, sazonalidade, cíclica e irregular. A idéia de decompor a série em suas componentes não observáveis é bastante antiga e até os anos de 1960 era a única forma para analisar séries temporais, onde meios aritméticos eram utilizados para extrair as estimativas das componentes da série. A retomada da idéia da decomposição aconteceu nos anos 1980 com a utilização do filtro de Kalman [7] para estimar as componentes não observáveis.

A série analisada é a série mensal do consumo residencial de energia elétrica na região Nordeste, durante o período entre janeiro de 1979 e dezembro de 1999. A série analisada se encontra disponível no endereço eletrônico do Banco Central

do Brasil (www.bcb.gov.br). Os resultados apresentados no trabalho foram obtidos

com o auxílio do software STAMP [8].

1980 1985 1990 1995 2000 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 GWh

Figura 1.1 – Consumo de energia elétrica da classe residencial no Nordeste

A figura 1.1 mostra o gráfico da série analisada, onde se identifica uma tendência de crescimento que se deve basicamente ao aumento da população e a universalização do serviço, promovida, por exemplo, por programas de eletrificação rural. A série também exibe uma componente sazonal motivada pela existência de duas estações bem definidas na região Nordeste. Portanto a série analisada é não estacionária.

O correlograma da série de consumo (figura 1.2) confirma a não estacionariedade da série. 0 5 10 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1 ACF-GWh

Figura 1.2 – Correlograma da série de consumo 2. Exploração dos dados

No item 1, a identificação das componentes de tendência e sazonalidade sugere a utilização do modelo estrutural básico (MEB), cuja formulação é apresentada a seguir : t t t t y =µ +γ +ε εt~NID(0,h) (2.1) t t t t µ β η µ = −1+ −1+ ηt~NID(0, 2 η σ ) (2.2) t t t β ξ β = −1+ ξt~NID(0, 2 ξ σ ) (2.3) t S j j t t γ ϖ γ =−

∑

O vetor de estados é αt = (µ tβ tγ t) onde α0 ~N(a0,P0)

Na equação 2.1, a série observada yt é decomposta nas componentes de

tendência (µt), sazonalidade (γt) e irregular (εt). A equação 2.2 é a expressão mais

geral para a componente de tendência, denominada tendência linear local. Nesta

expressão, o nível ou tendência µt depende de uma componente βt que

corresponde a um processo estocástico do tipo passeio aleatório (equação 2.3). A

componente βt é interpretada como o crescimento do nível corrente. Quanto a

componente sazonal, o modelo básico usa uma representação por fatores sazonais conforme mostra a equação 2.4, com período sazonal S=12 , pois a série é mensal. Usualmente, quando a sazonalidade é aditiva faz-se a soma dos fatores sazonais dentro de um período sazonal igual a zero. Esta restrição, conhecida como restrição de normalização, permite interpretar o fator sazonal como sendo um desvio em relação ao nível médio da série, já que a soma dos fatores sazonais é nula. A equação 2.4 é exatamente a restrição de normalização adicionada de um termo aleatório ϖt.

Para verificar a capacidade preditiva do modelo, foram retiradas as seis últimas observações da série na fase de estimação. Sendo que Inicialmente, o MEB foi estimado a partir da série original, ou seja, série sem transformação. Os resíduos encontrados nesta estimação são apresentados na figura 2.1.

1980 1985 1990 1995 2000 -3 -2 -1 0 1 2 3 _{Residual_GWh}

Figura 2.1 – Resíduos do MEB na série original

A figura 2.1 sugere que a variância do erro cresce com tempo, ou seja, existe uma heterocedasticidade. Este resultado é confirmado pelo teste de Goldfeld-Quandt (H(77)=6.2744 => p-valor=0.0000) que rejeita a hipótese nula de

homocedasticidade. Para estabilizar a variância do erro foi aplicada uma

transformação logarítmica nos valores da série original. Esta transformação além de estabilizar a variância confere uma maior simetria aos resíduos, uma característica importante, uma vez que se admite serem normalmente distribuidos os termos aleatórios do MEB.

A figura 2.2 mostra a série transformada. Comparando as figuras 1.1 e 2.2

observa-se que na série original a amplitude2 do consumo a partir de 1990 é bem

maior que nos anos anteriores, tal característica não acontece na série transformada. 1980 1985 1990 1995 2000 5.25 5.5 5.75 6 6.25 6.5 6.75 7 LogGWh

Figura 2.2 – Série transformada

1980 1985 1990 1995 2000 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 Residual_LogGWh

Figura 2.3 – Resíduos do MEB na série transformada

Os resíduos apresentados na figura 2.3 foram obtidos pela aplicação do MEB na série transformada. Comparando os resíduos da figura 2.3 com os da figura 2.1 pode-se observar que a transformação logarítmica de fato estabilizou a dispersão dos resíduos.

3. Estimação, Suavização, Previsão e Diagnóstico

A figura 2.3. indica a existência de uma observação atípica em 1987. Este

resultado é confirmado pela análise dos resíduos auxiliares3, conforme mostra a

tabela 3.1 que apresenta os resíduos auxiliares com módulo maior que dois, do MEB estimado para a série transformada.

Período Resíduos da componente irregular Resíduos da componente nível

Fev 1982 -2.8527 Mar 1984 +2.8388 Mar 1986 -2.6271 Fev 1987 -2.8014 Mar 1987 -3.6580 Abr 1987 -3.5963 -5.9570 Abr 1988 +2.7453 Out 1988 +2.7391 Jan 1989 -3.0531

Tabela 3.1 – Resíduos auxiliares atípicos das componentes irregular e nivel

3

Os resíduos auxiliares são estimativas suavizadas dos erros das componentes irregular, tendência e inclinação. Eles tem distribuição normal com média zero, porém tem autocorrelação serial, o que acaba interferindo nos testes de normalidade que pressupõe independência. A inspeção gráfica dos resíduos auxiliares em conjunto com a análise dos testes de normalidade indicam a existência de mudança estrutural bem como a presença de observações atípicas (outliers).na série em estudo. Caso existam outliers ou mudanças estruturais, pode-se fazer algumas intervenções no modelo, através de variável dummy, para capturar o comportamento irregular da série.

Uma revisão da história do setor elétrico brasileiro mostra que os nove estados da Região Nordeste, o sul do Pará e o norte de Goiás, passaram por onze meses de racionamento de energia elétrica a partir de março de 1987, em virtude da conjunção de severa estiagem na bacia do Rio São Francisco com o atraso de importantes obras proritárias, como a usina de Itaparica e o segundo circuito da linha de transmissão Tucuruí-Presidente Dutra [9].

A inclusão de uma intervenção no nível em abril de 1987 resolve uma parte do problema. Entretanto, com apenas esta intervenção não é possível aceitar a hipótese de normalidade dos resíduos auxiliares da componente irregular, conforme mostram os resultados dos testes de normalidade na tabela 3.2 e na figura 3.1.

Componente Teste BS Teste DH

Irregular ( IrrRes LogGWh ) 11.245 (0.0036) 9.5498 (0.0084)

Nível ( LvlRes LogGWh ) 1.6706 (0.4338) 1.2605 (0.5325)

Inclinação ( SlpRes LogGWh ) 4.4182 (0.1098) 4.7649 (0.0923)

Tabela 3.2 – Teste de normalidade dos resíduos auxiliares, entre parêntesis o p-valor da estatística teste

-4 -2 0 2 4 .25 .5 N(s=1) -2 -1 0 1 2 -2.5 0 2.5 QQ plot normal -3 -2 -1 0 1 2 3 .2 .4 N(s=0.997) -2 -1 0 1 2 -2 0 2 QQ plot normal -3 -2 -1 0 1 .25 .5 .75 N(s=0.682) -2.5 -2 -1.5 -1 -.5 0 .5 1 -2 -1 0 1 QQ plot normal

Figura 3.1 – histograma e QQ-Plot dos resíduos auxiliares

Para contornar este problema foram incluídas mais cinco intervenções no termo irregular, sendo quatro delas apresentadas na tabela 3.1. A seguir, a tabela 3.3 mostra as cinco intervenções adicionadas e possíveis justificativas para adicioná-las.

Data da intervenção Justificativa

Mar 1984 Em 1984 teve início o suprimento em 500 kV da cidade de

São Luís [9]

Mar 1986 Início do Plano Cruzado

Abr 1988 Efeito do fim do racionamento na região Nordeste

Jan 1989 No final de1998 a inflação havia atingido 994% e grandes

obras de geração no sistema Norte/Nordeste, como Tucuruí I e a usina de Itaparica já haviam sido concluídas [9].

Abr 1991 Fracasso do plano de estabilização econômica executado

na administração Collor. No ano de 1991 foram registradas cerca de 150 perturbações de porte nos sistema Sul/Sudeste e Norte/Nordeste [9].

Tabela 3.3 – Demais intervenções adicionadas

Com a inclusão das intervenções no termo irregular, a hipótese nula de normalidade dos resíduos auxiliares de todas as componentes foi aceita pelos testes de normalidade, conforme mostram os resultados na tabela 3.4.

Componente Teste BS Teste DH

Irregular ( IrrRes LogGWh ) 4.5321 (0.1037) 4.111 (0.1280)

Nível ( LvlRes LogGWh ) 0.45205 (0.7977) 0.18885 (0.9099)

Inclinação ( SlpRes LogGWh ) 5.8885 (0.0526) 7.0198 (0.0299)

Tabela 3.4 – Teste de normalidade dos resíduos auxiliares, entre parêntesis o p-valor da estatística teste

As seis intervenções são significativamente diferentes de zero conforme mostram os resultados da tabela 3.5

Intervenção Coeficiente t-valor

Irr 1984. 3 0.075829 3.3237 [ 0.0010] Irr 1986. 3 -0.062612 -2.7486 [ 0.0065] Lvl 1987. 4 -0.170000 -7.6015 [ 0.0000] Irr 1988. 4 0.065526 2.8796 [ 0.0044] Irr 1989. 1 -0.081576 -3.5919 [ 0.0004] Irr 1991. 4 -0.067621 -2.9715 [ 0.0033]

1980 1985 1990 1995 2000 -2 -1 0 1 2 3 Residual LogGWh

Figura 3.2 – Resíduos do MEB na série transformada após a inclusão das intervenções

A figura 3.2 mostra que a inclusão das intervenções e a transformação logarítmica estabilizaram a variância. O teste de Goldfeld-Quandt não rejeita a hipótese nula de homocedasticidade ( H(77)=0.88727 => p-valor=0,6995). Quanto à hipótese nula de normalidade dos resíduos, as estatísticas na tabela 3.6 permitem aceitá-la.

Teste Estatística

Skewness 0.0013332 (0.9709)

Kurtosis 0.021454 (0.8835)

Normal-BS 0.022787 (0.9887)

Normal-DH 0.2718 (0.8729)

Tabela 3.6 – Testes de normalidade dos resíduos, entre parêntesis o p-valor da estatística teste

A aceitação da hipótese de normalidade é confirmada pelo histograma e pelo QQ-Plot apresentados na figura 3.3.

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -.5 0 .5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 .1 .2 .3 .4 Density N(s=0.984) -2.5 -2 -1.5 -1 -.5 0 .5 1 1.5 2 2.5 -2 0 2 QQ plot normal

A estatística de Durbin Watson igual a 2,1093 não rejeita a hipótese nula de ausência de autocorrelação de primeira ordem do termo aleatório da equação das observações. Portanto, é desnecessária a inclusão de uma componente AR(1) no modelo. Adicionalmente, a estatística Ljung-Box ( Q(14,11)=17,652 => p-valor= 0,09) indica que as primeiras 14 autocorrelações não são significativamente diferente de zero. Estes resultados são confirmados pelos gráficos das funções de autocorrelação e autocorrelação parcial dos resíduos na figura 3.4.

0 5 10 15 -.5 0 .5 1 ACF-Residual_LogGWh 0 5 10 15 -.5 0 .5 1 PACF-Residual_LogGWh

Figura 3.4– Função de autocorrelação (ACF) e autocorrelação parcial (PACF) dos resíduos

A seguir a tabela 3.7 mostra algumas estatísticas que refletem a boa qualidade do ajuste.

Indicadores

Prediction error variance (p.e.v) 0.000638

Prediction error mean deviation (m.d) 0.000495

Razão p.e.v. / quadrado de m.d. 1.058921

Coeficiente de determinação4 R2 RD2 RS2 0.996974 0.651880 0.411746 Critério de informação AIC BIC -7.178682 -6.865197

Tabela 3.7 – Indicadores da qualidade do ajuste

4 _{O R2 é adequado quando a série analisada é estacionária, não apresentando tendência ou sazonalidade. O} RD2 é utilizado quando a série apresenta tendência, por sua vez o RS2 é o coeficiente de determinação apropriado para as séries com tendência e sazonalidade. Os coeficientes de determinação RD2 e RS2 podem ser negativos, indicando neste caso um ajuste pobre. No RD2 o modelo é comparado como um passeio aletório mais drift, enquanto no RS2 o modelo é comparado com um passeio aleatório, mais drift e fatores sazonais fixos.

Um valor próximo da unidade para a razão p.e.v./m.d in squares indica que o modelo está corretamente especificado [8]. Os coeficientes de determinação R2, RD2 e RS2 também indicam a boa qualidade do ajuste. As estatísticas AIC e BIC foram apresentadas a título de informação, pois tais indicadores são medidas relativas, usadas na comparação de modelos com o intuito de selecionar o melhor deles. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 .25 .5 .75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 Pergr Spectrum

Figura 3.5 – Espectro e periodograma

O espectro e o periodograma apresentados na figura 3.5 são úteis na identificação de possíveis componentes cíclicas na série temporal. Neste caso, tanto o espectro quanto o periodograma apresentam um perfil horizontal, com exceção de uma ligeira saliência no espectro e de uma frequência no períodograma, conforme indicado na figura 3.5. Este resultado indica que poderia existir uma componente cíclica com período de aproximadamente 3 meses, o que não parece razoável. Portanto,.achou-se melhor ignorar a saliência no espectro e não adicionar a componente cíclica no MEB.

1980 1985 1990 1995 2000 -25 0 25 Cusum Residual 1980 1985 1990 1995 2000 .25 .5 .75 1

Cusum Residual Squared

Figura 3.6 – CUSUM e CUSUM Squared

Na figura 3.6 o gráfico CUSUM mostra que o modelo está bem ajustado, não havendo quebras estruturais, por sua vez o gráfico CUSUM Squared indica que a

variância é estável. Estes resultados corroboram todos os resultados analisados anteriormente.

Com relação a capacidade preditiva, o modelo ajustado mostra um bom desempenho conforme mostra o gráfico de valores previstos e observados na figura 3.7, para o período de 6 meses não considerado na fase de estimação do modelo. 1999 2000 6.825 6.85 6.875 6.9 6.925 6.95 6.975 LogGWh Forecast

Figura 3.7 – Valores preditos x valores observados

Os resultados anteriores mostram que o MEB mais o conjunto de intervenções constituem uma bom modelo para a série em estudo. Agora, resta interpretar as componentes de nível, inclinação e sazonalidade estimadas.

Componente Variância Razão sinal ruído

Irregular 0.00033260 1.0000

Nível 0.00014662 0.4408

Inclinação 4.3657e-008 0.0001

Sazonalidade 9.6616e-007 0.0029

Tabela 3.8 –Variância e razão sinal ruído de cada componente

Na tabela 3.8 a razão sinal/ruído de todas as componentes é não nula, portanto, todas as componentes são estocásticas, ou seja, evoluem probabilisticamente no tempo.

1980 1985 1990 1995 2000 5.5 6 6.5 7 Trend_LogGWh 1980 1985 1990 1995 2000 .007 .008 Slope_LogGWh 1980 1985 1990 1995 2000 -.05 0 .05 Seas_LogGWh

Figura 3.8 - Componentes suavizadas

A figura 3.8 exibe os gráficos das componentes suavizadas do nível, inclinação e sazonalidade. O comportamento crescente do nível ou tendência é explicado pelo crescimento da população e pela busca incessante da universalização dos serviços de fornecimento de energia elétrica. Quanto ao comportamento decrescente da inclinação, trata-se de um reflexo da redução na taxa de crescimento da população brasileira e das políticas de eficiência energética e conservação de energia, implementadas por órgãos como o PROCEL (Programa de Conservação de Energia Elétrica).

È de interesse fazer a análise na escala original5, neste caso GWh. A figura 3.9

mostra os gráficos das componentes na escala original.

1980 1985 1990 1995 2000 250 500 750 1000 Trend_ME_LogGWh 1980 1985 1990 1995 2000 8 9 10 Slope_ME_LogGWh 1980 1985 1990 1995 2000 0 50 Seas_ME_LogGWh

Figura 3.9 - Componentes suavizadas na escala original

5 _{As componentes estimadas passam por uma transformação exponencial. No STAMP isso é conseguido} através das opções Anti-log analysis ou Modified anti-log analysis

As componentes da figura 3.9 tem a mesma interpretação das componentes da figura 3.8, entretanto a sazonalidade que era aditiva na escala logaritimica passa a ser multiplicativa na escala original.

Mês Fator sazonal % Jan 1,06530 6,53070 Fev 1,00340 0,33967 Mar 1,00980 0,97865 Abr 1.02240 2,23880 Mai 1.01210 1.20920 Jun 0,98677 -1,32290 Jul 0,97061 -2,93880 Ago 0,94933 -5,06660 Set 0,97378 -2,62200 Out 0.98939 -1,06150 Nov 1,01560 1,55700 Dez 1,00640 0,63990

Tabela 3.9 – Fatores sazonais no final do período

Quanto a sazonalidade, os fatores sazonais na tabela 3.9 mostram que de novembro a maio há uma maior demanda de eletricidade pela classe residencial, sendo que o pico de demanda acontece em janeiro com um crescimento de 6,5% em relação ao nível médio. Por outro lado, no período entre junho e outubro o consumo de energia diminui. Os fatores sazonais refletem as duas estações que existem na região Nordeste.

1980 1985 1990 1995 2000 .96 .98 1 1.02 1.04 1.06

Seas 1_LogGWh Seas 2_LogGWh Seas 3_LogGWh Seas 4_LogGWh Seas 5_LogGWh Seas 6_LogGWh Seas 7_LogGWh Seas 8_LogGWh Seas 9_LogGWh Seas 10_LogGWh Seas 11_LogGWh Seas 12_LogGWh

Figura 3.10– Evolução dos fatores sazonais

A figura 3.10 mostra a evolução temporal dos fatores sazonais revelando uma ligeira mobilidade. Isto está de acordo com a pequena variância da componente sazonal ( veja tabela 3.8 )

1980 1985 1990 1995 2000 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 SeasAdj_ME_LogGWh

Figura 3.11 – Série sazonalmente ajustada

A série sazonalmente ajustada na figura 3.11 mostra a força do racionamento de 1987 na redução do consumo residencial na região Nordeste.

A taxa de crescimento no final do período é de 7,41% ao ano. As previsões do consumo para o período entre julho de 1999 e dezembro de 2000 e das componentes de tendência e sazonalidade, são apresentadas nas figuras 3.12 e 3.13 respectivamente. 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 BC_F-LogGWh Forecast

1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 600 800 1000 F-Trend_E_LogGWh 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 -50 -25 0 25 50 75 F-Seas_E_LogGWh

Figura 3.13 – Previsões para as componentes de tendência e sazonalidade 4. Conclusões

Neste trabalho foi feita a modelagem estrutural da série mensal do consumo residencial de energia elétrica na região Nordeste. Os resultados obtidos foram satisfatórios, mas podem ser melhorados se forem incluídas variáveis explicativas. Outro estudo interessante consiste na aplicação desta abordagem para modelar as séries de consumo mensal das classes comercial e industrial e identificar as possíveis diferenças nos modelos estimados e nas componentes.

Enfim, a decomposição da série em suas componentes não observáveis oferece uma descrição dos traços estilizados da série o que possibilita analisar a mudança de tendência e alterações no padrão sazonal ou no comportamento cíclico da série. Por permitir uma interpretação direta das componentes e o fato de relaxar a restrição de estacionariedade torna o modelo estrutural uma alternativa mais interessante que os modelos ARIMA.

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